Все ли изВестно об атоме Водорода?

20
Компетентное мнение
Все ли известно об атоме
водорода?
В.Неволин, д.ф.-м.н., профессор кафедры квантовой физики и наноэлектроники
Национального исследовательского университета МИЭТ, руководитель НОЦ "Зондовая
микроскопия и нанотехнология" / vkn@miee.ru
Н
овые технологии всегда способствовали развитию науки. Нанотехнологии
не являются исключением. Это научно-прикладное направление
позволяет выявлять и использовать в интересах людей фундаментальные
свойства материи в нанометровом масштабе. В результате происходит
изменение представлений об окружающих объектах мира.
Удастся ли узнать, используя нанотехнологические подходы, что-нибудь новое об атоме водорода? Кажется, в квантовой механике он изучен детальным образом, тем более, что многие
задачи о строении и поведении этого атома
решаются аналитически. Однако можно показать, что плотность вероятности нахождение
электрона, двигающегося вокруг ядра, в отличие от традиционных представлений, структурирована. Это должно приводить к уточнению
известных эффектов и, возможно, к предсказанию новых. Для доказательства такого утверждения целесообразно решить задачу об атоме водорода в представлении плотности вероятности,
непосредственно описывающую ее распределение во всех возможных квантовых состояниях
рассматриваемого атома [1–3].
Уравнения для непрерывного движения
квантовой частицы массы m в произвольном

внешнем поле W ( r , t) в представлении плотности вероятности имеют вид:
m
→
∂P
∂ρ
∂t

+ div ρ P = 0;
(1)
2
2
2
 P2
 (∇ ρ )
 ∆ρ
= −∇ 
+ W+
−
 2m
8 mρ 2
4 mρ
∂t


,


2
 (∇ ρ )
E =
8 mρ
2
2
2
−
 ∆ρ
4 mρ
−
Ze
2
r
= const .
(3)
Волновые функции для атома водорода найдены,
например, в [4]. Их можно записать в виде:
ψ nlm( r ,θ , φ ) = ψ nlm( r ,θ )e
imφ
.
(4)
Здесь n, l, m – квантовые числа. Поскольку ψ nlm( r ,θ ) –
функция вещественная, то выражение для плотности вероятности имеет вид:
ρ nlm = ψ
2
nlm ( r , θ
).
(5)
Квантовая величина ρ nlm показывает наличие осевой симметрии атома. Подставляя (5) в уравнение
движения (3) и проведя необходимые дифференцирования и сокращения подобных членов, получим
стандартное уравнение Шредингера для электрона
в кулоновском поле:
(2)

где ρ ( r , t ) – пространственно-временное распределение
плотности вероятности частицы;
 

P ( r ,t ) – ее макроскопический импульс, W ( r , t) –
произвольная потенциальная энергия.
Для атома водорода в традиционной квантовой механике вычислен спектр энергий
#3 / 33 / 2012
и найдены волновые функции. Для стационарного пространственно ограниченного движения
электрона в поле ядра с зарядом Z система уравнений (1) и (2) запишется в виде:
−

2
2m
∆ ψ nlm −
Ze
r
2
ψ nlm = E ψ nlm .
(6)
Решение его позволяет получить энергетический
спектр электрона в атоме и угловое распределение
плотности вероятности. В общем виде уравнение
имеет вид:
21
Компетентное мнение

H ψ = E ψ,
где оператор Гамильтона равен:
2
ˆ = −  ∆ − Ze
H
2m
r
2
.
(7)
Для отыскания собственных значений энергии
к аналогичному виду можно привести уравнение
(3):
ˆ ( ρ)ρ = E ρ
H
,
(8)
где нелинейный оператор Гамильтона равен:
2
2
2
ˆ ( ρ ) = −  ∆ +  ∇ ρ ∇ − Ze .
H
4m
8mρ
r
(9)
Сравнивая (7) и (9) можно увидеть, что для аналитических решений задач о пространственно ограниченном движении квантовых частиц предпочтительнее линейный оператор (7).
Решение уравнения (8) с оператором (9) позволяет получить новые представления о движении электрона в атоме водорода. Рассматривая
(4) и (5) можно видеть, что фаза волновой функции с магнитным квантовым числом исчезает
при описании с помощью плотности вероятности пространственно ограниченного движения
(5) и, как кажется, из решения должно исчезнуть
само магнитное число. Это не так. Решая методом разделения переменных систему уравнений
(8) и (9), как это делается для уравнения (3), и,
предположив, что ρ ( r , θ , φ ) = ρr ( r ) ρθ ( θ ) ρφ (φ ) ,
удается получить связанные между собой две константы разделения и уравнение для ρ φ ( φ ) :
β
2
1  d ρφ 


