Закон возрастания энтропии. Обратимые и необратимые

Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика: Статистическая термодинамика
Лекция 4
ЛЕКЦИЯ 4
Закон возрастания энтропии. Обратимые и необратимые
процессы. Симметрия уравнений механики по отношению к
инверсии времени. Компьютерные эксперименты. Адиабатический процесс. Давление.
Закон возрастания энтропии. Обратимые и необратимые процессы
Если замкнутая система не находится в состоянии статистического равновесия, то с течением времени ее макроскопическое состояние будет
изменяться, пока система в конце концов не придет в состояние полного
равновесия. Характеризуя каждое макроскопическое состояние системы
распределением энергии между различными подсистемами 1, 2, . . . , N ,
мы можем сказать, что ряд последовательно проходимых системой состояний соответствует все более вероятному распределению энергии. Это
возрастание вероятности, вообще говоря, чрезвычайно значительно в силу его экспоненциального характера. Мы видели, что вероятность определяется выражением
eS = eS1 +S2 +···+SN
(1)
в экспоненте которого стоит аддитивная величина — энтропия системы.
Мы можем поэтому сказать, что процессы, протекающие в неравновесной замкнутой системе, идут таким образом, что система непрерывно
переходит из состояний с меньшей в состояния с большей энтропией, пока, наконец, энтропия не достигнет наибольшего возможного значения,
соответствующего полному статистическому равновесию.
Таким образом, если замкнутая система в некоторый момент времени
находится в неравновесном макроскопическом состоянии, то наиболее вероятным следствием в последующие моменты времени будет монотонное
возрастание энтропии системы. Это есть так называемый закон возрастания энтропии, или второй закон термодинамики. Он был открыт
Р. Клаузиусом (R. Clausius, 1865), а его статистическое обоснование было
дано Л. Больцманом (L. Boltzmann, 1870-е годы) 1 . Говоря о "наиболее
вероятном"следствии, надо иметь в виду, что в действительности вероятность перехода в состояние с большей энтропией настолько подавляюще
В формулировке Клаузиуса второй закон термодинамики выглядит так: «Невозможен процесс,
единственным результатом которого являлась бы передача тепла от более холодного тела к более
горячему» (такой процесс называется процессом Клаузиуса).
1
1
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика: Статистическая термодинамика
Лекция 4
велика по сравнению с вероятностью сколько-нибудь заметного ее уменьшения, что последнее вообще фактически никогда не может наблюдаться
в природе. Отвлекаясь от уменьшений энтропии, связанных с совершенно
ничтожными флуктуациями, мы можем поэтому сформулировать закон
возрастания энтропии следующим образом:
если в некоторый момент времени энтропия замкнутой системы отлична от максимальной, то в последующие моменты энтропия не убывает — увеличивается или в предельном
случае остается постоянной.
Соответственно этим двум возможностям все происходящие с макроскопическими телами процессы принято делить на необратимые и обратимые. Под первыми подразумеваются процессы, сопровождающиеся
возрастанием энтропии всей замкнутой системы; процессы, которые явились бы их повторением в обратном порядке, происходить не могут, так
как при этом энтропия должна была бы уменьшаться.
Обратимыми же называются процессы, при которых энтропия замкнутой системы остается постоянной и которые,
следовательно, могут происходить и в обратном направлении.
При обратимом процессе энтропии отдельных частей системы отнюдь
не должны тоже оставаться постоянными. Строго обратимый процесс
представляет собой, разумеется, идеальный предельный случай; реально происходящие в природе процессы могут быть обратимыми лишь с
большей или меньшей степенью точности.
В том, что изложенные простые формулировки соответствуют реальной действительности, — нет никакого сомнения; они подтверждаются
всеми нашими ежедневными наблюдениями. Однако при более внимательном рассмотрении вопроса о физической природе и происхождении
этих закономерностей обнаруживаются существенные затруднения, в известной мере до настоящего времени еще не преодоленные.
Прежде всего, если мы попытаемся применить статистику к миру как
целому, рассматриваемому как единая замкнутая система, то мы сразу
же столкнемся с разительным противоречием между теорией и опытом.
Согласно результатам статистики, Вселенная должна была бы находиться в состоянии полного статистического равновесия 2 . Точнее, должна
2
Так называемая тепловая смерть Вселенной (ТсВ). Это ошибочный вывод о том, что все виды
2
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика: Статистическая термодинамика
Лекция 4
была бы находиться в равновесии любая сколь угодно большая, но конечная ее область, время релаксации которой во всяком случае конечно.
Между тем, ежедневный опыт убеждает нас в том, что свойства природы не имеют ничего общего со свойствами равновесной системы, а астрономические данные показывают, что то же самое относится и ко всей
доступной нашему наблюдению колоссальной области Вселенной.
Можно было бы попытаться устранить это противоречие, предположив, что наблюдаемая нами часть Вселенной есть не что иное, как некоторая грандиозная флуктуация в равновесной как целое системе. То обстоятельство, что нам удалось наблюдать такую колоссальную флуктуацию, можно было бы объяснить тем, что осуществление такой флуктуации и является необходимым условием для существования наблюдателя
(условием, делающим возможным биологическое развитие организмов).
