механика жидкости и газа - Самарский государственный

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АЕЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ЕОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕЕО ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕО ОБРАЗОВАНИЯ
«САМАРСКИЙ ЕОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ
УНИВЕРСИТЕТ имени академика С.П. КОРОЛЕВА»
R.H. БЕЛОЗЕРЦЕВ, Е.В. БЕЛЯЕВА, В.В. БИРЮ К
ОСНОВЫ МЕХАНИКИ ЖИДКОСТИ
Утверждено Редакционно-издательским советом университета
в качестве учебного пособия
САМАРА
Издательство СЕАУ
2006
УДК 532.533
ББК 22.25
Б43
Инновационная образовательная программа
«Развитие центра компетенции и подготовка
специалистов мирового уровня в области аэро­
космических и геоинформационных технологий»
Рецензенты: д-р техн. наук, проф. В. П. Д а н и л ь ч е н к о ,
д-р техн. наук, проф. А. Н. П е р в ы ш и н
Авторы: В.Н. Белозерцев, Е.В. Беляева, В.В. Бирюк, 1.1. Диденко, А.Д. Кленина,
С.В. Лукачев, С.Г. Матвеев, ИВ. Рабкесов, А П . Толспюногов, А.М. Цы­
ганов, И В . Чечет, С.Ю. Чичкин
Белозерцев В.Н.
Основы механики жидкости : учеб. пособие / В.Н. Белозерцев и др.
- Самара : Изд-во Самар, гос. аэрокосм, ун-та, 2006. - 324 с : ил.
ISBN 5-7883-0481-4
Изложены основы механики жидкости, лабораторный практикум, в
том числе и с использованием информационных технологий, приведен
краткий сборник типовых задач, что позволяет изучать данную дисципли­
ну, или ее отдельные размеры, как традиционным путем, так и самосто­
ятельно. Содержание пособия соответствует курсу лекций, читаемому
авторами в СГАУ им. С.П. Королева, включает в себя элементы модульно­
рейтинговой системы обучения.
Учебное пособие предназначено для студентов высших учебных за­
ведений, обучающихся по специальностям 160301 - Авиационные двигате­
ли и установки, 160302 - Ракетные двигатели, 140501 - Двигатели внутрен­
него сгорания, 200202 - Лазерные системы в ракетной технике и космонав­
тике. Может быть полезно аспирантам, инженерам и научным работникам.
УДК 532.533
ББК 22.25
ISBN 5-7883-0481-4
© Самарский государственный
аэрокосмический университет, 2006
2
ОГЛАВЛЕНИЕ
Условные обозначения и сокращения.......................................................... 6
Предисловие...................................................................................................8
Введение....................................................................................................... 10
Глава 1. Основные понятия и определения.................................................15
Г 1. Структура дисциплины.................................................................. 15
1.2. Общая постановка задач................................................................ 15
1.3. Основные физические свойства жидкостей и газов......................17
1.4. Модели жидкостей и газов............................................................ 19
1.5. Силы и напряжения, действующие на жидкий объем.................. 21
1.6. Режимы течения..............................................................................23
1.7. Динамический пограничный слой................................................ 24
Глава 2. Гидростатика................................................................................. 25
2.1. Абсолютное и относительное равновесие жидкости................... 25
2.2. Дифференциальное уравнение равновесия жидкости
в форме Эйлера.............................................................................. 27
2.3. Основное дифференциальное уравнение статики жидкостей
и газов............................................................................................. 30
2.4. Основная формула гидростатики.................................................. 31
2.5. Сила давления жидкости на плоскую стенку................................ 33
2.6. Закон Архимеда..............................................................................35
2.7. Равновесие газов. Международная стандартная атмосфера
36
Глава 3. Кинематика.................................................................................... 38
3.1. Основные определения кинематики..............................................38
3.2. Методы исследования движения жидкости и газа....................... 39
3.3. Уравнение неразрывности потока................................................. 41
3.4. Скорость движения жидкой частицы............................................45
Глава 4. Гидродинамика...............................................................................50
4.1. Дифференциальные уравнения движения идеальной жидкости
в форме Эйлера...............................................................................50
4.2. Дифференциальные уравнения движения вязкой жидкости
в форме Навье-Стокса....................................................................54
4.3. Уравнение количества движения.................................................. 57
4.4. Уравнение момента количества движения....................................60
4.5. Уравнение Бернулли......................................................................62
3
4.6. Уравнение Бернулли для элементарной струйки
вязкой жидкости............................................................................67
Глава 5. Гидравлические потери. Истечение жидкости из отверстий
и насадков.................................................................................................... 73
5.1. Потери на трение (потери по длине).............................................74
5.2. Местные гидравлические сопротивления.................................... 75
5.3. Истечение жидкости из отверстий и насадков............................. 77
5.3.1. Истечение жидкости через малое отверстие
в тонкой стенке при постоянном напоре............................. 77
5.3.2. Истечение жидкости через затопленное отверстие
(истечение под уровень).......................................................80
5.3.3. Струйная форсунка.............................................................. 82
5.4. Гидравлический расчет трубопроводов........................................ 83
5.4.1. Простой трубопровод...........................................................84
5.4.2. Сложные трубопроводы.......................................................86
5.4.3. Трубопровод с насосной подачей жидкости.......................88
Глава 6. Анализ размерностей и методы подобия .................................... 91
6.1. Анализ размерностей..................................................................... 91
6.2. Физическое подобие. Критерии подобия...................................... 96
Глава 7. Модели турбулентности...............................................................105
7.1. Механизм потери устойчивости ламинарного течения.............. 105
7.2. Пульсационное и осредненное движение потока........................106
7.3. Дополнительные (кажущиеся) турбулентные напряжения
109
7.4. Полуэмпирическая теория пути перемешивания........................112
Глава 8. Математическое моделирование................................................. 119
8.1. Анализ уравнений движения жидкости и методов их решения.. 119
8.2. Численный эксперимент...............................................................128
8.3. Математическое моделирование и программное обеспечение... 132
Список использованной литературы.........................................................141
Приложение А. Лабораторный практикум (физический).........................143
Лабораторная работа № 1
Конструкция, принцип работы и система измерений гидростенда.
Режимы течения жидкости в трубе............................................................143
Лабораторная работа № 2
Движение жидкости в канале переменного сечения.................................164
4
Лабораторная работа № 3
Кавитация в потоке жидкости................................................................... 171
Лабораторная работа № 4
Определение коэффициентов сопротивления трения
и местных гидравлических сопротивлений в трубе................................. 179
Лабораторная работа № 5
Истечение жидкости из отверстия и насадков при постоянном напоре.. 190
Лабораторная работа № б
Градуировка диафрагмы............................................................................199
Лабораторная работа № 7
Совместная работа центробежного насоса и трубопровода
с переменным гидравлическим сопротивлением.......................................210
Лабораторная работа № 8
Исследование особенностей течения и энергообменавихревых
потоков жидкости в гидравлическом генераторе тепла........................... 221
Приложение Б. Лабораторный практикум (численный)
Электронные тесты к лабораторным работам № 2... 5 ........................ 240
Приложение В. Лабораторный практикум
с использованием компьютерных технологий..........................................247
Лабораторная работа № 9
Исследование течения жидкости в трубе постоянного сечения............. 247
Лабораторная работа № 10
Моделирование течения двухфазного потока в канале
переменного сечения. Явление кавитации............................................... 257
Приложение Г. Сборник типовых задач (для самоконтроля).................. 305
Приложение Д. Контрольные вопросы (для самоподготовки)................ 319
Приложение Е. Рейтинг по основам механики жидкости........................ 327
5
Условные обозначения и сокращения
х, у, z - координаты, м
X, Y , Z - напряжения массовой силы, соответственно вдоль оси х, у.
Z , м/с2
g - ускорение свободного падения, м/с2
с - скорость, м/с
а - местная скорость звука, м/с
I - длина, м
L - работа, Дж
d - диаметр, м
H , h - высота (напор), м
г - радиус, м
5 - толщина, м
5 - площадь, м2
V - объём, м3
t - время, с
Т - температура, К
m - масса, кг
р - плотность, кг/м3
р - давление, Па
о, X—напряжение, соответственно нормальное и касательное, Па
G - массовый расход, кг/с
Gv - объёмный расход, м3/с
F - сила, Н
М - момент силы, Н м
Е - энергия, Дж
Q - теплота, Дж
Ср, Cv - теплоёмкость, соответственно при постоянном давлении и
объёме Дж / (кг • К)
R - удельная газовая постоянная, Дж/(кг К)
/ - энтальпия, Дж/кг
|1 - коэффициент динамической вязкости, Н-с/м2
6
v - коэффициент кинематической вязкости, м2/с
со - угловая скорость, рад /с (1/с)
к - показатель адиабаты (изоэнтропы)
М - число Маха
Re - число Рейнольдса
а* - коэффициент сохранения давления торможения
^г, с, Р. - коэффициенты гидравлических потерь, соответственно
общих, на трение, местных
е, ф, \|/ —коэффициенты, соответственно сужения струи, скорости,
расхода
8т - степень турбулентности
* - параметры заторможенного потока
в - воздух
о - отверстие
н - параметры окружающей среды (невозмущённого потока)
у - узкое (сечение)
тр - трение
Мех - механическая (работа)
МЖГ - механика жидкости и газа
МЖ - механика жидкости
МГ - механика газа
ГГД - гидрогазодинамика
ВРД - воздушно-реактивный двигатель
ГТД - газотурбинный двигатель
РкД - ракетный двигатель
MCA - международная стандартная атмосфера
7
ПРЕДИСЛОВИЕ
Механика жидкости и газа является одной из основных наук, с
помощью которой находятся наиболее эффективные пути создания
аэрокосмических двигателей и энергетических установок. Интен­
сивный путь развития двигателестроения для летательных аппара­
тов позволяет распространять полученные разработки в других об­
ластях народного хозяйства и в военных технологиях: на транспор­
те - автомобильном, железнодорожном, водном, воздушном, - на
топливоиспользующих электростанциях, при газоперекачке, в
энерготехнологических и энергоутилизационных установках. Раз­
работка энергоресурсосберегающих, экологически чистых уст­
ройств невозможна без твердого знания основ механики жидкости
и газа.
Основу учебного пособия составляют материалы курса «Ме­
ханика жидкости и газа», читаемого преподавателями кафедры те­
плотехники и тепловых двигателей СГАУ более 36 лет для студен­
тов факультета двигателей летательных аппаратов СГАУ им. ака­
демика С.П. Королева.
Курс разбивается на две части: механика жидкости и газовая
динамика. Настоящее учебное пособие является первой частью
курса механики жидкости и газа. В ней рассмотрены вопросы тео­
рии, приведены лабораторные работы, задачи, описывающие тече­
ние в элементах энергетических установок. Многие лабораторные
работы являются уникальными. В частности, гидростенд, разрабо­
танный под руководством профессора А.П. Меркулова, был ис­
пользован в учебном процессе вузов стран СНГ и дальнего зару­
бежья. Большую роль в создании учебно-методического комплекса
МЖГ внесли профессора кафедры теплотехники КуАИ-СГАУ
А.П. Меркулов, А.С. Наталевич, Е.Д. Стенькин, доценты В.Т. Ше­
стаков, В.А. Курочкин, заведующий учебной лабораторией
А.В. Иванов.
Вклад авторов в подготовку учебного пособия:
Белозерцев Виктор Николаевич - постановка работы № 8;
Беляева Екатерина Владимировна - глава 1;
Бирюк Владимир Васильевич - главы 2, 3, переработка лабо­
раторных работ № 1... 3, постановка работ № 7, 8;
Диденко Алексей Александрович - глава 7;
Кленина Алла Дмитриевна - введение, главы 6, 8, переработка
работ № 5, 6, подготовка сборника задач и контрольных вопросов;
Лукачев Сергей Викторович - введение, главы 4,7;
Матвеев Сергей Геннадьевич - главы 4, 7;
Рабкесов Иван Владимирович - постановка работы № 10;
Толстоногов Арлен Петрович - подготовка сборника задач;
Цыганов Александр Михайлович - главы 4, 5, переработка ра­
бот № 4, 5, постановка работ № 7, 9, 10;
Чечет Иван Викторович - главы 1, 4, подготовка электронных
тестов к работам № 2... 5;
Чичкин Сергей Юрьевич - постановка работы № 9.
9
ВВЕДЕНИЕ
Механика жидкости и газа - наука, изучающая законы рав­
новесия и движения жидких и газообразных тел, а также примене­
ние этих законов для решения технических задач. Дисциплина ба­
зируется на высшей математике (теория поля, дифференциальные
уравнения), физике (механика, свойства жидкостей и газов), теоре­
тической механики и других дисциплинах естественно-научного и
общепрофессионального блоков учебного плана.
Особенность механики жидкости и газа (МЖГ) обусловлена
легкой деформируемостью сред, являющихся объектом изучения.
Отсюда следует специфическая форма записи общих законов со­
хранения массы, импульса, энергии и соответствующие методы их
решения. Эти методы требуют целесообразного выбора конфигу­
рации контрольного объема рабочего тела, формирования началь­
ных и граничных условий (часто с привлечением эксперименталь­
ных данных) и корректной постановки математической задачи.
Многие численные методы решения нелинейных уравнений в ча­
стных производных разработаны и разрабатываются применитель­
но к задачам МЖГ. Для получения практически приемлемых ре­
зультатов необходимо зачастую также привлечение опытных дан­
ных и допустимое упрощение исходных уравнений.
Важнейшей частью МЖГ является эксперимент, который слу­
жит как для первичного изучения элемента, так и для создания аде­
кватных расчетных схем, причем одним из важнейших объектов
эксперимента являются поля скоростей и давлений. Развитие дис­
циплины связано с использованием численных методов для опре­
деления влияния диссипативных процессов и нелинейных эффек­
тов, являющихся наиболее существенными чертами предмета, а
также с включением задач течения жидкости с физическими и хи­
10
мическими эффектами, которые могут послужить основой созда­
ния новых высоких технологий.
Долгое время МЖГ развивалась как две науки: гидравлика и
гидромеханика. Зарождение отдельных представлений из области
гидравлики следует отнести к глубокой древности на основе прак­
тических сведений, накопленных в Египте, Месопотамии, Греции и
Китае в результате гидротехнических работ. Устройства и машины,
созданные Ктесибием и Героном в Александрии, были образцами
для подражания в течение многих столетий. В Древнем Риме со­
оружались сложные системы водоснабжения. В Древней Греции
появился впервые термин «ГИДРАВЛИКА», первоначально обо­
значающий «искусство сооружения музыкальных инструментов
типа органов, использующих вертикальные трубы, частично запол­
ненные водой». Этимология термина связана с двумя греческими
словами: «гидр» - вода, «авлос» - труба, трубка.
В период Средневековья были созданы универсальные энерге­
тические машины - водяные колеса различных типов и размеров,
послуживших основой промышленной революции нового времени.
Эпоха Возрождения неразрывно связана прежде всего с име­
нем Леонардо да Винчи (1452-1519), явившимся основоположни­
ком гидравлики как науки. Леонардо да Винчи обладал обширней­
шими знаниями и достижениями в живописи, музыке, скульптуре,
физике, анатомии, биологии, архитектуре и строительстве. Многие
труды великого Леонардо стали известны сравнительно недавно,
однако некоторые достижения в механике и гидротехнике (напри­
мер, улучшение конструкции шлюзовых ворот) влияли на развитие
европейской техники и при его жизни. Голландский инженер и ма­
тематик Симон Стевин (1548-1620) решил задачу об определении
силы давления, действующей на плоскую фигуру. Он также впер­
вые объяснил гидростатический парадокс. Великий итальянский
физик Галилео Галилей (1564-1642) опубликовал трактат по гид­
ростатике. Он также показал, что сила гидравлического сопротивле
11
ния возрастает с увеличением скорости движущегося в жидкости
твердого тела и с ростом плотности жидкой среды.
Период с начала XVII до конца XVIII вв. является временем
формирования теоретических основ механики жидкости и газа. Бенедитто Кастелли (1577-1644), преподаватель математики в горо­
дах Пиза и Рим, четко изложил принцип неразрывности движения
жидкости (уравнение расхода). Эванджелист Торричелли, выдаю­
щийся математик и физик, изобрел ртутный барометр и установил
формулу для истечения жидкости в виде закона подобия. Блез Пас­
каль (1623-1662) сформулировал основной закон гидростатики о
независимости значения гидростатического давления от ориенти­
ровки поверхности в рассматриваемой точке. Он же показал воз­
можность применения для измерения атмосферного давления раз­
личных жидкостей. Исаак Ньютон (1643-1727) установил квадра­
тичный закон «сопротивление при обтекании» и дал описание за­
кона вязкого трения в жидкости. Важный этап в становлении ин­
женерного образования связан с созданием Леонардом Эйлером
(1707-1783), Д’Аламбером (1717-1783) и Лагранжем (1736-1813)
аналитической механики. Постепенно именно эта дисциплина ста­
ла основой инженерного образования. Первоначально единый курс
распался на теоретическую механику, сопротивление материалов
и гидравлику. Даниил Бернулли (1700-1782) впервые в 1738 году
ввел термин «гидродинамика». Так был назван и его знаменитый
труд, изданный в Страсбурге. Его отец, Иоганн Бернулли
(1667-1748), опубликовал в 1743 году трактат под названием «Гид­
равлика». Основополагающая работа Эйлера с выводом системы
уравнений движения идеальной жидкости увидела свет в 1755 году.
Наибольшие успехи, в рамках модели идеальной жидкости,
были достигнуты Гельмгольцем и Кирхгофом, разработавшими ме­
тоды теории функций комплексной переменной. Дальнейшее раз­
витие эти методы получили в работах Н.Е. Жуковского, С.А. Чап­
лыгина и их учеников.
12
Основы учения о движении вязкой жидкости были заложены
Луи Мари Анри Навье (1785-1836). Джордж Габриель Стокс
(1819-1903) дал вывод уравнения движения вязкой жидкости в со­
временной форме и опубликовал ряд точных решений. Осборн Рей­
нольдс (1842-1912) распространил уравнения Навье-Стокса на
случай турбулентного движения, сформулировал условия перехода
от ламинарного режима течения к турбулентному, объяснил явле­
ние кавитации, дал систему уравнений смазочного слоя.
Слово «турбулентность», по всей вероятности, впервые ввел в
1887 году выдающийся английский физик Уильям Томсон, лорд
Кельвин (1824-1907). Немецкий механик Людвин Прандтль сфор­
мулировал основные понятия теории пограничного слоя, развитые
в дальнейшем Теодором фон Карманом, Карлом Польгаузеном,
Л.И. Седовым, Л.Г. Лойцянским, B.C. Авдуевским, В.М. Иевлевым.
Первые работы по расчету турбулентного пограничного слоя с при­
влечением полуэмпирических гипотез А.Н. Колмогорова были вы­
полнены В.П. Глушко. Дальнейшее развитие эти идеи получили в
работах Сполдинга и Патанкара.
На основе вышеизложенного следует, что механика жидкости
и газа как наука делилась на теоретическую (гидромеханику) и
экспериментальную (гидравлику). Примерно с середины 60-х годов
XX века появилась новая ветвь, которую называют вычислитель­
ной механикой жидкости и газа. В ней изучают и применяют мето­
ды математического моделирования законов движения деформи­
руемой сплошной среды. Затем с помощью ЭВМ проводят числен­
ный эксперимент.
Основоположником численного анализа дифференциальных
уравнений в частных производных следует считать Ричардсона
(1910). Первое численное решение уравнений в частных производ­
ных для задач гидродинамики вязкой жидкости дано Томом
в 1933 году. Очень важным этапом для дальнейшего развития вы­
числительной механики жидкости и газа стала работа Алена
и Саусвелла, выполненная вручную, по расчету обтекания цилинд­
13
ра вязкой несжимаемой жидкостью. Развитие ЭВМ придало при­
менению численных методов в механике жидкости и газа лавино­
образный характер.
Важный вклад в развитие этого перспективного направления
механики жидкости и газа внесли работы фон Неймана, Хар­
лоу, Фромма, Д. Сполдинга, С. Патанкара, О.М. Белоцерковского,
А.А. Самарского, С.К. Годунова и других ученых.
14
Глава 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
1.1. Структура дисциплины
М еханика жидкости и газа - наука, изучающая законы дви­
жения жидкостей и газов при их взаимодействии между собой или
с твердыми телами, при скоростях, когда справедливы законы
классической механики Ньютона.
В состав МЖГ входят следующие разделы:
• гидростатика - изучается равновесие жидкостей и тел, в
них погруженных;
• кинематика - изучается движение жидкостей без учета
взаимодействий, определяющих это движение;
• динамика - изучается движение жидкостей при их взаи­
модействии с твердыми телами и с жидкостями.
В свою очередь динамика делится на два раздела:
• гидродинамика - изучаются законы движения несжи­
маемой жидкости (р = const);
• газовая динамика - изучаются законы движения газа при
существенном изменении его плотности, которое может иметь ме­
сто при подводе (отводе) к газу теплоты или совершения над ним
механической работы.
1.2. Общая постановка задач
Обычно задаются:
1. Область течения жидкости и ее свойства.
2. Твёрдые тела, обтекаемые жидкостью или канал, по кото­
рому она движется.
3. Энергетическое воздействие на поток.
4. Значение параметров жидкости на границе области в на­
чальный момент времени.
Требуется определить, поля параметров жидкости или газа,
текущих в пространстве и во времени. Параметрами являются поля
скоростей, плотности, давления, температуры. В результате реше­
ния поставленной задачи определяется силовое и тепловое взаи­
модействие между потоком жидкости и твёрдыми телами.
В механике жидкости и газа различают следующие группы за­
дач:
15
• внутренние - связаны с течением рабочего тела в различ­
ных каналах, например в соплах реактивных двигателей;
• внешние - рассматривается обтекание твердых тел, напри­
мер, крыла летательного аппарата;
• струйные - изучается течение струй жидкостей или газов,
вытекающих из отверстий и насадков в пространство, не ограни­
ченное твёрдыми стенками, например, взаимодействие струи вы­
хлопных газов реактивного двигателя с воздухом.
Практические задачи бывает трудно разделить и в этом случае
решается смешанный тип.
Каждая из рассмотренных задач может быть как прямой, так и
обратной. Если заданы невозмущенный поток, форма, положение,
размеры обтекаемого тела и требуется определить поля парамет­
ров, то в этом случае задача - прямая. В противном случае задача
обратная.
В механике жидкости и газа анализ всех течений и решения
всех задач базируется на четырёх основных законах физики и шес­
ти основных уравнениях МЖГ, выражающих эти законы в матема­
тической форме.
Таблица 1.1. Основные законы физики и основные уравнения МЖГ
16
Основные законы физики
Основные уравнения МЖГ
1. Закон сохранения массы
2. Закон сохранения импульса
(Второй закон Ньютона о дви­
жении)
3. Закон сохранения и превра­
щения энергии
4. Второй закон термодинамики
1. Уравнение неразрывности
(сплошности) потока
2. Уравнения количества движе­
ния
3. Уравнение момента количест­
ва движения
4. Уравнение энергии в механи­
ческой форме (уравнение Бер­
нулли)
5. Уравнение энергии в тепловой
форме (уравнение энтальпии)
6. Уравнение изменения энтро­
пии газа
Дополнительно используется
уравнение состояния идеального
газа р = рRT
1.3. Основные физические свойства жидкостей и газов
Плотность р - масса жидкости (газа), заключенная в единице
т
„
А т dm
объема, р = — - для однородной жидкости; п = Н т -----= ----- V
af^o AV dV
для неоднородной жидкости.
Таблица 1.2. Плотность некоторых газов и жидкостей
Вещество
Вода
Ртуть
Авиакеросин
Воздух
Водород
р .%
1000
13600
819
1,23
0,085
Давление р характеризует силу, приложенную к единице по­
верхности перпендикулярно поверхности: р = F/S
Сжимаемость - свойство жидкости (газа) изменять свой объ­
ем (плотность) при изменении давления и температуры. Сжимае­
мость жидкостей мала; газов - велика. Для качественной оценки
сжимаемости пользуются понятием модуля упругости г, представ­
ляющим собой отношение изменения давления к относительному
изменению плотности:
Таблица 1.3. Значение модуля упругости некоторых жидкостей
Вещество
Вода
Ртуть
Авиакеросин
£,1 а
2,0-109
3,3 109
1,3 109
17
Изменение плотности наблюдается при распространении воз­
мущений давления как в покоящейся, так и в движущейся среде и
является следствием ее сжимаемости. Сжимаемость движущейся
среды заметно проявляется при больших скоростях течения.
Вязкость (динамическая р, кинематическая \) - свойство
жидкости или газа сопротивляться сдвигу (скольжению). Вязкость,
свойство противоположное текучести. В вязких течениях возника­
ют касательные напряжения (напряжение трения). При ламинарном
течении они зависят от рода жидкости |1 и прямо пропорциональны
поперечному градиенту скорости:
T = jU
\d y j
- закон Ньютона о молекулярном трении,
Вязкость становится существенной при движениях среды со
значительными скоростями ее деформации.
Теплоёмкость (при постоянном давлении - Ср; при посто­
янном объеме - Су) - количество теплоты, необходимое для изме­
нения температуры 1 кг газа на один градус.
Энтальпия газа:
i = Ср.-Т
Показатель адиабаты - определяется как отношение тепло­
емкости газа при постоянном давлении к теплоемкости при посто­
янном объеме: k = Cp/Cv.
Удельная газовая постоянная
R = С'р - СV= 8320/МТ,
где 8320 Дж/(моль-К) - универсальная газовая постоянная;
М Г- масса моля газа, кг/моль.
Скорость звука (а) - скорость распространения малых воз­
мущений давления в данной среде:
18
Число Маха (М) - отношение скорости газа с к местной ско­
рости звука:
п
М = - .
а
Число Маха является важнейшим критерием сжимаемости
движущегося газа. Газ можно рассматривать как несжимаемую
жидкость при течениях, когда А/ < 0,3... 0,4.
Молекулярные теплопроводность X и диффузия D. При суdT
щественных поперечных градиентах температур
Ф 0 и конценdy
dc
трации избыточной примеси — Ф 0 в жидкости и газе наблюдает­
ся теплопроводность и диффузия. По аналогии с Т = —/I
\d y
можно записать q = —Л
Гd T ^
- закон Фурье. G = —D
\d y у
- за­
\dy у
кон Фика.
Механизм молекулярного переноса количества движения
(трение), теплоты (теплопроводность) и вещества (диффузия) в га­
зах одинаковый - тепловое хаотическое движение молекул, следовательно, и структура этих формул также одинаковая.
1.4. Модели жидкостей и газов
Жидкостью называется, вещество, которое обладает свойст­
вом текучести. Текучесть - свойство жидкости непрерывно и
сколь угодно сильно деформироваться под действием минимально­
го срезывающего напряжения.
Идеальная (совершенная) жидкость - условная жидкость,
которая считается абсолютно несжимаемой, невязкой и не имею­
щей молекулярного строения (т.е. силы внутреннего трения в ней
19
отсутствуют, и она воспринимает только усилия сжатия). Допуще­
ние идеальности жидкости дает точные результаты при решении
задач для реальной жидкости, находящейся в покое, т.е. в гидро­
статике (когда силы внутреннего трения отсутствуют).
Идеальный (совершенный) газ отличается от идеальной жид­
кости тем, что он сжимаемый, но невязкий; подчиняется уравне­
нию состояния идеального газа (уравнение Менделее­
ва-Клапейрона)
р = pRT.
Используя понятие энтальпии i = Ср ■ Т и теплоемкости
к
С =
R , можно получить так называемое калорическое уравР к- 1
нение состояния идеального газа:
„
,
к
д
i = N A - 0 = ------------ .
к- 1 р
Капельные жидкости принимают сферическую форму в ма­
лых объемах и образуют свободную поверхность в больших объе­
мах.
Свободная поверхность - это поверхность, которая отделяет
жидкость от атмосферы и является поверхностью с постоянной ве­
личиной давления. Газы характеризуются большей сжимаемостью
и неограниченно расширяются при отсутствии давления.
Континуум - модель жидкости, которая считается сплошной
однородной средой, не имеющей молекулярного строения. Конти­
нуумом является не только идеальная жидкость, но и вязкая жид­
кость. Эта гипотеза применима для жидкостей и сравнительно
плотных газов, у которых в единице объема находится так много
молекул, что большинство из них имеют параметры (например,
скорость), примерно одинаковые и равные средневероятным значе­
ниям.
20
1.5. Силы и напряжения, действующие на жидкий объем
Внешние силы, действующие на жидкий объем и определяю­
щие его движение, подразделяются на массовые (объемные) и по­
верхностные.
Массовые силы Fm приложены ко всем жидким частицам, со­
ставляющим жидкий объем. К ним относятся силы тяжести и силы
инерции. Кроме того, к массовым силам относятся силы взаимо­
действия частиц токопроводящей жидкости с электромагнитными
полями.
Напряжением У массовой силы называется отношение векто­
ра массовой силы Аг т к массе Ат жидкой частицы, на которую
она действует:
В соответствии со вторым законом Ньютона, массовая сила
равна произведению массы на ее ускорение, вызванное этой силой.
Поэтому напряжение массовой силы численно равно ускорению
центра масс частицы, проходящей в данный момент времени через
данную точку, и характеризует распределение массовых сил в про­
странстве, занятом жидкостью. Проекции напряжения массовой
силы на оси координат х, у, z обозначим X, Y, Z, тогда напряжение
массовой силы в векторной и скалярной форме записываются в
следующем виде:
г г
г
г
J = iX + j Y + kZ; J =
Р Р F
где /, у, к ~ орты.
Поверхностные силы Fs представляют собой воздействие
внешней среды на поверхность выделенного объема. Это воздейст­
вие распределено по поверхности непрерывно. Выберем на плос­
кости S, рассекающей некоторую массу жидкости на части 1 и 2
(рис. 1.1), элементарную площадку AS, на которой лежит точка
А(х, у, z). Отбросим часть 2 и заменим ее действие на площадку AS
21
части 1 равнодействующей поверхностных сил Л / у . В общем слу­
чае величина Л/ у зависит от ориентировки площадки AS и направ­
лена под углом у. Ориентация площадки AS определяется единич­
ным вектором внешней нормали //.
'A S
&R,
Рис. 1.1. Поверхностные силы
Нормальная составляющая Л/у, поверхностной силы Л/у
действует по нормали к поверхности AS противоположно п .
Сила трения, или тангенциальная составляющая
, дейст­
вует в плоскости AS.
Напряжения поверхностных сил в точке А (х, у, z) - это пре­
делы отношений соответствующих сил к площадке AS при стяги­
вании ее в точку. Различают следующие напряжения.
Напряж ение равнодействующей поверхностной силы, Н/м2
Г = lim ( AFv / A S ).
AS”—>0
’
Нормальное напряжение, Н/м2
а = - lim (Л Р /Л Л ).
Знак минус показывает, что за положительное принято растя­
гивающее нормальное напряжение.
Напряж ение трения, или касательное напряжение, Н/м2
Т = lim ( ART /A S ) .
A S^ov
’
22
1.6. Режимы течения
Ламинарное (слоистое) - это упорядоченное течение жидко­
сти без перемешивания соседних слоев, без пульсации скорости и
давления. При таком течении в трубе постоянного сечения все ли­
нии тока параллельны её оси, однако возможно упорядоченное
вихревое движение вокруг линий тока.
Турбулентное (бурное, возмущенное) - сопровождается ин­
тенсивным перемешиванием и пульсациями скорости и других па­
раметров. Имеет место поперечное перемещение отдельных частиц
жидкости и их вращение вокруг собственных осей.
В 1883 году Рейнольдс доказал существование двух качест­
венно различных режимов течения в трубах. Переход от ламинар­
ного к турбулентному режиму течения осуществляется внезапно,
сопровождается усилением теплопередачи, увеличением потерь на
трение. Из опытов при различных параметрах (р. р, с, с!) он устано­
вил для круглых труб, что этот переход определяется их комплек­
сом и называется критическим числом Рейнольдса
p cd
=—
~ 2320.
М
При R e < R eёд - режим течения ламинарный; при Re > Re_yj
- турбулентный. В области Retyj имеет место узкая переходная
зона 2200 < Re_yj < 2500, течение в которой называется переход­
ным.
С учетом у = — и замены р на V получим самую простую
Р
формулу для расчета числа Рейнольдса
с ■d
Re = ------ .
23
1.7. Динамический пограничный слой
С вязкостью связано возникновение пограничного слоя при
обтекании жидкостями твердых тел. Всю область течения жидко­
сти около твердого тела можно разбить на две качественно отлич­
ные зоны:
1. Пограничный слой толщиной д(х). Это относительно тонкий
слой &х<1, примыкающий к поверхности твердого тела. В этом
слое существенно изменяется скорость и ди/ду>0. Поэтому только
внутри пограничного слоя проявляется вязкость жидкости и ее не­
обходимо учитывать в расчетах.
2. Набегающий не возмущенный поток и область, лежащая над
пограничным слоем, в которых ди/ду ~ 0. Поэтому жидкость, теку­
щая над пограничным слоем, можно считать идеальной (т = 0) и
анализировать ее движение по более простым законам движения
идеальной жидкости. Пограничный слой возникает при всех реаль­
ных течениях в лопаточных машинах и двигателях и существенно
влияет на их работу.
24
Глава 2. ГИДРОСТАТИКА
2.1. Абсолютное и относительное равновесие жидкости
В гидростатике изучаются закономерности, при которых жид­
кость находится в состоянии равновесия. Для гидростатики харак­
терно постоянство формы и объема рассматриваемой жидкости и,
как следствие, - отсутствие касательных напряжений. На элемент
жидкости действуют только массовые силы, которые нормальны к
поверхности. Общим условием равновесия жидкости или газа яв­
ляется равенство нулю равнодействующей всех сил и суммы всех
моментов, приложенных к любому элементу жидкости, относи­
тельно любой оси. Различают абсолютное и относительное равно­
весие жидкости (см. рис. 2.1), при этом свободные поверхности
имеют различный вид. Поверхность постоянного давления облада­
ет следующими свойствами:
1. Две различные поверхности не пересекаются между собой.
В противном случае в точке пересечения было бы два значения
давления;
2. Внешние массовые (объемные) силы, проекциями напряже­
ния которых являются X, Y, Z, направлены по нормали в каждой
точке поверхности постоянного давления.
Р
Рис. 2.1. Абсолютное и относительное равновесие жидкости
На рис. 2.1 приведены примеры абсолютного равновесия
(жидкость находится в сосуде только под действием силы тяжести)
и относительного равновесия (сосуд движется равноускоренно
25
вниз по наклонной плоскости); жидкость вращается в цилиндриче­
ском сосуде с постоянной угловой скоростью.
Свойства гидростатического давления в точке:
1. Гидростатическое давление есть давление сжатия, направ­
ленное по нормали к площадке.
2. Гидростатическое давление в точке жидкости не зависит от
направления.
Согласно условиям равновесия сумма проекций всех сил на
соответствующие оси координат, а также сумма проекций момен­
тов этих сил относительно осей координат должна равняться нулю.
Выделим в жидкости элементарный объем в форме тетраэдра
с ребрами dx, dy, dz соответственно расположенными на коорди­
натных осях Ox, Оу, Oz (рис. 2.2). На выделенный элемент жидко­
сти действуют силы давления окружающей жидкости и массовые
силы.
Рис. 2.2. Элементарный объем
Силы давления на грани будут равны
Fy = p r bSy ,
1'z ~ Pz '
z’
Fn = P n - ^ T l ’
26
где ASX, ASy, ASy. AS„ - площади соответствующих граней; px, р у,
p z - средние гидростатические давления на гранях тетраэдра;
р п —давление на наклонной грани.
Составим условия равновесия выделенного объема жидкости
относительно каждой из координатных осей:
р х AS'x - р п ASn • cos (яг) = О
р у ASy - р п ASn • cos(пу) = О
p z ASZ- р п ASn • cos(nz) = О
Так как нас интересует давление в точке, будем стягивать
тетраэдр в точку.
Рх -Рп = 0 , Р у - р п = 0,p z -р п = 0 ;
Рх = Р У =Pz =Рп = Р = А х , У, г).
Итак, гидростатическое давление в точке не зависит от на­
правления, т.е. остается одинаковым по всем направлениям. Когда
объем тетраэдра приближается к нулю, векторы силы приближают­
ся к началу координат, а моменты сил относительно осей обраща­
ются в нуль. В итоге второе условие равновесия автоматически вы­
полняется. Очевидно, что для различных точек в жидкости величи­
на гидростатического давления может быть различной, т.е. гидро­
статическое давление в точке является функцией только координат
p = ftx ,y ,z ).
2.2. Дифференциальное уравнение равновесия жидкости
в форме Эйлера
Рассмотрим условия равновесия частицы покоящейся жидко­
сти или газа в объеме элементарного параллелепипеда с ребрами
dx, dy, dz, соответственно параллельными координатным осям Ох,
Оу, Oz. Будем считать, что находящаяся в равновесии частица жикости отвердела. Элементарный параллелепипед жидкости нахо­
дится в равновесии под действием поверхностных и массовых
(объемных) сил (рис. 2.3). Пусть р х, р у, p z - средние гидростати­
ческие давления на грани параллелепипеда, перпендикулярные со­
27
ответствующим осям координат. При переходе от одной грани к
другой давление в общем случае должно измениться, так как
р = fix, у, z). Тогда на противоположные грани параллелепипеда,
соответственно, будут действовать противодавления
(рх + Ар ,). (ру + Ару), (р7 + Apz), или иначе
Рис. 2.3. Элементарный объем
Поверхностные силы, действующие по граням параллелепи­
педа, равны произведению среднего гидростатического давления
на площадь соответствующей грани и будут иметь вид:
Fx = р х ' d y ' dz ; F y = р у ■dx -dz ; Fz = p z ■dx ■dy ;
эР у
J
Кроме поверхностных сил, на частицу жидкости будут дейст­
вовать массовые (объемные) силы, распределенные по всему ее
объему, то есть действующие на каждую точку внутри элементар­
28
ного параллелепипеда (например, сила тяжести, сила инерции пе­
реносного движения).
Обозначим через X, Y, Z проекции напряжения массовых
сил. Тогда проекции массовых сил могут быть написаны в виде
Xdm, Ydm, Zdm. Учитывая, что элементарная масса частицы жидко­
сти или газа в объеме элементарного параллелепипеда равна
dm = р • dV = р • dx ■dy ■dz. проекции массовой силы на соответст­
вующие оси координат можно записать в виде:
dm X = р ■dV X = р ■dx - dy -dz ■X ;
dm Y = p •dV ■Y = p ■dx ■dy ■dz -Y;
dm Z = p •dV ■Z = p •dx ■dy ■dz ■Z.
Выделенный параллелепипед будет в равновесии в том случае,
если сумма проекций всех действующих сил на любую из коорди­
натных осей будет равна нулю. Составим уравнение проекций сил
на ось Ох, считая, что положительное направление сил совпадает с
положительным направлением осей координат:
Px - d y - d z
рх +
dx dy ■dz + р ■dx ■dy ■dz ■X = 0
V
Эх
у
дрх
или
Разделим
dx ■dy ■dz + р ■dx ■dy ■dz ■X = 0
Эх
каждый член уравнения на произведение
dx - dy ■dz = d V , тогда получим: —— —+ р Х = 0 .
Эх
Исключение из уравнения dV означает, что вывод уравнения
не зависит от объема выделенного элемента. Два другие уравнения,
соответствующие условию равновесия по осям Оу и ()z. напишем
по аналогии.
В результате получим следующую систему уравнений стати­
ческого равновесия жидкости или газа в форме Эйлера:
29
dz
Эти уравнения справедливы как для капельных жидкостей
( р = c o n s t ) , так и для газов ( р Ф c o n s t ) . В частном случае, когда мас­
совой силой является только сила тяжести и X = О, Y = О, Z = —g,
уравнения (2.1) примут вид:
Эр
др
др
—— = 0; — = 0; — + p g = 0.
dx
ду
dz
2.3. Основное дифференциальное уравнение
статики жидкостей и газов
Произведем преобразование системы дифференциальных
уравнений Эйлера. Умножив каждое из уравнений (2.1) соответст­
венно на dx, dy, dz, получим:
dp
dx + p X d x = 0 ,
dx
~\
dy + pY dy = 0 ,
Эу
dp
dz + p Z d z = 0 .
dz
Сложив эти уравнения, получим:
Трехчлен в левой части уравнения представляет собой полный
дифференциал давления
дх
ду
dz
Поэтому уравнение можно записать так
( 2 .2 )
Это уравнение называют основным
уравнением статики жидкостей и газов.
дифференциальным
В случае капельной жидкости (р = const) оно легко интегриру­
ется. В случае сжимаемой жидкости (р Ф const) надо знать еще за­
висимость плотности от давления и температуры, которой может
служить уравнение состояния идеального газа:
Уравнение поверхности постоянного давления.
Составим уравнение поверхности равного давления. Так как в
этом случае р = const, следовательно, dp = 0. Тогда уравнение (2.2)
примет вид:
Xdx + Ydy +Zdz = 0.
На поверхности уровня давление и плотность постоянны, сле­
довательно, неоднородная капельная жидкость при равновесии
располагается слоями одинаковой плотности: большим значениям
плотности соответствуют большие значения давлений. Поверх­
ность уровня всегда нормальна к напряжению суммарной массовой
силы, действующей на жидкость при равновесии.
2.4. Основная формула гидростатики
Определим гидростатическое давление р в произвольной точ­
ке А(х, у, z) жидкости с постоянной плотностью и давлением на
свободной поверхностир 0 (рис. 2.4).
31
лт лг лг
Рис. 2.4. Давление на свободной поверхности
Для этого случая: Х = Y = О, Z = -g;
Уравнение равновесия в дифференциальной форме (2.2) при­
мет вид: dp = -pgdz.
Р = -Р gz + C ,z = z0,p = p o ,C = p + pgz0
Р =Ро + Рg(z0 - z) = р0 + pgh
В результате основная формула гидростатики записывается в
следующем виде:
р = р 0 + pgh
■¥—+ z =
+ Zq .
Рg
Рg
В ы в о д ы . Давление, с которым внешние силы действуют на
граничной поверхности жидкости, передается всем частицам этой
жидкости по всем направлениям без изменения величины переда­
ваемого давления (то есть давление жидкости не теряется в пути).
Давление в любой точке складывается из давления на свободной
или
поверхности р 0 и давления столба вышележащей жидкости pgh.
Поверхности уровня р
Zq =
32
COnSt.
=
co n st
параллельны свободной поверхности
pgh - давление столба жидкости высотой h с плотностью р на
площадку в 1 м2; z - геометрическая высота; р + pgh - гидростатическое давление, П а , Р 1- z —гидростатическая высота, м; Р—
Рg
Рg
пьезометрическая высота, м.
-
Измерение давления при помощи пьезометра
Пьезометрическую высоту можно наблюдать в простейшем
устройстве для измерения давления - в пьезометре. Пьезометр вертикальная трубка, один конец которой связан с атмосферой, а
другой присоединен к объему, в котором измеряется давление. При
р 0 > р н измеряется избыточное давление, а при р 0 < р н - разрежен­
ное или вакуум.
hа
А*
Рис. 2.5. Измерение давления при помощи пьезометра
Барометр - прибор для измерения атмосферного давления.
Для измерения малых перепадов давления (до 1000 Па) применяет­
ся микроманометр - пьезометр с наклонной трубкой.
2.5. Сила давления жидкости на плоскую стенку
Определим силу F давления капельной жидкости на площадь
S плоской стенки, расположенной под углом а к свободной по­
верхности (рис. 2.6). Ось х совместим с линией пересечения свобод­
33
ной поверхности и стенки. Для того чтобы на чертеже изобразить
площадь S в двух проекциях, ось х и стенка повернуты около оси у
на 90°. Обозначим центр тяжести площади S буквой С, центр дав­
ления или точку приложения равнодействующей сил давления - Д
площадь произвольной элементарной площадки - dS. Сила давле­
ния на элементарную площадку равна dF = pdS= (р0 + pgh)dS, где
h - ysina - глубина погружения dS. Силу F давления на площадь S
получим в результате интегрирования
F = J dF = p QS + p g s i n a J y dS .
Рис. 2.6. Определение давления на плоскую стенку
есть статический момент площади S относи-
Учтем, что
S
тельно оси Ох, равный произведению площади S на координату
центра тяжести у с, тогда
F = poS + pgjcsina^ =poS + pghcS =p cS,
где р с = po+pghc - давление жидкости в центре тяжести пло­
щади S. Сила F не зависит ни от угла наклона стенки а, ни от фор­
мы сосуда, содержащего жидкость. Составив уравнения моментов
34
сил относительно оси
ординат точек D ' n D
О х,
можно получить формулы для расчета
yu=yc+Jc/ycS
Уо=(Рт J d ■+ PoSyc)/F ,
где Jc - момент инерции площади S относительно оси, прохо­
дящей через центр тяжести параллельно оси О х . Для определения
xD' и xD необходимо составить уравнение моментов относительно
оспу
2.6. Закон Архимеда
В покоящейся жидкости мысленно выделим произвольный
объем жидкости V. Он находится в равновесии, следовательно,
поддерживающая его сила равна и противоположна силе тяжести
Pn = - P T = - p J v . Очевидно, что любое тело того же объема
будет испытывать со стороны жидкости ту же поддерживающую
силу. Это рассуждение доказывает закон Архимеда - т е л о , п о г р у ­
ж е н н о е
с и л е
е
ж и д к о с т ь ,
т я ж е с т и
и с п ы т ы в а е т
в ы т е с н е н н о й
и м
п о д д е р ж и в а ю щ у ю
ж и д к о с т и
си лу, р а в н у ю
(рис. 2.7).
Rn=Pxgv
%п~$т У
\
____
Рис. 2.7. Равновесие тела, погруженного в жидкость
Равнодействующая F сил, приложенных к телу, равна разно­
сти этих сил
F = Fn - F T = -gV (рж- рт).
35
2.7. Равновесие газов. Международная стандартная атмосфера
Параметры воздуха зависят от многих характеристик —высо­
ты, широты местности, погоды, времени года и т.д. Такие характе­
ристики, как мощность, тяга двигателей, существенно зависят от
параметров воздуха. Для сравнения характеристик при различных
атмосферных условиях была принята международная стандартная
атмосфера (MCA) - единый, условный закон изменения давления,
температуры, плотности, которая отсчитывается от уровня океана
(/г = 0 км). Общеприняты так называемые нормальные атмосфер­
ные условия: р 0 = 101330 Па (760 мм рт. ст.), Т0 = 288 К (15° С),
ро = 1,23 кг/м3.
В зависимости от осредненного состава и закона изменения
температуры по высоте, атмосферу принято делить на следующие
зоны:
- тропосфера - / 2 = 0-5-11 км, Т =Т0 - 6,5h;
- стратосфера - h = 11 -5- 25 км, Т ~ 217 К
=
c o n st;
- химосфера - h = 25 -5- 80 км, состав газа изменяется незначи­
тельно;
- ионосфера - h = 80 -5- 400 км, содержит ионизированный
электропроводящий газ.
При равновесии в атмосфере действует только сила тяжести,
следовательно, X = Y = 0, Z = -g, тогда дифференциальное уравне­
ние равновесия
dp + pgdh = 0, р = ~ ~ , Т = Т0 -6,5/2.
К1
После преобразования получим формулы Беркенса для расче­
та параметров при изменении высоты в тропосфере:
TpPpg
p_
1 --
PQ
T -1
Tr,
6,5 h
o,о
Typyg
' 0,5<3„
у
6,5 h
T,0
Для стратосферы пользуются формулой Галлея:
РоФ
= S L = e
Р ,
217 Г = const.
P q Ро
Если задана высота h, то этим по MCA однозначно задаются
параметры воздуха (р. р, Г). Если же задаются параметры воздуха,
то по MCA однозначно определяется высота и недостающие пара­
метры воздуха (см. табл. MCA в [1, 2]).
J L
37
Глава 3. КИНЕМАТИКА
3.1. Основные определения кинематики
Движение жидкости определено только в том случае, если в
любой момент времени известно пространственно-временное поле
скоростей. Определение этого поля и является предметом кинема­
тики жидкости.
Л и н и я т о к а - это линия в пространстве, в каждой точке ко­
торой, в данный момент времени, векторы скорости частиц касательны.
Э л е м е н т а р н а я с т р у й к а - объемный пучок линий тока, прохо­
дящих через элементарную площадку.
Т р у б к а т о к - боковая поверхность элементарной струйки.
О б ъ ё м н ы й р а с х о д
G v - объём жидкости, протекающий через
данную поверхность в единицу времени. Из курса векторного ана­
лиза следует, что объемный расход через произвольную поверх­
ность S равен потоку вектора скорости
Gv = j (h ■h)dS = j n cos a ds= j ( udydz + vdxdz + wdxdy ) ,
s
s
s
где a - угол между вектором скорости № и ортом внешней
нормали
//
к элементарной площадке
d S .
- масса жидкости, протекающая через
данное сечение в единицу времени.
С р е д н е р а с х о д н а я с к о р о с т ь сср - постоянная для всего попе­
речного сечения потока скорость, при которой расход равен дейст­
вительному.
М а с с о в ы й
р а с х о д
а
„
П л о т н о с т ь
G
т о к а
G
рс =
S
масса жидкости, протекающая
через квадратный метр сечения в единицу времени.
38
3.2. Методы исследования движения жидкости и газа
Изучение движения жидкости и газа можно вести двумя мето­
дами: методом Эйлера и методом Лагранжа. В обоих методах жид­
кость рассматривается как непрерывная среда, сплошь занимающая
рассматриваемое пространство. В качестве мельчайшего элемента
жидкости принимается «частица» бесконечно малых размеров, но
не отождествляемая с молекулой или атомом. Вследствие этого
рассматриваемая схема неприменима к изучению молекулярных
движений.
Метод Эйлера применяется для плотных жидкостей. Объек­
том изучения является, строго говоря, не сама жидкость, а непод­
вижное пространство, заполненное движущейся жидкостью; изуча­
ется изменение различных параметров, характеризующих движе­
ние в фиксированных точках пространства с течением времени, а
также изменение этих параметров при переходе к другим точкам
пространства. Таким образом, параметры, характеризующие дви­
жение, рассматриваются как функции координат точки и времени
х, у, z, t, называемых переменными Эйлера. Например, рассматри­
вается скорость в точке пространства, занятого движущейся жид­
костью. Обозначим проекции скорости на оси координат, и для неустановившегося движения будем иметь:
cx =/i(х,у, z, 0;
су =f2(x,y,z, 0;
Cz
=f3( x , y , Z , t),
где х, y , z , t - переменные Эйлера.
Если движение жидкости непрерывное, то для нахождения
траектории жидкой частицы следует иметь в виду:
dx
dy
dz
СХ = ---- > CV = ---- , С7= ---- >
dt
dt
dt
где dx, dy, dz - проекции элементарного перемещения на соот­
ветствующие оси координат.
39
Проинтегрировав эти уравнения, получим уравнения траекто­
рии х = (pi(а, Ь, с, t) и т.д., где а, Ь, с - начальные координаты час­
тицы.
При неустановившемся движения все поле скоростей изменя­
ется во времени.
Таким образом, в методе Эйлера объектами изучения являют­
ся поля, характеризующие движение (поле скоростей, поле ускоре­
ний, поле плотностей и др.).
По методу Лагранжа объектом изучения является сама дви­
жущаяся жидкость, т.е. отдельные ее частицы, рассматриваемые
как материальные точки, которые сплошь заполняют некоторый
движущийся объем, и изучается движение отдельных частиц жид­
кости вдоль их траекторий. Пусть в начальный момент t = 0 коор­
динаты некоторой частицы жидкости а, Ь, с. У других частиц на­
чальные координаты другие. Затем каждая частица движется по
своей траектории. Текущие координаты х, у, z некоторой частицы
являются функциями четырех переменных: времени t и начальных
координат а, Ь, с. Эти переменные называются переменными Ла­
гранжа:
х =f ( a, b, с, 0; у =М р, Ь, с , 0; z =
/з (а ,
Ь, с, t).
