43

43
ÂÀÐÈÀÍÒÛ
4. Ìóõà ïåðåñåêàåò ãëàâíóþ îïòè÷åñêóþ îñü ñîáèðàþùåé ëèíçû íà ðàññòîÿ.
α
íèè d = 3F, ãäå F – ôîêóñíîå ðàññòîÿíèå ëèíçû, ïîä
ìàëûì óãëîì α ê îñè ëèí@
çû ñî ñêîðîñòüþ v (ðèñ.9).
Ïîä êàêèì óãëîì èçîáðàÐèñ. 9
æåíèå ìóõè ïåðåñåêàåò
γ
ãëàâíóþ îïòè÷åñêóþ îñü?
×åìó ðàâíà â ýòîò ìîìåíò
ñêîðîñòü èçîáðàæåíèÿ ìóõè? Óêàçàíèå: äëÿ ìàëûõ
óãëîâ sin α ≈ tg α ≈ α .
α
5. Ãàììà-èçëó÷åíèåì íàL
Sn
çûâàåòñÿ ýëåêòðîìàãíèòíîå
èçëó÷åíèå, êîòîðîå âîçíèÐèñ. 10
êàåò ïðè ïåðåõîäå àòîìíûõ
ÿäåð èç âîçáóæäåííûõ â áîëåå íèçêèå ýíåðãåòè÷åñêèå ñîñòîÿíèÿ. Äâèæóùååñÿ ñî ñêîðîñòüþ v0 = 64 ì ñ ÿäðî àòîìà
îëîâà 119 Sn èñïóñêàåò γ -êâàíò ïîä óãëîì α = 60o ê íàïðàâëåíèþ ñâîåãî äâèæåíèÿ ñ ýíåðãèåé, ðàâíîé ýíåðãèè ïåðåõîäà
ÿäðà èç âîçáóæäåííîãî â îñíîâíîå ñîñòîÿíèå (ðèñ.10). Íàéäèòå ýíåðãèþ γ -êâàíòà. Ýíåðãèÿ ïîêîÿ ÿäðà îëîâà ðàâíà
9
W0 = mÿ c2 = 113 ÃýÂ ( 1 ÃýÂ = 10 ýÂ ).
L
Ïóáëèêàöèþ ïîäãîòîâèëè
Ì.Áàëàøîâ, Â.Ìîæàåâ, Þ.×åøåâ, Ì.Øàáóíèí
÷åðåç òî÷êè B1 , À, Ñ, ïåðåñåêàåò ïðÿìóþ ÂÌ â òî÷êå Å.
Íàéäèòå äëèíó îòðåçêà ÅÌ.
7. Íàéäèòå âñå çíà÷åíèÿ à, ïðè êàæäîì èç êîòîðûõ
óðàâíåíèå
1
ax − = x2 − x2 − 3x
2
èìååò ðîâíî äâà ðåøåíèÿ.
Âàðèàíò 2
(ôàêóëüòåòû ïðèêëàäíîé ìàòåìàòèêè,
ýêîíîìèêî-ìàòåìàòè÷åñêèé)
1. Ðåøèòå íåðàâåíñòâî
(
)
log 1 3x2 + x − 14 ≥ − 2 .
4
2. Ðåøèòå íåðàâåíñòâî
3 x −1
x 2 − 2x
<2.
3. Íàéäèòå íàèáîëüøåå è íàèìåíüøåå çíà÷åíèÿ ôóíêöèè
f ( x ) = x 2 − 10 x + 6 + 2 x 2 − 8x + 7
íà îòðåçêå [2; 7,5 ] .
4. Ðåøèòå óðàâíåíèå
(9 cos 2x − 7 ) (
)
3 cos 2x + 5 sin x − 1 + sin x = 0 .
5. ×èñëà õ, ó óäîâëåòâîðÿþò ðàâåíñòâó
7x 2 − 4xy + 4 y2 = 12 .
Ìîñêîâñêèé ãîñóäàðñòâåííûé èíñòèòóò
ýëåêòðîíèêè è ìàòåìàòèêè
(òåõíè÷åñêèé óíèâåðñèòåò)
ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ
Ïèñüìåííûé ýêçàìåí
Âàðèàíò 1
(ôàêóëüòåòû ýëåêòðîíèêè, èíôîðìàòèêè è
òåëåêîììóíèêàöèé, àâòîìàòèêè è âû÷èñëèòåëüíîé
òåõíèêè)
1. Ðåøèòå óðàâíåíèå
3 x +1 − 4 ⋅ 3 − x = 4 .
2. Ðåøèòå íåðàâåíñòâî
3x − 5
≥ x + 1.
x−2
3. Ðåøèòå óðàâíåíèå
5 cos 2x − 12 sin x + 11
= 0.
