Молекулярно-кинетическая теория. Молекулярно

Молекулярно-кинетическая теория.
Молекулярно-кинетическая
теория
объясняет
свойства
макроскопических тел (т. е. состоящих из очень большого числа частиц) и
процессов в них протекающих на основе представлений об их
микроскопическом строении, т.е. исходя из того, что вещества состоят из
мельчайших беспорядочно движущихся частиц (атомов, молекул), которые
взаимодействуют друг с другом. Массы атомов и молекул очень и еще раз
очень маленькие. Поэтому чтобы не писать что-то вроде
0,000000000000000000000002 кг их значения приводят не в абсолютных
величинах, а в относительных, т.е. сравнивают их с некоторой эталонной
массой. В качестве этой самой эталонной массы взяли массу атома
углерода. С тех пор относительная молекулярная (или атомная) массой
вещества Мr – это отношение массы данной молекулы или атома к 1/12
массы атома углерода. Мr измеряется в атомных единицах массы (а. е. м.).
Ну а масса атома углерода получается 12 а. е. м. Для атома каждого
вещества эта масса указана в таблице Менделеева.
Еще одно неудобство, связанное с малостью молекул, заключается в
том, что обычно в макроскопическом материале их очень много. Поэтому
количество вещества было решено измерять не в молекулах, а в молях. В
одном моле 6·1023 молекул или атомов. Это число называется число
Авогадро:
NА = 6·1023 моль-1
Таким образом:
ν – количество вещества (моль)
N – число молекул или атомов в веществе
Масса тела складывается из масс молекул или атомов, из которых оно
состоит:
m – масса вещества
m0 – масса молекулы или атома
Масса одного моля называется молярной массой вещества. Поскольку
в одном моле NА молекул, то:
Теперь давайте поймем следующее. У молекулы нет температуры.
Температура – это макроскопический параметр, то есть параметр большого
тела. И она тем выше, чем больше у молекул скорость. Поэтому скорость и
кинетическая энергия молекулы газа связаны напрямую с температурой:
В этих формулах Т – температура газа. Е называется средней
кинетической энергией молекул газа. Дело в том, что определить энергию
каждой молекулы по отдельности нельзя, поэтому сначала определяют
суммарную внутреннюю энергию газа U, а потом делят ее на число
молекул Е = U/N. Так и получи формулу для средней кинетической
энергии. Запомнить ее можно как «полтора кота».
k = 1,38·10-23 Дж/К – постоянная Больцмана
Далее мы знаем, что кинетическая энергия Е = m0 v2/2. Из этого и
получаем среднеквадратичную скорость молекул газа v. Почему она так
называется, попробуйте догадаться сами. Формулу же для нее можно
запомнить как «три кота на мясо» или «три кота на молоко», если гуманнее.
Теперь немного логики. Чем быстрее движутся молекулы газа, тем
сильнее он давит на стенки сосуда, в котором находится. И чем больше
число этих молекул, тоже тем сильнее он давит. Математически это
записано в основном уравнении молекулярно-кинетической теории:
Р – давление газа на стенки сосуда.
Это же уравнение через массу одной молекулы и среднеквадратичную
скорость можно переписать:
Еще одна полезная формула
.
2.1. Чему равна масса газа, содержащегося в закрытом цилиндре
вместимостью V = 0,5 л, если давление газа р = 5·105Па, а средняя
квадратичная скорость молекул v = 500 м/с?
Решение:
Из
основного
уравнения
молеклярнокинетической теории:
μ – молярная масса (кг/моль)
Молярная и относительная атомная массы связаны соотношением:
μ = Мr·10-3 кг/моль
Концентрация молекул – число молекул N в единице объема V:
(1)
Концентрация
(2)
рисунке рядом.
(2) подставляем в (1):
(3)
Плотность ρ = m/V (4)
(4) подставляем в (3):
(5)
Отсюда находим скорость:
2.2. Чему равна средняя энергия поступательного движения молекулы
водорода, если масса его m, занимая объем V, производит давление Р?
2.3. При некоторой температуре средняя скорость молекул вещества, масса
моля которого μ1, равна v1 . Какова средняя скорость молекул вещества,
масса моля которого μ2, при той же температуре?
2.4. Средняя скорость молекул газа при температуре 27 0С составляет
515 м/с. Какое количество молекул этого газа содержится в 10 г этого газа?
Идеальный газ – одноатомный газ, взаимодействием между молекулами
которого можно пренебречь.
Давление Р, объем V и температура Т газа – это его макроскопические
параметры,
то
есть
параметры,
которыми
характеризуются
макроскопические тела, а не отдельные молекулы. Они связаны уравнением
Менделеева-Клапейрона:
PV = νRT
R = 8,31 Дж/(моль·К) – газовая постоянная
Закон Бойля — Мариотта. Для данной массы идеального
газа при постоянной температуре (изотермический
процесс) произведение его объема на давление является
постоянной величиной:
pV = const.
