1.5. Модели жидкостей.

1.5. Модели жидкостей.
Как уже говорилось, для замыкания дифференциальной модели (DM) необходимы дополнительные уравнения, называемые определяющими. Эти уравнения уже не являются универсальными для всех сплошных сред и учитывают те или иные физические свойства конкретных сред. Говорилось также и о
том, что жидкости и газы характеризуются существенной зависимостью
тензора напряжений от тензора скоростей деформации и независимостью
от тензора напряжений. Здесь мы более подробно рассмотрим различные
модели одного класса сплошных сред, называемого жидкости.
1.5.1. Основное уравнение состояния.
Мы предполагаем, что уравнение состояния для жидкостей имеет вид
P = F ( D, P, x, t )
(1.50)
Подчеркнем, что здесь мы уже воспользовались принципами причинности и
пространственной локализации: уравнение (1.50) им уже удовлетворяет. Мы
также предполагаем выполненным принцип независимости от системы отсчета; это проявится чуть ниже. Далее, в уравнении (1.50) мы пока не конкретизируем список термодинамических параметров P; это также будет сделано
чуть ниже, в следующем пункте.
1.5.2. Однородность уравнения состояния.
Жидкость однородна, т.е. функция F в уравнении состояния не зависит явно от x и t.
Д о к а з а т е л ь с т в о : В самом деле, в силу принципа независимости от системы отсчета
P′ = F ( D′, P′, x′, t ′)
или, что то же,
O ∗ ( t ) D P D O ( t ) = F ( O ∗ ( t ) D D D O ( t ) , P, O ∗ ( t ) x , t + α ) .
В силу теоремы 1.4.10 об индифферентности основных тензоров, ортогональности преобразования O, а также изотропности функций, входящих в
уравнение состояния, последнее равенство переписывается в виде
O ( t ) D O ∗ ( t ) D P D O ( t ) D O ∗ ( t ) = O ( t ) D F (O ∗ ( t ) D D D O ( t ) , P, O ∗ ( t ) x , t + α ) D O ∗ ( t ) ,
P = F ( D, P, O ∗ ( t ) x , t + α ) .
Таким образом, для любого ортогонального преобразования O и любого числа α имеет место тождество
F ( D, P, O ∗ ( t ) x , t + α ) ≡ F ( D, P, x, t ) .
(1.51)
Поэтому (если взять O=I) для любых t1 и t2
F ( D, P, x, t1 ) ≡ F ( D, P, x, t2 ) ,
2
что означает независимость F от t. Если же для любых x1, x2∈R3 в (1.51) взять
в качестве O ортогональное преобразования, переводящее x1 в x2, а в качестве
α – нуль, то
F ( D, P, x2 , t ) ≡ F ( D, P, x1 , t ) ,
что означает независимость F от x.
Однородность означает, что физические законы, которым подчиняется жидкость, неизменны во времени и пространстве. Два последних аргумента у
функции F теперь опускаются:
F ( D, P, x, t ) = F ( D, P ) .
Сейчас мы сформулируем основные аксиомы, которым должно удовлетворять уравнение состояния в нашей модели жидкости.
1.5.3. Аксиома идеальности.
Покоящаяся жидкость идеальна, т.е. тензор напряжений в ней пропорционален тождественному.
Математически, эта аксиома означает, что
F ( 0, P ) = − pI
где −p – коэффициент пропорциональности. Величина p называется давлением. Элементарная работа в идеальных средах задается формулой
dA = pdV
(1.52)
где V = 1 ρ – удельный объем.
1.5.4. Представление уравнения состояния.
Из принципа независимости от системы отсчета следует изотропность
функции F по первому аргументу. Поэтому в силу теоремы 1.4.17 она может
быть представлена в виде
F ( D , P ) = ϕ 0 I + ϕ1 D + ϕ 2 D 2
(1.53)
где коэффициенты ϕi зависят от инвариантов тензора D и параметров состояния: ϕ i = ϕ i  J 1 ( D ) , J 2 ( D ) , J 3 ( D ) , P .
Теперь о параметрах состояния. Термодинамическое состояние жидкости
описывается пятью параметрами: P = ( ρ ,U , Θ, s, p ) . Следующая аксиома выделяет среди них независимые.
1.5.5. Аксиома термодинамического состояния
Жидкости являются двупараметрическими средами.
Эта аксиома означает, что из набора P только два параметра независимы, остальные выражаются через них. Обычно пространство (термодинамических)
состояний P параметризуется параметрами ρ (удельная плотность) и s
(удельная энтропия). Аксиома термодинамического состояния требует, чтобы
были известны функции выражающие U,Θ и p через ρ и s. Но если мы знаем
3
функцию U = u ( ρ , s ) , то в силу основного термодинамического тождества
(1.27), которое для идеальных жидкостей (см. (1.52) имеет вид
θ ds = dU + pdV
(*)
V = 1 ρ , остальные функции можно выразить через U.
Действительно, подставляя U=U(ρ,s) и V = 1 ρ в основное термодинамическое тождество, имеем
Θds =
∂U ( ρ , s )
∂U ( ρ , s )
1
dρ +
ds − p 2 d ρ
∂ρ
∂s
ρ
откуда, учитывая независимость ρ и s
Θ ( ρ, s) =
∂U ( ρ , s )
∂U ( ρ , s )
, p ( ρ, s) = ρ 2
∂s
∂ρ
(1.54)
Коэффициент теплопроводности κ также считается функцией ρ и s.
Кроме того, нуждаются в описании зависимости коэффициентов ϕi в (1.53) от
инвариантов тензора скоростей деформации J=(J1,J2,J3) и параметров состояния ρ, s:
ϕi = ϕi ( J , ρ , s )
( i = 0,1, 2 ) .
(1.55)
Отметим, что аксиома идеальности позволяет вычислить ϕ0 при J=0:
ϕ 0 ( 0, ρ , s ) = − p .
(1.56)
1.5.6. Первая замкнутая модель жидкости.
Предположим, что из экспериментальных данных или каких-либо теоретических предположений известны функции (1.55), а также функция κ(ρ,s). Тогда
уравнения
( F1)
d ρ
 dt + ρ divv = 0,

