ЭКЗАМЕН ПО СТАТИСТИЧЕСКОЙ ФИЗИКЕ НА ФПФЭ А.А

ЭКЗАМЕН ПО СТАТИСТИЧЕСКОЙ ФИЗИКЕ НА ФПФЭ
А.А. ПУХОВ, весна 2010 года
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
I. Тестовые вопросы
Запишите равенство, выражающее содержание «эргодической гипотезы».
Запишите три условия термодинамического равновесия фаз (подсистем) системы.
Запишите два основных термодинамических неравенства (условия устойчивости вещества).
Запишите выражение для дифференциала внутренней энергии в магнитном поле.
Запишите выражение для дифференциала свободной энергии в магнитном поле.
Запишите выражение для дифференциала омега-потенциала в магнитном поле.
Запишите выражение для дифференциала термодинамического потенциала Гиббса в
магнитном поле.
При каких фиксированных переменных свободная энергия минимальна в равновесии?
При каких фиксированных переменных термодинамический потенциал Гиббса минимален в
равновесии?
При каких фиксированных переменных омега-потенциал минимален в равновесии?
Какая термодинамическая величина равна производной свободной энергии по числу частиц?
Какая термодинамическая величина равна производной омега-потенциала по химпотенциалу?
Запишите уравнение Лиувилля.
Запишите уравнение фон Неймана.
Запишите выражение для равновесной матрицы плотности в каноническом ансамбле.
Запишите выражение для среднего физической величины по ансамблю при помощи
равновесной матрицы плотности.
Какова связь между распределением по энергиям и распределением по состояниям системы?
Запишите выражение для статистической суммы (фазового интеграла) системы в
классическом приближении.
Запишите выражение для статистической энтропии Больцмана.
Запишите выражение для статистической (информационной) энтропии Гиббса.
Запишите выражение для статистической суммы.
Запишите выражение для большой статистической суммы.
Запишите выражение для канонического распределения Гиббса.
Запишите выражение для большого канонического распределения Гиббса.
Запишите выражение для свободной энергии через статистическую сумму.
Запишите выражение для омега-потенциала через большую статистическую сумму.
Запишите выражение для температуры вырождения идеального газа.
Запишите выражение для температуры бозе-конденсации.
Запишите выражение для температуры Ферми.
Запишите выражение для распределения Ферми.
Запишите выражение для распределения Бозе.
Запишите выражение для плотности числа одночастичных состояний электронов.
Запишите выражение для плотности числа одночастичных состояний фотонов.
При каких размерностях задачи 1D, 2D или 3D возможна бозе-конденсация идеального газа?
Запишите выражение для химического потенциала фотонов.
Как зависит от температуры химический потенциал больцмановского газа?
Как зависит от температуры теплоемкость фотонного газа?
Как зависит от температуры теплоемкость вырожденного электронного газа?
Как зависит от температуры теплоемкость вырожденного бозе-газа?
Как зависит от температуры теплоемкость магнонов?
Велики или малы числа заполнения больцмановского газа?
Как найти намагниченность системы, если известна свободная энергия?
Запишите выражение для магнетона Бора.
Запишите условия, при которых можно наблюдать эффект де-Гааза – ван-Альфена.
Запишите выражение для гамильтониана Гейзенберга.
Как связана температура Кюри и обменный интеграл?
Запишите выражение для массы магнона.
Запишите соотношение, выражающее «закон больших чисел».
49. Запишите выражение для вероятности термодинамической флуктуации (принцип Больцмана).
50. Фазовому переходу какого рода соответствует скачок химпотенциала?
51. Запишите разложение свободной энергии по параметру порядка в теории Ландау фазовых
переходов II рода во внешнем поле.
52. Запишите критерий Ландау сверхтекучести квантовой жидкости.
53. Запишите выражение для гамильтониана системы тождественных взаимодействующих частиц
в представлении вторичного квантования.
54. Запишите выражение для скорости боголюбовского звука.
