2. Основные уравнения динамики жидкости для осредненных

2. Основные уравнения динамики жидкости для осредненных
величин в декартовой системе координат.
2.1.
Осреднение основных уравнений
Применим правила осреднения Рейнольдса (1.8) и Фавра (1.30)-(1.34) к
основным уравнениям динамики жидкости.
1) Уравнение неразрывности в декартовой системе имеет вид (см.
Главу 1)
∂ρ
∂
+
( ρu j ) = 0
∂t ∂x j
(2.1)
Осредним его:
∂ρ
∂
∂ρ
∂
∂ρ
∂
∂ρ
∂
ρu j ) =
ρu j ) =
ρu j =
ρ uj
+
+
+
+
(
(
∂t ∂x j
∂t ∂x j
∂t ∂x j
∂t ∂x j
( )
( )
Таким образом, уравнение неразрывности для осредненных величин имеет
вид:
∂ρ
∂
+
ρ uj = 0
∂t ∂x j
(
2) Аналогично
поступаем
с
)
уравнением
(2.2)
движения,
которое
для
мгновенных значений параметров имеет вид:
∂
∂
ρu j ) +
(
( ρuiu j + δ ij p − τ ji ) = ρ Fj ,
∂t
∂xi
j = 1, 2,3
(2.3)
Применим к нему осреднение:
∂
∂
∂
∂
ρu j ) +
ρuiu j + δ ij p − τ ji ) =
ρu j +
ρ uiu j + δ ij p − τ ji =
(
(
∂t
∂xi
∂t
∂xi
( )
=
(
)
∂
∂  
ρ uj +
 ρ ui B + ρ ui′′u j′′ + δ ij p − τ ji 
∂t
∂xi 

( )
Уравнение количества движения:
∂
∂  
ρ uj +
 ρ ui u j + ρ ui′′u j′′ + δ ij p − τ ji  = ρ F j ,
∂t
∂xi 

(
)
3) Применяя осреднение к уравнению энергии
j = 1, 2,3
(2.4)
∂(ρE)
∂t
+
∂
 ρ u j H − uiτ ij + q j  = ρ Fj u j ,
∂x j 
(2.5)
получаем:
( )+
∂ ρE
∂t
1 2
∂ 

 ρ u j H + ρ u j′′h′′ + ui ρ u j′′u j′′ + ρ u j′′ui′′ + q j − uiτ ij − ui′′τ ij  = ρ Fj u j
∂x j 
2

(2.6)
Пульсациями плотности массовой силы можно пренебречь.
При выводе уравнения (2.6) использованы следующие соотношения:


ui ui 
1
 = ρ u j h + ρ u j ui ui =
2 
2
1
1
1
= ρ u j h + ρ u j′′h′′ + ρ u j ui 2 + u j ρ ui′′2 + ui ρ u j′′u j′′ + ρ u j′′ui′′2 =
2
2
2
1
1 
1

= ρ u j  h + ui 2 + ui′′2  + ρ u j′′h′′ + ui ρ u j′′u j′′ + ρ u j′′ui′′2 =
2
2
2


+ ρ u ′′h′′ + u ρ u ′′u ′′ + 1 ρ u ′′u ′′2 ;
= ρ u j H
j
i
j
j
j i
2
ρu j H = ρu j  h +
(
)(
ρ u j uiui = ρ u j + u j′′ ui + ui′′
)
2
=
)
(
= ρ ui 2u j + 2 ρ ui u j u j′′ + ρ u j ui′′2 + ρ u j′′ui 2 + 2 ρ ui u j′′u j′′ + ρ u j′′ui′′2 =
= ρ ui 2u j + u j ρ ui′′2 + 2ui ρ u j′′u j′′ + ρ u j′′ui′′2 ,
(
)
uiτ ij = uiτ ij + ui′′τ ij + uiτ ij′ + ui′′τ ij′ = uiτ ij + ui′′τ ij + ui′′τ ij′
Здесь:
=  h + 1 u 2 + K  H
i


