5.9. примеры применени второго начала

5.9. Примеры применения второго начала термодинамики
Пример № 1. Когда газ в цилиндре двигателя внутреннего сгорания обладает большим
запасом внутренней энергии: в момент проскакивания электрической искры или в конце рабочего хода поршня?
1. Двигатель внутреннего сгорания представляет собой циклическую тепловую машину, которая периодически совершает работу и
возвращается после этого в исходное состояние. Периодически работающая тепловая машина должна иметь «рабочее тело» термодинамическое состояние, которого меняется циклически, нагреватель
от которого «рабочее тело» забирает тепло и холодильник, которому тепло отдаётся.
2. Механическая работа совершается за счёт изменения внутренней энергии «рабочего тела». В соответствии с первым началом
термодинамики для круговых процессов должно выполняться равенство
δQ1 = dA + δQ 2 ,
(1)
где δQ1 − количество тепла, забираемое у нагревателя «рабочим телом», δQ2 − количество
тепла, получаемое холодильником от «рабочего тела».
3. Производство работы осуществляется за счёт изменения внутренней энергии газообразного «рабочего тела». Максимальной внутренняя энергия будет в момент воспламенения
топливно-воздушной смеси, которая в ДВС и является «рабочим телом». В конце рабочего
хода поршня запас внутренней энергии «рабочего тела» уменьшается.
Пример № 2. В результате кругового процесса газ совершил работу δА = 1 Дж и передал холодильнику δQ2 = 4,2 Дж. Определить термодинамический коэффициент полезного
действия цикла η.
1. Термический коэффициент полезного действия (КПД) цикла равен
δQ1 − δQ 2
.
η=
Q1
2. Определим количество тепла, получаемого «рабочим телом» от нагревателя
δQ1 = δQ 2 + A = 5,2 Дж.
3. Подставим значение δQ1 в уравнение (1)
5,2 − 4,2
η=
≅ 0,19 .
5,2
(1)
(2)
(3)
Пример № 3. Совершая замкнутый круговой процесс, газ получил от нагревателя количество теплоты δQ1 = 4 кДж. Определить работу газа при протекании цикла, если его
термический КПД η = 0,1.
1. Запишем уравнение термического КПД и определим количество тепла δQ2, отдаваемое
газом холодильнику
δQ1 − δQ 2
(1)
η=
, ⇒ δQ 2 = δQ1 − ηδQ1 = δQ1 (1 − η) .
δQ1
235
2. Воспользовавшись уравнением (2) предыдущей задачи, определим работу цикла
A = δQ1 − δQ 2 = δQ1 − δQ1 (1 − η) = δQ1η = 0,4 кДж .
(2)
2.4.4. Идеальный двухатомный газ, содержащий ν = 1 моль вещества, совершает цикл,
состоящий из двух изохор и двух изобар. Наименьший объём Vmin = 10 л, наибольший − Vmax =
20 л, наименьшее давление, при этом, составляет рmin = 246 кПа, наибольшее − р max = 410
кПа. Построить график цикла. Определить температуру Т для характерных точек процесса и совершаемую за цикл работу.
1. Определим, используя уравнение Клапейрона −
Менделеева, температуру характерных точек процесса
p V 246 ⋅ 10 3 ⋅ 10 −2
(1)
T1 = 1 1 =
≅ 296 K ,
νR
1 ⋅ 8,3
p V 410 ⋅ 10 3 ⋅ 10 −2
T2 = 2 1 =
≅ 494 K ,
νR
1 ⋅ 8,3
(2)
p V
410 ⋅ 10 3 ⋅ 2 ⋅ 10 −2
T3 = 2 3 =
≅ 988 K ,
νR
1 ⋅ 8,3
(3)
T4 =
p1V3 246 ⋅ 10 3 ⋅ 2 ⋅ 10 −2
=
≅ 592 K .
νR
1 ⋅ 8,3
(4)
2. Определим количество тепла, отдаваемое газом охладителю на изохорном участке
1→ 2
iR
5 ⋅ 8,3
(494 − 296) ≅ 4,1кДж .
Q 2 = ν (T2 − T1 ) = 1 ⋅
(5)
2
2
3. Определим совершаемую за цикл работу, которая численно будет равна площади прямоугольника 1,2,3,4
δA = Δp ⋅ ΔV = (410 − 264) ⋅ 103 ⋅ 1 ⋅ 10 −2 = 1640 Дж .
(6)
Пример № 5. Идеальный двухатомный газ в количестве ν = 1 кмоль, совершает замкнутый цикл в
соответствии с приведённым графиком. Определить количество теплоты δQ1`, получаемое от нагревателя, количество тепла, отдаваемое охладителю δQ2, совершаемую за цикл работу δA и термический КПД процесса η.
