Примеры задач для подготовки к олимпиаде с разбором решений

Примеры задач для подготовки к олимпиаде с разбором решений
1 этап (вузовский) – 9 класс
1. В двух сообщающихся сосудах одинаковой формы
находится жидкость плотности ρ. В один из сосудов
помещают тело массы m, которое плавает в жидкости.
Какой объём жидкости перетечёт в другой сосуд, когда
вновь установится равновесие?
g
Решение: тело массы m вытесняет воду с весом, равным весу тела.
Поэтому при погружении тело вытеснит воду объемом V = m / ρ . Половина этого
объема воды перетечет в другой сосуд.
Ответ: V =
m
.
2ρ
2. Со спутника следят за вертолётом, летящим в одном
B
С
направлении с постоянной скоростью. В 12 час 00 мин
вертолёт зафиксирован в пункте A, а в 14 час 30 мин —
в пункте B (см. снимок). В котором часу вертолёт был
ближе всего к аэропорту г. Новосибирска (пункт C)?
D
Для удобства расчётов на снимок нанесена квадратная
A
сетка.
Решение: Вертолет был ближе всего к аэропорту г. Новосибирска в точке
AC AB
=
D, СD ⊥ AB. Из подобия ∆ABC и ∆ACD следует:
AD AC
AC 2
AD =
.
AB
⇒
Если вертолет из точки A до точки B летел 2.5 часа, значит, до точки D он летел
2,5
AD
AC 2
AC 2
2,5
2,5
2,5
= 2,5
=
=
=
= 0.9 часа, или 54 мин.
2
2
2
2
AB
AB
AC + CB 1 + (CB / AC ) 1 + 16 / 9
Ответ: 12 час 54 мин.
3. К грузу массы m, находящемуся на наклонной
плоскости с углом наклона α, подсоединены концы
невесомой нити, переброшенной через два блока, как
показано на рисунке. Груз покоится. При этом один из
участков нити вертикален, а другой — параллелен
наклонной плоскости. Найти натяжение нити, если
трение между грузом и плоскостью отсутствует.
Ускорение свободного падения g.
g
N T T
m
α
mg
Решение: Напишем условие равновесия груза, направив ось х вверх вдоль
плоскости:
T + T sin α − mg sin α = 0 ⇒ T =
Ответ: T =
mg sin α
.
1 + sin α
PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
mg sin α
.
1 + sin α
x
4. Мальчики, находящиеся на балконах
соседних домов, одновременно бросили
горизонтально по направлению друг к другу
снежки (см. рисунок). Один бросил снежок со
скоростью V1, другой — со скоростью V2.
Снежки столкнулись между собой. Через
какое время t и на какой высоте h это
произошло, если балконы расположены на
одинаковой высоте H, расстояние между
балконами равно L, а ускорение свободного
падения равно g?
Решение:
V1
g
H
V2
H
h-?
L
L
L = V1t + V2t ⇒ t =
.
V1 + V2
gt 2
gL2
=H−
К моменту столкновения снежки окажутся на высоте: h = H −
.
2
2(V1 + V ) 2
gL2
.
Ответ: h = H −
2(V1 + V ) 2
1 этап (вузовский) – 10 класс
1. Стеклянный флакон объема V0 герметично закрыт резиновой пробкой, через
которую пропущена тонкая игла шприца. Вначале во флаконе находится воздух под
атмосферным давлением PA. Во флакон из шприца начинают медленно выдавливать
жидкость. Какой объем V жидкости удастся влить во флакон, если на поршень шприца
экспериментатор может надавить с максимальной силой F? Сечение поршня равно S.
Влиянием тяжести пренебречь.
PAV0 = P(V0 − V ) ⇒ P = PA
Решение:
P = PA +
Ответ: V = V0
F
S
⇒ V = V0
V0
.
V0 − V
F /S
.
PA + F /S
F /S
.