Этот аргумент, однако, не выдерживает никакой критики, так как неизмеримо большей вероятностью обладала бы флуктуация, скажем, в объеме одной лишь Солнечной системы, что во всяком случае было бы уже
достаточным для обеспечения возможности существования наблюдателя.
Выход из создающегося таким образом противоречия следует искать
в общей теории относительности. При рассмотрении больших областей
Вселенной важную роль играют существующие в них гравитационные
поля. Это верно и в меньших объемах, так, свечение Солнца — резульэнергии во Вселенной в конце концов должны перейти в энергию теплового движения, которая равномерно распределится по веществу Вселенной, после чего в ней прекратятся все макроскопические
процессы. Этот вывод был сформулирован Р. Клаузиусом (1865) на основе второго начала термодинамики. Согласно второму началу, любая физическая система, не обменивающаяся энергией с
другими системами (для Вселенной в целом такой обмен, очевидно, исключен — если она представляет собой замкнутую систему), стремится к наиболее вероятному равновесному состоянию — к так
называемому состоянию с максимумом энтропии. Такое состояние соответствовало бы ТсВ. Ещё до
создания современной космологии были сделаны многочисленные попытки опровергнуть вывод о
ТсВ. Наиболее известна из них флуктуационная гипотеза Л. Больцмана (1872), согласно которой
Вселенная извечно пребывает в равновесном изотермическом состоянии, но по закону случая то
в одном, то в другом её месте иногда происходят отклонения от этого состояния; они происходят
тем реже, чем бо́льшую область захватывают и чем значительнее степень отклонения. Современной
космологией установлено, что ошибочен не только вывод о ТсВ, но ошибочны и ранние попытки
его опровержения. Связано это с тем, что не принимались во внимание существенные физические
факторы и прежде всего тяготение. С учётом тяготения однородное изотермическое распределение
вещества вовсе не является наиболее вероятным и не соответствует максимуму энтропии. Наблюдения показывают, что Вселенная нестационарна. Она расширяется, и почти однородное в начале
расширения вещество в дальнейшем под действием сил тяготения распадается на отдельные объекты, образуются скопления галактик, галактики, звёзды, планеты. Все эти процессы естественны,
идут с ростом энтропии и не требуют нарушения законов термодинамики. Они и в будущем с учётом
тяготения не приведут к однородному изотермическому состоянию Вселенной — к ТсВ. Вселенная
всегда нестатична и непрерывно эволюционирует (Зельдович Я. Б., Новиков И. Д., Строение и
эволюция Вселенной, М.,1975).
3
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика: Статистическая термодинамика
Лекция 4
тат действия гравитационных сил, которые "подожгли"ядерный реактор, работающий на Солнце. Как известно, согласно общей теории относительности, гравитационные поля представляют собой изменение метрики пространства-времени, описываемой метрическим тензором gik . При
изучении статистических свойств тел метрические свойства пространствавремени можно рассматривать как внешние условия, в которых эти
тела находятся. Но утверждение о том, что замкнутая система должна
в течение достаточно длительного времени перейти в состояние равновесия, относится лишь к системе, находящейся в стационарных внешних условиях. Между тем общее космологическое расширение Вселенной означает, что ее метрика существенно зависит от времени, так что
внешние условия отнюдь не являются в данном случае стационарными.
Само гравитационное поле не может быть включено в состав замкнутой
системы, так как тогда обратились бы в тождество законы сохранения,
являющиеся основой статистики.
Таким образом, в общей теории относительности мир как
целое должен рассматриваться не как замкнутая система,
а как система, находящаяся в переменном гравитационном
поле.
Симметрия уравнений механики по отношению к инверсии времени. Компьютерные эксперименты
Как известно, классическая механика полностью симметрична по отношению к обоим направлениям времени. Уравнения механики остаются
неизменными при замене
t → −t.
(2)
Поэтому если эти уравнения допускают какое-либо движение, то они
допускают и прямо противоположное движение, при котором механическая система проходит через те же самые конфигурации, но в обратном порядке. В настоящее время компьютерное моделирование позволяет проверить это обстоятельство. Такие вычисления были проведены
на примере ансамбля твердых дисков 3 , помещенных в некоторый прямоугольный объем и обладающих определенной кинетической энергией
(модель двумерного идеального газа). Столкновения дисков со стенками
и друг с другом считаются абсолютно упругими. Задав вначале некоторое распределение скоростей, можно затем следить за его эволюцией во
3
И. Пригожин, И. Стенгерс, "Время, Хаос, Квант Москва, Прогресс, 1994.
4
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика: Статистическая термодинамика
Лекция 4
Рис. 1: Ансамбль твердых дисков в некотором прямоугольном объеме.
Рис. 2: Разбегание близких траекторий вследствие неустойчивости.
времени. Для этого введем функцию распределения f (v, t). Эта функция, будучи помноженной на элемент объема в пространстве скоростей
dv, описывает долю частиц, имеющих в момент времени t скорости, лежащие в интервале от v до v + dv. Как мы покажем позднее, энтропия
такого газа определяется интегралом
Z
S(t) = −H(t) = −
f (v, t) ln f (v, t)dv,
(3)
где H(t) — есть так называемая H-функция Больцмана. При этом если со
временем энтропия S будет возрастать, то, соответственно, H-функция
должна убывать. Это составляет суть знаменитой H-теоремы Больцмана.
