Document 2022264

УЧЕНЫЕ
т о ом
удк
ЗАПИСКИ
1
ЦАГИ
1970
М5
532.55
О ТЕРМОДИНАМИЧЕСКОМ СОВЕРШЕНСТВЕ ТЕЧЕНИЙ
С ТЕnЛО- И МАССОnОДВОДОМ В КАНАЛАХ
ПРИ СВЕРХЗВУКОВОЙ СКОРОСТИ r АЗА НА ВХОДЕ
Р. Г. Леонова
Для газа, текущего в каналах с начальной сверхзвуковой скоро­
стью,
рассматриваются
условия,
определяющие
минимальные
потери
полного давления при заданном тепло- и массоподводе. Показывается,
что
в
зависимости
от
скорости
газа
на
входе
в
канал
и
относитель­
ных количеств тепла и массы термодинамически целесообразно осу­
ществлять тепло-и массоподвод либо непосредственно к сверхзвуко­
вому потоку, либо к дозвуковому потоку, полученному при прохож­
дении газа через скачки уплотнения. Найден параметр, который
характеризует термодинамическое
в
канале
с
совершенство
режима течения газа
тепло- и массоподводом.
При анализе принято, что течение стационарное, в контрольных
сечениях
баты
1.
со
k
одномерное,
-постоянный,
трение
стенки
в
канале
отсутствует, показатель
нетеплопроводны, ось канала
адиа­
прямая.
-
Постановка задачи. При подводе тепла к газу, текущему в начале канала
сверхзвуковой
скоростью,
рассматриваются
два
принципиально
различных
случая:
2,
подвод тепла и массы непосредственно к сверхзвуковому потоку (фиг.
1,
а;
а);
- перевод сверхзвукового потока в дозвуковой через прямой скачок уплот­
нения и затем подвод тепла и массы к дозвуковому потоку (фиг. 1, б; 2, б).
Другими словами*
Здесь 1.1 = W 1
входе в канал;
{} = т 5
канал,
т!
(1'1)-
-
W.,.
W* -
V
= (1.1)+;
&-
= (Род+·
&+; (РОl)-
=
коэффициент скорости на входе в канал; W1 - скорость на
критическая
скорость; РОl
-
полное
давление
относительный тепло- и массоподвод;
1.05 101
можения; т - масса; индексами .1" и
в канал и на выходе из канала; тl и
.5"
m5 -
соответственно.
i o-
на
входе в
энтальпия тор·
отмечены значения параметров на входе
массовый расход на входе и на выходе
=
Разность приращений энтропий t:.S
(t:.S)_ - (t:.S)+ характеризует термоди­
намическую целесообразность подвода тепла и массы к сверхзвуковому (t:.S
О)
или дозвуковому потоку. образованному за прямым скачком уплотнения (t:.S> О).
Из
термодинамики
теплоподводе
и
t:.S
*
94
Индексы
для
одинаковых
"
идеального
параметрах
= -Rslп (Р05)(РО5) +
и
.1-"
<
газа
газа
или
на
t:.S =
при
постоянном
входе
k,
одинаковом
следует:
-R5 1п а_
а+
.
относятся к случаям а и б соответственно.
(1.1)
Здесь (РО5)±
-
полное
давление
дозвукового
a'f
= РО5 РОl
на выходе из канала для сверхзвукового и
течений;
коэффициенты полного давления для сверхзвукового и дозву­
кового течений;
R5 - газовая постоянная на выходе из канала.
Из выражения (1.1) видно, что разность приращений энтропий определяется
'отношением коэффициентов а. Поэтому в дальнейшем для оценки термодинами­
ческой целесообразности подвода тепла и массы к сверхзвуковому и дозвуковому
потоку рассматривается отношение а_
,
1
).., >
1
и)
1
i
I.J.
12
12
Фиг.
Фиг.
2
2. Форма канаnа. Прежде чем перейти к анализу отношения а_, нужно
а+
рассмотреть условия, определяющие форму
по длине площадь поперечного сечения).
канала
(постоянная или переменная
~(л)z(л
Фиг.
3
Для канала постоянной площади поперечного сечения
уравнений движения, массы и энергии
в
может
быть
F
совместное решение
записано, как известно
(1].
виде
~1
= Z5'
(2.1)
где Z(Л)=~(Л++)-безразмерный импульс струи
=
[2].
=
Функция Z (л) проходит через минимум (Zmin
1) при л
1 (фиг. 3).
Из уравнения (2.1) и указанного свойства функции z(Л) следует. что течение
в канале постоянного сечения F= Р1 при заданном
{t
возможно лишь при ~:> 1
{t
95
(см. фиг.
1, а, б). Если же -ъ1
< 1,
течение в таком канале невозможоо. При
таком отношении ~ канал должен быть расширяющимся.
1}
3. Течение в случае ~ > 1. Все тепло можно подвести в канале при F
\t
=
= const -.:: Р1 как при сверхзвуковом течении по всему каналу, так и при дозву­
ковам 'течении
за прямым
скачком
уплотнения.
Из уравнения расхода rJ = 1} q (~1) при фиксированных 1.1 и
q (1\5)
а_
__
1}
получаем:
q(л Б )+
~-- q(л б )_'
где
k
q(л)=( ;
Учитывая, что
i
(zБ)+ =
1 -~
)k-l (1- kk~1 Л2)k-l л.