PA + F /S
2. Одну из трех одинаковых банок заполнили водой, две другие — песком. Из первой
банки воду начали аккуратно выливать во вторую — она просачивается в песок. Когда
уровень воды достиг края второй банки, лить воду перестали. В первой банке осталось
2/3 первоначального объёма воды. Какую часть песка третьей банки нужно насыпать в
первую, чтобы она снова оказалась полной?
Решение: В банку с песком можно лить воду до тех пор, пока она не
вытеснит весь воздух. Поскольку в банку с песком удалось влить воды объемом
V/3, где V — объем банки, это означает, что объем, занимаемый собственно
песком, равен 2V/3. Т.к. в первой банке нужно заполнить песком объем V/3, для
этого потребуется
V /3 1
= банки с песком.
2V / 3 2
PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
Ответ: 1/2 банки.
3. Сопротивление между вершинами A и
B
правильного
треугольника
из
однородной проволоки равно R. Каким
станет это сопротивление, если середины
сторон треугольника (точки C и D)
соединить отрезком такой же проволоки?
Решение:
1 1 1
= +
R r 2r
D
C
A
B A
Пусть r сопротивление проволоки длины AB. Тогда
⇒ R=
B
2
r.
3
Т.к. стороны треугольника с основанием CD в два раза короче, чем у
исходного, сопротивление между точками C и D в маленьком треугольнике
равно R/2. Поэтому сопротивление между точками A и B состоит из параллельно
соединенного
сопротивления
r
с
последовательно
соединенными
сопротивлениями r/2, R/2 и r/2, с общим сопротивлением r+R/2=4r/3:
1
1 3
= +
RAB r 4r
Ответ:
⇒ RAB =
4
6
r = R.
7
7
6
R.
7
4. Мальчики одновременно бросили
снежки по направлению друг к другу.
Один из них находился во дворе и
бросил снежок со скоростью V1,
второй — на балконе, и бросил со
скоростью V2. Снежки столкнулись
между собой. Через какое время после
броска это произошло, если расстояние
между мальчиками равно L?
g
V2
L
t-?
Решение: Движение снежков
по горизонтали — равномерное.
Поэтому
V1
V1г t + V2 г t = l ,
где V1г , V2 г — горизонтальные составляющие скоростей снежков, l — расстояние
между мальчиками по горизонтали. Из подобия треугольников получим:
V1г V2 г l
=
= .
V1 V2 L
L
Следовательно, V1t + V2t = L , откуда t =
.
V1 + V2
L
Ответ: t =
.
V1 + V2
5. Показаны два снимка шарика, упруго
отскакивающего от стола. Первый снимок
сделан за 0,1 c до удара о стол, второй — спустя
0,3 c после удара. Определить скорость шарика
на первом снимке. Удар о стол считать
мгновенным. Ускорение свободного падения
t1 = –0,1 с
PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
t2 = 0,3 с
равно 9,8 м/с2. Для удобства на снимки нанесена равномерная разметка.
Решение: Как видно из рисунков, высоты, на которых шарик находился
на первом и во втором снимке, связаны соотношением h2=2h1, и имеют вид:
h1 = − vt1 +
gt12
,
2
gt22
h2 = ( v − gt1 )t2 −
.
2
(1)
(2)
Используя связь h2=2h1, из (1) и (2) находим:
g 2t12 + 2t1t2 + t22 g ( t1 + t2 ) 2 + t12 g
v=
=
= = 2, 45 м/c.
2
2t1 + t2
2 2t1 + t2
4
Ответ: 2,45 м/с.
1 этап (вузовский) – 11 класс
1. Винтик и Шпунтик привезли с Земли на Луну по тонне пельменей каждый и
продают их там по 100 рублей за килограмм. Пельмени они взвешивают с
помощью весов, также привезённых с Земли. Винтик использует рычажные весы
с гирями, а Шпунтик — пружинные. Каждый продал все свои пельмени, однако
один из них заработал на 84 тысячи рублей меньше. Кто заработал больше денег
и почему? Чему равно ускорение свободного падения на Луне, если на Земле его
можно принять равным 9,8 м/с2?
