РАСЧЕТ БАЛКИ ПРИ ПЛОСКОМ ИЗГИБЕ

М.Н.Серазутдинов, Ф.С. Хайруллин
РАСЧЕТ БАЛКИ ПРИ
ПЛОСКОМ ИЗГИБЕ
Учебное пособие
Казань 2009
39
УДК 539.3
Расчет балки при плоском изгибе: Учебное пособие /
М.Н.Серазутдинов, Ф.С. Хайруллин; Казан. гос. технол. ун-т. Казань, 2009.
Учебное пособие содержит сведения по дисциплине «Сопротивление материалов», необходимые для выполнения самостоятельной работы студентами. Рассмотрены вопросы построения
эпюр внутренних силовых факторов, изложены теоретические
основы расчетов балки при плоском изгибе, вала при изгибе с
кручением, статически неопределимых систем, стержневых систем на изгиб и устойчивость. Представлены задания к расчетным работам. Приведены решения задач.
Предназначены для студентов всех форм обучения механических
специальностей.
Подготовлены на кафедре теоретической механики и сопротивления материалов КГТУ.
Печатаются по решению редакционно-издательского совета
Казанского государственного технологического университета
Рецензенты: д-р физ.-мат.наук, проф. Каюмов Р.А.
д-р техн. наук, проф. Шамсутдинов Ф.А.
ISBN 0-0000-0
© Казанский государственный
технологический университет, 2009 г.
40
2. РАСЧЕТ БАЛКИ ПРИ ПЛОСКОМ ИЗГИБЕ
2.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Полагаем, что изгиб происходит в плоскости Oyz, ось Оz направлена вдоль продольной оси стержня, а ось Ох перпендикулярна плоскости Oyz. В этом случае, при изгибе в поперечных сечениях балки возникают изгибающий момент М х и поперечная сила Qy . Будем использовать обозначения M  M x , Q Q y .
Нормальное  и касательное  напряжения в поперечных сечениях балки определяются по формулам:
М
y,
(2.1)
J
Q S x* ( y )
.
(2.2)

J b( y )
В формулах (2.1), (2.2) J  J x – осевой момент инерции попереч
ного сечения; S *x ( y ) – статический момент отсеченной части относительно оси Ох; b(y) – ширина сечения; y – координата точки в которой определяется напряжение.
Расчет балки на прочность проводится по максимальным нормальным  max и касательным max напряжениям, а также с использованием теории прочности. В дальнейшем будем использовать соотношения
третьей теории прочности.
Полагаем, что материал балки одинаково сопротивляется растягивающим и сжимающим напряжениям.
Условия прочности по максимальным напряжениям представляются следующим образом:
M max
M max
y max 
  ,
J
W
Qmax  S *x  y  

   ,

J  b(y)  max
 max 
max
41
(2.3)
(2.4)
где  ,  – допускаемые значения напряжений, W  J / ymax – осевой момент сопротивления сечения.
Условия третьей теории прочности:
 III   2  4 2   .
(2.5)
Расчет на прочность балки с поперечным сечением в виде двутавра
проводится в следующей последовательности. Из условий прочности
по максимальным нормальным напряжениям (2.3) находится номер
двутавра, для которого проверяется выполнение условий (2.4) и (2.5).
Если одно из них нарушается, то размеры поперечного сечения балки
(номер двутавра) следует увеличить до величины, при которой выполняются все условия прочности.
При вычислении левых частей неравенств (2.3) – (2.5) следует использовать значения М и Q, возникающие в так называемых опасных
(наиболее напряженных) сечениях.
Для определения опасных сечений строятся эпюры Q и М.
При расчете по максимальным нормальным напряжениям  max
опасным является сечение, в котором изгибающий момент М принимает наибольшее значение.
При расчете по максимальным касательным напряжениям max
опасным является сечение, в котором поперечная сила Q принимает
наибольшее значение.
В случае использования соотношения (2.5) опасным является сечение, в котором эквивалентное напряжение  III имеет наибольшее значение. Если М и Q принимают максимальные значения в одном сечении, то в этом же сечении максимальным будет и  III . Если же наибольшие значения М и Q возникают в различных сечениях, то выполнение условия (2.5), следует проверить для сечений, в которых М и Q
значительны по величине.
Напряжения  и  изменяются по высоте сечения. Условия (2.3),
(2.4) записываются в соответствующих точках максимума  и  . Выполнение неравенства (2.5) следует проверить для точек, в которых 
и  значительны по величине. Для проведения этой проверки в опасном сечении балки строят эпюры  и  .
42
При расчете балки в виде двутавра в условие (2.5) подставляются
значения  и  для точки перехода от полки к стенке двутавра, а
также в центре сечения при у = 0.
Для балок постоянного сечения можно записать уравнение, выражающее зависимость между прогибом балки  и действующими на
нее внешними силами и моментами. Это уравнение называется универсальным уравнением упругой линии балки. Аналогичное уравнение можно записать и для углов поворота балки  .
Универсальное уравнение упругой линии балки получается с использованием дифференциального уравнения
d 2
M
.

