Моделирование движения многофазной жидкости в

Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«Московский физико-технический институт (государственный университет)»
Факультет аэрофизики и космических исследований
Кафедра вычислительной математики
На правах рукописи
УДК 519.688
Голов Андрей Владимирович
Моделирование движения многофазной жидкости в программном
комплексе FlowVision
Магистерская диссертация
Направление подготовки 010900 Прикладные математика и физика
(шифр, название)
Магистерская программа 010926 Математическое и экспериментальное моделирование
процессов в механике, гидродинамике и биомеханике
(шифр, название)
Заведующий кафедрой
Холодов А. С.
/ _________________ /
Научный руководитель
Аксенов А. А
/ ________________ /
Студент
Голов А. В.
/ ________________ /
г. Москва 2013
Содержание
Содержание ..................................................................................................................................... 2
Введение .......................................................................................................................................... 4
1 Метод расчета движения жидкости со свободными поверхностями ................................. 9
1.1 Краткое описание программного комплекса FlowVision .............................................. 9
1.1.1 Моделирование течения жидкости ............................................................................ 9
1.1.2 Численные методы ..................................................................................................... 10
1.1.3 Расчетная сетка ........................................................................................................... 13
1.2 Метод VOF для произвольного количества компонент .............................................. 15
1.3 Алгоритм решения уравнений несмешивающейся многофазной жидкости ........... 16
1.4 Маркировка ячеек .............................................................................................................. 16
1.5 Аппроксимация формы ячейки ....................................................................................... 18
1.6 Реконструкция свободной поверхности ......................................................................... 19
1.7 Вычисление потоков через стороны ячейки.................................................................. 23
1.8 Скошенная схема для переноса VOF .............................................................................. 25
2 Результаты .................................................................................................................................. 28
2.1 Обрушение водяного столба ............................................................................................ 28
2.1.1 Постановка задачи ...................................................................................................... 28
2.1.2 Расчетная сетка ........................................................................................................... 30
2.1.3 Результаты моделирования ....................................................................................... 30
2.2 Гравитационная волна в жидкости ................................................................................. 32
2.2.1 Постановка задачи ...................................................................................................... 32
2.2.2 Расчетная сетка ........................................................................................................... 33
2.2.3 Теория ........................................................................................................................... 33
2.2.4 Результаты моделирования ....................................................................................... 34
2.3 Движение струи в поле силы тяжести ............................................................................ 35
2.3.1 Постановка задачи ...................................................................................................... 35
2.3.2 Расчетная сетка ........................................................................................................... 36
2.3.3 Теория ........................................................................................................................... 36
2.3.4 Результаты моделирования ....................................................................................... 36
2.4 Вращающийся бак, частично заполненный жидкостью.............................................. 37
2.4.1 Постановка задачи ...................................................................................................... 37
2
2.4.2 Расчетная сетка ........................................................................................................... 38
2.4.3 Теория ........................................................................................................................... 38
2.4.4 Результаты моделирования ....................................................................................... 39
2.5 Водослив через плотину ................................................................................................... 40
2.5.1 Постановка задачи ...................................................................................................... 40
2.5.2 Расчетная сетка ........................................................................................................... 41
2.5.3 Теория ........................................................................................................................... 41
2.5.4 Результаты моделирования ....................................................................................... 41
2.6 Удар струи жидкости о плоскую стенку ........................................................................ 42
2.6.1 Постановка задачи ...................................................................................................... 42
2.6.2 Расчетная сетка ........................................................................................................... 43
2.6.3 Теория ........................................................................................................................... 43
2.6.4 Результаты моделирования ....................................................................................... 43
2.7 Ящик, плавающий на поверхности жидкости ............................................................... 44
2.7.1 Постановка задачи ...................................................................................................... 44
2.7.2 Расчетная сетка ........................................................................................................... 45
2.7.3 Теория ........................................................................................................................... 46
2.7.4 Результаты моделирования ....................................................................................... 46
2.8 Колебание бака, частично заполненного жидкостью .................................................. 47
2.8.1 Постановка задачи ...................................................................................................... 47
2.8.2 Расчетная сетка ........................................................................................................... 48
2.8.3 Результаты моделирования ....................................................................................... 49
2.9 Обтекание судна................................................................................................................. 50
2.9.1 Постановка задачи ...................................................................................................... 50
2.9.2 Расчетная сетка ........................................................................................................... 51
2.9.3 Результаты моделирования ....................................................................................... 51
Заключение .................................................................................................................................... 53
Список использованных источников ........................................................................................ 55
3
Введение
Современный интерес к исследованию течений многофазных несмешиваемых сред связан с большим количеством практических проблем, возникающих в таких областях, как кораблестроение, автомобилестроение, атомная промышленность, производство шин. Нахождение аналитического решения для большинства индустриальных задач не представляется
возможным, а проведение натурного эксперимента часто очень затратно и не всегда может
дать ответы на поставленные вопросы, поэтому наиболее перспективным направлением в
этой области является развитие численных методов исследования.
В настоящее время сложилось несколько основных способов моделирования движения
несмешиваемых фаз. В первом, подходе Лагранжа [1], сетка «притерта» к границе раздела
фаз («свободной поверхности», как часто ее называют). При деформации свободной поверхности сетка изменяется вместе с ней. Surface marker (line segments) метод использует данный
подход. Контактная поверхность определяется как набор связанных точек или линейных сегментов. Необходимо хранить координаты для каждой точки, и расстояние между ними ограничить размером ячейки. Деформация свободной поверхности определятся совокупным изменением положения каждой точки, движение которых определяется локальной скоростью,
интерполированной по сетке. Возникает очень серьезная проблема при самопересечении двух
и более поверхностей. В этом случаем необходимо переопределить сегменты, вероятно с добавлением или удалением элементов. В общем случае процесс идентификации самопересечений и переопределения сегментов может оказаться нетривиальной задачей. Переход от 2D к
3D постановке также сложен. К преимуществам метода можно отнести отсутствие численной
диффузии и размазывания границы раздела.
Другой разновидностью подхода Лагранжа является не-сеточный метод сглаженных частиц (SPH) [2]. Метод SPH работает путем деления жидкости на дискретные элементы. Эти
частицы имеют пространственное расстояние (известное как «длина сглаживания»), на котором их свойства «сглаживаются» функцией ядра. Это значит, что любая физическая величина
любой частицы может быть получена путем суммирования соответствующих величин всех
частиц, которые находятся в пределах двух сглаженных длин. Назначая каждой частице её
собственную длину сглаживания и разрешая ей меняться со временем, разрешающая способность симуляции может автоматически подстраивать себя к локальным условиям. SPH гарантирует сохранение массы без дополнительных вычислений, так как частицы сами по себе
представляют массу. Также SPH вычисляет давление от воздействия соседних частиц, имею4
щих массу, а не решает систему линейных уравнений. Влияние каждой частицы на свойства
оценивается в соответствии с её плотностью и расстоянием до интересующей частицы. Сохранение массы гарантируется без дополнительных вычислений. Недостаток SPH по сравнению с основанными на сетке методиками состоит в том, что необходимо большое количество
частиц для создания симуляции с эквивалентной разрешающей способностью. Однако точность расчета может быть значительно увеличена при использовании SPH в совокупности с
основанными на сетке методиками.
Примером такого объединения является метод маркеров и ячеек (MAC)[3]. Вместо
непосредственного задания свободной поверхности, рассматривается область, заполненная
жидкостью, в которую «вмораживаются» маркерные ячейки. При этом каждая из них передвигается со скоростью фазы, определяемой по интерполяции эйлеровой сетки. Граница раздела находится между областями, содержащими и не содержащими маркеры (точное положение определяется с помощью дополнительных вычислений, основанных на количестве
маркеров). Проблемой метода является излишняя концентрация или дисперсия частиц по
ячейкам, а также требования к компьютерным ресурсам для хранения большого количества
информации и расчета перемещения каждой частицы.
Хёрт предложил вместо расчета большого количества частиц ввести специальную
функцию f [4], [5], [6], [7]. При наличии фазы в точке значение этой функции равно единице,
при отсутствии - ноль. Среднее значение f в ячейке определяет относительный объем, который занимает фаза (Volume of Fluid). При VOF =1 ячейка полностью заполнена жидкостью,
при VOF =0 – газом, при 0 < VOF <1 содержит свободную поверхность. В отличие от MAC, в
методе Volume of Fluid необходимо хранить в ячейке только одну переменную.
Важной частью метода является алгоритм реконструкции свободной поверхности на
основе значений f. Существует несколько основных подходов [4]:
a) Simple Line Interface Calculation (SLIC)
В SLIC методе граница раздела фаз является вертикальной или горизонтальной прямой
и определяется из величины f у соседей.
5
Рисунок 1
Рисунок 2 Варианты SLIC реконструкции
b) Parker and Young’s method
В данном методе поверхность представляется в виде прямой, наклон которой определятся из выражения (Рисунок 3):
tg  
 f / x
f / y
(1)
Рисунок 3
Рисунок 4 P&Y реконструкция
f  f W f
f
f  fS
 E
 N
x
2
2
, y
fE 
1
1