Решение: Рычажные весы измеряют массу, а пружинные — вес. На Луне
масса пельменей та же, а вес — меньше, чем на Земле. Поэтому больше денег
заработал Винтик.
Винтик, продав 1000 кг пельменей, заработал 100 000 руб. Следовательно,
Шпунтик заработал 100 000 – 84 000 = 16 000 руб. Отношение заработанных ими
денег равно отношению весов пельменей на Земле и на Луне, т. е. отношению
ускорений свободного падения:
gл/gз = 16/100.
2
Отсюда gл = 0,16 gз ≈ 1,6 м/c .
Ответ: Винтик заработал больше денег. Ускорение свободного падения
на Луне ≈ 1,6 м/c2.
2. Два зайца состязаются в беге. Первый заяц побежал сразу по сигналу «Старт»,
а второй заяц задержался на старте на время τ. Оба зайца бежали с постоянными
ускорениями, и второй догнал первого. Через какое время после сигнала это
произошло, если известно, что в этот момент скорости зайцев различались в 1,2
раза?
Решение: Путь, пройденный зайцами к моменту, когда второй догнал
первого, равен произведению средней скорости каждого зайца на время в пути.
При равноускоренном движении с нулевой начальной скоростью средняя
скорость равна 1/2 конечной скорости. Средняя скорость первого зайца равна
V/2, второго зайца — 1,2 V/2, где V — скорость первого зайца в момент встречи.
Пусть t — искомое время между стартом 1-го зайца и встречей, тогда
PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
V
1, 2 V
t=
(t − τ ) ,
2
2
откуда t = 6τ.
Ответ: 6τ.
3. N одинаковых резисторов соединены в кольцо.
Сопротивление между точками A и B при разомкнутом
15
R0 . Чему
ключе K равно R0, а при замкнутом ключе равно
16
равно N?
A
B
K
Решение: Обозначим через R сопротивление одного резистора. При
разомкнутом ключе K сопротивление между точками A и B состоит из
параллельно соединенного сопротивления R с N − 1 последовательно
соединенных резисторов, общее сопротивление которых равно ( N − 1) R :
1
1
1
= +
R0 R ( N − 1) R
⇒ R0 = R
N −1
.
N
(1)
При замкнутом ключе K одно сопротивление выпадает из цепи.
Сопротивление между точками A и B находим из предыдущего заменой N на
N −1:
15
N −2
R0 = R
.
16
N −1
(2)
Разделив (1) на (2), получаем квадратное уравнение на N:
N 2 − 2 N − 15 = 0 ⇒ N = 1 ± 4 .
Ответ: N=5.
4. Из морозильной камеры холодильника достали m0 = 100 г льда и бросили его
в теплоизолированный сосуд с водой. Температура воды уменьшилась с t1=80°C
до t2 =60°C. Когда бросили еще 100 г льда, температура воды уменьшилась с
t2=60°C до t3=42°C. Найти массу воды, первоначально находившейся в сосуде.
Теплоёмкостью самого сосуда пренебречь.
Решение: напишем условия теплового баланса:
−cл m0t0 + Lm0 + cв m0t2 = cв m(t1 − t2 ) ,
(1)
−cл m0t0 + Lm0 + cв m0t3 = cв (m + m0 )(t2 − t3 ) .
(2)
Здесь cл и cв — удельные теплоемкости льда и воды, L — удельная теплота
плавления льда, t0 — начальная температура льда.
Вычитая (1) из (2), находим:
t2 − t3
m = 2m0
= 1,8 кг.
t1 + t3 − 2t2
Ответ: 1,8 кг.
PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
5. Доска массы M лежит на горизонтальной плоскости. На доске лежит грузик
массы m, прикреплённый к нерастянутой пружинке жёсткостью k. Другой конец
пружинки жёстко соединен с доской. Удерживая
доску, грузик оттягивают на расстояние l. Затем
l
μ
g
грузик и доску одновременно отпускают. Найти
m
максимальную скорость грузика после этого, если
M
коэффициент трения между грузиком и доской
равен µ. Трением между доской и плоскостью
пренебречь.