1. Определим количество теплоты, получаемое
газом от нагревателя, которое будет складываться из
количества тепла δQ1,2 на первом изобарном участке
цикла 1 − 2 и количества тепла δQ2,3 на первом изохорном участке 2 − 3
iR
iR (p max − p min )Vmin
Q1→2 = ν ΔT = ν
≅ 2 ⋅ 10 4 Дж ,
2
2
νR
i + 2 p max ΔV
Q 2→3 = ν
R
≅ 3,5 ⋅ 1,6 ⋅ 10 4 ⋅ 1 ≅ 5,6 ⋅ 10 4 Дж .
2
νR
δQ1 = Q1→2 + Q 2→3 = 7,6 ⋅ 10 4 Дж .
236
(1)
(2)
(3)
2. Найдём количество тепла δQ2, отдаваемое охладителю на участках цикла 3,4,1
i
5⋅
Q 3→4 = − (p min − p max )Vmax ≅ 4 ⋅ 103 ⋅ 3 ≅ 3 ⋅ 10 4 ,
2
2
i + 2 p min ΔV
Q 4→1 = ν
R
≅ 3,5 ⋅ 1,2 ⋅ 10 4 ⋅ 1 ≅ 4,2 ⋅ 10 4 Дж ,
2
νR
(4)
(5)
δQ 2 = Q 3→4 + Q 4→1 = 7,2 ⋅ 10 4 Дж .
3. Работа, совершаемая за один цикл
A = Δp ⋅ ΔV = 4 ⋅ 103 ⋅ 1 = 400 Дж .
4. Термический КПД процесса
A
400
η=
≅
≅ 0,0526 (5,26% ) .
Q1 7,6 ⋅ 10 3
(6)
(7)
(8)
Пример № 6. Идеальный двухатомный газ, содержащий ν = 1 моль вещества, находится под давлением р1 = 0,1 МПа при температуре Т1 = 300 К, нагревают при постоянном
объёме до давления р2 = 0,2 МПа. После этого газ расширился до начального давления, а
затем изобарно сжат до начального объёма V1. Построить график цикла, определить характерные температуры и термический КПД η.
1. Определим, используя уравнение Клапейрона − Менделеева, начальный объём газа
p1V1 = νRT1 ,
(1)
νRT1 1 ⋅ 8,3 ⋅ 300
V1 =
=
≅ 0,025 м3 .
(2)
p1
1 ⋅ 105
2. Определим температуру в точке цикла 2
pV
2 ⋅ 10 5 ⋅ 2,5 ⋅ 10 −2
T2 = 2 1 ≅
= 602 K
νR
8,3
3. Поскольку участок цикла 2 − 3 является
изохорой, то Т2 = Т3
4. Определим конечный объём газа при окончании изотермического расширения
νRT2 1 ⋅ 8,3 ⋅ 602
(3)
V2 =
=
≅ 0,05 м 3 .
p1
1 ⋅ 10 5
5. Работа при изотермическом расширении определится уравнением
V
A 2→3 = νRT3 ln 2 ≅ 8,3 ⋅ 602 ⋅ ln 2 ≅ 3,5 ⋅ 10 3 Дж .
V1
6. Количество тепла δQ1, получаемое от нагревателя на участках цикла 1→2→3
iR
iR (p 2 − p1 )V1 i
Q1→2 = ν ΔT = ν
= (p 2 − p1 )V1 ≅ 6,25 ⋅ 103 Дж ,
2
2
νR
2
Q 2→3 = A = 3,5 ⋅ 103 Дж ,
δQ1 = Q1→2 + Q 2→3 ≅ 10 ⋅ 10 Дж .
7. Количество тепла, отдаваемое охладителю на участке 3→1
i+2
δQ 2 = Q 3→1 = ν
R (T3 − T1 ) ≅ 8,7 ⋅ 103 Дж .
2
8. Определим термический КПД цикла
δQ1 − δQ 2 10 − 8,7
η=
≅
≅ 0,13 (13%).
δQ1
10
3
237
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
Пример № .7. Одноатомный газ, содержащий количество вещества ν = 100 моль, под
давлением р1 = 0,1 МПа занимал объём V1 = 5 м3. Газ сжимался изобарно до объёма V2 = 1
м3, затем сжимался адиабатно и расширялся при постоянной температуре до начального
объёма и начальной температуры. Построить график процесса. Найти температуры Т1,
Т2, объёмы V2, V3 и давление р3, соответствующие характерным точкам цикла. Определить
количество тепла δQ1, получаемое от нагревателя и количество тепла δ Q2, отдаваемое
охладителю. Вычислить работу, производимую за весь цикл и термический КПД η.
1. Определим начальную температуру газа Т1
pV
T1 = 1 1 ≅ 600 K .
