УТВЕРЖДАЮ декан математического факультета Кузиков С.С.

Федеральное агентство по образованию
ГОУ ВПО «Алтайский государственный университет»
УТВЕРЖДАЮ
декан математического факультета
Кузиков С.С.
“18” февраля 2008г.
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА
по дисциплине
Математическое моделирование нелинейных процессов
Направление: 010200.68 Математика. Прикладная математика
Магистерская программа: Алгебра
Квалификация: Магистр математики
Математический факультет
Кафедра алгебры и математической логики
курс 6
семестр 11, 12
лекции
68
(час.)
Экзамен в 12 семестре
Практические (семинарские)
Занятия
0
(час.)
Лабораторные
Занятия
0
(час.)
Всего часов 68
Самостоятельная работа
102 (час.)
Итого часов трудозатрат на дисциплину (для студента) по ГОС
170 (час.)
2008 г.
Рабочая программа составлена на основании примерной программы, принятой на заседании
Ученого совета математического факультета «__»___________2008.
Рабочая программа обсуждена на заседании кафедры алгебры и математической логики
«11» февраля 2008г.
Заведующий кафедрой _________ А.И. Будкин
Одобрено методической комиссией математического факультета
«18» февраля 2008г.
Председатель методической комиссии математического факультета _______ Н.В. Баянова
Введение (пояснительная записка).
Курс «Математическое моделирование нелинейных процессов» предназначен
для
магистрантов математического факультета, обучающихся по магистерской программе 511206 Алгебра. Изучение курса «Математическое моделирование нелинейных процессов» рассчитано на
два семестра (11, 12). В конце семестра магистранты сдают экзамен.
Раздел 1. Цели и задачи дисциплины, ее место в учебном процессе
1.1 Цель преподавания дисциплины.
Подготовка педагогов и научных работников, обладающих высокой культурой в прикладной
математике, готовых и умеющих применять полученные знания в обучении, в научных
исследованиях и при решении прикладных задач, активно участвующих в процессе образования и
науки.
1.2 Задачи изучения дисциплины.
1. Изложить основы моделирования нелинейных процессов.
2. Сформировать навыки работы в прикладной математике.
3. Проиллюстрировать приложение «чистой» математики в прикладной.
4. Подготовить будущих преподавателей к использованию полученных знаний в процессе
образования.
5. Научить применять изложенный материал в научных исследованиях.
Раздел 2. Содержание дисциплины
2.1 Наименование тем лекционных, практических и семинарских, лабораторных занятий,
их содержание и объем в часах. (68 час)
1. Предмет нелинейной физики и синергетики. Условия возникновения упорядоченных структур.
2. Канонические уравнения. Действие как функция координат. Вывод уравнений Гамильтона из
условия минимальности действия. Укороченное действие. Канонические преобразования.
Производящая функция преобразования. Движение как каноническое преобразование. Теорема
Лиувилля. Интегральные инварианты Пуанкаре. Переменные действие-угол.
3. Динамические системы. Теорема Коши и детерминизм динамических систем. Причина
недетерминированного поведения классических физических систем. Революционные
изменения в классической физике.
4. Фазовый поток. Каскады. Динамические системы с дискретным временем. Отображение
Пуанкаре. Качественный критерий сложности движения.
5. Интегрируемые системы. Общее решение задачи динамики для интегрируемых систем.
Геометрическая интерпретация. Инвариантные торы.
6. Квазипериодическое движение. Системы, близкие к интегрируемым. Основная задача
динамики. Теорема о сохранении инвариантных торов (теорема Колмогорова – Арнольда Мозера). Диффузия Арнольда.
7. Качественное
определение
устойчивости
и
неустойчивости.
Диссипативные
и
параметрические неустойчивости. Тиринг -неустойчивость.
8. Устойчивость по Ляпунову. Устойчивость по Пуассону. Устойчивость положения равновесия.
Теорема Ляпунова об устойчивости по первому приближению. Матрица линеаризации.
Критерий Рауса – Гурвица.
9. Структурные свойства фазовых траекторий. Классификация особых точек на плоскости и в
пространстве. Структурные свойства фазовых траекторий в гамильтоновском случае.
10. Устойчивость и неустойчивость каскадов. Матрица Якоби отображения. Показатель
растяжения.
11. Метод функций Ляпунова (второй метод Ляпунова) и его значение для современной физики.
Физический смысл функции Ляпунова.
12. Автоколебания в физических системах. Генератор Ван–дер–Поля. «Мягкое» и «жесткое»
возбуждение автоколебаний. Приближенный метод решения уравнения Ван-дер-Поля (метод
усреднения). Предельные циклы.
13. Параметрический резонанс. Теорема Флоке. Ляпуновские характеристические показатели.
Устойчивость предельных циклов.
14. Топологическая эквивалентность. Индексы Пуанкаре. Теорема о индексе контура.
15. Структурная устойчивость (грубость). Гомологическое уравнение. Бифуркации движений и
состояний равновесия. Коразмерность бифуркации. Теорема о центральном многообразии.
Метод нормальных форм. Примеры бифуркаций. Спонтанная потеря симметрии. Бифуркация
Пуанкаре – Андронова – Хопфа (бифуркация рождения предельного цикла).
16. Основные представления теории катастроф.
17. Эргодические движения динамических систем. Физический смысл эргодичности.
Эргодичность гамильтоновских систем. Примеры эргодического поведения. Перемешивание.
Перемешивающие динамические системы. Связь перемешивания с непредсказуемостью и
необратимостью. Расцепление временных корреляций. Задачи о биллиардах.
18. Диссипативные динамические системы. Аттракторы. Странные аттракторы.