Движение жидкости вполне определено, если эта система
уравнений известна. Задаваясь начальными координатами а, Ь, с,
получим текущие координаты для выбранной частицы. Скорости
частицы определяются как первые производные координаты по
времени от координат х, у, z. Проекции скорости находятся из ус­
ловия:
ду
Эх
сх = ~
’ су
= z ~7
dz
’
cz
= zr- ■
dt
dt
dt
Ускорения определяются как вторые производные по времени.
Направления векторов скорости и ускорения находятся при помо­
щи направляющих косинусов. Траектория любой частицы опреде­
ляется непосредственно из системы уравнений путем вычисления
40
координат х, v, z выбранной частицы для ряда моментов времени.
Итак, по методу Лагранжа берется частица жидкости и исследуется
движение этой частицы за промежуток времени t0, I.
Метод Лагранжа применяется в динамике разряженных сред,
например в космическом пространстве, где расстояние между мо­
лекулами газа соизмеримо с размерами летательных аппаратов и
необходимо изучать движение каждой частицы в отдельности.
В МЖГ плотных сред в большинстве случаев применяется бо­
лее простой метод Эйлера.
3.3. Уравнение неразрывности потока
Движение жидкости, при котором внутри потока не образует­
ся пустот, т.е. нет разрывов струй, называется сплошным, или не­
разрывным. Найдем аналитическое выражение условия неразрыв­
ности течения жидкости, полагая плотность р непостоянной. Плот­
ность тока т , = р с х , р = f ( x , y , z , t ) - сх = ( p ( x ,y ,z ,t) .
/F
Пусть гранями бесконечно малого прямоугольного параллеле­
пипеда со сторонами dx, dy, dz (рис. 3.1) ограничивается некоторое
неподвижное относительно координатных осей пространство, че­
рез которое протекает жидкость.
Рис. 3.1. Бесконечно малый объем жидкости
41
За время dt через грань ABCD внутрь параллелепипеда втекает
масса жидкости
dm'x = p c x d y d z d t, а вытекает через грань
A'B'C'D' масса dm"x = p'c'x d y d z d t. Плотность р и скорость сх на
входе (в плоскости грани ABCD) в общем случае сжимаемой жид­
кости не равны плотности р' и скорости с'х на выходе (в плоскости
грани A'B'C'D'). При этом изменение р и сх обуславливается только
тем, что при переходе от одной грани к другой для сходственных
точек этих граней меняется лишь координата х независимо от вре­
мени, так как втекание происходит одновременно. Поэтому:
дсл
-d x :
сх ~ сх + '
Эх
У
дР dx
л
ск dydzdt
dm[
р +—
сх +
Эх
Эх
V
ил
У V
У
После преобразований получим
др
р = р + — dx;
Эх
Э( р с х )
dm x = р с х + ----------- dx
Эх
dydzdt
Если за время dt масса жидкости внутри параллелепипеда уве­
личилась за счет притока на величину dm'x, а уменьшилась за счет
вытекания на величину dm"x, то изменение массы в этом движении
вдоль координатной оси Ох равняется:
dm x = dm - dm" = p c x dydzdt -
Э( р с х )
р с х + ------------dx dydzdt =
Эх
д { р сх )
-dxdydzdt
Эх
Аналогично найдем, что изменение массы в итоге движения вдоль
осей Оу и Oz равняется:
42
Э( p c z )
----------- d zd y d x d t.
dz
dydxdzdt; dm
Общее изменение массы за время dt равно
д{рсх) , д{рСу) , Э( ^ ) 1 ^ ^
^
------------ 1--------------1-------------- dxdydzdt.
dx
dy
dz
V
J
С другой стороны, изменение массы жидкости в объеме
{dxdydz) параллелепипеда можно рассматривать как изменение
массы в зависимости от времени. Ввиду постоянства координат х,
у, z (так как параллелепипед неподвижен) изменение массы в нем
обусловлено изменением плотности во времени, так как в этом
dm = dmx + dm у + dmz
случае р —_/(?). В начальный момент времени t масса внутри па­
раллелепипеда равна dM' = рdxdydz. По прошествии промежутка
времени dt средняя для объема параллелепипеда плотность р изме­
нится и будет равна р'
p ' = p + — dt.
dt
В момент времени t + dt масса жидкости в объеме параллеле­
пипеда равняется
(
dp
Л
У
dt
J
d M " = p d xd yd z = p + — d t d x d y d z .
Таким образом, изменение массы за время dt будет равно
dM = dM " - dM ' = р л
K
d t dxdydz - pdxdydz
dt
J
dt
Выражения dm и dM в условиях сплошности течения пред­
ставляют одно и то же изменение массы в объеме параллелепипеда,
поэтому dm = dM или
43
f Э {PCx) + д (РСу) + 9 {PCz )1 dxdydzdt _= -!—d
^P xd yd zd t.
dx
dy
dz
dt
Сократив это уравнение на величину объема параллелепипеда
{dx, dy, dz) (это сокращение указывает на независимость результата
от объема), получим
Э (Р £ Л + ^
]
Эх
dy
+^
)
+ ЭР= 0 .
dz
(31)
dt
Это и есть уравнение неразрывности. Оно одинаково справед­
ливо как для капельной несжимаемой (р = const), так и газообраз­
ной сжимаемой (р Ф const) жидкости. В частном случае установив­
шегося движения плотность (как и все остальные параметры дви­
жения) от времени не зависит и, следовательно, dp/ dt = 0 . Поэто­
му уравнение неразрывности в этом случае имеет вид
д {рсх) | д ( р су) | d (pc z ) _ 0
Эх
dy
dz
Для несжимаемой жидкости (р = const), как при установив­
шемся, так и при неустановившемся движении, уравнение нераз­
рывности имеет вид:
Э(с,) , Э(с,) , Э(с:)
Эх
dy
р
dz
Уравнение неразрывности для установившегося двухмерного
(плоского) движения и одномерного движения имеет, соответст­
венно, вид:
d{pcx) [ d( pcy ) _ Q Э {pcx) _ Q
dx
dy
’
Эх
Для частного случая одномерного установившегося движения
несжимаемой жидкости из уравнения неразрывности (3.1) можно
получить формулу расхода жидкости для элементарной струйки:
44
Ъ{рсх)
= 0 или Э (р с х) = 0 , т.е. рсх = const.
Эх
Умножив на постоянную величину dS, где c/S —площадь попе­
речного сечения элементарной струйки, получим pcxdS = const,
то есть Gx = const, кг/с или су/,S' = const, то есть О.- = const, м/ с.
Дифференциальное уравнение неразрывности течения (3.1)
можно представить и в другом виде, учитывая что:
др
Э( ^ ) _ J c x
■= р
1-сх
справедливо и для других осей координат.
Эх
Эх
Эх
Запишем:
( дс
др д р
др
др
— + — с + — с +— с + р
Эх
dt
Эх
Эу
dz
Эс
Эс. Л
ду
dz
dc
dc .
0.
=
Записав проекции скорости как
dx
dy
dz
°x ~~dt Cy~~dt
dt
’
получим:
d p dp dx d p dy d p dz
■+ ^ ~ — + ^ ~ — + ^ ~ —
dt
dx dt
dy dt dz dt
+
dс
p
у dx
=
dy
0
dz
, d p d p d p dx d p dy d p dz
p = f ( x , y , z , t ) , -dL = - r + ^ — + ^ ^ - + . и
dt
dt
dx dt dy dt
dz dt
поэтому
dc
dp
+P
dt
dx
d cv
dc ,
dy
dz
= 0 .
3.4. Скорость движения жидкой частицы
Для выяснения кинематических особенностей движения жид­
кости необходимо общее движение с «абсолютной» скоростью
с = с(г, /) разложить на простейшие.
45
Как известно, скорость произвольной точки твердого тела с
всегда может быть представлена как векторная сумма скорости с0
поступательного движения полюса О и скорости вращения
х У0 )
вокруг мгновенной оси, проходящей через полюс:
*=*0 + ( В Д .
Движение жидкой частицы является более сложным и опреде­
ляется теоремой Коши-Гелъмголъца, согласно которой скорость
движения с любой точки жидкой частицы в данное мгновение мож­
но рассматривать как результат сложения векторов скоростей трех
более простых движений:
1) скорость квазитвердого поступательного движения произ­
вольного полюса О, находящегося в самой частице;
2) скорость вращения частицы
х У0) около собственной оси,
то есть оси, проходящей через полюс О;
3) скорость cD деформационного движения, изменяющего
форму и размеры частицы.
В результате:
№= <^0 + ( й х ¥0 ) +
в;в‘
Рис. 3.2. Деформация элемента жидкости
Наличие или отсутствие деформационного и вращательного
движения жидких частиц определяет качественно отличные модели
движения жидкости.
46
На рис. 3.2 совмещены в полюсе О две проекции на плоскость
х о у элементарного жидкого параллелепипеда с ребрами d x , d y , d z в
начальный момент движения t и в момент t + d t после перемещения
в пространстве, деформаций и вращения. Для наглядности на рис.
3.2, а представлен результат лишь линейной деформации удлине­
ния ребер, а на рис. 3.2, б только деформации сдвига ребер и вра­
щение элемента.
Пусть проекции скорости полюса О в начальный момент вре­
мени и и v. Проекции скоростей точек А и С в общем случае будут
uA =u + (du/dx)dx,
vA = v + (dv/dx)dx,
ис = и + {ди/dy)dy,
vc = v + (dv!dy)dy.
С к о р о с т и
о т н о с и т е л ь н о й
л и н е й н о й
д е ф о р м а ц и и .
Точка А
движется относительно полюса О вдоль оси х со скоростью
(d u /d x )d x Это вызывает линейную деформацию удлинения или
укорочения ребра ОА, равную АА' =
(д и
/
d x )d x d t
■ Аналогичное
рассмотрение линейных деформаций вдоль осей у и z позволяет
рассчитать величины линейных деформаций, отнесенных к длине
ребер, в единицу времени, т. е.
с к о р о с т е й л и н е й н ы х д е ф о р м а ц и й
ех,
£у, ez вдоль соответствующих осей координат:
£х = АА' I dxdt = Эм / Эх;
£y =dv/dy;
£z = d(t)/dz.
Объемная деформация состоит в изменении объема d V = d x d y d z
параллелепипеда на величину () у = §рх + gp + §pz за счет удале­
ния
или
сближения противоположных граней. Учтем, что
АА' = (du/dx)dxdt , и подсчитаем составляющую объемной дефор­
мации за счет изменения длины ребра
для ребер d y и d z - по аналогии
d x
по очевидной формуле, а
SVX = AA'dydz = (r)u/rlx)dVdl;
SVy ={dv/dy)dVdf, SVz ={do)/dz)dVdt.
47
представ­
ляет изменение объема частицы, отнесенное к ее первоначальному
объему и времени деформации:
С к о р о с т ь
о т н о с и т е л ь н о й
e = S V /(d V d t) = д и /д х
о б ъ е м н о й
+ d v /d y
д е ф о р м а ц и и
+ d c o /d z = d iv №
= £ x
е
+
e y
+ £ z
Для несжимаемой жидкости e = d i f ' = 0.
С к о р о с т ь
ч а с т и ц ы
стью
v +
люсом
о т н о с и т е л ь н о й
д е ф о р м а ц и и
с д в и га
и у г о л
п о в о р о т а
(рис. 3.2). Движение точки А параллельно оси у со скоро­
(d v /d x )d x
можно представить как движение вместе с по­
О
(d v /f)x )d x -
со скоростью v и относительно полюса со скоростью
В результате относительного движения ребро О А за вре­
мя d t повернется на бесконечно малый угол
d /З
а
~
tg d /З д
=
АА*I d x
Аналогично ребро
= (d v ! d x ) d x d t/d x =
(dv / Эx ) d t ■
повернется на угол
О С
d ( 5 ( * ~ t g d f t f * = ( '( ' " I d y = ( д и / d y ) d t .
Общая относительная деформация сдвига частицы или дефор­
мация скашивания прямого угла А О С в угол А " О С ” происходит
в одинаковой степени под действием тангенциального напряжения
Тху И Хух
и равна
б /Д |
= (d v /д
+ d jic
х
+ди /d
y )d t
■ Обозначив скорость
суммарной относительной деформации сдвига, вызванной тху, через
вхх,=(сфЛ + d / 3( •) d t • а вызванной тух - через 9y
3
x = {d / c
3
+ d / A ) d t,
приходим к заключению, что они равны 0ху = 0ух. Рассуждая анало­
гично, найдем скорости относительных деформаций сдвига в плос­
костях x z и y z :
О уу
в у
=
2=
вуу.
=
d v /d x + д и /д и ;
в 2у
=
д й )/д у
+
9Х2 = 9 2 Х
=
д с о /д х + d u ! d z \
d v ! dz.
Итак, получены девять скоростей относительных деформаций,
из которых шесть тангенциальных попарно равны
^ х у
48
~
е у х ,
&XZ ~
@ZX->
Q y z ~ @
z y
Вращение частицы около собственной оси. Определим угол
dyz поворота частицы в плоскости хОу около собственной оси, про­
ходящей через точку О параллельно оси z. Совместим на рис. 3.2
параллелограммы по диагоналям ОВ и ОВ" и запишем очевидное
равенство
d/3c + dyz = df3 j - d y z
отсюда
dyz = 0 ,5 (с /Д | -df3(') = 0 ,5 ( r ) r / dx - du / ()y)dt
По аналогии для вращения около осей, параллельных осям х и
у, получим
dyx =0,5(дбй/ду - d v / d z ) d t ;
d jy
=
0,5 (д и / ду —до)! dx)dt.
49
Глава 4. ГИДРОДИНАМИКА
4.1. Дифференциальные уравнения движения
идеальной жидкости в форме Эйлера
В потоке идеальной жидкости возьмем произвольную точку с
координатами х, v, z и выделим элемент жидкости в форме прямо­
угольного параллелепипеда так, чтобы точка М была одной из его
вершин. Ребра параллелепипеда параллельны координатным осям
и соответственно равны dx, dy, dz. Составим уравнения движения
выделенного элемента жидкости, масса которого равна pdxdydz в
проекции на оси координат. При этом используем принцип
Д'Аламбера: силы, действующие на элемент жидкости в каждый
момент времени, уравновешиваются силами инерции.
лл
Рис. 33.
Рис. 4.1. Элементарный объем
На элемент жидкости действуют массовые и поверхностные
силы. Положительное направление сил совпадает с положитель­
ным направлением осей координат. На выделенный элементарный
объем жидкости действует результирующая массовая сила, состав­
ляющие напряжения которой равны X, Y, Z. Тогда массовые силы,
действующие на выделенный объем в направления координатных
осей, будут соответственно равны: Х р dxdydz', Y-pdxdydz', Z-pdxdydz.
Из поверхностных сил, которые заменяет собой действие окру­
жающей среды на выделенный элемент, нужно учитывать только
50
нормальные силы давления, так как жидкость идеальная. При вы­
числении сил давления, действующих на отдельные грани паралле­
лепипеда, следует иметь в виду, что давления по трем взаимно ор­
тогональным бесконечно малым площадкам, проходящим через
одну и ту же точку М, равны р\ = р 2 = ръ = р. Тогда на противопо­
ложные грани действуют давления, отличающиеся на величину
приращения давления вдоль соответствующей координатной оси.
Так, например, поскольку
v
v
д д
1
оп = о л
ах >
2
Эх
тогда разность сил давления на левую и правую грань (вдоль
оси Ох) равна
33
( дх- ()-,) dzdy = - — dxdzdy ■
у
h z
Аналогично находим результирующие силы давления на оси
. Они будут соответственно равны
Э<5djy djz d x^ ’
д у
-
^ j j j
— - d z d y d x
■
oz
Скорость движения жидкости с = fix, у, z, t) в точке М и ее
компоненты сх, су, cz изменяются с изменением координат и време­
ни. Тогда проекции ускорения выделенного объема жидкости равны
dcs.
dt
dcL dcl , а силы инерции определятся как произведения
dt dt
этих ускорений на массу параллелепипеда:
— ^ pdxdydz ' — - pdxdydz'
pdxdydz •
dt
dt
dt
Уравнения движения выделенного объема жидкости в проек­
циях на координатные оси теперь запишутся в следующем виде:
dc
tic)
pdxdydz — - = X pdxdydz ------- dxdydz ;
dt
dx
51
dc
dd
pdxdydz — - = Y p d x d yd z ----- dydzdx ;
dt
dy
dc
dd
pdxdydz — L = Z p d x d yd z ------ d zdxdy.
dt
dz
Разделив эти уравнения почленно на массу элемента
pdxdydz, получим уравнения движения жидкости, отнесенные к
единице массы:
dc* - x
dt
1 dP •
р dx
^5l=Y - —— ;
dt
dcz
(4.1)
p dy
^
dt
1 dP
p dz
Полученная система дифференциальных уравнений носит на­
звание уравнений движения идеальной жидкости в форме Эйлера.
Члены этих уравнений представляют собой соответствующие ус­
корения. Смысл каждого из уравнений заключается в следующем:
полное ускорение частицы вдоль координатной оси складывается
из ускорения от массовых сил и ускорения от сил давления. Урав­
нения Эйлера в таком виде справедливы как для несжимаемой, так
и для сжимаемой жидкости, то есть газа, а также для случая уста­
новившегося движения. Уравнения движения в форме Эйлера не­
достаточны для решения гидродинамических задач, так как число
уравнений три, а число неизвестных - пять (сх, су, cz, р, р). К этим
уравнениям необходимо добавить уравнение неразрывности дви­
жения
]_dp_ + < к + < Ц + Э ^ = 0
р dt
Эх
Эу
(42)
dz
и так называемое характеристическое уравнение, которое устанав­
ливает зависимость между плотностью жидкости, давлением и
52
температурой: р = ftp , Т) для случая несжимаемой жидкости р =
const.
Для случая газообразной идеальной жидкости характеристи­
ческим уравнением является уравнение: р =
■
Для некоторых случаев движения предполагают, что плот­
ность рассматриваемой среды зависит только от давленая и не за­
висит от температуры р = Яр). такая среда называется баротропной.
Граничные и начальные условия
При решении конкретных задач гидрогазодинамики прихо­
дится интегрировать дифференциальные уравнения движения (4.1).
Этим уравнениям удовлетворяет бесчисленное множество искомых
функций с = fix, у, z, t) и постоянных интегрирования. Чтобы вы­
брать из них те, которые соответствуют конкретной задаче, необ­
ходимо знать начальные и граничные условия.
Начальные условия заключаются в том, что задается состоя­
ние движения, т.е. поле скоростей и давлений, в начальный момент
времени t = t0. Начальные условия имеют значение лишь при реше­
нии задач, относящихся к неустановившемуся движению.
Граничные условия могут быть весьма разнообразными и не­
обходимы при решении задач с установившимся и неустановившимся движением. Граничные условия делятся на кинематические
и динамические.
Кинематические граничные условия сводятся к заданию ско­
рости (по величине или направлению) или ее производных на
внешней границе рассматриваемого объема жидкости.
Динамические граничные условия сводятся к заданию давле­
ний на внешней границе рассматриваемого движущегося объема
жидкости (газа). В частности, если жидкость имеет свободную по­
верхность раздела в атмосфере, то во всех точках свободной по­
верхности давление должно равняться атмосферному. Это условие
служит для определения формы свободной поверхности жидкости.
53
4.2. Дифференциальные уравнения движения вязкой жидкости
в форме Навье-Стокса
Дифференциальные уравнения движения вязкой жидкости
значительно сложнее уравнений движения идеальной жидкости,
так как влияние вязкости сказывается не только в появлении каса­
тельных напряжении, но и в изменении величины нормального
давления. Для их составления выделим в прямоугольной системе
координат в потоке жидкости у точки М(х, v, z) элемент жидкости в
форме прямоугольного параллелепипеда так, чтобы точка М была
одной из его вершин.
Р «е. 3 5 .
Рис. 4.2. Элементарный объем
Выражения для массы элемента, проекций его ускорения на
оси координат, проекций объемных сил запишутся здесь так же,
как и при выводе уравнений движения идеальной жидкости в фор­
ме Эйлера (см. рис. 4.2). Отличие будет только в выражениях для
поверхностных сих. В случае вязкой жидкости на грани параллеле­
пипеда будут действовать не только нормальные напряжения дав­
ления р к, р у, р у. но и касательные, потому что поверхностные силы
в вязкой жидкости не ортогональны к рассматриваемой поверхно­
сти. В уравнения движения вязкой жидкости, помимо ускорений,
учитываемых при движении идеальной жидкости, должны войти
54
еще и ускорения от сил трения. Посмотрим сначала, как следует
учитывать ускорения от сил трения при плоскопараллельном дви­
жении жидкости вдоль оси х с градиентом скорости только в на­
правлении оси у.
Согласно гипотезе Ньютона, при слоистом (ламинарном) те­
чении жидкости сила трения между ее слоями равна
,dc
dy
Ft s = ~ M S ,
Напряжение трения
- —Li,,dc•
Т —----- —
S
dy
При наличии градиента скорости вдоль оси у силы трения на
верхнюю и нижнюю грани параллелепипеда действуют в противо­
положных направлениях. Сила трения на нижней грани элемента
определяется как
dt'] ,, { = ~Txd S = -T xd x d z ;
на верхней грани элемента, где напряжение трения Тх получило
приращение '
,д,, она равна
Эу
dF.о д.а
А. = F + ^ dy dxdzду
Равнодействующая силы трения, действующая на жидкий
элемент в направлении оси х, будет определяться разностью сил,
действующих на нижнюю и верхнюю грани элемента:
d (\ h'о дп /)х = dF...
- dF...
= - — ^dxdydz
■
од.а
одл
У
-s
Так как согласно гипотезе Ньютона ~ _ ,А сх и
T- ^ ‘ dy
-s
2
*
и
аУ
м зу
*
то
55
d ( F dd) = jul^ C'* d x d y d z ■
Соответствующее ускорение, т.е. силу трения, приходящуюся
на единицу массы элемента dm = p d x d y d z , можно выразить как
d {Fdd)x _ р д \ _ у Э2сх
dm
р ду2
ду2
В трехмерном потоке, когда градиенты скорости могут суще­
ствовать в направлении всех трех координатных осей, ускорение
от сил трения в проекциях на оси х, у, z, выражается следующим
образом:
d F„), = v
dm
Э2с
ОС,
Эх2
ду2
dz
д2с„
д 2с„
( д2с„
Ф Ц
Л
ос
+ -
dm
Эх2
dy,), = У
dm
д 2с.
V
Эх2
ду
dz2
д 2с
Э2с ^
+ — f +
dy
d z2
Эти проекции ускорений от сил трения следует ввести в диф­
ференциальные уравнения движения вязкой жидкости помимо ус­
корений, действующих на частицу идеальной жидкости. Тогда
дифференциальные уравнения движения вязкой жидкости запи­
шутся в виде:
dc
dc
___ У_
dt
dcz
dt
56
=Х
1 dc
д2с
+v
'
Эх2
р dx
V
д2с
+ —
f +
dy2
Э2сУ э ч
1 dd
Y ----------+ V
+
dx2
р dy
Эу2
v
^
1 dd
р dz
^ d2c., d \
v dx2 + dy2
д2с Л
dz2
d 2c
+ -
dz2
ЭV \
dz2
(4.3)
Уравнения движения, записанные в такой форме (4.3), назы­
ваются уравнениями Навье-Стокса для вязкой несжимаемой жид­
кости. Если при изучении движения вязкой жидкости одновремен­
но учитывать и сжимаемость, то уравнения движения будут более
сложными.
При движении вязкой (реальной) жидкости за гидростатиче­
ское давление в точке принимают среднее арифметическое значе­
ние давлений по трем произвольным, проходящим через данную
точку, взаимно перпендикулярным площадкам, т.е.
d + д.. + д.
д =-
3
Все слагаемые в уравнениях Навье-Стокса, так же как и в
уравнениях Эйлера, имеют размерность ускорения. В левую часть
уравнений входит проекция полного ускорения частицы, в правую
часть —проекции ускорения от объемных сил, от сил давления и от
сил вязкости (трения). Неизвестными величинами являются скоро­
сти сх, су, cz, давление /) и в общем случае течения сжимаемой жид­
кости плотность р. Зависимость р от температуры считается из­
вестной. Для того чтобы получилась замкнутая система уравнений,
в которой число уравнений равнялось числу неизвестных, необхо­
димо к уравнениям Навье-Стокса присоединить уравнение нераз­
рывности движения
1 d p дс
дс Эс
—+ — ^ + — L + — - = 0 ’
р dt
Эх
ду dz
а в случае сжимаемой жидкости еще и характеристическое уравнение
Р =fip, Т).
4.3. Уравнение количества движения
При решении некоторых задач МЖГ используется уравнение
количества движения. Важнейшей особенностью этого уравнения
является то, что для определения действующих сил не нужно знать
существа процессов, происходящих внутри выделенного участка
потока жидкости, нужно знать только параметры жидкости на гра­
57
ницах участка. В механике твердого тела известна теорема об из­
менении количества движения. Она гласит: элементарное измене­
ние количества движения некоторой массы т по какому-либо направлени. равно элементарному импульсу равнодействующей сил,
г = Fdt,
1
приложенных к этой массе в том же направлении, т.е. d(mn)
где F - проекция равнодействующей всех сил, приложенных к мас­
се т, на какую-либо ось; с - проекция скорости на ту же ось;
dt - время действия силы F; F ■dt - импульс силы; d(mc) - измене­
ние количества движения. Применительно к потокам жидкостей и
газов более удобна несколько иная (гидродинамическая) форма
теоремы об изменении количества движения.
Рис. 4.3. Струйка тока
Рассмотрим установившееся движение элементарной струйки
жидкости (рис. 4.3). Проведем два нормальных к ее оси сечения 1 и
2 и обозначим массу жидкости, заключенную в объеме 1-2, через
/wi-2 . За время dt выделенная масса газа переместится в положение
1'—2'. Изменение количества движения выделенной массы жидко­
сти за dt будет определяться только разностью количества движе­
ния в элементарных объемах 2-2' и 1-V , так как при установив­
шемся движении масса жидкости в замкнутом объеме 1'-2 остается
неизменной.
В случае неустановившегося движения количество движения
заштрихованного объема 1'-2 с течением времени изменяется.
58
В пределах элементарных объемов 2-2' и 1-1' параметры равны
соответственно:
ci_r =ci;
с2- 2' =с 2; ти у = т2_г = т;
поэтому d(mc) = т(с2 - сi), тогда имеем, что т(с2 - сi) = Fdt или,
разделив уравнение на dt, получим
Тогда
F = G{c2 - c l ).
(4.4)
При выводе уравнения (4.4) предполагалось, что F, с2, с, име­
ют одинаковое направление. В проекциях на оси координат Ох и
Оу уравнение (4.4) примет вид:
Fx = G {C2x ~ C1x )
(4.5)
где G - массовый расход жидкости через площадь сечения струйки,
перпендикулярную к направлению скорости; Fx, Fy - соответст­
вующие проекции на оси координат равнодействующей всех внеш­
них сил, приложенных к струйке жидкости на участке 1-2.
Из уравнений (4.5) следует, что проекция равнодействующей
всех сил, приложенных к рассматриваемой массе жидкости, на не­
которое направление равна секундному изменению количества
движения (AG ■с) этой массы жидкости в том же направлении. Эта
теорема известна под названием теоремы Эйлера об изменении ко­
личества движения и предложена им в 1754 году. В общем случае
внешними силами, приложенными к жидкости на рассматриваемом
участке, являются поверхностные нормальные (силы давления,
действующие в пределах замкнутого контура между сечениями 1 и
2); поверхностные касательные (силы трения, действующие в на­
правлении, противоположном движению потока); массовые (силы
тяжести).
59
Теорема Эйлера может быть распространена и на случай, ко­
гда внутри потока жидкости имеется твердое тело или жидкость
ограничена поверхностью твердой стенки. Тогда необходимо учи­
тывать, кроме перечисленных сил, еще силы воздействия на жид­
кость поверхностей твердых стенок, охватывающих поток или на­
ходящихся внутри его. В зависимости от конкретных условий зада­
чи тот или иной вид сил может исключаться. Например, в случае
применения уравнения Эйлера к движению идеальной жидкости
силы трения исключаются; в случае движения жидкости в прямо­
линейном канале постоянного сечения проекция на ось канала рав­
нодействующей сил давления на боковую поверхность канала рав­
на 0.
4.4. Уравнение момента количества движения
Уравнение момента количества движения не является новым неза­
висимым уравнением гидрогазодинамики. Оно представляет новую
форму уравнения движения, членами которого являются не силы и
не количество движения, а моменты сил и моменты количества
движения. Это уравнение широко используется при исследовании
вращательного движения жидкости, является основным в теории
турбомашин.
Рис. 4.4. Вывод уравнения момента количества движения
60
M z =Fr = G(c 1l2 r2 - c 1llr l).
(4.8)
В соответствии с (4.8), момент равнодействующей внешних
сил относительно произвольной оси равен приращению момента
секундного количества движения жидкости AGcur на участке
струйки 1-2 относительно той же оси.
Вращение жидкости по инерции. Если момент внешних сил
относительно данной оси равен нулю (Mz = 0), то момент секундно­
го количества движения сохраняет постоянное значение и жид­
кость вращается по инерции
IVи2r2 = lVL,i i'\
lVLlr
const;
Wu = const г.
Вращение жидкости по инерции подчиняется закону потенци­
ального вихря и имеет место в идеальной центробежной форсунке.
4.5. Уравнение Бернулли
Выделим мысленно в идеальной жидкой среде элементарный
объем и сформулируем для него закон сохранения энергии.
( Ш
ш
Рис. 4.5. Элементарный объем
62
Движение элемента жидкости совершается под воздействием
внешних (поверхностных) и массовых сил. В процессе движения
элемента жидкости изменяется его кинетическая и потенциальная
энергия, а силы совершают работу. В общем случае при наличии
теплообмена с окружающей средой закон сохранения энергии гла­
сит: изменение всех видов энергии (кинетической и внутренней)
выделенного элемента жидкости за некоторый промежуток време­
ни dt равно количеству теплоты, сообщенного элементу, сложен­
ному с работой, которую произвели за то же время приложенные к
элементу внешние силы. Внешними силами являются поверхност­
ные силы, действующие нормально к поверхности струйки, и мас­
совые силы - силы тяжести. Рассмотрим частный случай устано­
вившегося движения идеальной несжимаемой жидкости без тепло­
обмена с окружающей средой. Выведем уравнение сохранения
энергия, называемое в этом случае уравнением Бернулли для эле­
ментарной струйки идеальной несжимаемой жидкости. Выделим в
движущейся жидкости элементарную струйку, ограниченную сече­
ниями 1 и 2, имеющими площадь dS\, dS2. К массе жидкости /щ 2
элементарной струйки применим закон сохранения энергии. За
бесконечно малый промежуток времена dt выделенный объем жид­
кости под воздействием внешних сил переместится из положения
1-2 в положение 1'—2'. Расстояния 1-Г и 2-2' есть бесконечно ма­
лые величины. Так как движение установившееся, то есть парамет­
ры жидкости в любой точке с течением времени не изменяются, то
в заштрихованной части 1'—2, общей для обоих положений массы
т12, изменение скорости и энергии равно нулю. Поэтому при вы­
числении изменения энергии массы тi_2 (например, кинетической)
энергия заштрихованного объема 1'—2, входящая в энергию массы
т\_2 , в первоначальный и конечный моменты времени сократится.
Таким образом, изменение кинетической энергии за время dt
всей массы жидкости тi_2 равно разности кинетических энергий
объема 2-2' вытекающей и объема 1-Г втекающей жидкости. То же
относится и к изменению других видов энергии (потенциальной и
63
энергии сил давления). При установившемся движении изменение
этих видов энергии для всей массы т\_2 равно разности энергии
объемов 2-2' и 1-1'. Важно отметить, что в случае неустановившегося движения кинетическая энергия заштрихованного объема 1-2
в начальный и конечный моменты времени неодинакова и в урав­
нении не сокращается. Так как параметры жидкости в пределах
бесконечно малых объемов 1-1' и 2-2' постоянны, то индекс 1-1'
заменим на 1, а 2-2' - на 2, то есть
dml у = dml dm2_2, = dm2 cx_Y = cx\ c2_2>= c2 ■
На основании условия неразрывности течения массовый рас­
ход жидкости через любое поперечное сечение элементарной
струйки остается постоянным, отсюда dm\ = dm2
При движении элемента жидкости вдоль оси элементарной
струйки масса его остается постоянной, но параметры (давление,
скорость) изменяются. В результате изменяются как кинетическая
и потенциальная энергия, так и энергия сил давления. Подсчитаем
приращение кинетической энергии рассматриваемой массы жидко­
сти за время dt:
Сdm c2
( dm c2
_ dm (с2 —с 2j
^
/2
Л
Изменение кинетической энергии движущейся массы жидко­
сти происходит под действием работы внешних сил, ибо внутрен­
няя энергия несжимаемой жидкости практически не изменяется.
Внешними силами в данном случае являются поверхностные - си­
лы давления и массовые - силы тяжести. Подсчитаем работу сил
давления и сил тяжести. Работа сил давления, приложенных к бо­
ковой поверхности струйки жидкости, равна нулю, так как эти си­
лы перпендикулярны линиям тока, вдоль которых происходит пе­
ремещение частиц. Поэтому следует определить лишь работу сил
давления, приложенных к торцам элемента. Работа dL\ сил давле­
ния pi в сечении 1-1 будет положительна, так как направление си­
лы совпадает с направлением перемещения, и выразится как произ­
64
ведение силы dl<\ = р\ d S на путь d l\ = C\dt, проходимый частицами
жидкости за d t, то есть
dLy = dh\dl = p p iS fp it.
Работа сил противодавления в сечении 2-2 отрицательна, так
как направление сил противоположно направлению перемещения,
и определится выражением dL2 = p 2d S 2c2d t . Итак, силы давления
по всей поверхности элементарной струйки производят работу
Щ а а = d L l ~ d L 2 = { P l d S lCl ~ PM SX^C H = {P] - p 2 )dG y ,
где d ( i v - объемный расход жидкости, м /с .
Определим работу массовых сил, т.е. сил тяжести. Поскольку
при установившемся движении работа сил тяжести заштрихован­
ного объема не изменяется, то работа сил тяжести всей элементар­
ной струйки за время d t будет равна работе силы тяжести жидкости
объема 1-1' при перемещении ее из положения 1-1' в положение
2-2'. Иначе говоря,
Щ у . = d ™ { z i - Z 2) g ,
где z\ и z2 - расстояния центров тяжести объемов 1-1' и 2-2' от
некоторой горизонтальной плоскости сравнения, или иначе - орди­
наты центров тяжести этих объемов. Таким образом, уравнение
энергии для элементарной струйки идеальной жидкости приобре­
тает вид
А Ек,= А Е ааае + А Е .оусе
. .
(4.10)
4
'
При теплообмене между струйкой и окружающей средой, в
результате которого жидкость нагревается или охлаждается, в
уравнение (4.10) справа надо ввести внешнюю теплоту ±Д()||;|р. а
слева - изменение внутренней энергии жидкости +AU = dm-C- АТ,
где С - теплоемкость жидкости, а АТ - изменение температуры
жидкости. После подстановки АЕК, АЕдаш и АЕТЯЖв (4.10) получим
65
/ 2
2\
I c2 —Cj I
------------- = dGv (yp l - p 2^dt + d m (z l - z 2) g .
2g
(4.11)
Поделим на dm = pdGvd t, т.е. отнесем уравнение к единице
веса жидкости, тогда
М д 4 ) = (£с л ) +(
).
(4,2)
2g
pg
Сгруппируем члены, относящиеся к сечению 1-1, в левой час­
ти, а относящиеся к сечению 2-2 - в правой части уравнения
Zl+J t + f L =Z2+j ^ + £ L .
2g
p g 2g
(4.13)
Это и есть уравнение Бернулли, записанное для элементарной
струйки идеальной несжимаемой жидкости. Если неограниченно
сближать между собой сечения 1-1 и 2-2, то получим уравнение
Бернулли в дифференциальной форме
сЬ+Ф +А£)=0
P g
(4,4)
2g
Так как сечения 1-1 и 2-2 были взяты произвольно, то уравне­
ние Бернулли можно записать в виде
z + — + ^— = Н ° = const
7
2g
(4-15)
Формула (4.15) является теоремой трех высот.
Рассмотрим физический, а точнее, энергетический смысл
уравнения Бернулли. Условимся называть удельной энергию, отне­
сённую к единице массы жидкости, т.е. Еул = Elm. Нетрудно убе­
диться, что члены уравнения Бернулли являются различными фор­
мами удельной механической энергии жидкости, а именно: z удельная потенциальная энергия положения, геометрический на­
пор; p/pg - удельная потенциальная энергия давления, пьезометри­
ческий напор; z + р /pg - удельная потенциальная энергия, гидро­
статический напор; с 2/ 2g - удельная кинетическая энергия,
66
2
р
С
Pg
2S
H = z + -----+ ------ - полная удельная энергия, полный напор.
Энергетический смысл уравнения Бернулли для элементарной
струйки идеальной жидкости заключается в постоянстве вдоль
струйки полной удельной энергии. Уравнение Бернулли представ­
ляет собой закон сохранения механической энергии при устано­
вившемся движении идеальной жидкости.
Давление торможения. Запишем уравнение Бернулли для
горизонтальной элементарной струйки (z\ = z2):
2
2
2
p. + р - 2- = р 2 + р - 2- = Р + р — = Р = const,
2
g
2
g
(4.16)
2g
где p * - давление торможения; р - давление в потоке.
Из (4.16) следует важный практический вывод о том, что по
измерениям р ир * , например, при помощи трубки Пито-Прандтля,
можно определить локальную скорость жидкости или газа по сле­
дующей формуле
_
Ы р * - Р)
\
р
Подробнее см. лабораторные работы № 1 и 2 в Приложении А.
4.6.
Уравнение Бернулли
для элементарной струйки вязкой жидкости
Применим теперь закон сохранения энергии к элементарной
струйке реальной (вязкой) жидкости. Допустим, что жидкость не­
сжимаемая и теплообмен выделенной струйки с окружающей сре­
дой отсутствует. Движение жидкости установившееся. Выделим в
движущейся жидкости элементарную струйку, ограниченную сече­
ниями 1-1 и 2-2. При движении идеальной жидкости от сечения 1
к сечению 2 полная удельная механическая энергия является вели­
чиной постоянной:
67
Pi
Zj + —
+ —
pg
= z
2g
Pn
2+
—
“
pg
с;
+ —
2g
Рис. 4.6. Схема замера давлений
При движении вязкой жидкости полная удельная механиче­
ская энергия не остается постоянной вдоль струйки: в первом сече­
нии она больше, чем во втором, т.е. H ‘J > Н ' . Запас полной энергии
уменьшился, так как часть ее затрачена на преодоление сил трения:
- Н2 = /?ф. в свою очередь /?, р = L^Jclm. где /., р - работа сил тре­
ния. Энергия потока, израсходованная на преодоление сил трения,
превращается в тепловую энергию, рассеивается и не может быть
полностью восстановлена в механическую энергию в результате
необратимости процесса. В этом смысле израсходованная на пре­
одоление сил трения энергия называется потерянной. Тогда урав­
нение Бернулли для элементарной струйки вязкой несжимаемой
жидкости примет вид:
Hi
г + Л +^
pg
2g
= . 9 + _ ^ + £ ^ + /7
“
pg
(4.17)
2g
где /г, р - удельная энергия, потерянная на преодоление трения (на­
пор). Таким образом, при установившемся движении вязкой не­
сжимаемой жидкости без теплообмена с окружающей средой раз­
68
ность полных напоров в двух сечениях одной и тон же струнки
равна напору, потерянному на трение между этими сечениями. Ли­
ния полного напора располагается не в горизонтальной плоскости,
а снижается в направлении течения. Чем больше наклон этой ли­
нии, тем интенсивнее потери на трение в струйке между сечениями
1 и 2. В потоке реальной жидкости, кроме сопротивления трения,
существуют и другие сопротивления, так называемые местные со­
противления, например, сопротивление при внезапном сужении и
расширении потока, при резком изменении направления скорости и
др., на преодоление которых, естественно, также затрачивается
часть напора жидкости. В этом случае уравнение Бернулли записы­
вается в виде
где 2_^h - суммарная потерянная энергия на преодоление всех со­
противлений, имеющих место между сечениями 1-2.
Рис. 43.
Рис. 4.7. Эпюра скорости
Вывод уравнения Бернулли для несжимаемой вязкой жидко­
сти можно получить путем интегрирования уравнений движения в
форме Навье-Стокса. Уравнение Бернулли, составленное для эле­
ментарной струйки, можно распространить на поток с поперечным
сечением конечных размеров, но при этом необходимо учесть не­
равномерность распределения скоростей по сечению вследствие
вязкости жидкости. При движении вязкой жидкости вдоль твердой
стенки, например в трубе, происходит неравномерное торможение
потока в сечении под влиянием вязкости и сил молекулярного сце­
пления между жидкостью и стенками (у стенки торможение потока
максимальное). Поэтому наибольшей величины скорость достигает
в центральной части потока, а по мере приближения к стенке
уменьшается практически до нуля. Получается распределение ско­
рости в сечении. В неравномерном потоке имеет место сдвиг одних
слоев жидкости относительно других, вследствие чего возникают
касательные напряжения трения. Кроме того, движение вязкой
жидкости сопровождается вращением частиц, вихреобразованием и
перемешиванием. Для того чтобы одномерные уравнения элемен­
тарной струйки было можно применить к неравномерным потокам,
вводится понятие средней скорости. Кинетическая энергия
,
вычисленная по средней скорости, не равна, а всегда меньше дей­
ствительной величины кинетической энергии неравномерного по­
тока Ек.
Здесь
Д
= ----------- = ----------- ,
Q
o „ -S
2
умножив и разделив в (4.18) на сср, получим
70
(4.18)
где (х = — 2 _ = А
коэффициент неравномерности поля скоро-
сти (коэффициен Кориолиса). Он представляет собой отношение
действительной кинетической энергии потока к кинетической энер­
гии потока с тем же расходом, но имеющего равномерное поле
скоростей в том же сечении.
Таким образом, в уравнении Бернулли применительно к не­
равномерному потоку, слагаемое кинетической энергии должно
быта записано в виде Otc'h) j 2g . Для ламинарного движения а = 2,
для турбулентного а = 1,02-5-1,04. В большинстве практических за­
дач движение турбулентное, и принимают а = 1. Допустим, что в
поперечных сечениях неравномерного потока гидростатический
напор остается постоянным для всех точек данного сечения:
+ z = const • Тем самым предполагается, что при движении
Рё
жидкости отдельные струйки, в поперечном направлении, оказы­
вают друг на друга такое же давление, как слои жидкости в непод­
вижном состоянии. В действительности это имеет место только в
параллельно-струйных потоках, а в остальных случаях это условие
приближенно.
С учетом сказанного уравнение Бернулли для неравномерного
потока вязкой несжимаемой жидкости будет иметь вид:
2
2
где сср - средняя по сечению скорость (обычно индекс «ср» опуска­
ется), не реально существующая, а условная скорость;
71
' ^ h - суммарная потеря удельной энергии (напора) на пре­
одоление различных гидравлических сопротивлений на участке
между рассматриваемыми сечениями;
а — безразмерный коэффициент, учитывающий неравномер­
ность распределения скоростей.
72
Глава 5. ГИДРАВЛИЧЕСКИЕ ПОТЕРИ. ИСТЕЧЕНИЕ
ЖИДКОСТИ ИЗ ОТВЕРСТИЙ И НАСАДКОВ
Гидравлические потери это потери удельной энергии (напора).
Они зависят от шероховатости, формы и размеров канала, а также
от скорости течения и вязкости жидкости и практически не зависят
от абсолютного давления в жидкости. Опытами установлено, что
гидравлические потери Ар тпропорциональны кинетической энер­
гии потока и определяются формулой Вейсбаха:
(5 1)
где Ъ,2 ~ коэффициент гидравлических потерь. Он характеризу­
ет отношение потерянного к скоростному напору.
калибр
Рис. 5.1. Гидравлические потери
Гидравлические потери подразделяются на потери на тренне
(потерн по длине) и местные гидравлические потери.
При течении несжимаемой жидкости в каналах постоянного
сечения S = const, несмотря на наличие гидравлических сопротив­
лений и связанного с этим потерь напора, сохраняется постоянным
значение среднерасходной скорости по длине трубы:
73
с = Gy/S = const.
(5.2)
Расчёт гидравлических сопротивлений (потерь) различных
устройств пневмо-гидравлических систем является одним из ос­
новных вопросов гидравлики.
5.1. Потери на трение (потери по длине)
В чистом виде потери на трение можно наблюдать в прямом
горизонтальном трубопроводе постоянного сечения (см. рис. 5.1).
Эти потери обусловлены внутренним трением в жидкости, возрас­
тают пропорционально длине трубопровода. Структура формулы
для определения потерь на трение аналогична (5.1) и в метрах
столба соответствующей жидкости имеет вид:
с2
(5.3)
д ~ %дд ~
’
2g
где % - коэффициент гидравлических потерь на трение, с - сред­
нерасходное значение скорости, которое можно определить по
формуле (5.2).
Коэффициент гидравлических потерь на трение удобнее пред­
ставить в следующем виде:
д
где А
^дв
.5
d
(5.4)
— коэффициент сопротивления трению трубы длиной в
один калибр, то есть трубы с lid = 1.
Физический смысл коэффициента трения А
найдём из ра­
венства нулю суммы двух сил, действующих на выделенный объём
жидкости между сечениями 1 и 2:
(5.5.)
где X - напряжение трения на стенке трубы.
74
После подстановки в (5.5) ДоКл =Л- л
и сокращений
d
получаем
д, _
2
4т- А
оа
рс2
2
- величина, пропорциональная отношению напряжения
’
то есть я
трения на стенке трубы к динамическому (скоростному) напору.
Значение А сложным образом зависит от режима течения
(ламинарный, турбулентный), критерия Рейнольдса, относительной
шероховатости стенки канала. Подробнее этот вопрос изложен в
лабораторной работе № 4 (см. приложение А).
5.2. Местные гидравлические сопротивления
Этот вид потерь возникает за счёт местного изменения скоро­
сти, вихреобразования, связанного с местным отрывом потока от
стенки канала или преграды на пути потока. Примеры наиболее
распространённых местных гидравлических сопротивлений пред­
ставлены на рис. 5.2-5.4. Структура формулы для расчёта местных
гидравлических сопротивлений аналогична (5.1), в которой индекс
г - «гидравлические» заменен на индекс м - «местные»:
л
£ Р°2
&Ри = ^ « 2
Для большинства встречающихся в технике местных гидрав­
лических сопротивлений значения
определены теоретически
либо экспериментально и представлены в справочной литературе.
Характерные сечения 1 и 2 до и после местного гидравлического
сопротивления необходимо выбирать там, где параметры потока
жидкости выровнялись. Важно отметить, что если площади харак­
терных сечений у одного местного гидравлического сопротивления
различны (см. канал с внезапным расширением на рис. 5.2), то в
75
расчёте гидравлических потерь участвует меньшая площадь (диа­
метр), то есть в гидравлический расчет закладывается большее зна­
чение скорости.
11
<3.
1 И-"
1
.
1
2
Рис. 5.2. Расширение канала
1
Рис. 5.3. Сужение канала
Рис. 5.4. Поворот канала
76
5.3. Истечение жидкости из отверстий и насадков
Этот процесс реализуется при подаче топлива через форсунки
в камерах сгорания авиационных, ракетных, автомобильных двига­
телей и других топливосжигающих установок; при подаче воды
через сопла на лопасти гидротурбин, для получения реактивной
тяги водомётных судов; при перетекании жидкости через жиклёры
в системах регулирования двигателей.
В процессе истечения потенциальная энергия жидкости час­
тично превращается в кинетическую энергию струи, а частично
затрачивается на преодоление гидравлических сопротивлений.
В общем случае решение поставленной задачи состоит в опре­
делении скорости истечения жидкости; её расхода; гидравлических
потерь при заданных условиях как в прямой, так и в обратной по­
становке.
5.3.1. Истечение жидкости через малое отверстие
в тонкой стенке при постоянном напоре
На рис. 5.5 показана расчётная схема, применительно к кото­
рой сформулированы следующие основные и дополнительные ус­
ловия.
Основные условия:
1. Сосуд неограниченной ёмкости (размеров).
2. Заданы свойства жидкости (плотность р, вязкость v).
3. Истечение жидкости происходит в газообразную среду.
4. Отверстие находится под постоянным перепадом давления
{р\ + pgzi - р 2 = const).
Дополнительные условия:
1.
da
. отверстие мало, следовательно, можно принять
Pg
напор постоянным для любой его точки по высоте;
77
f Uf=Of Sftp,
(0,5...l ) d
o2,Pz
C t.S ■
d 2,s 2
Рис. 5.5. Истечение жидкости
2. Стенка тонкая либо имеет острую кромку. В результате по­
тери на трение по длине отверстия отсутствуют
= 0), несмотря
на наличие местного гидравлического сопротивления (с.,, > 0).
3. Отверстие достаточно удалено от свободной поверхности
1-1 и боковых стенок сосуда. В результате струйки жидкости под­
текают к отверстию свободно, криволинейно и симметрично со
всех сторон.
Требуется определить скорость истечения, расход жидкости и
местное гидравлическое сопротивление отверстия в тонкой стенке.
Коэффициент сужения струи (е). Траектории частиц жидко­
сти перед отверстием криволинейны. В результате возникают цен­
тробежные силы, направленные к оси отверстия, что приводит к
сужению струи до своего минимального значения (сЬ mm) в харак­
терном сечении 2-2, расположенном на расстоянии (0,5... l,0)t/0 от
отверстия. В сечении 2 давление в струе жидкости равно давлению
газовой среды, в которую происходит истечение. Этот процесс
оценивается коэффициентом сужения струи, представляющим со­
бой отношение минимальной площади струи жидкости к площади
отверстия через которое происходит истечение:
78
Коэффициент скорости (ф). Запишем уравнение Бернулли
для участка 1-2. Исходя из основных и дополнительных условий:
С\ = 0; с2 = const по сечению 2; нивелирная плоскость проходит че­
рез ось струи; LMex= LTp= 0. В результате
. 4 _ . *
. +
zl + p g
PS + 2g
g 1' 2 g
После преобразований
c2 =
L 1e
V1 + 6
где ф =
P2) = ( p - ^ g H ,
■J2 g ( z l + Pl
V
^
с
1
=_ = _____ - коэффициент скорости, представляющий
с2 д \А +
собой отношение реальной скорости истечения жидкости из отвер­
стия к теоритическй.
Отличие коэффициента скорости от единицы связано с вязко­
стью жидкости и другими причинами, вызывающими неравномер­
ность профиля скорости по высоте отверстия.
Коэффициент расхода
Расход жидкости
черезотверстие
определяется по параметрам в сечении 2: G2 = р S2 ■ с2.
Используя коэффициенты сужения струи (е)
и скорости(ф)
этот расход записывается через площадь отверстия и идеальную
скорость истечения: G2 = р • 8 • S0 • ф • w2m.
Обозначим через коэффициент расхода \|/ у, =
2
_ . отноше­
на
ние фактического расхода к теоретическому. Учтем, что \|/ = е • ф.
W
WO
500 WOO 5000 W*
5J0'’ W1 Re=UTd/J
Рис. 5.6. Зависимость коэффициента расхода от числа Рейнольдса
<Т2 = \|/- р -S 0 ■с2т..