Действительно, компьютерные эксперименты, проведенные в последнее время, свидетельствуют об уменьшении этой величины со временем
в процессе эволюции неравновесной системы к равновесию — рис. 3.
Однако численное моделирование позволяет нам также осуществить эксперимент и с обращением времени, когда в некоторый момент времени
tw , прошедший с начала эволюции, скорости всех частиц меняются на
противоположные и изучается последующая динамика системы. Такой
эксперимент с обращением скоростей во времена Больцмана мог быть
только мысленным экспериментом.
5
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика: Статистическая термодинамика
Лекция 4
H
1
0
(a)
-1
0
(c)
(b)
Ðàâíîâåñèå
20
40
60
Âðåìÿ
Рис. 3: Компьютерное моделирование эволюции H-функции Больцмана.
На рис. 4 показана эволюция системы твердых дисков для случая,
когда после 50 или 100 столкновений скорости дисков были обращены
на противоположные. Действительно, как видно из представленных графиков после обращения скоростей H-функция начинает возрастать (а
энтропия, соответственно, убывать!). Однако если такое обращение скоростей происходит по прошествии более длительного промежутка времени tw , прошедшего с начала эволюции неравновесной системы (т. е. после
большего числа столкновений), то H-функция возвращается не к своему
первоначальному значению, а к несколько меньшей величине. Разумеется, если бы компьютер был более мощным, и проводил все вычисления
с большим числом знаков после запятой, то разницу в значениях Hфункции можно было бы уменьшить. Но при бо́льших временах tw та же
самая проблема возникла бы снова. Чем более многочисленны столкновения перед моментом обращением скоростей, тем труднее компьютеру
вернуться назад, в прошлое системы.
Какими бы точными не были наши вычисления, они всегда проводятся с какой-то конечной, пусть и очень высокой точностью. Поэтому
всегда существует такое начальное время эволюции системы после которого возврат в прошлое невозможен (!!!). Можно показать, что это
время t∗w ∼ ln(1/ε), где ε — точность наших вычислений. Если, например,
последняя увеличивается в геометрической прогрессии (скажем, каждый
раз удваивается число десятичных знаков с которыми проводятся вычис6
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика: Статистическая термодинамика
Лекция 4
H
N=100
50 C
1
100 C
0
-1
Ðàâíîâåñèå
0
20
40
60
Âðåìÿ
Рис. 4: H-функция для системы твердых дисков в случае, когда после 50 или 100 столкновений
скорости дисков обращены на противоположные.
ления), то время t∗w растет всего лишь в арифметической прогрессии, т. е.
сравнительно медленно. Поэтому можно сказать, что существует своего
рода энтропийный барьер, не позволяющий нам восстановить начальное состояние с помощью обращения скоростей по прошествии достаточно продолжительной эволюции. Ошибка вычислений очень быстро, экспоненциально, накапливается с ростом числа столкновений. Ситуация
похожа на лабиринт в этом море столкновений: войти в лабиринт легко,
а выйти трудно. Одна неточность — и вы заблудились. При вычислении
же эволюции системы к равновесному состоянию ошибки не складываются, так как к равновесию ведет много "путей". А обратно ведет только
один путь!
Эту мысль иллюстрирует рис. 5. На нем изображена так называемая
решетка Бете (Bethe lattice). В ней каждый узел связан с тремя ближайшими узлами. Если мы пойдем по какой-то связи, то дойдя до развилки (узла) мы можем пойти с равной вероятность 1/2 по двум связям.
Особенностью этой решетки является то, что если мы начали свое движение из точки 0, мы неминуемо (через три шага) попадем в одну из
точек типа 3. Например по пути ABC или ADE. Но если мы теперь с
7
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика: Статистическая термодинамика
Лекция 4
3
C
2
3
2
E D
3
B
1
3
S 2
A
3
M
0
3
Q
1 L
2 K
2
3
3
1
3
3
3
2
3
Рис. 5: Дерево, по которому нельзя вернуться назад.
уровня 3 захотим вернуться назад в точку 0, то сделать это нам будет
непросто. Назад ведет только один путь (например KLM). Все остальные
пути нас возвращают обратно на уровень 3 (например KLQS). Поэтому
мы вернемся назад в точку 0 лишь с вероятностью 1/4. Чем на более
высоком уровне N мы находимся, тем меньше вероятность для нас вернуться назад. Она равна 1/2N −1 и при больших N — ничтожно мала.
Резюмируя, еще раз повторим общую формулировку закона возрастания энтропии:
во всех осуществляющихся в природе процессах в замкнутых системах энтропия никогда не убывает — она увеличивается или, в предельном случае, остается постоянной.