2
dz
EJ
(2.6)
Здесь Е – модуль упругости материала балки.
Выражение для изгибающего момента М в этом случае удобно записывать с использованием обобщенной функции z - z0  n , которая
определяется следующим образом:
 z - z0  n, если z - z0  0;
 z - z0   
если z - z0  0.
0
n

n  0,1,2,...
(2.7)
В соответствии с выражением (2.7) получается, что обобщенная
функция является степенной функцией, если значение ее аргументаz - z0 положительное, и равна нулю, если z - z0  0 . Индекс + в выражении для обобщенной функции отражает эту особенность.
Отметим, что операции дифференцирования и интегрирования обобщенной функции (2.7) выполняются так же, как и для
обычной функции, а  z - z0  0  0 , если z - z0  0 .
Выражение для изгибающего момента, возникающего в балке при
действии сосредоточенного момента M 0 (Рис.2.1а), с использованием
функции (2.7), имеет вид
0
M   M 0 z  a  .
43
(2.8)
y
y
M0
О
F
A
а
z О
B
z
B
b
а)
С
б)
y
y
q
z
О
c
С
q
О
D
С
c
D
z
Е
d
в)
г)
y
q
z
О
С
c
Е
D
d
д)
Рис. 2.1
С учетом того, что число в нулевой степени равно 1 и, в соответст0
вии с (7)  z  a   0 при z  a  0 , получаем
 z - a  0  1,
z - a  0  
0
если
z  a;
если
z  a.
Следовательно, как и должно быть, на участке ОА M  0 , а на АВ
– M   M 0 . Знак минус в выражении (2.8) поставлен в соответствии
с принятым правилом знаков для изгибающего момента.
44
Аналогично, изгибающий момент от сосредоточенной силы F
(рис.2.1б)
M  F  z  b  .
На участке ОВ (рис.2.1,б) z  b  0 , поэтому  z  b   0 M  0 , а
следовательно  z  b   z  b , M  F  z  b  .
Для балки, загруженной распределенной нагрузкой на участке СD,
который начинается при z  c и продолжается до конца балки
(рис.2.1в)
M q
( z  c) 2
.
2
(2.9)
В случае, когда участок распределенной нагрузки СD не распространяется до конца балки (рис.2.1г), а заканчивается в точке D, поступают следующим образом. Продолжают нагрузку q на участке DЕ
и прикладывают такую же нагрузку q противоположного знака
(рис.2.1д). В результате получается, что на балку действуют нагрузки
q , приложенные по участкам, продолжающимся до конца балки. Следовательно, при записи М можно использовать выражения вида (2.9).
Для балки, показанной на рис.2.1г и 2.1д, с учетом (2.9), получаем
M q
( z  c)2
( z  d )2
q
.
2
2
(2.10)
Обратим внимание на особенности записи выражения для изгибающего момента, при наличии распределенной нагрузки q , действующей на некотором участке балки c  z  d . В этом случае
M  q
 z  c  2
2
q
 z  d  2
2
.
Здесь c – координата начала участка действия распределенной нагрузки, d – координата конца участка. Знак первого слагаемого выбирается в соответствии с принятым правилом знаков для изгибающего момента, который создается действием нагрузки q . Знак второго
( z  c) 2
слагаемого – противоположен знаку первого. Так, член q
2
45
входит в уравнение (2.10) со знаком « + », т.к. в сечениях балки при
z  c нагрузка q создает положительный момент – растягивает часть
стержня (верхнюю) с положительной координатой y .
y
F1
M0
q
B
A
а
z
F2
b
c
d
Рис. 2.2
Для балки АВ (рис. 2.2), загруженной сосредоточенными силами
F1 , F2 , моментом М 0 и распределенной нагрузкой q выражение для
изгибающего момента М можно записать в следующем виде:
M  F1 ( z  0)   F2 ( z  b)   M 0 ( z  d ) 0 
q
(2.11)
( z  a) 2
( z  c) 2
q
.
2
2
Подставляя выражение (2.11) в уравнение (2.6), получим
EJ
d 2
  F1 ( z  0)   F2 ( z  b)   M 0 ( z  d ) 0 
2
dz
( z  a) 2
( z  c) 2
q
q
.
2
2
Интегрируя это уравнение, находим
2
2
d
 z  0 
 z  b 
 E J0  F1
 F2