f i 1, j 1    f i 1, j  f i 1, j 1 , fW 
 f i 1, j 1    f i 1, j  f i 1, j 1 ,
2 
2
fN 
1
1

f i 1, j 1    f i , j 1  f i 1, j 1 , f S 
 f i1, j 1    f i , j 1  f i 1, j 1 ,
2 
2
(2)
c) Least squares volume-of-fluid reconstruction algorithm (LVIRA)
Рассматривается блок ячеек 3х3. Угол наклона определяется из условия минимизации
функции:
1/ 2
 1 
2
(3)
E (tg )    f i  k , j  l (tg )  f i  k , j l 
k
,
l


1



Где f i  k , j  l (tg ) - величина VOF, отсекаемая во всех ячейках при построении границы
2
i, j


раздела фаз с углом наклона  . Простые численные эксперименты показывают значительной превосходство качества трекинга свободной поверхности P&Y и LVIRA над SLIC методом.
6
Метод VOF быстро завоевал популярность благодаря своим скромным вычислительным
требованиям и теоретически возможной консервативности. По градиенту функции VOF легко
восстанавливается нормаль к свободной поверхности, а с помощью самой функции VOF – ее
положение. Его недостатком является схемное диспергирование фазы, которое является
следствием размазывания фронта функции VOF из-за схемной вязкости.
Для преодоления этого эффекта был разработан метод Level Set [8], [9]. В нем также
вводится специальная функция  ( x, t ) - расстояние до свободной поверхности. При  ( x, t )  0
область заполнена газом, при  ( x, t )  0 -жидкостью. Свободная поверхность есть набор точек, в которых  ( x, t )  0 . Для задания разрыва плотности и вязкости на границе раздела фаз
применяется функция Хэвисайда. Новое положение свободной поверхности определяется из
конвективного уравнения для  ( x, t ) . Преимуществом метода является хорошая точность в
определении геометрической формы контактной границы. Из консервативности решения
уравнения переноса для  ( x, t ) не следует консервативность массы. Этот эффект является
главным недостатком метода Level Set. К тому же метод плохо применим именно для задач,
где диспергирование и фрагментация жидкости физически возможны. Также нельзя корректно поставить граничные условия на входе жидкости в расчетную область.
В ряде исследований [10], [11] предприняты попытки создания совместного Level Set и
VOF метода, который объединяет преимущества обоих подходов. Общая схема состоит из
следующих этапов:
1) Реконструкция функции f по значению нормали n    
2) Конвективный перенос f и  ( x, t ) .
3) Построение реконструкции  ( x, t ) на основе f
4) Вычисление значений  ( ) и  ( )
5) Решение уравнений Навье - Стокса
Таким образом, метод позволяет совместить консервативность VOF и хорошую точность отслеживания формы свободной поверхности метода Level Set, однако требует более сложной и
тонкой алгоритмической реализации.
В конечном итоге в данной работе за основу взят Volume of Fluid, как наиболее робастный и требующий разумное количество вычислительных ресурсов метод для решения широкого круга практических задач трекинга свободной поверхности.
7
Целью работы является совершенствование расчетной модели движения многофазной
жидкости со свободной поверхностью в программном комплексе FlowVision.
Для достижения поставленной цели решаются следующие задачи:

Создание явной скошенной схемы переноса свободной поверхности на основе метода
Volume of Fluid и интеграция схемы с расчетной адаптивной локально измельченной
сеткой FlowVision, а также технологией подсеточного разрешения геометрии.

Разработка алгоритма построения гладкой трехмерной реконструкции свободной поверхности внутри ячейки на основе объема фазы в соседних ячейках.

Совершенствование алгоритма маркировки, который позволяет выделять жидкостные, поверхностные и газовые ячейки при произвольном распределении параметра
VOF в расчетной сетке, а также находить диспергированные пузырьки и капли.

Создание алгоритма расчета динамики движения капель и пузырьков.

Проверка на тестовых вариантах и бенчмарках адекватности программной реализации
блока свободной поверхности для широкого круга задач течения многофазных
несмешиваемых жидкостей (точность решения, сеточная сходимость к аналитике,
применимость методики для решения индустриальных задач).
8
1 Метод расчета движения жидкости со свободными поверхностями
1.1 Краткое описание программного комплекса FlowVision
ПК FlowVision предназначен для численного моделирования трехмерных ламинарных и
турбулентных, стационарных и нестационарных течений жидкости и газа. Решаются трехмерные уравнения динамики жидкости и газа: уравнения Навье - Стокса (законы сохранения
массы и импульса) и уравнение переноса энтальпии (закон сохранения энергии). При расчёте
сложных течений, сопровождаемых дополнительными физическими процессами (турбулентность, горение, движение контактных границ, и т. д.), решаются дополнительные уравнения,
описывающие эти процессы. Многочисленные модели позволяют рассчитывать сложные течения, сопровождаемые закруткой потока, движением свободных/контактных поверхностей,
ударными волнами, сопряжённым теплообменом, горением и т. д. Дифференциальные уравнения аппроксимируются на расчётной сетке в предположении, что каждая ячейка представляет собой конечный объём, в котором скорости изменения физических величин сбалансированы потоками этих величин через грани ячейки. Уравнения Навье - Стокса решаются методом расщепления по физическим процессам. Расчетная сетка FlowVision – декартова, локально адаптивная. Локальная динамическая адаптация начальной сетки производится в соответствии с заданными критериями. Вблизи границы расчетной области происходит булево
вычитание нерасчетных объемов из прямоугольных ячеек, в результате которого образуются
ячейки-многогранники произвольной формы. Никакого упрощения приграничных ячеек не
производится. Генерация сетки полностью автоматизирована.
1.1.1 Моделирование течения жидкости
Моделирование течения жидкости основывается на расчете уравнений Навье - Стокса
Ниже приведены решаемые уравнения для модели движения жидкости.
Уравнение неразрывности:
 
