Примеры решения задач

2006-2007 уч. год. № 2, 8 кл. Физика. Тепловые явления.
Примеры решения задач
Задача 1. До какой температуры была нагрета при закалке
стальная пилка массой 200 г , если при опускании ее в сосуд с маслом,
через некоторое время в сосуде установилась общая температура
350 C ? Удельную теплоемкость стали считать равной 500 Дж /(кг ⋅ К ) ,
а масла -1700 Дж /( кг ⋅ К ) . Потерями теплоты и теплоемкостью сосуда
пренебречь. Начальная температура масла в сосуде 10 0 C , ее масса
равна 2 кг .
Решение. Во время рассматриваемого теплового процесса
стальная пилка массой M ст охлаждается от начальной температуры t1
до температуры t = 350 C , отдавая при этом количество теплоты
Qст = cст ⋅ M ст ⋅ (t1 − t ),
где cст - удельная теплоемкость стали.
За это же время масло массой M м нагревается от начальной
температуры t 2 = 10 0 C до температуры t = 350 C , получая при этом
количество теплоты
Q м = c м ⋅ M м ⋅ (t − t 2 ),
где c м - удельная теплоемкость масла.
Уравнение теплового баланса для данного теплового процесса
можно записать следующим образом:
Qотд = Qст = cст ⋅ M ст ⋅ (t1 − t ) = Qпол = Q м = c м ⋅ M м ⋅ (t − t 2 ).
Здесь предполагается, что испарением масла можно пренебречь,
т.е. теплота, выделяемая при охлаждении стальной пилки, идет только
на нагревание масла.
© 2006, ФЗФТШ при МФТИ. Составитель Кузьмичев Сергей Дмитриевич.
14
2006-2007 уч. год. № 2, 8 кл. Физика. Тепловые явления.
Из последнего соотношения для начальной температуры
стальной пилки получаем
M мc м ⎞
M мc м
t1 = ⎛⎜ 1 +
t 2 = 8850 C.
⎟t −
⎝ M стcст ⎠ M ст cст
Задача 2. Электрическая лампа мощностью P = 60 Вт опущена
в прозрачный калориметр, содержащий воду массой 600 г . За 5 минут
вода нагрелась на Δt = 40 C . Какую часть энергии, потребляемой
лампой, калориметр пропускает наружу в виде излучения?
Теплоемкостью калориметра
пренебречь.
Удельная
теплоемкость
воды
4200 Äæ /(êã ⋅ Ê ).
Решение. Энергия W , потребляемая электрической лампой за
время τ = 300 c , может быть рассчитана по формуле W = P ⋅τ .
На нагревание воды массой m на Δt градусов затрачивается
энергия (теплота)
Q = cв ⋅ m ⋅ Δt ,
где cв - удельная теплоемкость воды.
Остальная часть потребляемой энергии в виде излучения
выходит наружу. По отношению ко всей энергии энергия излучения
составит долю:
W − Q P ⋅ τ − c в ⋅ m ⋅ Δt
α=
=
.
W
P ⋅τ
Вычисления для значения α дают значение 0,44 или 44%.
Задача 3. В сосуд, содержащий воду массой m = 100 г при
температуре t1 = 10 0 C поместили кусок льда при температуре
t 2 = −50 0 C , после чего температура образовавшейся ледяной массы
оказалась равной t = −4 0 C . Какая масса льда была положена в сосуд?
Потерями теплоты и теплоемкостью сосуда пренебречь.
Решение. Количество теплоты Q1 , необходимое для нагревания
льда массой mл от
начальной температуры t 2 = −50 0 C до
0
температуры t = −4 C , равно
Q1 = cл ⋅ mл ⋅ ( t − t2 ).
При охлаждении воды массой m от температуры t1 = 10 0 C до
температуры t 0 = 0 0 C , она отдает количество теплоты Q2 :
Q2 = cв ⋅ m ⋅ (t1 − t 0 ).
Количество теплоты Q3 , выделяемое при замерзании воды,
равно
Q3 = λв m.
Количество теплоты Q4 , выделяемое при остывании льда от
t 0 = 0 0 C до температуры t = −4 0 C , есть
© 2006, ФЗФТШ при МФТИ. Составитель Кузьмичев Сергей Дмитриевич.