 ρ dv = divP +ρ f ,
 dt
 dU
= P : D + div (κ∇Θ ) ,
ρ
 dt
 P =ϕ 0 I + ϕ1D + ϕ 2 D 2
образуют замкнутую модель. В самом деле, после исключения с помощью
последнего уравнения тензора P из этой системы получится пять скалярных
уравнений для пяти скалярных неизвестных – трех компонент вектора скорости, удельных плотности и энтропии.
Эта модель непомерно сложна для использования, поскольку она, во-первых,
весьма и весьма сложна как математический объект, а, во-вторых, требует
знания большого числа функций состояния (U,κ,ϕi).
Эти функции (особенно первые две) для конкретной жидкости есть результат
обработки экспериментальных результатов. Разработка и проведение экспе4
риментов, результатом которых явится знание этих функций, сама по себе
сложная и дорогостоящая научная задача. Поэтому мы попытаемся упростить модель, исходя из дополнительных аксиом, которые хотя и сужают
класс рассматриваемых жидкостей, тем не менее, с одной стороны, оставляют в классе много типов жидкостей, а с другой стороны, существенно упрощают математическую модель. Одной из таких аксиом является следующая.
1.5.7. Аксиома линейности
Тензор напряжений P зависит от тензора скоростей деформации D
линейно.
Эта аксиома сразу же влечет три следующих вывода. Во-первых, в (1.53)
ϕ2≡0. Во-вторых, ϕ1 не зависит от инвариантов тензора D. В-третьих, поскольку только один инвариант тензора, а именно, след trD (=divv) линейно
зависит от D, ϕ0 зависит только от trD.
Таким образом, (здесь мы используем (1.56))
ϕ 0 = ϕ 0 ( tr D, ρ , s ) =
ϕ 0 ( 0, ρ , s ) + λ ( ρ , s ) tr D = − p ( ρ , s ) + λ ( ρ , s ) divv,
def
ϕ1 = ϕ 1 ( ρ , s ) = 2 µ ( ρ , s ) ,
ϕ 2 = 0.
Поэтому
P = ( − p + λ divv ) I + 2 µ D .
(1.57)
1.5.8. Классическая модель жидкости.
Аксиома линейности, вернее, ее следствие (1.57), позволяют вычислить в модели (F1) divP и P:D:
divP = −∇p + ∇ ( λdivv ) + div ( 2 µ D )
(здесь мы воспользовались очевидным равенством div(ϕ(x)I)=gradϕ, выполненным для любой гладкой функции ϕ:R3→R) Для вычисления P:D введем
1
3
девиатор тензора D формулой D′ = D − ( div v ) I и определим диссипативную
функцию Φ формулой
2 
2