(1)
νR
2. Температура Т2 в конце процесса изобарного сжатия газа
pV
T2 = 1 2 ≅ 120 K .
(2)
νR
3. Показатель адиабаты на участке процесса
2→ 3
i + 2 3+ 2
γ=
=
≅ 1,67 .
(3)
i
3
4. Определим объём V3, с учётом того, что
переход газа из состояния 2 в состояние 3 происходит по адиабатной схеме
γ
p 3 ⎛ V2 ⎞
(4)
=⎜ ⎟ .
p 2 ⎜⎝ V3 ⎟⎠
Давление в точке 3 выразим из уравнения изотермы 3→4
pV
(5)
p 3 V3 = p1`V1 , ⇒ p 3 = 1 1 .
V3
5. Подставим значение р3 из уравнения (5) в уравнение (4), которое разрешим относительно V3
1
1, 49
⎛ V γ ⎞ γ −1 ⎛ 1 ⎞
p1 = p 2 , ⇒ V3 = ⎜⎜ 2 ⎟⎟ ≅ ⎜ ⎟ ≅ 0,09 м 3 .
⎝5⎠
⎝ V1 ⎠
6. Определим далее давление р3, воспользовавшись уравнением (5)
p V 1 ⋅ 105 ⋅ 1
p3 = 2 2 ≅
≅ 1 МДж .
V3
0,09
p1V1 V2γ
=
,
V3 p 2 V3γ
7. Определим количество тепла δQ2, отдаваемое газом охладителю
i+2
3+ 2
Q1→2 = νC p (T3 − T2 ) = ν
R (T3 − T2 ) ≅ 830
480 ≅ 1 МДж .
2
2
8. Определим количество тепла δQ1 получаемое газом
V
δQ1 = νRT1 ln 1 = 830 ⋅ 600 ⋅ ln 55,5 ≅ 2 МДж .
V3
9. Определим термический КПД процесса
δQ1 − δQ 2
η=
= 0,5 (50% ) .
δQ1
10. Работа, совершаемая за один цикл
A1→2→3→1 = δQ1 − δQ 2 = 1 МДж .
238
(6)
(7)
(8)
(13)
(14)
(15)
Пример № 8. Идеальный многоатомный газ совершает цикл, состоящий из двух изохор
и двух изобар, причём наибольшее давление в два раза превосходило наименьшее давление, а
наибольший объём в четыре раза превосходил наименьший объём. Определить термический
КПД цикла.
1. Определим, используя уравнение Клапейрона
− Менделеева, характерные температуры процесса
pV
2p V
T1 = 1 1 , T2 = 1 1 ,
(1)
νR
νR
2p 4V
p 4V
T3 1 1 , T4 = 1 1 ,
(2)
νR
νR
2. Количество тепла δQ1, получаемое многоатомным газом на участках 1→2→3
i
Q1→2 = νR (T2 − T1 ) = 3p1V1 ,
(3)
2
i+2
(T3 − T2 ) = 24p1V1 ,
Q 2→3 = νR
(4)
2
(5)
δQ1 = Q1→2 + Q 2→3 = 27 p1V1 .
3. Количество тепла δQ2, отдаваемое газом охладителю на участках процесса 3→4→1
i
Q3→4 = νR (T3 − T4 ) = 12p1V1 ,
(6)
2
i+2
(T4 − T1 ) = 12p1V1 ,
Q 4→1 = νR
(7)
2
δQ 2 = Q3→4 + Q 4→1 = 24p1V1 .
(8)
4. Определим термический коэффициент процесса
δQ − δQ 2 27 − 24
(9)
η= 1
=
≅ 0,11(11% ) .
δQ1
27
Пример № 9. Идеальный газ, совершающий цикл Карно, 2/3 количества тепла δQ1, получаемого от нагревателя, отдаёт охладителю, температура которого составляет Т2 = 280
К. Определить температуру Т1 нагревателя.
1. Определим термический КПД процесса
δQ1 − 2 3Q1
η=
≅ 0,33 .
Q1
2. Запишем далее уравнение для КПД цикла Карно
T − T2
T
280
η= 1
, ⇒ T1 = 2 =
≅ 418 K .
T1
1 − η 1 − 0,33
(1)
(2)
Пример № 10. Идеальный газ совершает цикл Карно. Температура охладителя равна Т2
= 290 К. Во сколько раз увеличится КПД цикла если температура нагревателя повышается
с Т1(min) = 400 К до Т1(max) = 600 К?
1. Определим КПД цикла для заданных температур нагревателя
T1(min) − T2 400 − 290
ηmin =
=
≅ 0,275 ,
T1(max)
400
239
(1)
ηmax =
T1(max) − T2 600 − 290
≅ 0,517 .