Тогда
Значения коэффициентов е, ф, \|/ в значительной степени зави­
сят от числа Re (см. рис. 5.6). При Re>105 наступает автомодель­
ность течения и реальная жидкость практически соответствует иде­
альной (ф—П, а с,.,,—>0). Для отверстия в тонкой стенке при истече­
нии маловязких жидкостей (вода, бензин, керосин, кислоты жидко­
го кислорода и водорода) можно принимать е = 0,63, ф = 0,97,
\|/ = 0,61. На рис. 5.6 показаны графики изменения е, ф, \|/ = /(Re).
5.3.2. Истечение жидкости через затопленное отверстие
(истечение под уровень)
Этот процесс наблюдается при перетекании жидкости через
малое отверстие из одного сосуда в другой, заполненный той же
жидкостью. В этом случае гидравлические сопротивления состоят
2
из местного сопротивления затопленного отверстия
г _—
Рс
g.
и
«удара Борда-Карно» на который затрачивается вся кинетическая
2
рс,
энергия струи ---- —.
2
80
z
Uz
d .s
Рис. 5.7. Истечение из жидкости в жидкость
Уравнение Бернулли для течения жидкости между сечениями
1 и 3 (см. рис. 5.7) в условиях С\ = с3 = 0 и с2= const по сечению от­
верстия записывается так:
2
р-х
А
2
с2
е
2
с2
РЪ
/1
е
р = & 3 + 1рГ + - 2Г + & - 2г = & з + — + (1 + 6
&1+1Г
/2
ч с2
(5.6)
2
Откуда скорость истечения
1
С2 =
Р \~
2g ( г 1 _ г з ) +
V1+
Ръ
= < P \[ 2 g H >
V
Л
+
Zj + А .
Л
Л
z3 +
разность (перепад) гидростатических напоров на оси отверстия до
него и за ним, р\ и />3 - давление на свободную поверхность 1 и 3.
Видно, что скорость истечения и расход жидкости не зависят от
глубины погружения отверстия. Значения коэффициентов е, (р, \|/
определяются так же, как и при истечении в газообразную среду
(см. раздел 5.3.1).
Уравнение Бернулли для случая истечения под уровень можно
записать в более простом виде. Перепишем (5.6) в Па:
81
2
2
P c 2
/^ 2
^ 1 + g z 1/7 = g z 3/7 + jp 3 + —
+ ^e . —
.
Введем следующие замены:
Рцо = Pi + Sz i9 ' гидростатическое давление до отверстия;
Ръа = Р з + Sz зР ' гидростатическое давление за отверстием;
*
Ръа = Ръа +
■давление торможения за отверстием;
л = сг- ,л рс" - местные гидравлические потери.
Арш
В результате /т1П= />.*, + Арш.
5.3.3. Струйная форсунка
Простейшая струйная форсунка представляет собой трубку 1,
заканчивающуюся днищем 2 в виде отверстия в тонкой стенке (см.
рис. 5.8).
Рис. 5.8. Струйная форсунка
При течении жидкости в такой форсунке струя жидкости су­
жается в меньшей степени по сравнению с истечением жидкости из
неограниченного объема, и коэффициент так называемого несо­
вершенного сужения струи рассчитывается по следующей эмпи­
рической формуле:
82
£, =£ + 0,37 m
5 0 - отношение площади отверстия к площади сечения
где m = —
51
трубки;
е - определяется в соответствии с рекомендациями разд. 5.3.1.
Скорость истечения жидкости из струйной форсунки опреде­
ляется по уравнению Бернулли с учетом кинетической энергии
жидкости в трубке:
2
Р с
2
1
Р с
2
2
*
2
е
Р с
2
2
/?с9
/?с9
я - й + ^ + й ^
ИЛИ
откуда
Со —
2 (а - / ъ )
1
= р,
2 ( а -/>2 )
V1+£ ^
Расход жидкости через струйную форсунку
G = Щ■S q ■р
2 (
а
- ^ )
—
I / *
=<P-s o ^ 2P [ P i - Р 2 )-
5.4. Гидравлический расчет трубопроводов
Жидкость движется по трубопроводу вследствие того, что ее
потенциальная энергия в начале трубопровода больше, чем в кон­
це. Располагаемая разность потенциальных энергий затрачивается
на преодоление гидравлических сопротивлений между рассматри­
ваемыми сечениями трубопровода, а в случае изменения площади
проходного сечения трубопровода еще и на изменение кинетиче­
ской энергии жидкости. Повышенный запас потенциальной энер­
гии в начале трубопровода может создаваться за счет работы насо­
са - насосная подача; повышенного давления газа на свободную
83
поверхность жидкости в баке - вытеснительная или баллонная по­
дача; разности уровней жидкости - самотечная подача.
Методика гидравлического расчета трубопроводов одинаковая
для всех видов подач.
Трубопроводы подразделяются на простые и сложные. Про­
стые - постоянного сечения и без разветвлений; сложные - пере­
менного сечения или(и) с разветвлениями.
При гидравлическом расчете трубопроводов используются
уравнения неразрывности потока, Бернулли, формулы для расчета
гидравлических сопротивлений, а также экспериментальные данные.
5.4.1. Простой трубопровод
Рассмотрим простой трубопровод, расположенный произволь­
ным образом в пространстве, имеющий общую длину /, постоян­
ный диаметр d, содержащий п местных гидравлических сопротив­
лений и передающий жидкость с параметрами р, V.
Запишем уравнение Бернулли для участка 1-2 трубопровода при
условии ZMex = 0, Ci = с2 = с с учетом pL~ = Ар* + Ард д ;
р* = 6
2
*Р дд= Ч д-d
2
P\~P 2
Р
где
суммарный коэффициент последова-
тельно соединенных гидравлических сопротивлений трубопровода;
—— El. = Н пдй ' потребный напор, если он подлежит опредеPg
лению в результате расчета;
84
-^1— E^ = f j
pg
- располагаемый напор, в случае когда эта ве-
личина задана.
Ламинарный режим
Турбулентный режим
Рис. 5.9. Режимы течения в простых трубах
С учетом введенных обозначений, а также выражая скорость с
через объемный расход Gv, можно получить характеристику тру­
бопровода - зависимость потребного напора от расхода жидкости в
виде
Н Тгод = -Л 2 +CG™ ,
где m = 1 - для ламинарных режимов течения жидкости; m = 2 для турбулентных режимов.
Чем больше гидравлическое сопротивление, тем больше вели­
чина с и тем круче характеристика Н п
= f (Gv) .
Точка А на характеристике трубопровода (см. рис. 5.9) опре­
деляет объемный расход при движении жидкости самотеком за
85
счет разности нивелирных высот z2 - z\ < 0. В этом случае //,,,,, р= 0
n p i = р 2. Точка В соответствует покою жидкости и отрицательному
потребному напору р\ > р 2.
5.4.2. Сложные трубопроводы
Последовательное соединение простых трубопроводов.
Рассмотрим последовательное соединение трех простых трубопро­
водов различного диаметра (см. рис. 5.10). В этом случае расход
жидкости через все простые трубопроводы постоянен, а гидравли­
ческое сопротивление всего трубопровода равно сумме гидравли­
ческих сопротивлений отдельных участков, т.е.:
G y
1
-
G
v2
-
G
v3
-
G y ,
%сёадЪ
=
%сёад\ ~ ^аёад2 ~ £'сёадЪ '
A -В
в
а
Рис. 5.10. Последовательное соединение трубопроводов
Запишем уравнение Бернулли для участка 1-2 в общем случае,
когда с2ФС\.
Л
Л
zl +
2
_
С2о
2
с1 | р
z2 +
^
P S j ~ 2 g 2g
V
P l _
max
2g
pgj
где cmax - наибольшее значение скорости в сложном трубопроводе.
86
Для получения характеристики сложного трубопровода внача­
ле построим характеристики трех простых трубопроводов. Харак­
теристику сложного трубопровода получим, складывая все три по­
требных напора при одинаковых расходах. Далее гидравлический
расчет сложного трубопровода производится по методике расчета
простого трубопровода.
Ра -Р в
Рис. 5.11. Параллельное соединение трубопроводов
Параллельное соединение простых трубопроводов. Пусть в
сечениях 1 и 2 соединяются параллельно три простых трубопрово­
да различного сечения с п местными гидравлическими сопротивле­
ниями (рис. 5.11). В этом случае расход жидкости через сложный
трубопровод определяется как сумма расходов через три простые
трубопровода: Gr = Gv\ + Gr2 + Gv3 .
Суммарные гидравлические потери всего сложного трубопро­
вода равны гидравлическим потерям каждого простого трубопро­
вода.
Характеристики отдельных трубопроводов можно представить
в виде:
Н пдд = Ф л Л
’ Н add =
c2
G
v2
; Н ч д д = c 3G v3 ■
Для построения характеристики сложного трубопровода с па­
раллельным соединением простых трубопроводов необходимо
87
сложить расходы в каждом простом трубопроводе при одинаковых
потерях полного напора. При этом характеристики отдельных
(простых) трубопроводов строятся по рекомендациям раздела 5.4.1.
5.4.3. Трубопровод с насосной подачей жидкости
Рассмотрим совместную работу трубопровода с насосом (см.
рис. 5.12). Часть трубопровода до насоса называется всасывающей;
за насосом - нагнетающей (напорной).
3
о
Рис. 5.12. Насосная подача жидкости
Запишем уравнение Бернулли для всасывающего трубопрово­
да на участке 0-1, полагая что с0= 0.
I ^ = z +l L +^ + P
02
1 02 „
£«1-2 - ’
2g
2g
где
^ а \-2
—A) d '
11
~
d
^
^i i ■
7=1
Из уравнения видно, что процесс всасывания осуществляется
насосом, который создает пониженное давление р \ < р , , . Этот про­
цесс обеспечивается давлением р 0 в баке, которое расходуется на
подъем жидкости на высоту z\, сообщение ей кинетической энерл
тип }h_, преодоление всех гидравлических сопротивлений всасы2g
вающего трубопровода, и сохраняется в виде давления р\, которое
должно обеспечивать бескавитационную работу насоса. Последнее
условие может обеспечиваться снижением температуры жидкости,
увеличением давления р\ (например, за счет увеличения давления
наддува р 0, установки подкачивающего насоса на участке 0-1),
уменьшением высоты всасывания zb снижением суммарного гид­
равлического сопротивления всасывающего трубопровода.
Для определения потребного напора запишем уравнение Бер­
нулли для всего трубопровода на участке 0-3:
1
d3- d 0
Нц i d d ~ ~g A ' an ~ z 3
pg
Щ
2
1
g
~g A z O - 3 ’
где /.ll;ic= -Z Mex = g i/pacn - полезная работа насоса, сообщаемая 1 кг
жидкости; р 3 - давление газообразной среды, в которую происхо­
дит истечение жидкости;
0_3- гидравлическое сопротивление
всей системы на участке 1-3.
Характеристику всего трубопровода можно записать в сле­
дующем виде:
и
^ 2 , ^т
, ^ 3~ Р о ,
i id d ~ z 3
pg
c eei
v
Ca v
Полезную работу насоса можно подсчитать по уравнению
Бернулли, составленного для участка 1-2 (см. рис. 5.12) при усло­
вии, что di = d2, C l = с2, z i = z2:
г
i an
_ Pl~P\ i
p
’ 1 i an
P2~P\
pg
Таким образом, работа насоса заключается в повышении дав­
ления жидкости.
Характеристикой насоса называется зависимость полезной ра­
боты насоса от расхода жидкости, т.е. Н ,т = (2 (П,.) при постоян­
ной частоте вращения ротора насоса (со = const). Установившийся
режим работы гидравлической системы с насосной подачей жидко­
сти определяется рабочей точкой - точкой пересечения характери­
стики трубопровода
11jai- = f 2
НПоо = /j (V/,,)
и характеристики насоса
) (см- Рис- 5.13). Положение рабочей точки соответст89
вует условию Н потр = Я ||;|С. Такой режим устанавливается и поддер­
живается автоматически. Система регулирования может смещать
положение рабочей точки на характеристике системы, например,
обеспечивая заданный расход жидкости или работу системы с мак­
симальным КПД насоса.
Рабочая точка
'нас
Рис. 5.13. Определение потребной мощности насоса
Полезной мощностью насоса N Hac называется механическая
энергия, которую насос сообщает всей массе жидкости в единицу
времени, т.е.
ail
A' cm Gv
Р2~Р\
Р
Gv = { P l - P \ ) ' GV
Мощность двигателя, приводящего в действие насос, больше
полезной (Ядв > Л'||;|С) на величину мощности, затраченной на пре­
одоление гидравлических сопротивлений в насосе и сопротивлений
трения в приводе и подшипниках (механические потери). Эти потери учитываются общим КПД насоса Т|п =
^дв
где
По = 0,60... 0,85 - для шестеренчатых насосов;
По = 0,70... 0,85 - для центробежных насосов.
90
Глава 6. АНАЛИЗ РАЗМЕРНОСТЕЙ И МЕТОДЫ ПОДОБИЯ
6.1. Анализ размерностей
В качестве принятых основных единиц физических величин,
кроме системы СИ, можно выбрать скорость, плотность, ускорение
и т.д. Величины, численное значение которых зависит от принятых
единиц физических величин, называют размерными. Время, энер­
гия, сила - это примеры размерных величин. Величины, численное
значение которых не зависит от принятых единиц физических ве­
личин, называют безразмерными. Угол, число к - отношение длины
окружности к ее диаметру, отношение удельной газовой постоян­
ной к теплоемкости R (]-, - примеры безразмерных величин. Еди­
ницы физических величин, выраженные через основные, называют
производными. Так, например, единицы скорости ( м / с ) и плотности
( к г / м ) являются производными единицами основных физических
величин.
Для дальнейшего изложения введем обозначения четырех ос­
новных единиц физических величин: длина [/] = L (.м е т р ); масса
|т | = М ( к и л о г р а м м ) ' , время |/| = Т ( с е к у н д а ) ' , температура [7] = К
( г р а д у с К е л ь в и н а ) . Здесь, как обычно принято, квадратные скобки
означают соответствующие физические величины. Тогда, напри­
мер, размерности скорости, плотности, силы и давления, которые
являются производными, могут быть записаны таким образом:
[C]=LT_1, [p]=L"3M, [F]=LMT 2, [p]=L"1MT 2.
В общем случае для принятых основных единиц размерность
производной физической величины может быть выражена в форме
одночлена, составленного из произведений символов основных фи­
зических величин в различных степенях, т.е. в виде формулы раз­
мерности Фурье:
[А]=Т“-МР-Г-А8,
(6.1)
91
что положило начало системному применению соображений тео­
рии размерности и подобия к физическим задачам. Показатели сте­
пени в формуле (6.1) являются безразмерными величинами.
Если размерность данной физической величины может быть
выражена через размерности некоторых других указанных физиче­
ских величин, то ее называют зависимой (от размерности указан­
ных величин). В противном случае размерность называют незави­
симой. Например, указаны размерности ускорения [g] = L T 2 и
плотности [р] = Ь~ЪМ. В этом случае размерность скорости [с] = L T 1
является независимой величиной.
В теории подобия и анализе размерностей принято использо­
вать термины «параметр» и «переменная» для обозначения любой
основной или производной размерной и безразмерной величины
или любой комбинации из них. Под безразмерными параметрами
следует понимать комплексы размерных параметров, составленные
таким образом, что они не имеют размерности, л-теорема устанав­
ливает связь между функцией, выраженной через размерные пара­
метры, и функцией в безразмерной форме. В любой физической
задаче мы имеем один или более зависимых параметров, каждый из
которых является функцией некоторых независимых параметров.
Обозначим зависимый параметр через ср. Пусть число независи­
мых параметров равно т -1. Обозначим их как q2, q2. «/4 - ... qm- Тогда
Ч\=1(Ч2,Чъ,Ч4,-,Чк),
( 6 .2 )
где/i - неизвестная функция. Это уравнение эквивалентно соотно­
шению
Я=(Ч\,Ч2,Ч ъ,Ч а, - , Ч к),
(6.3)
гдеyS - другая неизвестная функция.
Сформулируем л-теорему, используя выше написанные урав­
нения. Если имеется соотношение между т параметрами, то можно
92
найти эквивалентное соотношение между п безразмерными пара­
метрами или комплексами:
/з
(ль Я2 , ...лп) = 0,
(6.4)
где число п определяется как
п = т -к .
(6.5)
Здесь т - число параметров q в уравнении и к - наибольшее
число параметров,содержащихся в первоначальномсписке q\, q2,
q3, q4,
qm. которые не могут быть объединены в какой-либо без­
размерный комплекс. Эту теорему называют л-тсорсмой Бакингема
или теоремой Ваши-Бакингема. Однако в действительности она
является результатом работы многих исследователей, включая Фу­
рье, Рябушинского и Релея. В своей первоначальной формулировке
л-теоремы Бакингем установил, что к равно минимальному числу
независимых размерностей, необходимых для образования размер­
ностей всех параметров <:/,. Обозначим это минимальное число че­
рез г. Позднее (1946) Ван Драйст показал, что, хотя обычно Нравно
г, имеются исключения, и более общее правило записывается как
к < г. Хантли в 1953 году сделал важное обобщение л-теоремы. Он
показал, что можно использовать большее число независимых пе­
ременных, если четко разграничить отдельные операции и понятия,
и за счет этого уменьшить число окончательных безразмерных
комплексов.
Рассмотрим применение л-теоремы на примере. Предполо­
жим, что мы изучаем установившееся, стабилизированное, лами­
нарное течение несжимаемой ньютоновской жидкости в круглой
трубе. Допустим, что нам неизвестно уравнение для перепада дав­
ления. Чтобы определить вид уравнения, применим анализ размер­
ностей. Если считать, что перепад давления Ар является функцией
93
скорости С, длины трубы /, диаметра d, плотности р и вязкости р.
то можно записать
/2
(Ар, I, с, р, р) = 0.
(6.6)
Из рассмотрения размерностей всех шести параметров урав­
нения (6.6) следует, что минимальное число независимых размер­
ностей, из которых могут быть образованы размерности этих пара­
метров, равно трем, например, размерности силы, длины и време­
ни. Следовательно, имеем г = 3. Теперь найдем три из шести раз­
мерных параметра, которые не образуют безразмерного комплекса.
Комбинация только плотности, диаметра и скорости не может быть
безразмерной, поскольку из трех этих параметров лишь плотность
имеет размерность массы. Поэтому заключаем, что в данном кон­
кретном случае к = г = 3. Согласно л-теореме, число необходимых
безразмерных параметров равно 6 - 3 = 3. Если невозможно найти
какой-либо комплекс из трех параметров, который не может быть
безразмерным, то следует постараться найти комплекс из двух па­
раметров и т. д. до тех пор, пока число «к» не будет определено. В
нашем простом примере после внимательного исследования можно
найти, что одной из безразмерных зависимостей является:
Г
Ар
I ped
=
0.
(6.7)
J
Так как мы хотим, чтобы перепад давления был зависимой пе­
ременной, то можно записать:
( 6 . 8)
2
Это соотношение совершенно корректно для рассматриваемой
нами задачи. Однако целесообразно привести его к более удобному
виду, содержащему тот же объем информации, но включающему
меньшее число безразмерных параметров или комплексов п. Физи­
94
ческий смысл этого следующий: для полностью установившегося
равномерного течения в круглом канале постоянного сечения су­
ществует определенная симметрия. В частности, перепад давления
на единице длины трубы будет постоянным вдоль оси, так как поле
скорости не изменяется по длине трубы. Предполагая, что эта дли­
на измеряется в диаметрах трубы, мы должны искать соотношение
вида:
(6.9)
где
/цР - коэффициент гидравлических потерь на трение;
Re - число Рейнольдса, вычисленное по диаметру.
Из большого числа экспериментов известно, что такой подход
в данном случае успешен. Уравнение (6.8) хорошо описывает пе­
репад давления вследствие трения для всех круглых труб, незави­
симо от специфических условий. Известно, что это один из немно­
гих случаев, когда возможно точное и полное решение уравнений
Навье-Стокса, совпадающее с экспериментальными данными.
Анализируя приведенный пример, приведем условия, которые
должны быть выполнены при использовании л-теоремы:
1. В систему безразмерных параметров должны входить все
параметры, имеющие физический смысл, включая все независимые
параметры и один зависимый.
2. Каждый параметр, содержащийся в первоначальном списке,
должен входить в безразмерные комплексы к по крайней мере один
раз.
3. Размерности, используемые для образования размерностей
физических параметров, должны быть независимыми.
Необходимо отметить, что сама по себе теория размерностей
не позволяет установить в явном виде функциональные соотноше­
ния между безразмерными параметрами и в этом ее ограничен­
ность. Эффективность применения теории размерности зависит от
95
того, насколько полно сформулирована решаемая задача, понята ее
физическая сущность. Прежде всего, надо выбрать основные фак­
торы, которые определяют изучаемое явление, и выяснить, какими
эффектами можно пренебречь. В сложном случае можно анализи­
ровать последовательно несколько правдоподобных предположе­
ний, а затем с помощью теоретических выкладок, расчетов или
опытов выбрать правильное. Если известны дифференциальные
уравнения и краевые условия, которые математически описывают
поставленную физическую задачу, то отыскание безразмерных
критериев производится довольно просто.
6.2. Физическое подобие. Критерии подобия
Вопрос о подобии возникает в связи с необходимостью экспе­
риментального определения важнейших характеристик течения
потока и силовых характеристик его взаимодействия с твердыми
поверхностями или телами. Если отбросить тепловые, электриче­
ские, электромагнитные и другие факторы, отличные от чисто ме­
ханических, то систему тело-жидкость можно рассматривать как
механическую, которая является частным случаем более общих
физических систем. Физические явления подобны, если по харак­
теристикам одного можно определить характеристику другого про­
стым пересчетом масштабов по коэффициентам подобия.
Необходимым и достаточным условием подобия явлений слу­
жит равенство численных значений безразмерных комплексов, ко­
торые называют критериями подобия. Они обычно носят имена
ученых, которые ввели их в практический обиход. Из теории подо­
бия следует, что возможно моделирование физических явлений.
Моделированием называют замену исследования явлений на на­
турном объекте экспериментальным изучением этого явления на
модели. Для обеспечения подобия моделируемых течений или яв­
лений необходимо обеспечить равенство критериев подобия. Сово­
купность критериев, необходимых для соблюдения подобия явле­
ний, определяется конкретным типом решаемой задачи.
96
Различают два способа выбора критериев подобия: с помощью
теории размерностей и л-теоремы и метод, основанный на отноше­
нии сил. Если моделируемое явление сложное, не имеет достаточ­
ного математического описания, например течение с развитой ка­
витацией, то критерии подобия можно получить только при ис­
пользовании теории размерностей и л-теоремы. В настоящее время
этот метод является наиболее распространенным. В случае, когда
течение описывается замкнутой системой дифференциальных
уравнений, критерии подобия легко находятся, так как они пред­
ставляют собой безразмерные коэффициенты уравнений, записан­
ных в безразмерном виде. В XIX столетии многие исследователи, в
том числе Релей, решали задачи путем прямого использования
идеи подобия и отношения сил. Этот метод включает геометриче­
ское, кинематическое и динамическое подобие.
Два тела геометрически подобны, если сходственные отрезки
тел пропорциональны и углы между сходственными отрезками
равны между собой. Потоки кинематически подобны, если скоро­
сти в сходственных точках пропорциональны и углы вектора ско­
рости в сходственных точках одинаковы. Для динамического подо­
бия необходима пропорциональность сил, действующих на сходст­
венные элементы, и равенство углов соответствующих векторов
сил. Таким образом, когда речь идет о физическом (механическом)
подобии, имеется в виду геометрическое подобие натурного объек­
та и модели, а также подобие силовых и скоростных полей.
Для обеспечения кинематического и динамического подобия
нужно, прежде всего, обратиться к законам физики. Запишем вто­
рой закон Ньютона для двух систем:
во)
здесь Fj - векторы сил, приложенные к материальным точкам срав­
ниваемых систем. В кинематически и динамически подобных сис­
темах векторы ускорений центров тяжести должны быть одинако­
97
вы по направлению, а также должно быть равно число сил, прило­
женных к каждой системе, и каждая из сил должна быть одинаково
направлена. Из сказанного следует:
F,( 1)
4"
Опуская векторные обозначения, перепишем правую часть в
ином виде
Р\с1 ^1
К
Р2
l2 l2
\h j
Поэтому вместо (6.11) запишем
( 6 . 11)
Р2С2^2
р (2)
Р\с1^1 Р2С2^2
Формула (6.11) представляет собой закон подобия Ньютона,
утверждающий что в динамически подобных системах должны
быть равны безразмерные коэффициенты сил, которые образуются
делением соответствующей силы на произведение соответствую­
щих значений плотности, площади и квадрата скорости. Силы, дей­
ствующие в жидкости, имеют различную физическую природу. За­
кон подобия Ньютона позволяет установить безразмерные ком­
плексы, отражающие действие сил той или иной природы. По­
скольку произведение рc2S характеризует уровень сил инерцион­
ной природы, то критерием подобия, по существу, выражают от­
ношение сил той или иной природы к силам инерции.
Рассмотрим наиболее употребительные из критериев подобия.
Пусть силы генерируются вязкостью. Согласно закону вязкого тре­
ния Ньютона
dc
T = |l —
dn
Далее F
98
2 С
S t = L t - ■ L- j l n .
L
Sr
L ' и ' с1 , и на основании закона подобия
11 = 1
$ 2 Т2 ^ 2 1*2 с 2
(6.11) получаем:
Поэтому
'
'
V f t ' С1 _ L2 - ^ 2 ' с2
Р\с\ Sl
Р2С2^2
ИЛИ
P fh^l —Р2е2^2
Р\
Pi
Таким образом, подобие течений по соотношению инерцион­
ных и вязких сил определяется безразмерным комплексом,
Re = OSL- = l(L- _который называется числом Рейнольдса,
р
V
Рассмотрим теперь условия подобия для течений под действи­
ем сил тяжести. Силы тяжести имеют объемный характер действия.
Следовательно, условие подобия
Р\ А А _Р2 82 ^2
А С1
Р 2 с2
^2
ИЛИ
2
°1
Si h
2
_
с2
S2 L2
Безразмерный комплекс f r =
с
получил название числа
4s L
Фруда.
Учет сил давления F ~ p S приводит к понятию числа Эйлера
р
]<и = _____, так как из закона подобия следует
р -с 2
4 ■р\ _ 4 • Р2
„
2 т2
Р\с1А
„
2 т2
Р2С2^2
99
В нестационарных течениях сила, обусловленная нестационарностью, пропорциональна рi ) d t. Отсюда следует, что в подоб­
ных течениях
P\L\C1
h
1 _ Pi ^2 с2
Р\ ci
h
1
Pi с2^2
или
h _ L2
С1 h
c 2 f2
Безразмерный комплекс Sh = ^ получил название числа
с -1
Струхаля.
Существуют и другие безразмерные комплексы параметров,
отражающие своеобразие той или иной задачи. Зачастую исполь­
зуются также комбинации указанных выше критериев. В реальных
условиях не все силовые факторы проявляют себя одинаково. Бо­
лее того, в определенных задачах ряд критериев автоматически от­
падает.
В потоках жидкости обычно действуют разные силы: силы
давления, вязкости (трения), тяжести и др. Соблюдение их пропор­
циональности означает полное динамическое подобие. Осуществ­
ление на практике полного подобия оказывается не всегда возмож­
ным. В случае установившегося течения выпадает из рассмотрения
число Струхаля Sh. В случае для обеспечения подобия для устано­
вившегося течения несжимаемой жидкости в каналах необходимо
обеспечить равенство на модели и натуре только двух критериев Re и Fr. Однако одновременное сохранение этих двух критериев
при использовании для моделирования натурной среды оказывает­
ся невозможным, так как при уменьшении размеров Re падает, a Fr
растет. Для поддержания постоянства числа Re характерная ско­
рость должна увеличиваться, а для сохранения значения Fr необхо­
димо уменьшать скорость. Сохранить постоянство указанных кри­
териев можно, если при моделировании использовать различные
100
среды, что не всегда возможно на практике. По этой причине в за­
дачах, где влияние массовых сил несущественно, при моделирова­
нии сохраняется постоянство только числа Re. Подобное модели­
рование и подобие потоков является частичным. Отбрасывание то­
го или иного критерия возможно только после детального анализа
его роли в исследуемом процессе. Частичное моделирование явля­
ется вынужденной мерой и в некоторых случаях может приводить
к заметным ошибкам, которые не всегда удается предвидеть.
В теоретических исследованиях и расчетах сложных процес­
сов соображения о физическом подобии играют большую роль. На
первом этапе изучения задачи эти соображения помогают лучше
разобраться в существе явлений и выбрать основные безразмерные
аргументы, от которых зависит изучаемое явление. Далее наиболее
простым образом обосновывается вид неизвестной функциональ­
ной зависимости. Соображения теории размерностей и подобия
достаточно просты, и они должны предшествовать как теоретиче­
ским, так и экспериментальным исследованиям, а также приме­
няться после окончания исследований на этапе обобщения и пред­
ставления итоговых зависимостей. На основе указанного выше
следует, что методы теорий подобия и размерностей дополняют
друг друга и могут использоваться на разных этапах решения за­
дач.
Примеры решения задач
Задача 1. Несжимаемая вязкая жидкость течет по длинной го­
ризонтальной круглой трубе с постоянной площадью поперечного
- падение
сечения. В какой форме следует искать зависимость
/
давления на единице длины трубы, чтобы она была универсальной?
Решение. Движение несжимаемой жидкости в трубе характе­
ризуется плотностью р, коэффициентом динамической вязкости р.
диаметром трубы d, и средней скоростью потока с. Тогда должна
101
быть справедливой зависимость — = /( /? ,//,
с) • Из / 7 + 1 = 5
размерных величин к = 3 имеют независимую размерность. Со­
гласно л-теореме это физическое соотношение можно представить
как отношение (п + 1- к = 2) двумя безразмерными величинами
П = /(7 ti).
Для определения п и 7Ц составим по формуле размерностей
Фурье I 1/! '1М т (метр, секунда, килограмм):
ей! i 3
>Р
1
L
(д ь )
J
1
<N
I
3
|
Н И
1
1
Ад
Г
L
-1 ( T L ) ’
d \ i ] - L ; с \ i / п \ - L /T .
Аргумент 7Г| = р а / / ’ d c се . Тогда размерность
М
М
М 3а T b Lb
представим в виде
L ^ j^-d+b j -Ъо-Ь+с+г j,- b - e
Те
Из условия, что 7Ц имеет нулевую размерность, составим сле­
дующую систему уравнений для определения показателей степени:
а + Ь = 0; -З а - Ь + с + е = 0; -Ь - е = 0.
Одну величину всегда можно выбрать произвольно, но не 0 и
не
Для а = 1 из системы уравнений найдем Ъ = —1; е = 1; с = 1.
Таким образом, получим П\ = p d c j и . Безразмерную комбинацию
7Ц называют числом Рейнольдса. Функция ж = (/\р /1^' р 1Llcd L’c - .
Аналогичным образом размерность и представим в виде
М
М
М е L
j 2 a j,2a j 3 b j,cjC
ji/
а _|_^_|_с
2 a —3b—c+e +frj i—2 a —c—f
Система уравнений для определения показателей степени
а + b + с = 0; -2 а - 3b -с + е +/ = 0; -2 а - с - / = 0.
102
В системе из трех уравнений пять неизвестных. Очевидно,
комбинацию переменных рdc/[i, которая уже рассматривается как
аргумент, включать еще не имеет смысла. При с = 0 снова можно
выбрать один из показателей, равным единице. Лучше взять а = 1,
чтобы искомая величина была в первой степени. Тогда получим
b = -1 , е = 1 ,/= -2 и п = M d j [ l р с 2 j , следовательно, искомая за­
висимость
Задача 2. Сопловой аппарат воздушной турбины, параметры
воздуха перед которым р он = 2,2Т05 Па, Тон = 700 К, а давление за
ним /у и= 1-105 Па, испытывается в модельной установке с масштабом 1:2,5. Температура воздуха перед модельным сопловым аппа­
ратом Тош= 500 К.
Какие давления воздуха р ои и /у,, соответственно перед мо­
дельным сопловым аппаратом и за ним необходимо поддерживать,
чтобы выполнялось подобие по числам М и Re? Во сколько раз из­
менится расход воздуха через модель по сравнению с расходом че­
рез натурный аппарат (GM
/GH)?
Решение. Поскольку температура воздуха в натурном аппарате
и модели отличается незначительно, примем в обоих случаях оди­
наковыми значения вязкости воздуха р. газовой постоянной R и
показателя адиабаты к. Из условия подобия следует, что числа Re и
М должны быть одинаковыми для модели и натуры
где с - скорость потока; I - характерный размер, например, высота
сопла; а - скорость звука. Уравнения состояния и выражения для
скорости звука следующие:
103
di = Pi Щ
; di = Pi Щ
; a f = kR T i ; a l = k R T i ■
Безразмерные масштабы пересчета параметров модели натуры
ki = h / l i ’
К
к д = di ! 6 г ;
= w i / w i ’ k m = m i >m i ;
Тогда
условие
кд = ° i /<k>i ;
кр =
Pi I Pi ;
ka = a i t a i ■
подобия
можно
представить
kwklkp = 1’ kw = ka ’ a уравнения состояния кд =кркт;
в
виде:
к2 =кт-
Масштабы искомых величин выразим через известные мас­
штабы ki = 2,5 и кт = T J T 0M = 700/500 = 1,4 и получим
к д = yf^T ! к1 =
= 0,473 . Коэффициент пересчета массо­
вого расхода найдем из уравнения неразрывности
к т = / У ? Wi / ( P i 1? Wi ) = k f k p
= 2>5 '
Искомые величины
дп = дц /к р = 4,65 • 105 / a;
dVl = 6ц 1кр = 2,11 • 105 I а;
<Тм/<Тн=1/^т=0,4
104
Глава 7. МОДЕЛИ ТУРБУЛЕНТНОСТИ
7.1. Механизм потери устойчивости ламинарного течения
Разобьем ламинарный поток, текущий около стенки на беско­
нечно тонкие слои и представим, что скорость от слоя к слою из­
меняется ступенчато (рис. 7.1). Пусть изменение скорости АС от
«медленного» слоя М к «быстрому» Б пропорционально скорости:
невозмущенного потока АС = кС. Поверхность соприкосновения
слоев, на которой скорость изменяется скачкообразно, называется
поверхностью тангенциального разрыва скорости. Устойчивость
ламинарного режима течения определяется устойчивостью этой
поверхности.
Пусть случайное возмущение Ар искривило поверхность тан­
генциального разрыва скорости. В сечениях 2 и 4, из-за уменьше­
ния площади, скорость в струйке Б возрастет, а давление станет
меньше давления в слое М. В сечении 3 давление в слое Б повы­
сится. Так возникнут силы избыточного давления Ар, направлен­
ные перпендикулярно к вектору скорости невозмущенного движе­
ния жидкости, усиливающие случайное возмущение.
IV
V A T 'R 'V ' Ж
>2
3
V
4
Рис. 7.1. Потеря устойчивости ламинарного течения: а - случайное возму­
щение; б - развитие случайного возмущения; в - турбулентное движение
Итак, случайные возмущения ламинарного течения Ар приво­
дят к возникновению сил инерции, усиливающих эти возмущения 105
встречные движения масс жидкости поперек потока. Силы трения
препятствуют развитию возмущений, то есть способствуют сохра­
нению ламинарного течения. Ламинарный режим или поверхности
раздела между слоями устойчивы, когда силы трения намного пре­
вышают силы инерции, то есть при небольших значениях чисел
Рейнольдса. Если силы инерции существенно превышают силы
трения, то есть при больших значениях чисел Re, ламинарный ре­
жим неустойчив и при наличии случайного возмущения Ар перехо­
дит в турбулентный. В этом случае случайное возмущение усили­
вается, вплоть до полного разрыва поверхности между слоями, ко­
гда конечные объемы жидкости самых различных размеров хаоти­
чески перебрасываются из одного слоя в другой, обмениваясь ве­
ществом, количеством движения и теплотой. Траектории частиц
жидкости при турбулентном движении не определяются стенками
канала, а чрезвычайно перепутаны и извилисты. Конечные объемы,
участвующие в турбулентном перемешивании, называются молями
жидкости.
Необходимые и достаточные условия возникновения устойчи­
вого (развитого) турбулентного течения:
1. Градиент скорости дС/ду > 0.
2. Наличие случайных возмущений в потоке Ар.
3. Превышение сил инерции над силами вязкости, то есть
Re > ReKp.
7.2. Пульсационное и осредненное движение потока
Безынерционные измерения скорости с помощью термоане­
мометра в фиксированной точке турбулентного движения показы­
вают, что скорость не остается неизменной во времени, а непре­
рывно и с большой частотой (5...105 Гц) хаотически изменяется или
пульсирует по величине и направлению около некоторого среднего
значения (рис. 7.2). Пульсации скорости являются результатом хао­
тического пульсационного движения молей жидкости. Это движе­
ние вызывает аналогичные пульсации всех параметров потока 106
давления, температуры; в сжимаемой жидкости - плотности, в не­
однородной - концентрации. Эти пульсации можно представить
аналогично пульсациям скорости. Пульсации параметров являются
самым характерным свойством турбулентного течения.
и
о
tg
t
Рис. 7.2. Истинная, пульсационная и осредненная скорости
Ламинарное течение сплошной среды может быть как неустановившимся, так и установившимся. Турбулентное течение сплош­
ной среды является принципиально неустановившимся хаотиче­
ским течением. Система основных дифференциальных уравнений,
описывающая распределение истинных или мгновенных значений
и, v, w, р, /, р в потоке, справедлива как для ламинарного, так и
для турбулентного течений. Для многих случаев ламинарного те­
чения существуют методы интегрирования этих уравнений. Турбу­
лентное движение настолько сложно, что пока не удается даже за­
писать условия однозначности ни для одной из задач и, следова­
тельно, проинтегрировать основные дифференциальные уравнения
и определить поля истинных параметров. Для решения большинст­
ва практических задач нет необходимости изучать изменение ис­
тинных параметров жидкости в турбулентных течениях. В совре­
менных теориях турбулентное течение представляется как хаоти­
107
ческое движение молей жидкости, наложенное на главное направ­
ленное движение жидкости с некоторой средней скоростью и сред­
ними параметрами. При исследовании турбулентных течений в
большинстве случаев изучается изменение этих средних парамет­
ров, представляющих для практики наибольший интерес. В этом
изучении существенная роль отводится эксперименту и теории по­
добия.
Разложим турбулентное течение на осредненное по времени и
пульсационное. Обозначим истинное значение составляющей ско­
рости в точке А в момент t, через и , осредненное во времени - через
//. а пульсационную составляющую - через и' (см. рис. 7.2). Вводя
аналогичные обозначения для других параметров, получим
и = й + и ;
v = v + V; ю=ю + с о ',
р = р + р '; Т = Т + Т '; р = р + р'.
Осреднение во времени в заданной точке пространства произ­
водится следующим образом:
_ 1
udt; р = — j pdt ;
'i 'о
'1 'о
'
1
и =— |
in i \
Турбулентное течение называется к е а з и у с т а н о в и в ш и м с я или
у с т а н о в и в ш и м с я по о с р е д н е н н ы м п а р а м е т р а м , если эти параметры
не изменяются во времени в любой точке турбулентного течения.
Мы будем рассматривать только квазиустановившиеся турбулент­
ные течения. В этом случае турбулентное течение может рассмат­
риваться как «слоистое» со своей постоянной средней скоростью в
каждом слое. Средние значения скорости, давления и температуры
в заданной точке такого течения измеряются датчиками, обладаю­
щими достаточной инерционностью. Минимальная величина ин­
тервала осреднения tj в формуле (7.1) такова, что при его увеличе­
нии значение осредняемой величины не изменяется. Если для ха­
рактеристики турбулентного течения указываются определенные
108
значения пульсационных скоростей и', v' и’ то под этим понима­
ются среднеквадратичные значения этих величин, например
Обычно пульсации составляют сотые доли от среднего значе­
ния скорости, но влияние их на осредненное течение очень велико.
Оно проявляется как бы в увеличении вязкости осредненного дви­
жения по сравнению с молекулярной вязкостью. Эта дополнитель­
ная или кажущаяся вязкость (кажущиеся турбулентные напряже­
ния) являются основными понятиями всех современных теорий
турбулентности. Термин «кажущиеся» отражает инерционно­
условный характер турбулентных напряжений.
В дальнейшем будем употреблять следующие формулы ос­
реднения параметров во времени (для примера взяты параметры и
и у):
й = м; и + v = й + v; z7v = м + v;
(
ш
/) =
0;
(7.2)
— = — ; J udt = J udt.
дt
дt
Однако осредненные значения произведений пульсационных
составляющих могут быть не равны нулю
2
В этом случае между пульсациями существует корреляция
(связь). Именно наличие корреляции между пульсациями приводит
к дополнительной вязкости в турбулентном потоке.
7.3. Дополнительные (кажущиеся) турбулентные напряжения
Задача состоит в получении формул для определения допол­
нительных турбулентных напряжений и установлении зависимости
их от осредненных параметров турбулентного течения, а также в
составлении системы дифференциальных уравнений, которым
109
удовлетворяли бы осредненные параметры и для которых возмож­
но составить условия однозначности.
Рассмотрим квазиустановившееся турбулентное движение не­
сжимаемой вязкой жидкости при отсутствии массовых сил. Полная
система уравнений в этом случае состоит из уравнений неразрыв­
ности и Навье-Стокса. Из уравнений Навье-Стокса исключим рав­
ные нулю массовые силы (X = Y = Z = 0) и члены, учитывающие
сжимаемость жидкости (div с = 0). Левые части этих уравнений
преобразуем с помощью уравнения неразрывности и получим
Эt
дх
ду
dz
дх
дt
дх
ду
dz
ду
дt
дх
ду
dz
dz
Подставим в уравнения неразрывности и Эйлера вместо дав­
ления и компоненты скорости их выражения через осредненные
значения и пульсации и осредним по времени каждый член. Осред­
нение уравнения неразрывности с учетом ди'/дх = dv'/ду = да>'/dz
показывает, что
ди Iд х + dv /д у + дСО / dz = 0 ,
и уравнению неразрывности турбулентного течения несжимаемой
жидкости удовлетворяют истинные, осредненные и пульсационные
компоненты скорости. Осреднение членов уравнений движения,
-2
квадратичных относительно осредненных скоростей типа и , u v
не изменит этих членов, так как в соответствии с (7.2) и2=П2, uv.
Осреднение членов, линейных относительно пульсаций типа
а также
110
членов
смешанного
типа
uu , uv
и т. д. даст нули. Члены, квадратичные относительно
пульсаций и 2, u v и т. д., после осреднения останутся в виде вы­
ражений и '2, uv и т. д. Произведя эти осреднения, преобразовав
левые части уравнений и перенеся члены, квадратичные относи­
тельно пульсаций, в правые части, получим дифференциальные
уравнения движения для средних параметров квазиустановившегося турбулентного течения несжимаемой жидкости, которые назы­
ваются уравнениями Рейнольдса.
ди
Р
дй2
-Р
Р
ди
du'v
+
Эх
ду
dv
dv
— + V—
Эх
ду
+
Эх
dz
+
dv)
со--- =
dzy
ди'2
dv'co'
ду
dz
------ + —
dp
ду
X
дед
д
др
_
+ V — + со— CO = ------ + иАсоЭх
dz /
dz
ду
—
Эи со'
-Р
Эх
дисо'
Эсо
Р
Эр
+
Эuv
-Р
дйл
— + V— + со--- =
Эх
dz j
ду
Эх
dv'co'
дсо'2
ду
dz
+ ----- - + —
Уравнения Рейнольдса отличаются от уравнений На­
вье-Стокса тем, что все соответственные члены в них написаны для
осредненных параметров, поэтому для квазиустановившегося тур­
булентного течения члены Э.../Эt отсутствуют. Наиболее важное
отличие состоит в том, что уравнения содержат дополнительные
члены, обусловленные турбулентными пульсациями. На основании
сопоставления уравнений заключаем, что дополнительные члены в
111
уравнении Рейнольдса представляют суммы проекций на оси х, у, z
дополнительных или кажущихся турбулентных напряжений, ко­
торые можно записать в виде таблицы
//
/ /
/
p u v ри со
^х
/ /
/2
/ /
/
ри v p v p v со — тху
/ /
/ /
/2
/
ри со p v со рсо
тху
ри
/2
/
/
Txz
/ /
а У Tyz
/
/
тху ^ z
тх у
где с'х = —р и ' 2; (7у = —p v ' 2; (j'z = —p (Q 2 - нормальные дополни­
тельные напряжения, обусловленные пульсационным движением,
действующие на площадки, нормальные к осям х, у, z;
т'Ху = —p u v '= ТуХ и т. д. - касательные дополнительные напряже­
ния, парные из которых, по аналогии с обычными, равны между
собой. Аналогично может быть получено дифференциальное урав­
нение энергии для осредненного турбулентного течения.
Система уравнений содержит шесть новых неизвестных до­
полнительных напряжений и, следовательно, не замкнута. Совре­
менные теории турбулентности предназначены для описания меха­
низма турбулентных течений, указания путей управления ими и
получения выражений дополнительных напряжений через компо­
ненты осредненной скорости и, v, (О для того, чтобы замкнуть сис­
тему.
7.4. Полуэмпирическая теория пути перемешивания
Турбулентные течения происходят не только в трубах, но и в
пограничном слое при внешнем обтекании тел, в струйных течени­
ях в неограниченном стенками пространстве (струя отработавших
газов реактивного двигателя в атмосфере). Каждое из этих течений
имеет свою специфику и свои закономерности.
Полуэмпирические теории турбулентности основаны на экс­
периментальных данных. Расчетные формулы обязательно содер­
112
жат некоторое число экспериментальных констант, определяемых
не свойствами жидкостей, а особенностями данного вида тур­
булентного течения. Поэтому в настоящее время нет универсаль­
ной теории турбулентности. Более строгие статистические теории
турбулентности, основанные на законах статистической физики,
пока еще далеки от применения в технике. Наибольшее распро­
странение в настоящее время имеет теория пути перемешивания,
предложенная Прандтлем в 1925 г. В теории пути перемешивания
хаотическое пульсационное движение молей как капельной жидко­
сти, так и газов, наложенное на осредненное течение, уподобляется
тепловому хаотическому движению молекул газа. Поэтому харак­
теристики этих двух движений схожи по смыслу и названию. В ка­
честве основного постулата в теории пути перемешивания прини­
мается, что моли жидкости, совершающие пульсации, на опреде­
ленном расстоянии /, названном путем перемешивания, сохраняют
свою индивидуальность, то есть осредненное количество движе­
ния, скорость пульсации, температуру, концентрацию избыточного
элемента и т. д., и лишь пройдя это расстояние смешиваются с ок­
ружающей средой (теряют индивидуальность), привнося в нее тем
самым пульсации скорости, температуры, концентрации и т.д.
Предполагается, что путь перемешивания равен также масштабу
турбулентности, т.е. характерному размеру пульсирующего моля.
В турбулентном потоке имеется широкий спектр масштабов турбу­
лентности от самых крупных, соизмеримых с поперечным разме­
ром канала, до самых мелких, приближающихся к молекулярному
уровню. Отсюда следует, что крупные моли пульсируют на боль­
шие расстояния, мелкие - на меньшие. Если для турбулентного те­
чения называется определенная величина пути перемешивания, то
под этим понимают его среднеквадратическое значение. Аналогом
пути перемешивания является путь свободного пробега молекул,
аналогом пульсационной составляющей скорости - скорость тепло­
вого хаотического движения молекул газа.
113
Степенью турбулентности £т, или интенсивностью турбу­
лентности, называется отношение средней пульсационной состав­
ляющей к среднемассовой скорости потока. Изотропной турбу­
лентностью называется турбулентное течение, в котором средние
пульсационные скорости одинаковы во всех направлениях
и
/2
/2
/2
= V = со .
Для изотропной турбулентности е =
Для неизотропной турбулентности
~ { u '2 + V 2 + 0 )'2 ^
£ =
с
Выраж ение пульсационных составляющих через осреднен­
ные скорости. Рассмотрим наиболее простое плоско-параллельное
квазиустановившееся турбулентное течение около стенки канала
с прямоугольным сечением.
В этом случае й = й ( у ), v = б) = 0, v = v , со = й/ и из каса­
тельных напряжений рассмотрим только одно
Т'ух = ~ P V'U'
а
Рис. 7.3. Иллюстрация к теории пути перемешивания
Пусть моль жидкости совершает пульсацию из слоя Б в слой
М на расстояние Ay = I со скоростью v'. Тогда за время dt через
площадку dS пройдет масса жидкости dm = р v'dS dt. При этом
114
моль вызовет в слое М продольную положительную пульсацию
скорости, равную разности скоростей в слоях Б и М, которая, как
предполагается, по абсолютной величине равна поперечной пульсационной скорости
, \
_ du
_
(Ш
dU
и = v \= и + — А у -и = А у — = /— .
dy
dy
dy
Так, в теории Прандтля пульсационные составляющие скоро­
сти выражаются через осредненную скорость и путь перемешива­
ния. В последнем уравнении знаки пропорциональности заменены
знаками равенства в предположении, что все коэффициенты про­
порциональности учтены в величине пути перемешивания.
Физический смысл дополнительного касательного напря­
жения. При пульсации моль жидкости переносит из слоя Б в слой
М через площадку dS избыточное количество движений
и dm = p v u d S d t . Вследствие этого, на площадку dS будет дей­
ствовать положительная касательная сила турбулентного трения Тт
dS, импульс которой за время dt равен перенесенному количеству
движения, т. е. xdSdt - pv'u'dSdt. После сокращения и осреднения во
времени получим искомое дополнительное напряжение, обуслов­
ленное турбулентным перемешиванием
Tj = pvu .
Положительный знак Ттопределен положительным знаком пе­
реносимого пульсацией избыточного направленного количества
движения из верхнего слоя Б в нижний М при заданном du/dy>0.
Для определения знака f rx в уравнениях Рейнольдса необходимо
учитывать знак осредненного произведения V и , который в рас­
сматриваемых условиях отрицателен, так как отрицательная V вы­
зывает положительную и'. Значит, между v' и и' существует корре­
ляция, поэтому их осредненное произведение не равно нулю и от­
рицательно v u < 0 , т.е. турбулентное касательное напряжение
115
fy X = - p v 'u
такой
т
же
в этом случае также положительно:
знак,
как
и
напряжение
т'ух=Тт
и имеет
молекулярного
трения
= рсШ. / dy ■
Подставим значения и 'и v', получим формулу Прандтля
ТуТ
pi
\dy j
имеющую при исследовании турбулентных течений такое же зна­
чение, как формула Ньютона
Т
=
p d u
/
d y
при исследовании ла­
минарных течений.
При изменении знака
d ll
/ d y должен изменяться и знак каса­
тельного напряжения. Чтобы учесть это, формулу записывают сле­
дующим образом:
тт = р Г
—р т-
где рт - коэффициент турбулентной вязкости, Н-с/м2, он вводится
по аналогии с динамическим коэффициентом вязкости.
Коэффициент турбулентной вязкости
р т= p lv = p V
а кажущийся кинематический коэффициент вязкости
vT=p7 !p=lv=l2
Для объяснения этого явления на рис. 7.4 схематично показа­
но, что при пульсации моль переносит количество движения на
расстояние I между центрами тяжести моля в начале и в конце
пульсаций независимо от его вращения. При этом скалярные суб­
станции - тепло и примесь - из-за вращения моля, переносятся на
большее расстояние //. Вращение моля при пульсации является до­
полнительным механизмом переноса скалярных субстанций, то
116
есть механизм турбулентного переноса количества движения и
скалярных субстанций похож, но неодинаков.
Рис. 7.4. Иллюстрация механизма турбулентного переноса
Твердые поверхности в турбулентных течениях вызывают
снижение размеров молей и ограничивают их вращение и описан­
ный эффект ослабляется.
