Семинар 2

СЕМИНАР 2
11
Семинар 2
Распределение молекул идеального газа в пространстве и по скоростям. Уравнение
состояния идеального газа (уравнение Менделеева–Клапейрона). Универсальная газовая
постоянная. Изотермический, изохорический и изобарный процессы. Изображение
процессов в координатах PV, VT, PT.
Основные теоретические сведения
Уравнение Менделеева–Клапейрона
Уравнение состояния идеального газа (уравнение Менделеева–Клапейрона) имеет вид
PV   RT ,
где P — давление (сила на единицу площади), выраженное в паскалях, V — объем
сосуда, в котором находится газ, выраженный в кубических метрах,  — количество
вещества (газа), находящегося в сосуде, выраженное в молях, T — температура в
кельвинах ( градусы Цельсия + 273),
R  8,31
Дж
моль  К
— универсальная газовая постоянная.
Поскольку   m /  , уравнение Менделеева–Клапейрона можно записать следующим
образом
PV 
m

RT .
Изотермический процесс
Изотермическим называется процесс, протекающий при постоянной температуре. Если
количество вещества газа остается постоянным, то при изотермическом процессе в
уравнении Менделеева–Клапейрона постоянными остаются величины  , R, T , значит
произведение PV также остается постоянным. То есть при изотермическом процессе
PV  const — это соотношение называют законом Бойля–Мариотта.
Изотермой называется кривая, во всех точках которой температура газа одинакова. В
координатах PV изотерма имеет вид
P
mRT 1 
  ,
 V V
где   mRT /  — не изменяющаяся в ходе
изотермического процесса величина (константа).
Зависимость вида P   / V — это гипербола. Если
сравнивать
две
изотермы
с
разными
температурами,
то
изотерма
с
большей
температурой лежит правее и выше.
P
T1 < T2
T2
T1
Рис. 2.1
V
ФИЗИКА, 10 КЛАСС, ЧАСТЬ 2
12
Изохорический процесс
Изохорический процесс — процесс при постоянном объеме. В координатах PT изохора
(кривая, во всех точках которой газ имеет одинаковый объем) — это прямая, проходящая
через начало координат.
P
mR
T  T ,
V
P
V2
где  — постоянная величина (закон Шарля).
V1 > V2
На рисунке прямую НЕ надо доводить до начала
координат, потому что при малых температурах
газ перестает быть идеальным и уравнение
Менделеева–Клапейрона несправедливо.
V1
Изобарический процесс
Изобарический процесс — это процесс при
постоянном давлении. В координатах VT изобара
(кривая, давление газа во всех точках которой
одинаково) — это прямая, проходящая через
начало координат (ее не нужно доводить до начала координат):
V
Рис. 2.2
T
mR
T  T ,
P
где  — постоянная в течение процесса величина (закон Гей-Люссака).
Примеры решения задач.
Задача 1. Каково давление водорода в баллоне объемом 5 л, если температура газа 127 ºС?
Масса газа 10 г.
Дано:
СИ:
Решение.
V=5л
5 ∙ 10-3 м3
Из уравнения Менделеева-Клапейрона:
T = 127 ºС
400 K
PV 
m = 10 г
0,01 кг
водород (H2)
P=?
m

RT  P 
mRT 0, 01 8,31 400

 3,324 106 (Па)
3
3
V
2 10  5 10
Ответ: 3,324∙106 Па
СЕМИНАР 2
13
Задача 2. На рисунке 2.3 показано изменение состояния газа в количестве 5 моль. Какая
температура соответствует состоянию 2?
5
10 Па
2
0,2
1
0,1
0
273
T,K
Рис. 2.3
Дано:
СИ:
ν = 3 моль
Решение.
Запишем уравнение Менделеева-Клапейрона для
обоих состояний:
P1 = 0,1 ∙ 105 Па
PV
1 1   RT1
T1 = 273 K
P2V2   RT2
P2 = 0,2 ∙ 105 Па
Поделим первое уравнение на второе:
T1 = ?