T1(max)
600
2. Определим отношение коэффициентов полезного действия цикла
ηmax ηmin = 1,88 .
(2)
(3)
Пример № 10. Идеальный газ совершает цикл Карно. Температура Т1 нагревателя в три
раза выше температуры охладителя Т2. В течение цикла нагреватель передаёт газу количество теплоты δQ1 = 42 кДж. Какую работу А совершил газ?
1. Определим КПД заданного цикла
T1 − 0,33T1
= 0,667 .
T1
2. Работа, совершаемая газом за один цикл, определится уравнением
A = δQ1η = 42 ⋅ 103 ⋅ 0,667 ≅ 28 кДж .
η=
(1)
(2)
Пример № 11. Идеальный газ совершает цикл Карно. Температура нагревателя равна Т1
= 470 К, температура охладителя − Т2 = 280 К.В течение цикла газ совершает работу А =
100 Дж Определить термический КПД цикла η и количество теплоты, отдаваемое газом
при его изотермическом сжатии.
1. Термический КПД цикла
T1 − T2
(1)
≅ 0,4 .
T1
2. Определим количество тепла δQ1, получаемое газом от нагревателя
A
A
(2)
η=
, ⇒ δQ1 = = 250 Дж ,
δQ1
η
с другой стороны, для цикла Карно можно записать для работы следующее соотношение
A = δQ1 − δQ 2 , ⇒ δQ 2 = δQ1 − A = 150 Дж .
(3)
η=
Пример № 12. Идеальный газ совершает цикл Карно. Температура нагревателя Т1 в четыре раза выше температуры охладителя Т2. Какую долю ζ количества тепла, получаемого за один цикл, газ отдаёт охладителю?
1. Определим термический КПД процесса
4T − T2
η= 2
= 0,75 .
4T2
2. Запишем значение термического КПД через количество теплоты
δQ1 − δQ 2
δQ 2
η=
=1−
= 1 − ζ, ⇒ ζ = 0,25 .
δQ1
δQ1
(1)
(2)
Пример № 13. Идеальный газ, совершающий цикл Карно, получив от нагревателя δQ1 =
4,2 кДж теплоты, совершил работу А = 590 Дж. Определить величину термического КПД
цикла и отношение температур нагревателя Т1 и охладителя Т2.
1. Определим термический КПД
η=
A
590
=
≅ 0,14 .
δQ1 4200
240
(1)
2. Запишем уравнение термического КПД следующим образом
δQ1 − δQ 2
δQ 2
.
η=
=1−
δQ1
δQ1
3. Определим из уравнения (2) отношение δQ1/δQ2
δQ 2
= 1 − η ≅ 0,86 ,
δQ1
откуда видно, что − δQ1/δQ2 ≅ 1,16.
(2)
(3)
Пример №14. Идеальный газ совершает цикл Карно, совершая на стадии изотермического расширения работу А = 5 Дж. Определить работу изотермического сжатия, если
термический КПД цикла η = 0,2.
1. Количество тепла δQ1, получаемое газом от нагревателя
A
δQ1 = = 25 Дж .
η
2. Количество теплаδQ2, отдаваемое газом охладителю
δQ1 − δQ 2
η=
, ⇒ δQ 2 = 20 ДЖ .
δQ1
3. Работа изотермического сжатия газа
A 2 = η ⋅ δQ 2 = 4 Дж .
(1)
(2)
(3)
Пример № 15. Наименьший объём газа участвующего в цикле Карно V1 = 0,153 м3. Определить
наибольший объём этого газа V3, если в конце изотермического расширения объём газа составляет V2
= 0,6 м3, а в конце изотермического сжатия − V4 =
0, 189 м3.
1. Количество тепла, получаемое газом от нагревателя и отдаваемое охладителю, определяются как
V
(1)
δQ1 = νRT ln 3 .
V2
V
(2)
δQ 2 = νRT ln 4 .
V2
2. Составим очевидную пропорцию
V3 V4
V ⋅V
=
, ⇒ V3 = 2 4 ≅ 0,74 м 3 .
V2 V1
V1
241
(3)
Пример № 16. Идеальный двухатомный газ совершает цикл Карно, график которого приведен на
рисунке. Объёмы газа в точках В и С соответственно равны V1 = 0,012 м3 и V2 = 0,016 м3. Определить
термический КПД цикла.
1. Определим показатель адиабаты идеального
двухатомного газа
i+2 5+2
γ=
=
≅ 1,4 .
(1)
i
5
2. Поскольку точки В и С лежат на адиабате, то
справедливы соотношения следующие соотношения
между начальными и конечными параметрами процесса
γ −1
0, 4
T2 ⎛ V1 ⎞
⎛ 0,012 ⎞
(2)
= ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜
⎟ ≅ 0,891 .