    V   0
t
(1.1)
Уравнение импульсов:

 (V ) 
   (V  V )     PIˆ  τˆ eff  F
t


Здесь
9
(1.2)
2 


τˆ eff    2 eˆ    V Iˆ 
3




(1.3)
1
e ij   jVi   i V j 
2
Уравнение энергии:

 h  
dP
   V h     J q ,eff 
 τˆ : eˆ  
t
dt
J q ,eff  
 
h
Cp
(1.4)
(1.5)
1.1.2 Численные методы
Используемый в FlowVision способ решения уравнений конвективно-диффузионного
типа основывается на методе конечных объемов. Метод конечных объемов предполагает интегрирование уравнений движения жидкостей и переноса скалярных величин по объемам
ячеек расчетной сетки. По теореме Гаусса для произвольной векторной или тензорной величины F

   F d   F  n   S
i
 cell
i
(1.6)
i
i  faces
Интегрирование решаемых уравнений в ячейке производится суммированием потоков
массы, импульса, энергии и других величин, вычисленных на гранях ячеек. Поскольку каждая грань разделяет две соседние ячейки, соответствующий поток входит в дискретные уравнения для обеих ячеек. Этим обеспечивается консервативность искомых величин в расчетной
области.
Интегрирование уравнений движения жидкости на одном шаге по времени происходит
следующим образом: Рассмотрим уравнения Эйлера (вязкими членами пренебрегаем). Будем
полагать, что уравнение неразрывности и уравнение импульсов проинтегрированы по расчётной ячейке – многограннику:
 n 1   n 1
   n 1V n 1  n  S  0

 faces


(1.7)

 n 1V n 1   n V n 1
   n V n  n  S V n 1   P n 1   n F n

 faces


Перепишем (1.8):
10
(1.8)
~ n 1 
~ n 1   n V n 1
~ n 1V
~ n 1V
 n 1V n 1  
~ n 1 

   n V n  n  S V


 faces
 n 1  n  n
n n
  P   P   P   F


и разделим (расщепим) его на два уравнения:
~ n 1   n V n 1
~
 n
 n 1V
~ n 1  
   n V n  n  S V
P  n F n

 faces
~


 n 1V n 1  ~
 n 1V n 1
  P n 1   P n



(1.9)
(1.10)
(1.11)
Знаком “тильда” будем обозначать промежуточные решения. Выразим массовую скорость на n+1 временном слое из уравнения (1.11):


~
 n 1V n 1  ~
 n 1V n 1     P n 1  P n


(1.12)
Подставляя (1.12) в дискретное уравнение неразрывности (1.7), получаем уравнение
Пуассона для давления:
 n 1   n 1
~ n 1  n  S   P n 1  P n
   n 1V

 faces

 

(1.13)
Для совместного решения уравнений Навье – Стокса, энергии, концентрации, свободной поверхности используется итерационная схема, основанная на неявном алгоритме расщепления по физическим переменным:
Этап 1:
Проверяется выполнение дискретного уравнения неразрывности
 n   n 1 1
   n V n  n  S  0

 faces


(1.14)
Здесь нестационарный член оценивается так:
  n   n 1 (T n )  (T n 1 )


t


(1.15)
Этап 2:
Если уравнение (1.14) не удовлетворено хотя бы в малой части расчётной области, решается уравнение для давления:
 n   n 1
~
 ( n V n )  (P n 1  P n )

(1.16)
Этап 3:
11
~
После нахождения промежуточного поля давления P n 1 рассчитывается “консерватив~
ное” (удовлетворяющее уравнению неразрывности) промежуточное поле скорости V n 1 :
 ~ n 1  n
~ n 1   n 1V n   
(1.17)
n V
P  P 
~
Промежуточное поле давления P n 1 нигде в последующих вычислениях не используется.
Этап 4:
Решается уравнение для скорости:
~

 nV n1   n1V n 1
1
~ n1

  nV~ n1  n  S V   P n 




faces

 τˆ
eff
 n  S   n F n
(1.18)
faces
~
Здесь тензор вязких напряжений определён промежуточным полем скорости V n 1 . В ре~
~
зультате решения уравнения (1.18) находим второе промежуточное поле скорости V n 1 . В по~
~
следующих вычислениях поле V n 1 не используется, поэтому в программе массив V n 1 заме~
~
няется массивом V n 1 .
Этап 5:
Решается уравнение для давления:
 n   n 1  n ~
~
  ( V n 1 )  ( P n 1  P n )

(1.19)
Этап 6:


 n V n 1   n 1V n     P n 1   P n


(1.20)
Этап 7:
Решается уравнение энергии (1.4), в котором используется поле V n 1 .
Этап 8:
Рассчитывается температура:
(1.21)
h n 1  h (T n 1 )
, определяется плотность
(1.22)
 n 1  (T n 1 )
Решение на n+1-м временном слое можно уточнить путём повторения описанной процедуры. Второй и последующие “проходы” будут отличаться от первого
а)
отсутствием Этапов 1-3,
12
б)
использованием предыдущей массовой скорости  n 1V n 1 на гранях ячеек в
уравнении (1.18),
в)
использованием предыдущей плотности  n 1 в нестационарных членах:
  n 1   n