Φ =  λ + µ  ( divv ) + 2 µ D′ : D .
3 

Тогда, учитывая, что trD=trD*=divv, а также, что
∗


1
1
2

D′ : D = tr  D − ( divv ) I  D D  = tr ( D* D D ) − ( divv ) ,
3
3



имеем
(
)
P : D = tr ( P ∗ D D ) = tr ( − p + λ divv ) I + 2 µ D  D D =
∗
= tr ( − pD ) + tr  λ ( divv ) D  + tr ( 2 µ D ∗ D D ) =
5
2
2
2
2
2
= − pdivv +λ ( divv ) + µ ( divv ) + 2 µ tr ( D ∗ D D ) − µ ( divv ) =
3
3
2 
2

= − pdivv +  λ + µ  ( divv ) + 2 µ D′ : D = − pdivv +Φ .
3 

Дифференцируя основное термодинамическое тождество по t и умножая результат на ρ, получаем
dU
ds
dV
= ρΘ − p ρ
dt
dt
dt
dV
вычисляется так:
С помощью уравнения неразрывности p ρ
dt
d (1 ρ )
 1  dρ
1
dV
pρ
= pρ
= − pρ  2 
= − p ( − ρ divv ) = pdivv .
dt
dе
ρ
 ρ  dt
ρ
Поэтому
ρ
dU
ds
= ρΘ − pdivv .
dt
dt
Подставляя вычисленные выражения в модель (F1), получим следующую так
называемую классическую модель жидкости:
( F2 )
d ρ
 dt + ρ divv = 0,

 dv
= −∇p + ∇ ( λdivv ) + div ( 2µ D ) + ρ f ,
ρ
 dt
ds

 ρΘ dt = div (κ∇Θ ) + Φ.
В этой модели U, λ, µ, κ считаются заданными функциями независимых параметров состояния (ρ,s), а p, ρ, Θ, s связаны соотношениями (1.54). Модель
(F2) вместе с (1.54) составляют пять скалярных уравнений для пяти скалярных неизвестных ρ, v, s. Коэффициенты λ=λ(ρ,s) и µ=µ(ρ,s) называются первым и вторым коэффициентами вязкости.
Классическая модель все еще остается достаточно сложной как в математическом плане, так и плане применимости ее к описанию конкретных жидкостей. Последнее связано с необходимостью знать четыре функции состояния
U, λ, µ, κ. Эти функции могут быть получены только из экспериментальных
или общетеоретических соображений, и их нахождение представляет собой
отдельную весьма трудную задачу. Поэтому мы, продолжая двигаться по избранному пути, рассмотрим частные случаи этой модели, сужая класс описываемых ею жидкостей (находясь в классе аксиомы линейности).
1.5.9. Несжимаемая жидкость.
Опыт показывает, что в довольно широком классе течений многих жидкостей
даже большие изменения давления не приводит к существенному изменению
плотности. Поэтому в таком классе плотность можно считать константой.
Проследим за математическими следствиями предположения ρ=const.
6
Во-первых, среда сразу же становится в термодинамическом смысле однопараметрической. В качестве независимого параметра в этом случае обычно
выбирается абсолютная температура Θ.
Далее, давление перестает быть термодинамическим параметром состояния,
поскольку перестает участвовать в основном термодинамическом тождестве:
ρ = const ⇒ V =
1
ρ
= const ⇒ dV = 0 , и слагаемое pdV исчезает из основного тер-
модинамического тождества. Более того, основное термодинамическое тождество принимает вид
dU = Θds ,
свидетельствующий о том, что приток тепла в среду идет только на увеличение ее внутренней энергии. Это, как мы увидим ниже, позволяет выделить
уравнение притока тепла из модели и решать его независимо. Пока же мы
исключим его из модели.
Далее, так как ρ=const, уравнение неразрывности принимает вид
divv = 0 ,
поэтому вязкость λ перестает играть какую-либо роль в модели (она фигурирует только в уравнении сохранения импульса с множителем divv. Таким образом, остается только вязкость µ. Удобно и принято вместо µ ввести коэффициент кинематической вязкости ν=µ/ρ. В общем случае коэффициент кинематической вязкости может довольно сильно зависеть от температуры
ν=ν(Θ) (например, в магматических расплавах вязкость в зависимости от
температуры может отличаться на несколько порядков). Однако в простейшей модели, рассматриваемой нами, мы будем считать, что ν=const. Такое
ограничение оставляет класс описываемых жидкостей достаточно широким.
Упростим уравнение сохранения импульса. Для этого достаточно заметить,
что
∗
 ∂v 
 ∂v 
div   = ∇ ( divv ) , div   = ∆v
 ∂x 
 ∂x 
(здесь ∆ – оператор Лапласа), и поэтому, в силу постоянства µ,
 1  ∂v  ∂v ∗  
div ( 2µ D ) = div  2µ  +     = µ∆v .