Диссипация энергии в турбулентных течениях. Энергия
направленного осредненного движения в результате наличия гра­
диента скорости du I dy ф 0 непрерывно переходит в наиболее
крупные моли жидкости, вызывающие появление кажущихся тур­
булентных напряжений. Вследствие неустойчивости движения не­
прерывно возникают все меньшие и меньшие турбулентные обра­
зования. Для самых малых из них числа Рейнольдса R e = v 'l / v
оказываются малы, а силы молекулярного трения велики. Именно
на этом уровне масштабов, близких к молекулярным, энергия дви­
жения преобразовывается в теплоту, то есть происходит диссипа­
ция энергии главного движения. Как показывает приведенная оцен­
ка, диссипация энергии в турбулентном течении больше, чем в ла­
минарном. Турбулентные течения необходимо организовывать, ко­
гда требуется интенсифицировать процессы переноса, например
смешение топлива с воздухом, химическую реакцию (реакцию го­
рения в камерах сгорания двигателей), охлаждение раскаленных
поверхностей жидкостью или передачу тепла от жидкости к твер­
дым телам. Многие процессы в двигателях были бы неосуществи­
мы при ламинарных течениях. Наоборот, течение следует ламинизировать, когда необходимо предотвратить смешение различных
117
сред, текущих рядом, уменьшить теплообмен между жидкостью и
твердым телом, уменьшить гидравлические потери при течении
жидкости в трубах.
118
Глава 8. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
8.1. Анализ уравнений движения жидкости
и методов их решения
Механика жидкости и газа основана на справедливости утвер­
ждений классической механики Ньютона, термодинамики и гипо­
тезы сплошности.
Первое утверждение предполагает, что изучаются движения
со скоростями, малыми по сравнению со скоростью света, и рас­
сматриваются макроскопические объекты, размеры которых суще­
ственно превосходят размеры микромира.
Второе утверждение предполагает, что в окрестности каждой
точки жидкость находится в состоянии термодинамического рав­
новесия или близком к нему, вследствие чего можно пользоваться
термодинамическими законами.
И наконец, третье утверждение предполагает замену реальной
жидкости (газа) с её дискретным молекулярным строением моде­
лью сплошного распределения вещества по рассматриваемому объ­
ему. Согласно гипотезе сплошности жидкость моделируется не­
прерывной сплошной средой. С математической точки зрения это
означает, что функции, характеризующие состояние среды, должны
быть достаточно гладкими, т.е. непрерывными и дифференцируе­
мы в пространстве и времени. Нарушение непрерывности допуска­
ется лишь на отдельных линиях или поверхностях. Гипотеза
сплошности объединяет жидкости и газы в единую категорию те­
кучих легко деформируемых сред.
Если в механике твердого тела рассматриваются как сосредо­
точенные, так и распределенные силы, то в жидкости имеют место
только распределённые силы. Приложение к жидкости сосредото­
ченных сил ведет к ее разрыву.
119
Для характеристики массовых сил вводится вектор напряже­
ния массовых сил J, имеющий размерность ускорения. Разлагая
вектор./ по координатным осям (ортам), получаем:
J —iX+ j~y + kZ,
где X, У, Z - проекции напряжения массовых сил на оси координат
(единичные массовые силы), а /, /, к - единичные орты.
При рассмотрении поверхностных сил вводится вектор на­
пряжения поверхностной силы в точке жидкости р п, численно рав­
ный давлению.
В общем случае р„ зависит не только от положения точки на
поверхности (координат х, v, z) и времени /. но и от ориентации в
пространстве площадки AS, т.е.
Рис. 7.5. Элементарный объем
Следовательно, напряжение р„. вообще говоря, не является
обычным вектором, так как может принимать различные значения
в зависимости от положения площадки. Если зафиксировать ее по­
ложение, то р„ будет обычным вектором, который можно разло­
жить на составляющие по координатным осям. Пусть, например,
выбрана площадка, перпендикулярная оси Ох. Вектор напряжения
Рп = Рх, в общем случае не совпадает с направлением нормали п (в
120
данном случае с направлением оси Ох) и может быть разложен на
тхл составляющие /у
нормальную и касательные
ktxz
/<х
j z xy +
. Второй индекс у касательных напряжений указывает ось, в
направлении которой проецируется напряжение т.
Располагая площадки перпендикулярно к осям у и х , получим
еще два разложения напряжения:
Ру
Pz
Пух +jGy
r tz x
+fiz y
НуKOz.
При произвольном расположении площадки с внешней норма­
лью п вектор р п, может быть выражен через векторы /у. р,:. р у сле­
дующим соотношением:
р п= прпп=p xcos(nx) + p y cos(ny) + p zcos(nz)
Проецируя р п на координатные оси, получаем
Рпк = o xcos (пх) + Tyxcos(«y) + TzxCOS{nz),
Рпу = TxyCOS(«x)+ CyCOS(«y)+TzyCOS(«z),
Pnz =
T zx C O S (h x )
+ Tyzcos(«y) + c zcos (nz).
Физическую величину, характеризуемую в данной точке век­
тором р п, который принимает различные значения в зависимости от
ориентации площадки, называют тензором. Таким образом, по­
верхностное напряжение определяется девятью скалярными ве­
личинами с х, о у, о,, т ху, Hz- тух, T yz, T zx, ^zy- Тензор напряжений
в произвольной точке пространства обладает свойством симметрии
(теорема Коши о взаимности касательных напряжений), то есть
Ну
T vz. Tzx
Т zx- Tzy
Tyz-
Следовательно, поверхностное напряжение определяется не
девятью, а шестью скалярными величинами.
Возникновение в жидкости касательных напряжений обуслов­
лено ее вязкостью и движением (относительным сдвигом).
121
В неподвижной жидкости, а также в движущейся жидкости,
лишенной вязкости (идеальная жидкость), касательные напряжения
равны нулю (тху = Tyz = Tzx = 0) и поверхностные силы определяются
только нормальными напряжениями G х G у G z- не зависящими от
ориентации площадки, т.е. Gx, Gy, Gz= ~рппВеличину р , равную любому нормальному напряжению с об­
ратным знаком, называют напряжением давления или просто дав­
лением.
Р
Ox
Gy
Gz
Рпп-
Уравнения движения Эйлера для идеальной жидкости в декар­
товой системе координат имеют вид:
II
*1
dt
dcy _
dt
dc2
dt
Эс
Эс
1 dp
+X
P dx
1 dp
( 8 . 1)
+Y
P¥
1 dp
+Z
P dz
дс
Зс, = - i ^ + x
р Эх
l h +Cxl h +C}' l f y +Cz Эг
ъ .
Ъ у-+ Cv
дt
Эс,
dt
+
дх
Эс,
СГ — дх
+
Эс
> = -L * p +y
Эг
■ Эу
Эс,
CV— - + с, К
ду
dz
Р Эу
1 Эр
+
р Эг
( 8 .2 )
Z
Рассматриваемые уравнения (8.1), (8.2) представляют собой
математическое выражение закона сохранения количества движе­
ния в каждой точке жидкого элемента: скорость изменения вектора
количества движения равна сумме всех массовых и поверхностных
сил, действующих на жидкий элемент.
Система дифференциальных уравнений движения Эйлера (8.2)
с частными производными от неизвестных функций (проекции век­
тора скорости сх, су, cz>плотность р и давление р) не замкнута в том
смысле, что число неизвестных функций превышает число уравне122
ний. Кроме того, система уравнений нелинейна: неизвестные
функции и их частные производные входят в виде произведений.
Для замыкания системы воспользуемся дифференциальным
уравнением неразрывности
Эр | д(/хх) | д{рсу) | Э(рсг) _ 0
dt
дх
ду
dz
(8 3)
Это уравнение отражает закон сохранения массы жидкости и
условие сплошности, поэтому имеет место не только для идеаль­
ной, но и для вязкой жидкости.
Для несжимаемой жидкости (р = const) из (8.3) имеем:
dcx , dcy | Эсг _ 0
дх
ду
dz
(8.4)
Уравнения движения несжимаемой жидкости, записанные с
учетом сил вязкости, существенно усложняются по сравнению с
системой уравнений (8.2):
(
Эс, Л
dfx •+ с„ дс
+
— - + С,
Р
dt
Эх
Эу
dz У
Эр
Г Ол2
= Х - — + р
дх
( d с,.
■+
Р
dt
дх
Эс,
(d с
dt
’ " I" ^
др
dy
Л
dzz
hy
с
Эс ^
с — + с — +с —Эх
Эг
dy У
(-> 2
Э Су
Эр
= Y ~ — + ju
Эх
ду
V
Р
л2С у л2
С•Л'
у ^ О
Л ^ О С уЛ
-----------------1"^
Эх
-.2
Э Су
Эу
Эс,
-------------------1" ^
Эу
-.2
Э
Су, Л
Эг
7
(8.5)
У
Эс,
= Z
Эг
-
У
( л2
л2
л2 Л
о cz , о cz , d cz
дх
dz У
dy^
123
Написанные уравнения движения (8.5), называемые уравне­
ниями Навье-Стокса, при использовании оператора Лапласа объе­
диняются в одно векторное уравнение
dc г
г
р — = J - gradp + рАс ■
dt
Для математической формулировки задачи уравнения Эйлера
и Навье-Стокса необходимо дополнить уравнением неразрывности
и другими зависимостями. Для решения конкретных задач необхо­
димо определить начальные и граничные условия. Для несжимае­
мой вязкой жидкости граничные условия вытекают из гипотезы
прилипания жидкости к обтекаемой поверхности, согласно которой
как нормальная, так и тангенциальная составляющие скорости на
поверхности обтекаемого тела обращаются в ноль. Опыты показы­
вают, что эта гипотеза хорошо соответствует действительности и
нарушается только при обтекании твердых поверхностей сильно
разреженными газами.
Для однородной жидкости при отсутствии свободной поверх­
ности массовые силы уравновешиваются гидростатической подъ­
ёмной силой и, если под давлением р понимать разницу между
действительным давлением и давлением в состоянии покоя, эти
силы выпадают из уравнений движения. Тогда имеем:
dc
г
р — = -gradp + рА с.
dt
Дифференциальные уравнения движения Навье-Стокса для
вязкой несжимаемой жидкости с постоянным коэффициентом вяз­
кости содержат те же зависимые переменные Эйлера: сх, су, cz, р,
которые входят в дифференциальные уравнения для идеальной не­
сжимаемой жидкости. Различие между этими уравнениями заклю­
чается только в том, что в правых частях уравнений системы поя­
вилось дополнительное слагаемое, равное произведению динами­
124
ческого коэффициента вязкости р на оператор Лапласа от соответ­
ственной проекции вектора скорости.
Таким образом, введение вязкости привело к повышению по­
рядка частных производных от проекций вектора скорости, а также
к изменению граничных условий. Если для идеальной жидкости
достаточно было на обтекаемой твердой поверхности условие не­
проницаемости и безотрывности частиц жидкости, то для вязкой
несжимаемой жидкости необходимо условие прилипания частиц
жидкости к непроницаемой твердой поверхности, т.е. обращение в
нуль полной скорости.
На основе выше изложенного следует, что уравнения движе­
ния Эйлера и Навье-Стокса в общем случае проинтегрировать не
удается.
Однако при некоторых дополнительных условиях такое ин­
тегрирование оказывается возможным. Так, простейшие задачи о
течении идеальной жидкости эффективно решаются с помощью
методов теории функций комплексного переменного. Точные ре­
шения уравнений Навье-Стокса для некоторых частных случаев
тоже имеются. Эти решения относятся к задачам, где все инерци­
онные члены в левой части уравнений исчезают. В частности, ука­
занным свойством обладают так называемые слоистые течения,
признаком которых является наличие только одной составляющей
скорости. Если этой составляющей является скорость сх, а состав­
ляющие су и cz равны нулю, то из уравнения неразрывности следу­
_ о и, следовательно, сх от координаты х не зависит. Та-
ет, что
дх
ким образом, для слоистых течений имеем
Сх = Cx(yj ,
Су = 0 , c z = 0 , ^ . = о , —
ду
= О
dz
и вместо полной нелинейной системы уравнений (8.2) получим для
установившегося (стационарного) течения линейное дифференци­
альное уравнение относительно скорости cx(yJ
125
Заметим, что, поскольку в соотношении слева стоит функция
координаты х, а справа - функция координат у и z, то равенство
указанных функций возможно только при условии постоянства
dp
градиента давления, т.е. — = c o n s t.
dz
С использованием уравнения получены точные решения урав­
нений движения Навье-Стокса для случаев: плоскопараллельного
течения в канале, ограниченном двумя параллельными плоскими
стенками; течения Куэтта и слоистого движения несжимаемой
жидкости в трубах. В первом случае течения скорость сх не зависит
от координаты z. Течение Куэтта имеет место между двумя парал­
лельными пластинами, из которых одна движется с постоянной
скоростью сх0. Этот случай отличается от предыдущего только гра­
ничными условиями. Слоистое движение несжимаемой жидкости в
трубах обладает осевой симметрией. При этом решение задачи уп­
рощается, если использовать уравнения движения Навье-Стокса,
записанные в цилиндрических координатах.
Применение уравнений движения Навье-Стокса к другим раз­
нообразным случаям течений вязкой несжимаемой жидкости соз­
давало большие трудности из-за их нелинейности. Это вынуждало
многих исследователей изыскивать возможности применения не
полных точных уравнений движения, а соответственно упрощен­
ных приближенных дифференциальных уравнений.
Например, для некоторых задач инерционные силы могут
быть очень малыми по сравнению с силами вязкости. Отбрасывая в
уравнениях все члены в левой части, вместо нелинейной системы
приходим к неоднородным линейным уравнениям Пуассона, реше­
ния которых известны. Этот путь линеаризации наиболее прост, но
применим к очень медленным ползущим течениям.
Другой пример упрощения уравнений относится к течениям
при больших числах Рейнольдса. В этом случае можно воспользо­
ваться методом сравнительных оценок членов, входящих в уравне­
ния Навье-Стокса, и на их основе попытаться упростить исходную
систему, опустив члены, которые имеют относительно малый по­
рядок. Подобное упрощение было предложено Прандтлем в 1904 г.
для области течения, расположенной непосредственно вблизи об­
текаемой поверхности. Это послужило основой для создания и
дальнейшего развития теории пограничного слоя. Дифференциаль­
ные уравнения пограничного слоя следуют из уравнений НавьеСтокса.
Турбулентное движение является наиболее распространенной
формой движения жидкостей и газов в природе и в технических
устройствах. Однако достаточно универсальных и обоснованных
методов расчета турбулентных течений не существует, несмотря на
уже более чем вековую историю развития исследований турбу­
лентности.
Полуэмпирические теории турбулентности применяются
главным образом для течений типа пограничного слоя (пристеноч­
ных и струйных). Задачи со сложной внутренней структурой (про­
странственные течения, отрывные течения и др.) с помощью полуэмпирических теорий практически не рассчитываются. Это объяс­
няется следующими причинами: сложностью математического
описания механизма самого явления, ограниченностью возможно­
стей традиционного направления в теории турбулентности, а также
отсутствием необходимых детальных экспериментальных данных.
Очевидно, необходимы новые подходы при построении теории
турбулентности.
В настоящее время существуют две точки зрения математиче­
ского описания развитого турбулентного течения. Согласно первой
из них, базирующейся на основополагающих идеях О. Рейнольдса,
за основу принимаются уравнения Навье-Стокса, видоизмененные
соответствующим образом (уравнения движения Рейнольдса) и до­
127
полненные недостающими соотношениями турбулентного движе­
ния. Эта точка зрения является доминирующей. Вторая точка зре­
ния заключается в том, что турбулентное движение является веро­
ятностным процессом, а следовательно, и уравнения, описывающие
его, должны составляться на статистической основе.
Краткий анализ на примере уравнений движения жидкости по­
зволяет отметить, что при решении сложных нелинейных задач де­
формируемой сплошной среды классические методы математиче­
ского анализа непрерывных функций для получения количествен­
ной информации оказываются в большинстве своем непригодны­
ми.
8.2. Численный эксперимент
За последние десятилетия наблюдается новый подход к реше­
нию задач (уравнений движения Навье-Стокса и Рейнольдса) с по­
мощью численных методов, базирующихся на функциях дискрет­
ного элемента. Использование современных ЭВМ дает большие
возможности для решения нелинейных задач, прямого численного
моделирования физических явлений, а также численного экспери­
мента.
Элементы математического моделирования использовались с
самого начала появления точных наук, и не случайно, некоторые
методы носят имена ученых Ньютона и Эйлера, а слово «алгоритм»
происходит от имени средневекового арабского ученого АльХорезми. Второе «рождение» этой методологии пришлось на конец
40-х-начало 50-х годов XX века и было обусловлено по крайней
мере двумя причинами. Первая из них - появление ЭВМ (компью­
теров), хотя и скромных по нынешним меркам, но тем не менее из­
бавивших от огромной по объему рутинной вычислительной рабо­
ты. Вторая - выполнение национальных программ СССР и США
по созданию ракетно-ядерного щита, которые не могли быть реали­
зованы традиционными методами. Математическое моделирование
справилось с этой задачей: ядерные взрывы и полеты ракет и спут128
ников были предварительно «осуществлены» на ЭВМ с помощью
математических моделей и лишь затем претворены на практике.
Технологические, экологические, экономические и иные сис­
темы, изучаемые современной наукой, больше не поддаются ис­
следованию (в нужной полноте и точности) обычными теоретиче­
скими методами. Прямой натуральный эксперимент над ними до­
лог, дорог, часто либо опасен, либо попросту невозможен, так как
многие из этих систем существуют в единственном экземпляре.
Цена ошибок и просчетов в обращении с ними недопустимо высо­
ка.
В настоящее время математическое моделирование послужило
основой нового способа исследования сложных процессов путём
численного эксперимента, т.е. исследования реальных процессов
средствами вычислительной математики и вычислительной техни­
ки. Появление высокопроизводительных ЭВМ и разработка эффек­
тивных численных методов решения задач создали предпосылки
для реализации численного моделирования сложных течений жид­
кости и газа, в том числе и явлений турбулентности.
Численный эксперимент в сочетании с физическим открывает
новые возможности в познании явлений природы, установлении
роли в них различных факторов, а также позволяет более точно и
глубоко определить рамки применимости схем и математических
моделей.
Сама постановка вопроса о математическом моделировании
какого-либо объекта (процесса, явления) порождает определённый
план действий. Его можно условно разбить на три этапа: модель алгоритм - программа.
На первом этапе, исходя из физической модели исследуемого
объекта (процесса, явления), выбирается (или строится) «эквива­
лент» объекта, отражающий в математической форме важнейшие
его свойства - законы, которым он подчиняется, связи, присущие
составляющим его частям, т.е. строится математическая модель.
Математическая модель (или ее фрагменты) исследуется теорети­
129
ческими методами, что позволяет получить важные предваритель­
ные знания об объекте.
Второй этап: построение приближенного (численного) метода
решения задачи, выбор (разработка) алгоритма для реализации мо­
дели на компьютере. Модель представляется в форме, удобной для
применения численных методов, определяется последовательность
вычислительных и логических операций, которые нужно произве­
сти, чтобы найти искомые величины с заданной точностью. Вы­
числительные алгоритмы не должны искажать основные свойства
модели и, следовательно, исходного объекта, должны быть эконо­
мичными и адаптирующимися к особенностям решаемых задач и
используемых компьютеров.
На третьем этапе создаются программы, «переводящие» мо­
дель и алгоритм на доступный компьютеру язык. К ним также
предъявляются требования экономичности и адаптивности. Про­
граммы можно назвать «электронным» эквивалентом изучаемого
объекта, уже пригодным для непосредственного испытания на
компьютере. Третий этап - программирование численного алго­
ритма для ЭВМ.
В численном эксперименте к вышеизложенным трем этапам
добавляются: четвертый - проведение расчетов на ЭВМ; пятый анализ полученных численных результатов и уточнение математи­
ческой модели (исходной физической модели), т.е. качественное ее
исследование. Всё это в совокупности и составляет предмет чис­
ленного эксперимента.
Численное моделирование особенно важно там, где не совсем
ясна физическая картина изучаемого явления, не познан до конца
внутренний механизм взаимодействия. Путем расчетов на ЭВМ
различных вариантов ведется накопление фактов, что дает возмож­
ность в конечном счете произвести отбор наиболее реальных и ве­
роятных ситуаций. Активное использование методов численного
моделирования позволяет резко сократить сроки научных и конст­
рукторских разработок. В тех случаях, когда физический экспери­
130
мент трудно осуществим, математическое моделирование (числен­
ный эксперимент) служит практически единственным инструмен­
том исследования. При теоретических исследованиях возникает
много важных проблем, изучение которых связано с решением сис­
тем нелинейных дифференциальных уравнений в частных произ­
водных или интегральных уравнений, выражающих законы сохра­
нения. При этом во многих задачах приходится иметь дело с раз­
рывными решениями (областями больших градиентов), причем об­
ласть изменения исходных функций настолько широка, что обыч­
ные методы аналитического исследования (линеаризации уравне­
ний, разложение в ряды, выделение малого параметра и т.п.) в об­
щем случае не проходят для получения полного решения уравне­
ний. В таких условиях приходится иметь дело с весьма сложными
математическими моделями, решение которых без привлечения
численных методов невозможно. Таким образом, численный экспе­
римент в механике жидкости и газа приобретает в настоящее время
равные права с традиционным физическим экспериментом.
В зависимости от поставленной задачи по своему назначению
условно различают следующие типы численных экспериментов:
поисковый, оптимизационный, диагностический, имитационный. В
результате проведения поискового вычислительного эксперимента
дается описание наблюдаемых явлений, прогнозируется поведение
исследуемого объекта в тех или иных условиях, возможно и не
достижимых в реальных условиях. Такой тип характерен при про­
ведении теоретических исследований фундаментального направле­
ния. Оптимизационный вычислительный эксперимент своей целью
имеет многовариантность расчетов в рамках фиксированной мате­
матической модели и многомодельность, в результате которых ре­
шается задача оптимизации по уменьшению затрат, облегчению
конструкции, управлению, а также уточнению или выбору матема­
тической модели (исходного объекта). При обработке данных на­
турных экспериментов используется диагностический численный
эксперимент. По дополнительным косвенным измерениям делается
131
вывод о внутренних связях явления или процесса, например опре­
деляются коэффициенты уравнений. При отсутствии математиче­
ских моделей или невозможности ее создания на основе широкого
использования компьютеров проводится имитационное моделиро­
вание.
Следует отметить, что особенностью численного эксперимен­
та является его междисциплинарный характер, так как в его едином
цикле работает и теоретик, и экспериментатор, и прикладной мате­
матик, и программист.
Кажущаяся простота численного эксперимента, однако, таит в
себе значительные трудности, связанные с построением соответст­
вующей математической модели - численного алгоритма решения
задачи и необходимостью обоснования полученных результатов. В
ближайшем будущем не столько мощности ЭВМ, сколько разра­
ботка рациональных моделей и методов решения задач будет опре­
делять эффективность внедрения вычислительного эксперимента в
различные области науки и техники.
8.3. Математическое моделирование
и программное обеспечение
Выбор математической модели сводится к составлению групп
искомых физических величин и заданных, установлению связи ме­
жду ними, т.е. написание уравнений вместе со всей необходимой
информацией (о коэффициентах уравнений, о начальных и гранич­
ных условиях). Математические модели - уравнения могут быть
разными: дифференциальными с частными производными, инте­
гральные или интегрально-дифференциальными. Эти уравнения
обычно выражают законы сохранения основных физических вели­
чин (энергии, количества движения, массы и др.) и, как правило,
являются нелинейными.
Разработка математической модели является делом ответст­
венным и требует большого искусства и опыта от исследователя.
Важно так «сконструировать» приближенную модель, чтобы она
132
достаточно точно отражала характерные свойства рассматриваемо­
го явления: при этом могут быть опущены несущественные и вто­
ростепенные свойства явления, с тем чтобы приближенная матема­
тическая модель была доступна для исследования на данном уров­
не развития вычислительной техники. Кроме того, она должна быть
универсальной, т.е. одной и той же для описания различных физи­
ческих, химических, биологических и т.д. процессов и явлений.
Одно и то же математическое выражение (понятие) может описы­
вать совершенно различные процессы. Так, например, уравнение
Лапласа описывает движение несжимаемой жидкости, электриче­
ское поле вне заряженных тел, стационарное тепловое поле, прогиб
мембраны в теории упругости и т.д.
Для класса моделей - тех, которые сводятся к дифференци­
альным уравнениям, процесс численного моделирования включает
два главных этапа: на первом строятся дискретные аналоги исход­
ных моделей и изучаются их свойства, на втором - строятся дис­
кретные аналоги дифференциального уравнения задачи и входных
данных.
«Конструирование» соответствующей численной модели свя­
зано с рассмотрением следующих вопросов:
- дискретное («структурное») представление среды;
- математическая формулировка задачи;
- построение численного алгоритма и пути его реализации с
учетом его реализации оптимальных требований к ресурсам ЭВМ;
- установление «структурно-асимптотической» устойчивости
решения;
- исследование корректности постановки задачи.
Все численные подходы в механике сплошных сред предпола­
гают переход от непрерывной среды к некоторой ее дискретной
модели (например, эйлеровы и лагранжевые ячейки, «крупные час­
тицы», конечные элементы, дискретные вихри и т.п.). При таком
переходе естественно требовать, чтобы основные свойства физиче­
ского процесса сохранялись. Такими свойствами, прежде всего,
133
являются законы сохранения. Если в классических подходах на
дифференциальном уровне устанавливается связь для «точечных»
объёмов, то приёмы вычислительной математики используют при­
ближенное «структурное» представление уравнений баланса для
указанных элементарных (но конечных) объёмов.
Совокупность разностных уравнений, аппроксимирующих
основные дифференциальные уравнения и дополнительные усло­
вия (краевые и начальные), называется разностной схемой. Основ­
ные понятия и методы составления разностных схем изложены в
теории разностных схем.
Для того чтобы написать разностную схему, необходимо вы­
полнение двух условий:
Е Заменить область непрерывного изменения аргумента об­
ластью дискретного его изменения.
2.
Заменить дифференциальный оператор некоторым разно­
стным оператором, а также сформулировать разностный аналог для
краевых и начальных условий.
Е1ри численном решении задачи невозможно воспроизвести
разностное решение для всех значений аргумента, изменяющегося
внутри некоторой области евклидова пространства. Естественно
поэтому выбрать в этой области некоторое конечное множество
точек и приближенное решение искать только в этих точках. Такое
множество точек называется сеткой. Отдельные точки называют
узлами сетки. Функция, определенная в узлах сетки, называется
сеточной функцией. Таким образом, область непрерывного изме­
нения аргумента заменим сеткой, т.е. областью дискретного изме­
нения аргумента. Иными словами, осуществили аппроксимацию
пространства решений дифференциального уравнения пространст­
вом сеточных функций.
Наиболее естественная дискретизация дифференциального
оператора - замена производных соответствующими конечными
разностями (дискретная аппроксимация производных), при этом
возможно использование шаблонов.
134
После осуществления процедуры выполнения условий и со­
ставления разностной схемы приходят к алгебраической системе
линейных уравнений, которые могут быть вычислены. Таким обра­
зом, задача о численном решении исходного дифференциального
уравнения сводится к вопросу о нахождении решения полученной
алгебраической системы.
Требование универсальности численного алгоритма для реше­
ния класса задач, определяемых заданием типа дифференциального
уравнения, приводит к понятию однородных разностных схем, под
которыми понимаются разностные схемы, вид которых не зависит
ни от выбора конкретной задачи из данного класса, ни от выбора
разностной схемы. Во всех узлах сетки для любой задачи из данно­
го класса разностные уравнения имеют один и тот же вид. Коэф­
фициенты однородной разностной схемы определяются как функ­
ционалы коэффициентов дифференциального уравнения.
Разностные схемы должны отражать в пространстве сеточных
функций основные свойства исходных дифференциальных уравне­
ний. Кроме того, схема должна удовлетворять требованиям разре­
шимости и устойчивости, аппроксимации и, следовательно, точно­
сти определенного порядка; и наконец, численный алгоритм дол­
жен быть экономичным. Экономичность его зависит не только от
схемы, но и от выбора способа решения разностных уравнений и от
выбора сетки. В настоящее время получили распространение ряд
методов получения разностных схем: интегро-интерполяционный,
вариационно-разностные и метод конечных элементов.
Конечно-разностные формы нелинейных дифференциальных
уравнений имеют различный вид в зависимости от выбора числен­
ной модели и методов решения численных алгоритмов.
Программное обеспечение численного эксперимента базиру­
ется на использовании комплексов и пакетов прикладных про­
грамм. Комплекс программ предназначен для решения близких по
своей математической природе задач из одной предметной области.
Он включает в себя библиотеку программных модулей, из которых
135
комплектуются рабочие программы. В комплексах прикладных
программ сборка программ из модулей осуществляется вручную. В
пакетах прикладных программ для сборки используются систем­
ные средства компьютера, что позволяет в значительной степени
автоматизировать этот процесс. Пакеты прикладных программ
можно рассматривать как информационные технологии, которые
позволяют наиболее эффективно использовать накопленный про­
граммный продукт.
В настоящее время на основе использования CAD/CAE/CAM
технологий возможно полноценное и качественное инженерное
обеспечение математического моделирования на всех этапах разра­
ботки новых образцов техники. Задачей высших образовательных
учреждений является освоение этих технологий в процессе обуче­
ния студентов.
Выбор способа расчета определяется стратегией решения об­
щей задачи, поставленной или на уровне лабораторной работы, или
курсового проекта, выпускной дипломной работы. Студенты могут
выполнять задания и расчеты с помощью калькуляторов и графи­
ческих построений, решать задачи с помощью многочисленных
пакетов, носящих название «математика» (например, MATHCAD,
MATHLAB), или использовать готовые пакеты прикладных про­
грамм. В качестве примера, ниже будут рассмотрены некоторые
возможности пакета Ansys, с помощью которого можно решать за­
дачи по механике жидкости и газа (раздел Flotran). Университетские
версии Ansys/Flotran имеет ограничение от 2000 до 16000 узлов, по­
этому приходится ограничиваться главным образом плоскими и осе­
симметричными задачами. Для работы в среде Flotran необходимы
знания в области механики жидкости и газа, основ вычислительных
методов и программирования. Пакет имеет встроенные модули для
многих известных систем CAD.
В результате решения уравнений Навье-Стокса для ламинарно­
го режима течения или уравнения Рейнольдса для турбулентного
режима течения с помощью пакета определяется поле скоростей и
136
поле давлений в области, на основании которых можно получить
некоторые интегральные характеристики, например коэффициент
гидравлических потерь устройства.
Схема применения численных методов при работе в среде па­
кета сводится к некоторой последовательности действий.
Определение имени задания.
1. Выбор раздела в главном меню (в рассматриваемом случае Flotran).
2. Определение типа элемента: плоского или пространственного.
3. Задание геометрии области течения посредством координат,
определяющих точек или прямоугольников (в случае простой гео­
метрии).
4. Соединение введенных точек линиями.
5. Производство сеточного разбиения на границах области и
создание конечно-элементной сетки.
6. Задание граничных условий: величин компонент скоростей
во всех элементах входного сечения и нулевое значение скорости на
стенках.
7. Задание величины давления на входе.
8. Задание свойств жидкости: плотности и вязкости в указанных
единицах измерения.
9. Установка параметров решения в зависимости от возможно­
стей компьютера и требуемой точности (например, ввести число ите­
раций).
10. Ввести команду «Решение» (Solution).
11. По завершению расчетов на экране появляется график, пока­
зывающий изменение компонент скоростей по осям, а также соот­
ветствующие значения давлений. Проводится анализ результатов
расчета. Решение может сходиться при достаточно большом числе
итераций. Большое значение имеет также выбор расчетной области
течения и корректность задания граничных условий.
12. Загрузка результатов последней итерации.
137
13. Просмотр поля скоростей. На экране появляется картина те­
чения.
14. Просмотр полей давления. На экран выводятся изолинии
давлений.
15. Программирование определения интегральных характери­
стик с помощью встроенной в систему вспомогательной программы
или запись результатов для дальнейшей работы.
16. Выход из Ansys.
Схема действий при работе с другим пакетом, например
STAR-CD, будет в деталях отличаться. Однако общий подход, зави­
сящий от структуры задачи, останется без существенных изменений.
STAR-CD является специализированным пакетом для решения
задач механики жидкости и газа. Этот пакет позволяет решать задачи
со свободными поверхностями, фазовыми переходами и многофаз­
ными потоками. Возможно также получить решение для течений
с кавитационными кавернами, проводить численное моделирование
течений с химическими реакциями, в частности процессов горения.
В процессе работы можно проводить изменение области интегриро­
вания и использовать скользящие сетки, с помощью которых легко
определять взаимодействие неподвижных и подвижных объектов.
Рассмотрим пример задачи, решенной посредствам пакета
Ansys, расчет течения жидкости в плоских диффузорах.
Рис. 8.1. Картина линий тока в плоском диффузоре
Течение в плоском диффузоре зависит от двух геометрических
параметров (выбраны угол раскрытия диффузора а и степень рас138
ширения п) и от числа Рейнольдса. Модель диффузора была создана
таким образом, что все эти параметры можно изменять. Расчетная
область была разбита на 40 элементов по горизонтали и на 20 элемен­
тов по вертикали. В ходе вычислений были получены распределения
скоростей и давлений, а также значения гидравлических потерь И и
коэффициентов гидравлического сопротивления £,. Сложность анализа
течения в диффузорных каналах состоит в том; что здесь возможны
две формы течения: безотрывная и отрывная, когда основной поток
не следует вдоль стенки диффузора.
Зависимость коэффициента гидравлического сопротивления
от числа Рейнольдса для двух значений угла раскрытия представле­
на на рис. 8.2.
При некотором значении числа Рейнольдса, подсчитанному по
входному сечению, его величина перестает влиять на значение коэф­
фициента гидравлического сопротивления. На первый план выходят
геометрические параметры диффузора.
t
ото
£
0035
012
0030
0025
0.08
0.020
0015
Ю1 2Ю1 ЗЮ1 КЮ1 5Ю1 6Ю3 Re
\ /
am
Рис. 8.2. Зависимость коэффициента гидравлического сопротивления
от числа Рейнольдса: а -Угол раскрытия 8°; б - угол раскрытия 12°
На рис. 8.3 показано влияние степени расширения диффузора и
угла его раскрытия на отрыв потока в нем. Область ниже кривой со­
ответствует безотрывному течению. Если геометрические параметры
диффузора попадают в зону над кривой, то реализуется отрывной
характер течения. Хорошо видно резкое уменьшение предельной
степени расширения с ростом угла а и асимптотическое увеличе­
ние ее с уменьшением угла. При а < 4° течение при любых степенях
139
расширения становится безотрывным. Разумеется, этот факт не сви­
детельствует об оптимальности таких диффузоров.
Полученные результаты совпадают с исследованиями А.Е. Зарянкина
а
20
15
10
5
О
Ь
п
Рис 8.3. Отрывные и безотрывные диффузоры
140
1
2
3
5
Список использованной литературы
1. Абрамович Г.Н. Прикладная газовая динамика / ГИТТЛ. М., 1953.
2. Сергель О.С. Прикладная гидрогазодинамика. - М.: Маши­
ностроение, 1981.
3. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. - М.: Наука,
1978.
4. Дейч М.Е. Техническая газовая динамика. - М.: Энергоиздат, 1973.
5. Лепешинский И.А. Газодинамика одно- и двухфазных тече­
ний в реактивных двигателях. - М.: Машиностроение, 1970.
6. Ковальнов Н.Н. Основы механики жидкости и газа / УлГТУ.
- Ульяновск, 2002.
7. Башта Т.М. Гидравлика, гидравлические машины и гидрав­
лические приводы. - М.: Машиностроение, 1970.
8. Наталевич А.С., Кленина А.Д. Прикладная гидрогазодина­
мика. Гидравлика
9. Гидравлика: Метод, указания / Сост. А.Д. Кленина, В.А. Ку­
рочкин, А.С. Наталевич, В.Т. Шестаков; Куйбыш. авиац. ин-т. Куйбышев, 1990. - 36 с.
10. Сборник контрольных заданий к лабораторно-практи­
ческим занятиям по гидрогазодинамике. Ч. 1. Гидравлика: Метод,
разработка / Самар, аэрокосм, ун-т; Сост. В.В. Бирюк, А.Д. Клени­
на. - Самара, 1995. - 34 с.
11. Патанкарс С., Сполдинг Д. Тепло и массообмен в погра­
ничных слоях. - М.: Энергия, 1971.
12. Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных
уравнений. - М.: Наука, 1978.
13. Роуч П. Вычислительная гидродинамика. - М.: Мир, 1980.
14. Белоцерковский О.М. Численное моделирование в механи­
ке сплошных сред. - М.: Наука, 1984.
141
15. Численное моделирование турбулентных течений /
В.М. Иевлев - М.: Наука, 1990.
16. Андерсон Д., Таннехил Дж., Плетгер Р. Вычислительная
гидромеханика и теплообмен. Т. 1-2. - М., 1990.
17. Численные решения многомерных задач газовой динамики
/ С.К. Годунов, А.В. Забродин, М.Я. Иванов и др. - М.: Наука,
1976.
142
Приложение А
Лабораторный практикум (физический)
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ № 1
I. К О Н С Т Р У К Ц И Я , П Р И Н Ц И П Р А Б О Т Ы ,
С И С ТЕМ А И ЗМ ЕРЕН И Й ГИ ДРО С ТЕН ДА .
II. Р Е Ж И М Ы Т Е Ч Е Н И Я Ж И Д К О С Т И В Т Р У Б Е
т т
13
18
17
16
Рис. A.I. Схема гидравлического стенда ГС-ЗМ
Основным элементом напорного устройства является ресивер
3, выполненный из нержавеющей стали в виде эллипсоида и уста­
новленный на стойке 1. Достаточно большие размеры ресивера по­
зволяют получить равномерный поток на входе в рабочий участок.
Постоянный напор во время эксперимента поддерживается с по­
143
мощью вентиля 16 подачи воды из водопроводной сети или венти­
ля 15 насоса.
Ресивер имеет выходной патрубок 5, к которому с помощью
уплотнения крепится рабочий участок 8, необходимый для данной
лабораторной работы. Другой конец рабочего участка уплотняется
в патрубке с помощью резиновой манжеты, надвигаемой на рабо­
чий участок механизмом крепления 9.
В напорную магистраль вода поступает из водопроводной се­
ти при открытии вентиля 16, а вентиль 15 должен быть закрытым.
При режиме автономного питания водой от насоса 14 из слив­
ного бака 11 вентиль 15 открывается, а вентиль 16 подачи воды от
сети должен быть закрыт. Общий объем воды в баке 11 гидростен­
да при работе по замкнутой схеме составляет 60 литров.
Расход воды через рабочий участок регулируется вентилем 10
на выходе из рабочего участка 8 и вентилем 16 подачи воды из сети
или вентилем 15 при насосной подаче воды из бака. Во время экс­
перимента с питанием от водопроводной сети вентиль слива воды
10 (основной) должен быть открыт, вентиль слива воды 18 (допол­
нительный) закрыт. При работе гидростенда в автономном режиме
сливные вентили 19 и 18 должны быть закрыты.
Приёмное устройство представляет собой бак 11, связанный
трубопроводом 13 со сливной магистралью.
Измерительные приборы на стенде представлены пьезометри­
ческим щитом 7, на котором смонтированы семь стеклянных одно­
трубных пьезометров высотой 1000 мм. Пьезометрический щит
установлен неподвижно на стойке стенда. Пьезометры соединены с
приёмниками (датчиками) давления гибкими соединительными
трубками 6 с зажимами.
Избыточное давление в ресивере 3 измеряется образцовым
манометром 4.
Расход воды измеряется ротаметром 7. В других модификаци­
ях гидростенда для определения расхода воды используется расхо­
144
домер оригинальной конструкции разработки кафедры теплотехни­
ки и тепловых двигателей СГАУ или счетчик воды.
Гидростенд (электродвигатель насоса) необходимо надежно
заземлить.
Конструктивные особенности ГС-ЗМ
- Малые габариты.
- Быстроразъёмные соединения для удобства и ускорения сме­
ны рабочего участка.
- Наддув пьезометрического щита для удобства регистрации
показаний давления воды на испытуемых участках.
- Измерение объёмного расхода воды с помощью ротаметра.
- Контур с насосом и ёмкостью для работы стенда по замкну­
той схеме.
- Система для введения подкрашенной жидкости в исследуе­
мый поток воды при визуальных наблюдениях.
- Наличие лотка и координатных линеек для исследования сво­
бодных струй воды.
Технические данные гидростенда
Напряжение питания - 220 В
Частота - 5 0 Гц
Мощность электродвигателя насоса - 750 Вт
Максимальный расход воды - 1 кг!с
Напор Н = (0,1...2,0)105Па
Габариты:
длина - 2240 мм
ширина - 800 мм
высота - 1820 мм
масса - 80 кг
Большинство известных учебных гидравлических установок
являются унифицированными по своим расходным и габаритным
145
характеристикам, которые приближены к натурным. Изготовление
гидростенда связано с большими материальными затратами и тре­
бованием достаточно больших площадей учебных помещений.
Универсальный гидравлический стенд ГС-ЗМ является мо­
дификацией стенда, разработанного в Куйбышевском авиационном
институте на кафедре теплотехники и тепловых двигателей совме­
стно с отраслевой научно-исследовательской лабораторией № 9,
защищенного авторским свидетельством № 521488 от 22 марта
1976 года, авторы: А.П. Меркулов, В.Б. Щербак.
Гидростенд прост в управлении, удобен в эксплуатации, по­
зволяет осуществлять быструю смену режимов и объектов иссле­
дования (рабочих участков), что важно при индивидуальной работе
студентов на лабораторно-практических занятиях.
Гидростенд ГС-ЗМ может работать как от водопроводной сети
со сливом в канализацию, так и по собственной замкнутой схеме с
насосной подачей воды из расходного бака и слива в него.
На рис. A.I приведена схема универсального гидравлического
стенда ГС-ЗМ, включающего напорное и приёмное устройства, из­
мерительные приборы и рабочий участок.
Перенастройка гидростенда для проведения очередной лабо­
раторной работы производится сменой рабочего участка 8 (рис.
A.I). Описание рабочих участков гидростенда приводится в мето­
дических указаниях к каждой лабораторной работе.
I. И З М Е Р Е Н И Е П А Р А М Е Т Р О В П О Т О К А Ж И Д К О С Т И
Цель работы - ознакомление с понятиями и единицами изме­
рений основных физических величин жидкости; измерение стати­
ческого давления и давления торможения в поперечном сечении
потока; определение скорости движения в точке потока, определе­
ние средней скорости в сечении потока, измерение расхода.
146
Теоретические основы эксперимента
Давлением в потоке (статическим давлением) р в данной
точке потока жидкости называется предел отношения нормальной
составляющей силы воздействия АРп со стороны окружающей
жидкости к поверхности элемента AS в окрестности данной точки:
АР
р = lim — - •
ЛХ^О Д £
Если нормальные силы Рп распределены непрерывно и рав­
номерно по площади поверхности S элемента жидкости, то плот­
ность распределения их характеризуется средним гидростатиче­
ским давлением:
Р=
РL
S
Рп
Рп
\f
\/
ч
Ч
Ч
Ч
h
, 1
—
>
1
0
А
*
'
7777777777
Ч
S
ч
ч4
ч
ягп Ч 5
w ,w \\
><
dl
Рис. A.I. 1. Схема измерения скорости в центре потока жидкости
Давлением торможения р* называется давление в точке (се­
чении) потока жидкости, скорость которой сведена к нулю. Соот­
ношение между давлением р и давлением торможения р* в точке
потока несжимаемой жидкости определяется из уравнения Бернул­
ли, записанного для горизонтальной элементарной струйки на уча­
стке 1-0 (рис. А.1.1), где происходит процесс торможения жидко147
сти. Участок 1-0 должен быть горизонтальным, чтобы исключить
влияние сил тяжести на процесс торможения жидкости. Поскольку
процесс торможения протекает почти мгновенно, то расстояние
между сечениями 1-1 и 0-0 мало и влиянием вязкости можно пре­
небречь. Тогда
Ро
Pi
С1 ■ *
Р ' с\
— = — + ^ - ’ Ро = P i + — ^ -
р
р
2
2
Сечения 1-1 и 0-0 практически совпадают, поэтому давление
торможения в произвольной точке определим из выражения:
р
* =
р
+
Р ° ,
(1 )
2
где второй член в правой части формулы называется динамиче­
ским давлением (скоростным напором).
Из уравнения (1) следует, что давление торможения в точке
потока несжимаемой жидкости равно сумме статического и дина­
мического давления в той же точке. В покоящейся жидкости разли­
чия между р* и р нет, так как при с = 0;р* = р. В случае газа (сжи­
маемая жидкость) формула (1) неточна, так как в ней не учитывает­
ся увеличение плотности газа в процессе торможения.
Под влиянием сил вязкости жидкости скорость её в различных
точках одного и того же сечения потока неодинакова: в центре се­
чения потока она максимальная, у стенки равна нулю. Закон рас­
пределения скоростей по сечению в большинстве случаев бывает
неизвестен и определяется в результате эксперимента. Используя
уравнение (1), получим формулу для вычисления скорости движе­
ния несжимаемой жидкости в точке потока
Если при измерении давлений жидкость в трубках пьезомет­
ров одинаковая с исследуемой жидкостью (рис. А.1.3), то
148
(3)
PS
p - плотность исследуемой жидкости;
где
g - ускорение свободного падения, g = 9,8066 м/с2.
h * - h - разность высот столбиков жидкости в пье­
зометрах, измеряющих давление торможения и давление в потоке
в одной и той же точке потока.
Тогда с учетом (3) формула (2) примет вид
(4)
В теории одномерных течений вводится понятие осредненной
скорости в сечении потока. Обычно осреднение скорости делается
по расходу.
Средерасходной скоростью сср называется такая условная, но
одинаковая во всех точках сечения скорость, при которой через
сечение протекает такое же количество жидкости, как и при дейст­
вительном распределении скоростей. При движении несжимаемой
жидкости (р = const) нет различия между среднемассовой и средне­
объемной скоростями, то есть ccpG = ccpQ = сср. Среднеобъемную
скорость несжимаемой жидкости в сечении потока можно опреде­
лять либо путем осреднения экспериментальной эпюры скорости в
соответствии с формулой
С
ср
S
(5)
либо по измеренному объемному секундному расходу
С
сР
=0-,
s
(6 )
где S - площадь сечения потока жидкости; c/s - площадь сечения
элементарной струйки, соответствующая скорости сг.
Расходом называется количество жидкости, протекающей
через сечение потока в единицу времени. В зависимости от единиц
измерения количества жидкости различают объемный расход
149
Gv, д/7с и массовый G кг/с, которые определяются соотношением
G = р • Gv, где р - плотность жидкости.
При установившемся движении несжимаемой жидкости её
расход в любом произвольном сечении одного и того же потока
сохраняется неизменным, то есть Q = const, при р = const,
Gc = const.
Измерение давления. Широко используются приборы дистан­
ционного типа, состоящие из приемника (датчика) и измерительно­
го устройства. Приемник помещается в жидкость, а измерительное
устройство находится в удобном для наблюдения месте.
Схема расположения в жидкости приемников давления в по­
токе и давления торможения показана на рис. А.1.2.
к пь езом е трам
А
t
П~
кччтчтч
а
'
'Ч
I
6
Рис. A.I.2. Схема установки приемников для измерения в центре потока
жидкости: a - давления в потоке; б - давления торможения
Для правильного измерения давления в потоке жидкости не­
обходимо, чтобы плоскость отверстия приемника была касательной
к линии тока. Часто отверстие приемника статического давления
делают в стенке трубы. Приемник для измерения давления тормо­
жения обычно представляет собой изогнутую трубку, открытый
конец которой устанавливается навстречу потоку в положение, ко­
гда его ось совпадает с направлением вектора скорости набегаю­
щей струйки жидкости.
Положение точки измерения можно изменять, перемещая при­
емник давления торможения в сечении трубы с помощью микро­
метрического винта.
150
Измерительным устройством является пьезометр 2 или мано­
метр 4 (рис. A.I.3).
Рис. A.I.3
Пьезометр - это вертикальная стеклянная трубка, один конец
которой сообщен с окружающей газовой средой, в частности с ат­
мосферой, а второй - гибкой трубкой соединен с приемником дав­
ления. Пьезометр обычно помещают на щите с миллиметровой
шкалой для отсчета высоты h подъема жидкости.
Манометры бывают различных конструкций, но наиболее
распространен пружинный. Принцип действия пружинного мано­
метра основан на зависимости деформации одновитковой трубча­
той пружины (трубки Бурдона) от избыточного давления внутри
этой трубки. Трубчатая пружина (рис. А.1.4.) одним концом закре­
плена в держателе 2, оканчивающимся штуцером для присоедине­
нии к магистрали с измеряемым давлением. Другой, закрытый ко­
нец пружины 1 соединен с секторным передаточным механизмом,
состоящим из поводка 3, сектора 4, трубки 5, на оси которой закре­
плена стрелка 6.
151
Избыточное давление вызывает перемещение конца пружины
1 и связанное с ним перемещение стрелки б вокруг своей оси. По­
казания прибора отсчитываются по шкале 7. Шкала у образцового
манометра разбита на число условных делений (100, 250 или 300),
у простых (технических) манометров шкала градуируется в кг/см2,
кПа, МПа.
Нуль шкалы манометра соот­
ветствует атмосферному давлению.
Пружинные манометры должны пе­
риодически поверяться, так как с
течением времени пружины дефор­
мируются, изменяя свою первона­
чальную форму.
Пьезометрами и манометрами
Рис. A.I.4. Схема пружинного
измеряется избыточное давление, то
манометра
есть разносхь между абсолютным
давлением жидкости и давлением
окружающей среды. Тогда абсолютное давление жидкости
Р =Рн
+
Рш б
,
где р и - атмосферное давление; /у,б - избыточное давление, изме­
ренное с помощью пьезометра или манометра.
Абсолютное давление торможения жидкости
Р * = Р и + Р * ш6,
где р *т б - избыточное давление торможения, измеренное с помо­
щью пьезометра или манометра.
Для сокращения длины пьезометрических трубок и удобства
отсчета уровней столбиков жидкости на гидростенде ГС-ЗМ верх­
ние концы всех трубок соединены общим коллектором 1 (рис.
А.1.3), который посредством крайней слева трубки соединен с ре­
сивером 3. В этом случае в коллекторе и в верхних концах трубок
давление воздуха выше атмосферного.
152
Размерность давления р, р * в международной системе еди­
ниц измерения СИ - Паскаль (Па) или Н/м2. Переводные
единицы измерения давления 1 мм вод. ст. = 110"4 кг/см2 =
= 7,356 10"2ммрт. ст. = 9,8066 Па.
Атмосферное давление измеряется с помощью прибора, назы­
ваемого барометром.
Измерение скорости. Из множества способов измерения ско­
рости жидкости наиболее распространенным в практике экспери­
ментирования является пневмометрический. В основе этого спосо­
ба лежит непосредственное воздействие движущейся жидкости или
газа на приемные элементы приборов, измеряющих давление в по­
токе и давление торможения. Затем по величине этих давлений по
формуле (2) или (4) вычисляется скорость в точке потока. Средне­
объемная скорость несжимаемой жидкости в сечении потока опре­
деляется по формулам (5) или (6).
Измерение расхода. Приборы для измере­
ния расхода называются расходомерами. Наибо­
лее простым и точным способом измерения рас­
хода жидкости является объемный (весовой),
при котором определяется время t наполнения
заданного объема V вытекающей жидкости.