dz
2
2
 z  a 3
 z  c 3
 M 0  z  d   q
q
,
6
6
EJ
46
E J  E J0  E J0 z  F1
 M0
 z  d  2
2
q
 z  a  4
24
 z  0  3
6
q
 F2
 z  c  4
24
 z  b  3
6

.
Здесь EJ0 , EJ0 – постоянные интегрирования, для нахождения
которых используются граничные условия, зависящие от условий закрепления балки.
Если в некотором сечении балки с координатой z  z1 имеется
шарнирная опора, то в этом сечении прогиб балки должен быть равен
нулю и граничное условие имеет вид:
 z1   0 .
Если в некотором сечении z  z 2 балка защемлена (заделана), то в
этом месте должны быть равны нулю прогиб и угол поворота:
d z2 
0.
dz
 z2   0 ,
2.2. ПРИМЕР РАСЧЕТА
Для балки с постоянным поперечным сечением в виде двутавра
(рис. 2.3) произвести следующие расчеты:
1) Из условия прочности по максимальным нормальным напряжениям подобрать размеры поперечного сечения балки. Проверить выполнение условий прочности по максимальным касательным напряжениям и условия третьей теории прочности.
2) Записать универсальное уравнение упругой линии балки и уравнение для углов поворота балки. Построить эпюры прогибов и углов
поворота.
3) Произвести расчет на жесткость по максимальным прогибам в
пролете и на консольной части балки.
Используем следующие исходные данные: l1 = 2 м, l2 = 4 м, l3 = 2 м,
q1 = 50 кН/м, q2 = 30 кН/м, М0 = 40 кН·м, F = 30 кН, Е = 2·105 МПа,
 =160 МПа,  = 100 МПа.
47
Допускаемые значения прогиба балки в пролете   lпр / 300 , на
консоли   lк / 150 . Здесь lпр , lк – соответственно, длины пролета
и консольной части балки.
1. Определение опорных реакций. Опорные реакции для рассматриваемого примера уже вычислялись в первой главе. Получили RB  70 кН, RC  60 кН.
Используя описаные правила записи изгибающего момента с применением обобщенной функции (2.7), получим
z2
( z  l1 ) 2
( z  l1 ) 2
( z  l1  l2 ) 2
M   q1  q1
 q2
 q2