2


(2.7)
осредненная полная энтальпия H ,
1
K = ui′′2
2
- турбулентная кинетическая энергия.
Внутренняя энергия e и энтальпия h связаны соотношением:
(2.8)
h=e+
p
(2.9)
ρ
Кроме того, для идеального справедливо уравнение состояния:
p = ρ RT = ( γ − 1) CV T ρ = ( γ − 1) eρ
(2.10)
После осреднения этих уравнений получаем:
p
h = e + ,
(2.11)
p = ρ RT = ( γ − 1) CV T ρ = ( γ − 1) e ρ
(2.12)
ρ
В уравнениях (2.4),(2.6) присутствуют важные корреляции пульсаций
ρ u j′′ui′′ и ρ u j′′h′′
В параграфе 1.3.
на примере двумерного слоя мы убедились, что
корреляции пульсаций компонент скорости
имеют физический смысл
дополнительного турбулентного трения. Аналогично, корреляции пульсаций
скорости и энтальпии имеет смысл дополнительного турбулентного переноса
тепла.
Таким образом, указанные члены имеют следующий физический смысл:
ρ u j′′ui′′ = ρ u j′′ui′′
- компоненты тензора напряжений дополнительного
турбулентного трения;
ρ u j′′h′′ = ρ u j′′h′′ - компоненты вектора дополнительного турбулентного
теплового потока;
2.2. Основные допущения
Полученную систему невозможно решить без введения дополнительных
допущений. Эти допущения можно разбить на несколько логических групп.
Группа 1. Относится к моделированию молекулярных вязких, тепловых и
диффузионных потоков.
Пренебрегаем корреляцией
ui′′τ ij = 0
(2.13)
Тензор вязких напряжений и тепловой поток моделируются по формулам:
 ∂ui ∂u j  2
∂u
+
 − δ ij µ m ,
 ∂x
∂xm
 j ∂xi  3
(2.14)
∂T
∂x j
(2.15)
τ ij = µ 
q j = −λ
Переносные свойства при этом выражаются через средние (по Фавру)
значения параметров:
( )
λ = λ (T ) = λ (T )
µ = µ (T ) = µ T ,
(2.16)
Если ввести в рассмотрение критерий Прандтля
Pr =
µ CP
,
λ
(2.17)
То уравнение для теплового потока (2.15) можно записать в виде
qj = −
µ CP ∂T
Pr ∂x j
=−
µ ∂ h
(2.18)
Pr ∂x j
Некоторые аргументы в обоснование правомочности допущений этой
группы будут рассмотрены позднее в данной главе.
Группа 2. Относится к моделированию дополнительных турбулентных
потоков ρ u j′′ui′′ , ρ u j′′h′′ ,
1 ρ u j′′ui′′2 . Основное допущение, наиболее часто
2
используемое на практике, состоит в том, что эти потоки моделируются
аналогично молекулярным потокам (см. Главу 1 и формулы (2.14) и (2.18) ).
Тензор
турбулентных
напряжений
моделируется
через
скорость
деформаций
 ∂u ∂u j  2
∂um 2
− ρ u j′′ui′′ = µT  i +
− δ µ
− δ ρK ,
 ∂x j ∂xi  3 ij T ∂xm 3 ij


(2.19)
Последний член в формуле добавлен для совпадения инвариантов
тензоров, стоящих в формуле справа и слева.
Здесь µT - коэффициент турбулентной вязкости.
Для моделирования µT за основу можно взять формулу (1.22):
′′2 L
µT = C1ρ v
В качестве масштаба скорости
′′2
v
(2.20)
можно по аналогии со слоем
смешения использовать среднеквадратичную пульсацию скорости по
направлению по нормали к линиям тока Vn′′2 .
Однако в общем
случае для практического использование масштаба
турбулентности L неудобно. Для описания турбулентных течений более
важным параметром является не какой-то один характерный масштаб длины,
а характерный масштаб времени τ , т.е. время, за которое энергия движения
крупных вихрей, полученная от осредненного движения, проходит весь
спектр масштабов размеров – от наиболее крупных до самых мелких, при
которых происходит диссипация турбулентной энергии.
Исходя из теории размерностей, получаем:
L = Vn′′2τ ,
(2.21)
и окончательная формула для µT принимает вид:
µT = C1 ρ Vn′′2τ
(2.22)
Эту формулу и будем рассматривать как основу для дальнейших
выкладок.
Турбулентные потоки скалярных величин моделируются через градиенты
этих величин:
ρ u j′′h′′ = −
µT ∂ h
PrT ∂x j
,
1 µ ∂K
ρ u j′′ui′′2 = − T
,
2
σ K ∂x j
(2.23)
(2.24)
где PrT - турбулентное число Прандтля, σ K - аналог числа Прандтля для
потока
турбулентной
кинетической
энергии
K
(обычно
полагается
константой близкой к единице).
Таким образом, задача моделирования турбулентности сведена к
определению
параметров,
входящих
в
определение
коэффициента
турбулентной вязкости µT (2.22), турбулентной кинетической энергии K и
турбулентного число Прандтля.
Этому вопросу будут посвящены следующие параграфы.