Вывести дифференциальное соотношение между внутренней ... давлением. Получить калорическое уравнение состояния для идеального одноатомного газа.

Вывести дифференциальное соотношение между внутренней энергией, объемом и
давлением.
Получить калорическое уравнение состояния для идеального одноатомного газа.
Найти выражение для энтропии идеального газа как функции внутренней энергии и
объема.
Показать на примере идеального газа, что соотношения
⎛∂E ⎞
⎛∂E ⎞
⎟⎟ , P = −⎜⎜
⎟⎟
T = ⎜⎜
⎝ ∂ S ⎠V
⎝ ∂ V ⎠S
представляют собой соответственно калорическое и термическое уравнения состояния.
Рассматривая внутреннюю энергию как функцию E=E(Т,V), показать, что справедливы
следующие уравнения
⎛ ∂S ⎞
⎛ ∂E ⎞
⎛ ∂S ⎞
⎛ ∂E ⎞
⎜
⎟ =T ⎜
⎟
⎜
⎟ =T ⎜
⎟ −P
⎝ ∂T ⎠V
⎝ ∂V ⎠T
⎝ ∂V ⎠T
⎝ ∂T ⎠V
Найти зависимость от температуры теплоты фазового перехода жидкость-пар.
Найти работу, производимую над идеальным газом при изотермическом изменении
объема от V1 до V2 (или давлении от P1 до P2 ).
Два одинаковых идеальных газа с одинаковыми температурами T и числами частиц
N,
но с разными давлениями
P1 и P2 находятся в двух сосудах. Затем сосуды
соединяются; определить изменение энтропии.
Два одинаковых идеальных газа с одинаковыми давлениями P и числом частиц
но с разными температурами T1 и T находятся в сосудах с объемами V и
Затем сосуды соединяются. Найти изменение энтропии.
2
1
N,
V.
2
Найти работу, производимую над идеальным газом при адиабатическом сжатии.
Найти количество тепла, получаемого газом при процессе, происходящем при постоянном
объеме (изохорном).
Найти работу и количества тепла при процессе, происходящем при постоянном давлении
(изобарном).
Найти работу, совершаемую над газом и количество тепла, получаемое им при сжатии от
объема V1
процесс).
до объема
V2 , согласно уравнению
PV n = α
(политропический
Определить максимальную работу, которую можно получить при соединении сосудов с
двумя одинаковыми идеальными газами, имеющими одинаковые температуру
и
T
число частиц N , но разные объемы V и V . .
0
1
2
Определить максимальную работу, которую можно получить при соединении сосудов с
двумя одинаковыми идеальными газами, если до соединения сосудов газы имели
одинаковое давление P и разные температуры T и T .
0
1
2
Найти минимальную работу, которую надо произвести над идеальным газом для того,
чтобы сжать его от давления P до давления P при постоянной температуре,
равной температуре среды ( T = T ) . .
1
2
0
Определить максимальную работу, которую можно получить с помощью идеального газа
при охлаждении от температуры T до температуры среды T0 при постоянном
объеме. .
Определить максимальную работу, которую можно получить с помощью газа,
охлаждающегося от температуры T до температуры среды T и в то же время
расширяющегося так, что его давление меняется от P до давления среды P . .
0
0
Из большого теплоизолированного резервуара газ с температурой
T
вытекает в
пустой теплоизолированный сосуд, причем давление газа в резервуаре поддерживается
постоянным. Найти изменение температуры газа в этом процессе.
0
Найти CP − CV
Ваальса.
для неидеального газа, описываемого уравнением состояния вaн-дер-
Найти уравнение адиабатического процесса для ван-дер-ваальсовского газа с постоянной
теплоемкостью CV .
Найти изменение температуры при расширении в пустоту от объема V1
V2 для ван-дер-ваальсовского газа с постоянной теплоемкостью CV .
до объема
Для ван-дер-ваальсовского газа найти зависимость точки инверсии процесса ДжоуляТомсона от температуры.
Показать, что для адиабатического изменения абсолютной температуры T магнетика,
подчиняющегося закону Кюри M = C H T ( M − намагниченность, H − магнитное поле ,
С − константа), справедливо соотношение.
dT = C H d H ,
CH T
где CH − теплоемкость на единицу объема при постоянном магнитном поле.