(2.12)
2
2
2
2
 RB ( z  l1 )   F ( z  l1  l2 / 2)   RC ( z  l1  l2 )  .
Слагаемое M 0  z  l1  l2  l3  0 , учитывающее наличие сосредоточенного момента, в уравнение (2.12) не введено, т.к. по определению
обобщенной функции  z  l1  l2  l3  2  0 для любого z  l1  l2  l3 ,
т.е. оно равно нулю по всей длине балки.
Для определения поперечной силы воспользуемся дифференциальной зависимостью между изгибающим моментом и поперечной силой
dM
 Q . Дифференцируя выражение для момента (2.12), находим
dz
Q   q1z  q1  z  l1   q2  z  l1   q2  z  l1  l2  
0
l
0
0
 RB  z  l1   F1 z  l1  2   RC  z  l1  l2  .
2 

(2.13)
2. Построение эпюр изгибающего момента М и поперечной силы Q.
Один из возможных способов записи выражений и вычисления
значений Q и М представлен в первой главе. Можно также при построении эпюр Q и М воспользоваться выражениями (2.12), (2.13).
При этом для вычисления значений Q и М балка также разбивается на
четыре участка – I, II, III, IV (рис.2.3).
Участок I,
0  z  2 м.
48
На этом участке z  l1 , поэтому, в соответствии с определением
обобщенной функции (7),
k
l
 z  l   0,  z  l1  2   0,  z  l1  l2 k  0,
2 

k
1 
при
k  0,1.
Следовательно, часть слагаемых в выражениях (2.12), (2.13) обратится
в нуль и, в результате, получаем
Q  q1 z ,
При
z 0
z  1м
z  2м
M  q1
z2
2
.
Q = 0,
М = 0;
М = – 25 кН·м;
Q = – 100 кН,
М = – 100 кН·м.
Участок II,
2 м  z  4 м.
Как видно из рис.2.3, на этом участке z  l1  0,5l2 , поэтому
k
 z  l  l2   0,  z  l  l k  0,


1
1
2 
2 

при
k  0,1 ,
из формул (2.12), (2.13)
Q  q1z  q1  z  l1   q2  z  l1   RB  q1l1  q2  z  l1   RB ,
( z  l1 )2
( z  l1 )2
z2
M   q1  q1
 q2
 RB ( z  l1 ) 
2
2
2
( z  l1 )2
l
  q1l1 z  1   q2
 RB ( z  l1 ).
2
2

При z  2 м
Q = – 30 кН,
М = – 100 кН·м;
z 3 м
М = – 115 кН·м;
z4 м
Q = – 30 кН,
М = – 100 кН·м.
Из полученных числовых данных видно, что изгибающий момент
М принимает на данном участке экстремальное значение. Определим
максимальное значение М и сечение, в котором он возникает.
49
y
RB
RC
q2
B
A
z
M0
C
q1
D
z
F
z
l1
l2/2
l2/2
I
II
III
Q,
кН
30
l3
IV
60
30
100
М,
кНм
40
100
115
100
Рис. 2.3
Из условия экстремума М
dM
 0,
dz
имеем
 q1l1  RB  q2 ( z  l1 )  0 ,
*
Отсюда, обозначая z через z , получим
z*  q1l1  RB  q2l1  / q2  3 м.
Таким образом, в сечении z  3 м Q  0 , а изгибающий момент
принимает экстремальное значение
50
z*  l1  2  R z*  l   115 кН·м.
l 

M max   q1l1 z *  1   q2
B
1
2
2

Участок III,
4 м  z  6 м.
На этом участке
k
z  l1  l2 ,  z  l1  l2   0, при k  0,1 ,
Q   q1z  q1 z  l1   q2  z  l1   q2  z  l1  l2  
l
 RB  z  l1   F1 z  l1  2 ,
2