Адиабатический процесс
Среди различного рода внешних воздействий, испытываемых телом, особую группу составляют воздействия, сводящиеся к изменению внешних
условий, в которых это тело находится. Под внешними условиями мы понимаем в широком смысле различные внешние поля (например электрическое или магнитное поле). Практически наиболее часто роль внешних
8
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика: Статистическая термодинамика
Лекция 4
условий играет внешне заданный объем тела. В известном смысле этот
случай тоже можно рассматривать как особого рода внешнее поле, так
как ограничивающие объем стенки по своему действию эквивалентны
потенциальному барьеру, препятствующему выходу молекул тела наружу.
Если тело не подвергается никаким другим воздействиям, кроме изменения внешних условий, то говорят, что тело теплоизолировано. Подчеркнем, что, хотя теплоизолированное тело и не взаимодействует непосредственно с какими-либо другими телами, оно, конечно, вообще говоря,
не является замкнутым и его энергия может со временем меняться.
С чисто механической точки зрения теплоизолированное тело отличается от замкнутого лишь тем, что благодаря наличию переменного внешнего поля его функция Гамильтона (энергия) явно зависит от времени:
E = E(p, q, t). Если бы тело взаимодействовало также и непосредственно с другими телами, то оно само по себе совсем не имело бы функции
Гамильтона, так как взаимодействие зависело бы не только от координат
молекул данного тела, но и от координат молекул других тел.
Это обстоятельство приводит к тому, что
закон возрастания энтропии оказывается справедливым не
только для замкнутых систем, но и для теплоизолированных тел.
Действительно, мы рассматриваем здесь внешнее поле как полностью
заданную функцию координат и времени, пренебрегая, в частности, обратным действием самого тела на поле. Другими словами, поле является здесь чисто механическим, а не статистическим объектом, и в этом
смысле можно сказать, что его энтропия равна нулю. Отсюда и вытекает
сделанное выше утверждение.
Предположим, что тело теплоизолировано и что внешние условия, в
которых находится тело, меняются достаточно медленно. Такой процесс
носит название адиабатического. Например это может быть медленное
сжатие или расширение газа путем вдвигания или выдвигания поршня
— рис. 6. Покажем, что
при адиабатическом процессе энтропия тела остается неизменной, т. е. процесс обратим.
Будем характеризовать внешние условия некоторыми параметрами,
являющимися заданными функциями времени. Пусть, например, мы имеем всего один такой параметр, который мы обозначим буквой λ. Произ9
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика: Статистическая термодинамика
Лекция 4
Рис. 6: Теплоизолированный сосуд с газом. Медленно двигая поршень в ту или другую сторону мы
не меняем энтропии газа S. Энергия газа E, его объем V , температура T и давление P очевидно при
этом изменяются. Этот процесс обратим. Вернув поршень в исходное положение мы возвращаемся
к исходным значениям энергии, температуры, давления и объема газа. При быстром движении
поршня (быстрее скорости звука) энтропия газа увеличивается и процесс становится необратимым!
водная от энтропии по времени dS/dt будет как-то зависеть от скорости
dλ/dt изменения параметра λ. Поскольку dλ/dt мало, мы можем разложить dS/dt в ряд по степеням dλ/dt. Нулевой член этого разложения, не
содержащий dλ/dt, исчезает, так как если dλ/dt = 0, то и dS/dt должно
равняться нулю, поскольку энтропия замкнутой системы, находящейся в термодинамическом равновесии, при постоянных внешних условиях
должна оставаться неизменной. Но и член первого порядка, пропорциональный dλ/dt, должен обращаться в нуль. В самом деле, этот член
меняет свой знак при изменении знака dλ/dt, между тем как, согласно
закону возрастания энтропии, dS/dt всегда положительно. Отсюда следует, что разложение dS/dt начинается с членов второго порядка, т. е.
при малых dλ/dt имеем
Ã
dλ
dS
=A
dt
dt
!2
откуда
,
A > 0,
(4)
dS
dλ
=A .
(5)
dλ
dt
Следовательно, когда dλ/dt → 0, обращается в ноль и dS/dλ, что и
доказывает обратимость адиабатического процесса.
Подчеркнем, что хотя адиабатический процесс обратим, отнюдь не
всякий обратимый процесс адиабатичен. Условие обратимости процесса требует лишь постоянства полной энтропии всей замкнутой системы,
а энтропии ее отдельных частей могут как возрастать, так и убывать.
При адиабатическом же процессе выполняется более сильное условие —
остается постоянной также и энтропия данного тела, которое само по
себе составляет лишь часть замкнутой системы.
Выше мы определили адиабатический процесс как достаточно медленный. Точнее, внешние условия должны меняться настолько медленно,
10
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика: Статистическая термодинамика
Лекция 4
чтобы в каждый момент времени можно было считать тело находящимся в состоянии равновесия, соответствующего имеющимся в этот момент
внешним условиям. Другими словами, процесс должен быть медленным
по сравнению с процессами установления равновесия в данном теле 4 .
Неизменность энтропии при адиабатическом процессе имеет свои глубокие корни в квантовой механике. Рассмотрим например двухуровневую систему, которая находится в возбужденном состоянии, т. е. на верхнем уровне. Это может быть спин электрона в магнитном поле. Пусть
внешнее воздействие сводится к тому, что меняется расстояние между
уровнями E (например увеличивается или уменьшается магнитное поле). В квантовой механике доказывается,
что если это изменение достаточно медленное, то оно не
вызывает квантовых переходов между уровнями
и система если она была на верхнем уровне, то она там и останется.