Доказать, что к.п.д. тепловой машины
η
не может превышать
1 − (Tмин Tмакс ) ,
где
Tмак − максимальная температура тепловых резервуаров, от которых тепловая машина
получает тепло, а Т мин − минимальная температура резервуаров, которым она передает
тепло.
Вывести выражение для энтропии идеального газа для случая, когда удельная
теплоемкость при постоянном объеме CV = CV0 = const.
V1
Идеальный газ адиабатически расширяется из объема
в вакуум. Вычислить
возрастание энтропии, если в конечном состоянии газ имеет объем V2 , и показать, что
процесс расширения является необратимым. Стр. 99, решение стр.110.
Доказать, что отношение адиабатической сжимаемости к изотермической сжимаемости
равно отношению теплоемкости при постоянном объеме к теплоемкости при постоянном
давлении.
Доказать, что отношение адиабатической магнитной восприимчивости к изотермической
магнитной восприимчивости равно отношению теплоемкости при постоянной
намагниченности к теплоемкости при постоянном магнитном поле.
Доказать следующие соотношения:
а)
⎛
CP − CV = T ⎜⎜ ∂V
⎝ ∂T
⎞
⎟⎟
⎠P
⎛
⎜⎜
⎝
∂P
∂T
⎞
⎟⎟
⎠V
2
=aV
β
T
,
где
a= 1
V
⎛
б) ⎜
⎜
⎝
∂ CP
∂P
⎞
⎟
⎟
⎠T
⎛
⎜
⎜
⎝
∂V
∂T
= −T
⎛
⎜
⎜
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠P
β =− 1
V
∂2 V
∂T 2
⎞
⎟ ,
⎟
⎠P
⎛
⎜
⎜
⎝
∂ CV
∂V
⎞
⎟
⎟
⎠T
⎛
⎜
⎜
⎝
∂V
∂p
=T
⎛
⎜
⎜
⎝
⎞
⎟ ;
⎟
⎠T
∂2 P
∂T 2
⎞
⎟ .
⎟
⎠V
Теплота плавления льда при 1 атм и 00 C равна Δ H = 1436,3 кал/моль, а теплота
испарения при
1 атм
и
Считая, что средняя
1000 C Δ H = 9717,1 кал/моль.
0
теплоемкость воды при 1 атм между 0 и 100 C = 18,046 кал/град ⋅ моль, вычислить
разность между энтропией 1 моль льда при 1 атм и 00 C и энтропией 1 моль пара при
1 атм и 1000 C.
Пусть для некоторого твердого тела экспериментально найдено, что при температуре T
в интервале давлений PA ≤ P ≤ PB имеет место следующая зависимость:
⎛
⎜⎜
⎝
∂V
∂T
⎞
⎟⎟
⎠P
= a + b P + c P 2.
Насколько возрастет энтропия при сжатии тела от давления PA до PB
температуре T ? .
при постоянной
В эксперименте Джоуля-Томсона газ, заключенный в трубку с адиабатическими стенками,
протекает при стационарных условиях через пористую перегородку из области с высоким
давлением в область низкого давления, причем давления по обе стороны пористой
перегородки поддерживаются постоянными. В результате этого температуры по обе
стороны перегородки различны. Доказать, что в этом эксперименте энтальпия остается
CP
величину
постоянной, и выразить через
и
( ∂V ∂T )P
( ∂T ∂ P ) H ,
определяющую изменение температуры (коэффициент Джоуля-Томсона). Кроме того, для
тех случаев, когда в достаточно хорошем приближении уравнение состояния можно
записать в виде PV = R T + B ( T ) P , выразить коэффициент Джоуля-Томсона через B.
Гей-Люссак произвел измерения изменения температуры газа, испытывающего свободное
расширение в вакуум. Записать уравнение, определяющее изменение температуры dT
при свободном расширении газа от объема V до V + dV . .
Доказать, что у газа ван-дер-Ваальса теплоемкость при постоянном объеме зависит только
от температуры, и найти выражение для внутренней энергии и энтропии.
газ
подчиняется
уравнению
состояния
ван-дер-Ваальса
Пусть
2
( P + a V ) ( V − b ) = R T , а его молярная теплоемкость при постоянном объеме CV
постоянна и не зависит от температуры. Показать, что внутренняя энергия (на 1 моль)
такого газа U определяется выражением
a
+ const
V
U = CV T −
и что при адиабатическом квазистатическом изменении выполняется соотношение
γ −1
T (V −b )
где
γ = ( CV + R
)
CV .