2
2
( z  l1 )
( z  l1 ) 2
( z  l1  l2 ) 2
z
M   q1  q1
 q2
 q2

2
2
2
2
 RB ( z  l1 )  F ( z  l1  l2 / 2) .
При z  4 м
Q = – 60 кН,
М = – 100 кН·м;
z 5 м
М = – 85 кН·м;
z6 м
Q = 0,
М = – 40 кН·м.
6 м  z  8 м.
Q  0,
M  – 40 кН·м.
На основе полученных числовых результатов строятся эпюры Q и
М. (Рис. 2.3).
3. Подбор сечений балки из условия прочности по максимальным нормальным напряжениям.
Как видно из эпюры М (рис. 2.3), опасным сечением при расчете по
максимальным нормальным напряжениям является сечение при
z  3 м, в котором возникает наибольшее значение изгибающего моУчасток IV,
мента М  115 кН·м.
Из условия прочности (2.3) определяем момент сопротивления сечения балки.
M 115кН  м
115 103 Н  м
W


 719 10 6  719 см3 .
6
2
 160МПа 160 10 Н / см
51
В соответствии с таблицей сортамента, найденному значению W
соответствует двутавр № 36 – для которого W  Wx  743 см3,
h = 36 см, b = 14,5 см, d = 0,75 см, t = 1,23 см, h1 = h – 2 t = 33,54 см, Jx
= 13380 см4, S x  423 см3.
4. Проверка прочности двутавра по максимальному касательному напряжению и с использованием третьей теории прочности.
В сечении, проходящем через точку В, возникает наибольшая поперечная сила Q = 100 кН = 100·103 Н, поэтому это сечение будет
опасным сечением при расчете по максимальным касательным напряжениям.
В двутавре максимальные касательные напряжения возникают в
центре сечения, при y  0 . В этой точке S *x  S x  423 см3,
b y   d  0,75 см. По формуле (4) находим
Qmax S x 100  103 H  423 см3
Н


 4,22 103 2  42,2 МПа.
4
J
d
13380 см  0,75 см
см
Получили, что max  100 МПа, следовательно, условие прочности
max 
(2.4) для касательных напряжений выполняется.
Проверку прочности двутавра по третьей теории прочности проведем также для сечения в точке В, так как здесь Q  Qmax , а изгибающий момент принимает сравнительно большое значение
М = 100 кН·м = 100·103 Н·см.
Построим эпюры напряжений  и  . В соответствии с формулой
(2.1), получаем:
h
100 105 Н  см 36 см
, 

 134,5 МПа ,
2
13380 см 4
2
h
y  1 ,   125,3 МПа ,
2
y  0,
  0.
при y 
52
Ширина двутавра изменяется по высоте сечения, поэтому для по-


строения эпюры τ рассмотрим два участка – полку  y 
h1 
 и стенку
2
h 

 0  y  1  двутавра.
2

h b
2 2

b  h2
S *x    ydydx    y 2  .
2 4
y b


h 

Для полки  y  1  , b y   b ,
2

2
h 

Для стенки  0  y  1  , b y   d ,
2

h b
2 2
h1 d
2 2

b  h2 h2  d  h2
S *x    ydydx    ydydx    1    1  y 2  .
2 4
4  2 4
h1 b
y d



2
2
2
Учитывая, что статический момент отсеченной части S *x является
функцией симметричной относительно оси Оу, получаем следующие
результаты.
Для полки двутавра y 
h1
,
2

Q
2J y
 h2

  y 2  ,
 4


M
y.
J
h
,
τ = 0;
  135,5 МПа.
2
h
При y   1 , τ = – 16 МПа.
2

h
Q  h 2  h12 b h12

Для стенки двутавра y  1 ,  

 y 2  ,
2
2J y  4 d 4

При y  

M
y.
J
53
h1
,
τ = – 30,92 МПа;
  125,3 МПа.
2
При y  0 ,
τ = – 41,44 МПа,
0.
Эпюры  и  приведены на рис. 2.4.
При y  
y
σ, МПа
135.5
τ, МПа
t
125.3
x
h h1
41.44
d
30.92
b
Рис. 2.4
Проверку выполнения условия теории прочности проведем для
h1
, так как в этой точке  и  значитель2
ны по величине   125,3 МПа,  = – 30,92 МПа.
Воспользовавшись соотношениями третьей теории прочности
(5), находим
точки с координатой y 
 2  4 2  125,32  4  30,922  139,7МПа   .
Условие третьей теории прочности выполняется.
5. Запись универсального уравнения упругой линии балки и
уравнения для углов поворота балки.
в виде (2.12).
Дифференциальное уравнение изгиба балки (2.6) с учетом выражения для изгибающего момента (2.12) имеет вид:
d 2
z2
( z  l1 )2
( z  l1 ) 2
( z  l1  l2 )2