55. Запишите выражение для спектра возбуждений в модели БКШ.
56. Какова связь между энергетической щелью и критической температурой сверхпроводника?
57. Чему равен размер куперовской пары?
58. Запишите выражение для функционала Гинзбурга-Ландау.
59. Запишите уравнение Гинзбурга-Ландау для комплексного параметра порядка.
60. Запишите уравнение Гинзбурга-Ландау для векторного потенциала.
61. Запишите выражение для корреляционной длины.
62. Запишите выражение для лондоновской глубины проникновения.
63. Запишите выражение для плотности сверхпроводящего тока.
64. Запишите равенство, выражающее сущность «эффекта Мейсснера».
65. Запишите выражение для кванта магнитного потока.
66. Запишите выражение для магнитного потока через полость сверхпроводника.
67. В каком соотношении находятся корреляционная длина и лондоновская глубина
проникновения магнитного поля для сверхпроводников II рода?
68. Запишите выражение для поля в центре абрикосовского вихря.
69. Запишите оценочные выражения для верхнего, нижнего и термодинамического критических
магнитных полей.
II. Экзаменационные задачи
Показать, что из принципа максимальности энтропии следует однородность системы по
температуре, давлению и химическому потенциалу.
2. Показать, что статистическая сумма является образом Лапласа плотности числа состояний
системы.
3. Вычислить температуру, при которой химический потенциал идеального ферми-газа
обращается в ноль.
4. Вычислить температуру, при которой химический потенциал идеального бозе-газа обращается
в ноль.
5. Оценить температуру вырождения идеальных бозе- и ферми-газов.
6. Вычислить температуру конденсации идеального бозе-газа, находящегося в трехмерной
гармонической ловушке.
7. Вычислить энергию Ферми идеального ферми-газа, находящегося в трехмерной
гармонической ловушке.
8. Нарисовать изотерму, изобару и изохору идеального бозе-газа.
9. Нарисовать изотерму, изобару и изохору идеального ферми-газа.
10. Вычислить постоянную Стефана – Больцмана.
11. Вычислить парамагнитную восприимчивость невырожденного электронного газа.
12. Вычислить диамагнитную восприимчивость невырожденного электронного газа.
13. Вычислить энтропию системы невзаимодействующих двухуровневых частиц.
14. Вычислить энтропию системы невзаимодействующих осцилляторов.
15. Вычислить изменение температуры парамагнитного вещества при адиабатическом
уменьшении магнитного поля.
16. Вычислить температурную зависимость магнитной восприимчивости ферромагнетика в
окрестности температуры Кюри (в теории Ландау).
17. Вычислить температуру Кюри ферромагнетика в модели Гейзенберга в приближении среднего
поля.
18. Вычислить равновесную плотность фотонов реликтового излучения.
19. Вычислить теплоемкость магнонов при низких температурах.
1.
20. Показать, что (в главном приближении) фазовая скорость фонона в слабонеидеальном бозегазе равна гидродинамической скорости звука.
21. Вычислить температуру бозе-конденсации в трехмерной гармонической ловушке.
22. Вычислить величину энергетической щели сверхпроводника при нулевой температуре в
модели БКШ.
23. Какова температурная зависимость критического тока сверхпроводника от температуры
вблизи точки перехода? Воспользоваться критерием сверхтекучести Ландау.
24. Вычислить температуру сверхпроводящего перехода в модели БКШ.
25. Какова температурная зависимость теплоемкости сверхпроводника при низких температурах в
модели БКШ.
26. Вычислить теплоемкость слабонеидеального бозе-газа при низких температурах.
III. Экзаменационные вопросы
Термодинамические величины. Температура. Энтропия.
Неравновесная энтропия и принцип возрастания энтропии.
Принцип минимальности термодинамических потенциалов.
Условия равновесия фаз. Фазовые переходы первого и второго рода. Термодинамические
потенциалы при переменном числе частиц. Химический потенциал.
5.
Термодинамические потенциалы в магнитном поле.
6.