PV
T
1 1
 1
P2V2 T2
Объемы одинаковые V1 = V2, поэтому:
P1 T1
P
  T2  T1 2  546 ( K )
P2 T2
P1
Ответ: 546 К
Задача 3. В изотермическом процессе объем газа увеличили с 2 л до 5 л. Во сколько раз
возросло давление?
Дано:
V1 = 2 л
V2 = 5 л
T = const
P2
?
P1
СИ:
2 ∙ 10-3 м3
5 ∙ 10-3 м3
Решение.
Запишем уравнение Менделеева-Клапейрона для
первого и второго состояния:
PV
1 1   RT1
P2V2   RT2
ФИЗИКА, 10 КЛАСС, ЧАСТЬ 2
14
Процесс изотермический, поэтому T1=T2, откуда, поделив первое на второе:
PV
P V
1 1
 1  2  1  0, 4
P2V2
P1 V2
Значит, давление возросло в 0,4 раза. (Обратите внимание, что вопрос в задаче был о
возрастании давления)
Ответ: 0,4 раза
Текстовые задачи
I
Задача 2.1. Каково
давление
сжатого
воздуха,
3
находящегося в баллоне вместимостью 0,02 м при 12С,
если количество вещества этого воздуха 80 моль?
p, 105 Па
Задача 2.2. (ЕГЭ) На рисунке 2.4 показан график
зависимости давления идеального газа в запаянном
сосуде от температуры. Объем сосуда равен 0,4 м3.
Сколько молей газа содержится в этом сосуде?
Задача 2.3. Определить
температуру
водорода,
находящегося под давлением 100 кПа и занимающего
объём 5 л. Количество вещества водорода 17 моль.
1,2
1,1
1
0,9
290 300 310 320 330 T, К
Рис. 2.4
Задача 2.4. В закрытой трёхлитровой банке находится азот (N2) массой 28 г. Найти
давление в банке при температуре 27С.
Задача 2.5. Найти массу природного горючего газа (CH4) объёмом 64 м3, считая, что
объём указан при нормальных условиях.
Задача 2.6. Объём газа изотермически уменьшили в 2 раза. Во сколько раз возросло
давление газа?
Задача 2.7. Давление газа изохорически увеличили 4 раза. Во сколько раз возросла
среднеквадратичная скорость молекул этого газа?
Задача 2.8. (ЕГЭ) В ходе изотермического процесса объем
идеального газа уменьшился на 150 дм3, а давление возросло
в 2 раза. Каким был первоначальный объем газа?
Задача 2.9. (ЕГЭ) Идеальный газ занимает объем 2 м3.
Затем газ переводят из состояния 1 в состояние 2 (см.
рисунок 2.5). Какой объем будет занимать газ в состоянии 2?
Задача 2.10. Температуру газа увеличили от 300 К до 350 К.
Во сколько раз возросло давление, если объём газа оставался
неизменным?
Рис. 2.5
Задача 2.11. Начальная температура и давление газа соответственно равны 273 К и
100 кПа, а конечная температура равна 300 К. Чему равно конечное давление? Объём
считать постоянным.
СЕМИНАР 2
15
Задача 2.12. С идеальным газом провели процесс, состоящий из изобарического
расширения 1 – 2 и изохорического охлаждения 2 – 3 . Изобразить описанный процесс в
координатах PV.
Задача 2.13. С идеальным газом провели процесс, состоящий из изотермического
расширения 1 – 2 и изобарического сжатия 2 – 3. Изобразить описанный процесс в
координатах ТР.
Задача 2.14. С идеальным газом провели замкнутый процесс, состоящий из
изотермического расширения, изобарического сжатия и изохорического нагревания.
Изобразить описанный процесс в координатах PV.