= const,
⎛
⎜
⎝
или
P+
a
V2
γ
⎞
⎟
⎠
(V −b )
= const,
Кроме того, найти изменение температуры этого газа при его
свободном расширении в вакуум.
Вычислить коэффициент Джоуля-Томсона
(∂ T
∂ P )H
для разреженного газа ван-дер-
n b V ( 1)
Ваальса с точностью до второго порядка по
и
n a V R T ( 1) .
Кроме
при которой коэффициент Джоуля-Томсона
того, определить температуру
Tι ,
обращается в нуль, и выразить ее через критическую температуру TC = 8 a 27 R b.
δ ' Q,
полученное системой, не обменивающейся
Доказать, что количество тепла
веществом с окружающей средой, в случае изотермического процесса при постоянном
объеме связано с минимальной работой δ Wmin соотношением
а).
δ 'Q = −
T2
⎡
⎢
⎢
⎣
∂
∂T
⎛
⎜
⎜
⎝
∂Wmin
T
⎞
⎟
⎟
⎠
⎤
⎥ ,
⎥
⎦V
а в случае изотермического процесса при постоянном давлении соотношением
б)
δ 'Q = −
T2
⎡
⎢
⎢
⎣
∂
∂T
⎛
⎜
⎜
⎝
δ Wmin
T
⎞
⎟
⎟
⎠
⎤
⎥ .
⎥
⎦P
(Эти уравнения называются уравнениями Гиббса-Гельмгольца или уравнениями
Кельвина. Они используются для определения δ Wmin по измеряемой величине δ 'Q ).
Принимая, что для идеального газа: (∂U / ∂V )T = 0 , вывести ф-лу Майера: C P = CV + R .
1 моль идеального совершенного газа, CV = const , сжимают поршнем в k раз так, что
выделяемое им тепло все время равно изменению внутренней энергии. Начальная
температура T0 . Найти теплоемкость и уравнение процесса, и работу на сжатие.
Найти энтропию и внутреннюю энергию тела с P = P0 (1 + αT − βV ), CV = conct.
Записать уравнения политропических и адиабатических процессов в переменных (T,V),
(P,V). (T,S)
Найти к.п.д. цикла тепловой машины состоящего из изотермы, адиабаты и политропы, с
максимальной и минимальной температурами. T1 > T2 (два варианта). Сравнить с кпд
Карно.
Найти термическое уравнение состояния для газа с U=U(T), H=U+PV=H(T).
⎡
⎛ ∂H ⎞ ⎤⎛ ∂P ⎞
Доказать, что: C P − CV = ⎢V − ⎜
⎟ ⎥⎜
⎟ где энтальпия H = U + PV
⎝ ∂P ⎠ T ⎦⎝ ∂T ⎠V
⎣
Найти C P − CV при TÆ0, если CV → αT n ,
Определить термодинамические потенциалы в переменных P,H и T,F, и уравнение
состояния.
Найти уравнения состояния, если потенциал Гиббса: Φ (T , P ) = aT (b − ln T ) + RT ln P − TS 0
Каков вид уравнений состояний системы с потенциалом Гиббса Φ (T , P ) ≡ F + PV = 0 ?
Для ид-го газа PV = NkT = νRT , CV (T ) = Nf (T ) . Найти: S (T ,V , N ), F (T ,V , N ),U (T ,V , N ) ,
μ (T , n ) ≡ μ (T , P ), Φ (T , P, N ) = Nμ , где: n ≡ N V . , -- плотность числа частиц.
Доказать тождество CP = CV + T ( ∂P / ∂T )V ( ∂V / ∂T ) P .
TS ⎛ ∂V ⎞
⎛ ∂Φ ⎞
Доказать тождество: ⎜
⎟ =V −
⎜
⎟ .
CP ⎝ ∂T ⎠ P
⎝ ∂P ⎠ S
PCV ⎛ ∂T ⎞
⎛ ∂E ⎞
Доказать тождество: ⎜
⎟ =
⎜
⎟ .
T ⎝ ∂P ⎠V
⎝ ∂T ⎠ S
TS
⎛ ∂Φ ⎞
Доказать тождество: ⎜
.
