Первое начало термодинамики

1
Первое начало термодинамики
Решение.
Внутренняя энергия идеального газа определяется формулой
U = νCV T ,
где ν - число молей,
R
CV =
γ −1
- молярная теплоемкость при постоянной объеме, R - универсальная газовая постоянная, γ показатель адиабаты. Записывая также уравнение состояния идеального газа
pV = νRT ,
после преобразований получим
pV
U=
= 10 МДж.
γ −1
Решение.
Приращение внутренней энергии идеального газа равно
νRΔT
,
γ −1
где CV = R /( γ − 1) - молярная теплоемкость при постоянном объеме, γ - показатель адиабаты.
Число молей ν найдем из уравнения состояния газа при нормальных условиях (давление
p 0 = 10 5 Па, температура T0 = 273 К):
p 0V = νRT0 .
Получим:
p VΔT
ΔU = − 0
.
T0 ( γ − 1)
Работа в изохорном процессе ( V = const ) не совершается и в соответствии с первым началом
термодинамики Q = ΔU + A количество отданного тепла
Q' = −Q = −ΔU .
ΔU = U 2 − U 1 = νCV (T2 − T1 ) = −νCV ΔT = −
2
Решение.
Количества теплоты, необходимые для нагрева при изохорном и изобарном процессах
соответственно равны:
m
V = const : QV = CV ΔT ,
μ
m
p = const : Q p = C p ΔT ,
μ
где μ - молярная масса, CV и C p - молярные теплоемкости при постоянном объеме и
постоянном давлении, связанные уравнением Майера
C p − CV = R .
Поэтому
m
m
ΔQ = (C p − CV )ΔT = RΔT
μ
μ
и
mRΔT
μ=
= 28 г/моль.
ΔQ
Решение.
Изобразим график процесса в координатах p, V (рис).
Запишем
уравнение,
выражающее
перовое
начало
термодинамики для всего процесса 1-2-3:
Q = A12 + νCV (T3 − T0 ) ,
а также уравнения состояния газа в начале
pV = νRT0
и в конце процесса
p(nV ) = νRT3 .
Отсюда T3 = nT0 . Учитывая, что CV = R /( γ − 1) , получим
p
1
T3 3
T0
νRT0 (n − 1)
.
γ −1
Работу газа A12 в изотермическом процессе найдем интегрированием:
V
Q = A12 + νCV T0 (n − 1) = A12 +
nV
νRT0
dV
dV =νRT0 ∫
=νRT0 ln V
V
V
V
V
V
Для количества теплоты получаем уравнение
νRT0 (n − 1)
Q = νRT0 ln(n ) +
,
γ −1
из которого выразим постоянную адиабаты γ :
nV
A12 =
nV
∫ pdV = ∫
nV
V
2
= νRT0 ln (n ) .
3
(n − 1)
γ = 1+
.
(Q / νRT0 ) − ln(n)
Решение.
Запишем первое начало термодинамики:
δQ = νCV dT + pdV ,
уравнение процесса:
a
V = ,
T
и уравнение состояния
pV = νRT .
Дифференцируя (2), найдем
adT
dV = − 2 ,
T
из (3) выразим давление:
νRT νRT 2
p=
,
=
V
a
подставим в (1)
⎞
⎛ 1
νRT 2 adT
δQ = νCV dT −
= νCV dT − νRdT = νR⎜⎜
− 1⎟⎟dT .
2
a T
⎝ γ −1 ⎠
После интегрирования получим:
⎛2−γ⎞
⎟⎟ .
Q = νRΔT ⎜⎜
⎝ γ −1 ⎠
(1)
(2)
(3)