Задача 2.15. С идеальным газом провели замкнутый процесс, состоящий из
изобарического расширения, изотермического сжатия и изохорического охлаждения.
Изобразить описанный процесс в координатах VТ.
Задача 2.16. По графику процесса, осуществлённого с идеальным газом (рис.2.6 a),
постройте графики этого процесса в координатных осях PV и VT.
Задача 2.17. По графику процесса, осуществлённого с идеальным газом (рис.2.6 б),
постройте графики этого процесса в координатных осях PV и VT.
Задача 2.18. По графику процесса, осуществлённого с идеальным газом (рис.2.6 в),
постройте графики этого процесса в координатных осях PT и PV.
2
3
2
1
3
1
3
T
а)
1
2
T
б)
Рис. 2.6
T
в)
ФИЗИКА, 10 КЛАСС, ЧАСТЬ 2
16
Задача 2.19. На рисунке 2.7 а представлен график зависимости объёма идеального газа от
его температуры. В каком из состояний давление газа больше? Как найти на графике
состояние с максимальным давлением? Определите, как изменяется давление в процессе
1-2.
Задача 2.20. На рисунке 2.7 б представлен график зависимости давления идеального газа
от его температуры. В состоянии 1 или в состоянии 2 газ занимает больший объём? Как
найти на графике состояние с максимальным объёмом? Определите, как изменяется объём
в процессе 1 – 2.
Задача 2.21. (ЕГЭ) Используя
рисунок 2.7 в,
соответствует наибольшая температура?
а)
определите,
б)
какому
состоянию
в)
Рис. 2.7
Задача 2.22. В сосуде, закрытом поршнем, находится идеальный
газ. График зависимости объема газа от температуры
представлен на рисунке 2.8. Сравните давления в точках A, B, C
и D.
Задача 2.23. На графиках зависимости p(T) идеального газа (см.
рисунок 2.9) представлены изохоры водорода, гелия и аргона,
находящиеся в одинаковых баллонах. Массы газов одинаковы.
Какой из графиков соответствует какому газу?
Рис. 2.8
Задача 2.24. В одинаковых баллонах и при одинаковой
температуре находятся водород (Н2) и углекислый газ (СО2).
Массы газов одинаковы. Какой из газов производит большее
давление на стенки баллона? Во сколько раз?
Рис. 2.9
II
Задача 2.25. В баллоне находится газ при температуре 15°С. Во сколько раз уменьшится
давление газа, если 40% его выйдет из баллона, а температура при этом понизится на 8°С?
СЕМИНАР 2
17
Задача 2.26. (ЕГЭ) В сосуде при постоянном давлении находится идеальный газ.
В начальном состоянии газ занимает объем 1 л и имеет температуру 300 К, а в конечном
состоянии газ занимает объем 2 л и имеет температуру 800 К. Какой вывод можно сделать
из анализа этих данных?
Задача 2.27. Газ при давлении 0,2 МПА и температуре 15°С имеет объём 5 л. Чему равен
объём этой массы газа при нормальных условиях?
Задача 2.28. (ЕГЭ) Объем некоторого газа изотермически уменьшают в 2 раза. При этом
давление газа изменяется на 60 кПа. Чему было равно начальное давление газа?
Задача 2.29. Два баллона соединены трубкой с краном. В первом находится газ при
давлении р1 = 105 Па, во втором – при р2 = 0,6  105 Па. Емкость первого баллона V1 = 1 л,
а второго – V2 = 3 л. Какое давление установится в баллонах, если открыть кран?
Температура постоянна. Объёмом трубки можно пренебречь.
Задача 2.30. В сосуде находится озон (O3) при температуре 527°С. Через некоторое время
он полностью превращается в кислород (O2), а температура устанавливается 127°С. На
сколько процентов изменилось давление в баллоне?
Задача 2.31. При изотермическом сжатии газа его объём уменьшился с 8 до 5 л, а
давление повысилось на 60 кПа. Чему равно первоначальное давление? Чему равно
количество вещества газа, если температура равна 27°С?