⎟ =−
CP
⎝ ∂S ⎠ P
⎛ ∂F ⎞
⎛ ∂T ⎞
Доказать тождество: ⎜
⎟ = −P ⎜
⎟ .
⎝ ∂S ⎠T
⎝ ∂P ⎠V
⎡
P ⎛ ∂V ⎞ ⎤
⎛ ∂E ⎞
Доказать тождество: ⎜
⎟ = T ⎢1 −
⎜
⎟ ⎥.
⎝ ∂S ⎠ P
⎣ CP ⎝ ∂T ⎠ P ⎦
2
T ⎛ ∂V ⎞
⎛ ∂V ⎞ ⎛ ∂V ⎞
Доказать тождество: ⎜
⎟ −⎜
⎟ =−
⎜
⎟ .
CP ⎝ ∂T ⎠ P
⎝ ∂P ⎠T ⎝ ∂P ⎠ S
2
T ⎛ ∂P ⎞
⎛ ∂P ⎞ ⎛ ∂P ⎞
Доказать тождество: ⎜
⎟ −⎜
⎟ =−
⎜
⎟ .
CV ⎝ ∂T ⎠V
⎝ ∂V ⎠ S ⎝ ∂V ⎠T
Показать, что добавление к свободной энергии F члена T ⋅ f (V ) не приводит к изменению
энергии системы.
Показать, что добавление к термодинамическому потенциалу Гиббса Ф члена T ⋅ f ( P) не
приводит к изменению энтальпии системы.
Доказать справедливость уравнения Гиббса-Гельмгольца E = F − T ( ∂F / ∂T )V .
Доказать справедливость уравнения Гиббса-Гельмгольца H = Φ − T ( ∂Φ / ∂T ) P .
Доказать, что CV = T ( ∂S / ∂T )V .
Доказать, что CP = T ( ∂S / ∂T ) P .
Доказать тождество: ( ∂H / ∂P )T = V + T ( ∂S / ∂P )T .
Доказать тождество: ( ∂H / ∂P )T = V − T ( ∂V / ∂T ) P .
Найти работу по расширению идеального классического газа при изотермическом,
адиабатическом, изобарическом и изохорическом процессах.
Найти уравнение адиабаты газа Ван дер Вальса
Найти энтропию вещества, которое подчиняется уравнениям
⎛ ∂V ⎞
V = V0 [1 + α (T − T0 )] , ⎜
⎟ = 0 , c P = const .
⎝ ∂P ⎠T
Термическое и калорическое уравнения состояния идеального электронного газа связаны
2
3
соотношением PV = E , где E − внутренняя энергия. Найти для этого газа уравнение
адиабаты в переменных P, V и T , V .
Для некоторой системы потенциал Гиббса Φ = aT (1 − ln T ) + RT ln P − TS 0 , где a , R и S 0 −
константы. Найти термическое и калорическое уравнения состояния такой системы.
Для вещества, у которого внутренняя энергия не зависит от объема, показать, что
1) cV не зависит от V ,
2) V зависит только от отношения P / T ,
3) разность cP − cV зависит только от отношения P / T .
∂P ⎞ ⎡ ⎛ ∂V ⎞
⎛ ∂E ⎞ ⎤
⎟ ⎥.
⎟ +⎜
⎟ ⎢ P⎜
⎝ ∂T ⎠V ⎣ ⎝ ∂P ⎠T ⎝ ∂P ⎠T ⎦
Доказать соотношение cP − cV = −⎛⎜
∂W ⎞
⎛ ∂V ⎞
⎛ ∂E ⎞
Доказать, что ⎛⎜
⎟ .
⎟ −V = ⎜
⎟ + P⎜
⎝ ∂P ⎠T
⎝ ∂P ⎠T
⎝ ∂P ⎠T
Показать, что в случае газа, давление которого при постоянном объеме пропорционально
абсолютной температуре P = Tf (V ) , энтропия возрастает с увеличением объема.
∂S
∂S
Доказать неравенства ⎛⎜ ⎞⎟ < 0 , ⎛⎜ ⎞⎟ > 0 .