Объемный расход жидкости Gv = V/t. Этот спо­
соб измерения расхода используется при малых
расходах, а также для градуировки (поверки)
других типов расходомеров.
Ротаметр - является расходомером, прин­
цип действия которого основан на восприятии
Рис. А.1.5. Рота­
метр со стеклянной
конусной трубкой
динамического напора протекающей по трубо­
проводу жидкости чувствительным элементом
прибора (поплавком), перемещение которого в
потоке служит мерой расхода.
153
На рис. А.1.5 показано устройство ротаметра со стеклянной
конусной трубкой 1, которая зажата в патрубках 2 и 3, снабженных
сальниками. Оба патрубка между собой связаны тягами 4 с наде­
тыми на них ребрами 5. Эта армировка придает прибору необходи­
мую прочность. Внутри патрубка 2 имеется седло, на которое опус­
кается поплавок 6 при нулевом расходе жидкости или газа. Верх­
ний патрубок 3 снабжен ограничителем хода поплавка 7. Для обес­
печения устойчивой работы поплавка верхний его обод снабжен
каналами с крутым наклоном. Под действием потока жидкости или
газа поплавок вертикально перемещается и одновременно прихо­
дит во вращательное движение и центрируется в середине потока.
Изменение расхода нарушает равновесие поплавка и вызывает его
перемещение по трубке до тех пор, пока разность давлений до и
после поплавка не будет его уравновешивать. Для конкретного по­
плавка и измеряемой среды эта разность давлений имеет одно и то
же значение. Положение поплавка, при котором будет выполняться
условие равновесия, зависит от расхода и проходного сечения
(кольцевого зазора между поплавком и трубкой) ротаметра. По
вертикальному перемещению поплавка ротаметра вдоль его шка­
лы, нанесенной на конусной стеклянной трубке судят об объемном
расходе в единицу времени (л/с, м3/ч). Указателем у ротаметра со
стеклянной трубой служит верхняя горизонтальная плоскость по­
плавка. К преимуществам ротаметров следует отнести простоту
конструкции, возможность измерения малых расходов, практиче­
ски равномерную шкалу. Недостатком стеклянных ротаметров яв­
ляется отсутствие автоматической записи показаний, зависимость
показаний от вязкости, температуры и давления измеряемой среды.
Описание лабораторной установки
В качестве установки используется универсальный гидравли­
ческий стенд ГС-ЗМ [5]. Рабочий участок гидростенда для данной
154
лабораторной работы представляет собой прозрачную трубу посто­
янного сечения с внутренним диаметром, d = 17 мм (рис. А.1.6).
Рис. A.I.6. Схема прозрачной трубы для измерения давления
и скоростей жидкости
На выходе из прозрачной трубы (сечение 2) установлены при­
ёмники давления и давления торможения, соединенные гиб-кими
трубками с пьезометрами. Приемник давления торможения пред­
ставляет собой изогнутую трубку, перемещаемую по радиусу сече­
ния трубы при помощи микрометрического винта.
Порядок выполнения работы
1. Для записи показаний приборов и результатов вычислений
заготавливается протокол эксперимента.
2. Измерить давление р„ и температуру /„ воздуха в помеще­
нии лаборатории.
3. Проверить готовность установки к эксперименту. При этом
сливной вентиль 16 должен быть полностью открыт, дополнитель­
ный сливной вентиль 18 и вентиль автономного режима 15 закры­
ты, трубопровод и рабочий участок заполнен водой, приёмник дав­
ления торможения в сечении 2 находится у стенки трубы.
155
4. Установить режим течения воды, открывая вентиль подачи
воды 16 и регулируя расход её вентилем 10. На режиме установив­
шегося течения показания манометра 4 и пьезометров на щите 7
должны сохраняться постоянными во время эксперимента.
5. Измерить избыточное давление воды в ресивере р м, высоту
столбика жидкости /?|;х в пьезометре, соединенном с ресивером, а
также высоту столбиков жидкости h2 и h*2i в пьезометрах, соеди­
ненных с приёмниками давления в сечении 2.
6. Перемещая микрометрическим винтом трубку приёмника
давления торможения от стенки трубы, произвести измерение дав­
ления в фиксированных точках сечения 2 потока воды.
7. Измерить расход воды ротаметром.
8. Закрыть вентиль 16 и 10.
9. Результаты всех измерений записать в протокол.
Рис. A.I.7. Осреднение скорости неравномерного потока в сечении трубы
Обработка результатов эксперимента
1.
По результатам измерений избыточного давления в ресиве­
ре р ш и показаний пьезометров определить по формулам статиче­
ское давление р и давление торможения р* в фиксированных точ­
ках сечения 2 потока воды.
156
2. По результатам измерений показаний пьезометров опреде­
лить по формуле скорость движения воды с для каждой координа­
ты установки приемника давления торможения в сечении 2 трубы.
3. Подсчитать среднеобъёмную скорость потока сср путём ос­
реднения экспериментальной эпюры скорости
2
+ c2r2 + c3r3 + c4r4) + c5^r5 + y j
R 2
где Г\, г2, Гз, ?4 , ?5 - радиусы точек измерения давления тормо­
жения в сечении 2 трубы; Аг - толщина слоя воды, соответствую­
щая данной точки измерения; R - радиус в сечении 2 трубы.
4. Определить по формуле среднеобъёмную скорость потока
CcpQ -
5. Записать в таблицу рассчитанных величин результаты рас­
четов, построить графики изменения с2ь р 2 * по радиусу сечения 2
потока жидкости.
Содержание отчета
1. Протокол эксперимента со схемой рабочего участка уста­
новки.
2. Графики изменения скорости и давления торможения по ра­
диусу сечения 2 потока жидкости.
3. Сравнение средней скорости потока жидкости ccpQ и сср в
сечении 2.
4. Выводы по работе.
Контрольные вопросы к работе
1. Почему движение воды на рабочем участке считается уста­
новившемся?
2. Как измеряется объемный расход воды в трубопроводе?
157
3. Почему расход воды измеряется за пределами рабочего уча­
стка, а в расчетах принимается равным расходу в сечении 2?
4. Почему в движущейся воде давление торможения больше
давления потока в этой же точке?
5. Почему плоскость отверстия приемника давления торможе­
ния должна быть строго перпендикулярна вектору скорости набе­
гающей струйки жидкости или газа?
6. Как определяют координаты точек установки приемника
давления торможения?
7. Почему при движении воды по трубе её скорость на оси
максимальная, а у стенки близка к нулю?
8. При каких условиях давление торможения было бы одина­
ковым для всего потока в сечении трубы?
9. Для чего определяется среднеобъемная скорость движения?
10. Как доказать постоянство среднеобъемной скорости воды во
всех сечениях рабочего участка?
Список использованных источников
1. Преоброженский В.П. Теплотехнические измерения и при­
боры. - М.: Энергия, 1978.
2. ОСТ В1 03534-71. Датчики давления. Типы и основные па­
раметры, технические требования.
3. ГОСТ 6521-60. Манометры и вакуумметры пружинные об­
разцовые.
4. ГОСТ 13045-67. Общепромышленные ротаметры.
5. Универсальный гидравлический стенд ГС-ЗМ: Метод, раз­
работка / Сост. В.В. Бирюк, А.Д. Кленина, А.М. Цыганов; Самар,
гос. аэрокосм. ун-т. - Самара, 2002. - 6 с.
158
II. РЕЖИМЫ ТЕЧЕНИЯ ЖИДКОСТИ В ТРУБЕ
Цель работы - ознакомление с ламинарным и турбулентным
режимами течения жидкости в трубе, методами определения режи­
мов: экспериментальным (визуальное наблюдение) и расчётным с
помощью числа Рейнольдса (R e/
Теоретические основы эксперимента
Различают два вида движения жидкости в каналах: ламинар­
ное (слоистое), когда отдельные струйки не перемешиваются, и
турбулентное, когда имеются поперечные и продольные скорости и
перемешиваются частицы жидкости из различных струек.
Критерием вида движения жидкости является число Рей­
нольдса. В частном случае при течении жидкости в трубах число
Рейнольдса
Re = cd/v
(1)
Критическое число ReKp, разделяющее потоки жидкости в тру­
бах на ламинарные и турбулентные, равно 2320. При Re>ReKp - по­
ток ламинарный, при Re<ReKp - поток турбулентный. Переход ла­
минарного течения жидкости в турбулентное происходит посте­
пенно. Когда число Re незначительно превышает ReKp, турбулент­
ность потока слабая, соответствующий режим движения называют
переходным. Физически число Re соответствует отношению сил
инерции к силам вязкости, т.е. является безразмерным критерием
динамического подобия потоков жидкости. Два или несколько по­
токов жидкости считаются подобными, если имеет место подобие:
геометрическое (подобие каналов, по которым течёт жидкость),
кинематическое (подобны эпюры скорости в сходственных сечени­
ях) и динамическое (равны числа Re в сходственных сечениях).
У подобных потоков одноимённые безразмерные (относитель­
ные) параметры (отношение давлений р^Р и плотностей р2/ рь ско­
159
ростей Co/ci; коэффициенты гидравлических потерь с,: КПД и т.п.)
одинаковы. Это позволяет моделировать течение жидкости и про­
водить исследование моделей, а не натурных образцов, которые
зачастую невозможно или трудно исследовать в силу сложности и
большой стоимости эксперимента.
Описание лабораторной установки
В качестве установки используется универсальный гидравли­
ческий стенд. Рабочий участок данной лабораторной работы пред­
ставляет собой прозрачную трубу постоянного сечения с внутрен­
ним диаметром d = 17 мм (рис. A.II.1). На входе (сечение 1) в цен­
тральную часть трубы по тонкой трубке подаётся подкрашенная
жидкость из бачка 1 при открытии крана 2.
Г
Г
Г
/
J3
Рис. A.II.1. Схема прозрачной трубы
для наблюдения режимов течения жидкости
Порядок выполнения работы
1. Для записи показаний приборов и результатов вычислений
заготавливается протокол эксперимента.
2. Измерить давление р„ и температуру воды, подаваемой в
гидростенд.
3. Проверить готовность установки к эксперименту. При этом
сливной вентиль 5 должен быть полностью открыт, дополнитель­
но
ный вентиль б и вентиль автономного режима 9 закрыт, трубопро­
вод и рабочий участок заполнен водой.
4. Установить режим течения воды, открывая вентиль подачи
воды 8 и регулируя расход вентилем 18. Во время эксперимента,
регулируя вентилем 8, поддерживать постоянным давление в реси­
вере р ш, т.к. движение жидкости должно быть установившимся.
5. Плавно открыть кран 2 (рис. A.II.1), чтобы струйка подкра­
шенной жидкости оставалась тонкой.
6. Наблюдать за поведением подкрашенной струйки в потоке
воды.
7. Закрыть кран 2 (рис. A.II.1).
8. Измерить расход воды ротаметром.
9. Измерить температуру воды ртутным термометром, поме­
щая его в вытекающую струю воды.
10. Повторить пункты 4, 5, 6, 7, 8, 9 для каждого следующего
опыта.
11. Закрыть вентили подачи воды в ресивер 8 и вентиль регу­
лирования расхода 18 [3].
12. Результаты всех измерений записать в протокол.
Обработка результатов эксперимента
1.Определить площадь сечения потока жидкости: S = — ■с/2.
4
где d - внутренний диаметр прозрачной трубы.
2. Определить расход воды Q в м /с по результату измерения
его ротаметром.
3. Определить по объёмному расходу воды среднюю скорость
Сср в м/с.
4. Определить кинематический коэффициент вязкости v в м /с
по измеренной температуре t, °С воды в соответствии с графиком
зависимости кинематической вязкости воды от ее температуры при
р и = 101,325 кПа.
161
5. Подсчитать по формуле число Рейнольдса Re, сравнить со
значением критического числа ReKp и определить режим течения
воды.
6. Расчёты по пунктам 2, 3, 4, 5 повторить для каждого сле­
дующего опыта.
7. Записать в таблицу вычисляемых величин протокола ре­
зультаты расчётов.
Содержание отчёта
1. Протокол эксперимента со схемой рабочего участка уста­
новки.
2. Эскизы картины течения жидкости при ламинарном и тур­
булентном движении.
3. Сравнение режимов течения жидкости, определённых при
помощи числа Рейнольдса с визуально наблюдаемыми в опытах.
4. Выводы по работе.
Контрольные вопросы
1. Почему при турбулентном режиме течения эпюра скорости
в поперечном сечении более равномерная, чем при ламинарном?
2. Как определяется режим течения жидкости при отсутствии
возможности визуального наблюдения?
3. Почему вязкость воды зависит от её температуры?
4. Почему число Рейнольдса является критерием динамиче­
ского подобия потоков жидкости?
5. При каких условиях движение воды в трубе считается уста­
новившимся?
6. Почему объемный расход воды в различных сечениях трубы
постоянен?
162
7.
Почему при турбулентном режиме течения потери энергии
на преодоление сопротивления трения больше, чем при ламинар­
ном?
163
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ № 2
ДВИЖ ЕНИЕ Ж ИДКОСТИ В КАНАЛЕ ПЕРЕМ ЕННОГО СЕЧЕНИЯ
Цель работы - экспериментальное подтверждение закона со­
хранения и превращения механической энергии с использованием
уравнения Бернулли для потока несжимаемой жидкости. При этом
измеряются давление в потоке и давление торможения по длине
канала переменного сечения; время заполнения водой фиксирован­
ного объёма. Рассчитываются объёмный расход жидкости, ско­
рость потока жидкости в характерных сечениях трубы. Устанавли­
ваются закономерности изменения вдоль потока несжимаемой
жидкости давления и давления торможения, скорости движения и
гидравлических потерь.
Теоретические основы эксперимента
Уравнение Бернулли выражает закон сохранения и превраще­
ния энергии в механической форме для потока жидкости. Для уча­
стка 1-2 элементарной струйки вязкой несжимаемой жидкости
(рис. А.2.1) при установившемся одномерном движении уравнение
Бернулли имеет следующий вид:
. +B -+S - =Z +b . +± +h
PS
2g
pg
2g
(,
1
где
z - удельная потенциальная энергия положения (работа си­
лы тяжести);
p/pg - удельная потенциальная энергия давления;
c2/2g - удельная кинетическая энергия;
hT - удельная суммарная потеря энергии жидкости на пре­
одоление гидравлических сопротивлений на участке между сече­
ниями 1-2.
164
Рис. А.2.1. Изменение напоров на участке элементарной струйки
В параметрах торможения уравнение (1) примет вид
=
+ -^-=- +
( 2)
Pg
' Pg
В частном случае горизонтальной элементарной струйки
z 2 ) , имеем:
Z \
(z\ =
+
z n
h r a _ n } ■
( 3)
pg pg
При протекании жидкости в трубе в слагаемое кинетической
энергии уравнения (1) следует ввести поправочный множитель -
коэффициент а, учитывающий неравномерность эпюры скорости в
поперечном сечении потока. Тогда для участка 1-2 трубы уравне­
ние Бернулли запишем следующим образом:
2
2
Zj +
+ ссх— - = z^ + -^=- + (Хг, — 1- + h
,
(4)
pg
2g
- pg
2g
,(1-)
где
165
2
Уравнения (2) и (3) для течения в трубе остаются без измене­
ния, толькор* вычисляется по среднемассовой скорости, т.е.
р1
= р +
(5)
2
При ламинарном движении жидкости в трубах а л = 2, при тур­
булентном движении От = 1,02... 1,04. На практике чаще наблюда­
ется турбулентное движение жидкости в трубах, в инженерных
расчётах приближённо принимают (Хт= 1.
Из уравнения (3) следует, что в горизонтальных трубах давле­
ние торможения р* изменяется только под влиянием гидравличе­
ских сопротивлений; при наличии сопротивления р* уменьшается
по направлению движения, при отсутствии сопротивления (идеаль­
ная жидкость) р* остаётся постоянным.
Из уравнения (4) следует, что давление р изменяется не только
под влиянием гидравлического сопротивления hT, но и в результате
изменения скорости с, т.е. изменения площади сечения трубы, по­
скольку при установившемся движении несжимаемой жидкости Q
= CcpS = const и
(6)
При небольшом сопротивлении (в трубах без внезапного рас­
ширения или сужения) в плавно сужающихся трубах скорость воз­
растает, а статическое давление убывает; в плавно расширяющихся
трубах, наоборот, скорость уменьшается, а статическое давление
возрастает.
166
Описание лабораторной установки
В качестве лабораторной установки используется универсаль­
ный гидравлический стенд. Рабочий участок гидростенда для дан­
ной лабораторной работы представляет собой горизонтальную тру­
бу переменного сечения (рис. А.2.2).
-т т У
Рис. А.2.2. Схема измерения давлений в трубе переменного сечения
Для измерения давления жидкости в трёх сечениях (сечения 1,
2, 3) в стенке трубы имеются отверстия с трубками, соединёнными
с пьезометрами. Для измерения давления торможения на оси трубы
в тех же сечениях установлены изогнутые навстречу потока труб­
ки, также соединённые с соответствующими пьезометрами.
Разница столбиков жидкости (И* - И) в пьезометрах для изме­
рения давления торможения и давления соответствует максималь­
ной скорости в центре потока жидкости (на оси трубы).
Внутренний диаметр трубы в сечениях 1 и 3 одинаков и равен
d\ = = 14 мм, в сечении 2 - с/2= 28 мм. Расстояния сечений 1, 2, 3
от входа трубы равны 1\ = 135 мм: /2= 510 мм: /3= 890 мм.
167
Порядок выполнения работы
1. Для записи показаний приборов и результатов вычислений
заготавливается протокол эксперимента.
2. Измерить давление р„ воздуха в помещении лаборатории.
3. Проверить готовность установки к эксперименту. При этом
сливной вентиль 5 должен быть полностью открыт, дополнитель­
ный сливной вентиль б и вентиль автономного режима 9 закрыты,
трубопровод и рабочий участок заполнен водой.
4. Установить режим течения воды, открывая вентиль подачи
воды 8 и регулируя расход её вентилем 18. На режиме установив­
шегося течения показания манометра 1 и пьезометров на щите 15
должны сохраняться неизменными.
5. Измерить избыточное давление воды в ресивере р ш высоту
столбика жидкости h,,: в пьезометре, соединённом с ресивером, а
также высоту столбиков жидкости h и /2 *мах в пьезометрах, соеди­
нённых с приёмниками давления в трёх сечениях трубы (рис.
А.2.2).
6. Измерить расход воды ротаметром.
7. Закрыть вентиль 8 подачи воды в ресивер и вентиль 18 ре­
гулирования расхода.
8. Результаты всех измерений записать в протокол.
Обработка результатов эксперимента
1. По результатам измерений определить давление р в кПа и
давление торможения в центре потока р*шах в трёх сечениях потока
в трубе
2. Определить площадь S потока жидкости в трёх сечениях
S = — d 2,
4
где d - внутренний диаметр трубы в сечении.
3. Определить объемный расход воды Q по результатам изме­
рения его ротаметром.
168
4. Определить средние скорости движения сср по формуле (6) в
трёх сечениях потока жидкости.
5. Определить по формуле (5) осреднённое давление торможе­
ния р * с р в трёх сечениях потока жидкости.
6. Подсчитать из формулы (4) потери энергии на участке тру­
бы между сечениями 1 и 2 (hr)i_2 , суммарные потери энергии на
участке трубы между сечениями 1 и 3 (hr) i _ 3 . Принимается плот­
ность воды р = 1000 кг/м3, а коэффициент а = 1,0.
7. Записать в таблицу вычисляемых величин протокола ре­
зультаты расчётов и построить графики изменения р , /г!ср. сср по
длине трубы (сечения 1-3).
Содержание отчёта
1. Протокол эксперимента со схемой рабочего участка уста­
новки.
2. Графики изменения давления р и осреднённого давления
торможения жидкостир*ср по длине трубы переменного сечения.
3. График изменения среднеобъемной скорости движения
жидкости сср по длине трубы переменного сечения.
4. Выводы по работе.
Контрольные вопросы к работе
1. Когда поток жидкости в трубе можно считать энергоизоли­
рованным?
2. Под действием каких сил поток жидкости ускоряется в
плавно сужающейся трубе и тормозится в плавно расширяющейся?
3. Какие преобразования энергии жидкости происходят при
движении в энергоизолированных плавно сужающихся и расши­
ряющихся трубах?
4. Почему давление торможения для сечения потока вычисля­
ется по среднеобъемой скорости?
169
5. Как изменяется давление торможения в поперечном сечении
потока жидкости?
6. Как изменяется давление торможения в поперечном сечении
потока, если оно вычислено по среднемассовой скорости жидко­
сти?
7. Почему давление торможения жидкости уменьшается вдоль
горизонтальной трубы?
8. Как изменяется статическое давление в плавно сужающихся
и расширяющихся трубах?
9. Почему давление торможения, измеренное в центре потока,
больше давления торможения, вычисленного по среднемассовой
скорости?
10. Почему среднемассовая скорость вдоль горизонтальной
трубы одинакового диаметра сохраняется постоянной, а статиче­
ское давление уменьшается?
11. Когда показания пьезометров для измерения давления на
рабочем участке будут одинаковыми?
12. Как изменяется среднеобъемная скорость в плавно су­
жающихся и расширяющихся трубах?
170
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ № 3
КАВИТАЦИЯ В ПОТОКЕ Ж ИДКОСТИ
Цель работы: визуальное наблюдение кавитации жидкости в
трубке Вентури; ознакомление с экспериментальным и расчётным
методами определения кавитационного режима течения жидкости;
экспериментальное определение критического кавитационного
числа %кр при движении жидкости в трубке Вентури.
Теоретические основы эксперимента
Кавитация {от лат. кавитас - пустота) - нарушение сплошно­
сти жидкости вследствие образования в ней пустот (пузырьков, пу­
зырей, каверн), заполненных выделившимся из жидкости паром.
В движущейся жидкости кавитация возникает и развивается в
том месте потока, где давление уменьшается до давления насы­
щенного пара. Возникновение кавитации начинается с образования
в потоке кавитационных пузырьков, внутрь которых выделяются
растворённые в жидкости газы. При дальнейшим развитии кавита­
ции происходит выделение пара из-за «холодного» кипения жидко­
сти. Образующиеся кавитационные пузырьки перемещаются, увле­
каемые потоком жидкости, увеличиваются в размерах, укрупняют­
ся и объединяются, что приводит к образованию крупных кавита­
ционных пузырей и каверн. Но так как в потоке жидкости за зоной
кавитации давление повышается, рост кавитационных пузырей и
каверн, в связи с повышением давления, прекращается, пар в них
конденсируется, пузыри и каверны практически мгновенно исче­
зают - «охлопываются».
Непрерывное охлопывание многочисленных кавитационных
пузырей и каверн сопровождается характерным кавитационным
шумом и колебаниями давления жидкости. Колебания давления
распространяются в потоке жидкости и передаются стенкам, окру­
171
жающим поток, вызывая вибрацию гидравлических агрегатов и
систем.
Так как пузыри и каверны охлопываются практически мгно­
венно, то окружающая их жидкость с большой скоростью устрем­
ляется вовнутрь исчезающих полостей. В результате в центре этих
полостей в момент их охлопывания возникают гидравлические
микроудары с большими повышениями давления (на десятки мега­
паскалей) и температуры жидкости (на сотни градусов). Многочис­
ленные непрерывные гидравлические микроудары усиливают ко­
лебания и вибрации, а воздействие этих микроударов на стенки ка­
налов приводит к их кавитационной эрозии - разрушению мате­
риала стенок в зоне охлопывания. Кроме того, по мере развития
кавитации интенсивно возрастают гидравлические потери в потоке
жидкости на участке в зоне кавитации и за ней. Кавитация в потоке
жидкостей обычно не допускается, так как при кавитации наруша­
ются расчётные режимы работы гидравлических агрегатов и сис­
тем, ухудшаются показатели их работы, уменьшаются КПД, появ­
ляются недопустимые колебания давления в потоке и вибрации,
кавитационная эрозия приводит к недопустимым разрушениям ма­
териала стенок в зоне охлопывания. Однако имеются случаи, когда
кавитация специально организуется и полезно используется.
Для расчётной оценки отсутствия или наличия кавитации в
потоке жидкости используется кавитационное число:
% = 2(р1-рнп)/(рс12),
(1)
где
р - плотность жидкости, р я п - давление насыщенного пара
жидкости, р и с - давление насыщенного пара жидкости перед ме­
стом возможного возникновения и развития кавитации.
Значение %, при котором в этом месте возникает и развивается
кавитация, называется критическим кавитационным числом %кр.
При % > %кр кавитации не будет, при расчётных % < %кр кавитация
будет возникать и развиваться. Значения %кр определяются опыт172
ным путём и даются в соответствующих справочниках. Иногда эти
значения можно оценить расчётом по теоретическим зависимостям
для потока жидкости.
Схема трубы Вентури представлена на рис. А.3.1.
Рис. А.3.1. Схема трубы Вентури
Для потока жидкости в полностью заполненной трубе Вентури
основными зависимостями, составленными соответственно для
участков потока 1-у, у-2, являются
уравнения Бернулли:
Pi
с 12
Ру
Ру
С)
Р
С1
7
С2
,
7 '77 С '--1
2
- L + a y - Z- = — + a 2 — + \ у-2)
/04
()
/04
( 3)
уравнения расхода:
C lc p ^ l =
С 2с-р$2
=
Q,
(4)
формулы для расчёта потерь удельной энергии потока:
2
(5)
С, 2
где
~2
р - статическое давление жидкости.
(6)
173
ccp- средняя скорость в сечении потока,
- коэффициент, учитывающий неравномерность распре­
деления скоростей в соответствующем поперечном сечении потока,
Т|
Е, - коэффициент гидравлических потерь удельной энергии
потока,
S - площадь поперечного сечения потока,
Q - объёмный расход жидкости в потоке.
При следующих допущениях:
Т| 1 = п, = |Ъ = 1,0 (турбулентный режим течения),
Рн.п = 0, (для воды при температурах 0...20 °С давление
р нп= 6 . . . 23 ГПа),
^ (i -у) = 0 ,
используя уравнения (1)—(6), получаются расчётные зависимо­
сти для потока жидкости в трубе Вентури:
Х=
(7)
P -Q 2
м
2
/ рас
/ кр
- 1,
(8)
Is,)
где Х 1 7 ~ расчётное значение ХкР для потока жидкости в трубе
Вентури,
Qmokc - максимально возможный объёмный расход жидкости
через трубу Вентури при давлении /у (устанавливается при нали­
чии кавитации в потоке).
Описание лабораторной установки
В качестве лабораторной установки используется универсаль­
ный гидравлический стенд ГС-ЗМ [3].
174
Рабочий участок гидростенда для данной лабораторной рабо­
ты представляет собой горизонтальную трубу постоянного сечения
(внутренний диаметр d = 20 мм), ко входу которой присоединена
прозрачная трубка Вентури (рис. А.3.2).
Рис.А.3.2. Схема измерения давления в трубе Вентури
Вода из ресивера 2 проходит через трубу Вентури 3 и затем
сливается в бак. Статическое давление воды в потоке перед трубой
Вентури (сечение 1-1) и за трубой Вентури (сечение 2-2) измеря­
ются манометрами 1 и 4 (давление воды в сечении 1-1 принимает­
ся равным давлению в ресивере 2). Смена режимов течения воды в
трубе Вентури производится с помощью вентиля подачи воды в
ресивер или регулировочного вентиля 5 на выходе.
Порядок выполнения работы
1. Для записи показаний приборов и результатов вычислений
заготавливается протокол эксперимента
2. Измерить давление р н и температуру С воздуха в помещении
лаборатории.
3. Проверить готовность установки к эксперименту. При этом
сливной вентиль 5 [3] должен полностью открыт, дополнительный
сливной вентиль б и вентиль автономного режима 9 закрыты.
4. Открыть полностью регулировочный вентиль 5 (рис. А.3.2).
175
Образец протокола эксперимента
=Г
%
ц
<
Пи
S
йн
о
S
йн
о
О)
В ы числяем ы е величины
сЗ
С
кП а
И зм еряем ы е величины
о
-O '
о.
О)
со
с
о
N
со1
о
S
S
чг
Q
sS
О)
О-мах
1
2
3
4
5
6
7
5. Плавно открывая вентиль подачи воды в ресивер наблюдать
возникновение и развитие кавитации в трубе Вентури, зафиксиро­
вать показание манометра 1 (рис. А.3.2) при появлении кавитации.
6. Установить режим течения воды без кавитации, постепенно
закрывая вентиль подачи воды в ресивер. Во время эксперимента
давление воды в ресивере необходимо сохранять неизменным.
7. Измерить избыточное давление воды р м\ в ресивере и в по­
токе за трубой Вентури ротаметром.
8. Измерить расход воды ротаметром.
9. Повторить пункты 6, 7, 8, для каждого следующего опыта
(устанавливая последовательно ещё два режима течения воды в
трубе Вентури без кавитации, режим появления кавитации и три
режима с кавитацией).
10. Закрыть вентиль подачи воды в ресивер.
11. Результаты всех измерений записать в протокол.
Обработка результатов эксперимента
1.
Определить абсолютное давление воды в потоке за трубой
Вентурир\ и за ней р 2в кПа: /у = р И
р 2= Р» + /Л
,2
176
2.
Определить отношение давления воды в потоке за трубой
Вентури к давлению перед ней рг!р\.
3. Определить расход воды в трубе Вентури Q в м !с по результату измерения его ротаметром.
4. Определить площадь сечения потока воды перед трубой
Вентури .S', м
S,=^df,
где d\ - внутренний диаметр выходного патрубка ресивера,
d\ = 20 мм.
5. Подсчитать по формуле (7) кавитационное число X6. Расчёты по пунктам 1, 2, 3, 5 повторить для каждого сле­
дующего опыта.
7. Определить площадь узкого сечения потока воды в трубе
Вентури из формулы (8), принимая Z k^ =Я'°р
П р и м е ч а н и е : значение %°"р определяется как средне­
арифметическое из значений х на режимах течения воды в трубе
Вентури с кавитацией.
8. Подсчитать диаметр узкого сечения трубы Вентури dy в мм
9. Подсчитать по формуле (9) значения (Л1;|КСв мъ1с.
10. Определить отношение секундного объёмного расхода во­
ды в трубе Вентури к максимально возможному расходу в ней при
давлении р и то есть 010,улкс.
11. Расчёты по пунктам 9, 10 повторить для каждого следую­
щего опыта.
12. Записать в таблицу вычисляемых величин протокола ре­
зультаты расчётов.
177
Содержание отсчёта
1. Протокол эксперимента со схемой рабочего участка гидро­
стенда.
2. Кавитационная характеристика трубы Вентури, то есть гра­
фик экспериментальной зависимости (?/(Л1;|КСот р 21р\ ■
3. Выводы по работе.
Контрольные вопросы к работе
1. При каких условиях в потоке жидкости возникает и разви­
вается кавитация?
2. Чему равно давление жидкости в зоне кавитации?
3. Почему кавитация в потоке жидкости возникает в узком се­
чении и развивается от этого сечения вниз по потоку?
4. Почему кавитация возникает и развивается у стенок, с кото­
рыми соприкасается поток жидкости?
5. Почему давление жидкости в потоке за зоной кавитации по­
вышается?
6. Почему в потоке жидкости происходит схлопывание кави­
тационных пузырьков, пузырей, каверн?
7. В каком месте потока жидкости происходит схлопывание
кавитационных пузырьков, пузырей, каверн?
8. Как доказать, что при %> %кр кавитации не должно быть?
9. Как изменяются значения %для потока жидкости до возник­
новения кавитации и с момента её возникновения при дальнейшем
развитии кавитации?
10. Как доказать, что расход жидкости в потоке с кавитацией
является максимально возможным?
11. Почему значение (Л.икс в лабораторной работе изменяется
при изменении р\ и не изменяется при изменении р 2с!
12. Как определяются значения р и р 2, Q в лабораторной рабо­
те?
178
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ № 4
ОПРЕДЕЛЕН ИЕ КО ЭФ Ф И ЦИ ЕНТО В
СО П РО ТИ ВЛЕН ИЯ ТРЕНИЯ И М ЕСТНЫ Х
ГИ Д РА ВЛ И Ч ЕС К И Х С О П РО Т И ВЛ ЕН И Й В ТРУБЕ
Цель работы:
1. Экспериментальное определение коэффициента сопротив­
ления трения по длине трубы постоянного сечения, сравнение
опытных значений коэффициента с вычисленными значениями по
эмпирическим формулам.
2. Экспериментальное определение коэффициента местных
сопротивлений в трубах, сравнение их значений со справочными
данными.
Теоретические основы эксперимента
В уравнении Бернулли для потока вязкой жидкости (1) сла­
гаемое /?, представляет собой удельную суммарную потерю энер­
гии (потерю части напора) на преодоление гидравлических сопро­
тивлений на участке между сечениями 1 и 2.
2
2
gzi+ — + a i ^ = gz2 + — + a2^ z L + hr(1-2)
jD
^
jD
^
( 1)
Гидравлические потери обычно подразделяют на два вида: по­
тери на трение (путевые потери) и местные потери.
Потери на трение обусловлены проявлением вязкости жид­
кости и могут наблюдаться в чистом виде при движении её по го­
ризонтальной трубе постоянного сечения.
Местные потери наблюдаются в отдельных местах трубо­
провода, где возникает отрыв жидкости от твёрдых стенок и обра­
зуются вихревые зоны. Последнее происходит вследствие резкого
изменения сечения трубопровода, его поворота, а также установки
в потоке жидкости различных регулирующих и измерительных
179
устройств. Элементы трубопровода, приводящие к местным поте­
рям энергии, называются гидравлическими сопротивлениями. Так
как эти элементы имеют некоторую протяжённость, то местные
потери, вызванные ими, связаны не только с завихрениями и изме­
нением скорости потока, но включают в себя и потери на трение.
Гидравлические потери на выделенном участке потока жид­
кости экспериментально определяются по измеренным статиче­
ским давлениям и расходу с помощью уравнений (1) и (2).
Q = ccpS = const
(2)
При практических расчётах потери на трение и местные поте­
ри определяются по общей формуле с помощью коэффициентов В,.
Таким образом, hr определяется в долях от кинетической энер­
гии. Для участка трубы с переменным сечением hr определяется по
большей скорости сср, то есть по меньшему сечению 5.
В частном случае, при большом гидравлическом сопротивле­
нии, может быть £, > 1. При местных сопротивлениях q = q,t. сопро­
тивлениях трения Ъ>= q, р. Однако, исходя из физической картины
сопротивления трения, коэффициент д р целесообразно выразить
через относительную длину трубы lid посредством формулы
( 3)
Здесь Л = <^тр при H d = 1, то есть X - это коэффициент трения
для участка трубы длиной, равной диаметру трубы. В итоге гид­
равлические потери при местных сопротивлениях определяются
по формуле
(4)
а при сопротивлениях трения (формула Дарси)
(5)
180
Определение местных потерь энергии по формуле (4) пред­
ставляет значительные трудности, так как коэффициент местного
сопротивления ^ зависит от вида сопротивления и многих других
факторов. Обычно значения ^ определяются опытным путем или
берутся по справочным данным.
Коэффициет l является безразмерной переменной величиной,
зависящей от ряда характеристик: диаметра и шероховатости сте­
нок трубы, вязкости и скорости движения жидкости. Влияние этих
характеристик на величину X проявляется по разному при лами­
нарном и турбулентном режимах течения в трубе. В одном диапа­
зоне чисел Рейнольдса на величину X влияет в большей степени
скорость, в другом диапазоне преобладающее воздействие оказы­
вают геометрические характеристики; диаметр и шероховатость
трубы.
В связи с этим различаются четыре области сопротивления, в
которых изменение X имеет свою закономерность.
Под тормозящим действием стенок трубы профиль скоростей
деформируется: нарастает кольцевой пограничный слой 5,. который
постепенно захватывает всё сечение трубы, т.е. слои, прилежащие
к противоположным стенкам, смыкаются на оси трубы.
Уменьшение центральной части потока (ядра) с равномерным
распределением скоростей сопровождается непрерывным увеличе­
нием самих скоростей, что обусловлено постоянством расхода
жидкости в трубе. Входной участок трубы, где происходит пере­
стройка профиля скорости, называется начальным. За пределами
начального участка, то есть на основном участке, наблюдается ста­
билизированное течение, при котором профиль скорости в попе­
речном сечении потока жидкости остаётся неизменным.
При ламинарном течении относительная длина начального
участка /н / d определяется по формуле
/н / d = 0,065Re.
В случае турбулентного режима течения эта длина сокращает­
ся и приближенно оценивается по соотношению
181
lHl d = (3...3,5)Re0,25.
Перестройка профиля скорости и ускорение потока в пределах
начального участка сопровождаются дополнительной потерей
энергии по сравнению со стабилизированным течением.
Степень влияния начального участка на трение зависит от
длины трубы. При большой длине трубы (/ > 5... 10/н) начальный
участок можно из рассмотрения исключить и оценить потери энер­
гии по коэффициенту X, определённого по формулам (6)—(10) ста­
билизированного течения. Для коротких труб длиною I < 51и необ­
ходимо учитывать особенности течения жидкости на начальном
участке.
Описание лабораторной установки
В качестве лабораторной установки используется универсаль­
ный гидравлический стенд ГС-ЗМ [4].
Рабочий участок гидростенда для данной лабораторной рабо­
ты (рис. А.4.3.) представляет собой горизонтальную трубу пере­
менного сечения, включающую участки с внезапным расширением
и сужением, изгибом и дроссельным сопротивлением (краном).
Внутренний диаметр трубы в сечениях 1, 2, 4, 5, 6 одинаков и
равен г/| = d2 = d4 = d5 = d6 = 14 мм. диаметр г/3 = 28 мм. Длина уча­
стка трубы между сечениями 1 и 2 1\ 2=180 мм.
Первая область сопротивления - область устойчивого лами­
нарного течения. В этой области X зависит только от числа Рей­
нольдса (рис. А.4.1, линия 1) и определяется по формуле Пуазейля
Л = 6 4 /R e ,
(6)
где Re = ccpd/v - число Рейнольдса.
При этом значении X, то есть при ламинарном течении, гид­
равлические потери на терние пропорциональны первой степени
скорости:
_ 64 1 сср _ 32v ■1
mp~ R e d 2 ~ d 2 Сср
182
Г' “
Рис. А.4.1. Зависимость коэффициента сопротивления трения X от числа
Re и шероховатости трубы (по данным И. Никурадзе)
Остальные области сопротивления находятся в зоне турбу­
лентного течения.
Опыты исследователей И. Никурадзе и других показали, что в
турбулентном потоке непосредственно у стенки трубы имеется ла­
минарный подслой толщиной 8 Л. Приближенно величина 8 Л оп­
ределяется по формуле
30</
из которой видно, что с увеличением скорости движение жидкости
в трубе (соответственно числа Re) толщина подслоя уменьшается.
В зависимости от соотношения между 8 Л и средней высотой
выступов шероховатости поверхности А (рис. А.4.2), называемой
абсолютной шероховатостью, различают трубы гидравлически
гладкие и шероховатые.
Рис. А.4.2. Схема неравномерной шероховатости поверхности трубы
Если 8 Л > А, поток не испытывает дополнительных завихре­
ний от шероховатости поверхности, такая труба называется гид183
равлически гладкой. Если же 8 Л < А, выступы шероховатости ого­
ляются и в обтекающую их жидкость вносятся дополнительные
возмущения (вихри), увеличивающие потери энергии; в этом слу­
чае труба называется гидравлически шероховатой. Деление труб
(поверхностей) на гидравлически гладкие и шероховатые является
условным, так как одна и та же труба при малых Re может быть
гидравлически гладкой, а с увеличением Re может стать гидравли­
чески шероховатой.
Вторая область сопротивления - область гидравлически глад­
ких труб. Коэффициент X, так же как и при ламинарном течении, не
зависит от состояния поверхности трубы и при 2320< Re< 105 оп­
ределяется по формуле Блазиуса (рис. А.4.1, линия 2)
или в более широком диапазоне изменения чисел Рейнольдса
2320 < Re < 107 по формуле Никурадзе
Л = 0,032 + 0,22 lR e “0’237
(8)
Как видно из рис. А.4.1, переход из области, соответствующей
ламинарному течению, в область, соответствующую турбулентно­
му течению, происходит скачкообразно.
При значении X по формуле (7) потери на трение в области
гладких труб пропорциональны скорости в степени 1,75:
0,3164 I с 2ср _ 0,1582-V0’25/ ^ V5
п ос
.1 ' i t
С
d
Re
d 2
Третья область является переходной от области гидравлически
гладких труб к области сопротивления шероховатых труб. На рис.
А.4.1 эта область изображена между линиями 2 и АВ. Коэффициент
X в этой области зависит и от числа Re, и от относительной шеро­
ховатости A/d, определяется по формуле Френкеля
184
Рис. А.4.3. Трубка с различными гидравлическими сопротивлениями
Четвертая область сопротивления - область гидравличе­
ски ш ероховатых труб или квадратичного сопротивления (на
рис. А.4.1 область, расположенная от линии АВ вправо), когда
практически отсутствует ламинарный подслой. Коэффициент
X в этой области зависит только от относительной ш ерохова­
тости A/d и определяется, например, по формуле Прандля
0,25
( 10 )
Так как в этой области для заданной относительной шерохова­
тости AId коэффициент X является постоянной величиной, то поте­
ри энергии в трубе пропорциональны квадрату скорости:
/ С1
Ь- = Х - Л '
Поэтому эта область сопротивления называется квадратичной.
Значения коэффициентов сопротивления трения X в рассмот­
ренных областях соответствуют участкам прямых труб со стабили­
зированным изотермическим трением жидкости. Такие участки
труб называются основными. В длинных прямых трубах постоян­
185
ного сечения различают кроме основных ещё и входные (началь­
ные) участки.
Жидкость при втекании из неограниченной ёмкости во вход­
ной участок трубы вначале имеет равномерное распределение ско­
ростей в поперечном сечении (рис. А.4.4.).
Рис. А.4.4. Схема развития течения жидкости на начальном участке трубы
Порядок выполнения работы
1.
Для записи показаний приборов и результатов вычислений
заготавливается протокол эксперимента.
О б р а зе ц
п р о т о к о л а
Вычисляемые величины
К
hi о
о
О)
о
°с
О)
Ьо
о
У ч астки
К
мм ВОД. ст.
№ сеч
Измеряемые
величины
1
2
1-2
2-3
3
3-4
4
4-5
5
5-6
6
186
э к с п е р и м е н т а
Д ж /к г
у. on
.)М
х°
х рас
и
"s
>
-
и
Ян
-
-
-
-
-
2. Измерить давление р н и температуру tu воздуха в помеще­
нии лаборатории.
3. Проверить готовность установки к эксперименту. При этом
сливной вентиль 5 [4] должен полностью открыт, дополнительный
сливной вентиль б и вентиль автономного режима 9 закрыты, тру­
бопровод и рабочий участок заполнены водой.
4. Установить режим течения воды, открывая вентиль подачи
воды 8 и регулируя расход её вентилем 18 [4]. Во время экспе­
римента эксперимента регулируя вентилем 8 поддерживать посто­
янным давление в ресивере, так как движение жидкости должно
быть установившемся.
5. Измерить высоты h столбиков жидкости в пьезометрах, со­
единённых с приёмниками статического давления в шести сечени­
ях трубы рабочего участка гидростенда.
6. Измерить расход воды ротаметром.
7. Измерить температуру воды ртутным термометром, поме­
щая его в струю вытекающей воды из рабочего участка гидростенда.
8. Закрыть вентиль 8 подачи воды и вентиль 18 регулирования
расхода [4].
9. Результаты всех измерений записать в протокол.
Обработка результатов эксперимента
1. Определить площадь потока жидкости S м2 в шести сече­
ниях
S = nd2/ 4 ,
где d - внутренний диаметр трубы в сечении.
2. Определить расход воды Q в мъ/с по результату измерения
его ротаметром.
3. Подсчитать из формулы (2) среднюю скорость потока жид­
кости в каждом сечении в отдельности.
187
4. Подсчитать из формулы (1) экспериментальные значения
потерь энергии на трение /г°” в Дж/кг на участке 1-2 и местных по­
терь h°" в Дж/кг на каждом участке в отдельности.
5. Подсчитать из формулы (5) экспериментальное значение
коэффициента сопротивления трения X"' на участке 1-2, принимая
h''тр = ,ho
n■
l rnp
6. Подсчитать из формулы (4) экспериментальное значение
коэффициента местного сопротивления д '‘" для участков 2-3, 3-4,
4-5, 5-6 трубы.
7. Определить кинематический коэффициент вязкости v в м2/с
при измеренной температуре t° С воды в соответствии с графиком
(см. ЛР № 1).
8. Подсчитать число Рейнольдса, Re = ccpd/v, и определить ре­
жим течения воды на участке 1-2.
9. Подсчитать коэффициент сопротивления трения А.р|С по од­
ной из формул (6)-(10), предварительно определив по числу Рей­
нольдса область сопротивления. Сравнить полученное расчётное
значение
с экспериментальным
10. Подсчитать длину начального участка потока воды /н в мм
и оценить степень влияния её на величину потерь энергии Д°” на
участке 1-2.
Содержание отсчёта
1. Протокол эксперимента со схемой рабочего участка гидро­
стенда.
2. Сравнение опытного значения коэффициента сопротивле­
ния трения с расчётным, определённым по эмпирической формуле.
3. Результаты вычислений опытных коэффициентов местных
сопротивлений.
4. Выводы по работе.
188
Контрольные вопросы
1. Как определяются скорости движения в поперечном сече­
нии потока?
2. Почему гидравлические потери на трение в турбулентном
потоке больше, чем в ламинарном?
3. Каким образом определяются гидравлические потери при
эксперименте ?
4. Как определяются гидравлические потери на трение и мест­
ные потери при отсутствии возможности проведения эксперимен­
та?
5. Как определяется коэффициент трения при практических
расчётах?
6. Почему одна и та же труба в одном случае может быть гид­
равлически гладкой, а в другом случае - гидравлически шерохова­
той?
7. Какие области сопротивления соответствуют турбулентно­
му течению жидкости?
8. Почему при ламинарном режиме потери на трение пропор­
циональны первой степени среднеобъемной скорости движения
жидкости?
9. Почему при турбулентном режиме в области квадратичного
сопротивления потери на трение пропорциональны квадрату сред­
необъемной скорости движения?
10. Как изменяется профиль (эпюра) скорости при движении
жидкости по начальному участку трубы?
11. Почему при движении жидкости по начальному участку
трубы её центральные струйки ускоряются?
12. Как влияет начальный участок трубы на гидравлические по­
тери при движении жидкости?
189
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ № 5
И СТЕЧ ЕН И Е Ж И ДКО С ТИ ИЗ О ТВЕРСТИЯ И Н АСАДКО В ПРИ
П О С ТО Я Н Н О М Н АП ОРЕ
Цель работы:
1. Ознакомление с методами определения скорости и расхода
жидкости при истечении при постоянном напоре из отверстия и
различных форм сопел.
2. Экспериментальное определение коэффициентов скорости
(р; расхода |i и сужения струи е при истечении.
Теоретические основы эксперимента
Истечение жидкости из резервуара через отверстие или сопло
в пространство, заполненное газом или той же жидкостью, харак­
теризуется преобразованием запаса потенциальной энергии жидко­
сти в резервуаре с большими или меньшими потерям в кинетиче­
скую энергию струи. Часть энергии необратимо расходуется на
преодоление сопротивления кромок отверстия или сопла. Основ­
ной задачей является определение скорости истечения и расхода
жидкости.
Истечение может быть из малого отверстия в тонкой или тол­
стой стенке. Отверстие считается малым, если его диаметр d0
(рис. А.5.1) значительно меньше, чем располагаемый напор Н в м,
d0 < О, \Н.
P
i
c s
S
s
дддД Д Е Д Д
Рис. А.5.1. Истечение жидкости через отверстие
190
Под термином «тонкая» следует понимать такую толщину
стенки, при которой она не оказывает влияния на истечение, т.е.
жидкость, протекая через отверстие, не касается его боковой по­
верхности. Толщина тонкой стенки не должна превышать
(2,0...2,5)^о- Отверстие может быть выполнено в тонкой стенке, но
с заострением входной кромки с внешней стороны (рис. А.5.1).
При истечении из отверстия, вследствие перехода от различ­
ных направлений движения жидкости в резервуаре к осевому дви­
жению, под действием инерционных сил происходит сужение
струи жидкости. Минимальное сечение струи 2-2 (рис. А.5.1) обра­
зуется на расстоянии (0,5... l,0)t/0 от стенки резервуара. Сужение
струи оценивается коэффициентом сужения е.
( 1)
£ = —
^0
где
S2- площадь минимального сечения струи жидкости,
S0- площадь отверстия.
Для круглого отверстия
и
2}
2
£ =
Vd o j
где а2- диаметр суженной струи жидкости,
d0- диаметр отверстия
При истечении жидкости из отверстия, используя уравнение
Бернулли и уравнения расхода, можно получить расчётные форму­
лы скорости истечения и расхода.
Рассмотрим случай истечения через малое отверстие в тонкой
стенке (рис. А.5.1), когда давление жидкости в резервуаре р\ пре­
вышает давление её на выходе р 2, которое равно давлению окру­
жающей среды
р 2 р и . Расположение осей резервуара и струи
жидкости вблизи отверстия горизонтально и они совпадают, по­
этому Z \ = z2.
Уравнение Бернулли, составленное для сечения 1-1 потока
жидкости в резервуаре и 2-2 струи (рис. А.5.1)
191
С 2ср
2
* + a , Qcp _ РН+ а '2 2 +1 УМ(1-2)
(2)
Уравнение расхода
ClcvSl = C2cvS2
(3)
В уравнении (3) площадь сечения струи S2 можно определить
по площади отверстия, используя коэффициент сужения струи £.
Тогда
Т*1срУ Т*2ср*£*У ;
У
г 1ср = с 2ср рс —2„
(4 )
Л 1
Выражая потери энергии hM(y_2) в уравнении (2) формулой (4)
С 2ср
2
м (1 -2 ) — ‘ЭМ
после преобразований с учётом (4) получим формулу скорости ис­
течения
С2сР =Ф - л 2
где
(Р \~ Р я )
(5 )
- коэффициент скорости.
<р = -
а 2 -c q e
м
При истечении идеальной (невязкой) жидкости и без сужения
струи коэффициенты ai = а 2 = 1,0; q„ = 1.0: (р = 1,0, а теоретическая
скорость истечения
С2ид = , 2
ГР \ - Р и Л
(6)
Из формулы (5) с учётом (6) следует, что коэффициент скоро­
сти есть отношение действительной скорости истечения жидкости
к теоретической
192
(7)
Действительная скорость истечения С2ср вследствие гидравли­
ческих потерь всегда несколько меньше теоретической. Поэтому
коэффициент скорости ф всегда меньше единицы.
Объёмный расход жидкости Q2= С2ср S2. Используя уравнения
(1) и (5), получим расчётную формулу секундного объёмного рас­
хода
где - р коэффициент расхода жидкости.
р = е ф
Для идеальной жидкости без сужения струи
(9)
( 10)
Из уравнений (8) и (10) следует, что коэффициент расхода есть
отношение действительного расхода при истечении к теоретиче­
скому
(П)
и всегда меньше единицы вследствие влияния двух факторов: су­
жения струи и гидравлического сопротивления.
Величины коэффициентов е, ф, р зависят от формы отверстия,
отношения площадей S0/S\ и от числа Рейнольдса.
Несовершенное сужение струи наблюдается в том случае, ко­
гда на истечение жидкости через отверстие и на формирование
струи оказывает влияние близость боковых стенок резервуара
(рис. А.5.1). Боковые стенки частично направляют движение жид­
кости при подходе к отверстию, струя по выходе из отверстия су­
жается в меньшей степени, чем при истечении из резервуара неог­
раниченных размеров. Вследствие уменьшения сужения струи воз­
193
растает коэффициент сужения е, а следовательно, и коэффициент
расхода р.