t

~
 (V )  n 1V n 1   n V n

t

(1.23)
(1.24)
Данный численный алгоритм имеет высокую устойчивость. Получаемые результаты
хорошо согласуются с экспериментальными данными. Наблюдается стабильная сеточная
сходимость.
1.1.3 Расчетная сетка
В программном комплексе FlowVision используется прямоугольная адаптивная локально измельченная сетка (АЛИС) для решения уравнений математической модели. Возможность адаптации этой сетки позволяет разрешать малые детали геометрии расчетной области
и высокие градиенты рассчитываемых величин.
Рисунок 1.1 Адаптивная сетка с локальным измельчением
Сущность технологии АЛИС заключается в следующем. Во всей расчетной области
вводится прямоугольная сетка. Выделяются подобласти с особенностями геометрии или течения, в которых необходимо провести расчет на более мелкой, чем исходная, сетке. При
этом расчетная ячейка, в которую попала выделяемая особенность, делится на 8 равных ячеек. Далее, если необходимо, ячейки делятся еще раз и так до достижения необходимой точно-
13
сти. Ячейки начальной сетки называются ячейками уровня 0, ячейки, получаемые измельчением уровня 0, называются ячейками уровня 1 и т.д. При генерации АЛИС накладывается
условие, что гранями и ребрами могут граничить друг с другом только ячейки с номерами
уровней, отличающимися не более чем на единицу.
Метод подсеточного разрешения геометрии, который используется во FlowVision,
предназначен для аппроксимации криволинейных границ на прямоугольной сетке. Суть этого
метода состоит в следующем. Ячейки, через которые проходит граница, расщепляются на 2, 3
и т.д. ячеек. При этом они теряют свою первоначальную форму параллелепипеда и превращаются в многогранники произвольной формы. Уравнения математической модели аппроксимируются для этих многогранников без каких-либо упрощений. Такой подход позволяет с
достаточной степенью точности рассчитывать течения даже на грубой расчетной сетке.
Рисунок 1.2 Метод подсеточного разрешения геометрии
а) поверхность проходит через расчетные ячейки, б) расщепление расчетных ячеек границей.
14
1.2 Метод VOF для произвольного количества компонент
Основная идея метода Volume of Fluid состоит во введении переменной - относительный
объем жидкости f, который содержится в ячейке. Если f = 1, то жидкость полностью занимает
ячейку, если 0 – то ее занимает газовая фаза (или вакуум, если газовая фаза не рассматривается). Если 0 < f < 1, то ячейка содержит свободную поверхность. Для переменной f решается
уравнение баланса массы в ячейке
df
 Vf  0
dt
(1.25)
Уравнение (1.25) записано для случая несжимаемой жидкости, чтобы упростить дальнейшее изложение.
Введем N несмешивающихся фаз, имеющих относительный объем фазы в каждой ячейке f i , которые имеют скорость V . Тогда для N-1 фазы будет справедливо уравнение переноса
df i
 Vi f i  0
dt
(1.26)
и очевидное равенство
N
f
i
(1.27)
1
i 1
Расчет переноса фаз производится следующим образом. Пусть имеется распределение
f на n-ом слое по времени. Чтобы найти распределение на n+1 слое, найдем f
для первой
фазы из уравнения 1.
df 1
  V1 f1  0
dt
(1.28)
Когда решается уравнение (1.28), происходит перемещение не только фазы 1, но и
остальных фаз согласно (1.27), причем перемещение фаз 2...N в ячейки, которые не были занятыми ими в начале шага по времени, приводит к передаче им массы и импульса. Таким образом, на границе раздела фазы 1 и других фаз, меняется скорость фаз 2...N. Далее, по новым
скоростям решаем уравнение (1.26) для фазы 2 в ячейках, не занятных полностью фазой 1. И
так далее, пока не будет решено уравнение для фазы N-1. Объем фазы N находится из уравнения (1.27).
Таким образом, данная математическая модель позволяет рассчитывать движение многофазной несмешиваемой жидкости с произвольным количеством компонент.
15
1.3 Алгоритм решения уравнений несмешивающейся многофазной жидкости
Общий алгоритм моделирования состоит из следующих этапов:
1) В начале шага по времени убирается разделение поверхностных ячеек (т.е. тех, которые содержат контактную границу) на отдельные ячейки и вся информация о фазах записывается последовательно в одну ячейку (перемешивания фаз не происходит!).
2) Определяется явный шаг по времени для переноса VOF. При этом используется
маркировка ячеек (жидкостная – газовая – поверхностная для данной переносимой
фазы)
3) Явным методом решается уравнение (1.26)
4) Производится маркировка ячеек жидкость – газ – поверхность и выделение капель и
пузырьков.
5) Если явный шаг алгоритма меньше, чем шаг по времени всего алгоритма решения
уравнений динамики жидкости, то переходим к 2).
6) Производится коррекция массы.
7) Производится построение поверхности ячеек и их расщепления на ячейки, каждая из
которых принадлежит своей фазе.
8) Решается уравнение Навье – Стокса для каждой фазы в отдельности.
Данный алгоритм позволяет проводить моделирование переноса фазы с произвольным
числом Куранта.
1.4 Маркировка ячеек
Маркировка ячеек – чрезвычайно важная часть алгоритма. Для каждой фазы определяется тип ячейки – Жидкостная (Fluid), в ней присутствует только данная фаза, Газовая (Gas) –
в ней данная фаза отсутствует, Поверхностная (Surf) – в ней есть несколько фаз. Необходимое
условие заключается в том, что жидкостная ячейка не может соседствовать по стороне с газовой ячейкой, между ними всегда должна быть поверхностная ячейка. Это обусловлено тем,
что поверхностная ячейка в конце алгоритма (п.8) разделяется на несколько частей, соответствующим разным фазам, которые в ней присутствуют. Каждая ячейка своей фазы соседствует по стороне с ячейкой этой же фазы, а с ячейками другой фазы они соседствуют через специальную поверхность, имеющую нормаль, точку, через которую данная поверхность проходит. На этой поверхности задано граничное условие, которое задает обмен энергией, массой и
импульсом между ячейками.
16
В традиционных подходах маркировка ячеек проста – если f < 0.5, то ячейки газовые,
если f > 0.5, то жидкостные. Все, что между ними – поверхностные ячейки. Поскольку в поверхностных ячейках при расчетах граница не выделяется, а они используются как граничные ячейки и данные в них экстраполируются, то такой подход имеет смысл.
В реализованном методе VOF поверхность выделяется явным образом, поэтому маркировка имеет гораздо более сложный вид.
Проблема маркировки усугубляется еще тем, что при движении VOF по сетке из-за особенностей течения, объем жидкости может занимать малый объем (капля, пелена, струя). Если этот объем меньше размера ячейки, его невозможно разрешить методом VOF. Это приводит к появлению ячеек, которых невозможно маркировать в рамках типов Fluid – Gas - Surf
(FGS). Более того, искусственная диффузия и дисперсия приводят к уширению фронта vof,
возникают ячейки, имеющие f < 1 далеко за фронтом вглубь данной фазы и f > 0 вдали от
данной фазы. Как показывает практика, попытки искусственной «конденсации» решения (как
это делается в методах LS, например) приводят к сильному искажению решения и часто пропадают физические эффекты – струи, капли и пелена, о которых шла речь выше. Чтобы обойти проблему маркировки, вводится понятие «пузырек» (тип ячейки Fluid, но f < 1) и «капля»
(тип ячейки Gas, но f > 0). Т.е. мы допускаем наличие другой фазы в жидкостных и газовых
ячейках. При расчетах уравнений динамики жидкости эта дополнительная фаза игнорируется, давление, температура и скорость рассчитываются в ней особым образом, предполагая,
что это действительно дисперсная фаза.
Алгоритм маркировки ячеек:
1) Помечаем все ячейки как Gas для f < 0.5 и Fluid для f > 0.5
2) Помечаем поверхностные ячейки как те, у которых значение f лежит ближе к 0.5,
чем у соседа по стороне. Причем, если соседями являются ячейки, у которых f = 1 и f
= 0, то ячейка с f = 1 будет маркирована как Surf.
3) Устанавливаем поверхностные ячейки, которые являются газовыми, но с f > 0 и
имеют жидкостного соседа по ребру или жидкостными, но с f < 1 и имеют газового
соседа по ребру.
4) При маркеровке ячеек на шагах 1-3 могут возникать поверхностные ячейки,
которые слишком усложнят конечную расчетную сетку. В этих случаях их лучше
перевести в типы жидкостные или газовые. Например, если поверхностная ячейка не
имеет никаких соседей по стороне, кроме газовых – он приводится к типу газовой.
Если у нее нет соседей, кроме жидкостных – то к жидкостным. Также здесь
17
рассматриваются более сложные случаи, когда поверхностная ячейка граничит с
поверхностной, но восстановление поверхности приведет к тому, что между ними не
будет связи (поверхность «отсекла» общую сторону ячейки) и ячейка останется «в
одиночестве» неповерхностных ячеек. Данная ячейка также будет промаркирована
как неповерхностная. Данный шаг повторяется до тех пор, пока не одной ячейки не
будет перемаркировано. В реальности для этого необходимо 1-2 шага.
5) Проверка маркировки – если жидкостная ячейка граничит с газовой по стороне, то
расчет останавливается с выдачей ошибки.
Предложенный алгоритм позволяет выделять ячейки в рамках «Жидкость –
Поверхность – Газ» маркировки (которая впоследствии используется для построения
контактной поверхности), а также обрабатывать случаи возникновения пузырьков и капель
вдалеке от границы раздела фаз с последующим специальным расчетом их динамики.
1.5 Аппроксимация формы ячейки
Для расчета уравнения переноса фазы используется метод с консервативной реконструкцией решения внутри ячейки. Алгоритм построения реконструкции и последующего
расчета потоков применим для ячеек в виде параллелепипедов. Поэтому при произвольном
обрезании ячейки геометрией необходимо аппроксимировать ее форму, и после этого проводить все дальнейшие вычисления.
Площадь стороны аппроксимирующего параллелепипеда в направлении k:
jN
S k  0.5   nkj  S j
(1.29)
j 0
Здесь
N
- общее количество чипов в ячейке
nkj
- k-я компонента нормали j-го чипа
Sj
- площадь j-го чипа
Длины сторон Lk параллелепипеда находим из условий:
18
V  Lx  L y  Lz
(1.30)
S x  Lx  S y  Ly  S z  Lz
(1.31)
S m  S n V
;m  n  k
S k2
Lk  3
(1.32)
Здесь
V
- объем ячейки
Данная методика позволяет производить аппроксимацию формы в ячейках, для которых
выполнено подсеточное разрешение геометрии. Такой алгоритм может приводить к некоторым неточностям расчета переноса VOF на границе, но, как показывает практика, при адекватных задаче сетках влияние этих ошибок незначительно.
1.6 Реконструкция свободной поверхности
При решении уравнения переноса VOF для корректного расчета потоков через грани
ячейки на каждом временном шаге производим реконструкцию положения границы раздела
фаз на основе информации о значениях параметра VOF у «соседей».
Предполагается следующая последовательность построения границы раздела фаз:
Этап 1:
Каждому чипу ячейки присваиваем свой весовой коэффициент площади свободной
поверхности:
j 
f  h j ,nei  f j  h j
h j  h j ,nei
(1.33)
Здесь
- значение VOF в самой ячейке
f
f
j
- значение VOF в j-м соседе
hj
- расстояние от j-го чипа до центра самой ячейки
h j ,nei
- расстояние от j-го чипа до центра j-го соседа
Если j-ый сосед – жидкостная ячейка, тогда  j  1 . Если j-ый сосед – газовая ячейка, тогда  j  0 .
Этап 2:
Определяем нормаль свободной поверхности:
19
jN
j
j
j
n  S  n  S 
(1.34)
j 0
Этап 3:
Определяем точку r , принадлежащую свободной поверхности (необязательно ее
k
центр).
Для этого найдем расстояние d от поверхностного чипа до определенного угла ячейки.
Рассмотрим нормированную ячейку такую, что f  0.5 (если f  0.5 , то делаем замену переменных f '  1  f и переходим к аналогичному случаю). Угол ячейки, от которого отсчитывается расстояние до плоскости, находим специальным образом. Для этого выполняем преобразование системы координат x-y-z к 1-2-3 таким образом, чтобы в новой системе значения
компонентов вектора нормали n'  {n1 , n2 , n3} удовлетворяли условию 0  n1  n2  n3 .
Тогда возможных вариантов конфигураций 5
(Рисунок 1.3 Варианты отсечение куба плоскостью):
а) Если 6n1n2 n3 f  n13 , то d  (6n1n2 n3 f )1/ 3
(1.35)
n1
n12 1/ 2
б) Если n  6n1n2 n3 f  n , то d   (2n1n2 f  )
2
12
(1.36)
3
1
3
2
в) Если n23  ( n2  n1 )3  6n1n2 n3 f  n33  (n3  n1 )3  ( n3  n2 ) 3 , n1  n2  n3 или
3
n23  ( n2  n1 ) 3  6n1n2 n3 f  ( n1  n2 )3  n23  n1 , n1  n2  n3 , то
(1.37)
d 3  ( d  n1 ) 3  (d  n2 ) 3  6n1n2 n3 f  0
г) Если n33  ( n3  n1 ) 3  ( n3  n2 ) 3  6n1n2 n3 f , n1  n2  n3 , то
3
3
3
(1.38)
3
d  ( d  n1 )  (d  n2 )  ( d  n3 )  6n1n2 n3 f  0
3
д) Если (n1  n2 ) 3  n23  n1  6n1n2 n3 f , то d  n3 f 
1
(n1  n2 )
2
(1.39)
Частные случаи:
(1.40)
e) При 0  n1  n2  n3 , d  f
ж) При 0  n1  n2  n3
Если f  n3  0.5  n2 , то d  ( 2 f  n2 n3 )1 / 2
Если f  n3  0.5  n2 , то d  f  n3  0.5  n2
20
(1.41)
Рисунок 1.3 Варианты отсечение куба плоскостью
Для поиска решения кубического уравнения относительно переменной d в пунктах в) и
г) используем метод Виета-Кардана:
x 3  ax 2  bx  c  0
Q
(1.42)
a 2  3b
2a 3  9ab  27c
,R 
9
54
При R 2  Q3 уравнение имеет три действительных корня:
 R 
1
t   ar cos 3 / 2 
3
Q 
x1  2  Q cos(t ) 
a
3
x2  2  Q cos( t 
2
a
)
3
3
x3  2  Q cos(t 
2
a
)
3
3
(1.43)
21
При R 2  Q3 уравнение имеет один действительный корень:

A   sign( R ) R  R 2  Q 3
B

1/ 3
Q
, A  0; B  0, A  0;
A
x1   A  B  
(1.44)
a
3
В том случае, когда A  B , комплексно-сопряженные корни вырождаются в один действительный:
x2  A 
a
3
(1.45)
Этап 4:
Определяем центры «новых» ячеек, получившихся рассечением «старой» ячейки плоскостью свободной поверхности, а также положение центра у самой поверхности:
1) Вычисляем центры масс всех чипов (за исключением поверхностного чипа) «новой»
ячейки, находящейся выше плоскости.
Если чип – треугольник, то его центр масс:
p1  p 2  p 3
rc 
3
(1.46)
Здесь
p1, p2 , p3
- координаты вершин треугольника
Если чип – четырехугольник или пятиугольник, то его центр масс:
rc 
r  S
S
c,i
i
(1.47)
i
Здесь
Si
- площади треугольников, образующих исходный чип
rc,i
- центры масс треугольников, образующих исходный чип
2) Рассчитываем центры масс всех пирамид с основаниями в чипах ячейки и вершинами
в точке свободной поверхности, полученной на этапе 3:
(1.48)
rp  0.75  rk  0.25  rc
3) Определяем центр масс «новой» ячейки:
22
rcell,1

 r V
V
i
p,i
(1.49)
i
Здесь
Vi
- объем пирамиды с основанием на i-м чипе
4) Находим центр масс второй «новой» ячейки из условия:
rcell,2
 rold
 f r
cell,1
1 f
(1.50)
Здесь
rold
- центр «старой» ячейки
5) Определяем центр поверхностного чипа:
rFS  rcell,1  n  rk  rcell,1
(1.51)
Построенная таким образом гладкая реконструкция позволяет с хорошей точностью
аппроксимировать форму контактной границы в трехмерном случае. Использование более
сложных нелинейных реконструкций требует дополнительных вычислительных нагрузок,
при этом на достаточно подробных сетках выигрыш в качестве решения невелик.
1.7 Вычисление потоков через стороны ячейки
Величины потоков VOF из ячейки рассчитываем как интегралы вдоль обратных характеристик.
Рисунок 1.4
1) Длина потока VoF, протекающего через чип ячейки за время t :
 U  hnei  U nei  h 

