ЗАДАЧИ ИГ

Найти энергию идеального газа находящегося в цилиндрическом сосуде (радиуса
длины l ), вращающемся вокруг своей оси с угловой скоростью Ω .
R
и
Найти изменение концентрации с высотой для раствора, находящегося в поле тяжести.
Показать, что если плотность газа, состоящего из частиц с массой m, достаточно низка,
а температура достаточно высока, так что средняя длина волны де Бройля много меньше
среднего расстояния между частицами, то можно пользоваться статистикой Больцмана с
хорошей степенью точности вне зависимости от того, какой статистике подчиняются
частицы, Ферми или Бозе.
Показать, что для идеального газа вне зависимости от статистики справедливо
соотношение
E
P = 2 кин ,
3 V
где Eкин − его полная кинетическая энергия.
Идеальный газ, состоящий из N частиц массой m (подчиняющийся классической
статистике), заключен в бесконечно высокий цилиндр, помещенный в однородное
гравитационное поле, и находится в состоянии теплового равновесия. Вычислить
классическую статистическую сумму, свободную энергию Гельмгольца, среднюю
энергию и теплоемкость системы.
Вычислить статистическую сумму Z(N,V,T) для идеального газа.
Для системы, состоящей из N части, объемом V, находящейся при температуре T доказать
тождество ln Z = N ( ∂ ln Z / ∂N )VT + V ( ∂ ln Z / ∂V ) NT .
Выразить свободную энергию F через статистическую сумму Z.
Используя классическое распределение Максвелла вычислить среднее число ударов
молекул идеального газа о единицу площади стенки сосуда в единицу времени.
Используя классическое распределение Максвелла вычислить наиболее вероятное
значение скорости молекул идеального газа.
Показать, что для описания электронного газа в металле нельзя использовать
классическое распределение Максвелла.
Найти давление P вырожденного электронного газа при Т=0.
Найти полную энергию E вырожденного электронного газа при Т=0.
Показать, что для Бозе-газа с постоянным числом частиц всегда выполняется
соотношение ∂μ / ∂T < 0 .
Показать, что теплоемкость вырожденного электронного газа CV при Т=0 равна нулю.
Выразить энтальпию H через статистическую сумму Z.
Выразить давление P через статистическую сумму Z.
Выразить теплоемкость CV через статистическую сумму Z.
Идеальный газ, занимающий объем V при температуре T , состоит из N двухатомных
молекул с энергиями
r
r
p12 p22 a r r 2
+
+ (r1 − r2 ) ,
2m 2m 2
ε=
где 1 и 2 – индексы атомов; массы атомов одинаковы. Найти теплоемкость cV .
Вывести уравнения состояния идеального газа, для частиц которого энергия и импульс
связаны соотношением ε = cp 4 .
В цилиндре высоты H находится N молекул идеального газа. Цилиндр находится в
поле силы тяжести. На какой высоте плотность газа равна средней плотности газа в
цилиндре?
Идеальный газ из N атомов заключен во вращающийся с угловой скоростью Ω
цилиндр радиуса R и высотой H . Найти среднее давление газа на боковую
поверхность цилиндра, если температура газа T .
Какая часть молекул классического идеального газа имеет скорость, большую средней
тепловой скорости
8T
.
πm
εв = T / 2
< v >=
Вычислить наиболее вероятную энергию
газе. Показать, что
εв ≠
mvв2
2
, где vв =
молекул в идеальном классическом
2T
m
.
Вычислить среднюю энергию линейного осциллятора, функция Гамильтона которого
имеет вид
H ( p, q ) =
p2
+ aq 4 ,
2m
где a = const .
Найти наиболее вероятную скорость молекулы в газе и наиболее вероятное значение
ее энергии.
Найти среднее число частиц газа, падающих в секунду на 1 см2, нормальные
составляющие скоростей которых больше некоторого v0 .
Найти полную кинетическую энергию молекул газа, ударяющихся об единицу
поверхности стенки в единицу времени.
Прямой круговой цилиндр большой высоты с площадью основания σ и постоянной по
высоте температурой T содержит N частиц массы m . Они находятся под
воздействием гравитационного ускорения g , не зависящего от высоты. Найти
концентрацию частиц на высоте z :
ρ ( z) =
mgN − mgz / T
e
σT
Показать, что если уравнение состояния PV = NT выполняется на всех высотах, то
давление меняется по закону
mgN − mgz / T
P( z ) =
e
.
σ
Идеальный газ из N частиц подчиняется классической статистике. Пусть энергия
частицы ε = cp . Найти термодинамические функции такого газа, не учитывая
внутренней структуры частиц.
Найти центр масс столба идеального газа в однородном поле тяготения, если
ускорение свободного падения g , масса молекулы m , температура газа T .
Вычислить стат.интеграл, внутреннюю энергию и теплоемкость cV одномерного
гармонического
осциллятора с массой m и угловой частотой ω при температуре T ,
p 2 mω 2 q 2
если ε ( p, q) =
+
.
2m
2
Какая часть молекул идеального классического газа имеет кинетическую энергию
3
поступательного движения выше < ε >= T ?
2
Показать, что отношение числа молекул, имеющих скорости, превосходящие
наивероятнейшую, к числу всех молекул газа, не зависит от температуры.
Газ находится в поле с потенциальной энергией u = −a cos ϕ ( a = const , ϕ ∈ [0, π ] − угол
между осью молекулы и некоторым выделенным направлением, например,
напряженностью внешнего однородного электрического поля). Получить
распределение молекул по направлениям и вычислить среднее значение
потенциальной энергии молекулы.
Найти дисперсию скорости молекул в газе.
Найти вероятность того, что абсолютная величина скорости молекулы лежит в
пределах [v1 , v2 ] .
Найти число ударов молекул газа об единицу поверхности стенки в единицу времени,
при которых угол между направлением скорости молекулы и нормалью к поверхности
лежит между θ и θ + dθ .