Короткие трубки длиной /, равной (3-4)d0, присоединённые к
отверстию в тонкой стенке (рис. А.5.1) или трубопроводу, называ­
ют насадками (соплами). Насадки делятся на три основных типа:
цилиндрические, конические, коноидальные.
Цилиндрические насадки бывают внешние и внутренние, ко­
нические - сходящиеся и расходящиеся, коноидальные - комбини­
рованные.
При движении жидкости в цилиндрическом сопле (рис. А.5.2)
струя вначале сужается примерно так же, как и при истечении из
отверстия в тонкой стенке, а затем расширяется и заполняет всё
сечение насадки.
Рис. А.5.2. Истечение жидкости из внешнего цилиндрического сопла
Зона между струёй и внутренней поверхностью сопла в облас­
ти минимального сечения струи характеризуется понижением в
сравнении с окружающим давлением р и и вихревым движением
жидкости. При одинаковых площади S0 и напоре ——
расход
Р
через сопло будет больше, чем расход через отверстие. Увеличение
расхода жидкости Q через сопло объясняется увеличением скоро­
сти в суженном сечении вследствие вакуума.
Скругляя кромку при входе в сопло, можно избежать сужение
струи, что будет способствовать уменьшению сопротивления сопла
и увеличению расхода жидкости.
194
Формулы скорости и расхода для сопел те же, что и для отвер­
стия в тонкой стенке, но при этом коэффициенты е, (р, р имеют
другие значения.
При экспериментальном определении коэффициентов е, ф, р.
кроме напора ——
и расхода воды О, необходимо измерить в
Р
сечении 2 площадь струи S2 или скорость истечения С2ср. Проще
определить скорость С2ср по измеренным координатам х, у на оси
струи произвольного сечения (рис. А.5.3).
14
21
20
-----^
Рис. А.5.3. Схема измерения координат струи при истечении жидкости
При свободном истечении струи её траектория имеет форму
параболы. Пренебрегая трением струи о воздух, можно предполо­
жить, что каждая частица струи жидкости движется как свободная
материальная точка, на которую действует только сила тяжести.
Тогда движение жидкости после истечения из отверстия (сопла)
рассматривается как сумма равномерно ускоренного движения по
вертикали (у = g{t/2)) и равномерного движения по горизонтали
(х = С2ср0.
Исключив время t, получим С2ср = х
Из-за перекоса сопла при истечении возможно некоторое
отклонение оси струи жидкости от горизонтального направления.
195
С учётом этого отклонения более точный расчёт скорости истече­
ния С2 ср производится с помощью координат Х|. уI и х2, у2, измерен­
ных в двух сечениях струи:
( 12 )
где g = 9,81 м/с2 - ускорение силы тяжести.
При практических расчётах значениями коэффициентов е, (р, р
задаются, исходя из рекомендаций справочных материалов.
Описание лабораторной установки
В качестве лабораторной установки используется универсаль­
ный гидравлический стенд ГС-ЗМ [4]. К напорному выходному
патрубку гидростенда 13 (рис. А.5.3) с помощью накидной гайки
присоединяется исследуемое сопло 14. Вода из сопла по лотку 12
попадает в сливной бак 19. Координирование траектории оси струи
производится вертикальной линейкой 20, перемещающейся по го­
ризонтальной линейке 21. Набор сопел представлен на рис. А.5.4.
Сопло 1 соответствует отверстию в тонкой стенке.
Рис. А.5.4. Набор исследуемых сопел
196
П орядок вы полнения работы
1.
Для записи показаний приборов и результатов вычислений
заготавливается протокол эксперимента.
Образец протокола эксперимента
Измеряемые величины
Х2 Y! у 2 q 2
№
d0 Рм
сопла мм дел. мм мм мм мм л/с
1
2
3
4
№
сопла
1
2
3
4
Вычисляемые величине
С2ср С2ид So СЬид q 2
м/с м/с м2 м3/с м3/с
ф е
2. Измерить давление р н и температуру /н воздуха в помеще­
нии лаборатории.
3. Проверить готовность установки к эксперименту. При этом
сливной вентиль 5 [4] должен быть полностью открыт, дополни­
тельный сливной вентиль б и вентиль автономного режима 9 за­
крыты.
4. Измерить расстояние Х\ и Х 2 от выходного сечения отвер­
стия, сопел до измерительной кромки вертикальных линеек.
5. Установить режим истечения по избыточному давлению р ш
ресивера 2 (рис. А.5.3), регулируя вентилем подачи воды так, что­
бы струя не выходила за пределы сливного лотка 72. Во время экс­
перимента давление р шподдерживать постоянным.
197
6. Измерить вертикальные координаты У\ и Г2 по оси струи.
7. Измерить расход воды ротаметром.
8. Закрыть вентиль подачи воды 8. Для ускорения слива воды
из ресивера 2 открыть дополнительный сливной вентиль б [4].
9. После слива воды закрыть вентиль б, затем отсоединить со­
пло от напорного выходного патрубка 13.
10. Повторить пункты 4, 5, 6, 7, 8, 9 для каждого следующего
сопла.
11. Результаты измерений для всех сопел записать в протокол.
Обработка результатов эксперимента
1. По результатам измерений координат X и Y на оси струи в
двух сечениях определить по формуле (12) действительную ско­
рость истечения воды С 2ср в м/с.
2. Подсчитать по формуле (6) теоретическую скорость истече­
ния С 2ид в м/с, имея ввиду, что р\ р„ р ы
3. Подсчитать по формуле (10) объёмный расход идеальной
воды без сужения струи Q2ид в м /с . Здесь S0 = nd02/4, в л/2.
4. Определить действительный расход воды при истечении Q2
в м3/с по результату измерения его ротаметром.
5. Подсчитать по формулам (11), (7), (9) коэффициенты е, (р, р.
6. Расчёты по пунктам 1, 2, 3, 4, 5, повторить для всех сопел.
Содержание отсчёта
1. Протокол эксперимента со схемой измерения координат
струи при истечении жидкости и с эскизами набора исследуемых
сопел.
2. Сравнение величин коэффициентов е, (р, р для отверстия и
различных сопел.
198
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ № 6
ГРАДУИ РО ВК А Д И А Ф РАГМ Ы
Цель работы:
1. Определение экспериментального значения коэффициента
расхода ц. диафрагмы при различных расходах воды.
2. Построение зависимости коэффициента расхода ц от числа
Рейнольдса.
Теоретические основы эксперимента
Для измерения расхода жидкости или газа в трубопроводах
часто используются сужающиеся устройства (диафрагма, сопло,
труба Вентури). Диафрагма представляет собой тонкий диск с кон­
центрическим отверстием диаметром d, имеющим острую кромку
со стороны входа жидкости (рис. А.6.1). При протекании через су­
жающееся устройство изменяется площадь проходного сечения,
струи жидкости, а соответственно - скорость движения и статиче­
ское давление.
Обозначим сечение 1-1 трубопровода перед входом в диа­
фрагму в том месте, где это устройство еще не влияет на характер
потока, а 2-2 - сечение наибольшего сжатия струи после диафраг­
мы. На рис. А.6.1 показано также изменение статического давления
и средней скорости при движении жидкости через диафрагму.
Зависимость между расходом несжимаемой жидкости (р =
= const) и перепадом статического давления (разностью пьезометри­
ческих напоров) в выбранных сечениях 1-1 и 2-2 может быть оп­
ределена с помощью уравнения Бернулли и уравнения расхода для
установившегося движения. Введем обозначения:
z | и z2 - высоты центров тяжести сечений 1-1 и 2-2 надплоскостью сравнения;
F\ - площадь сечения трубопровода;
Fd - площадь проходного сечения диафрагмы;
199
F2 - площадь сечения потока жидкости в месте наибольшего
сжатия;
ai и а. 2 значения коэффициента кинетической энергии потока
соответственно в сечениях 1-1 и 2-2;
у - удельный вес жидкости;
C,i-2 - коэффициент местного сопротивления на участке потока
между сечениями 1-1 и 2-2.
Уравнение Бернулли
2
Р \
2
С\
Р 2
С 7
2
Р
С 7
z , + — + a, — = z , + — + а 7— + с,_? — .
7
2g
1 у
2 2g
2g
(1)
Уравнение расхода
(2 )
F i - c 1 = F 2 -с2
В уравнении (2) площадь сечения струи F2 можно определить
по площади отверстия сужающегося устройства (диафрагмы), ис­
пользуя коэффициент сжатия струи в:
F2 = z-F d
(3)
р
Тогда/^ = e-Fd -с2, а с, =с2 -е— .
F
(4)
Из уравнения (1) с учетом (4) получим
1
С~) —■
2g
(F ^
{ z \ - z 2)+ Pl
Pl
(5)
J
+ ^1 - 2
Объемный расход жидкости Q = c 2 ■b 2 .
(6)
С учетом (3) и (5) уравнение (6) приобретает вид
в =-
е
а 2 - оце21
200
■Fd -A2g {z, ~ z2)+^ F
У
+ £ l-2
(7)
Tfrr
Сопр
Рис. А.6.1. Структура потока и распределение давленияр,
средней скорости с в трубе с диафрагмой
В уравнении (7) Ар р\ р2 разность давлений в точках пото­
ка, соответствующих средним скоростям в сечениях 1-1 и 2-2.
Обычно замер давлений производится в непосредственной близо­
сти до и после прибора у стенок трубопровода или в кольцевых
камерах сечения ( 1 1 ' и 2 '-2 '), сообщающихся с потоком при
помощи кольцевых щелей (рис. А.6.1). Эти камеры осредняют дав­
ление по периметру сечения трубы. Обозначим отношение перепа­
да давлений в выбранных сечениях к измеренному через коэффициР \~ Pi
—, который зависит только от конструктивных осоент \|/ = —-----Р\ - P i
бенностей прибора.
Тогда уравнение (7) можно представить в виде
201
Множитель ц в уравнении (8) называется коэффициентом рас­
хода сужающегося устройства (диафрагмы).
Отношение ■
согласно ГОСТ 18083-72 называют от­
носительной площадью сужающего устройства и обозначают буквон т:
( 10)
Уравнение (9) с учетом (10)
(П )
В случае движения жидкости по горизонтальной трубе (z, = z-J
уравнение (8) упрощается:
где Ah = —— — - разность пьезометрических напоров. Расчет по
У
формуле (9) является приближенным из-за невозможности точного
определения коэффициентов ощ а2, Q.2 , в, \|/.
С достаточной для практических расчетов точностью значение
коэффициента а для каждого расходомера может быть определено
опытным путем. Для этого, используя иной способ измерения расхо­
да жидкости, например объемный, определяют ц по формуле (12):
Q
(13)
Получив опытные значения ц. при различных расходах жид­
кости, а значит, и различных числах Рейнольдса, можно построить
тарировочный график р = /(Re) для данного расходомерного уст­
ройства с постоянным значением т.
Существует предельное значение числа Re, выше которого
коэффициент расхода ц остается постоянным. Это значение числа
Re называют нижней границей квадратичной зоны. В этой зоне
(ц = const) тарировочный график по результатам опытов удобно
представлять в виде зависимости расхода Q жидкости от перепада
пьезометрических напоров Ah: Q = f (Ah). Изображение этой зави­
симости в логарифмических координатах выражается прямой ли­
нией. Сужающимися устройствами в качестве расходомеров удоб­
но пользоваться при ц = const, т.е. при Re > Renp.3TO значение /л ис­
пользуется в формулах (8) и (12) при определении расхода жидко­
сти в трубопроводе по измеренному перепаду давления (р - р'2) .
Размеры нормальных или стандартных диафрагм, а также гра­
фики зависимости коэффициента расхода ц от соотношений диа­
метров d/D или т = | — I и чисел Рейнольдса приводятся в [1, 2,
3]. Среди сужающихся устройств диафрагма отличается простотой
конструкции. Однако она имеет наибольшее гидравлическое со­
противление и вызывает потери полного напора, т. е.
. Кроме того, во время эксплуатации острая кромка
28 л
отверстия диафрагмы быстро изнашивается, что влечет за собой
изменение коэффициента расхода. На точность показаний диафраг­
мы и других сужающих устройств сильно влияет равномерность
поля скоростей на подходе к прибору. Для выравнивания поля ско­
ростей необходим достаточно длинный прямолинейный участок
трубопровода до и после сужающего прибора. Если d/D < 0,5; то
прямолинейный участок до диафрагмы должен быть (7-8) Д а по­
сле неё (5-6) Д. Это справедливо для возмущения потока от повоА А гВДр =
203
рота трубопровода на 90-180°. В случае возмущения потока от за­
движек и кранов, особенно когда они не открыты полностью, длина
прямого участка до прибора увеличивается до (25-30) D.
Описание установки
Рабочий участок гидростенда представляет собой горизон­
тальную трубу 2 постоянного сечения, в которую вмонтирована
диафрагма 4 (рис. А.6.2). Трубопровод питается водой из бачка 1.
Для измерения перепада пьезометрических напоров в сечениях до
и после диафрагмы установлены пьезометры 3 и 5. Изменение рас­
хода воды производится вентилем 6. Расход воды определяется
объемным способом с помощью мерного бачка 7 и секундомера.
При замере расхода воды сливной клапан 8 мерного бачка закрыт.
Рис. А.6.2. Схема рабочего участка гидростенда для тарировки диафрагмы
Порядок выполнения работы
1.
Заполнить трубопровод 2 водой (рис. А.6.2). Для этого при
полностью открытом сливном кране 2 открыть вентиль 1 (см. опи­
сание гидростенда). Регулируя вентилями 1 и б, установить режим
204
течения, при котором уровень воды в напорном бачке сохраняется
постоянным, а через выточки бачка наблюдается небольшой слив.
2. Проверить отсутствие воздуха в трубопроводе 2 и пьезомет­
рах 3 и 5. Для этого закрыть вентиль 6. Уровень жидкости в пьезо­
метрах 3 и 5 должен быть одинаковым.
3. Установить режим течения воды, постепенно открывая вен­
тиль б, соблюдая при этом условия п. 1.
4. Записать показания пьезометров 3 и 5. При небольших ко­
лебаниях показаний их осредняют и полученный средний результат
записывают.
5. Определить расход воды, для чего, закрыв клапан 8, с по­
мощью секундомера определить время t заполнения мерного бачка
7 водой объемом V литров. Записать показания приборов.
6. Измерить температуру воды t °С.
7. Регулируя вентилями 1 и б, сменить режим течения, посте­
пенно увеличивая расход воды. При этом необходимо следить за
постоянством уровня воды в напорном бачке.
Повторить опыт (п. 4-7) для нескольких расходов воды.
8. Записать данные эксперимента в протокол.
Протокол эксперимента
Экспериментальные данные
V
hi
Г
4
D
d
F
F a
1)
мм.вод.ст. л °с °С м м
ft
1
2
3
4
5
6
1
Ah
Q
11
мм вод. ст. м 3/с
8
9
10
11
с
V
Re
м/с м 2/с
12
13
14
15
1
2
3
4
5
6
7
205
Рабочие формулы
1. Объемный расход воды
Q = — м 3/с,
t
где V —замеренный объем воды, м3; t - время заполнения бачка за­
меренным объемом воды, с.
2. Среднемассовая скорость воды в трубопроводе
с = — м/с,
F
где F —площадь поперечного сечения трубы, м .
3. Разность пьезометрических напоров в сечениях до и после
диафрагмы:
где hi - высота столбика воды в пьезометре перед диафрагмой, м;
h2 - высота столбика воды в пьезометре после диафрагмы, м.
4. Коэффициент расхода диафрагмы
где Fd - площадь проходного сечения диафраг-
g = 9,81 м/с2 - ускорение силы тяжести.
5. Кинематический коэффициент вязкости v определяется по
температуре t °С воды (рис. А.6.3).
6. Число Рейнольдса Re =
cD
V
,где
D - диаметр трубы, м:
с - среднерасходная скорость потока воды в трубе, м/с,
v - кинематический коэффициент вязкости воды, лг/с.
206
Погрешность определения коэффициента расхода диафрагмы
Точность определения коэффициента расхода о, оценивается
относительной средней квадратичной погрешностью
где o0V - относительная средняя квадратичная погрешность изме­
рения величины объема воды;
Got - относительная средняя квадратичная погрешность изме­
рения времени заполнения водой объема V;
o0At - относительная средняя квадратичная погрешность изме­
рения разности пьезометрических напоров;
Od - относительная средняя квадратичная погрешность изме­
рения диаметра отверстия диафрагмы.
При прямом однократном измерении величин, что наблюдает­
ся в данной лабораторной работе, равновероятно получение любой
величины погрешности в пределах - Дтах , + Дтах поэтому закон рас­
пределения погрешностей отличается от нормального [2].
Дифференциальная функция распределения имеет вид
1
а средняя квадратичная погрешность измере­
/Д = const = ---------,
ния
‘max
где Дтах
тоах - максимальная абсолютная погрешность.
Относительная квадратичная погрешность измерения
6
где S —относительная максимальная погрешность.
207
При проведении данной лабораторной работы объем воды из­
меряется с точностью ±0,05 л. Тогда относительная средняя квад1 ±0,05 100
ратичная погрешность будет c 0v = —j=----------------.
л /3
v
Измерение времени заполнения объема производится секун­
домером с точностью ±0,1 с. Относительная среднеквадратичная
погрешность измерения времени
1
± 0 ,1-100
V3
t
G 0t = —j = ------------------- .
Перепад пьезометрических напоров Ah измеряется с помощью
пьезометров с точностью ±2 мм, тогда относительная средняя
квадратичная погрешность будет
1
±2100
Отверстие диафрагмы изготовлено с точностью ±0,01 мм, сле­
довательно, относительная средняя квадратичная ошибка измере­
ния диаметра отверстия диафрагмы составит
1
± 0,01 -100
d s
d
Подставив числовые значения в исходную формулу (14), по­
лучим относительную среднюю квадратичную ошибку определе­
ния коэффициента расхода р в процентах.
Указанные погрешности находятся для двух значений коэф­
фициента расхода ц - максимального и минимального - и сводятся
в таблицу:
d
мм
208
Ah
мм
V
л
t
с
@0v
%
Got
%
Оодь
%
Od
%
%
Содержание отчета
1. Протокол эксперимента со схемой установки.
2. График зависимости коэффициента расхода ц диафрагмы от
числа Рейнольдса ц = / (Re).
3. Определение по графику ц = /(Rc) нижней границы квадра­
тичной зоны (ц = const).
4. Оценка погрешности определения ц.
5. Выводы.
Литература
1. Кремлевский П.П. Расходомеры и счетчики количества. 3-е изд. - Л.: Машиностроение, 1975. С. 12-81.
2. Лабораторный курс гидравлики, насосов и гидропередач /
Под ред. С.С. Руднева и Л.Г. Лодвидза. - М.: Машиностроение,
1974.- С . 29-36, 95-108.
3. Вильнер Я.М., Ковалев Я.Т., Некрасов Б.Б. Справочное по­
собие по гидравлике, гидромашинам и гидроприводам. - Минск:
Вышэйш. шк., 1976. - С. 180-184.
209
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ № 7
СОВМ ЕСТНАЯ РАБО ТА Ц ЕН ТРО БЕЖ НО ГО НАСО СА
И ТРУБОП РО ВОДА С П ЕРЕМ ЕНН Ы М
ГИ ДРАВЛИ ЧЕСКИ М СОП РОТИВЛЕН И ЕМ
Составители: В.В. Бирюк, А.М. Цыганов
Цель работы заключается в экспериментальном определении
характеристик центробежного насоса и трубопровода с перемен­
ным гидравлическим сопротивлением, а также в изучении способов
регулирования положения рабочей точки в поле характеристики.
Теоретические основы
Насосами называются гидравлические машины или гидравли­
ческие аппараты, предназначенные для повышения давления жид­
кости с целью её перемещения, распыливания, передачи энергии
потребителю через жидкость.
Из истории насосной техники [3]
Простейший ковш - человеческая рука, ещё лучше - две руки.
Кувшин - глиняный сосуд в форме ковша. Затем несколько таких
кувшинов подвешивались на цепь или колесо. Люди или животные
использовали свою силу для того, чтобы привести эти устройства в
движение и поднять воду. Археологические находки доказывают
существование таких ковшовых механизмов в Египте и Китае уже
в X веке до и. э. На рис. А.7.1, а представлена схематическая ре­
конструкция китайского черпального колеса, представляющего со­
бой большое колесо с прикреплёнными к нему глиняными горшка­
ми, которые поднимали воду. Колесо приводилось в движение че­
ловеком или животными. Эта идея была развита в 1724 г. Я. Лёйпольдом. Он предложил прикрепить к колесу изогнутые трубки
так, как показано на рис. АЛЛ, б. При вращении колеса течением
вода поднималась до его средней оси. В этой конструкции бросает­
210
ся в глаза форма изогнутых трубок, имеющих поразительное сход­
ство с каналами рабочего колеса современного центробежного на­
соса (см. рис. А.7.2). Архимед - величайший учёный и математик
древности описал в 250 г. до и. э. названный его именем винт (см.
рис. А.7.1, в). Вода поднимается наверх за счёт вращения спирали в
трубе или резервуаре. Эти винтовые насосы конструировались та­
ким образом, чтобы при их эксплуатации можно было выбирать
между большим количеством перекачиваемой жидкости и боль­
шим напором. Чем больше угол наклона насоса, тем больший дос­
тигается напор при уменьшении объёма перекачиваемой среды.
Угол наклона оси винта Архимеда составлял 35...45 град., напор
достигался 2 . . . 6 м, максимальная подача воды составляла около 10
м3/час. Так появилась характеристика насоса - зависимость меж­
ду подачей и напором. В общем случае работоспособность насоса
характеризуется его напором (Н% подачей (расходом жидкости)
( 0 , потребляемой мощностью (N), КПД (ц), частотой вращения
ротора (п).
а
б
Рис. А.7.1. Из истории насосной техники:
а - китайское черпательное колесо; б - черпательное колесо
с изогнутыми спиралями; в - винтовой насос Архимеда
211
По принципу действия различают три основных класса насо­
сов: 1) лопастные или лопаточные (насосы обтекания); 2) объёмные
(насосы вытеснения); 3) струйные и вихревые (насосы увлечения).
В лопаточных насосах преобразование энергии двигателя происхо­
дит в процессе обтекания лопаток колеса и их силового воздейст­
вия на поток. В них повышение энергии жидкости производится
лопастным колесом (ротором), вращающимся в полости статора.
Лопастные насосы подразделяются на центробежные (радиаль­
ные), диагональные и осевые (пропеллерные). Они не обладают
способностью самовсасывания, поэтому при пуске их всасываю­
щую трубу и колесо заливают перекачиваемой жидкостью. Факто­
ром, ограничивающим частоту вращения ротора или высоту всасы­
вания лопастного насоса, является кавитация, которая сопровож­
дается нарушением сплошности течения жидкости в результате
местного снижения давления. Область применения лопастных на­
сосов: напор 1...2500 м столба жидкости; подача от долей до десят­
ков м/с: КПД 60...92%.
На рис. А Л .2, а изображена простейшая схема центробежного
насоса. Проточная часть насоса состоит из трёх основных элемен­
тов: подвода 1, рабочего колеса 2 и отвода 3. Жидкость движется
через колесо из центральной его части к периферии. В рабочем ко­
лесе энергия передаётся жидкости путём динамического воздейст­
вия лопаток на поток. При натекании потока на крыловой профиль
(например, на крыло самолёта) на его верхней и нижней поверхно­
стях образуется перепад давления и, следовательно, возникает
подъёмная сила. При движении жидкости на лопатках рабочего
колеса лопастной гидромашины возникает аналогичная подъёмная
сила. У лопастного насоса момент подъёмных сил относительно
оси колеса противодействует вращению рабочего колеса. Лопатки
колеса должны быть соответствующим образом спрофилированы
для данной подачи, частоты вращения и направления движения
жидкости. Преодолевая момент подъёмных сил, при своём враще­
нии, рабочее колесо совершает работу. Для этого к колесу от дви­
212
гателя подводится энергия. Согласно закону сохранения и превра­
щения энергии подводимая к колесу энергия может быть либо пре­
вращена в теплоту и, следовательно, быть «потеряна», либо пере­
дана жидкости.
В рабочем колесе насоса частицы жидкости движутся относи­
тельно рабочего колеса и, кроме того, они вместе с рабочим коле­
сом совершают переносное движение. Сумма относительного и
переносного движений есть абсолютное движение жидкости, то
есть её движение относительно неподвижного корпуса насоса. На
рис. А.7.2, б изображены траектории АВ (относительного движения
частицы) и АС (абсолютного). Абсолютная скорость равна геомет­
рической сумме относительной и окружной скорости рабочего ко­
леса в точке расположения частицы:
V= W + и
При прохождении жидкости через колесо её момент количест­
ва движения увеличивается. Согласно уравнению моментов коли­
чества движения для установившегося движения жидкости, раз­
ность моментов количества движения выходящей из канала и вхо­
дящей в него жидкости за единицу времени равна моменту внеш­
них сил, с которыми рабочее колесо действует на жидкость.
В объёмных насосах повышение энергии происходит в про­
цессе вытеснения в напорный трубопровод объёма жидкости из
замкнутого пространства насоса поршнем (плунжером, скалкой),
мембраной, имеющими возвратно-поступательное движение, или
при вытеснении объёма жидкости зубьями шестерён, винтами, ку­
лачками, выдвижными, скользящими пластинами при вращатель­
ном движении этих элементов насоса (роторные насосы). В струй­
ных и вихревых насосах преобразование энергии двигателя проис­
ходит в процессе интенсивного образования и разрушения вихрей.
Этот процесс связан с увлечением быстро движущимися частицами
жидкости в ячейках колеса медленно движущихся частиц жидкости
в боковых или охватывающих верхнюю часть колеса каналах.
213
Подачей (или расходом) называется количество жидкости,
подаваемой насосом в единицу времени, м/с. Напором называется
приращение механической энергии, получаемое каждым кило­
граммом протекающей через насос жидкости, то есть разность
удельных энергий жидкости в выходном и входном сечениях насо­
са. Напор выражается в Па = Н / м 2 = Д ж / м ъ , метрах столба жидко­
сти или Д ж / к г .
Я нас = - /мех = {р2- р \ ) / (pg) + (W2 - W 2) / (2g) + (z2 - Zj).
Для выполненных насосов
z2 - zi ~ 0; { W f - W f i / l g - O .
В результате Я нас = - 1шех = (p2- p i) / p g , M
или Я нас = - /мех = р 2- р \ , Па.
а
/К
6
Рис. АЛ.2. Устройство насоса и кинематика жидкости:
а - схема центробежного насоса консольного типа;
б - движение жидкости в рабочем колесе
214
Рассмотрим совместную работу трубопровода с насосом. На­
сосная подача жидкости в авиационной, ракетной и автомобильной
технике наиболее распространена, вследствие её надёжности, хо­
роших характеристик и минимального веса [1]. Часть трубопровода
до насоса называется всасывающей, за насосом - нагнетающей
(напорной). Давление на входе в насос (р) должно обеспечить ра­
боту насоса без кавитации. Для предотвращения кавитации следует
снижать температуру жидкости или увеличивать давление на входе
в насос, например за счёт уменьшения гидравлического сопротив­
ления всасывающего трубопровода либо установки подкачивающе­
го насоса (преднасоса).
Потребный напор - это напор, который необходимо сооб­
щить 1 кг жидкости в насосе для обеспечения заданных параметров
работы системы:
Пиас = - /мех = (р2- р\) / р - полезная работа насоса, сообщаемая
1 кг жидкости. Следовательно, работа насоса заключается в повы­
шении давления жидкости.
ЦИ
W■См
к
30
•
еог го
60-15
Ы„я8т
39
и
• ы■
г*г
У
« -1 0
го - s
o'- » /
ч ч
-
✓
г"
го
50 Он во
1
т о,о/с
2$
2&t
15
5 лt
0- S
• <1
3
Рис. А.7.3. Пример характеристики центробежного насоса
Характеристикой трубопровода называется зависимость по­
требного напора от расхода жидкости. При турбулентном режиме
гидравлические потери пропорциональны квадрату расхода жидко­
сти, при ламинарном течении - пропорциональны расходу. На
рис. А.7.4 показаны характеристики насоса, трубопровода, рабочие
точки А и В, а также способы регулирования подачи лопастного
215
насоса дросселированием и изменением частоты вращения ротора
насоса.
к
н
N
/
Л л л
« -""Г О
!
^С т
!
I
1
1 '
^
1
1
~
at а.
Рис. АЛЛ. Способы регулирования подачи лопастного насоса:
а - дросселированием; б - изменением частоты вращения ротора
На рис. А.7.3 в качестве примера приведена характеристика
центробежного насоса в виде зависимости напора, мощности и
КПД насоса от его подачи при постоянной частоте вращения рото­
ра. Режим работы насоса, при котором его КПД имеет максималь­
ное значение, называется оптимальным.
Рабочей точкой называется установившийся режим работы
гидравлической системы с насосной подачей жидкости, который
определяется точкой пересечения характеристики трубопровода и
характеристики насоса, то есть соответствует условию Нуб = Н„ж.
Во время работы такой режим устанавливается и поддерживается
автоматически. Потребные расходы жидкости могут изменяться в
широком диапазоне, поэтому гидравлические системы часто снаб­
жаются системами регулирования, позволяющими смещать рабо­
чие точки на меньшие и большие расходы. Например, широко при­
меняется регулируемый перепуск части жидкости помимо насоса
из нагнетающей магистрали во всасывающую, а также изменение
частоты вращения ротора насоса. Перепуск прост в реализации,
однако снижает эффективность системы. Для ступенчатого изме­
216
нения частоты вращения ротора электродвигатель изготавливают с
различным числом обмоток. Бесступенчатое регулирование часто­
ты вращения ротора обеспечивает электронный преобразователь
частоты вращения, изменяющий стандартную частоту в 50 Гц от 20
до 100 Гц [3].
Полезной мощностью называется механическая энергия, ко­
торую насос сообщает всей массе жидкости в единицу времени:
Л^мех = kaoG = [(Р2 -Р\) / p]G = (р2 -P\)QМощность двигателя, приводящего в действие насос, больше
полезной на величину мощности, затраченной на преодоление гид­
равлических сопротивлений в насосе и сопротивлений трения в
приводе и подшипниках. Эти потери учитываются общим К П Д
насоса.
г| = N uex/ N3n.
Р и с .5 - Схема учебного гидростенда
2-олщ.
3-кран с л ш а
4-peafrp.iyjp
6-ГВИТИЛЬ Л0Д10Д1
коды ответы
0-Ю Лоб егикной
7-(ЭЙКа «рвпленит
рабочегоучастка
в-ротамотр
9-иаионвтр
10- трубка гибка*
11' пюосмбтричаешй
цит
12'рабочиг участок
1 3 -р Зб йчий СТОЛЩ
14 -механизм уплотнения
рабочего участка
14-бак расходный
14- кран расходный
17- сяетш к м д ы
Тв-лмсртнмгср
23-*аземление
2 4 -м ш сгм тр н асоса ш
ходной
2б-льесяОМ*тр насоса
29- труба парапуока годы
30 кран елика коды
31 устройств* регуянрок
гн прс-пнодаелечия
1 9 -трубаслнгнаи
20- блок регулирсккн мод- 2©-олег.тронасос
носта наеоса
27 - кентиль напорный на-
21.липерметр
мол
22-ю п*тметр
2d- кран перепуска роды
217
Значения полного КПД находятся в пределах 0,60...0,85 для
шестерёнчатых и 0,70...0,85 для центробежных насосов [1].
Общий КПД насоса получается умножением КПД электриче­
ской и гидравлической частей [4]. Если насос работает на закрытую
задвижку (нулевой расход при максимальном напоре) или на пол­
ностью открытую трубу (максимальный расход при нулевом напо­
ре), то КПД равен нулю. Оптимальный КПД насоса (оптимальная
рабочая точка) лежит приблизительно в середине его характери­
стики и специально на ней обозначается.
Схема учебного стенда представлена на рис. А.7.5. Здесь опи­
сываются только те особенности гидростенда и его системы изме­
рения, которые необходимы для выполнения данной лабораторной
работы. До начала выполнения работы необходимо установить в
качестве рабочего участка канал переменного сечения 12 и под­
ключить его измерительные каналы к пьезометрическому щиту 11
(для обеспечения герметичности магистрали). Заполнить чистой,
отфильтрованной водой из водопроводной сети расходный бак 15
примерно на 2/3 его объёма. Для этого необходимо закрыть краны
3, 28, 30 и открыть вентиль подачи воды 5 и вентиль 27. Переклю­
чателем блока регулировки 20 установить максимальную мощность
электронасоса около 400 Вт. Открыть полностью регулировочный
вентиль 27 и произвести все замеры на первом режиме: это показа­
ния пьезометра 25 на входе в насос манометра 24 на выходе из на­
соса, показания счётчика воды 17 в начале эксперимента и по исте­
чении одной-трех минут. Для уменьшения гидравлического удара
перед включением электронасоса 26 рекомендуется открыть кран
перепуска воды 28, а после выхода на режим его закрыть. Прикры­
вая вентиль 27, повторить эксперимент 5...7 раз практически до
полного его закрытия. В результате после обработки получится ха­
рактеристика насоса на режиме максимальной мощности. Повто­
рить эксперимент на «средней» и «минимальной» мощности элек­
тронасоса, примерно при 300 и 200 Вт.
218
Обработка результатов эксперимента и оформление отчёта
По показаниям пьезометра и манометра записать в протокол
измерений избыточное (по отношению к атмосферному) давление
воды на входе и выходе из насоса, соответственно ± Д /ц и Ар2,
электрическое напряжение U и ток I, показания счётчика воды Я||;|Ч
и jVK0Hза время т.
Рассчитать и записать в таблицу рассчитанных величин про­
токола абсолютные значения давления на входе и на выходе из на­
соса:
P i = + lAhx +
р н;
Р2 = £ р 2 + Р к ,
где р„ - атмосферное давление.
Напор насоса:
# н а с = Р 2 - Р \-
Потребляемая электрическая мощность:
W3л = U-I coscp.
Расход воды:
Q = (Якон - Янач) / т.
Механическая (полезная) мощность насоса:
W uex = { Р 2 ~ Р \ ) - Q
Коэффициент полезного действия насоса (условный):
11=^мех/^эл.
Построить характеристику насоса в виде зависимости напора,
механической мощности и КПД от расхода при различной частоте
вращения ротора насоса. Примечание. Начало координат распола­
гать в точке Н = 0 и Q = 0 для последующего обозначения точек
«нулевого» и максимального значения КПД насоса.
Построить характеристику трубопровода при различном по­
ложении регулировочного вентиля 27 (в зависимости от гидравли­
ческого сопротивления сети). Обозначить положение нескольких
рабочих точек на пересечении характеристики насоса и трубопро­
вода.
219
Провести линию оптимальных режимов работы гидравличе­
ской системы с насосной подачей жидкости (линию максимальных
значений КПД при изменении нагрузки на насос).
Контрольные вопросы
1. Определение и классификация насосов.
2. Напор, подача насоса, единицы измерения.
3. Определение характеристики насоса и трубопровода.
4. Рабочая точка и способы её перемещения в поле характери­
стики.
5. Как определяется КПД насоса?
6. Записать уравнение Бернулли для насоса, всасывающего и
напорного трубопровода.
7. Определение простого и сложного трубопровода.
8. Как рассчитываются потери на трение и местные гидравли­
ческие потери?
9. Приведите примеры местных гидравлических сопротивле­
ний и покажите их на гидростенде.
Литература
1. Лабораторный курс гидравлики насосов и гидропередач /
Под ред. С.С. Руднева, Л.Г. Подвидза. - М: Машиностроение, 1974.
-4 1 6 с.
2. Насосная азбука. - М.: ВИЛО РУС, 2000. - 44 с.
220
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ № 8
ИССЛЕДОВАНИЕ ОСОБЕННОСТЕЙ ТЕЧЕНИЯ
И ЭНЕРГООБМ ЕНА ВИХРЕВЫ Х П ОТОКОВ Ж ИДКОСТИ
В ГИ ДРАВЛИ ЧЕСКО М ГЕН ЕРАТОРЕ ТЕПЛА
Составители: В.Н. Белозерцев, В.В. Бирюк, Е.А. Рамзаева
Цель работы: экспериментальное изучение процесса закру­
ченного потока вязкой несжимаемой жидкости в гидравлическом
теплогенераторе и определение его основных характеристик.
Теоретические основы работы
Традиционными теплогенераторами, нашедшими широкое
применение в технике и быту, являются преобразователи энергии,
использующие теплоту сгорания различного рода топлива (жидкого, твердого и газообраз­
ного). Недостатками их яв­
ляются загрязнение окружа­
ющей среды продуктами
сгорания, значительные фи­
нансовые затраты при транс­
портировке
и
хранении
энергоносителей.
Создание, разработка и
исследование экологических
оды
теплогенераторов, реализу­
ющих в своей работе иные
принципы преобразования
Рис. А.8Л. Общий вид теплогенератора:
1 - входное устройство, 2 - завихритель,
различных форм энергии в
3 - корпус, 4 - развихритель,
тепловую, представляет зна­
5 - выходное устройств
чительный интерес. Приме­
6
221
ром таких теплогенераторов являются гидравлические вихревые
теплогенераторы (ТВГ). В ТВГ электрическая энергия (привода
насоса) преобразуется в кинетическую энергию поступательного и
вращательного движения потока жидкости. В ТВГ жидкость, при­
водимая в движение насосом, поступает через входное устройство
в завихрителе.
Благодаря тангенцальному вводу 1 и профилю завихрителя 2
жидкость закручивается, приобретая вихревой, спиралевидный ха­
рактер движения. К моменту поступления в корпус теплогенерато­
ра 3 скорость ее растет. За счет вязкостного трения, кавитации
жидкость подогревается. Дополнительный подогрев жидкости про­
исходит за счет взаимодействия свободного и вынужденного вих­
рей в корпусе теплогенератора. От распределения осевых, тангенцальных и осевых составляющих эпюр скоростей и давлений будет
зависеть интенсивность энергообмена вихревых потоков и подог­
рев жидкости. Поэтому знание законов распределения скоростей и
давлений в рабочей зоне теплогенератора, умение их рассчитать
представляет большой практический и научный интерес. Вопросам
течения закрученных потоков жидкости посвящено много работ,
как правило, в них рассматривается изотермическое течение жид­
кости. В вихревом гидравлическом генераторе тепла жидкость по­
догревается. Но доля подогрева ее за один проход через теплогене­
ратор будет составлять сотые доли градуса, поэтому зависимости
распределения скоростей и давлений в рабочей зоне энергообмена
для изотермической модели будут также справедливы. Неизотермичность течения жидкости потребует введения поправок на рас­
чет ее температуры за время одного цикла. За время цикла работы
подразумевается время одного прохождения жидкости через гене­
ратор.
Уравнение движения вязкой несжимаемой жидкости, в основу
которого положен закон внутреннего трения Ньютона в примене­
нии к жидкой частице, имеет вид
222
^ - = F — -gra<7P + — divT
dt
p
p
(1.1)
С - скорость жидкой частицы;
t - текущее время;
F - ускорение от действия внешних сил;
р - плотность жидкости;
Р - давление, определяющее инвариантное к ориентации в
пространстве площадки, на которую оно действует, значение нор­
мального напряжения;
Т - тензор напряжений.
Дополняя уравнение (1.1) уравнением неразрывности divC = О,
и считая, что массовые силы обладают потенциалом 77, т.е. F =
= grad 77, получим
dt
+ ro tV ■V = —grad
—V r o tr o tV
+П +
2
(1.2)
P .
В тензорной форме уравнение движения турбулентного пото­
ка представляется в виде уравнения Рейнольдса [1] с определенны­
ми компонентами скорости в декартовой системе координат
(С = {Cj, C2,C 3j - вектор скорости, компоненты которого отно­
сятся к координатам X =
, х 2, х 3} соответственно) и их пуль-
сационными составляющими С' = {С', ( , ('(} скорости г / . и .
При отсутствии внешних массовых сил эти уравнения имеют
вид:
ЭС
„ дС
— L+ С .— L=
dt
Эх
1 др
„ 2/^
1
3 /
------\
— + v V С.-+ -------- -- p n v , )
р Эх,
р Эх
(1.3)
ЭС,
—^ = 0
Эх>
где р - осредненное во времени значение давления;
—рЦЦ - тензор осреднениях турбулентных напряжений;
V2 - оператор Лапласа.
223
Уравнение (1.3) для случая движения закрученного потока в
горизонтальной цилиндрической трубе удобно представить в ци­
линдрической системе координат т, 0, z (рис А.8.2) с осредненными компонентами скорости w (по радиусу), и (по углу 0), V (по оси
z) и пульсационными компонентами скорости, w ':
о
V
Рис. А. 8.2. Составляющие скорости и характерные радиусы
в поперечном сечении закрученного потока в теплогенераторе
dw
dw и dw
+ W — + -------- +
Эt
dr г дв
р \—
Э2w
dz2
w
г2
Эи
^ dt
2 ЭиЛ
г 2 дв )
+
dv
h
dt
dz
и2 )
г )
W
дР
+
Эг
( Э2w
1 Эг
1 Э2w
г дв
,
2 Эм) 1 Э
+- — \-p r w '2^+ -— {- pw'u')+ (- pw1A ) - - ! - p r u '2^;
гдгх
'гдв
1 ЭР
| Э и 1 Эи 1 Э и Э и
г д в ^ Э г 2 г дг г 2 дв 2 dz2
и
г2
Э (
1 9 / — г\
д (— \
2 Э ( —г т \
1н----- [—р и V------+ ----- 1— pw и ;
\-p w и + ------\ - р и
дг{ И
1 г д в У И 1 dzX И
1 г dzX И
'
+ —
дV и
dv
1
dr г д в
b
dv^l
дР
V ------ — ------------ h p
dz )
dz
1 Э
( d 2V 1 d v
1 d 2V
d 2V )
г- Л-------------- 1----—-Л------- — +
l Э г r dr г д в
dz )
(- p r w lu l ) + - — ( - / ? i r V ) + — ( - p v 2 )
1 гдвКИ
1 dzK и
1
r d
d zz K И
— (nr ) + —— (ru) + — (rv) ;
d z{ ’ r d e y ’ d z{ j
где |Д - динамическая вязкость
224
1 Эw
г дг
/ / — - + ------------ +
г 2 дв )
Эи и Эи
Эи W U ]
дг г дв dz
г)
— —
p\
dw
V -----------------=
Решение этой системы уравнений для ламинарных и турбу­
лентных течений с введением понятия турбулентной вязкости было
получено в работе [2]. Эти решения показали, что при любом про­
межуточном состоянии жидкости на входе, какими бы законами ни
задавался входящий в трубопровод закрученный поток, через опре­
деленное расстояние от начального створа, вследствие вязкой диф­
фузии и диссипации энергии, формируется течение, внутренне
присущее закрученному потоку. Тангенциальная скорость закру­
ченного потока может быть рассчитана из выражения:
l{r,z) =
Г и {г)
1 - ехр
г2 V
1 - ехр
4т1т
( R - r l2 Y
4?j z
(1.4)
| ' и Т| = R R e 1 окончательно имеем:
Так как Т|т =
i(r ,z) = гА г ) 1 - ехр - Re7
л
Y
1 - ехр -R e
4r|r z
2Y
(R -r )
4г| z
(1.5)
В принятой модели при инженерных расчетах используется
значение турбулентного числа Рейнольдса R eT =
VR
где
Лт
Г|т= v a R e
ь
з
-турбулентная вязкость и а = 2,46- 10" ;
b = 1 [6]:
Распределение давления в сечении потока
р{г, г) = р я + p f U^ f, ' > =
= Р.
■Гн {гУ
Р[-
1 - ехр - Re
1 - ехр - R e
4 tjt
z
{R -,
4 rj z
dr
( 1 .6 )
Здесь
р я - давление в полом вихревом жгуте закрученного потока;
Го - радиус цилиндрического разрыва сплошности вблизи оси
вращения, при г < г0 давление р (f'J = j\ , = const.
225
По известным значениям p{r, z) и 0 )(z), а также из начального
условия, заданного функцией распределения по радиусу удельной
энергии частицы жидкости во входном сечении трубопровода
Ня(г), определяется по уравнению (1.5) функция распределения
осевой компоненты скорости потока по длине и текущему радиусу
трубопровода ь(г. z).
(1.7)
+ R o R er Г,
число Россби; £)(..) - интегрально показательная функция.
Таким образом, для кольцевого вязкого турбулентно закру­
ченного потока несжимаемой жидкости в горизонтальном цилинд­
рическом трубопроводе при заданных граничных условиях (усло­
вие прилипания жидкости на стенке) и начальных условиях на вхо­
де (при z = 0, задаваемых функциями Гя(г) и Ня(г) в каждом кон­
кретном случае могут быть получены распределения всех компо­
нентов скорости, давления и радиуса вихревого жгута в функции
расстояния от начального створа и текущего радиуса: b(r. z); u{r, z);
w(r, z); p(r, z); r0(z).
В имитационной математической модели было произведено
исследование течения жидкости при двух различных условиях на
входе в теплогенератор.
В первом случае величина циркуляции на входе задавалась,
как для потенциального течения
У) •г
вх вх г
R
Для решения этой задачи для двух различных условий была
разработана программа расчета в среде Mathcad. Разработаны до­
полнительные программные функции, позволяющие автоматически
/ п = t)BX•rBX = const и как твердое тело / п =
226
переопределять табличные данные р = р(7). С = ('(I)- V = v(/) (плот­
ности, теплоемкости и кинематической вязкости) и реализовать
циклически процедуру расчета осредненных по площади сечения
значений v(r, z); u(r, z); p{r, z) и изменение температуры за не­
сколько проходов жидкости через теплогенератор. Дополнитель­
ные процедуры помещены в отдельный файл Mathcad, расчетные
документы используют вспомогательные функции. Результаты
расчета уравнений (1.4), (1.5), (1.7) позволили использовать урав­
нение Бернулли для несжимаемой жидкости с вращающейся осью
вращения:
р
Откуда
hc
Pi ,
р
2
2
Р\
Pi
р
hc - удельная энергия,
Щ
ui
2
С
здесь
2
затрачиваемая на преодоление сил вяз­
кого трения; p \,p i, Щ, и2, Щ. г>2 - среднеинтегральные значения ста­
тического давления, окружных и осевых скоростей соответственно
во входном и выходном сечениях теплогенератора.
Полагая, что вся она превращается в теплоту и идет на подог­
рев жидкости, проходящей через теплогенератор, находим темпе­
ратуру воды на выходе из теплогенератора.
Из выражения
hc= c(t2 - /, ) следует t2 = tx+—
С
С - теплоемкость воды С =C(t)
Результаты расчета представлены на рис А.8.3-А.8.7.
Исследуемая имитационная модель теплогенератора показала,
что задание циркуляции на входе существенно влияет на физиче­
скую картину течения и практические расчеты. Так, потенциальное
движение на входе, задаваемое Гя = const оказывается практически
неприменимо для описания структуры потока в двух зонах: вблизи
оси вращения и твердых стенок трубы, в которых существенно
воздействие вязкости. В потенциальной схеме течения произведе­
227
ние n i должно оставаться постоянным для всех частиц жидкости, а
течение в меридиональной плоскости не должно зависеть от дви­
жения по окружности. Но
ги
# const вблизи оси вращения, иначе
и —> оо (рис. А.8.3). Результаты исследований показывают, что
вблизи оси вращения
и = 0 при г—»0 [7].
Более близкие результаты дает имитационная математическая
модель при задании циркуляции Гя(г) по второму случаю, рассмат­
ривая вращение жидкости во входном сечении, как вращение твер­
дого тела с постоянной угловой скоростью Г н =
R
Результаты этих расчетов, представленные на рис.А.8.4-А.8.6
подтверждают наличие свободного вихря у периферии трубы и вы­
нужденного вихря, вращающегося как твердое тело.
ЕсШшёа Тёбоазйё пёТбТпбё й бааёбпб
1200т
1000 -
ю
во
-о
о
400-
200 -
60
100
J
г, (%R)
Z=L
Z=0
Z=L/2
Z=L/4
Рис. А.8.3. Изменение окружной скорости по радиусу
для различных сечений трубы теплогенератора
при постоянной циркуляции на входе в трубу теплогенератора
228
E^iaiaiea ie96aeiie neiSinoe ii бааёопо
j
Z=0
Z=L/2
Z=L/4
Рис A.8.4. Изменение окружной скорости no радиусу
для различных сечений трубы теплогенератора
при циркуляции на входе с постоянной угловой скоростью
Bani'daaaeaiea inaauo neidindae
100
87.5
62.5
s® 37.5
-о
12.5
-50
” ”
-40
-30
-20
Nei6inou, i/nae
-10
na-^aiea 0
na-^aiea 1/2L
na-^aiea L
Рис. A.8.5. Изменение осевой скорости по радиусу
для различных сечений трубы теплогенератора
при циркуляции на входе с постоянной угловой скоростью
229
PPP100, j4 10
0 ___ I____ I____ I
0
10
20
30
I
I
I____ I_____ I____ I____
40
50
60
70
80
90
100
Iouneoaeiiiue daaeoft r/R,%
Рис. A.8.6. Изменение статического давления по радиусу
для различных сечений трубы теплогенератора
при циркуляции на входе с постоянной угловой скоростью
55
50
45
40
35
30
25
20
100
150
200
250
к
E-ai б ё ё ё т i5ioiaa геёаётоё
Рис. А.8.7. Изменение температуры ж и д к о с т и
при циркуляции на входе с постоянной угловой скоростью
300
Вместе с тем подтверждение правильности принятого предпо­
ложения должно быть подтверждено экспериментально.
Рассчитанные значения получены в математической имитаци­
онной модели для адиабатно-изолированной жидкости на внешней
поверхности теплогенератора, а также без учета теплоты, пошед­
шей на подогрев корпуса теплогенератора, труб, обеспечивающих
круговое движение по рабочему гидравлическому контуру тепло­
генератора, подогрева всей жидкости, находящейся в системе теп­
логенератор - насос - теплогенератор.
Уточнить темп подогрева АТ для каждого конкретного цирку­
ляционного контура теплогенератора можно с помощью выраже­
ния
П
i=l
здесь A h c - доля удельной энергии, пошедшей на нагрев жидко­
сти;
п
^ / / i - суммарная, удельная энергия, пошедшая на нагрев
i=l
всей воды в контуре, труб и потери в окружающую среду.
Величина относительного теплового потока, отводимого от
внутренней поверхности теплогенератора и труб, за счет теплопро­
водности будет составлять
— Ы ^2Х
dx
Тогда тепловой поток будет равен Q = 2qyl.
Количество теплоты пошедшее на нагрев теплогенератора и
труб, составит О-т. а удельное количество теплоты, отнесенное к
массе жидкости в теплогенераторе, будет равно — .
m
231
Тогда Ahc =hc - — , и подогрев воды в теплогенераторе с уче­
те
Л = Л/2Г .
том отвода теплоты в стенку определится как At
При смешении подогретой жидкости из теплогенератора и
жидкости, находящейся в трубах, температура смешения опреде­
литься по формуле
t
_
CM
m1t1 + т 2 t2
ml + m2
Из этого выражения видно, что температура жидкости после
смешения будет существенно зависеть от суммарной массы жидко­
сти.
На подогрев жидкости будет существенно влиять также коли­
чество теплоты, аккумулированное стенками теплогенератора и
трубами.
Эффективность теплогенератора оценивается коэффициентом
преобразования энергии
ф =£™
(1)
-^зат
?
представляющего отношение полезной теплоты (пошедшей на
нагрев воды и металлоконструкций) Qn0SI к затраченной энергии
(А;п.