T1 ⎝ V2 ⎠
⎝ 0,016 ⎠
3. Определим далее КПД цикла, из условия что точка В соответствует температуре нагревателя Т1, а точка С температуре охладителя Т2
T
(3)
η = 1 − 2 = 1 − 0,891 ≅ 0,11 (11% ) .
T1
Пример № 17. В цилиндрах карбюраторного двигателя внутреннего сгорания газ сжимается политропически до V2 = V1/6. Начальное давление в цилиндре равно р1 = 90 кПа, начальная температура − Т1 = 400 К. Определить давление р2 и температуру Т2 в конце процесса сжатия газа. Показатель политропы равен n = 1,3.
1. Запишем уравнение политропического процесса
p1V1n = p 2 V2n .
2. Выразим в уравнении (1) величину V2 через V1
(1)
n
⎛V ⎞
p1V1n = p 2 ⎜ 1 ⎟ , ⇒ p 2 = p1 6 n ≅ 924 Па .
(2)
⎝ 6 ⎠
3. Запишем уравнение политропического процесса через его начальную и конечную температуру
T1V1n −1 = T2 V2n −1 ,
(3)
или, после замены V2, получим
⎛V ⎞
T1V1n −1 = T2 ⎜ 1 ⎟
⎝ 6 ⎠
n −1
,
(4)
откуда
T2 = T1 ⋅ 6 n −1 = 400 ⋅ 6 0,3 ≅ 684,7 K .
(5)
Пример № 18. К воде с массой m1 = 5 кг с температурой Т1 = 280 К добавили m2 = 8 кг
воды с температурой Т2 = 350 К. Определить температуру смеси и изменение энтропии,
при смешивании воды
1. Установившуюся после перемешивания температуру определим из уравнения теплового баланса
m T + m 2 T2
(1)
cm1 (θ − T1 ) = cm 2 (T2 − θ), ⇒ θ = 1 1
≅ 323 K .
m1 + m 2
242
2. Определим энтропии масс m1 и m2 воды
θ
θ
Дж
dQ θ cm1dT
=∫
= cm1 ln ≅ 3 ⋅ 103
S1 = ∫
,
К
T
T1
T1 T
T1`
S2 =
θ
dQ θ cm 2 dT
3 Дж
∫T T = T∫ T = cm 2 ln T1 = −2,7 ⋅ 10 К .
2
2`
(2)
θ
3. Определим изменение энтропии при смешивании воды массами m1 и m2
Дж
ΔS = S1 + S2 = 300
.
К
(3)
(4)
Пример № 19. В результате изохорного нагревания водорода давление увеличилось в два
раза. Определить изменение энтропии водорода ΔS, если масса газа равна m = 1⋅10 − 3 кг.
1. Изменение энтропии в общем виде записывается следующим образом
T2
dQ
ΔS = ∫
.
T1 T
2. Для изохорного процесса первое начало термодинамики имеет вид
m
dQ = ΔU = C V dT ,
μ
m i
dQ = ΔU =
RdT ,
μ 2
3. Подставим значение dQ из уравнения (3) в уравнение (1)
T
T
m i 2 dT m i
R∫
ΔS =
=
R ln 2 .
μ 2 T1 T
μ 2
T1
(1)
(2)
(3)
(4)
4. Определим отношение температур, рассмотрев систему уравнений Клапейрона − Менделеева для заданных состояний водорода
p1V = νRT1 ⎫
T2
= 2.
(5)
⎬, ⇒
2p1V = νRT2 ⎭
T1
5. Вычислим изменение энтропии с учётом уравнения (5)
1 ⋅ 10 −3 5
Дж
ΔS =
⋅ 8,3 ⋅ 0,7 ≅ 7,26
.
−3
2 ⋅ 10 2
К
(6)
Пример № 20. Найти изменение энтропии ΔS при изобарном расширении азота массой
4⋅10 − 3 кг от объёма V1 = 5⋅10 − 3 м3 до V2 = 9⋅10 − 3 м3.
1. Изменение энтропии при переходе газа из состояния 1 в состояние 2 в общем случае
определяется уравнением
2
dQ
ΔS = ∫
,
(1)
1 T
где dQ в соответствии с первым началом термодинамики для изобарного процесса определится как
m
m i+2
(2)
RdT .
dQ = dU + δA = C p dT =
μ
μ 2
2. Совместим уравнения (2) и (1)
T
T
m i + 2 2 dT m i + 2
R∫
R ln 2 .
ΔS =
=
(3)
μ 2
μ 2
T1
T1 T
3. Определим отношение температур по аналогии с уравнением (5) предыдущей задачи
243
pV1 = νRT1 ⎫
T2 9
= = 1,8 .