Теорема Нернста.
7.
Статистическая независимость и закон больших чисел.
8.
Теорема Лиувилля. Микроканоническое распределение.
9.
Число состояний, плотность состояний и статистическая энтропия Больцмана.
10. Каноническое распределение Гиббса. Статистическая сумма и свободная энергия.
11. Каноническое распределение Гиббса. Статистическая энтропия Гиббса. Флуктуация энергии.
12. Равновесное распределение макроскопической системы по состояниям и по энергии.
13. Большое каноническое распределение. Флуктуация числа частиц и энергии.
14. Неравновесная энтропия идеального ферми-газа.
15. Неравновесная энтропия идеального бозе-газа.
16. Зависимость химического потенциала идеального бозе-газа от температуры.
17. Зависимость химического потенциала идеального ферми-газа от температуры.
18. Основные термодинамические величины больцмановского газа.
19. Идеальный ферми-газ. Уравнение состояния и основные термодинамические величины.
20. Идеальный бозе-газ. Уравнение состояния и основные термодинамические величины.
21. Теплоемкость теплового излучения.
22. Теплоемкость фононов и фотонов при низких температурах.
23. Теплоемкость электронов металла при низких температурах.
24. Теплоемкость твердого тела в модели Дебая.
25. Идеальный больцмановский газ.
26. Теорема Бора – ван Леевен.
27. Парамагнетизм Паули.
28. Диамагнетизм Ландау.
29. Эффект де-Гааза - ван-Альфена.
30. Спиновые волны в модели Гейзенберга. Теплоемкость магнонов.
31. Теория фазовых переходов II рода Ландау в применении к ферромагнетику.
32. Ферромагнитный переход в модели Гейзенберга в приближении среднего поля.
33. Флуктуации параметра порядка. Критерий применимости теории среднего поля.
Флуктуационная теплоемкость.
34. Гамильтониан взаимодействующих бозе- и ферми- частиц в представлении вторичного
квантования.
35. Скорость звука в неидеальном бозе-газе при нулевой температуре.
36. Критерий Ландау сверхтекучести.
37. Преобразования Боголюбова в теории сверхтекучести и в теории сверхпроводимости.
38. Неидеальный бозе-газ при нулевой температуре. Спектр возбуждений. Сверхтекучесть.
39. Элементарные возбуждения неидеального бозе-газа и критерий сверхтекучести Ландау.
1.
2.
3.
4.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
Микроскопическая теория сверхпроводимости. Преобразование Боголюбова. Уравнение для
щели в модели БКШ.
Микроскопическая теория сверхпроводимости. Скачок теплоемкости сверхпроводника в
модели БКШ.
Критерий Ландау сверхтекучести для сверхпроводника. Критический ток.
Теория Гинзбурга – Ландау. Сверхпроводники I и II рода.
Теория Гинзбурга – Ландау. Эффект Мейсснера.
Теория Гинзбурга – Ландау. Квантование магнитного потока.
Длина когерентности и глубина проникновения магнитного поля.
Плотность сверхпроводящего тока и квантование магнитного потока.
Вихри Абрикосова. Верхнее и нижнее критические поля в сверхпроводниках II рода.
Эффект Джозефсона.
IV. «ПРИНЦИП ПРОСТОТЫ»
Поскольку наша кафедра является лучшей из кафедр теоретической физики, экзаменаци-онная
оценка описывается вариационным принципом.
0. Допущенные к экзамену получают билеты.
1. Первый пункт билета содержит 5 простых тестовых вопросов, на которые следует ответить
письменно, в присутствии преподавателя, в течение нескольких минут. Справившиеся с этим
могут покинуть экзамен с оценкой «удовлетворительно». Для оставшихся успешное
выполнение теста не является «несгораемой суммой». Оценка выставляется исходя из
«принципа простоты»:
2. +Экзаменационная задача - «удовлетворительно».
3. +Экзаменационный вопрос - «хорошо».
4. +Экзаменационный вопрос - «отлично».