Решение: пусть u и v — скорости доски и грузика, x — растяжение
пружины после того, как отпустили грузик и доску.
Запишем законы сохранения импульса и энергии:
mv = Mu ,
(1)
2
2
2
2
kl
kx
mv
Mu
=
+
+
+ Fтр (l − x ) .
(2)
2
2
2
2
Подставив u из (1) в (2), имея ввиду, что Fтр = µ mg , находим зависимость
скорости v от растяжения x:
M
 k (l 2 − x 2 ) − 2 µ mg ( l − x )  .
v=
(3)
m (m + M )
Максимальная скорость достигается, когда сила, действующая на грузик со
стороны пружинки, уравновешивается силой трения: kx = µ mg . Выражая отсюда
x и подставляя в (3), находим:
v=
 2 ( µ mg ) 2

M
kl +
− 2 µ mgl  =

m (m + M ) 
k

( kl − µ mg ) = kl − µ mg
M
M
(
)
.
m (m + M )
k
km ( m + M )
2
=
Ответ:
( kl − µ mg )
M
.
km (m + M )
2 этап (заключительный) – 11 класс
Задача №1. Пассажир с чемоданом
Поезд тронулся со станции с ускорением a . Через время t пассажир последнего вагона
вспомнил, что забыл свой чемодан на перроне около дверей своего вагона. При каком
значении указанного времени t пассажир успеет соскочить на перрон, взять чемодан и догнать
свой вагон, если он бегает со скоростью ν ? Считать, что после соскока на перрон и при
PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
изменении направления своего движения на перроне пассажир приобретает свою скорость
мгновенно.
Задача №2. Маятник на тележке
На гладкой горизонтальной поверхности находится тележка
массы M с установленным на ней математическим маятником
длины l
и массой m . Ускорение свободного падения
g.
Определите период колебаний системы
Задача №3. Сосуд с газом
В вертикальном цилиндрическом сосуде с воздухом поршень массы m и сечения S
находится на расстояния h от дна сосуда и на расстоянии H от закрытого верхнего торца.
После переворачивания сосуда и возвращения температуры к исходной температуре T
поршень оказывается на расстоянии h от ставшего теперь нижним торца. Найдите количество
молей воздуха. Ускорение свободного падения g . Считать, что трение отсутствует.
Задача №4. Упругое столкновение двух нейтронов
Изучаются такие упругие столкновения двух нейтронов, первоначально движущихся
навстречу друг другу вдоль прямой, в результате которых нейтроны приобретают одинаковые
по модулю скорости. Определите интервал возможных углов между скоростями разлета и
прямой их первоначального движения.
Задача №5. Вертолет
Вертолет массы m , неподвижно зависший над землей, направляет своими винтами
вниз струю воздуха. Какова затрачиваемая двигателем вертолета мощность, если струя
воздуха имеет скорость u ?
Задача №6. Холодильная машина
Идеальная тепловая машина с КПД η работает по
обратному циклу. Какое максимальное количество теплоты Q1
можно забрать из холодильника, совершив механическую работу
A?
PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
Задача №7. Замыкание и размыкание ключа
В цепи ключ K замкнули на некоторое неизвестное
время τ , а потом разомкнули. После размыкания ключа
через катушку индуктивности протёк заряд
q2 = 9 мкКл .
Какой заряд q1 протек через резистор R за время, пока ключ
был замкнут?
ключ
Вычислите время τ , на которое замкнули
K . Сопротивление резистора R = 500 кОм , ЭДС
батареи ε = 9 В . Сопротивлениями батареи и катушки
пренебречь.
Задача №8. Сопротивление
Найдите сопротивление цепи
между точками A и B,
состоящей из резисторов одинакового сопротивления r
.
Задача №9. Цепь с двумя амперметрами
В электрической цепи сила тока, проходящего через
резистор R3, равна 1 мА. Сопротивления резисторов R1
= 1 кОм, R3 = 3 кОм.