q

q

q

q

1
1
2
2
(2.14)
dx 2
2
2
2
2
 RB ( z  l1 )  F ( z  l1  l2 / 2)   RC ( z  l1  l2 ) .
EJ
Интегрируя уравнение (2.14), находим соотношение для углов поворота и прогибов балки:
54
d
z3
( z  l1 )3
( z  l1 )3
 EJ0  q1  q1
 q2

dz
3
6
6
( z  l1  l2 )3
( z  l1 ) 2
 q2
 RB

(2.15)
6
2
( z  l1  l2 / 2)2
( z  l1  l2 ) 2
F
 RC
.
2
2
z4
( z  l1 )4
EJ  EJ0  EJ0 z  q1  q1

12
24
( z  l1 )4
( z  l1  l2 )4
( z  l1 )3
 q2
 q2
 RB

(2.16)
24
24
6
( z  l1  l2 / 2)3
( z  l1  l2 )3
F
 RC
.
6
6
Постоянные EJ0 , EJ0 определяются из граничных условий. В
EJ
данном случае балка шарнирно оперта в точках В и С, поэтому граничные условия записываются для шарнирных опор при z  l1 и
z  l1  l2 :
(l1 )  0 ,
(l1  l2 )  0 .
(2.17)
Подставляя выражение для прогиба (2.16) в условия (2.17), получим систему уравнений
l14
0,
24
(l  l ) 4
l4
EJ0  EJ0 (l1  l2 )  q1 1 2  q1 2 
24
24
4
l
l3
l3
 q2 2  RB 2  F 2  0 .
24
6
48
EJ0  EJ0l1  q1
(2.18)
Обратим внимание на то, что в первое уравнение системы (2.18) не
входят слагаемые, содержащие q2, RB, F, RC. Это обусловлено тем, что
в соотношении (2.16) используются обобщенные функции вида (2.7),
которые будут равны нулю, если значение выражения в скобках
55
меньше или равно нулю. Поэтому при z  l1 обращаются в нуль множители в слагаемых содержащих q2, RB, F, RC.
Подставляя в (2.18) значение параметров, находим
EJ0  2 EJ0 м  3,33 кН  м 3 ,
EJ0  6 EJ0 м  1100 кН  м3 .
(2.19)
Решение системы уравнений (2.19) –
EJ0  533 кН  м 3 ,
EJ0  283 кН  м 2 .
Для построения эпюр прогибов и углов поворота вычисляем значения ЕJ и EJ
d
 ЕJ в различных точках балки. Отметим, что при
dx
вычислениях следует обратить внимание на то, что в соотношениях
(2.16), (2.15) используются не обычные, а обобщенные функции вида
(2.7).
Так, например, при z  1 м
1 кН 4
м 
12 м
(1)4 кН 4
(1)4 кН 4
(5) 4 кН 4
 50 
 м  30 
 м  30 
м 
24 м
24 м
24 м
(1)3
(3)3
(5)3
3
3
 70 
кН  м  30 
кН  м  60 
кН  м3 
6
6
6
1
кН
533 кН  м3  283  1 кН  м3  50 
 м 4  252 кН  м3.
12 м
EJ  533 кН  м3  283  1 кН  м3  50 
Полученные числовые результаты представлены в табл. 2.1. С использованием этих данных построены графики изменения по длине
балки величин ЕJ , ЕJ (рис. 2.5).
z, м
EJ ,
кН·м3
ЕJ ,
кН·м2
Т а б л и ц а 2.1
7
8
0
1
2
3
4
5
6
533
252
0
-162
-212
-16
0
159
382
-283
-275
-217
-106
37
99
164
203
244
56
6. Расчет балки на жесткость. При определении наиболь-
ших значений прогибов в пролете и на консолях балки используем график для ЕJ .
В пролете балки ВС
l2
 1,3 см.
300
Учитывая, что на этом участке ЕJmax  212 кН  м 3 (рис. 2.5),
 
получаем
max 
212
212 103 Н 106 см 3
кН  м 3 

EJ
2 105 МПа 13380 см 4
212 109 Н  см 3
 0,82 см  1,3 см.
2 105 МПа 10 2 Н / см 2 13380 см 4
Условие жесткости выполняется, max   .