Важными энергетическими характеристиками теплогенерато­
ра являются теплопроизводительность - QB - количество теплоты,
пошедшее на нагрев воды и темп подогрева А77т . Последние две
величины взаимосвязаны:
,В т
(2)
т
здесь с в, тев - теплоемкость и масса воды, циркулирующей в
установке;
б в = с вдав —
АТВ- разность температур воды в начале и конце нагрева;
т - время работы теплогенератора.
232
Величина темпа подогрева может быть найдена из уравнения
Бернулли, записанного для вязкой жидкости:
р2
„
д
и,2
Z, + Я1 + Я_ = Z9
P
2
так как
+
III
+
V,2 - vl
2- + h
2
p
2
s
(3)
Z\ = Z2, to
P
-
i
m2
p2 u l v \-v \
+ — = — + — + -!------ + hr
p
2
p
2
,
(4)
2
hc - удельная работа (отнесенная к весовому расходу) сил вяз­
кого трения, переходящая в тепло, - удельная теплопроизводительность;
Р \ , Р г ~ давление на входе и выходе из теплогенератора;
JJ, V]. У2 - тангенциальные и осевые составляющие скорости
на входе и выходе из теплогенератора.
Из (2) может быть найдена удельная теплопроизводительность
^ _
Р \~ Pi
!
U\
р
~ U2
~ V1
V2
2
/5 4
2
Для этого должны быть известны параметры потока жидкости
на входе и выходе из теплогенератора.
Теплопроизводительность установки определяется из выраже­
ния:
2
f
Я . =Gh =G
Pi - P i
i
2
2
2 Л
«1 ~ « 2
V2 ~ V1
2
2
p
(6)
Здесь
G - расход воды в кг/с,
g - ускорение свободного падения.
По величине Н сможет быть оценен темп подогрева.
АТ
Поскольку <2в= я с, а АТ = ----- , то
X
Я
h
Д Я = —£- = -£. ,
G
С
(7)
233
А Г _ P l~ Pi , ul ~ ul
pС
2С
vl ~ vl
2С
(8)
Так как для несжимаемой жидкости осевая составляющая ско­
рости не меняется Ui=U2, то выражение (6) примет вид
Д
т'
= —
{ Р \-Р г
ст [
р
2
у
(9)
Выражение (3) и (4) справедливы для изотермической модели
течения вязкой несжимаемой жидкости; темп подогрева целесооб­
разно оценивать за промежуток времени, для которого изменение
температуры жидкости не влияет на гидродинамическую картину
течения.
Поэтому можно сделать следующие выводы: интенсивность
подогрева жидкости в вихревом гидравлическом теплогенераторе
будет зависеть от параметров жидкости на входе, распределения
окружных, осевых скоростей и давления по радиусу и длине тепло­
генератора. Экспериментальное измерение этих параметров позво­
лит найти практическое подтверждение физической картины тече­
ния жидкости внутри теплогенератора: наличие двух вихревых по­
токов, периферийного - свободного и приосевого - вынужденного,
оценить эффективность энергообмена вихревых течений жидкости
и уточнить температуру подогрева жидкости.
Описание лабораторной установки
Конструктивная схема лабораторной установки приведена на
рис. А.8.8. Она включает в себя: теплогенератор вихревой гидрав­
лической конической формы (ТВГК), насос марки БЦ-11-18У1 с
электроприводом, расширительный бачок, контрольно-измеритель­
ную аппаратуру: счетчик расхода горячей воды, манометры /у : р<
Р з , хромель-копелевые термопары Т\...Т%, ваттметр.
234
4W
Рис. A.8.8. Принципиальная схема стенда для испытаний ТВГК:
1 - теплогенератор; 2 - насос; 3 - электродвигатель; 4 - ваттметр; 5 - бак;
6 - расходомер; р\. р2. р:<- манометры; 7,. Т2
- термопары;
К]... /<\ - вентили
Датчики для измерения давления и температуры воды уста­
новлены на входе и выходе теплогенератора, а также на соедини­
тельных трубопроводах (рис. А.8.8). Датчики давления позволяют
измерять полное и статистическое давление.
Методика проведения эксперимента
Основными параметрами уравнения (9), зависящими от тем­
пературы, является плотность р и вязкость и. В интервале темпера­
туры от 10 до 100 °С изменение этих величин несущественно влия­
ет на характер течения воды. Значительное влияние на работу теп­
логенератора оказывает процесс парообразования. Интенсив-ность
испарения возрастает с ростом температуры. Поэтому эксперимент
235
следует проводить при умеренных температурах: от 10 до 50 °С в
интервале слабого парообразования.
Перед началом испытаний проводятся операции тщательного
удаления воздуха из системы. Записываются показания регистри­
рующих приборов. Данные заносятся в табл. 1. После включения
насоса все параметры регистрируются через равные промежутки
времени - 5 минут в течение 40-50 минут непрерывной работы на­
соса.
Обработка результатов эксперимента
1.
Определить средний расход м !с по времени работы уста­
новки и показаниям счетчика горячей воды:
Jy
i
VГ - V о
X
VT , V0 - показания счетчика в момент времени т и в момент
пуска т = 0.
2. Подсчитать по расходу осевую среднеобъемную скорость
движения воды в корпусе теплогенератора:
V ,-F,
71
Здесь Fi - площадь сечения теплогенератора: Fx = ^ ,
dT= 42 10"3 мм
3. Подсчитать циркуляцию потока в сопловом сечении
Н = U\RC, где Rc - радиус среднего сечения сопла.
4. Подсчитать тангенциальную скорость закрученного потока
на входе и выходе из теплогенератора, считая циркуляцию Н= const
Я
’'1 = Rr
v
5.
Подсчитать удельную и полную теплопроизводительности
из выражения (3)
236
P i-P i
vl ~ vl
P
2
H c =Gh = QB
6.
перимента:
Подсчитать темп подогрева, сравнить с полученным из экс­
А71=-
К- L
А Т -А Т
Е = — — = ^ -1 0 0 %
АТ
7. Подсчитать число Рейнольдса на входе и выходе из тепло­
генератора.
„
v,d u2Rc
Re =
=------vB
v
8. Найти полную теплопроизводительность вихревого гидрав­
лического теплогенератора
твАТв - тепло, пошедшее на нагрев воды;
Qвoд
С',, Я?,, А / ’..
бмет=сМет^мет АГиет - тепло пошедшее на нагрев металла;
Здесь св, смет - теплоемкости воды и металла;
я?,,. шмет - масса воды в системе и металлоконструкции;
св = 4178 Дж/кг К, смет = 462 Дж/кг К;
тв = 6 кг, тыев = 42 кг;
<2пот = ос /'с11С1 (Тл - Т\) X - потери тепла за время проведения
эксперимента х;
а = 10 Вт/м2К - коэффициент теплоотдачи; F = 0,5 м .
9. Подсчитать коэффициент преобразования энергии:
СП—-^иол
О
^зат
10. Записать результаты расчета в табл. 1 и 2.
237
Таблица 1. Рабочие параметры теплогенератора
Измеренные величины
№
п/п
и,
V,
°С
мъ
%, мин
h, °с
t% °с
h, °С
АГд,
V,
Ah,
Ah,,
Р ъ*,
°С/мин
ж’Ыас
м м .ст .Н 20
м м .ст .Н 20
Па
Ри
105 П а
P i,
105 П а
Ръ,
Па
Р а,
Па
1
2
3
4
5
6
:;пкВт
Р 4*
Па
Таблица 2. Рабочие характеристики теплогенератора
Рассчитанные величины
и,
м/с
Vu
м/с
v2,
м/с
АГР,
°С/мин
Q*,
Q m,
Q nor,
Дж
Дж
Дж
Ф=
%
е,
%
Контрольные вопросы к работе
1. Почему при течении вязкой несжимаемой жидкости проис­
ходит ее подогрев?
2. Почему для условий течения воды в теплогенераторе для
широкого интервала изменения температур, ее можно рассматри­
вать как изотермическую жидкость?
3. Что такое теплопроизводительность ТВ ГК?
238
4. Чем объяснить расхождение между теоретическим и экспе­
риментальным значением тепла подогрева жидкости?
5. Что такое коэффициент преобразования энергии?
6. Что такое темп подогрева?
239
Приложение Б
Лабораторный практикум (численный)
Электронные тесты к лабораторным работам № 2... 5
Лабораторная работа но гидродинамике №2
Кавитация в потоке жидкости
Постоянные
=
1000
= 9,81
[кг/мл3]
- плотность жидкости
[м/сл2]
- ускорение свободного падения
= 9.8066 [Па]
Параметры трубы Вентури
i := 1.. 6 [замеров]
:ьный вес
d := 0.026 [м]
Измеряемые величины
- диаметр сечений до и после трубы Вентури
Твоз := 22 [С]
- температуры воздуха и воды соответственно
Твод := 10 [С1]
Рн := 0.999 10
[Па]
- атмосферное давление
[мл3]
- замеренный объем, жидкости
Времяна наполнения объема V:
Tl := 27.2
Т2 := 16.2
is :
т з := 1 2 . "
:
10.1
т б := 9.5
[с]
Давления до и за п ру бой Вентури:
Р115 := 10
[дел]
Р 22. := 0.6
[дел]
Вычисляемые величины
1)
к := 0.06-98.1 1000
к = 5 .8 8 б х 1 0 3
[Па]
- одно деление образцового манометра
РГ := Рн + Р11.-к
Р2. := Рн + Р22. к
240
- пересчет давлений в характерных сечениях
P22)
- отношение давлений
P21 - —
- объемный расход жидкости
4)
S1 :=
ячГ
S1 - 5.309 • 10
[м 2]
- площади сечений до и посла труды Вентури
4
5)
2Р1 S12
Xi = -
1
Р-{<У2
- кавитационное число
6
Z 11
6) ХЧ>" i - 4
ХЧ>“ 973.216
7)
Sy =
- кршпичаскпа кавшпационное число
вычисляется как среднее фри фмети ческое
на реж имах с кавитацией
1 .7 0 1 ■ 1 0
- площадь узкого сечения
dy - 4.654 • 10
• диаметр узкого сечения
4 хч> +
4Sy
8)
tty :=
9)
Q auoc. :=
10) QQmax. :=
• максимально возмож ный бьемный расход жидкосп
i I-%i - SI
i i)
Q.
q
- отношение расходов жидкости
Q in ax.
Результаты
Q: -
Qmax. -
QQmax. -
1.061-105
1 023-105
0.946
4.724-103
1.136 -10 4
2.503-104
1.12S-106
1.011 « 5
0.896
1.749 Ю 3
1.907-10 4
2.557-10-4
0.746
1.167-105
1.023-105
0.861
1.131-103
2.433-104
2.623-10-4
0.928
1.362-105
1.023-105
0.74
1.023-103
2.759-104
2.829-10-4
0.975
1.586-105
1.034-105
0.651
956.247
3.059-10-4
3.033-10-4
1.009
1.764-105
9.99-104
0.566
940.105
3.253-10-4
3.197-10 4
1.017
0.454
241
1.2
0.6
Об
0.7
0.8
0,9
1
Лабораторная работа по гидродинамике №3
Определение коэффициентов сопротивления трения и местных
сопротивлений в трубе
Постоянные
р := 1000[кг/мЛ3]
9.81 [м/сА2]
у := 9.8066 [Па]
-плотность жидкости
i := 1,.6 [сечений]
- ускорение свободного падения
j := 2.. б [участков]
- удельный вес
Параметры рабочего участка
14 := 0.014 <1? := 0.014 d6 := 0.014
[ м] - длин ы участков
характерных сечений
Измеряемые величины
Рн := 1.012-105 [Па]
-
атмосферное давление
Твоз := 17 [С]
-
температуры воздуха и воды соответственно
Твод := 10 [С]
Нвх := 1630
[мм.вод.ст]
-
напор жидкости
1шх := 550
[мм.вод.ст]
-
давление в расходном баке
-
:= 100 [мм.водст] -давления в
характерных сечениях
замеренный обьем жидкости
-
время наполнения объема V
1^ := 480 li7 := 476 1^ := 483 h4 := 464 li? := 435
= 3.12-10
X
- 31
[мл3]
[с]
Вычисляемые величины
242
-
V
2) Q := —
,,
Сер-
—
1
—4
[мл3/с]
X
Q = 1.006452 х 10
- объемный расход жидкости
[м/с]
S.
- средняя скорость потока жидкости
4) р. := Рн + у-^Нвх - 1шх + h.j [Па]
|Р _ P'_l|
ДЬ.ч : : = ------------
площади характерных сечений
- пересчет давлений в характерных сечениях
[Па]
- экспериментальные значения потерь энергии на трение
Р
2A li3jd.
5) Яэ j : = -------- —
'..( С е р /
2-Д Ь
6)
- экспериментальные значения коэффициентов с
'i
цэ; := --------
- экспериментальные значения коэффициентов местного сопротивления
(CCPj)
1)
8)
V
:= 1.3-10 6
- вязкость вычисленная по
[м 2 с]
CCPj'dj
v
R e. :=
—1
„
-
число Рейнольдса
0.3164
- расчетные значения коэффициентов
сопротивления трения,потеръ энергии на трение.
местного сопротивления соответственно
(-г
1-
'Ч>
J'Ccp-J^
2 -hp.
—
(Сер.)
Ре'1ульпшты_
Сер. =
430
476
483
464
1.164983-105
1.53938-10-4
1.164591-105
1.53938-10 4
1.165277-105
6.157522-10-4
1.163414-105
1.53938-10-4
7.040956-103
3.520478-103
7.040956-103
7.040956-103
435
100
1.16057-105
1.53938-10-4
7.040956-103
1.127718-105
1.53938-10 4
Л1г:-,
'У, =
|1рг
*-Рi =
0.03Э226
0.068646
0.186325
0.014275
1.065852
0.061025
0.03454
0.041076
0.03454
0.094915
2.645488-10-3
0.105462
0.284391
3.285211
0.103492
2.869235
0.03454
0.03454
0.094915
0.039548
0.444092
0.198044
0.493436
0.444092
0.185038
bi
0.183533
5.138929
0.871783
1.330615
15.370903
243
Лабораторная работ а по гидродинамике №4
Движение жидкости в трубе переменного сечения
Постоянные
- плотность жидкости
р := 1000[кг/мл3]
а^=
9.81 [м/сл2]
- ускорение свободного падения
:= 9.8066 [Па]
Параметры рабочего участка
-удельный вес
7
- диаметры
- расстояние до датчиков з
давлений в характерных сечениях
Измеряемые величины
Твоз := 18 [С]
Рн := 0.996-105
Твод := 10 [С]
- температуры воздуха и воды соответственно
- атмосферное давление
[Па]
Нвх := 1630
[мм.вод.ст]
- напор жидкости
1шх
[мм.вод.ст]
- давление в расходном, баке
730
[мм.вод.ст]
- статические давления и давления
торможения в характерных сечениях
- замеренный объем жидкости
3.09-10 ^ [м 3]
- время наполнения объема V
:= 12.4
[с]
Вычисляемые величины
1
v Р- := Рн + '/■(Нвх - Iibx + li. 1
[Па]
Р'. := Рн + у / Нвх - 1вх + h\
[Па]
- пересчет давлений в характерных сечениях
2)
S.
- площади характерных сечений
[м- 2]
■
[мл3/с]
4) Сер.
■
- объемный расход жидкости
- средняя скорость потока жидкости
[м/с]
р-(Сср ;) 2
5) Р'ср. := Р. +
6)
[Па]
- осредненное давление торможения
Ь12 := ■
[Да. кг]
- потери энергии
_Резулышты_
244
Сер- =
1.122-105
1.095-105
7)
1.539-10-4
6.158-10-4
1.539-10-4
1.139-105
1.123-105
1.084-105
1.109-1Q5
Р'ср. =
1.619
0.405
1.619
105
1 . 122 -10 5
1.108 105
1.122
Q = 2.492 х 10 4
1112
= -1.275
lil3 = 1.373
1 = 0 ,1 .1 0 0 0
РР(1)
Рх if 0 < 1 < 250
СС(1) := Сср 1 if 0 < 1 < 250
1.13 10'
,5
1 . 1 2 - 10 '
РР(1)1.11-105
.5
1 . 1 -1 0
.5
О
200
400
600
800
1000
2
СС(1)
1
оо
200
400
600
800
1000
1
245
Лабораторная работ а но гидродинамике № 5
Истечение жидкости m отверстия п сопел
Постоянные
^ := 9.81 [м/сА2]
i : = 1 ..4
- ускорение свободного падения',
- колжчество измерений
Параметры насадков
(1^ := 0.00302
d .7 := 0.003075
cl^ := 0.003028 d^ := 0.003285 [ы] - диаметры отверстий в насадках
Измеряемые величины
х Ц := 0.348
х21 :=
0.804
х12 := 0.333
х 2 2 := 0.789
у1 := 0.012
у22
=
х 1 3 := 0.333
х 2 3 := 0.789
у13 := 0.010
у23
= 0.095
х14 := 0.333
х 2 4 := 0.789
у1 := 0.007
у2^
= 0.083
Н.:=
[м.вод.ст]
y ll
:= 0.025
= 0.115
0.110
[м]
1.630
- напор жидкости
- замеренный объем жидкости
И
I I := 125.7
- координаты отклонения струи
Т2 := 96
x j := 93
я наполнения объема V
[с]
Т4 :
Вычисляемые величины
7t-(d;)2
1) SO. :=
2)
3)
4)
02.
v
f
: = -
[м Л2]
- площади отверстий насадков
[мА3/с]
- действительный объемный расход воды
l-”-x2 i x ld х2 . —х 1 .)
С2ср. :
' , 2 .( x l,y 2 . - х 2 у 1 )
5) С2ид. := V2-S-H
щ:=
Q2 пд.
[м/с]
- действительная скорость истечения воды
[м/с]
я скорость истечения воды
С2 ср.
Q-;
6)
- теоретический объемный расход воды
[мл3/с]
<32 ид. := SO.-^/2-g-H
Ф; := С2 ид.
[-]
:= —
- коэффициенты:
расхода, скорости, сжатия струи
Результаты
Q2.
7.163 10-6
7.426-10-6
7.201 -10-6
8.475-10-6
0.991
0.823
0.88
0.912
246
2.863962-10-5
3.75-10-5
3.870968-10-5
4.951857-10-5
14 =
0.707
0.893
0.951
1.033
0 >2 ид.
-
4.051-10-5
4.2-10-5
4.072-10-5
4.793-10 5
С2 ср. =
С2ид. =
5.605
4.651
4.975
5.155
5.655
5.655
5.655
5.655
Приложение В
Лабораторный практикум с использованием
компьютерных технологий
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ № 9
ИССЛЕДОВАНИЕ ТЕЧЕНИЯ ЖИДКОСТИ
В ТРУБЕ ПОСТОЯННОГО СЕЧЕНИЯ
Цель работы: исследование режимов течения в трубе посто­
янного сечения в программном пакете ANSYS.
Порядок выполнения работы
1. Войти в программу ANSYS.
2. Выбрать вид анализа: Preferences>FLOTRAN CFD
■ ANSYS
Рис. В.9.1. Выбор вида анализа
3.
С помощью меню пользователя присвоить имя своему рабо­
чему файлу (для сохранения текущих данных):
File>Change Jobname> ввод имени
247
Рис. В.9.2. Задание имени проекта
4. Войти в Preprocessor.
4.1.
Выбрать тип КЭ. Для данной двухмерной задачи теплово­
го анализа подходит элемент 2d FLOTRAN 141:
Element
type>Add>Edit>Delete>Add>FLOTRAN
CFD>2d
FLOTRAN 141> Close
ANSYS
Рис. В.9.3. Выбор типа КЭ
248
4.3.
Создать геометрическую модель изучаемого объекта по
заданным размерам с помощью команд Create.
Создание поверхности:
Preprocessor Modeling> Create> Areas> Rectangle> By 2 Comers
Л
•» >»• и* CM14"
D i
II J
«M
CJil«Ц1л(
4
й
t
>
н ад
1
aiffl w—M
□к a s »;»j t) ■»
KW
CJil«OMjd 9JP\ «она» I
Рис. В.9.5. Построение поверхности
249
4.4.
Разбить полученную модель на КЭ, применив несколько
вариантов частоты сетки.
Задание размеров элементов сетки:
Meshing>Size Cntrls>Manual Size>Areas>All Areas>Size = 0,001
oj*|jajej
Ш
Рис. В.9.6. Задание размеров элементов
Наложение сетки на поверхность:
Meshing>Mesh>Areas>Mapped>3 or 4 sided
•в ■
ттт МП С М ттт,
Рис. В.9.7. Наложение сетки на поверхность
250
После выполнения вышеизложенных операций объект готов
для расчетного анализа.
5. Выполнить расчет изучаемого объекта.
5.1. Задать граничные условия:
Solution>DefineLoads>Apply >Fluid/CFD>Velocity>On
Lines
(указываем стенки трубы)
VX=VY=0
□ >
U -9 Л .У Т П
Рис. В.9.8. Задание граничных условий (скорость)
Solution>DefineLoads>Apply>Fluid/CFD>Pressure DOF>ON Lines
Давление на входе 500 Па, на выходе - 100 Па.
251
Рис. В.9.9. Задание граничных условий
(давление на входе и выходе из участка)
Задаем параметры жидкости
Solution>FLOTRAN Set Up>Fluid Properties
Плотность 1000 кг/л г . вязкость 1•10"5, теплопроводность 0,57.
■> » Я
Рис. В.9.10. Задание параметров рабочего тела
252
Параметры расчета:
Solution>FLOTRAN Set Up>Solution Options
oj*|jajej
Ш
ANSYS
Рис. В.9.11. Задание параметров расчета
Запуск расчета:
Solution>Run FLOTRAN
Рис. В.9.12. Запуск расчета
253
После окончания расчета в окне появится сообщение: Solution
Done.
Рис. В.9.13. Окончание расчета
6. Просмотр результатов:
General Postproc>Read Results>Last Set
□ >
U -9 Л . V f
П
Рис. B.9.14. Выбор последнего полученного результата
25 4
General Postproc>Plot Results>Contour Plot>Nodal Solu
В появившемся окне выбираем Nodal Solution>Fluid Velocity.
oj*|jajej
Ш
ANSYS
oittmmesiiiw
Рис. В.9.15. Просмотр результатов расчета
Построение эпюр скоростей:
General Postproc>Path operation>Define Path>By Nodes
255
Указываем крайние точки выходной зоны исследуемого
участка:
General Postproc>Path Operation>Map onto Path
Выбираем интересующий нас параметр (в нашем случае ско­
рость потока):
General Postproc>Path Operation>Plot Path Item>On Graph
Смотрим, что получилось.
Рис. В.9.16. Эпюра скорости
256
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 10
«МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕЧЕНИЯ ДВУХФАЗНОГО
ПОТОКА В КАНАЛЕ ПЕРЕМЕННОГО СЕЧЕНИЯ.
ЯВЛЕНИЕ КАВИТАЦИИ»
В данной лабораторной работе производится моделирование
течения воды через трубку Вентури (аналогичную рабочему участ­
ку на гидростенде) при помощи компьютерной САЕ-системы
FLUENT на платформе Windows. Для расчетов использовалась
ЭВМ, оснащенная процессором AMD Athlon 64 с частотой 2,4 ГГц
и оперативной памятью объемом 768 МБ. В нашем случае про­
грамма позволяет проводить различные расчеты и инженерный
анализ результатов, полученных в ходе имитации течения жидко­
сти. В основе пакета лежит метод конечных элементов, применяе­
мый совместно с известными законами физики и уравнениями
МЖГ. На сегодняшний день этот метод является наиболее пер­
спективным при решении сложных задач различных областей нау­
ки. Он позволяет с высокой степенью точности предсказать карти­
ну протекания процессов в газах и жидкостях, не проводя натур­
ных экспериментов. На начальном этапе исследований данный ме­
тод делает возможным постановку экспериментов с использовани­
ем режимов, недопустимых для лабораторной установки, вследст­
вие ее конструктивных и других ограничений.
Целью работы № 10 является получение студентами первых
сведений о среде моделирования FLUENT 6.2, а также необходи­
мых для предварительной работы программ GAMBIT 2.6 и Компас
8. Студенту предлагается самостоятельно построить чертеж трубки
Вентури по размерам, согласно варианту задания, в программе
Компас-График. Используя возможность конвертирования чертежа
Компас в формат, понятный большинству CAE-систем, студент
транслирует чертеж в GAMBIT. В данном пакете происходит пре­
образование чертежа в рабочую модель посредством наложения
257
сетки конечных элементов и заданием граничных условий. После
передачи модели в программу FLUENT студент вводит данные о
материалах веществ, участвующих в опыте, и необходимые чис­
ленные значения некоторых параметров. Итогом работы должны
быть эпюры и картины распределения давления, скорости и энерге­
тических характеристик потока по сечению рабочего участка (см.
рис. 1) при известных начальных параметрах жидкости: давлениях
жидкости на входе и на выходе, а также свойствах воды и водяного
пара.
Построение трубки Вентури в программе Компас-График
В качестве примера рассмотрим трубку Вентури длиной 104
мм и диаметрами: 4,5 мм - минимальный, 26 мм - максимальный.
Для выравнивания параметров потока до и после трубки добавим к
ней слева и справа прямолинейные участки длиной не менее двух
максимальных диаметров трубки. Для упрощения решения вос­
пользуемся только половиной сечения трубки Вентури (см. рис.
В. 10.1). Чертеж необходимо сохранить в формате IGES.
•J К“ *»»»•■* «*»•*•» N
L • О! U
Л ‘
Л Ь
Ц ■« . О .
.
- ** *?. и ч
I» /{Д ч
•Л
IN
гч
N
52
^ !«■ • + в * а .
.4W .___________
R0.5
/
____
___________
104
т 1
52
Рис. В. 10.1. Построение рабочего участка в программе Компас
258
Папка:
И
4"E Й*H”
8_cav
| § photo
L_il'i£
cray
-!venturi_26_45_26_n3,ic
.venturi_gambit.igs
Ф айл документа не найден в
данной папке
!M J
Г- Выключить просмотр
Мой компью тер
Имя Файла:
Д
d
|n3_kompas.igs
Тип Файла:
| Создзанить
Отмена
Рис. В. 10.2. Сохранение чертежа в формате IGES
Программа GAMBIT
Для того чтобы поставленная задача была решена FLUENTom,
с полученным чертежом необходимо выполнить некоторые преоб­
разования.
|
Fluent 6.2.16
►Ilient Management
У 1 HD Tune
►
|ё § Hieroglyph 3.7
►
©
I
1^5 Hummingbird Connectivity 2006
►
ffe Tweak UI
|£S| Internet Download Accelerator
► Щ Vypress Chat Stari
g
KillCopy
► ф
Windows Media Pl< ф
System Info
Microsoft Office
►
x-Setup Pro
Uninstall Gambit 2.3.16
^
Client License Setup
PerfectDisk7.0
[*3 Installation FAQs
[c71 Set Environment
Рис. В. 10.3. Расположение ссылок программы GAMBIT
Запуск программы не отличается от вызова большинства дру­
гих программ (с помощью ссылки «Gambit 2.3.16» в меню «Пуск»)
(см. рис. В. 10.3). Однако познакомившись с программой ближе,
лаборант покажет более рациональный запуск программы с учетом
рабочей директории с использованием системных переменных. По­
сле вызова программы в диалоговом окне нужно указать рабочую
259
папку и название работы (см. рис. В. 10.4). После нажатия кнопки
«Run» происходит запуск GAMBIT.
Следует отметить, что для отображения окон многих инже­
нерных программ, таких, как GAMBIT, STAR-CD, в операционной
системе должен быть установлен транслятор EXCEED. По ряду
причин большинство сложных CAE-систем было изначально спро­
ектировано для работы под операционными системами UNIX (в
частности, из-за неспособности работы ранних версий MS Windows
с многопроцессорными и кластерными системами, а также невоз­
можностью настройки операционной системы с закрытым исход­
ным кодом). Оболочка таких программ использует графическую
библиотеку OpenGL и связанные с ней принципы построения изо­
бражения без участия системного ядра.
Working Directory
Session Id
| D:\cray\woik\fluent\7_cav
-г
Browse
truba 2d
Options
Run
C lo s e
Рис. В. 10.4. Ввод названия работы и рабочей директории
После того как мы загрузили программу, рассмотрим более
подробно, из каких частей состоит окно программы и какие функ­
ции они выполняют:
1.
Елавное меню. Состоит из трех пунктов: File, Edit, Solver
(сверху).
F i l e - с помощью этого пункта выполняем различные опера­
ции с файлами: открыть, сохранить, экспортировать в другой фор­
мат и др.
260
Edit - позволяет записать в файл некоторую дополнительную
информацию о редакторе и выполнить операции отмены или по­
втора действия.
Solver - выбор решателя. Дело в том, что созданные в
GAMBIT модели можно импортировать в различные САЕ-системы.
Программа может оптимизировать модель под некоторые из них
при использовании соответствующего решателя.
1-
—
~
С*— 1
/
/
/
[Fej*|M ]
/
•I I
Ящ
1Вв-»6а
Г—«*й
*
■-IffllBir.I'.l
1>|
ь
^
—*1
\
а/
\
Рис. В. 10.5. Окно программы
2. Рабочая плоскость или пространство.
3. Панель инструментов (справа). Позволяет выполнять раз­
личные операции с моделью.
4. Окно, отображающее выполненные операции.
5. Командная строка. Позволяет работать в программе с по­
мощью специальных команд.
6. Информационное окно. Показывает описание функций кно­
пок панели инструментов.
261
После запуска программы импортируем в нее чертеж, сохра­
ненный в формате IGES. Для этого выполним команды в меню
«File»: Import - IGES (см. рис. В. 10.5). Далее в появившемся окне
(см. рисунок В. 10.6, а) выбираем «Обзор...» (Browse...) и указываем
файл (см. рисунок В. 10.6, б) «truba_2d.igs». Вместо привычной
кнопки завершения действия «ОК» здесь можно встретить
«Accept».
F ilte r
D; \c ra y \w o rk \f1u en t\7 _ ca v \# , i 9# ^
D ire c to rie s
F ile s
laiilfEEMtoBS
I); \ c r ay kuor k \ f 1u en t\7 _ c av \,„
I t \ c r a y Чиогk \ f 1uent\7_cav\GflMBIT»5904
1 1\ c r ay 4 io r k \ f 1u e n t\7_cav\p i с
N
[3
R
^ 3
S e le c tio n
I D :\c ray \w o rk \fluent\7_cav\truba_2d» igs[
Cancel
a
6
Рис. В. 10.6. Окно обзора файла (а): окно выбора файла (б)
Редактирование чертежа
Через панель инструментов наложим на исходный контур по­
верхность:
0
262
Create Face from Wireframe
a
E d ges
T yp e:
J
♦
v ' Virtual
R ea l
Initial Face
_l Guide E d ges
J Guide V ertices
Tolerance
J
J
J
Auto
Label
Apply
R eset
C lose
Рис. В. 10.7. Создание повехности
Удерживая нажатой клавишу SHIFT, выделите левой кнопкой
четыре линии, образующие левый прямоугольник контура. Нажми­
те «Apply» в окне «Create Face from Wireframe». Линии образован­
ной поверхности должны отобразиться голубым цветом. Повторите
данную процедуру для остальных участков.
Построение сетки конечных элементов поверхности
С помощью панели инструментов разбиваем поверхности. Для
прямоугольных поверхностей 1 и 4 воспользуемся командами:
263
Mesh Faces
*
J
F aces
S ch em e:
Apply
Elem ents:
Quad
Type:
Spacing:
^Default |
Pave
W
Apply
Default
Interval size
Options:
^
_
M esh
J R e m o v e old m e sh
J Ignore size functions
Apply
R eset
I
Close
Рис. 8. Создание сетки КЭ
Выделив нужные поверхности, введем в поле «Spacing» раз­
мер конечного элемента (КЭ) «Interval size» 1 мм. После нажатия
кнопки «Apply» указанные поверхности должны разбиться на эле­
менты (см. рис. В. 10.9).
264
Q»ir»4lH
Мп»
f c j j j l -
T
i S
_ ^ J _ I
i i m
i u
: !
и
ШмтЛ,:
^
i i
^
|
-
H
Span*
W *a*V DtOul|
OplMm:
Ш Ми»
J « И М at) «а»»
J V « l Hft <«*0»'
1
с<ам>1> fata м м *1а м «• м р
H»»h | Ш и Ы 1м faеа fata 4
1
м * tK M • 1J4
I-*
L
M l
|
U «.|
ам и в сс п ях т - о т » и г г
0Ш1М П
G M M f tf
Рис. В. 10.9. Вид разбитых поверхностей 1 и 4
Для разбиения более сложных поверхностей 2 и 3 сначала
произведем разбивку отрезка прямой в критическом сечении на
такое же количество элементов, какое укладывается по высоте по­
верхности 1. Так как радиус трубы в широком сечении равен 13
мм, а размер элемента для первой и четвертой поверхностей нами
выбран 1 мм, то это количество соответствует 13.
Операция разбиения линии аналогична проведенной ранее
процедуре для поверхности. Отличие лишь в том, что теперь нужно
задать не размер элемента, а их количество, и в поле «Spacing»
вводим «13», предварительно изменив значение кнопки «Interval
size» на «Interval count». Для невертикальных линий, относящихся
к поверхностям 2 и 3, необходимо учесть изменение размера КЭ по
длине этих линий. Тенденция уменьшения или увеличения линей­
ного размера элемента учитывается масштабным коэффициентом
«Ratio». Для линий второй поверхности этот коэффициент можно
265
взять 0,872, а для третьей - 1,01 (см. рис. В .10.10). При этом может
потребоваться изменение размера элемента. В нашем случае при­
мем 0,4 мм.
M esh E dges
M esh E dges
±
J
E d ges
Ш Pick w ith
links
R everse|
S o ft link
W U se
т УРе
ln v e rt|
A pply
J
Ratio
Spacing
Ratio _ i
D o u b le s id e d
0.4
Default
Interval size
O ptions
Apply
links
R everse|
M ain tain _ i
fir s t e d g e s e tt in g s
Grading
т УРе
l n v e r t|
Haho
0.372
A pply
W Pick w ith
W U se
Default
S uccessive
| l e d g e . 11
S o ft link
Form
fir s t e d g e s e tt in g s
Grading
E d ges
Spacing
A pply
Default
S uccessive
Ratio _ i |
J
D o u b le s id e d
у
01
A pply
0.4
Default
Interval size
W
M esh
R e m o v e old m e s h
W
W
M esh
J
J
Igno re s iz e fu nc ti on
J
Igno re s iz e fu nc ti on
R eset
O ptions
C lose
Apply
R e m o v e old m e s h
R eset
C lose
Рис. В. 10.10. Параметры разбивки линий поверхностей 2 и 3
266
Рис. В. 10.11. Вид подготовленных линий поверхностей 2 и 3
Mesh Feces
F aces
|]
Schem e:
W Apply
Elements:
T VPe :
S p a c in g :
M ap
_<
Щ A p p ly
|T i
Options:
D e fa u lt|
Quad,Trl _i
p efa u lt|
Interval c o u n t
_
W M esh
j
Remove old mesh
J Ignore size function!
^ A p p ly ^ j
R e se t
|
Close
|
Рис. В. 10.12. Параметры разбивки
267
Произведем последовательно разбивку второй, а затем третьей
поверхности. Вторую поверхность необходимо заполнить не толь­
ко четырехугольными элементами, но и треугольными. Поэтому в
диалоговом окне вводим: количество элементов - «13», вид эле­
мента - «4-угольный / 3-угольный», тип заполнения - упорядочен­
ный «Мар» (см. рис. В. 10.12). Для третьей поверхности применим
способ разбивки по самой короткой стороне «Shortest edge» - кри­
тическому сечению. Размер элемента вблизи такой стороны опре­
делится автоматически. Вид КЭ - 4-угольный, заполнение упоря­
доченное.
Рис. В.10.13. Сетка КЭ расчетной модели
268
Задание граничны х условий (ГУ)
S p e c ify B o u n d a ry T y p e s
FLUENT 5/6
A ctio n :
*
A dd
v - M odify
v
D e le te
^
D e le te all
Name
Туре
А
е> d
о
е>
7
J Show labels J Show colors
Name:
|]
T ype:
WALL
_i
Entity:
Edges -I | p
Label
_»J
Туре
4
1
<1.
в> <1
R em ove
A p p ly
|
_В >
Edit
|
R eset
|
Close
1
|
Рис. В. 10.14. Задание ГУ
В данной задаче мы ограничимся четырьмя условиями: зада­
дим стенку трубы (Wall), давление на входе и выходе
(Pressure_inlet и Pressure_outlet) и ось симметрии (Axis). Данная
процедура выполняется в разделе «Зоны» панели инструментов.
Итогом процедур должна стать конечно-элементная модель
половины сечения трубки Вентури (см. рис. В. 10.15).
Рис. В. 10.15. Сеточная модель с наложенными граничными условиями
269
Далее необходимо сохранить полученную модель для даль­
нейшей работы с ней в комплексе Fluent (тип файла *.msh). Вос­
пользуемся главным меню программы «Export - Mesh» (рис.
В .10.16).
ACIS ...
P arasolid ...
F ile Type:
UNS / RAMPANT / FLUENT 5/Б
IGES ...
F ile Name:
|]truba_2d*msh
S T E P ...
Browse,. . |
f* Export 2-D(X-Y) Mesh
Catia V4 ...
M esh ...
Accept |
Close |
Рис. В. 10.16. Сохранение сетки в формат MSH
Программа FLUENT
Эта глава исследует кавитационное течение воды через трубку
Вентури. Используя способность моделирования многофазных те­
чений FLUENT, можно предсказать кавитацию после разделения
потока в узком сечении трубы.
В данном разделе проведем следующие шаги:
• установим численные значения известных параметров для
течения;
• используем модель смеси жидкости и газа с эффектами ка­
витации;
• получить решение, используя раздельный решатель
(segregated solver);
• проведем анализ полученных результатов.
Задача рассматривает кавитацию, вызываемую разделением
течения из-за изменения диаметра трубы (трубка Вентури). Движе­
ние жидкости происходит за счёт перепада давления. Согласно за­
мерам на гидравлическом стенде, явление кавитации наблюдается
270
при давлении на входе 187534 Па, на выходе - 111016 Па. Возьмем
те же значения для виртуального эксперимента и сравним резуль­
таты, полученные в ходе опыта. Геометрия трубы показана на рис.
В.10.1.
1. Запуск FLUENT и загрузка модели
■-Ш
--- Л
| File Grid Define Solve Adapt Surface Display Plot Report Parallel Hejp
k
Welcome to F lu e n t 6 .2 .1 6
C o p y rig h t 2O05 F lu e n t I n c .
f il l R ig h ts R eserued
Loading " c : \ f l u e n t . i n c \ f l u e n t 6 .2 .1 6 \l ib \f l _ s 1 1 1 9 .d r i p "
Done.
K i l l s c r i p t f i l e i s D :\\c ra y \\p a b o ta \\2 B 0 6 - O C E H b \\ts y g a n o u \\8 _ c a u \\R ill- f lu e n t- i
> i
Рис. 17. Консоль программы FLUENT
1.1. Загрузите файл сетки (*.msh):
File - Read - Case...
Как только FLUENT прочитает сетку он отобразит результат в
консоли окна.
1.2. Проверьте сетку:
Grid - Check
FLUENT обеспечит проверку сетки и выведет результаты в
консоли окна. Особое внимание уделите отображаемому мини­
мальному объёму. Убедитесь, что это положительное значение.
271
,— „—
__
|Г
| File Grid Define Solve Adapt Surface Display Plot Report Parallel Hejp
Checking
Checking
Checking
C hecking
Checking
Checking
C hecking
Checking
Checking
Checking
Checking
C hecking
Checking
C hecking
Checking
C hecking
C hecking
Checking
Done.
-
number of nodes p e r c e l l .
number of f a c e s p e r c e l l .
th r e a d p o i n t e r s .
number o f c e l l s p e r f a c e .
face c e lls .
b rid g e f a c e s .
r ig h t-h a n d e d c e l l s .
f a c e h an d e d n ess.
elem en t ty p e c o n s is te n c y .
boundary ty p e s :
face p a irs .
p e r i o d ic b o u n d a rie s .
node c o u n t.
n o s o lo e c e l l c o u n t.
n o so lo e fa c e c o u n t.
fa c e c h ild re n .
c e ll c h ild re n .
s to r a g e .
1
V
1
Рис. В. 10.18. Проверка сетки
1.3.
Проведите пересчет единиц измерения, которые использо­
вались при построении сетки:
Grid - Scale
S c a le F a cto rs
X 0 .0 0 1
Y
0 .0 0 1
U n it C o n v e r s io n
Grid W a s C r e a te d In
C h a n g e L e n g th U n it s |
D o m a in E x t e n t s
X m in [m ] _ 2 6
X m a x (m) -| 3 q
Y m in [m ] | - 1 . 5 9 8 7 2 e - 1 4
Y m a x (m ) 1 3
S c a le
U n s c a le |
C lo s e
|
H e lp
Рис. В. 10.19. Выбор единиц измерения в расчете
Так как модель создавалась с миллиметровой сеткой, то выбе­
рите «мм» и подтвердите выбор нажатием кнопки «Scale».
1.4. Отобразите сетку:
Display - Grid...
Отобразите сетку, используя настройки по умолчанию (см.
рис. В. 10.20).
272
G n d D i s p la y
O ptions
Г~
E dge Type
Surfaces
N odes
W Edges
Feature
V
O utline
Faces
Partitions
Shrink Factor
Surface N a m e P attern
Surface T y p e s
axis
c li p- s ur f
exhaust-fan
fan
O ut li ne
D isplay!
C o lo r s . . .
C lose
In te r io r
H elp
Рис. В. 10.20. Параметры вывода модели на экран
Будет моделироваться только половина геометрии с осевой
границей, при этом программа считает объемную модель, провора­
чивая сечение на 360 градусов вокруг оси.
Gnd
Oct 30. 2006
FLUENT 6 2(ах>. segregated mixture, ske)
Рис. В. 10.21. Отображение сетки
273
2. Подготовка модели
2.1. Установка параметров решателя:
Define - Models - Solver...
Для многофазных расчётов должен использоваться раздель­
ный решатель (segregated solver).
S o lv e r
F o r m u la t io n
<• S e g r e g a t e d
f* I m p lic it
f* C o u p le d
С E x p lic it
Space
T im e
С ZD
f* S t e a d y
** iA x is y m m e t r id
С U n ste a d y
A x i s y m m e t r i c S w ir l
C 3D
V e l o c i t y F o r m u la tio n
A b so lu te
С R e la tiv e
G r a d ie n t O p tio n
P o r o u s F o r m u la tio n
<*■ C e l l - B a s e d
f* S u p e r f i c i a l V e lo c it y
С N o d e-B a sed
С P h y s ic a l V e lo c ity
OK
C ancel
H e lp
Рис. В. 10.22. Свойства решателя
Под надписью Space (Пространство) выберите Axisymmetric
(Осесимметричный). Остальные параметры оставьте по умолча­
нию.
Замечание: для точного моделирования образования пузырь­
ков пара их роста, распада и обратного перехода в воду необходи­
мо применять нестационарный расчёт. При таком допущении мо­
жет наблюдаться картина кавитации, несколько отличающаяся от
реальной.
2.2. Включите многофазную модель с эффектами кавитации:
Define - Models - Multiphase...
274
Multiphase Model
m
Num ber of P h a s e s
M odel
ill
Off
Volum e of Fluid
• Mixture
Eulerian
W et Steam
Mixture P aram eters
Slip V elocity
B od y Force Formulation
Implicit B od y Force
OK
Cancel
Flelp
Рис. В.10.23. Задание многофазности
Выберите Mixture (Смесь) в качестве Model. Панель расши­
рится. Под надписью Mixture Parameters (Параметры смеси) отклю­
чите опцию Slip Velocity (Скорость скольжения).
Поскольку нет значительного различия между скоростями фаз,
нет необходимости расчёта уравнения скорости скольжения (slip
velocity equation).
2.3.
При необходимости включите в расчет уравнение энергии
(для учета температуры):
Define - Models - Energy...
—Л
Energy
* Energy Equation
OK |
Cancel;|
llelP
Рис. В. 10.24. Уравнение энергии
275
2.4.
Включите стандартную k-s модель турбулентности со
стандартными стеночными функциями (standard wall functions):
Define - Models - Viscous...
Выберите модель k-s вместо ламинарной (см. рис. В. 10.25).
Оставьте выбранное по умолчанию «Standard» под надписью
«k-epsilon Model» и «Standard Wall Functions» (Стандартные стеночные функции) под надписью «Near-Wall Treatment» (Присте­
ночный анализ).
Viscous Model
M odel
M odel C o n sta n ts
С" L am in ar
!k -e p silo n
-
Cmu
С" S p a la rt-A llm a r a s
(1 eq n ]
p . 09
[2 eqnji
f
k -o m e g a
f
R e y n o ld s S t r e s s
C l-E p s ilo n
( 2 eqn)
(5 eq n )
| i .«r«r
k -e p s ilo n M od el
-
C 2 -E p silo n
1 .9 2
S tan d ard
с RNG
с R e a liz a b le
TKE P randtl N u m b er
|l
N ea r -W a ll T r ea tm en t
U se r - D e fin e d F u n c tio n s
f* S ta n d a r d W a ll F u n c tio n s
С N o n -E q u ilib riu m W a ll F u n c tio n s
С E n h a n c e d W a ll T r e a tm e n t
T u r b u le n t V is c o s it y
none
•
O p tio n s
Г" V is c o u s H e a tin g
OK
I
C ancel |
H elp
|
Рис. В. 10.25. Выбор k-e в качестве модели турбулентности
2.5. Материалы
Выберите из базы данных FLUENT материалы для двух фаз:
воды и водяного пара:
Define - Materials...
276
Name
M aterial Type
j w a t e r - l i q u id
flu id
C hem ical F orm ula
Fluent F luid M ate ria ls
|h 2 o < l>
w a te r-liq u id (h2o<l>)
3rder M a te ria ls B y
•1
Name
Chemical Form ula
F lue nt D atabase...
I '
D e n s ity ( k ijfm ij
"I Edi' - I
;lit I
T herm al C on du c tiv ity (w/m-k)
1.
V is c o s ity (kg/m -sj
~3.
e.o
C hange/Create j|
D elete
H elp
Рис. В. 10.26. Свойства материалов
Войдите в базу данных, нажав кнопку «Fluent database...».
Kd
Fluent Fluid M aterials
i
= M aterial Type
iy t-tili:h iiiiii!ilia n e [% n:l.ii:li/i:li|
ch2ccl2
Order Materials By
Name
Chemical I ormula
(wood_vol|
lop y ^M a te ria le J ro m ^ C a se ^ Del
D en sity (kg/m J) | ( Iin ..|(1M,
~3
1
|con stan t
hi*?
I (.1111illII :t ivi ty Iw /in k )
|cc
V isco sity (kg/m-s) | |:||n..,n|lt
C opy
C lose
Help
Рис. В. 10.27. База материалов FLUENT
В списке «Fluid Materials» (Жидкие материалы) выберите «wa­
ter-liquid (h2o<l>)» (вода-жидкость) и «water-vapor (h2o)» (водапар). Нажмите «Сору» для копирования информации по выбран­
ным материалам в модель. Закройте панель «Database Materials».
277
Значение плотности «Density» и вязкости «Viscosity» для пара и
воды брать из программы.
Нажмите «Change/Create» (Изменить/Создать).
2.6. Фазы
Определение фаз воды и водяного пара:
Define - Phases...
Ljjgj
P h a se
Type
1 Я
Я
p h a se-2
Interaction...
S e t-
se co n d a r y -p h a se
ID
2
C lo se
Help
Рис. В. 10.28. Параметры фаз потока
Для двухфазного течения выбираем первую и вторую фазы и
вещества, которые им соответствуют. Определение параметров
производится через кнопку «Set...» Установите воду в качестве
первой фазы. Выберите phase-1 и нажмите кнопку «Set...» (Устано­
вить...). В панели Primary Phase (Первая фаза) введите слово в каче­
стве названия первой фазы («Name»). Выберите воду из списка
«Phase Material» (Материал фазы). Установите водяной пар в каче­
стве второй фазы (рис. В. 10.30, В. 10.31). Для кавитационного ре­
жима установим флажок на вкладке «Mass» меню, вызываемого
через кнопку «Interaction» (рис. В. 10.29).
278
Ш ase Interaction
Drag
Lift
C ollisions
Slip
Heat
M ass
R eactions
Surface T ension
P jCavitatiqnj
Cavitation Param eters
Vaporization P ressu re (pascal)
Edit...
constant
-
Edit... |
-
Edit... |
0 .0 7 1 7
N on-C ondensable G as M a ss Fraction
constant
|1 .S e -0 5
OK
|
Cancel |
Help
Рис. В.10.29. Установка параметров кавитационного режима течения
Name
Pha s e -1
P h a s e M at e ria l
w a te r-liq u id
OK
I
Cancel I
> EdiEHelp |
Рис. В. 10.30. Установка первой фазы
Secondary Phase
Name
p hia
a s e -2
P h a s e M at e ria l water-vapor
OK
I
Cancel I
> EdiEHelp |
Рис. В.10.31. Установка второй фазы
Объёмная доля водяного пара в смеси «Volume Fraction» на
начало расчета должна быть равна нулю.
279
Параметры, характеризующие кавитацию:
«Vaporization Pressure» (Давление испарения) - в значительной
степени зависит от температуры, значение по умолчанию - давле­
ние испарения воды при температуре 300 К; параметр газа «Non
Condensable Gas» (Неконденсируемый газ), массовое содержание
неконденсируемого газа в рабочей жидкости. 1,5-10"5 (15 ppm - час­
тей на миллион) - это типичное содержание растворенного воздуха
в воде; «Liquid Surface Tension» - поверхностное натяжение жидко­
сти. Поверхностное натяжение жидкости также в значительной
степени зависит от температуры.
2.7. Рабочие условия
Установите точку отсчета рабочего давления - 0 Па. По умол­
чанию в поле введено нормальное атмосферное давление
101325Па. Чтобы в результатах расчета избежать появления отри­
цательных значений давления, сдвинем точку отсчета на 0:
Define - Operating Conditions...
Operating Conditions
P ressu re
Gravity
Operating P ressu re (pascal]
Gravity
R eferen ce P ressu re Location
X(m )
Y (m )
OK
Cancel
Help
Рис. В. 10.32. Точка отсчета давления и влияние гравитации
на процесс течения
2.8. Граничные условия
2.8.1. Установите параметры для входа (inlet).
Для многофазной модели смеси необходимо устанавливать
условия для смеси (т.е. условия, применимые для всех фаз) и усло280
вия, специфичные для первой и второй фазы. В условиях кавита­
ции нужны только условия для смеси и второй фазы.
Установите параметры для смеси:
Define - Boundary Conditions...
undary Conditions
Zone
T ype
a x is
d efau lt-in terior
fluid
ou tlet
w all
e x h a u st-fa n
in le t-v e n t
in tak e-fan
in te rfa ce
m a s s -flo w -in le t
ou tflow
o u tle t-v en t
0
=
М
Ш
.-Ш
ЛИ
1™
p r e s s u r e -o u tle t
s y m m e tr y
v e lo c ity -in le t
w all
P h ase
V
ID
m ixtu re
S e t...
C opy-
C lo s e
H elp
Рис. В. 10.33. Список граничных условий
В панели «Boundary Conditions» (Граничные условия) для зо­
ны «inlet» оставьте выбранное по умолчанию «mixture» (смесь) в
списке Phase (Фазы) и нажмите «Set...». В новом окне введите:
187534 Па для Gauge Total Pressure (Полное давление на внешней
грани первого слоя элементов) и несколько меньшее давление 187531 Па - для Supersonic/Initial Gauge Pressure (Сверхзвуко­
вое/Начальное избыточное давление на входе в трубку на внутрен­
ней грани первого слоя элементов). Перепад давлений инициирует
начальную скорость течения жидкости в трубке 0,8 м/с (соответст­
вует расчетам).