Например рассмотрим ансамбль из 5 идентичных двухуровневых систем. Две системы пусть находятся в верхнем состоянии, а три в нижнем.
Число таких способов получить ту же энергию системы равно очевидно
g = C52 = 10. Пусть внешнее воздействие (например приложенное магнитное поле) привело к тому, что расстояние между уровнями уменьшилось по сравнению со своим прежним значением. Если это изменение было достаточно медленным, то каждая двухуровневая система останется в
своем прежнем квантовом состоянии (возбужденном или основном). Это
значит, что после внешнего воздействия мы будем по-прежнему иметь
две двухуровневых системы в возбужденном и три в основном состоянии
— рис. 7. Энергия системы при этом очевидно изменилась, а вот число
допустимых состояний — нет. Оно по прежнему равно g = C52 = 10. Поэтому энтропия системы, которая равна логарифму числа допустимых
состояний, останется прежней.
Давление
Энергия тела E как термодинамическая величина обладает свойством
аддитивности; энергия тела равна сумме энергий отдельных (макроскопических) его частей. Тем же свойством обладает и другая основная термодинамическая величина — энтропия.
Фактически это условие может оказаться очень слабым, так что "медленный"адиабатический
процесс может практически быть довольно быстрым. Так, например, при расширении газа (скажем,
в цилиндре с выдвигающимся поршнем) скорость поршня должна быть малой лишь по сравнению
со скоростью звука в газе, т. е. практически может быть очень большой.
4
11
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика: Статистическая термодинамика
внешнее
Лекция 4
воздействие
Рис. 7: В адиабатическом процессе медленно меняется расстояние между уровнями. Заселенность
уровней при этом не меняется.
Аддитивность энергии и энтропии приводит к следующему весьма
важному результату. Если тело находится в тепловом равновесии, то
можно утверждать, что его энтропия при заданном значении энергии
(или энергия при заданной энтропии) зависит только от объема тела,
но не от его формы 5 . Действительно, изменение формы тела можно
представить как перестановку отдельных его частей, отчего энтропия и
энергия, будучи величинами аддитивными, не изменятся. При этом, конечно, предполагается, что тело не находится во внешнем силовом поле,
так что перемещение частей тела в пространстве не связано с изменением
их энергии. Таким образом, макроскопическое состояние находящегося
в равновесии неподвижного тела полностью определяется всего двумя
величинами, например объемом и энергией. Все остальные термодинамические величины могут быть выражены как функции этих двух. Разумеется, в силу такой взаимной зависимости различных термодинамических величин, в качестве независимых переменных можно пользоваться
и любой другой их парой. Например, энергия может считаться функцией
энтропии и объема: E = E(S, V ).
Напишем выражение для изменения энергии, связанное как с изменением энтропии, так и объема тела
Ã
∂E
dE =
∂S
!
Ã
V
∂E
dS +
∂V
!
dV.
(6)
S
Как мы помним, определение температуры (данное нами в лекции 3)
5 Эти утверждения фактически применимы к жидкостям и газам, но не к твердым телам. Изменение формы (деформирование) твердого тела требует затраты некоторой работы, т. е. энергия тела
при этом меняется. Это обстоятельство связано с тем, что деформированное состояние твердого тела является, строго говоря, неполным термодинамическим равновесием (но время релаксации для
установления полного равновесия настолько велико, что во многих отношениях деформированное
тело ведет себя как равновесное).
12
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика: Статистическая термодинамика
Лекция 4
выглядит так (при фиксированном числе частиц N ):
Ã
∂S
1
=
T
∂E
или, что то же самое,
Ã
!
,
(7)
V
!
∂E
T =
.
(8)
∂S V
Выясним теперь физический смысл производной (∂E/∂V )S . По размерности это выражение совпадает с силой, поделенной на площадь, т. е.
с давлением. Оказывается, что это оно и есть, только взятое со знаком минус, потому что, как правило, с увеличением объема энергия тела
уменьшается.
Действительно, для силы, с которой тело действует на границу своего
объема, можно написать выражение
Ã
∂E
F=−
∂r
!
S
Ã
∂E
=−
∂V
!
S
∂V
.
∂r
(9)
Это выражение соответствует тому, что работа dA по медленному перемещению кусочка поверхности раздела на расстояние dr равна уменьшению внутренней энергии тела (мы предполагаем, что тело теплоизолировано):
dA = F · dr = −(dE)S .
(10)
Медленность перемещения плюс теплоизоляция тела означают, что в
процессе перемещения энтропия тела не меняется, т. е. процесс обратим.
Если его произвести в обратном направлении, то энергия системы настолько же увеличится.
ds
dr
тело
Рис. 8: Изменение объема тела при расширении, dV = ds · dr.
Изменение объема тела по перемещению кусочка поверхности раздела
на расстояние dr определяется выражением
dV = ds · dr,
13
(11)
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика: Статистическая термодинамика
Лекция 4
где ds — элемент площади этого кусочка 6 . Поэтому
Ã
!
∂V
∂E
= ds и F = −
ds.