Задача 2.32. При уменьшении объема газа на 30 мл давление увеличилось в 1,5 раза.
Чему равен первоначальный объём? Температура в процессе постоянна.По графику
процесса, изображенному в координатных осях PT (рис. 2.10 а), постройте график того же
процесса в координатных осях VT и PV.
Задача 2.33. По графику процесса, изображенному в координатных осях PV (рис. 2.10 b),
постройте график того же процесса в координатных осях VT и PT. Процессы 4 – 1 и 1 – 2
являются изотермическими.
Задача 2.34. По графику процесса, изображенному в координатных осях TV (рис. 2.10 c),
постройте график того же процесса в координатных осях PT и PV.
Рис. 2.10
ФИЗИКА, 10 КЛАСС, ЧАСТЬ 2
18
Задача 2.35. С идеальным газом совершили процесс, график которого изображен на
рисунке 2.11 а. Известно, что в состоянии 1 температура и давление газа были
соответственно равны 300 К и 30 кПа, а давление в состоянии 3 равно 40 кПа. Чему равны
давление и температура газа в состоянии 2? Как изменялся объём в процессе 1 – 2 – 3?
Задача 2.36. На рисунке 2.11 б представлен график процесса, совершенного над
идеальным газом. Давление, температура и объём газа в точке 1 соответственно равны
P1 = 1 атм, T1 = 300 К и V1 = 1 л а в точке 3 известны только температура и объём: T3 = 340
К и V3 = 3 л. Чему равны P2, V2, T2 и P3?
Задача 2.37. На рисунке 2.11 в представлен график процесса, совершенного над
идеальным газом. Известно, что давление, температура и объём газа в точке 1
соответственно равны P1, T1 и V1, а в точке 3 известны только температура и давление: T3
и P3. Чему равны P2, V2, T2 и V3?
2
3
2
1
3
1
3
T
а)
1
2
T
б)
T
в)
III
Задача 2.38. Рис. 2.11
Цилиндрический поршень делится на две части тонким
подвижным поршнем. Каково будет равновесное положение поршня, когда в одну часть
помещено некоторое количество кислорода, в другую – такое же по массе количество
водорода, если длина сосуда равна l = 85 см?
Задача 2.39. Закрытый цилиндрический сосуд высотой h разделен на две равные части
невесомым поршнем, скользящем без трения. При застопоренном поршне обе половины
заполнены газом, причём в одной из них давление в n раз больше, чем в другой. На
сколько передвинется поршень, если снять стопор?Транспортный баллон с гелием имеет
массу 61,6 кг при температуре 27 С и давлении гелия внутри, равном 200 атмосфер. Часть
гелия была использована, чтобы надуть резиновые шарики объемом 4 литра каждый.
Масса оставшегося гелия с баллоном при температуре –3 С оказалась равно 60,6 кг, а
давление в баллоне — 70 атмосферам. Найдите объем транспортного баллона и
количество надутых шариков, если давление в них равно 1 атмосфере.
Задача 2.40. Пропан C3H8 в количестве 300 г был закачан при температуре 17 С и
давлении 16 атмосфер в переносной газовый баллон объемом 1 литр. Сколько пропана в
газообразном состоянии содержится в этом баллоне, если при указанных выше давлении и
температуре пропан превращается в жидкость с плотностью 440 кг/м3
СЕМИНАР 2
19
Задача 2.41. Моль гелия нагревается при постоянном объеме V0  400 л так, что
относительное увеличение его давления составило P / P0    0.4 % . 1) На сколько
градусов T увеличилась температура газа, если его начальная температура T0  500 К?
2) На сколько атмосфер увеличилось давление газа?
P
 const ?
V
Начертите график указанного процесса во всех возможных координатах. Предложите
механизм, который осуществляет этот процесс.
Задача 2.42. Нагревается или охлаждается газ, расширяющийся по закону