l  t  
h  hnei


(1.52)
Здесь
23
U
- скорость в ячейке в нормальном направлении к чипу
U nei
- скорость в соседней ячейке в нормальном направлении к чипу
h
- расстояние от чипа до центра самой ячейки
hnei
- расстояние от чипа до центра соседней ячейки
2) Расчет доли фазы вещества в потоке VoF сводится к задаче нахождения объема, отсекаемого произвольной плоскостью от параллелепипеда. Возможные конфигурации показаны на (Рисунок 1.3 Варианты отсечение куба плоскостью).
В случае а), б), в), г) находим точки пересечения xi ,int плоскости с каждой из координатных осей. Определяем объем пирамиды с вершинами в точке (0,0,0) и xi ,int . Если ниже плоскости лежит две и более точки, то от полученной величины необходимо отнять объемы пирамид, лежащие за пределами ячейки (Рисунок 1.5).
V phase 
1 3
 xi,int  V j
6 i1
(1.53)
Здесь
Vj
V phase
- объемы отсекаемых пирамид
- объем фазы в потоке VoF
Рисунок 1.5
В случае д), ж), е) из уравнения плоскости:
x3 x1 , x2  
rFS , 3  n3  x1  rFS ,1  n1  x2  rFS , 2  n2
n3
a b x3  x1 , x2 
V phase   
0 0
 dx dx dx
1
2
3

rFS ,1  n1  rFS , 2  n2  rFS , 3  n3
0
n3
Здесь
a - размер ячейки по оси x1
24
(1.54)
n1a 2 n2 b 2
 ab 

2n3
2n3
(1.55)
b - размер ячейки по оси x2
Расчет потоков только через стороны может приводить к переносу из ячейки большего
объема фазы, чем в ней содержалось изначально. Это связанно с тем, что для консервативности схемы при использовании гладкой трехмерной реконструкции необходимо передавать
часть потока реберным соседям ячейки (использовать скошенную схему).
1.8 Скошенная схема для переноса VOF
Для увеличения точности расчетов используется скошенная схема. В ней учитывается
не только потоки в «соседей» по сторонам ячейки, но также и в «соседей» по ребрам.
Рисунок 1.6
Пусть определены потоки Fd и Fm из ячейки i в направлении d и m (Рисунок 1.6). Они
есть интегралы вдоль обратных характеристик с длинами ld и lm соответственно. В соседнюю
по ребру ячейку попадает заштрихованный объем. Таким образом, в направлении d из ячейки
выйдет поток:
Fd'  Fd 
( hm  l m )
hm
(1.56)
В направлении m поток равен:
Fm'  Fm 
(hd  ld )
hd
(1.57)
Поток через ребро:
Fedge 
1 
l
l 
  Fm d  Fd m 
2  hd
hm 
(1.58)
Если ячейка была обрезана геометрией, то площади исходных чипов могут не совпадать
с площадями сторон аппроксимирующего форму параллелепипеда. В этом случае, для равен25
ства реального потока и получаемого в результате аппроксимации, корректируем длину входящего потока:
S

l '  l   chip  1
 Sa

(1.59)
Здесь
S chip
- реальная площадь чипа
Sa
- площадь соответствующей стороны аппроксимирующего параллелепипеда
Отличительной особенностью ПК FlowVision является возможность построения адаптивной локально – измельченной сетки. Для использования этого преимущества в блоке VOF
нужно специальным образом настроить схему раздачи скошенных потоков:
Рисунок 1.7 Скошенная схема для адаптированной ячейки
При этом в общем случае для трехмерного течения в ячейке необходимо рассчитывать
не три скошенных потока, а большее их количество (в зависимости от конфигурации адаптации).
На рисунках, представленных ниже, показаны результаты моделирования тестового варианта движения квадрата с постоянной скоростью в диагональном относительно сетки
направлении в зависимости от используемой численной схемы.
26
Рисунок 1.8 Начальное положение
Рисунок 1.9 Нескошенная схема
Рисунок 1.10 Скошенная схема
Из рисунков видно, что скошенная схема намного точнее сохраняет форму исходной фигуры
при движении в диагональном относительно сетки направлении.
27
2 Результаты
Разработанный метод моделирования многофазных жидкостей со свободными поверхностями был внедрен в ПК FlowVision и проверен на тестовых вариантах и бенчмарках. В
результате проведенных численных экспериментов была показана адекватность программной
реализации блока свободной поверхности для широкого круга задач течения многофазных
несмешиваемых жидкостей. Получена хорошая точность решения и сеточная сходимость к
аналитике, проверена применимость методики для индустриальных задач.
Разработанные алгоритмы адекватно отслеживают динамику изменения формы свободной поверхности и диспергирование объема жидкости на мелкие фрагменты, а также корректно взаимодействуют с другими блоками ПК FlowVision, такими как подвижные тела и
АЛИС.
2.1 Обрушение водяного столба
2.1.1 Постановка задачи
Столб жидкости размером Hх2H отделен справа от остального пространства бассейна
размером 4Н х 2.5Н перегородкой. В начальный момент времени перегородку убирают, и
столб жидкости начинает обрушаться под воздействием силы тяжести [12].
Размер столба воды:
H
2
H
4
Рисунок 2.1
28
g
м с-2
9.8
Параметры геометрии:
H
0.146
м
Параметры жидкости:

1000
кг м-3

0.001
кг м-1 с-1
Таблица 2.1
29
2.1.2 Расчетная сетка
Рисунок 2.2
При моделировании используется расчетная сетка 200х125х1 ячеек.
Общее число расчетных ячеек - порядка 5000.
2.1.3 Результаты моделирования
Рисунок 2.3 t = 0.2 c
Рисунок 2.4 t = 0.4 c
30
Рисунок 2.5 t = 0.6 c
Рисунок 2.6 t = 0.8 c
Модель качественно верно отслеживает форму свободной поверхности. В натурном
эксперименте заметное влияние оказывает каплеобразование. Для отслеживания подобных
эффектов нужна более подробная трехмерная сетка или более сложная и специализированная
дисперсионная модель.
31
2.2 Гравитационная волна в жидкости
2.2.1 Постановка задачи
Под воздействием силы тяжести в замкнутом бассейне формируется волна жидкости. В
начальный момент времени распределение жидкости задано по синусоидальному закону [13].
Рисунок 2.7
g
м с-2
9.8
Параметры геометрии:
A
0.1
м
B
0.055
м
C
0.045
м
Параметры жидкости:

1000
кг м-3

0
кг м-1 с-1
Таблица 2.2
32
2.2.2 Расчетная сетка
Рисунок 2.8
При моделировании используется расчетная сетка 200х120х1 ячеек.
Общее число расчетных ячеек порядка 20 000.
2.2.3 Теория
Период колебания волны вычисляется по формуле:
T  2 gk tanh(kH )  0.3739
Где:
k
2
0 .5 A
H
BC
2
Высота уровня жидкости у левой стенки вычисляется по формуле:
h
BC BC
 2 