(4)
⎬, ⇒
pV2 = νRT2 ⎭
T1 5
4. Вычислим изменение энтропии, подставив отношение температур из уравнения (5) в
уравнение (3)
4 ⋅ 10 −3 5 + 2
Дж
ΔS =
⋅ 8,3 ⋅ ln 1,8 ≅ 2,44
.
(5)
−3
28 ⋅ 10
2
К
Пример № 21. Лёд массой m = 0,2 кг, взятый при температуре Т1 = 263 К был нагрет
до температуры Т2 = 273 К и расплавлен. Образовавшуюся воду нагрели до температуры Т3
= 283 К. Определить изменение энтропии указанных процессов.
1. Изменение энтропии при нагревании льда от температуры Т1 до температуры Т2
T2
T
dQ 2 c1mdT
T
Дж
ΔS1 = ∫
=∫
= c1m ln 2 ≅ 4187 ⋅ 0,2 ⋅ ln 1,03 ≅ 31,2
.
T
T1
К
T1 T
T1
2. Изменение энтропии при плавлении льда
2
dQ mλ 0,2 ⋅ 3,3 ⋅ 105
Дж
ΔS2 = ∫
=
=
≅ 242
,
T0
273
К
1 T0
где λ − удельная теплота плавления льда, Т0 = 273 К − температура плавления льда.
3. Изменение энтропии при нагревании воды от Т0 = 273 К до Т3 = 283 К
T3
T
c mdT
283
Дж
ΔS3 = ∫ 2
= c 2 m ln 3 ≅ 4182 ⋅ 0,2 ⋅ ln
≅ 30
.
T
T0
273
К
T0
(1)
(2)
(3)
4. Общее изменение энтропии
ΔS = ΔS1 + ΔS2 + ΔS3 ≅ 303
Дж
.
К
(4)
Пример № 22. Два одинаковых тела, нагретых до разных температур, приводятся в
тепловой контакт друг с другом. Температуры тел уравниваются. Покажите, что при
этом процессе энтропия системы увеличивается.
1 При теплообмене справедливо уравнение теплового баланса
c1m1 (T1 − Θ) = c 2 m 2 (Θ − T2 ) ,
с учётом того, что массы m1, m2 и теплоёмкости с1,с2 – соответственно одинаковы, то
T + T2
T1 − Θ = Θ − T2 ⇒ Θ = 1
⇒ Θ ≤ T1 ; Θ ≥ T2 .
2
2 Изменение энтропии тел в процессе теплообмена составит:
c m (Θ − T2 ) c1m1 (T1 − Θ )
Δs = 2 2
−
,
Θ
Θ
или
cm
[2Θ(T1 − T2 )] = 2cm(T1 − T2 ) ≥ 0 .
Δs =
Θ
(1)
(2)
(3)
(4)
Пример № 23. Найдите приращение энтропии 1 кг льда при его плавлении.
1. Процесс перехода вещества из одного состояния в другое происходит в данном случае
без изменения температуры, поэтому изменение энтропии будет вызвано только плавлением, т.е.
244
2
Δs = ∫
1
δQ mλ
Дж
=
≅ 1245
.
T0
T0
К
(1)
Пример № 24. На сколько возрастет энтропия 1 кг воды, находящейся при температуре 293 К, при превращении ее в пар?
1 Изменение энтропии при нагревании данной массы воды до температуры кипения Т2
составит:
T2
cmdT
T
Δs1 = ∫
= cm ln 2 ,
(1)
T
T1
T1
Δs1 = 1 ⋅ 4190 ⋅ ln 1,366 ≅ 1307Дж / К .
(2)
2 Изменение энтропии в процессе фазового перехода воды из жидкого состояния в газообразное
2
δQ mr
Δs 2 = ∫
=
≅ 6058Дж / К .
(3)
T2
1 T2
3 Суммируя уравнения (1) и (2), получим возрастание энтропии при нагревании и испарении 1 кг воды
Δs = Δs1 + Δs 2 ≅ 7365 Дж / К .
(4)
Пример № 25. Найдите приращение энтропии водорода при расширении его от объема
V1 до 2 V1: а) в вакууме; б) при изотермическом процессе. Масса водорода составляет величину − m.
1. Изменение энтропии при переходе водорода из состояния 1 в состояние 2 определяется уравнением
2
δQ
Δs = ∫
.
(1)
1 T
В соответствии с первым началом термодинамики
δQ = dU + PdV = νC v dT + PdV .
(2)
Второе слагаемое уравнения (2) содержит две переменных величины P и V, поэтому необходимо сделать замену на основе уравнения Клапейрона – Менделеева
P = νRT V ,
(3)
тогда
δQ = νC v dT + νRT(dV V ) .