(12)
∂r
∂V S
Отсюда видно, что средняя сила, действующая на элемент поверхности
тела, направлена по нормали к этому элементу и пропорциональна его
площади (закон Паскаля). Абсолютная величина силы, действующей
на единицу площади поверхности, и есть давление:
Ã
!
∂E
.
(13)
P =−
∂V S
В итоге, учитывая соотношения (8) и (13), изменение энергии системы
(6) можно записать в виде
dE = T dS − P dV.
(14)
Это — одно из важнейших термодинамических соотношений.
Давления тел, находящихся в равновесии друг с другом, равны друг
другу. Это следует уже непосредственно из того, что тепловое равновесие
во всяком случае предполагает наличие механического равновесия; иначе говоря, силы, с которыми действуют друг на друга любые два из этих
тел (по поверхности их соприкосновения), должны взаимно компенсироваться, т. е. быть равными по абсолютной величине и противоположными
по направлению.
Равенство давлений при равновесии можно вывести также и из условия максимума энтропии, подобно тому, как мы доказали в лекции 3
равенство температур. Для этого рассмотрим две соприкасающиеся части находящейся в равновесии замкнутой системы — Рис. 9. Одним из
необходимых условий максимальности энтропии является условие максимальности по отношению к изменению объемов V1 и V2 этих двух частей при неизменных состояниях остальных частей; последнее означает,
в частности, что остается неизменной и сумма V = V1 + V2 . Если S1 , S2
— энтропия обеих частей, а полная энтропия S = S1 + S2 , то имеем
∂S
∂
∂S1 ∂S2
=
(S1 + S2 ) =
+
=
∂V1
∂V1
∂V1 ∂V1
=
∂S1 ∂S2 ∂V2
∂S1 ∂S2
+
=
−
=0
∂V1 ∂V2 ∂V1
∂V1 ∂V2
(15)
Напомним, что по договоренности это есть вектор, направленный по внешней нормали к поверхности и по величине равный площади кусочка.
6
14
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика: Статистическая термодинамика
Лекция 4
V2
V1
Рис. 9: Две соприкасающиеся части, находящейся в равновесии замкнутой системы.
(поскольку V2 = V − V1 и ∂V2 /∂V1 = −1). Но с другой стороны, из
соотношения (14), переписанного в виде
dS =
видно, что
Ã
1
P
dE + dV,
T
T
∂S
∂V
Поэтому из равенства (15) имеем
!
=
E
P
.
T
(16)
(17)
P2
P1
= .
(18)
T1
T2
Так как температуры T1 и T2 при равновесии одинаковы, то мы получаем
отсюда искомое равенство давлений:
P1 = P2 .
(19)
Следует иметь в виду, что при установлении теплового равновесия
равенство давлений (т. е. механическое равновесие) устанавливается гораздо быстрее, чем равенство температур; поэтому часто встречаются
случаи, когда давление вдоль тела постоянно, хотя температура и не
постоянна. Дело в том, что непостоянство давления связано с наличием
нескомпенсированных сил, приводящих к появлению макроскопического
движения, выравнивающего давление гораздо быстрее, чем происходит
выравнивание температур, которое не связано с макроскопическим движением 7 .
Здесь не берется в расчет такое явление, как конвекция. При конвекции в поле силы тяжести,
нижние слои воздуха или жидкости имеют бо́льшую температуру чем верхние. В результате они
нагреваются, увеличивают свой объем (при положительном коэффициенте теплового расширения)
и под действием дополнительной подъемной силы поднимаются наверх. Соответственно холодные
(и тяжелые) верхние слои опускаются вниз. То есть возникает макроскопическое движение. Этот
механизм выравнивания температур играет, например, огромное значение в атмосфере Земли, определяя погоду на нашей планете. По той же причине чайник на плите закипает быстро, за несколько
минут.
7
15
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика: Статистическая термодинамика
Лекция 4
Легко видеть, что во всяком равновесном состоянии давление тела
должно быть положительным. Действительно, как следует из (17) при
P > 0, имеем (∂S/∂V )E > 0, и энтропия могла бы увеличиться лишь
при расширении тела, чему, однако, мешают окружающие его тела. Напротив, при P < 0 было бы (∂S/∂V )E < 0 и тело стремилось бы самопроизвольно сжиматься, поскольку это сопровождалось бы возрастанием
энтропии.
Имеется, однако, существенное различие между требованиями положительности температуры и положительности давления. Тела с отрицательной температурой были бы совершенно неустойчивы и вообще не
могут существовать в природе 8 . Состояния же (неравновесные) с отрицательным давлением могут осуществляться в природе, обладая ограниченной устойчивостью. Дело в том, что самопроизвольное сжатие тела
связано с его ”отрывом” от стенок сосуда или с образованием полостей
внутри него, т. е. с образованием новой поверхности; это обстоятельство
и приводит к возможности осуществления отрицательных давлений в
так назаваемых метастабильных состояниях.