=
2 

ρφ  d φ 
2
2
−
решаемое подстановкой
1 d ρφ
ρφ
dφ
= u ( φ ) . Чтобы
2 d ρφ
ρφ
dφ
2
1 d ρφ
ρφ
dφ
= const ,
(10)
= u ( φ ) . Тогда
ρφ была однозначной
функцией для константы β , должны выполняться
соотношения β = m = 0 , ± 1, ± 2 , ± 3,... .
Из полученных решений следует, что в атоме
водорода могут существовать симметрия с m=0
и оси симметрии первого, второго и последующих
порядков. Это есть структурированное распределение плотности вероятности по углу φ с сохранением известных значений магнитных чисел,
отличающееся от традиционных решений (4) и (5).
Оно показывает, что для возбужденных атомов
при движении по углу φ наряду с существованием орбитальных токов должны иметь место
осцилляции электронной плотности вероятности
(см. рисунок). Значение при m=0 соответствует
распределению плотности вероятности по угловой
переменной φ для различных n и l (при всех других значениях m) в традиционной модели атома
водорода. В рассматриваемом случае угловое распределение плотности вероятности при m=0 отвечает невозбужденному атому водорода, а для m=±1,
m=±2 – возбужденным состояниям этого атома.
В традиционной модели атома водорода отсутствует пространственно структурированное распределение электронной плотности вероятности при
∏
2
m=0
∏
0
m = ±2
m = ±1
3∏
2
Рис. распределение электронной плотности
вероятности при движении по углу φ
движении по углу φ и можно подумать, что приведенные выше рассуждения – это математический
фокус. Однако за этим стоит определенная физика
явлений. Когда квантовая частица помимо собственно квантового движения совершает какое-то
механическое движение, например, поступательное, в этом случае ее плотность вероятности структурируется в пространстве [3]. Электрон в атоме
водорода в возбужденном состоянии помимо
#3 / 33 / 2012
22
Компетентное мнение
квантового совершает еще вращательное механическое движение с вполне определенным моментом количества движения и, следовательно, его
электронная плотность вероятности должна быть
структурирована в пространстве. Другими словами,
отсутствие по углу φ пространственно структурированного распределения электронной плотности
вероятности в традиционной модели атома водорода, по–видимому, связано с отказом от описания
квантовых систем в физических переменных.
Проверка полученного результата на экспериментальном факте показывает следующее.
Известно, что средний дипольный момент атома
водорода равен нулю [5]. Компонента электрического момента электрона в проекции на ось z равна
D z = ez = er cos θ . Тогда
∞ π
D z = e ∫ ∫ψ
2
nlm
2π
3
( r , θ )r dr cos θ sin θd θ
0
0 0
∞ π
∫ cos 2
2π
mφ
2
d φ = 0.
3
2 mφ
( r , θ )r интеграл
= e ∫ ∫ ψ nlm
dr cos θ sin
cos
d φ поскольку
= 0.
Второй
поθd θ ∫равен
нулю,
2
0
является
нечетной
0 0 подынтегральное
2 π выражение
3
2 mφ
симметричных
( r , θ )r функцией
θd θ ∫вcos
dr cos θ sincos
d φ = 0. пределах. Это
2 Влияние составляющей
0
и требовалось доказать.
2 mφ
должно
плотности вероятности ρφ m = cos
2
2
сказываться, например, при поляризации возбужденных атомов водорода в сильных электрических
полях.
Таким образом, в атоме водорода должно
существовать структурированное распределение плотности вероятности электрона при движении по углу φ для возбужденных состояний, что сказывается при его взаимодействии
с внешними полями и другими квантовыми
объектами.
Литература
1. Ghosh S.K., Deb B.M. Densities, Density-Functional
and Electron Fluids. – Physics Reports (Review Section of
Physics Letters), 1982, v.92, №1, р.1–44.
2. Алексеев Б.В., Абакумов А.И. Об одном подходе
к решению уравнения Шредингера. – Доклады
Академии наук, 1982, т.262, с.1100–1102.
3. Неволин В.К. Квантовая физика и нанотехнологии. – М.: Техносфера, 2011. Nevolin V.K. Quantum
Physics and Nanotechnology. http:/arxiv.org/
abs/1106.0973v1.
4. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Квантовая механика.
Нерелятивистская теория. – М.: Наука, 1974, с.130.
5. Блохинцев Д.И. Основы квантовой механики. –
М.: Наука, 1976, с.300.
НОВЫЕ КНИГИ ИздательствА "Техносфера"
Полимерные нанокомпозиты
Под ред. Ю-Винг Май, Жонг-Жен Ю
Москва:
Техносфера, 2011. –
688 с.
ISBN: 978-5-94836-203-8
Цена: 1188 р.
В книге приведен исчерпывающий обзор основных типов полимерных нанокомпозитов.
Часть I посвящена силикатам со слоистой структурой, рассмотрены их свойства:
воспламеняемость и термостойкость, барьерные свойства, износостойкость
и подверженность микробиологическому разрушению. В части II рассматриваются
нанотрубки, наночастицы и неорганически-органические гибридные системы,
анализируется их упругость и прочность, а также магнитные и светоиспускающие
характеристики.
Благодаря известным редакторам и международному авторскому коллективу книга
«Полимерные нанокомпозиты» станет настольным справочником по этому важному
новому типу материалов для руководителей групп исследователей и разработчиков
в автомобилестроении и гражданском строительстве.
Как за­ка ­зать на­ши кни­ги?
✉ 125319, Моск­ва, а/я 91; ℻ (495) 9563346, 2340110; knigi@technosphera.ru, sales@technosphera.ru
#3 / 33 / 2012