19. Динамический хаос и неустойчивость движения. Энтропия Колмогорова – Синая. Критерий
динамического хаоса. Характерное время перехода к хаотическому поведению. Связь между
энтропией Колмогорова – Синая и максимальным характеристическим показателем Ляпунова.
Основные свойства характеристических показателей Ляпунова. Метод нахождения
показателей Ляпунова.
20. Геометрия странных аттракторов. Энтропия Шеннона. Информационная размерность
(размерность Реньи). Фрактальная размерность. Фракталы. Размерность Хаусдорфа. Мера
Хаусдорфа. Фрактальная размерность множества Кантора. Примеры вычисления фрактальной
размерности. Связь фрактальной размерности с показателями Ляпунова. Гипотеза Каплана и
Йорке. Энтропия Реньи. Обобщенная размерность. Корреляционная размерность.
21. Тепловая конвекция Возникновение гексагональной структуры. Бифуркационная диаграмма
вблизи порога конвекции. Система уравнений тепловой конвекции в приближении Буссинеска.
Уравнения устойчивости для слоя жидкости, подогреваемого снизу. Граничные условия.
Теория эффекта Бенара.
22. Вывод системы Лоренца. Свойства системы Лоренца. Условия устойчивости стационарного
конвективного движения. Результаты численного анализа системы Лоренца. Хаотический
режим движения в системе Лоренца.
23. Динамика точечных отображений. Диаграмма одномерных отображений. Неподвижные точки
и циклы. Графическая интерпретация двухкратного цикла. Условия устойчивости цикла.
Взаимно однозначные отображения и их свойства. Сложная структура однозначных, но не
взаимно однозначных отображений. Существование бесконечного множества всевозможных
циклов. Теорема Шарковского о сосуществовании циклов. Бифуркационная диаграмма
квадратичного отображения. Универсальная постоянная Фейгенбаума. Приближенныйметод
определения постоянной Фейгенбаума.
24. Преобразование плотности вероятности при замене переменных. Предельная плотность
вероятности. Интегральное уравнение Фробениуса – Перрона. Функциональное уравнение для
определения предельной плотности вероятности. Простейшие примеры. Определение
предельной плотности вероятности для логистического отображения.
25. Задача о линейном осцилляторе, который подвергается периодическим кратковременным
воздействиям. Универсальное отображение. Отображение Чирикова (стандартное
отображение). Граница возникновения стохастичности. Результаты численного анализа
отображения Чирикова.
26. Нелинейный резонанс. Качественная картина поведения действия в окрестности резонансного
значения. Универсальный гамильтониан нелинейного резонанса. Эффективная масса. Частота
фазовых колебаний. Геометрическая интерпретация. Условие умеренной нелинейности.
Расстояние между резонансами. Условие перекрытия резонансов и условие стохастичности.
27. Уравнение Фоккера – Планка – Колмогорова. Временные масштабы. Вывод кинетического
уравнения для случая универсального отображения. Дивергентная форма кинетического
уравнения. Кинетика при диссипативных отображениях. Динамика моментов. Стохастическое
ускорение и «нагрев» частиц.
28. Типичные сценарии перехода к хаотическому поведению. Картина Ландау – Хопфа. Теорема
Рюэля – Такенса. Картина Рюэля – Такенса. Каскад бифуркаций Фейгенбаума. Переход к
хаотическому движению через перемежаемость. Сопоставление с экспериментальными
данными.
29. Временные ряды и их обработка. Реконструкция аттрактора. Теорема Такенса. Задача выбора
оптимальных параметров. Выбор размерности реконструкции и временного интервала.
30. Расчет фрактальной размерности аттрактора. Оценки энтропии. Предсказание временных
рядов.
31. Мозг и компьютер. Нейронные сети. Клеточные автоматы. Использование клеточных
автоматов для моделирования гидродинамических течений.
32. Ассоциативная память. Модель Хопфилда. Модель Хопфилда на языке нейронных сетей.
Распознавание образов. Обучающиеся системы. Машина Больцмана.
33. Эволюционные модели.
Раздел 3. Учебно-методические материалы по дисциплине
3.1 Основная и дополнительная литература, другие информационные источники.
1. Малинецкий Г.Г., Потапов А.Б. Современные проблемы нелинейной динамики. М.: Эдиториал
УРСС, 2000. – 336 с.
2. Лоскутов А.Ю., Михайлов А.С. Введение в синергетику. М.: Наука, 1990. – 272 с.
3. Заславский Г.М., Сагдеев Р.З. Введение в нелинейную физику. М.: Наука, 1988. – 368 с.
4. Неймарк Ю.И., Ланда П.С. Стохастические и хаотические колебания. М.: Наука, 1987. – 424 с.
5. Ланда П.С. Нелинейные колебания и волны. М.: Наука, 1997. – 495 с.
6. Рабинович М.И., Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и волн. М.: Наука, 1984. – 432
с.
7. Анищенко В.С. Сложные колебания в простых системах. Механизмы возникновения,
структуры и свойства динамического хаоса в радиофизических системах. М.: Наука, 1990. –
312 с.
8. Берже П., Помо И., Видаль С. Порядок в хаосе. О детерминистском подходе к турбулентности.
М.: «Мир», 1991. – 368 с.
9. Шустер Г. Детерминированный хаос. М.: «Мир», 1988. – 240 с.
10. Васильев В.А., Романовский Ю.М., Яхно В.Г. Автоволновые процессы. М.: Наука, 1987. – 240
с.
11. Капица С.П., Курдюмов С.П., Малинецкий Г.Г. Синергетика и прогнозы будущего. М.: Наука,
1997. – 285 с.
12. Ахромеева Т.С., Курдюмов С.П., Малинецкий Г.Г., Самарский А.А. Нестационарные
структуры и диффузионный хаос. М.: Наука, 1992. – 544 с.