1
Приложение: Судьба Солнечной системы
Как и все звёзды, Солнце родилось в сжавшейся газопылевой туманности. Когда
столь грандиозная масса сжималась, она сама себя сильно разогрела внутренним
давлением до температур, при которых в её центре смогли начаться термоядерные
реакции. В центральной части температура на Солнце равна 15000000 К, а давление достигает сотни миллиардов атмосфер. Так зажглась новорожденная звезда (не
путайте с новыми звёздами).
В основном, на три четверти, Солнце в начале своей жизни состояло из водорода. Именно водород в ходе термоядерных реакций превращается в гелий, при этом
выделяется энергия, излучаемая Солнцем. Солнце принадлежит к типу звёзд, называемых жёлтыми карликами. Оно — звезда главной последовательности и относится
к спектральному классу G2. Масса одинокой звезды однозначно определяет её судьбу. За время жизни (5 миллиардов лет), в центре нашего светила, где температура
достаточно высока, сгорело около половины всего имеющегося там водорода. Где-то
столько же, 5 миллиардов лет, Солнцу осталось жить.
После того, как в центре светила водород будет на исходе, Солнце увеличится в
размерах, станет красным гигантом. Это сильнейшим образом скажется на Земле:
повысится температура, океаны выкипят, жизнь станет невозможной. Наша звезда
закончит свою жизнь как белый карлик, порадовав неведомых нам внеземных астрономов будущего новой планетной туманностью, форма которой может оказаться
весьма причудливой благодаря влиянию планет.
Однако состояния с отрицательной температурой могут быть фактически осуществлены (на
некоторое время) в парамагнитной системе ядерных моментов в кристалле, в котором время релаксации t2 для взаимодействия ядерных спинов друг с другом очень мало по сравнению с временем
релаксации t1 для взаимодействия спинов с решеткой
8
16
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
1.1
Физика: Статистическая термодинамика
Лекция 4
Или так (конец жизни немассивных звезд)
Вернемся к жизни звезд. Чем массивнее была звезда, тем большее гелиевое ядро в
ней образуется. Тем больше силы, стремящиеся его сжать. Тем больше давление в
ядре и его температура. В большинстве звезд эта температура достаточна для того, чтобы начались ядерные реакции синтеза углерода из гелия. При дальнейшем
повышении температуры могут проходить и реакции синтеза более тяжелых элементов. В самом общем случае, когда в ядре заканчивается все ядерное горючее, оно,
не в силах больше сдерживать гравитационные силы, сжимается до размеров Земли.
Оболочка звезды (верхние ее слои) отрываются от ядра, образуя так называемые
планетарные туманности — внешние слои старых звезд. Ядро, достигнув весьма типичных для умирающих звезд размеров нашей планеты, больше не может сжаться.
Электроны в такой плотной "упаковке"уже нельзя отнести к тому или иному конкретному ядру атома, они как бы становятся общими, свободно перемещаясь, как в
металле. Такое состояние электронов называется электронным газом, его давление
и уравновешивает гравитационное сжатие. Мы получили маленькую и очень горячую, с огромной плотностью звезду, которая носит название белого карлика. Белый
карлик медленно излучает запасенное тепло в пространство, после чего остывает и
превращается в черного карлика — остывшую, умершую звезду. Одним из известнейших примеров белого карлика является Сириус В — спутник ярчайшей на небе
звезды Сириус (Сириус А). Итак, красный гигант, расширившийся настолько, что
потерял свои внешние слои, превращается в белого карлика c типичной для звезд
массой и размерами, типичными для планет. Это — обычная судьба звезд, масса
которых первоначально не превосходит 10 солнечных масс. Рассеявшиеся оболочки
звезд могут снова впоследствии пойти на образование порождающих звезды газовых
облаков.
1.2
Или так
Известно, что Вселенная расширяется, причем расширяется со все возрастающей
скоростью. Это вовсе не означает, что увеличивается расстояние между Землей и
Солнцем или между звездами Млечного пути — наша Галактика пока еще не собирается "разбухать"(возможно, такое произойдет в далеком будущем, если окажется
верным сценарий Большого Разрыва). Расширение Вселенной теперь сказывается
лишь на увеличении расстояния между удаленными галактиками. Близкие галактики, напротив, стремятся слиться во все более внушительные конгломераты. Так,
наш ближайший массивный сосед — спиральная галактика туманность Андромеды
(иначе говоря, M31), не удаляется от нас. Напротив, наши галактики сближаются,
все время наращивая скорость этого самого сближения (речь о так называемых пекулярных скоростях). В настоящее время эта скорость составляет 120 километров в
секунду, а расстояние, разделяющее нас, оценивается в 2,5 миллиона световых лет
(при этом еще вся наша Местная группа галактик со скоростью 500-600 километров в
секунду движется в сторону так называемого Великого Аттрактора). Спустя считанные миллиарды лет галактики столкнутся, начнется процесс их слияния. Возникает
естественный вопрос: как это столкновение отразится на судьбе Солнечной системы?
Томас Кокс (Thomas Cox) и Абрахам Лёб (Abraham Loeb) из Гарвард-Смитсонианского
астрофизического центра (Harvard-Smithsonian Center for Astrophysics — CfA) в Кембридже (США, штат Массачусетс) провели необходимые вычисления и компьютерное моделирование (с помощью 2,6 миллиона виртуальных частиц) и опубликовали
17
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика: Статистическая термодинамика
Лекция 4
результаты в статье, размещенной на сайте электронных препринтов arXiv.org. Соответствующая публикация планируется в "Ежемесячных сообщениях Королевского астрономического общества"(Monthly Notices of the Royal Astronomical Society —
MNRAS).