 2  ∂x  ∂x   
Уравнение неразрывности и уравнение сохранения импульса (после деления
его на ρ) составляют математическую модель вязкой несжимаемой жидкости:
( F3)
divv = 0,

1
 dv
 dt = − ρ ∇p + ν∆v + f .

Эта система уравнений называется системой уравнений Навье–Стокса и
представляет собой систему из четырех скалярных уравнений для четырех
скалярных неизвестных v,p. Модель (F3) – одна из наиболее широко применяющихся моделей жидкости.
7
Вернемся к уравнению притока тепла. Тот факт, что приток тепла идет только на изменение внутренней энергии (dU=Θds), означает, что среда обладает
свойством воспринимать тепловую энергию при неизменном объеме. Это
свойство называется теплоемкостью и характеризуется величиной
CV =
∂U ( Θ,V )
. Функция CV(Θ) определяется экспериментально и известна для
∂Θ
широкого спектра сред. Таким образом, dU=CVdΘ. Но тогда уравнение притока тепла можно записать в виде
ρ Cν
dΘ
= div (κ∇Θ ) + 2νρ ( D′ : D )
dt
(здесь мы учли, что divv=0). Или, после деления на ρCV,
dΘ
1
=
div (κ∇Θ ) + Φ′ ,
dt
ρ Cν
2ν
где диссипативная функция Φ′ = D′ : D . Поэтому тепловые потоки в среде
CV
не влияют на движение среды и могут быть найдены уже после нахождения
v,p.
Построенная модель Навье–Стокса обладает многими достоинствами, обуславливающими ее широкую распространенность. Одним из основных является тот факт, что в ней фигурируют только две константы (не функции!),
нуждающиеся в экспериментальном нахождении: это плотность ρ и кинематическая вязкость ν. Эти константы с большой степенью точности и надежности определяются экспериментально.
Последним из рассматриваемых нами упрощений моделей сплошной среды
будет отказ от учета эффектов, вызванных наличием вязкости.
1.5.10. Идеальная жидкость
В ряде течений вязкие эффекты, т.е. эффекты, связанные со свойством жидкостей сопротивляться сдвиговым напряжениям оказываются несущественными. В этих моделях можно положить ν равным нулю. Такие жидкости называются идеальными. В результате мы получаем математическую модель
идеальной несжимаемой жидкости:
( F4 )
 divv = 0

 dv 1
 dt + ρ ∇p = f

Эта система уравнений называется системой уравнений Эйлера
Уравнение притока тепла, поскольку, Φ′ =
2ν
D′ : D = 0 , переписывается в виде
CV
dΘ
1
=
div (κ∇Θ ) .
dt
ρ Cν
Если рассматривать жидкости, в которых коэффициенты κ и CV являются
константами (это предположение выполняется для достаточно широкого
класса жидкостей), то последнее уравнение превращается в обычное уравнение теплопроводности:
8
dΘ
= Κ∆Θ ,
dt
(1.58)
где Κ=κ/(ρCV) называется коэффициентом температуропроводности.
Подчеркнем в заключение, что описанные нами модели сплошной среды исторически появлялись в обратном порядке, т.е. развитие теории сплошных
сред шло, в основном, индуктивно, от частных моделей к более общим.
9