(4)
2. Запишем уравнение (1) с учётом значения изменения количества тепла (4)
T2
V2
⎛
dT
dV ⎞⎟
,
(5)
Δs = ⎜ νC v ∫
+ νR ∫
⎜
⎟
T1 T
V1 V ⎠
⎝
интегрируя которое, получим
Δs = νC v ln (T2 T1 ) + νR ln (V2 V1 ) .
(6)
3. Поскольку процесс изменения состояния происходит при постоянной температуре, то
в обоих случаях увеличение энтропии составит
Δs = νR ln(V2 V1 ) = νR ln 2 .
(7)
Пример № 26. Вычислите приращение энтропии водорода массы m при переходе его от
объема V1 и температуры T1 к объему V2 и температуре Т2, если газ: а) нагревается при
постоянном объеме V1, а затем изотермически расширяется; б) расширяется при постоянной температуре T1 до объема V2, затем нагревается при постоянном объеме; в) адиабатически расширяется до объема V2, а затем нагревается при постоянном объеме.
245
1. Изменение энтропии во всех трёх заданных случаях будет одинаковым, потому что
m
m RT
δQ = dU + δA = C v dT +
(1)
dV ,
μ
μ V
⎞
1⎛m i
m RT
⎜
RdT +
dV ⎟⎟ ,
T ⎜⎝ μ 2
μ V
⎠
2
m
3 dT dV
),
Δs = R ∫ (
+
μ 1
2 T
V
Δs =
3
3
⎤
⎤
⎡
⎡
2
⎛ T2 ⎞ 2 ⎥ m
⎛
⎞
m ⎢ V2
V
T
2
2
⎢
Δs = R ln
+ ln⎜⎜ ⎟⎟ = R ln
+ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎥ .
⎥
⎢
T
V
μ ⎢ V1
μ
1
⎝ 1⎠ ⎥
⎝ T1 ⎠ ⎥⎥
⎦
⎦
⎣⎢
⎣⎢
(2)
(3)
(4)
Пример № 27. Кусок льда массы 0,1 кг при температуре 0° С бросают в теплоизолированный сосуд, содержащий 2 кг бензола при 50° С. Найдите приращение энтропии системы
после установления равновесия. Удельная теплоемкость бензола 1,75 кДж/(кг⋅К).
1. Определим установившуюся температуру, используя уравнение теплового баланса
m1λ1 + c 2 m 2 (Θ − T2 ) = c 3 m 3 (T3 − Θ ) ,
(1)
c m T + c 2 m 2 T2 − λ1m1
Θ= 3 3 3
≅ 309K .
c 2 m 2 + c3m3
(2)
2. Изменение энтропии при плавлении льда
2
δQ
mλ
Дж
Δs1 = ∫ 1 = − 1 1 = 123
.
T1
K
1 T1
3. Изменение энтропии при нагревании образовавшейся изо льда воды
Θ
m c dT
Θ
Дж
Δs 2 = ∫ 2 2
=m 2 c 2 ln
≅ 52
.
T
T2
K
T2
4. Изменение энтропии при охлаждении бензола
T3
m c dT
T
Дж
Δs 3 = − ∫ 3 3 = m 3c 3 ln 3 = −155
.
Θ
T
K
Θ
5. Общее изменение энтропии
Δs = Δs1 + Δs 2 − Δs 3 ≅ 20 Дж K .
(3)
(4)
(5)
(6)
Пример № 28. Водород массой m = 6⋅10 − 3 кг расширяется изотермически, давление изменяется от р1 = 0,1 МПа до р2 = 0,05 МПа. Определите изменение энтропии процесса ΔS.
1. Изменение энтропии при изменении состояния газа определяется уравнением
2
δQ
Δs = ∫
.
(1)
1 T
2. В соответствии с первым началом термодинамики
m
δQ = dU + δA = C V dT + pdV .
(2)
μ
3. Запишем уравнение (2) выразив величину давления из уравнения Клапейрона − Менделеева
m RT
,
(3)
p=
μ V
246
и подставим его в уравнение (2)
m i+2
m RT
dT +
dV .
(4)
μ 2
μ V
4. Подставим значение δQ из уравнения (4) в уравнение (1)
2
m i + 2 dT 2 1 m RT
m i + 2 T2 m
V
ΔS = ∫
d
+∫
dV =
ln + R ln 2 .
(5)
μ
2
T
T
μ
V
μ
2
T
μ
V1
1
1
1
5. Для изотермического процесса можно записать следующие очевидные соотношения
V2 p1
T
(6)
= , T = const , ⇒ ln 2 = 0 .
V1 p 2
T1
6. Таким уравнение (5) с учётом соотношений (6) можно переписать следующим образом
m
p
6 ⋅ 10 −3
0,1
Дж
ΔS = R ln 1 =
⋅ 8,3 ⋅ ln
≅ 17,26
.