Конечно, моделирование взаимодействий между членами нашей Местной группы
галактик (куда помимо двух "тяжеловесов Млечного пути и туманности Андромеды
— входят еще свыше 40 более мелких галактик, включая Треугольник и т. д.) проводилось и ранее. Лёб и Кокс, в частности, ссылаются на работы Джона Дубински
(John Dubinski) из канадского Университета Торонто (University Toronto). Однако
до сих пор под вопросом остается достаточно важный параметр — поперечная скорость Андромеды. А от нее зависит, столкнутся ли наши галактики уже при первом
сближении или же они сначала "разойдутся миром"и отложат процесс слияния до
следующей встречи. Лёб и Кокс предположили, что поперечная скорость достаточно
мала (менее 100-200 км/с) и столкновение произойдет при первом сближении. Если
вид Homo sapiens через 2 миллиарда лет еще не исчезнет с лица земли, то наши
потомки тогда смогут наблюдать в ночном небе поистине феерическое зрелище. В
принципе, Солнце и Земля должны дожить до этого времени, ведь процесс превращения Солнца в красного гиганта с последующим его коллапсом и стадией белого
карлика наступит гораздо позже — еще через 2-3 миллиарда лет (этот последний этап
Земля, скорее всего, уже не переживет). Нужно отметить, что когда наше Солнце
еще только рождалось (это происходило 4,7 миллиарда лет назад), Андромеда и
Млечный путь были разделены 4,2 млн световых лет.
После первого контакта двух спиральных галактик начнется процесс их медленного объединения в общую эллиптическую сверхгалактику. Это будет гигантский
довольно беспорядочный рой звезд, обращающихся вокруг нового общего гравитационного центра, начисто лишенный какого-либо подобия изящных спиральных рукавов. Лёб и Кокс называют получившееся образование "Милкомедой"("Milkomeda порусски, наверно, лучше было бы именовать "Млечномедой") или же "Андромедовым
путем"(Andromedy Way). Несмотря на то, что при столкновении галактик отдельные
звезды между собой не сталкиваются (расстояния между ними слишком велики, и
вероятность таких столкновений мала), все-таки катастрофических изменений в их
судьбах не избежать.
Судьба Солнца зависит от того, в каком именно месте в Галактике оно окажется
в момент столкновения. Его обычный путь пролегает в отдалении от центра Млечного пути, в радиусе 26 тысяч световых лет от галактического ядра. По оценкам
Кокса и Лёба, уже в ходе самого первого взаимодействия (через 2 млрд лет) появляется 12%-ый шанс на то, что Солнечная система будет просто выброшена из
диска Млечного пути и окажется в его приливном "хвосте который протянется из
нашей "подбитой"Галактики, словно струя крови. После второго столкновения этот
шанс возрастает до 30%. И есть вероятность (оцениваемая в 2, 7%) на то, что Солнце
вообще покинет Млечный путь и свяжет свою дальнейшую судьбу с туманностью Андромеды (тогда какое-то время гипотетические обитатели Солнечной системы смогут
видеть в ночном небе Млечный путь целиком).
В последующие миллиарды лет рассыпавшиеся куски галактик вновь притянутся
друг к другу, возвратятся, испытывая новые удары, пока полностью не сольются 7
миллиардов лет спустя. Сверхмассивные черные дыры в их центрах (в настоящее
время относительно тихие и спокойные) образуют тогда двойное ядро, которое тоже
будет стремиться постепенно слиться в одну черную дыру, резко повысив при этом
свою активность за счет притока нового материала, газа и звезд, которые неудачно
18
Д. А. Паршин, Г. Г. Зегря
Физика: Статистическая термодинамика
Лекция 4
попали в "зону питания"монстров. Столкновения газопылевых облаков будут способствовать заметной активизации звездообразования, появится много новых звезд.
По всей вероятности, в конечном счете все эти взаимодействия приведут к тому, что
Солнце окажется во внешнем гало объединенной галактики - по крайней мере в 100
тысячах световых лет (свыше 30 килопарсек) от центра - двойной системы сверхмассивных черных дыр - и там будет доживать свой век в виде остывающего белого
карлика.
Источники: The Collision Between The Milky Way And Andromeda — arXiv.org —
astro-ph. The Collision Between The Milky Way and Andromeda - Harvard-Smithsonian
Center for Astrophysics. When Milky Way and Andromeda Collide, Earth Could Find
Itself Far From Home — Scientific American. When Our Galaxy Smashes Into Andromeda,
What Happens to the Sun? — Universe Today. Galactic merger to ’evict’ Sun and Earth
— New Scientist.
Ссылки: Встреча в верхах — "Популярная механика". Крупномасштабная структура Вселенной и ее происхождение. The Dynamical Evolution of Galaxies in Clusters
— arXiv.org — astro-ph.
Смотри:
http://www.grani.ru/Society/Science/m.121928.html
19