Соответствующий график зависимости P(V) показан на
рисунке рядом.
Закон Гей — Люссака. Для данной массы идеального
газа при постоянном давлении (изобарический процесс)
объем газа с изменением температуры изменяется по
линейному закону:
V = const·Т .
Соответствующий график зависимости V(T) опять же на
Закон Шарля. Для данной массы газа при постоянном
объеме (изохорический процесс) отношение его
давления к температуре не изменяется при изменении
температуры:
р = const·Т
Соответствующий график зависимости P(T) как Вы уже догадались на
рисунке рядом.
2.5. Внутри закрытого с обоих концов горизонтального цилиндра имеется
тонкий поршень, который может скользить в цилиндре без трения. С одной
стороны поршня находится водород массой 3,0 г, с другой — азот массой
21 г. Молярные массы водорода и азота 2 г/моль и 28 г/моль
соответственно. Какую часть объема цилиндра занимает водород?
Решение:
Уравнение Менделева-Клапейрона для водорода:
(1)
Уравнение Менделева-Клапейрона для азота:
(2)
Поршень будет находиться в покое, только если водород и азот будут
давить на него одинаково:
(3)
Температуры тоже одинаковы:
(4)
Теперь из (1) и (2) выражаем объемы и делим их друг на друга:
(5)
откуда окончательно:
Найти температуру газа в состоянии 3, если давление в состоянии 1 равно
р1 , а объем в состоянии 2 – V2. Газ взят в количестве ν молей.
2.6. Бутылка, наполненная газом, плотно закрыта пробкой, площадь
поперечного сечения которой S = 2,5 см2. До какой температуры надо
нагреть газ, чтобы пробка вылетела из бутылки, если сила трения,
удерживающая пробку F= 12 Н? Начальное давление газа в бутылке и
наружное давление воздуха одинаковы и равны Ро = 100 кПа, а начальная
температура = 270 К.
2.7. Два сосуда, содержащих различные газы, соединены трубкой с краном.
Давление газа в первом сосуде Р1 а число молекул N1. Давление газа во
втором сосуде Р2, число молекул N2. Какое давление установится в сосудах,
если открыть кран соединительной трубки? Температуру считать
постоянной.
2.8. Два одинаковых сосуда, соединенные трубкой, содержат идеальный газ
общей массой m = 6,6 г. Первоначально температура газа в обоих сосудах
одинакова. Затем газ в первом сосуде нагревают и поддерживают при
температуре 27 °С, а газ во втором сосуде нагревают и поддерживают при
температуре 87 °С. На какую величину ∆т изменится масса газа в первом
сосуде? Объем трубки не учитывать.
2.9. В цилиндре под поршнем находится некоторый газ при давлении р1 и
температуре Т1. Площадь поршня S. Груз какой массы надо положить на
поршень, чтобы после нагревания газа до температуры Т2 его объем был
равен первоначальному?
2.10. Определить температуру газа, находящегося в закрытом сосуде, если
при нагревании газа на ΔТ = 1 0С давление газа увеличивается на величину,
составляющую одну тысячную часть от первоначального давления.
2.11. При нагревании газа на ΔТ при постоянном давлении его объем
увеличился в 2 раза. Найти начальную температуру газа.
2.12. При изотермическом сжатии объем газа уменьшается от значения V1
до значения V2, при этом давление газа увеличилось на величину Δр. Найти
начальное давление газа.
2.13. С идеальным газом происходит процесс, в котором его объем зависит
от температуры по закону V = α/Т, где α – положительная постоянная,
причем температура газа в этом процессе возрастает. Построить графики
зависимости давления от температуры, давления от объема и объема от
температуры в этом процессе.
2.14. С идеальным газом происходит циклический
процесс, график зависимости объема газа от его
температуры для которого приведен на рисунке.
Построить
графики
зависимости
давления
от
температуры и давления от объема для этого процесса.
Закон Дальтона.
Если в сосуде находится смесь различных идеальных газов, то полное
давление газа будет равно сумме их парциальных давлений. Для просты
понимания посмотрите на картинку:
Парциальное давление – это то давление, которое оказывал бы газ из смеси,
если бы он был взят в том же объеме и количестве, что и в смеси, но уже
без остальных компонентов смеси газов. На рисунке смесь из трех газов
давит на стенки сосуда и суммарное давление равно Р. Теперь, если
оставить только молекулы, обозначенные крестиком (или плюсиком – кому
как больше нравиться), то именно это газ будет оказывать на стенки такого
же сосуда давление Р1. Это и будет его парциальное давление. Аналогично
получаются парциальные давления Р2 и Р3 для газа с молекуламитреугольничками и молекулами-«знаками равенства» соответственно.