(7)
−3
μ
p 2 2 ⋅ 10
0,05
К
δQ =
Пример № 29. Изменение энтропии между адиабатами в цикле Карно составляет ΔS =
4,2 кДж/К, изотермы процесса соответствуют разности температур ΔТ = 100 К. Найдите количество теплоты трансформирующееся в работу в этом цикле.
1. Запишем уравнение изменения энтропии
dQ δQ1
,
ΔS = ∫
≅
T
T1
и выразим из него температуру нагревателя
δQ
T1 = 1 .
ΔS
2. Запишем уравнение КПД цикла
η=
T1 − T2 ΔTΔS
A
=
=
.
T1
δQ1
δQ1
(1)
(2)
(3)
3. На основании уравнения (2) величину работы, можно определить следующим образом
A = ΔSΔT = 4,2 ⋅ 103 ⋅ 100 = 4,2 ⋅ 105 Дж .
(4)
Пример № 30. Лёд массой m1 = 2 кг при температуре Т1 = 273 К был превращён в воду
той же температуры с помощью пара, имеющего температуру Т2 = 373 К. Найдите массу
израсходованного пара и изменение энтропии термодинамической системе вода пар.
1. Обозначим массу израсходованного пара через m2, удельную теплоёмкость пара с2,
удельную теплоту плавления льда λ, удельную теплоту парообразования r. В этом случае
уравнение теплового баланса, с учётом того, что пар при контакте со льдом превращается
при конденсации в воду, запишется следующим образом
m 2 r + m 2 c 2 (T2 − T1 ) = m1λ .
(1)
2. Выразим из уравнения (1) искомую массу пара
m1λ
2 ⋅ 3,3 ⋅ 105
m2 =
≅
≅ 0,25 кг .
(2)
r + c 2 (T2 − T1 ) 2,2 ⋅ 10 6 + 4200 ⋅ 100
3. Определим изменение энтропии системы лёд пар с учётом того, что пар конденсируется, а образовавшаяся при этом вода охлаждается, отдавая тепло льду
T
T
dQ
dQ 2 1 dQ 3 m1λ m 2 r 1 c 2 m 2 dT
ΔS = ∫ 1 − ∫
+∫
=
−
−∫
,
(3)
T
T
T1
T2 T2 T
T2 T
ΔS =
m1λ m 2 r
T
−
− c 2 m 2 ln 2 .
T1
T2
T1
247
(4)
ΔS =
2 ⋅ 3,3 ⋅ 105 0,25 ⋅ 2,2 ⋅ 106
Дж
−
− 4200 ⋅ 0,25 ⋅ 0,3 ≅ 628
.
273
337
К
(5)
Пример № 31. Кислород массой m = 2 кг увеличил свой объём в ζ = 5 раз один раз изотермически, другой − адиабатно. Определите изменение энтропии в каждом из указанных
процессов.
1. Найдём изменение энтропии при изменении состояния газа по изотермической схеме
2
dQ
ΔS = ∫
,
(2)
1 T
где количество тепла dQ = pdV.
2. Выразим давление из уравнения Клапейрона − Менделеева
m RT
m
dV
p=
, ⇒ dQ = RT
.
(3)
μ V
μ
V
3. Подставим значение dQ из уравнения (3) в уравнение (1)
V
m 2 dV m
2
Дж
ΔS1 = R ∫
= R ln ζ ≅
⋅ 8,3 ⋅ 1,6 = 830
.
(4)
−3
μ V1 V
μ
32 ⋅ 10
К
4. Изменение энтропии при адиабатном расширении газа будет равно нулю, потому что
dQ = 0, т.е. теплообмена с внешней средой не происходит.
Пример № 32. Водород массой m = 0,1 кг был изобарно нагрет при увеличении его объёма в ζ = 5 раз, а затем водород изохорно охладили, так что давление уменьшилось в ξ = 3
раза. Определите изменение энтропии при осуществлении этих процессов.
1. Определим изменение энтропии при изобарном расширении газа
2
m
m i+2
dQ
ΔS1 = ∫
RdT ,
, где dQ = dU + δA = C p dT =
μ
μ 2
1 T
(1)
T
ΔS1 =
m i + 2 2 dT m i + 2
Дж
=
R∫
R ln ζ ≅ 1596
.
μ 2
μ 2
К
T1 T
2. Изменение энтропии при изохорном охлаждении водорода
T2
C mdT i m
1
0,1
Дж
ΔS2 = ∫ V
=
⋅ 8,3 ⋅ (− 1) = −1141
R ln = 2,5
.
−3
ξ
Tμ
2 μ
2 ⋅ 10
К
T1
(2)
(3)
3. Определим изменение энтропии при осуществлении изобарного расширения и изохорного охлаждения
Дж
ΔS = ΔS1 + ΔS2 = 455
.
(4)
К
248