11 класс урок 1

11 класс
Урок № 1-2
Тема: Декартовы координаты в пространстве. Векторы в простанстве.
Прямые x, y, z называются координатными осями (или осями координат),
точка их пересечения O – началом координат,
а плоскости xOy, xOz и yOz – координатными плоскостями.
Точка O разбивает каждую координатную ось на две полупрямые, которые
называются положительной и отрицательной полуосями.
Координатой точки A по оси x будем называть число, равное по абсолютной величине длине
отрезка OAx: положительное, если точка A лежит на положительной полуоси x, и отрицательное, если
она лежит на отрицательной полуоси.
Аналогично можно определить координаты y и z точки A. Координаты точки A записываются в скобках
рядом с названием этой точки: A (x; y; z).
х- абсцисса, у- ордината, z аппликата
ось ох- ось абсцисс, оу- ось ординат, о z ось аппликат
Формулы координат середины отрезка
А(х1; у1; z1)
х=
х1+х2
2
В(х2; у2; z2)
у=
у1+у2
2
𝑧=
𝑧1+𝑧2
2
Формула расстояния между двумя точками
АВ=√(х2 − х1)2 + (у2 − у1)2 + (𝑍2 − 𝑧1)2
Пример 1. Найти координаты середины отрезка АВ, если А(-1; 4; 0) В( 2; -3 ;
6)
По формулам координат середины отрезка получим:
−1+2
х=
2
= 0,5
у=
4−3
2
= 0,5
z=
0+6
2
=3
Ответ: (0,5 , 0,5 ; 3)
Пример 2. Найти расстояние между точками А и В, если А(-1; 4; 0) В( 2; -3 ;
6)
По формуле расстояния между двумя точками имеем
АВ 2= (2+1) 2+ (-3-4)2 +(6-0)2=9+49+36=94; АВ=√94
Ответ: √94
Определения:
вектор- это направленный отрезок
два вектора называются коллинеарными, если они лежат на параллельных
прямых или на одной прямой
коллинеарные вектора бывают сонаправлены и противоположно направлены
длина вектора- это длина отрезка, задающего его
два вектора называются равными , если они сонаправлены и равны по длине
Координаты вектора
Единичным вектором или ортом называется вектор, длина
которого равна единице и который направлен вдоль какой-либо
координатной оси.



Единичный вектор, направленный вдоль оси x, обозначается i
.
Единичный вектор, направленный вдоль оси y, обозначается j
.
Единичный вектор, направленный вдоль оси z, обозначается k
.
Вектора i , j , k


называются координатными векторами.
Любой вектор a можно разложить по координатным
векторам:a =x i +y j +z k.
Коэффициенты разложения определяются единственным
образом и называются координатами вектора a в данной
системе координат.
Если даны точки А(х1;у1;z1) B(x2;y2;z2), то координаты вектора АВ (х2х1;у2-у1;z2-z1)
Пример 3: Найти координаты вектора АВ, , если А(-1; 4; 0) В( 2; -3 ; 6)
АВ(2+1;-3-4;6-0)
АВ(3;-7;6)
Свойства векторов, заданных координатами




Координаты нулевого вектора равны нулю.
Координаты равных векторов соответственно равны.
Координаты вектора суммы двух векторов равны сумме соответствующих
координат этих векторов.
Координаты вектора разности двух векторов равны разностям
соответствующих координат этих векторов.
Длина вектора │ā│=√х2 + у2 + 𝑧2
Пример 4: Найти длину вектора ā(2;-1;3)
│ā│=√4 + 1 + 9=√14
Ответ: √14
Действия с векторами в координатах и геометрически
1.Сложение и вычитание векторов
Правило треугольника: Свойство дает следующий способ построения суммы произвольных
векторов − a и − b. Надо от конца вектора − a отложить вектор равный вектору − b.
Тогда вектор, начало которого совпадает с началом вектора − a, а конец - с концом вектора −
b, будет суммой векторов − a и − b.
Правило параллелограмма: для векторов с общим началом их сумма изображается диагональю
параллелограмма, построенного на этих векторах.
Правило треугольника. Чтобы найти разность двух векторов, нужно: изобразить их исходящими
из одной точки; дополнить чертеж отрезком так. чтобы получился треугольник; придать отрезку
направление от вычитаемого к уменьшаемому; этот направленный отрезок и будет вектором
разности.
Для любых векторов −



a(a1;a2;а3) и −
b(b1;b2;в3) справедливы равенства:
переместительный закон: − a+− b=− b+− a;
сочетательный закон: − a+(− b+− c)=(− a+− b)+− c;
из переместительного и сочетательного законов следует, что, складывая
любое число векторов, можно как угодно переставлять и группировать
слагаемые.
Каковы бы ни были три точки A , B и C , имеет место векторное равенство −−
BC=−−
AB+−−
AC
Пример 5: Найти сумму и разность векторов ā1(2;3;-1) и ā2( -4;0;-3)
ā1(2;3;-1) + ā2( -4;0;-3)=(2-4;3+0;-1-3)= (-2;3;-4)
ā1(2;3;-1)- ā2( -4;0;-3)=(2+4;3-0;-1+3)=(6;3;2)
Ответ: (-2;3;-4)
(6;3;2)
Домашнеезадание: Выучить конспект, прочитать п.24 учебника( смотри
ссылку http://4book.org/uchebniki-ukraina/11-klass/415-matematika-ch1-11-klas-bevz
решить №779; 788; 803; 806