1
_1_
=(Z5)_' получим:
l
q r:;,c-
cr+ -
(3.1)
q (1.5)_
Здесь rJ п (Л5)_-коэффициент'давления в прямом скачке. Известно, что ап (Л) <Е
при Л> 1 и rJп(Л)
1 при Л П
1 (см. фиг. 3).
=
= ],
Если ~1
u
i
=
скорость в конце канала (Л.)_ = 1, a~ (1.5)_ = 1 и а_= 1; если
а+
> 1, скорость (1.5)_ > 1, rJп (1.5)_
то подводы
<1
и : : > 1. Следовательно, если
тепла к сверхзвуковому потоку
и
дозвуковому,
более
4. Течение в случае
при
F
= сопз! =
9ффективен
i<
подвод
тепла
к
= 1,
образованному
прямым скачком уплотнения, термодинамически равноценны; если
термодинамически
[см. (3.1)].
~!
~1 > 1,
сверхзвуковому
за
то
потоку
1. Заданное тепло невозможно подвести в канале
Р1 .
При сверхзвуковых скоростях подвод тепла с минимальными потерями соот­
ветствует (что легко показать) следующей картине течения. В канале при F =
Р1 подводится такая часть тепла, чтобы скорость в конце канала рав­
= const
нялась бы 1.4 = 1; оставшаяся часть тепла подводится в расширяющемся канале
4-5 (см. фиг. 2, а) при 1.= const= 1. Коэффициент давления дЛЯ 9ТОГО случая
=
_ _ РО4РО5
>J_---.
РОI РО4
Из уравнения расхода для участка
1-4
Р04 = т4 'V~04
РО1
Для
РО5 =
Р04
(т 4
т5
участка
4-5
при
т\
условии
V~04 )k (см. например.
1.=1,
включая
сечения
4-4
и
5-5,
имеем
[3]).
105
Используя уравнение импульсов
ний
q (1.1)'
101
для
1-4
т 4 V~04
т,
=Z\,
после преобразова-
10]
получаем а_ = z~+1 q (~). .
1}
Для дозвукового потока
=
const = Fз >
рассматривается
ПОд1!ОД
Величина КО9ффИЦ4lента полного давления при 9ТОМ
96
тепла в
Р1 при скорости В начале теплоподвода Л з
rJ +
канале при
F=
1 < 1 (см. фиг. 2,6).
<_
1.1
= ап (Л 1 ) а2_З аЗ _5'
Примем, что а 2 _8'=
ряющемся
канале);
а3-5
1 (идеальное торможение дозвуковоrо lIотока в расши­
1"{TaK как потери при подводе тепла к' дозвуковому'
=
[J J).
потоку малы, см. например
а+
=
ТОГ да
'
а П ("I) = ~~ и
q(-f;)
k
(i) < 1, так как ~I < 1
(по условию); Q(t)Zl<1 (см. фиг. 3).
Здесь
СледеватеJiьно, при ~<l отношеI
ние ~-
а+
< 1.
,~,'
Напомним, что при
:1
1
,=>
u
а_ = ( ~)\ (_1) z .
\&
~+
&
а+
Таким образом, для газа, входяще-
i
1,1
_/
1,11
V
2.2 ),.,
за
> 1,
Фиг.
=
скачком
4
то термодинамически целесообразно осуществлять
тепло- и массоподвод к сверхзвуковому потоку. При этом
Если Z~
прямым
уплотнения
и
массоподвоДом.
Если величина Z~
V
1,2
со­
течения с тепло-
/
/'
Области целесообразных режимов
течения: 1-сверхзвукового; 2-до­
звукового
термодинамическое
вершенство' режима
vt
1,2
является параметром, ха­
рактеризующим
(4.1)
1
./
го в канал со сверхзвуковой скоростью,
величина
"1
ff
1,4<
.a-==I, а при ~>I а_>I.
а+
\
F=
сопst
= Fl'
1, то тепло- и массоподвод к сверхзвуковому и дозвуковому по­
току за прямым скачком уплотнения
также' F= сопst= F 1 •
Если величина
Z; < 1,
поток в дозвуковой через
термодинамически
равноценны.
При
этом
то рационально сначала перевести сверхзвуковой
прямой скачок уплотнения, а затем подвести тепло к
дозвуковому потоку~ В этом случае dF> о.
dx
Области целесообразных режимов течения в канале с тепло- и массоподводом
(сверхзвукового или дозвукового, за прямым скачком уплотнения) в координатах
&1,1 даны на фиг. 4. Границей этих режимов является связь &
= Z,.
ЛИТЕРАТУРА
1. К и с е л е в Б. М. Расчет одномерных газовых течений. При­
кладная математика и механика, т. XI, вып. 1, 1947.
2. Таблицы газодинамических функций. Институт им. Баранова.
МАП СССР, 1956.
3. М е ж и р о в И. Н. О течении газов при наличии теплообмена.
Известия АН СССР. Механика и машиностроение, N2 1, 1961.
Рукопись поступила 1б/IХ
7 -Ученые записки
,N', 5
1969 z.