5 cos x − 3
4. Äàíà ôóíêöèÿ f ( x ) = 2x + 1 − x . Òðåáóåòñÿ:
1) ðåøèòü íåðàâåíñòâî f ( x ) > −7 ;
2) íàéòè ìíîæåñòâî çíà÷åíèé ôóíêöèè f ( x ).
5. ×èñëà õ, ó óäîâëåòâîðÿþò ñèñòåìå óðàâíåíèé
 x + y = a + 3,

 xy = 5a − 1.
Íàéäèòå, ïðè êàêèõ çíà÷åíèÿõ à ñóììà x 2 + y 2 ïðèíèìàåò
íàèìåíüøåå çíà÷åíèå.
6. Äàí ïðÿìîóãîëüíûé ïàðàëëåëåïèïåä ABCDA1B1C1D1
( AB = 5 3 ; AD = 9; AA1 = 15 ). Òî÷êà Ì ëåæèò íà ðåáðå
DD1 òàê, ÷òî D1M : MD = 1 : 2 . Ïëîñêîñòü, ïðîõîäÿùàÿ
Íàéäèòå âñå çíà÷åíèÿ, êîòîðûå ìîæåò ïðèíèìàòü õ, à òàêæå
ñóììà x 2 + y 2 .
6. Äëèíà ðåáðà êóáà ABCDA1B1C1D1 ðàâíà à. Ïóñòü Ì –
ñåðåäèíà ðåáðà ÀÂ. ×åðåç òî÷êè Ñ, À, Ì ïðîõîäèò ñôåðà,
êîòîðàÿ êàñàåòñÿ ðåáðà B1C1 . Íàéäèòå ðàäèóñ ñôåðû.
7. Íàéäèòå âñå çíà÷åíèÿ à, ïðè êîòîðûõ íåðàâåíñòâî
a2 sin 2 x + 16
≤ −50 cos2 x + 80 cos x − 24
a sin x
èìååò ðåøåíèå.
ÔÈÇÈÊÀ
Çàäà÷è óñòíîãî ýêçàìåíà
1. Òåëî ìàññîé m = 1 êã, áðîøåííîå ïîä óãëîì ê ãîðèçîíòó,
óïàëî íà ðàññòîÿíèè s = 32 ì îò ìåñòà áðîñàíèÿ. Çíàÿ, ÷òî
ìàêñèìàëüíàÿ âûñîòà, äîñòèãíóòàÿ òåëîì, ðàâíà Í = 5 ì,
íàéäèòå ðàáîòó áðîñàíèÿ. Ñîïðîòèâëåíèå âîçäóõà íå ó÷èòûâàòü.
2. Äâà òåëà íà÷èíàþò ñêîëüçèòü ïî ãîðèçîíòàëüíîé ïîâåðõíîñòè íàâñòðå÷ó äðóã äðóãó ñ îäíîé è òîé æå ñêîðîñòüþ
v0 = 2 ì/ñ. Ïðè êàêîì ìàêñèìàëüíîì íà÷àëüíîì ðàññòîÿíèè ìåæäó òåëàìè îíè ñòîëêíóòñÿ? Êîýôôèöèåíòû òðåíèÿ
ìåæäó òåëàìè è ïîâåðõíîñòüþ, ïî êîòîðîé îíè äâèæóòñÿ,
ðàâíû µ1 = 0,1 è µ2 = 0,2 ñîîòâåòñòâåííî.
3. Êàê äîëæíà ìåíÿòüñÿ â çàâèñèìîñòè îò ïîëîæåíèÿ
ñòîëáà ñèëà, ïðèëîæåííàÿ ïåðïåíäèêóëÿðíî îñè ñòîëáà ê
îäíîìó èç åãî êîíöîâ, ÷òîáû ñòîëá ðàâíîìåðíî ïîâîðà÷èâàëñÿ âîêðóã äðóãîãî êîíöà, ïåðåõîäÿ èç ãîðèçîíòàëüíîãî
ïîëîæåíèÿ â âåðòèêàëüíîå? Ìàññà ñòîëáà m = 250 êã.
Ïîñòðîéòå ãðàôèê çàâèñèìîñòè ýòîé ñèëû îò óãëà α , êîòîðûé ñòîëá îáðàçóåò ñ ãîðèçîíòîì. Êàêîâà ñèëà ðåàêöèè
çåìëè ïðè α = 45o ?
4. Íà äíå öèëèíäðà, çàïîëíåííîãî âîçäóõîì, ëåæèò ìåòàëëè÷åñêèé øàðèê ìàññîé m = 4 ã è ðàäèóñîì r = 3 ñì.
Òåìïåðàòóðà âîçäóõà t = 17 °Ñ. Äî êàêîãî äàâëåíèÿ íàäî