⎝ ∂P ⎠W
⎝ ∂V ⎠ E
Показать, что в случае квазистатического расширения однородного тела при постоянном
давлении энтропия тела возрастает или уменьшается в зависимости от того, положителен
или отрицателен коэффициент теплового расширения при постоянном давлении
αP =
1 ⎛ ∂V ⎞
⎜
⎟ .
V ⎝ ∂T ⎠ P
Найти зависимость теплоемкости cP от давления при заданной температуре.
∂V
∂E
Доказать, что ⎛⎜ ⎞⎟ = cP − P⎛⎜ ⎞⎟ .
⎝ ∂T ⎠ P
⎝ ∂T ⎠ P
Показать, что α P / γ T = PβV , где α P =
1 ⎛ ∂V ⎞
1 ⎛ ∂P ⎞
1 ⎛ ∂V ⎞
⎜
⎟ , βV = ⎜
⎟ , γT = − ⎜
⎟ .
V ⎝ ∂T ⎠ P
P ⎝ ∂T ⎠V
V ⎝ ∂P ⎠T
∂E
∂W ⎞
Для некоторого газа ⎛⎜ ⎞⎟ = 0 и ⎛⎜
⎟ = 0 . Показать, что уравнение состояния имеет вид
⎝ ∂V ⎠T
PV
= const .
T
⎝ ∂P ⎠T
При низких температурах по закону Дебая теплоемкость cV кристалла cV = αT 3 ( α зависит
от природы тела и его объема). Показать, что cP − cV ~ T 7 при T → 0 .
Найти количество теплоты, подведенное или отведенное
изобарическом, изохорическом и адиабатическом процессах.
при
изотермическом,
Найти уравнение адиабаты вещества, уравнения состояния которого имеют вид
P = P0 (1 + αT − βV ) , cV = const .
Для идеального газа внутренняя энергия E не зависит от объема V . Показать, что она не
зависит и от давления P .
Что можно сказать об уравнении состояния системы, для которой потенциал Гиббса Φ
равен нулю?
Найти уравнение адиабаты и уравнения состояния идеального газа, зная его энтальпию
W = cP P
γ −1 S − S 0
cP
γ
e
.
Для идеального газа cV = Nf (T ) . Найти свободную энергию, внутреннюю энергию,
энтропию и химический потенциал.
∂V ⎞ ⎡
⎛ ∂E ⎞ ⎤
⎟ ⎥.
⎟ ⎢P + ⎜
⎝ ∂T ⎠ P ⎣
⎝ ∂V ⎠T ⎦
Доказать соотношение cP − cV = ⎛⎜
∂T
∂P ⎤
1 ⎡
Доказать соотношение ⎜⎛ ⎟⎞ = ⎢ P − T ⎛⎜ ⎞⎟ ⎥ .
∂V
∂T
c
⎝
Выразить
⎠E
коэффициент
V
⎣
⎛ ∂T ⎞
V⎜
⎟ ,
⎝ ∂V ⎠ S
⎝
⎠V ⎦
определяющий
изменение
температуры
при
адиабатическом расширении, через величины, которые могут быть найдены из уравнения
состояния. Показать, что при адиабатическом расширении происходит понижение
температуры.
Показать, что в соответствии с третьим началом термодинамики коэффициенты
αP =
1
V
⎛ ∂V ⎞
⎜
⎟
⎝ ∂T ⎠ P
и βV =
1 ⎛ ∂P ⎞
⎜
⎟
P ⎝ ∂T ⎠V
стремятся к нулю при T → 0 .
Вычислить плотность энтропии поля излучения s , используя следующие соотношения
между плотностью внутренней энергии u , радиационным давлением P и абсолютной
1
3
температурой T : P = u , u = σT 4 ( σ = const ).
Найти зависимость теплоемкости cV от объема при заданной температуре.
∂W ⎞
⎛ ∂P ⎞
Доказать, что ⎛⎜
⎟ = cV + V ⎜
⎟ .
⎝ ∂T ⎠V
⎝ ∂T ⎠V
Пользуясь выражением для энтропии S − S 0 =
R
PV γ
ln
γ − 1 P0V0γ
, найти внутреннюю энергию
идеального классического газа а) как функцию температуры, б) как функцию «своих»
переменных S и V , в) свободную энергию в «своих» переменных T и V .
Показать, что γ S / γ T = cP / cV .
Показать, что γ T = γ S +
TV 2
αP .
cP