15
2006-2007 уч. год. № 2, 8 кл. Физика. Тепловые явления.
Q4 = c л ⋅ m ⋅ ( t 0 − t ).
Составим уравнение теплового баланса:
Qотд = Q2 + Q3 + Q4 = св m(t1 -t0 ) + λв m + сл m(t0 -t) =
= Qпол = Q1 = сл mл (t-t2 ).
Из этого уравнения найдем массу льда:
с m(t -t ) + λв m + сл m(t0 -t)
≈ 0,394 кг.
mл = в 1 0
сл ( t-t2 )
Задача 4. В калориметре находятся лед и вода при температуре
t1 = 0 0 C . Массы льда и воды одинаковы и равны 500 г . В калориметр
вливают воду массой 1 кг при температуре t 2 = 50 0 C . Какая
температура установится в нем? Теплоемкостью калориметра
пренебречь.
Решение. Особенной температурой в данной ситуации является
температура t1 = 0 0 C - температура таяния льда (или замерзания воды).
Если количество теплоты, которое может отдать горячая вода при
остывании до этой температуры, больше количества теплоты,
необходимого для плавления всей массы льда, то в системе установится
температура t > 0o C . Допустим, что это так.
Для составления уравнения теплового баланса определим, какое
количество теплоты могут отдать одни элементы системы, а какое
количество теплоты могут получить другие. Теплоту отдает горячая
вода при охлаждении от t 2 = 50 0 C до искомой температуры t . Теплоту
получают: лед (при плавлении) и холодная вода при нагревании от
t1 = 0 0 C до температуры t .
Для плавления льда массой m1 = 0,5 кг при температуре
плавления необходимо количество теплоты Q1 :
Q1 = λв m1 .
Количество теплоты Q2 , необходимое для нагревания холодной воды массой mв = 1 кг от температуры t1 = 0 0 C до температуры t , равно
Q2 = св mв (t - t1 ).
Количество теплоты Q3 , отдаваемое водой массой m = 1 кг при
охлаждении ее от t 2 = 50 0 C до температуры t , есть
Q3 = св m(t2 - t ).
Составим уравнение теплового баланса:
Qпол = Q1 + Q2 = λв m1 + св mв (t - t1 ) = Qотд = Q3 = св m(t2 - t ).
Для температуры t из этого уравнения получаем:
© 2006, ФЗФТШ при МФТИ. Составитель Кузьмичев Сергей Дмитриевич.
16
2006-2007 уч. год. № 2, 8 кл. Физика. Тепловые явления.
cв mt2 − λв m1 + cв mв t1
≈ 5, 40 C.
св mв + св m
Получившаяся температура больше 00 C , следовательно
сделанное предположение оказалось верным и в сосуде установится
температура 5, 40 C .
Задача 5. В электрический чайник налили холодную воду при
температуре t1 = 10o C . Через время τ = 10 мин после включения
чайника вода закипела. Через какое время она полностью испарится?
Потерями теплоты пренебречь.
Решение. Для испарения воды массой m необходимо количество теплоты Q1 = Lв ⋅ m , где Lв - удельная теплота парообразования воды.
Пусть от нагревателя чайника в единицу времени поступает
количество теплоты q , а τ 1 - время, необходимое для испарения всей
воды, нагретой до температуры кипения. Тогда справедливо
соотношение
Q1 = Lв ⋅ m = q ⋅τ 1 .
Количество теплоты Q2 , поступившее от нагревателя за время
τ и нагревшее воду от начальной температуры t1 = 10o C до
температуры кипения t2 = 100o C , равно
Q2 = q ⋅τ = cв ⋅ m ⋅ (t 2 − t1 ),
где cв - удельная теплоемкость воды. Отсюда для массы воды
получаем:
q ⋅τ
m=
.
cв ⋅ (t 2 − t1 )
Подставляя это выражение в соотношение для Q1 , имеем
L ⋅ q ⋅τ
q ⋅τ 1 = в
.
cв ⋅ (t 2 − t1 )
Отсюда для времени испарения воды получаем
2, 26 ⋅10 6 Дж / кг ⋅ 600 с
=
≈ 1 час.