На консоли АВ
l1
 1,3 см.
150
Как видно из рис. 2.5, на консоли АВ ЕJmax  533 кН  м 3 , следо-
 
вательно
533
кН  м 3 
EJ
533 109 Н  см 3

 2 см  1,3 см.
2 10 7 Н / см 2 13380 см 4
Условие жесткости не выполняется max   . Чтобы удовлетвоmax 
рить условию жесткости балки необходимо увеличить номер двутавра. Берем двутавр № 45, для которого J = 27450 см3,
max 
533 кН  м 3
 0,97 см  1,3 см.
2 105 МПа  27450 см 3
Условие жесткости выполняется.
57
y
M0
q2
B
A
C
D
z
q1
F
533
EJυ,
кНм3
382
212
244
EJθ,
кНм2
283
Рис. 2.5
На консоли СD
l3
 1,3 см,
ЕJmax  382 кН  м 3 ,
150
382 кН  м3
max 
 0,7 см  1,3 см.
2 105 МПа  27450 см 3
 
Условие жесткости выполняется.
Таким образом, в рассмотренном случае условиям прочности и жесткости удовлетворяет двутавр № 45.
58
2.3. ЗАДАНИЕ К РАСЧЕТНО-ПРОЕКТИРОВОЧНОЙ РАБОТЕ
«РАСЧЕТ БАЛКИ ПРИ ПЛОСКОМ ИЗГИБЕ»
Балка с поперечным сечением в виде двутавра находится под действием заданных внешних сил. Требуется выполнить расчеты на
прочность и жесткость.
Исходные данные представлены в табл. 2.2, расчетные схемы – на
рис. 2.6.
Исходные данные и расчетные схемы выбираются в соответствии с
шифром и вариантом задания.
Требуется сделать следующие расчеты:
1) Из условия прочности по максимальным нормальным напряжениям подобрать размеры поперечного сечения балки. Проверить выполнение условия прочности по максимальным касательным напряжениям и условия третьей теории прочности.
2) Записать универсальное уравнение упругой линии балки и уравнение для углов поворота балки. Построить эпюры погибов и углов
поворота.
3) Произвести расчет на жесткость по максимальным прогибам в
полете и на консольной части балки.
Допускаемые значения прогиба балки в пролете   lпр / 300 , на
консоли   lк / 150 , где lпр , lк – соответственно, длина пролета и
консольной части балки.
Т а б л и ц а 2.2
№
вар-та
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
F,
кН
9
33
18
24
6
8
2
22
4
38
q,
кН/м
12
3
42
36
21
10
16
36
30
26
59
M0,
кН·м
15
30
27
45
39
20
28
12
24
44
а,
м
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2
1
F
q
а
а
3
q
2
М0
F
а
а
F
а
а
4
М0
М0
q
М0
q
1
а
5
а
М0
а
7
q
а
а
F
а
а
а
а
10
М0
q
F
а
Рис. 2.6
60
q
а
F
8
M0
а
F
М0
а
F
а
а
6
F
q
9
а
а
q
а
а
М0
q
а
а
а
М0
а
а
11
М0
а
13
F
F
q
а
а
17
19
а
М0
q
а
а
а
q
F
а
а
q
q
а
а
а
а
16
М0
М0 q
а
а