Перерисуйте рисунок в свою тетрадь и укажите на
нем направления токов, идущих через резисторы. Чему
равно напряжение U батарейки? На сколько
миллиампер отличаются показания амперметров A1 и
A2? Амперметры считайте идеальными.
Задача №10. Электростатическое взаимодействие
Определите модуль силы электростатического отталкивания двух
маленьких заряженных шариков одинаковой массы m. Один из них
висит на нити длины L, другой – на нити длины 2L. Угол между
нитями равен 60°.
PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
Решения задач
Решение задачи №1
На трех следующих друг за другом рисунках изображены три ситуации, в которых
оказывается пассажир. Пусть τ - время движения поезда с момента отправления до момента
возвращения пассажира в вагон с чемоданом.
Имеем уравнения:
at 2 aτ 2
+
= ν (τ − t ),
2
2
aτ = ν .
Исключая из системы уравнений время τ , получаем квадратное уравнение
t2 +
2ν
ν2
t − 2 = 0,
a
a
из двух решений которого
t1,2 = −
ν
ν2 ν2 ν
±
+
= ± 2 −1 ,
a
a2 a2 a
(
)
очевидно, следует взять следующее:
t=
ν
a
(
)
2 −1 .
Решение задачи №2
Вдоль оси x силы на систему не действуют,
её центр масс при колебании маятника остается на
месте. Следовательно, на оси подвеса маятника
существует точка O, остающаяся неподвижной.
Координаты xm и xM
положения
смещений масс m и M из
равновесия
при
этом
связаны
соотношением:
xm m + xM M = 0.
Получается математический маятник с укороченной
PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
длиной нити подвеса OA = l укороч < l . . Эта длина может быть найдена из подобия треугольников
∆AOB′ и ∆ACB :
xm
AO l укороч
AB′
=
=
=
.
AC
AB
l
xm + xM
Решая два последних уравнения, определяем l укороч
l укороч = l
m
m+ M
и период колебаний системы
l укороч
T = 2π
g
= 2π l
m
.
(m + M ) g
Решение задачи №3
Параметры воздуха до переворачивания сосуда и после
будем различать индексом (0) и (1) соответственно. Запишем
уравнения состояния газа в обеих частях сосуда:
PA(0) SH = PA(1) Sh = ν A RT ,
PB(0) Sh = PB(1) SH = ν B RT .
Условия равновесия для поршня до и после переворачивания
имеют вид:
PB(0) S − PA(0) S − mg = 0,
PA(1) S − PB(1) S − mg = 0.
Выражая давления PA(0) , PB(0) , PA(1) , PB(1) из первых двух уравнений и подставляя их во вторую
пару уравнений, получим:
ν B H −ν A h =
mghH
mghH
, ν A H −ν B h =
.
RT
RT
Из последних двух уравнений находим количество молей воздуха в сосуде ν = ν A + ν B :
ν=
2mghH
.
( H − h) RT
Решение задачи №4
Картина столкновений двух нейтронов, отвечающая равным модулям скоростей
показана на рисунке. Углы рассеяния одинаковы в силу закона сохранения импульса по оси,
перпендикулярной прямой первоначального движения нейтронов. Закон сохранения импульса
PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
по оси их первоначального движения и закон
сохранения энергии дают следующую систему
уравнений
для
нахождения
первоначальных
скоростей ν 1 и ν 2 нейтронов:
ν 2 −ν 1 = 2ν cos α ;
Решение
этой
системы
ν 12 +ν 22 = 2ν 2 .
дает
следующие
выражения для искомых скоростей:
ν 1 = ν (sin α − cos α );
ν 2 = ν (sin α + cos α ).
Поскольку, по физическому смыслу, найденные скорости должны быть положительными
величинами, то это накладывает ограничения на углы разлета нейтронов, а именно
π
3π
<α < .