 cos t 
2
2
T 
33
2.2.4 Результаты моделирования
Рисунок 2.9 Изменение высоты уровня жидкости около левой стенки во времени.
В данной задаче модель VOF показала хорошее отслеживание пиков колебания уровня
жидкости. Некоторое завышение максимальных значений уменьшается при измельчении
расчетной сетки.
34
2.3 Движение струи в поле силы тяжести
2.3.1 Постановка задачи
Струя жидкости вытекает из отверстия шириной din со скоростью Vin под углом к горизонту α и движется в поле силы тяжести [14].
Рисунок 2.10
g
9.8
м с-1
Параметры струи:
α
45
o
d in
0.0707
м
Vin
3
м с-1
Таблица 2.3
35
2.3.2 Расчетная сетка
Рисунок 2.11
При моделировании используется расчетная сетка 300х100х1 ячеек.
2.3.3 Теория
Высота подъема струи:
H
( Vin sin ) 2
2g
Дальность лета струи:
L  tVin cos  
2Vin sin  cos 
g
2.3.4 Результаты моделирования
Рисунок 2.12 Профиль течения, полученный с использованием
одномерной реконструкции и нескошенной схемы
Величина
Теория
H, м
0.23
2.8
L, м
0.92
1.3
Таблица 2.4
36
Погрешность расчета, %
Данный тест показывает, что в результате внедрения трехмерной реконструкции и скошенной схемы расчета получилась более гладкая форма свободной поверхности (Рисунок
2.10) (отсутствие различных «зубьев» и «ступенек»), чем это было при использовании простой одномерной реконструкции и нескошенной схемы (Рисунок 2.12). Данное улучшение
также положительно сказалось на точности расчетов.
2.4 Вращающийся бак, частично заполненный жидкостью
2.4.1 Постановка задачи
Бак радиусом R и высотой L, в начальный момент времени, заполненный жидкостью до
уровня H, вращается с угловой скоростью ω в поле силы тяжести [15].
Рисунок 2.13
g
кг м с-2
9.8
Геометрия:
L
0.2
м
R
0.05
м
Свойства вещества:
ρ
1000
кг м-3
μ
100
кг м-1 с-1
Уровень жидкости:
37
Н
0.1
м
Угловая скорость бака:
ω
рад с-1
20
Таблица 2.5
2.4.2 Расчетная сетка
Рисунок 2.14
При моделировании используется расчетная сетка 20х40х20 ячеек.
2.4.3 Теория
Изменение уровня жидкости в баке при вращении:
2

h(r)  H  ω 2r 2  R 2
4g

Распределение давления на дне бака:
P(r)  ρgH 
ρω 2
2r 2  R 2
4


38
2.4.4 Результаты моделирования
Рисунок 2.15 Поверхность жидкости
Рисунок 2.16 Распределение давления на дне бака
Получена гладкая форма свободной поверхности, а также верное распределение давления на дне бака. Некоторые неоднородности по бокам расчетной области связаны с аппроксимацией формы ячеек, в которых произошло подсеточное разрешение геометрии. Данный
эффект уменьшается при измельчении сетки в районе границы бака.
39
2.5 Водослив через плотину
2.5.1 Постановка задачи
Моделируется водослив через плотину. Высота наивысшей точки плотины равна а.
Уровень жидкости в плотине равен H [14].
Рисунок 2.17
g
9.8
кг м с-2
Геометрия:
a
0.05
м
Свойства вещества:
ρ
1000
кг м-3
μ
0
кг м-1 с-1
Уровень жидкости:
Н
0.06
Таблица 2.6
40
м
2.5.2 Расчетная сетка
Рисунок 2.18
При моделировании используется расчетная сетка 238х139х1 ячеек.
2.5.3 Теория
Толщина струи в верхней точке плотины:
d
2
H  a 
3
Скорость струи в верхней точке плотины:
V  dg
2.5.4 Результаты моделирования
d, м
V, м с-1
Теория
Погрешность расчета, %
6.667*10 -3
0.74%
0.256
-5.1%
Таблица 2.7
При формировании стационарной картины течения образуется тонкая струйка жидкости
(шириной в одну ячейку), а также большое количество капель. Кроме того фаза движется в
диагональном относительно сетки направлении. Таким образом, тест показывает адекватность расчета динамики капель и действие скошенной схемы.
41
2.6 Удар струи жидкости о плоскую стенку
2.6.1 Постановка задачи
Струя жидкости, движущаяся со скоростью V, ударяется о стенку. Угол между направлением струи и нормалью стенки равен α [14].
Рисунок 2.19
Геометрия:
α
45
о
Свойства вещества:
ρ
1000
кг м-3
μ
0
кг м-1 с-1
Параметры струи:
b
0.1
м
V
1
м c-1
Таблица 2.8
42
2.6.2 Расчетная сетка
Рисунок 2.20 сетка 400х300х1 ячеек
2.6.3 Теория
Скорость струй после разделения:
V  V1  V2
Толщина струй после разделения:
b1 
1
b1  sin  
2
b2 
1
b1  sin  
2
Момент, действующий на плоскость:
M
1
btg
2
2.6.4 Результаты моделирования
Теория
Погрешность расчета, %
-1
1
0
V2, м с-1
1
0
b 1, м
0.08534
-0.24
b 2, м
0.01466
-3.7
М, H м
0.1767
6.6
V1, м с
Таблица 2.9
43
Данный тестовый вариант показывает точность расчета при переносе жидкости в
диагональном направлении, где значительное влияние оказывает скошенная схема и гладкая
трехмерная реконструкция.
2.7 Ящик, плавающий на поверхности жидкости
2.7.1 Постановка задачи
Ящик размерами a x b х с и плотностью ρб падает в замкнутый бассейн размерами A x B
x C, заполненный жидкостью с плотностью ρж и вязкостью μж до уровня H. Плотность ящика в 2 раза меньше плотность жидкости, поэтому он плавает на поверхности жидкости, наполовину погрузившись в жидкость. Центр масс ящика расположен таким образом, что в положении равновесия поверхность жидкости проходит по диагонали боковой стороны ящика.
В начальный момент времени ящик расположен над поверхностью жидкости на высоте
h в горизонтальном положении.
Рисунок 2.21
44
g
9.8
кг м с-2
Параметры бассейна:
A
0.7
м
B
0.7
м
C
0.1
м
H
0.35
м
Параметры ящика:
a
0.2
м
b
0.1
м
с
0.1
м
ρб
500
кг м-3
x
-0.017
м
y
0.021
м
h
0. 1
м
Параметры жидкости:
ρж
1000
кг м-3
μж
0.001
кг м-1 с-1
Таблица 2.10
2.7.2 Расчетная сетка
Рисунок 2.22
45
При моделировании используется расчетная сетка 78х108х1 ячеек, сгущенная к поверхности жидкости и к области движения ящика.
2.7.3 Теория
Угол поворота ящика [16]:
α  arctg
b
 0.463 рад
a
Координаты центра инерции ящика в положении равновесия (в глобальной системе координат):
1
abc
h   bcosα  l 
 0.0478 м
3
2AC
2.7.4 Результаты моделирования
Рисунок 2.23 Положение ящика при выходе решения на стационар
Параметр
Теория
Погрешность расчета, %
h, м
-0.0478
-0.85
α, рад
0.463
+1.27
Таблица 2.11
46
На данном тесте показана корректность взаимодействия с блоком подвижных тел, а
также хорошая результирующая точность.
2.8 Колебание бака, частично заполненного жидкостью
2.8.1 Постановка задачи
Прямоугольный бак с размерами CxD, заполненный жидкостью до уровня H, совершает
колебания по синусоидальному закону    max sin( 2t ) вокруг оси, расположенной на расстоянии L от дна бака, в поле силы тяжести. На датчике, расположенном в центре правой боковой стенки, измеряется давление.
Рисунок 2.24
g
9.8
м с-2
Параметры геометрии:
A
4.16
м
B
2.02
м
C
0.505
м
D
1.04
м
L
0.4655
м
Параметры жидкости:

1000
кг м-3

0.001
кг м-1 с-1
47
Параметры бака:
αmax
40
o
ω
0.2
Гц
Таблица 2.12
2.8.2 Расчетная сетка
Рисунок 2.25
При моделировании используется расчетная сетка 800х400х1 ячеек.
Общее число расчетных ячеек порядка 6000.
48
2.8.3 Результаты моделирования
6000
P, Па
5000
4000
3000
Моделирование
Эксперимент
2000
1000
t, c
0
5
10
15
20
-1000
Рисунок 2.26
Модель правильно улавливает положение пиков колебания давления. Различия в их
форме с экспериментом связаны с использованием, для ускорения расчета, недостаточно подробной сетки (в т. ч. одномерной постановки), а также отключением блока турбулентности.
49
2.9 Обтекание судна
2.9.1 Постановка задачи
Неподвижное судно, зафиксированное на определенной глубине, обтекается набегающим потоком [17].
Vin
g
Рисунок 2.27
g
м с-1
9.8
Параметры входа:
Таблица 2.13
Vin
6.3
м с-1
bin
0.005
%
lin
0.46
м
Параметры жидкости:
ρ
1025
кг м-3
μ
0.001221
кг(м с)-1
50
2.9.2 Расчетная сетка
Рисунок 2.28
При моделировании используется расчетная сетка 556х124х200 ячеек.
Общее число расчетных ячеек - порядка 7 700 000.
2.9.3 Результаты моделирования
Рисунок 2.29
51
Рисунок 2.30 Распределение давления на дне судна
Величина
Эксперимент
Fx, кН
100 кН
Погрешность расчета, %
9.1
Таблица 2.14
На данном примере показано применение модуля свободной поверхности для решения
индустриальной задачи обтекания судна. Получена физичная волновая структура воды, форма которой согласуется с экспериментальными наблюдениями, а также адекватно вычислено
распределение давления на дне судна.
52
Заключение
В результате выполненной работы усовершенствована расчетная модель движения многофазной жидкости со свободной поверхностью в программном комплексе FlowVision.
Создана явная скошенная схема переноса свободной поверхности на основе метода Volume of Fluid. Выполнена интеграция схемы с расчетной адаптивной локально измельченной
сеткой FlowVision. Предложен способ аппроксимации формы ячеек, для которых выполнено
подсеточное разрешение геометрии (практика применения показала, что при адекватных задаче сетках влияние возможных ошибок на границе расчетной области незначительно).
Разработан алгоритм построения гладкой линейной трехмерной реконструкции свободной поверхности внутри ячейки на основе объема фазы в соседних ячейках, который позволяет с хорошей точностью аппроксимировать форму контактной границы. При использовании более сложных нелинейных реконструкций требуются дополнительные вычислительные
нагрузки. Однако на достаточно подробных сетках выигрыш в качестве решения невелик.
Результатом внедрения трехмерной реконструкции и скошенной схемы расчета стало
получение более гладкой формы свободной поверхности (отсутствие различных «зубьев» и
«ступенек»), чем это было при использовании простой одномерной реконструкции и нескошенной схемы. Данное улучшение также положительно сказалось на точности расчетов тестовых вариантов.
Усовершенствован алгоритм маркировки, который позволяет быстро выделять жидкостные, поверхностные и газовые ячейки при произвольном распределении параметра VOF
в расчетной сетке, а также находить диспергированные пузырьки и капли.
Ячейки, содержащие пузырьки и капли, исключаются из солвера Навье – Стокса. Динамика их движения определяется из специальных упрощенных уравнений. Предложенная методика позволяет качественно правильно учитывать явления диспергирования жидкости на
мелкие фрагменты. Для более тонких расчетов необходима специальная дисперсионная модель, разработка которой планируется в будущем.
Разработанный метод моделирования многофазных жидкостей со свободными поверхностями был внедрен в ПК FlowVision и проверен на тестовых вариантах и бенчмарках. В
результате проведенных численных экспериментов была показана адекватность программной
реализации блока свободной поверхности для широкого круга задач течения многофазных
несмешиваемых жидкостей. Получена хорошая точность решения и сеточная сходимость к
аналитике, проверена применимость методики для индустриальных задач.
53
Разработанные алгоритмы адекватно отслеживают динамику изменения формы свободной поверхности и диспергирование объема жидкости на мелкие фрагменты, а также корректно взаимодействуют с другими блоками ПК FlowVision, такими как подвижные тела и
адаптивная локально - измельченная сетка.
54
Список использованных источников
1. Malvern LW. Introduction to the Mechanics of a Continuous Medium. // Prentice-Hall:
Englewood Cliffs, 1969
2. Monaghan J.J., Simulation Free Surface Flows with SPH // Journal of Computational
Physics, no. 110, pp. 399-406, 1994.
3. Harlow F, Welch JE. Numerical calculation of time-dependent viscous incompressible
flow of fluid with a free surface. // Phys Fluids 1965;8:2182–9
4. Elbridge Gerry Puckett and James Edward Pilliod Jr, Second-order accurate volumeof-fluid algorithms for tracking material interfaces // Journal of Computational Physics, no. 192, pp. 465–502, 30-Jun-2004.
5. C. W. Hirt and B. D. Nichols, Volume of Fluid (VOF) Method for the Dynamics of
Free Boundaries // Journal of Computational Physics, no. 39, pp. 201–225, 1981.
6. Denis Gueyffier, Jie Li, Ali Nadim, Ruben Scardovelli, and St´ephane Zaleski, Volumeof-Fluid Interface Tracking with Smoothed Surface Stress Methods for ThreeDimensional Flows // Journal of Computational Physics, no. 152, pp. 423–456, 1999.
7. D. Gerlach, G. Tomar, G. Biswas, and F. Durst, Comparison of volume-of-fluid methods for surface tension-dominant two-phase flows // International Journal of Heat and
Mass Transfer, no. 49, pp. 740–754, 2006.
8. Elin Olsson and Gunilla Kreiss, A conservative level set method for two phase flow //
Journal of Computational Physics, no. 210, pp. 225–246, 2005.
9. C.E. Kees, M.W. Farthing, I. Akkerman, and Y. Bazilevs, A hybrid Level-Set method
for free-surface flows // XVIII International Conference on Water Resources, 2010.
10. Mark Sussman and Elbridge Gerry Puckett, A Coupled Level Set and Volume-of-Fluid
Method for Computing 3D and Axisymmetric Incompressible Two-Phase Flows //
Journal of Computational Physics, no. 162, pp. 301–337, 28-Mar-2000.
11. Mark Sussman, Coupled Level-Set/Volume-of-Fluid Method for the Simulation of
Liquid Atomization in Propulsion Device Injectors // American Institute of Aeronautics and Astronautics 2008.
12. Martin J.C., Moyce W.J. An experimental study of the collapse of liquid columns on a
rigid horizontal plane //. Philos. Trans. Roy. Soc. 1952 London, Vol. A244,p. 312-324.
55
13. Onno Ubbink, Numerical prediction of two fluid systems with sharp interfaces. Department of Mechanical Engineering Imperial College of Science // Technology &
Medicine, 1997.
14. Бэтчелор Дж. К., Введение в динамику жидкости, Москва – Ижевск, РХД, 2004
15. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа . – 7-е изд., испр. – М.: Дрофа, 2003
16. Сивухин Д.В., Общий курс физики, Механика, М. 1979, 520 с.
17. Вишневский Л.И., Егоров Г.В., Станков Б.Н., Печенюк А.В. Проектирование пропульсивного комплекса судна ограниченного района плавания на базе современных методов вычислительной гидродинамики. // Судостроение. - 2006. - № 2. С.27 – 31
56