τ 1 = Lв ⋅τ
cв ⋅ ( t 2 − t1 ) 4, 2 ⋅103 Дж /( кг ⋅ К ) ⋅ 90 К
Задача 6. 1 кг водяного пара при температуре tп = 100o C
впускают в холодную воду, взятую в количестве 12 кг . Температура
воды после конденсации в ней пара поднялась до t = 70o C . Какова
была первоначальная температура воды? Потерями теплоты
пренебречь.
Решение. Попав в холодную воду, пар массой mп конденсируется, выделяя количество теплоты Q1 = Lв ⋅ mп . Здесь Lв удельная теплота конденсации водяного пара. Получившаяся при
t=
© 2006, ФЗФТШ при МФТИ. Составитель Кузьмичев Сергей Дмитриевич.
17
2006-2007 уч. год. № 2, 8 кл. Физика. Тепловые явления.
конденсации пара вода охлаждается от температуры tп = 100o C до
t = 70o C , отдавая холодной воде количество теплоты
Q2 = cв ⋅ mп ⋅ (t п − t ).
Для нагревания холодной воды массы mв от начальной
температуры tв до температуры t = 70o C требуется количество
теплоты
Q3 = cв ⋅ mв ⋅ (t − t в ).
Составим уравнение теплового баланса для рассматриваемого
теплового процесса:
Qотд = Q1 + Q2 = Lв mп + св mп (tп - t ) = Qпол = Q3 = св mв (t - tв ).
Решая полученное уравнение, для начальной температуры воды
находим:
Lm m
tв = t − в п − п ⋅ (tп - t ) = 22,50 C.
св mв mв
Задача 7. В калориметре находится вода массой 2,5 кг при
температуре 50 C . В калориметр с водой помещают кусок льда массой
700 г . Когда установилось тепловое равновесие, оказалось, что масса
льда увеличилась на 64 г . Определите начальную температуру льда.
Теплоемкостью калориметра пренебречь.
Решение. В рассматриваемой ситуации происходит теплообмен
между водой, с одной стороны, и льдом, с другой стороны. Вода, как
тело более нагретое, отдает тепло, а лед тепло получает. Начальная
масса воды в сосуде оставляет 2,5 кг , а масса льда увеличилась на
64 г , т.е. не вся вода замерзла. Следовательно, после установления
теплового равновесия в сосуде находятся вода и лед. Это возможно
лишь при условии, что температура в сосуде равна t = 0 0 C .
На нагревание льда массой m л = 0 ,7 кг от неизвестной начальной температуры t1 до температуры t = 0 0 C требуется количество
теплоты:
Qпол = m л ⋅ c л ⋅ ( t − t1 ),
где c л - удельная теплоемкость льда.
Вода массой M в = 2 ,5 кг , первоначально находившаяся в
сосуде, охлаждается от температуры t 2 = 50 C до температуры t = 0 0 C ,
отдавая при этом количество теплоты
Qотд ,1 = M в ⋅ cв ⋅ ( t 2 − t ),
где cв - удельная теплоемкость воды.
В процессе замерзания воды массой mв = 64 г (именно на
столько увеличилась масса льда) выделяется количество теплоты
Qотд ,2 = λв ⋅ mв ,
где λв - удельная теплота кристаллизации воды.
© 2006, ФЗФТШ при МФТИ. Составитель Кузьмичев Сергей Дмитриевич.
18
2006-2007 уч. год. № 2, 8 кл. Физика. Тепловые явления.
Уравнение теплового баланса для данного теплового процесса
можно записать следующим образом:
Qотд = Qотд ,1 + Qотд ,2 = M в ⋅ cв ⋅ ( t 2 − t ) + λв ⋅ mв = Qпол = m л ⋅ c л ⋅ ( t − t1 ).
Отсюда для начальной температуры льда получаем
M ⋅ c ⋅ ( t − t ) + λв ⋅ mв
t1 = t − в в 2
≈ −49,60 C .
mл ⋅ c л
Подробнее о температуре, методах и средствах её измерения
читайте в журнале «ПОТЕНЦИАЛ» №10 за 2005 г. и №4 за 2006г.
© 2006, ФЗФТШ при МФТИ. Составитель Кузьмичев Сергей Дмитриевич.
19