4
4
Решение задачи №5
Масса воздуха, которая отрывается от лопастей винта вертолета
за одну секунду и движется вниз к земле, равна
m1сек = ρ Su,
где ρ - плотность воздуха, S - площадь, заметаемая винтом
вертолета. Так как вертолет неподвижен, то сила тяжести,
действующая на него, должна компенсироваться силой реакции
со стороны потоков воздуха и равной импульсу, уносимому
воздухом вниз за секунду от площади S :
mg = N =
∆pвозд
= m1секu = ρ Su ⋅ u = ρ Su 2 .
∆t
Мощность двигателя вертолета, равную переносимой за одну секунду через площадь
воздухом кинетической энергии, можно определить по формуле:
Pдвиг = m1сек
u 2 mg u 2 mgu
=
=
.
2
u 2
2
Решение задачи №6
Эффективность работы холодильной машины определяется
отношением Q1 / A количества тепла Q1 , отбираемого от
охлаждаемого тела, к совершенной при этом работе A . Работа
тепловой машины в прямом направлении характеризуется её
коэффициентом полезного действия:
η=
PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
A
.
Q2
S
Величину
Q1
, используя закон сохранения энергии
A
Q1 = Q2 − A ,
выражаем через КПД тепловой машины:
1
1 −η
Q1 Q2 − A Q2
=
=
−1 = − 1 =
,
A
A
A
η
η
Q1 = A
откуда
1 −η
.
η
Решение задачи №7
После замыкания ключа на катушке индуктивности возникает напряжение U L , равное
ЭДС источника тока U L = L dI dt = ε . Следовательно, LdI = ε dt . Так как все элементы цепи
можно считать идеальными, а в момент замыкания ключа ток по цепи не протекал, можно
записать L ( I K − 0 ) = ετ , где I K - конечное значение силы тока в индуктивности к моменту
размыкания ключа. Отсюда
IK =
ετ
.
L
За время τ через резистор протечет заряд
q1 = I Rτ =
ετ
.
R
После размыкания ключа сила тока в цепи будет изменяться по закону L dI dt = − IR < 0 , то
есть ток в цепи убывает и LdI = − RIdt = − Rdq , откуда L ( I K − 0 ) = Rq2 . Следовательно, за
время спадания силы тока в цепи от I K до 0 через резистор протечет заряд:
q2 =
LI K
.
R
Из уравнений для I K и q2 следует:
τ=
q2 R
= 5 ⋅ 10−4 c.
ε
Подставив найденное время τ в уравнение для q1 , получим:
q1 = I Rτ =
ετ
= 9 мкКл.
R
Решение задачи №8
Ток, притекающий к узлу A схемы, разветвляется
на два одинаковых тока в ветвях с сопротивлениями r ,
поэтому падения напряжения на участках AC и AD
одинаковы и, следовательно, потенциалы в точках С и
PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
D равны. Эти точки можно соединить накоротко. В результате получим схему, состоящую из
двух
последовательно
соединенных
групп
параллельно
соединенных
резисторов
сопротивлением r . Сопротивление получившейся эквивалентной схемы равно
r r
R = + = r.
2 2
Решение задачи №9
Перерисуем исходную схему. Через резисторы
ток течёт от положительного полюса батарейки к
отрицательному. По условию оба амперметра
идеальные. Следовательно, все три резистора
соединены параллельно и подключены к полюсам
батарейки. Поэтому
,
Для сил токов, протекающих через амперметры,
справедливы соотношения:
,
(1)
(2)
Вычитая почленно уравнение (2) из уравнения (1), находим ответ на второй вопрос задачи:
.
Решение задачи №10
Рассмотрим ΔABC. В нем
то по теореме косинусов находим:
Поскольку AB = 2AC,
,
значит треугольник ΔABC − прямоугольный треугольник, в
котором
Пусть угол между вертикалью AD и нитью
AC равен α. Тогда из условия равновесия массы m в точке C,
получаем:
Так как система покоится, то сумма моментов сил,
действующих на систему, например, относительно точки A
должна равняться нулю, что приводит к соотношению:
,
отсюда определяем
,
и ответ для силы F:
.
PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com