281
Zone Name
p r e s s u r e _ i n l e t .3
Phase
m ixture
Gauge Total Pressure (pascal) 1 8 7 5 3 4
constant
-
Supersonic/Initial Gauge Pressure (pascal) 1 8 7 5 3 1
constant
-
Direction Specification Method Normal to Boundary
Turbulence Specification Method Intensity and Hydraulic Diameter
-
Turbulence Intensity (%) ю
Hydraulic Diameter (m) g . 0 2 6
OK
J
Cancel]
HclP
Рис. В. 10.34. Установка значений давления на входе
и модели турбулентности
В списке «Direction Specification Method» (Метод задания на­
правления) оставьте выбранное по умолчанию «Normal to
Boundary» (Нормальное к границе). В списке «Turbulence
Specification Method» (Метод задания турбулентности) либо ос­
тавьте выбранное по умолчанию «К and Epsilon» и тогда под над­
писью «Turb. Kinetic Energy» (Кинетическая энергия турбулентно­
сти) введите 0,02, либо при известных диаметрах входа и выхода
выберите «Intensity and Hydraulic Diameter». В этом случае нужно
задать интенсивность турбулентности потока, который по умолча­
нию равен 10% и гидравлический диаметр 0,026 м - сечение входа
и выхода.
2.8.2.
Установите граничные условия для давления на выходе
(outlet).
Установка параметров для смеси на выходе из трубы произво­
дится аналогично зоне входа (рис. В .10.33, В .10.35).
282
Zone Name
Phase
mixture
Gauge Pressure (pascal
constant
Backflow Total Temperature (k) 2 9 5
constant
_
Backflow Direction Specification Method Normal to Boundary
Turbulence Specification Method Intensity and Hydraulic Diameter
Backflow Turbulence Intensity (%)
Backflow Hydraulic Diameter (m) o . 026|
OK
Cancel
Help
Рис. В. 10.35. Установка значения давления на выходе
и модели турбулентности
Под надписью «Gauge Pressure» (Избыточное давление) вве­
дите 111016 Па. Остальные параметры аналогично зоне «inlet».
Проверим объёмное содержание второй фазы.
В панели «Boundary Conditions» (Граничные условия) выбери­
те vapor (пар) из списка «Phase» (Фазы) и нажмите «Set...». Оставь­
те по умолчанию «Volume Fraction» (Объёмное содержание) рав­
ным 0.
3. Решение
3.1. Установите параметры решения:
Solve - Controls - Solution...
Установите следующие значения подрелаксационных факто­
ров «Under-Relaxation Factor»:
для «Pressure» (Давление) - 0,4;
для «Momentum» (Импульс) - 0,4;
для «Turbulence Kinetic Energy» (Кинетическая энергия турбу­
лентности), «Turbulence Dissipation Rate» (Степень турбулентной
диссипации), и «Turbulent Viscosity» (Турбулентная вязкость) - 0,5.
283
E q u atio n s_______
= = U nder-R elax atio n F acto rs
V apor g . 2
T u r b u le n c e K in e t ic E n e r g y 0 . 5 ^
P r e s s u r e - V e l o c i t y C o u p lin g
T u r b u le n c e D i s s i p a t i o n R a te
0.5
T u r b u le n t V i s c o s i t y
0.5
D is c r e tiz a tio n
TsiMPLEC
P ressu re
L in e a r
S k e w n e s s C o r r e c t io n
M o m e n tu m
F ir s t O r d e r U p w in d
V a p o r F ir s t O r d e r U p w in d
T u r b u le n c e K in e t ic E n e r g y F ir s t O r d e r U p w in d
a u lt
d
2
d
d
H e lp
Рис. В. 10.36. Специальные параметры решения
Новая модель кавитации FLUENT имеет ряд преимуществ пе­
ред предыдущей. Она более сложна, но даёт более точные резуль­
таты. В более сложных случаях с высокими перепадами давления
или значительным отношением плотностей жидкости и пара воз­
можно понадобится снизить подрелаксационные факторы до
0,1-0,2. Для «Vaporization Mass» (Масса испарения) советуют ис­
пользовать подрелаксационный фактор равный 0,1; хотя для этой
переменной можно применять значения от 0,001 до 1 при необхо­
димости.
Под надписью «Discretization» (Дискретизация) выберите
«Linear» (Линейная) в списке «Pressure» (Давление) и «SIMPLEC»
в списке «Pressure-Velocity Coupling» (Расчёт Давление-Скорость).
3.2. Отображение невязки при решении:
Solve - Monitors - Residual...
284
S to r a g e
O p tio n s
R P rint
P lottin g
Ite r a tio n s | i ООО
W in d o w | o
=
R P lo t
Ite r a tio n s 1 0 0 0
N o r m a liz a tio n
I-
N o r m a liz e R S c a le
A x e s ...
| C u r v e s ... |
Check
Convergence
MonitorCo nvergence Criterion
Residual
c o n tin u ity
R
R
0.0001
x - u e l o c it y
R
R
0.0001
y -u e lo c ity
R
R
e n e rg y
R
R
k
R
R
P lo t
|
0.0001
с
f i e - 06
0.0001
R enorm |
C an c e l |
H elp
Рис. В. 10.37. Параметры сходимости решения
Измените критерий сходимости для «continuity» (неразрыв­
ность потока) на 10"7 для повышения точности. Остальные крите­
рии сходимости (кроме «vf-vapor») примите равными 10"5. Отметь­
те флажком «Plot» (Отображать) под надписью Options (Опции) и
нажмите ОК.
3.3. Определение решения от давления на входе:
Solve - Initialize - Initialize...
Com p u te From
R e f e r e n c e F ram e
f* R e la tiv e to C ell Z o n e
С A b so lu te
Initial V a lu e s
G a u g e P r e s s u r e ( p a s c a l] 1 8 7 5 3 1
A x ia l V e lo c ity (m /s] 0 .0 7 7 5 2 8 9
R a d ia l V e lo c ity (m /s]
0
T u r b u le n c e K in e tic E n e r g y (m 2 /s 2 ) 9 . 0 1 6 0 9 2 e - 0 5
Init
R es e t |
A p p ly
C lo s e
H elp
Рис. В. 10.38. Инициализация начального решения
Выберите «inlet» в списке «Compute From» (Решать от).
В разделе «Reference Frame» (Система отчёта) выберите
«Absolute (Абсолютная)».
285
Нажмите «Init» для определения решения.
3.4. Сохраните файл настроек (*.cas):
File - Write - Case...
3.5. Начните расчёт требуя 2000 итераций:
Solve - Iterate...
Iteration
Number of Iterations 2|000
-±-|
Reporting Interval 1
q
UDF Profile Update Interval
Iterate
Apply
Close
Help
Рис. В. 10.40. Задание количества итераций решения
Для начала расчета нажмите кнопку «Iterate». С помощью это­
го окна процесс решения можно прервать или продолжить с опре­
деленного шага.
Residuals
continuity
x-velocity
y-vetocify
1e-01
1e-02
1е-03
1e-04
1е-05
le-06
1e-07
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
Iterations
Scaled Residuals
Oct 30. 2006
FLUENT 6.2 (axi. segregated, mixture, ske)
Рис. В. 10.41. Процесс решения задачи
286
ш*т
13 rlU lJ
File Grid Define Solve Adapt Surface Display Plot Report Parallel Hejp
5666
5667
5668
5669
5670
5671
5672
5673
ite r
5674
5675
5676
5677
5678
5679
5680
5681
! 5682
5682
2.8955e~08 9 .9 040e- 08
2.8 9 4 3 e-0 8 9 .7581e-0 8
2 _8938e-08 9 .8227e-0 8
2 .8 9 4 3 e-0 8 1.0237e-0 7
2 .9 008e-08 9.9 2 5 6 e-0 8
2 .9 017e-08 1 .0029e-0 7
2 _9114e-08 1 .0264e-0 7
2_9126e~08 9 .9944e-0 8
c o n t in u it y x - u e l o c it y
2 .9 098e-08 9 .9 4 7 0 e - 08
2 .9 079e-08 9 .9 0 6 5 e-08
2 _9 069e-08 9 _9502e-08
2 .9 013e-08 1 _0192e-07
2 .9 0 3 4 e-0 8 9 .9269e-0 8
2 .9 015e-08 9 .8912e-0 8
2 .9 019e-08 1 .0007e-0 7
2.9 0 3 0e-O8 9 _8849e-08
s o lu ti o n i s converged
2 .9 0 2 3 e-0 8 9 -9479e-08
7 .3 7 4 7 e-0 8
7 .3 2 3 0 e-0 8
7 _3402e-08
7 .6 9 8 6 e-0 8
7 .4 7 9 1 e-0 8
7 .6 3 0 9 e -08
7 ,752 2 e-0 8
7 _5346e-08
y -u e lo c ity
7 . 4 4 3 4 e -08
7 .4 5 1 7 e-0 8
7 _3944e-08
7 _7085e-08
7 .5 2 6 0e 08
7 .4 5 4 9 e-0 8
7 .4 2 9 7 e-0 8
7 .3 9 1 0e-08
2 .4 6 07 e - 08
2 .3 2 9 2 e-0 8
2 .3 3 8 2 e-0 8
2 .3 3 9 8 e-0 8
2 .3 5 6 1 0 -0 8
2 .3 0 5 7 e-0 8
2 .3 9 6 9 e-0 8
2 .3 7 3 3 e-0 8
k
2 .3 9 9 5 e-0 8
2 .3 7 7 2 e-0 8
2 .43 02 e - 08
2 .4 6 08 e - 08
2 .3 5 1 2 e-0 8
2 .4 8 2 7 0 -0 8
2.4 3 4 0 0 -0 8
2.3 6 4 4 0 -0 8
3 .4 6 9 1 e - 08
3 .3 3 4 3 e-0 8
2 .9 6 2 9 e-0 8
3 .1 4 1 6 e - 08
3 .4 7 3 6 e-0 8
3 .2 3 2 1 e - 08
3 .4 5 4 0 e-0 8
3 .3099e-08
e p s ilo n
3 .5 2 6 7 e -08
3 . 3 6 7 9 e -08
3.4 9 2 5 0 -0 8
3 .7191e-08
3 .1843e-08
3 .6 1 3 6 e-0 8
3 .2 2 6 9 e-0 8
3 .27070-08
8 . 8 4 8 9 e -04
8 .2 3 0 7 e-0 4
8 .1 6 9 3 e-0 4
7 .4 0 8 6 e -0 4
6 .1 5 6 1 e-0 4
5 .3 2 0 7 e -04
4 .6 9 3 7 e-0 4
3 .8 5 5 2 e-0 4
u f-p h a se -2
3 .5 0 6 4 e -04
2 . 3 8 5 4 e -04
1 .9 6 5 0 e -04
2 . 0 3 5 7 e-04
1 . 6 8 5 1 e -04
1 .193 9 e-0 4
1 .334 5 e-0 4
1 .053 7 e-0 4
7 -3560e 08 2 .4 1 3 1 e-0 8 3 .3062e-08 9 .1 3 3 5 e -05
<n
I
0:11: J
0 :0 9 ::
0 :0 7 :!
0:06:1
0:04:J
0 :03:!
0 :0 3 :i
0:02::
til
0:01:!
0:01::
0:01:
0:01:
0:O0:J
0:00:;
0:14:J
0:11: J
0 :0 9 ::
*
m
Рис. В. 10.42. Отображение сходимости решения в консоли
3.6. Сохраните решение в файл данных (*.dat):
File - Write - Data...
4. Последующая обработка и вывод результатов на экран
4.1. Отразим изображение относительно оси:
Display - Views...
Определим ось симметрии для отображаемого объекта: выби­
раем «axis».
Views
[Xj
View s
back
front
Actions
M irror P l a n e s = f
D efault
A ut o S c a l e
Save
R estore
D elete
Save Name
juieu -0
A pply
Define P la ne...
Periodic R e p e a ts
R ead...
D e f i n e .. .
W rite...
C am era...
C lo se
H elp
Рис. В. 10.43. Окно управления видами модели
4.2.
Отобразим результаты в виде полей:
Display - Contours...
287
Выберите «Velocity...» (Скорость...) и «Velocity Magnitude»
(Значение скорости) в раскрывающихся списках «Contours Of»
(Распределение).
1*Л1
C o n to u rs of
Options
W
W
W
W
Velocity...
Filled
*
Node V alues
Auto R a n g e
Phase
V C lip to R a n g e
V D r aw P ro fi l es
V D r aw Grid
Levels
E
E
Ve lo c ity M a g n i t u d e
G lo bal R a n g e
m ix t u r e
Max
M in
F~
Setup
К Ц ГЦ
S u r f a c e N a m e P a t t e rn
axis
d ef au lt -in te rio r
inlet
o u tl et
wall
Surface T y p e s
= ll
axis
clip-surf
ex haust-fan
M
О
r
fan
D isplay |
C om pute |
C lose
||
He lp
|
Рис. В. 10.44. Окно управления результатами
В опциях отметьте «Filled» (Заливка). Уровень градиента цве­
тов «Levels» установите 100.
При необходимости пересчет численных значений проводится
нажатием кнопки «Compute» (Подсчитать).
Нажмите Display (Отображение). Распределение скоростей
показывается цветом. Численные значения соответствуют опреде­
ленным оттенкам шкалы слева. При нажатии правой кнопкой мы­
ши на объект на шкале значений высвечивается диапазон, в кото­
ром находится значение параметра в указанном элементе модели
(см. рис. В.10.45-В.10.52).
Аналогичным образом выведем на экран распределения дру­
гих параметров потока: давление, плотность и энергетические ха­
рактеристики.
288
Contours of Velocity Magnitude (mixture) (m/s)
FLUENT 6.2 (axi. segiegdted. mixture. *ke)
Рис. В. 10.45. Поля распределения численного значения
вектора скорости потока
187492
180087
174554
168981
163427
157874
152320
146767
141214
135660
130107
124553
119000
113447
107893
102340
96786
91233
85680
80126
74573
69020
63466
57913
52359
46806
41253
35699
30146
24592
19039
13486
7932
2379
C ontours of Static P ressu re (mixture) (pascal)
FLUENT 6.2 (axi. segregated, mixture, ske)
Рис. В. 10.46. Поля распределения статического давления
289
151997
145917
141357
136797
132238
127678
123118
118558
113990
109438
104878
100318
95758
91199
86639
82079
77519
72959
68399
■чу-
59279
54719
50160
45600
41040
36480
31920
27360
228 X
18240
IММ
C ontours of Dynamic P ressu re (mixture) (pascal)
FLUENT 6.2 idxi. seuieudleu. iiHXtme. ske)
Рис. В. 10.47. Поля распределения динамического давления
■
199779
193633
187486
181338
175192
62898
156751
150604
138311
32104
1260 7
1 9870
1137ГЗ
107576
101429
82989
76842
04548
5840
46107
у -у .:
338 3
:
5 23
15373
Contours of Total P ressu re (mixture) (pascal)
FLUENT 6.2 (axi. segregated, mixture, ske)
Рис. В. 10.48. Поля распределения полного давления
290
Contours of Density (mixture) (kgfm3)
FLUENT 6.2 (axi. segregated, mixture, ske)
Рис. В. 10.49. Поля распределения плотности смеси
ContoursofTurbulenceIntensity(mixture) (%)
FLUENT 6.2 (axi. segregated, mixture, ske)
Рис. В. 10.50. Поля распределения значений
интенсивности турбулентности
По полям отклонения массового расхода воды от теоретиче­
ского значения проверяется точность результатов расчета. Про­
грамма позволяет также показать распределение энергетических
параметров по каналу.
127 76
122 68
118 87
115 06
111 25
107 44
103 63
99 83
96 02
92.21
88 4 0
84 59
80 78
76 97
73.16
69 35
6 5 54
61.73
57.92
54 11
50 30
46 4 9
4 2 68
38 87
35 06
31 25
27.44
23.63
1982
16.02
12.21
840
4 59
0.78
Contours of Cell Reynolds Number (mixture)
FLUENT 6.2 (axi. segregated, mixture, ske)
Рис. В.10.51. Поля распределения числа Рейнольдса
9.92е-01
9 52е-01
9 22е-01
8.92е-01
8 63*-01
8 ЗЗе-01
87.73*-01
0Эе-01
7 44*-01
7.140-01
6 84е-01
6 54*-01
6 25е-01
5 95*-01
5 65в-01
5Э5*-01
5 06е-01
4.76е-01
4 46 * -0 1
4 16е-01
3 87в-01
Э.57е-01
3.27*-01
2.97е-01
2 68е-01
2 38е-01
2.08е-01
1.780-01
1 490-01
1 190-01
8 9 2 0 -0 2
5.950-02
2.970-02
000«>00
Contours of Volume fraction (phase-2)
FLUENT 6.2 (axi. segregated, mixture, ske)
Рис. В. 10.52. Поля распределения фаз по объему
4.3.
Представление результатов в виде эпюр
По сечениям 1-6 (см. рис. В. 10.53) построены эпюры парамет­
ров потока; по длине трубки - изменение этих параметров. Так как
292
расчет проводился по половине сечения трубки, то эпюры по сече­
ниям отображают распределение параметра от стенки до оси (слева
направо).
Сечения (начало координат на оси координат в начале суже­
ния трубки):
1
2 3 4
5
б
Рис. В. 10.53. Расположение контрольных сечений
№ 1 - минус 0,01135 м (D = 26 мм):
№ 2 - 0,00642 м (d = 4,5 мм):
№ 3 - 0,00984 м;
№ 4 -0 ,0 2 1 6 2 м;
№ 5 -0,05514 м;
№ 6 - 0,11604 м (D= 26 мм).
Изменение параметров вдоль оси трубки
На рис. В.10.54-В.10.61 изображены эпюры параметров потока
по оси модели:
- давление,
- плотность,
- скорость,
- турбулентность,
- другие характеристики.
293
2.00e+05
1.80e+05 1 60e+05 1.40e+05 1.20e+05 -
Static
Pressure
(mixture)
(pascal)
1 00e+05 8.00e+04
в.ООе+04 4.00e+04 2.00e+04 O.OOe+OQ -0 04
-0.02
0
0.02
0 04
0.06
0.08
Position (m )
Рис. B.10.54. Статическое давление
00e+05 -
Dynamic
Pressure
(mixture)
(pascal)
-0.04
-0.02
0
0.02
0 04
0 06
0 08
Position (m)
Рис. В. 10.55. Динамическое давление
294
0.1
0.12
0.14
Total
Pressure
(mixture)
(pascal)
-0 04
-0 02
0
0.02
0 04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0 1
0.12
0.14
Position (m)
Рис. В. 10.56. Полное давление
Density
(mixture)
(kg/m3)
-0.04
-0.02
о
0.02
0.04
0.06
0 08
Position (m)
Рис. В. 10.57. Плотность смеси
295
Velocity
Magnitude
(mixture)
(m/s)
-0.04
-0.02
0
0.02
0 04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
008
0.1
0.12
0.14
Position (m)
Рис. B.10.58. Скорость
Turbulence
Intensity
(mixture)
(%)
-0.04
-0.02
0
0.02
0.04
0.06
Position (m)
Рис. В. 10.59. Интенсивность турбулентности
296
Mass
mbalance
(mixture)
(kg/s)
0.00e+00 -
-0.04
-0.02
0
0.02
0.14
U. I
Position (m)
Рис. В.10.60. Отклонение массового расхода от теоретического
Volum e
fraction
(phase-2)
-0.04
-0.02
о
0.02
0.04
0 06
0.1
0.12
0.14
Position (m)
Рис. В. 10.61. Доля пара по объему смеси
297
Эпюры параметров потока по сечениям
1. Статическое давление
187432
187430
Static
Pressure
(mixture)
(pascal)
187428
187428
187424
187422
187420
187418
-О
-о
-О
-о
-о
-о
-о
-О -о
-о
-о
Position (m)
Рис. В. 10.62. Сечение № 1
Static
Pressure
(mixlure)
(pascal)
о
о о о о о о о о о о о
Position (m)
Рис. В.10.63. Сечение № 3
Static
Pressure
(mixture'
(pascal.
о
о
о
о
Position (m)
Рис. В. 10.64. Сечение № 5
298
о
о
2. Д инамическое давление
120
no
100
Dynamic
Pressure
(mixture)
(pascal)
00
TO
60
-0 -0 -0 -0
-0
-0 -0 -0 -0
-0
-0
Position (m)
Рис. В. 10.65. Сечение № 1
Dynamic
Pressure
(mixture)
(pascal)
о
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Position (m)
Рис. В. 10.66. Сечение № 3
2200
2000 1000
1600
1400 -
Dynamic
Pressure
(mixture)
(pascal)
1200 1000
0
0
0
0
0
0
Position (m)
Рис. В. 10.67. Сечение № 5
299
3. Полное давление
Total
Pressure
(mixture)
(pascal)
187515
-0 -a -o -o
-0
-0
-0
-0 -0 -0
Position (m)
Рис. В. 10.68. Сечение № 1
140000 120000 100000
Total
Pressure
(mixture)
(pascal)
eoooo
eocoo
40000
20000
Position (m)
Рис. В. 10.69. Сечение № 3
0
О
о
о
о
Position (m)
Рис. В. 10.70. Сечение № 5
300
о
о
4. Скорость потока
0.4
0.4
Velocity
Magnitude
(mixture)
(m/s)
0.3
0.1
0.1
'0
-0
-0
-0
-0
-0
4)
-0
41
Position (m)
Рис. В.10.71. Сечение № 1
Velocity
Magnitude
(mixture)
(m/s)
юс 80
* я.
Position (m)
Рис. В. 10.72. Сечение № 3
2.2
2.0
1.8
1.0
1.4
Velocity
Magnitude
(mixture)
(m/s)
iл
0
со
0.0
0.4
0.2
0
0
0
0
0
0
0
Position (m)
Рис. В .10.73. Сечение № 5
301
5. Число Рейнольдса
100.0
80.0
70.0
Cell
Reynolds
Num ber
(mixture)
60.0
-
50.0
-
40 .0
-
30.0
100
0
0
0
0
0
0
0
0
Position (m )
Рис. B.10.86. Сечение № 2
Cell
Reynolds
Num ber
(mixture)
25.0
-
20.0
-
15.0
-
О
1 0 .0 -
0
0
0
0
0
0
0
0
Position (m )
Рис. В. 10.87. Сечение № 3
3 02
0
0
0
0
5. Анализ результатов
Отметим значительное снижение статического давления пото­
ка при сужении канала (рис. В. 10.46). Низкое статическое давление
- важный фактор приводящий к кавитации, хотя турбулентность
тоже воздействует на кавитацию за счет колебаний давления и тур­
булентного переноса (turbulent diffusion).
В этом примере сетка достаточно груба. Однако в кавитацион­
ных течениях распределение давления - определяющий фактор, не
очень чувствительный к размеру сетки.
Проведем сравнение численного расчета с экспериментальны­
ми данными. На рис. В. 10.88 изображены расчетная модель (рас­
пределение фаз по объему) и фотография рабочего участка лабора­
торной установки, размещенные рядом в примерно одинаковом
масштабе.
Iпа IЗ:абВ
З2е|-001i•
зэа-o
з.оэа-oi
1
9 52е-01
9 224-01
7 4 4 4 -0 1
7 144-01
8.84 *-01
8? 5е -01
. 55wС"
5.354-01
44.74604^-0
011
3.87е-01
5.65С-0
5.Q64-Q
4.164-01
3.57е-01
3.274-01
:2.874-01
'.8е:•
2.Э8е-01
2.084-01
.784-01
149а ‘
1 194-01
3 92с 02
5 9 54-02
а
и;р-..:
9.004400
ContoursofVolumefraction(phase-2)
FLUEf'fT6.2(axi. beyieyated, iiextuie. bke)
Рис. В. 10.88. Визуальное сравнение полученных результатов
с экспериментом
Как видно на фотографии, «факел» пузырьков газа в экспери­
менте наблюдается на более протяженном участке. Однако в целом
303
картина распределения пара по длине трубки совпадает с экспери­
ментальной. Причиной же расхождения может являться неточный
учет факторов, влияющих на характер протекания кавитации, на­
чиная от шероховатости стенки, свойств воды и пара и заканчивая
значениями подрелаксационных факторов в решении.
Отметим, что область наибольшего значения кинетической
энергии турбулентности вблизи сужения отверстия (рис. В. 10.50)
совпадает с наибольшим объёмным содержанием водяного пара
(рис. В. 10.52). Это говорит о точном прогнозе расположения фазо­
вого перехода.
Вывод
Эта работа демонстрирует приемы установки и решения зада­
чи кавитационного течения в канале переменного сечения, исполь­
зуя многофазную модель FLUENT с эффектами кавитации. Вы
научились устанавливать граничные условия для внутреннего те­
чения (internal flow). Для прогнозирования образования пузырьков
пара в месте сужения канала было использовано стационарное ре­
шение. Для точного моделирования циклического процесса образо­
вания пузырьков, их роста и разрушения потребуется более слож­
ный расчёт с использованием нестационарности процесса.
304
Приложение Г
СБОРНИК ТИПОВЫХ ЗАДАЧ (ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ)
1. Гидростатика
1.1. Горизонтальный трубопровод диаметром d = 400 мм и
длиной / = 500 мм наполнен стоячей водой. Температура воды
t = 5 °С, давление р = 3,92Т05 Па, коэффициент температурного
расширения (3t = 0,00014 м /граО и коэффициент объемного сжатия
(Зр = 5-101'1м2/Н. Определить давление воды в трубе при нагрева­
нии ее до 15 °С. Деформацией стенок пренебречь.
1.2. Определить атмосферное давление В = р н на гладкой по­
верхности озера, если гидростатическое давление р на глубине
И = 50 м равно 5,89-105 Па. Плотность воды р = 10’ кг/м\
Рис. Г.1. К задаче 1.3
Найти выражение для определения высоты столба воды в
пьезометре (рис. Г.1) над уровнем жидкости в закрытом сосуде.
Давление на поверхности воды в сосуде р \.
1.3.
305
г'
Рис. Г.2. К задаче 1.4
1.4.
К закрытому резервуару с водой присоединены два ртут­
ных пьезометра (рис. Г.2) Определить глубину погружения нижне­
го пьезометра И, если известны показания ртутных пьезометров /г,
и И2, глубина погружения верхнего пьезометра а.
Исходные
данные
h
/Ь
а
Ед. из­
мерения
см
см
см
1
30
35
50
Значения для вариантов
2
3
4
35
40
45
40
50
60
60
70
65
5
50
70
80
Рис. Г.З. К задаче 1.5
1.5.
Определить величину и направление силы F, приложен­
ной к штоку поршня для удержания его на месте. Справа от порш­
ня находится воздух, слева от поршня и в резервуаре, куда опущен
306
открытый конец трубы, - жидкость Ж (рис. Г.З). Показание пру­
жинного манометра - р ы.
Рис. Г.4. К задаче 1.6
1.6. Определить высоту И, если поддерживающая сила F= 10
Н. Вес сосуда G = 2 Н, его диаметр d = 60 мм (рис. Г.4). Толщиной
стенки сосуда пренебречь. Жидкость - вода.
Рис. Г.5. К задаче 1.7
1.7.
Определить силу F, необходимую для удержания в равно­
весии поршня, если труба под поршнем заполнена водой, а разме­
ры трубы: D = 100 мм, Н = 0,5 м, И = 4 м. Длины рычага: а = 0,2 м,
b = 1,0 м (рис. Г.5). Собственным весом поршня пренебречь.
307
Рис. Г.6. К задаче 1.8
Квадратное отверстие со стенкой а в наклонной стенке ре­
зервуара с водой закрыто щитом (рис. Г.6). Определить натяжение
каната Т при следующих данных:
1.8.
Исходные
данные
а
Ъ
Н
oci = а2
Ед. из­
мерения
м
м
м
О
1
1,6
0,8
2,2
60
Значения для вариантов
2
3
4
0,8
1,2
0,9
0,6
0,8
0,6
2,1
2,6
2,4
45
30
60
5
1,2
0,8
2,3
45
С]
"
----
"
Т 77Т 7
Рис. Г.7. К задаче 1.9
Определить равнодействующую силу избыточного давле­
ния воды на плоский затвор, перекрывающий отверстие трубы,
308
1.9.
имеющей прямоугольное поперечное сечение. Найти координату
точки приложения У0. Построить эпюру по указанному сечению.
Исходные
данные
#1
Н2
a
a
b
эпюра
Ед. изме­
рения
м
м
О
м
м
1
5,8
1,4
90
1,5
1,2
АВ
Значения для вариантов
2
3
4
5,6
5,4
5,5
1,2
1,6
2,4
45
60
90
1,5
1,5
1,7
1,4
1,6
1,2
АВ
сд
сд
5
6,5
2,4
45
1,7
1,2
АВ
2. Гидродинамика
Ptox
Рис. Г.6. К задаче 1.8
2.1.
ностью
р.
По трубе переменного сечения движется жидкость плот­
Для измерения разряженияр вак в узкой части трубы при­
менен вакуумметр, заполненный жидкостью плотностью р в. Чашка
вакуумметра расположена ниже оси трубы на величину Н. Уровень
жидкости в трубке вакуумметра поднялся на высоту hB.
Известно, что р = 1000 кг/м \ р в = 1500 кг/м'. /?,, = 2 м. Опреде­
лить величину р вак, если показание вакуумметра Ив=250 мм (рис.
Г.8)
309
2.2.
По длинной трубе диаметром d = 50 мм протекает жид­
кость v = 2 Cm, р = 900 кг/м*. Определить расход жидкости в трубе,
если И = 60 см и Н = 80 см (рис. Г.9).
2.3. Чему равна скорость воды в трубе? В трубу налита ртуть
(р = 135000 кг/м'). Поток воды считать турбулентным, Н\ = 0,1 м.
Принять g = 10 м/с2, для воды р = 1000 кг/м* (рис. Г. 10).
2.4. Определить показания Н ртутного манометра при скоро­
сти движения воды на оси трубопровода V = 3 м/с. Принять
g = 10 м/с2, для воды р = 1000 кг/л г. для ртути р = 135000 кг/л г
(рис. Г. 11).
Та
Л V'\\
\ \ \\ \\
\ \ Ш\
\ \\\\\
1/
310
2.5.
По трубе диаметром d подается жидкость плотностью р
в сосуд объемом V, который заполняется за интервал времени /.
Известно, что d = 200 мм, р = 1000 кг/м3, t = 60 с, V = 2,4 лЛ опре­
делить массовый М и объемный О расходы и среднюю скорость С
потока в трубе (рис. Г. 12).
2.6.
По трубопроводу диаметром d движется жидкость плот­
ностью р, массовый расход ее равен G, а давление в сечении а-а,
расположенном на высоте z, равно р. Известно, что d = 100 мм, р =
900 кг/м*, z = 2,5 м, G = 180 м м /ч,р = 0,15 МПа. Определить пьезо­
метрический, скоростной и гидродинамический напоры в сечении
а-а (принять коэффициент а = 1,0) (рис. Г. 13).
/Я
1
д
Н
Q
2.7.
Для измерения расхода жидкости в трубопроводе диамет­
ром D установлен водомер Вентури с диаметром горловины d и
коэффициентом расхода р. Перепад давления в водомере АНи из311
меряется с помощью дифпььезометра. Известно, что D = 150 мм,
d = 100 мм. Определить величину коэффициента расхода /и водоме­
ра, если при пропуске жидкости в количестве О = 1200 л/мин пере­
пад в дифпьезометре АНц = 400 мм.
2.8.
Пренебрегая потерями напора, определить расход проте­
кающего по трубопроводу керосина (рис. Г. 15), если разность
уровней в пьезометрах /?р. диаметры d\ и d2.
Исходные
данные
h1i
d\
ch
Ед. из­
мерения
м
мм
мм
Значения для вариантов
2
3
4
0,56
0,54
0,73
50
40
50
100
75
100
1
0,53
40
75
5
0,70
40
75
г
•«s'
<£•
..
* ...
!
/ - 1. ..
.. .
if
h
t
2.9.
Определить требуемый напор для подачи воды в количе­
стве 0 = 4 л/с, если £ = 3,5, Л; = 4 м, И2 = 3 м, 1 = 10 м, 1\ = 3 м,
12= 1,5 м, d = 20 мм (рис. Г. 16).
312
2 .1 0 .
Система смазки двигателя внутреннего сгорания сводит­
ся к эквивалентному трубопроводу длиной / = 0,25 м и диаметром
d = 4 мм с местным сопротивлением в виде отверстия в толстой
стенке с диаметром d0 = 2 мм. Коэффициент гидравлических по­
терь описывается следующей эмпирической формулой:
уС
Ь
' + - Т—
где
=
V
0,41
У /////
-V
У /////
/
Определить максимальный расход масла О, прокачиваемый
через масляную систему, если давление, определяемое настрой­
кой переливного клапана, равно р = 0,45 МПа; вязкость масла
ц = 12 с('т: плотность р = 920 кг/м* (рис. Г. 17).
2 .1 1 .
Жидкость динамической вязкостью р = 3-10° П а с и
плотностью р = 900 кг/м* течет по горизонтально гладкой круглой
трубе диаметром d = 30 мм. Перепад давлений, вызываемый сила­
ми сопротивления на участке длиной 1 = 2 м, Ар = 4270 Па. Опре­
делить массовый расход жидкости.
313
Сосуд Мариотта представляет собой плотно закрытый
сосуд, в крышке которого укреплена трубка, сообщающая сосуд с
атмосферой. В стенке сосуда имеется отверстие d = 10 мм. Опреде­
лить время опорожнения сосуда от верхнего до нижнего обреза
трубки. Объемом жидкости в трубке и сопротивлением при исте­
чении пренебречь. Форма сосуда цилиндрическая, D = 100 мм,
2 .1 2 .
hi = 0,2 м, h2= 1 м, Н = 2 м, е = 1 (рис. Г. 18).
Понтон массой М = 800 кг, площадью S = 4 м2 и высо­
той И = 0,6 м получил в дне осколочную пробоину площадью
S0 = 0,001 м2. Определить время полного затопления понтона, при­
2 .1 3 .
няв за коэффициент расхода р = 0,8, плотность воды р = 1000 кг/м*
(рис. Г. 19).
В баке, имеющем в дне отверстие диаметром d\, а в стен­
ке - отверстие снабженное цилиндрическим насадком диаметром
d2, установился уровень воды на высоте Н (рис. Г.20). Определить,
каков расход воды О, поступающей в бак, если центр бокового от­
2 .1 4 .
314
верстия возвышается над дном бака на высоту И. Определить ско­
рости истечения С\ и С2.
Исходные
данные
d\
dо
Я
hii
Ед. из­
мерения
мм
мм
м
м
1
120
80
2,6
0,4
Значения для вариантов
2
3
4
100
140
120
90
70
80
2,8
1,8
1,4
0,3
0,4
0,3
5
80
60
2,0
0,4
2.15. В стенке резервуара на высоте h\ от дна имеется круглое
отверстие диаметром d (коэффициент скорости ф = 0,97 и расхода
р = 0,62). Уровень жидкости плотностью р расположен на высоте
И2, манометрическое давление паров жидкости р 0. Истекающая
струя имеет скорость V и расход О.
Известно, что h\ = 0,5 м, h2 = 1,2 м, р = 1020 кг/м3, d = 10 мм.
Определить скорость V и расход О струи, если давление
р 0= 0,06 МПа.
2.16. Катер с водометным двигателем развивает скорость
36 км/ч, при этом тяга двигателя должна быть 2 кН. Определить
объемный расход воды через двигатель, если известно, что вода
выбрасывается через трубу с диаметром d = 300 мм.
315
2.17.
Водо-водяной эжектор (рис. Г.21) состоит из круглого
сопла 1, из которого вытекает активная струя, камеры 2 подвода
отсасываемой жидкости, смесительной камеры 3, в конце которой
поток выровнен, и диффузора 4 с диаметром выходного сечения
d3 = 70 мм. Давление торможения перед соплом р 0 = 2 1 05 Па, диа­
метр сопла d\ = 15 мм, диаметр камеры смешения cl2 = 45 мм, дав­
ление в камере 2 р\ = 0,8-105 Па.
Найти массовый расход «?/через сопло, массовый расход т \
подсасываемой воды и параметры потока рз и w3 на выходе из
диффузора. Коэффициент эжекции п = т \1 т х = 0,3, трением о
стенки пренебречь.
г
2.18. На рис. Г.22 изображена простейшая дождевальная уста­
новка, выполненная в виде сегнерового колеса. Определить отно­
сительную скорость истечения воды из сопла установки в зависи­
мости от величины напора Н и радиуса R при постоянной угловой
скорости вращения со. Предполагая, что трение отсутствует, опре­
делить максимальную угловую скорость вращения аппарата в зави­
симости от угла выхода струи ср.
2.19. Несжимаемая жидкость большой плотности закручена по
закону свободного вихря, т.е. окружная скорость зависит от радиу316
са по закону Кеплера
С и ■г =
co n st
(г - расстояние от вертикальной
оси z). Найти уравнение свободной поверхности жидкости, на ко­
торой давление равно атмосферному.
2.20. В экспериментальной установке для поглощения мощно­
сти модельной турбины применяется гидротормоз. Мощность в
гидротормозе тратится на вращение диска в камере, заполненного
водой. Определить мощность, потребляемую гидротормозом при
диаметре гладкого диска d = 0,6 м и частоте вращения п = 100 с"1.
Температура воды Т= 323 К поддерживается постоянной.
2.21. В зону действия плоского океанического вихря интен­
сивностью Г = 4л-104 лг/с попало судно, поперечный размер кото­
рого b = 20 м. Определить направление и величину силы, дейст­
вующую на судно (помимо силы лобового сопротивления), при
расположении судна вдоль линии тока на расстоянии г = 5 км от
центра вихря.
2.22. Определить потерю полного напора АН в трубопроводе
с диаметром 30 мм и длиной 10 м при течении в нем жидкости
со средней скоростью 5 м/с при вязкости v=4,510"3л г/с.
2.23. На переднюю часть погруженного в реку тела, находяще­
гося на глубине 5 м, действует максимальное избыточное давление,
равное 81,5 к П а . Определить скорость течения реки на этой глу­
бине.
2.24. Что можно сказать о характере движения жидкости, если
при скорости потока С = 10 м/с разность между полным и статиче­
ским давлениями Ар = 65
П а ,
а при скорости
С
= 20 м/с,
Ар = 260 П а .
2.25. Через трубку диаметром 3 мм прокачивается бензин при
температуре 293 К с расходом 0,15 л/мин. Определить касательное
напряжение на стенке трубы при вязкости бензина р=6.56- \(У4Пас.
2.26. Используя формулу Блазиуса для определения коэффи­
циента сопротивления X по длине гладкой цилиндрической трубы,
найти градиент давления dp/d/, если известно, что труба имеет
317
диаметр 150 мм. прокачивается по ней вода при Т = 293 К с расхо­
дом 50 л/с.
2.27. Вычислить потерю напора, вызванную внезапным рас­
ширением трубопровода от d\ = 200 мм до с/2= 300 мм. если по тру­
бопроводу прокачивается 0,2 д/7с воды при температуре
Т = 293 К. На сколько уменьшится потеря напора, если участки
трубы с размерами d\ и cl2 соединить коническим диффузором с
центральным углом раствора 6°.
2.28. По горизонтальному трубопроводу с диаметром 4 мм
движется вода при температуре Т = 293 К с расходом 0,2 л/мин.
Определить разность уровней в водяных пьезометрах (жидкостных
манометрах), замеряющих давление жидкости на длине трубопро­
вода I = 1 м, а также число Рейнольдса по осредненной скорости
в сечении трубы.
2.29. Определить направление и силу, действующие на по­
жарный брандспойт при истечении из него воды под давлением
400 к Па. Диаметр подводящего шланга 70 мм. а диаметр выходно­
го отверстия (сопла) - 40 мм. Силы трения не учитывать, внешнее
давление 100 кПа.
III. Основы теории пограничного слоя
Плоская пластина с двух сторон обтекается потоком не­
сжимаемой жидкости со скоростью щ = 10 м/с. Плотность жидко­
3.1.
сти
р
= 1000 кг/м3. На выходной кромке пластине известны толщи­
на пограничного слоя 5 = 2,8 мм и закономерность распределения
скорости поперек следа
и/м0 = (у/б)т . m = 1/8. Найти силу тре­
ния LT действующую на единицу ширины пластины, и кинетиче­
скую энергию Е, перешедшую в теплоту вследствие работы сил
трения.
р ,
318
Приложение Д
Контрольные вопросы (для самоподготовки)
1. В чем отличие жидкостей от твердых тел и газов?
2. Какова взаимосвязь между плотностью и удельным весом
жидкости? Укажите их единицы измерений.
3. Что называется коэффициентом объемного сжатия жидко­
сти? Какова его связь с модулем упругости?
4. Как изменится плотность жидкости при увеличении темпе­
ратуры при постоянном давлении?
5. Что называется вязкостью жидкости. В чем состоит закон
вязкостного трения Ньютона?
6. Какова связь между динамическим и кинематическим ко­
эффициентами вязкости. Укажите их единицы измерения?
7. Какими свойствами реальной жидкости пренебрегают при
использовании модели идеальной жидкости?
8. С какой целью в гидромеханике вводится понятие об иде­
альной жидкости?
9. В каких случаях реальная жидкость близка по своим свой­
ствам к идеальной?
Гидростатика
1. Какие силы, действующие в жидкости, являются поверхно­
стными, массовыми?
2. Каковы свойства гидростатического давления?
3. Каков физический смысл величин, входящих в дифферен­
циальные уравнения равновесия жидкости Эйлера?
4. Какое условие выполняется на границе свободной поверх­
ности жидкости или на поверхности раздела двух жидкостей?
5. Как формулируется закон Паскаля и какова его связь с ос­
новным уравнением гидростатики?
319
6. Каковы соотношения между абсолютным давлением, избы­
точным и вакуумом?
7. Почему центр давления всегда находится ниже центра тя­
жести смоченной поверхности наклонной плоской стенки?
8. Как формулируется закон Архимеда? В каких случаях по­
ложение судна будет остойчивым и неостойчивым?
К ин ем ати ка и ди н ам и к а ж идк ости
1. К какому методу описания движения относится построение
эпюры скоростей в исследуемом сечении; построение траектории
движения частицы жидкости?
2. При каких условиях сохраняется постоянство расхода вдоль
потока жидкости?
*
Е=
—
====
-X
г
:= :=
-X
Е :=: С ?
гГ
; 1У Е
-L t
1
Рис. Д.1
3. Каков физический смысл величин, входящих в дифферен­
циальные уравнения движения Эйлера?
4. К каким выражениям приводится уравнение Бернулли в
случаях:
а) неподвижной жидкости;
б) равномерного движения в горизонтальном трубопроводе;
в) истечения жидкости из сосуда через круглое отверстие.
320
5. Каковы причины возникновения потерь напора при движе­
нии вязкой жидкости
6. По показаниям каких пьезометров определяются статиче­
ские давления в различных сечениях канала (рис. Д.1)?
7. По показаниям каких пьезометров определяется величина
гидравлических потерь между сечениями 1 и 2 (рис. Д.1), скорость
на оси трубы?
8. Как изменяется полный напор при движении идеальной
жидкости по каналу переменного сечения?
Ч
Рис. Д.2
9. Как изменяются скорость С и статическое давление р
при течении идеальной несжимаемой жидкости от сечения 1 до се­
чения 2 (рис. Д.2) по цилиндрическому каналу постоянного сече­
ния (Si = S2 ; z\ > 0)?
10. В чем отличие турбулентного течения жидкости от лами­
нарного?
11. Каков физический смысл критерия Рейнольдса? Критиче­
ское число Рейнольдса для труб круглого сечения?
12. Каковы условия гидродинамического подобия потоков?
13. Изобразите эпюру скоростей в цилиндрическом трубопро­
воде при ламинарном движении жидкости. Каково соотношение
между средней и максимальной скоростями?
321
14. От каких параметров потока зависят потери на трение по
длине при ламинарном движении жидкости?
15. Каковы особенности движения жидкости в начальном уча­
стке ламинарного движения?
16. Чем отличается распределение скоростей в цилиндриче­
ском трубопроводе при ламинарном и турбулентном режимах дви­
жения жидкости?
17. Каково понятие «гладкие» и «шероховатые» поверхности?
Может ли одна и та же труба быть «гидравлически гладкой» и
«гидравлически шероховатой»?
18. Какова зависимость между потерей напора и средней ско­
ростью течения жидкости в различных зонах и линиях на графике
Никурадзе?
19. От каких факторов зависит коэффициент гидравлического
трения при турбулентном течении жидкости?
20. Как определяется гидравлический диаметр для некруглых
трубопроводов ?
21. Какие сопротивления называются местными?
22. По какой формуле определяются потери, вызванные мест­
ными сопротивлениями?
23. Как определить потерю напора при внезапном расширении
трубопровода? Теорема Бордо-Карно.
24. Как определяется коэффициент сопротивления системы
трубопроводов (суммарный коэффициент сопротивления)?
25. Как связаны между собой коэффициенты сопротивления,
сжатия, скорости и расхода? Поясните физический смысл этих ко­
эффициентов.
26. Какое влияние оказывает вязкость жидкости при истече­
нии из отверстий и насадков?
27. Как изменяются расход и скорость при истечении жидко­
сти через цилиндрический насадок по сравнению с истечением ее
из круглого отверстия того же диаметра и под тем же напором?
322
28.
В чем особенность истечения жидкости из большого от­
верстия по сравнению с истечением ее из малого отверстия?
1. Определение дисциплины, её состав, примеры использова­
ния.
2. Общая постановка задач в МЖГ: задано, требуется опреде­
лить; внутренние, внешние, струйные, прямые и обратные задачи.
3. Основные физические свойства жидкости и газа: плотность,
сжимаемость, вязкость, скорость звука, число Маха, энтальпия, мо­
лекулярные теплопроводность и диффузия.
4. Модели жидкости и газа: капельная жидкость, совершенный
газ.
5. Силы, действующие на жидкий или газообразный объём.
6. Напряжения, действующие на жидкий или газообразный
объём.
7. Гидростатика: абсолютное и относительное равновесие
жидкости, свободная поверхность и поверхность уровня.
8. Дифференциальное уравнение равновесия жидкости: поста­
новка задачи, расчётная схема, вывод уравнения.
9. Уравнение поверхности уровня как частный случай диффе­
ренциального уравнения равновесия.
10. Основное уравнение гидростатики как частный случай
дифференциального уравнения равновесия.
11. Измерение давления при помощи пьезометра.
12. Сила давления жидкости на плоскую стенку.
13. Сила давления жидкости на криволинейную стенку.
14. Закон Архимеда.
15. Равновесие газов: международная стандартная атмосфера
(MCA).
16. Кинематика жидкости: примеры стационарного и неста­
ционарного движения; примеры одно-, двух-, трёхмерного течения.
323
17. Кинематика жидкости: линия тока, элементарная струйка,
трубка тока, живое сечение, объёмный и массовый расход, плот­
ность тока.
18. Кинематика жидкости: методы Лагранжа и Эйлера иссле­
дования движения жидкости.
19. Уравнение неразрывности (сплошности) для стационарно­
го движения жидкости и газа.
20. Дифференциальное уравнение неразрывности (сплошно­
сти): вывод уравнения, частные формы для установившегося тече­
ния и несжимаемой жидкости.
21. Уравнение количества движения (первое уравнение Эйле­
ра).
22. Уравнение моментов количества движения (второе урав­
нение Эйлера).
23. Уравнение моментов количества движения для плоскопа­
раллельного движения в полярной системе координат: примеры
реализации.
24. Уравнение моментов количества движения: вращение
жидкости по инерции, центробежная форсунка.
25. Дифференциальное уравнение движения в напряжениях.
26. Дифференциальные уравнения Навье-Стокса (1845 г.) и его
частные случаи.
27. Движение жидкой частицы: теорема Коши-Гельмгольца,
линейная деформация бесконечно малого объёма.
28. Движение жидкой частицы: деформация сдвига и враще­
ние элемента.
29. Вывод уравнения Бернулли для горизонтальной элемен­
тарной струйки постоянного поперечного сечения с использовани­
ем уравнения количества движения.
30. Частные формы уравнения Бернулли. Примеры использо­
вания в аэрокосмической технике.
31 .Энергетический смысл уравнения Бернулли (теорема трёх
высот).
324
32. Уравнение Бернулли: составляющие полной механической
энергии жидкости в различных единицах измерения.
33. Частная форма уравнения Бернулли: понятие давления и
давления торможения, определение скорости несжимаемой жидко­
сти.
34. Предел применения уравнений неразрывности и Бернулли.
35. Кавитация: теоретические основы, положительные и отри­
цательные свойства.
36. Расходомер Вентури.
37. Примеры применения уравнений неразрывности и Бернул­
ли для анализа работы струйного насоса, скоростного наддува бака,
обтекания профиля.
1. Примеры расчёта числа Рейнольдса по измерениям на гид­
ростенде.
2. Алгоритм определения скорости истечения жидкости из на­
садков на гидростенде.
3. Определение гидравлических потерь на гидростенде.
4. Определение кавитационных режимов течения на гидро­
стенде.
5. Особенности определения эпюры скорости в цилиндриче­
ском канале на гидростенде.
6. Пример расчёта объёмного расхода, скорости, массового
расхода жидкости при работе на гидростенде.
7. Конструктивные особенности гидростенда, связанные с оп­
ределением расхода и абсолютного давления жидкости.
8. Простой трубопровод с насосной подачей жидкости.
9. Истечение жидкости через малое отверстие в тонкой стенке
при постоянном напоре. Определение коэффициентов сжатия (су­
жения), скорости, расхода.
325
10. Особенности гидравлического расчёта простого трубопро­
вода.
11. Гидравлические потери: потери на трение (потери по дли­
не). Формулы для расчёта.
12. Механизм потери устойчивости ламинарного течения жид­
кости или газа.
13. Гидравлические потери: примеры местных гидравлических
сопротивлений, формулы для расчёта.
14. Ламинарный, переходный и турбулентный режимы тече­
ния. Критерий Рейнольдса, его физический смысл.
326
Приложение Е
Рейтинг по основам механики жидкости
Лекционный курс - 75 баллов
Физические лабораторные работы - 9 баллов
Компьютерные лабораторные работы - 6 баллов
Решение задач - 10 баллов
Экзамен (зачёт) - 25 баллов
Всего - 125 баллов
В лекционном курсе:
Понятия и определения - 5 баллов
Гидростатика - 10 баллов
Кинематика - 5 баллов
Гидродинамика - 30 баллов
Потери, истечение - 15 баллов
Расчётные модели - 10 баллов
Оценка:
Отлично - 100... 125 баллов
Хорошо - 75... 99 баллов
Удовлетворительно - 51... 74 баллов
Неудовлетворительно - менее 50 баллов
П р и м е ч а н и е . Для получения хорошей и отличной оцен­
ки необходимо набрать из каждого раздела не менее 50% указан­
ных баллов.
327
Учебное издание
Белозерцев Виктор Николаевич,
Беляева Екатерина Владимировна,
Бирюк Владимир Васильевич и др.
ОСНОВЫ М ЕХАНИКИ Ж ИДКОСТИ
Учебное пособие
Редакторская обработка Т. К Кретинина
Корректорская обработка Н. С. Куприянова
ДоверсткаЛ. С. Телепова
Подписано в печать 13.12.06. Формат 60x84 1/16
Бумага офсетная. Печать офсетная
Уел. печ. л. 19,07. Уел. кр.-отт. 19,19. Печ. л. 20,5
Тираж 50 экз. Заказ
ИП-17/2006
Самарский государственный аэрокосмический университет
443086, Самара, Московское шоссе, 34
Изд-во Самарского государственного аэрокосмического университета
443086, Самара, Московское шоссе, 34
328
329