а
а
F
М0
q
14
1 М0
M0
а
15
F
а
а
q
а
12
q
18
F
F
а
М0
q
а
20
F
а
Рис. 2.6 (продолжение)
61
а
F
а
а
q
а
М0
а
q
а
21
F
а
23
22
М0
q
а
а
а
М0
24
q
а
а
а
F
q
М0
q
F
q
а
а
q
а
а
а
26
25
F q
а
М0
а
а
q
М0
q
а
27
М0
q
а
а
28
F
а
а
а
а
29
30
М0
а
а
Fа
Рис. 2.6 (продолжение)
62
q
а
а
М0
F
q
а
М0
F
q
а
а
2.4. ПРИЛОЖЕНИЕ
Сортамент прокатной стали в соответствии с ГОСТ 8239-72, 8240-72, 8510-72
Двутавры
у
d
x
х
h
h
b
d
t
1
2
3
4
5
6
10
12
14
100
120
140
55
64
73
4.5
4.8
4.9
7.2
7.3
7.5
12.0
14.7
17.4
Масса 1м,
кг
№ балки
Размеры, мм
Площадь
сечения, см2
t
(b-d)/4
7
9.46
11.50
13.70
b
y
Справочные величины для осей
x–x
y –y
Ix,
см4
8
198
350
572
63
W x,
см3
i x,
см
Sx ,
см3
9
10
11
39.7
58.4
81.7
4.06
4.88
5.73
23.0
33.7
46.8
Iy,
см4
12
17.9
27.9
41.9
W y,
см3
Iy,
см
13
14
6.49
8.72
11.50
1.22
1.38
1.55
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
16
18
18а
20
20а
22
22а
24
24а
27
27а
30
30а
33
36
40
45
50
55
60
160
180
180
200
200
220
220
240
240
270
270
300
300
330
360
400
450
500
550
600
81
90
100
100
110
110
120
115
125
125
135
135
145
140
145
155
160
170
180
190
5.0
5.1
5.1
5.2
5.2
5.4
5.4
5.6
5.6
6.0
6.0
6.5
6.5
7.0
7.5
8.3
9.0
10.0
11.0
12.0
7.8
8.1
8.3
8.4
8.6
8.7
8.9
9.5
9.8
9.8
10.2
10.2
10.7
11.2
12.3
13.0
14.2
15.2
16.5
17.8
20.2
23.4
25.4
26.8
28.9
30.6
32.8
34.8
37.5
40.2
43.2
46.5
49.9
53.8
61.9
72.6
84.7
100.0
118.0
138.0
15.90
18.40
19.90
21.00
22.70
24.00
25.80
27.30
29.40
31.50
33.90
36.50
39.20
42.20
48.60
57.00
66.50
78.50
92.60
108.00
873
1290
1430
1840
2030
2550
2790
3460
3800
5010
5500
7080
7780
9840
13380
19062
27696
39727
55962
76806
109.0
143.0
159.0
184.0
203.0
232.0
254.0
289.0
317.0
371.0
407.0
472.0
518.0
597.0
743.0
953.0
1231.0
1589.0
2035.0
2560.0
6.57
7.42
7.51
8.28
8.37
9.13
9.22
9.97
10.10
11.20
11.30
12.30
12.50
13.50
14.70
16.20
18.10
19.90
21.80
23.60
62.3
81.4
89.8
104.0
114.0
131.0
143.0
163.0
178.0
210.0
229.0
268.0
292.0
339.0
423.0
545.0
708.0
919.0
1181.0
1491.0
58.6
82.6
114.0
115.0
155.0
157.0
206.0
198.0
260.0
260.0
337.0
337.0
436.0
419.0
516.0
667.0
808.0
1043.0
1356.0
1725.0
14.50
18.40
22.80
23.10
28.20
28.60
34.30
34.50
41.60
41.50
50.00
49.90
60.10
59.90
71.10
86.10
101.00
123.00
151.00
182.00
1.70
1.88
2.12
2.07
2.32
2.27
2.50
2.37
2.63
2.54
2.80
2.69
2.95
2.79
2.89
3.03
3.09
3.23
3.39
3.54
64