Лекция 09 § 68. Уравнение адиабаты идеального газа § 69

Лекция 09
§ 68. Уравнение адиабаты идеального газа
§ 69. Политропические процессы
§ 70. Работа, совершаемая идеальным газом при различных процессах
§ 71. Распределение молекул газа по скоростям
§ 72. Барометрическая формула
§ 73. Распределение Больцмана
en
tia
l
§ 68. Уравнение адиабаты идеального газа
Адиабатическим называется процесс, протекающий без теплообмена с внешней средой.
Как же будут меняться параметры идеального газа при таком процессе ?
Подставим в уравнение первого начала термодинамики
fid
выражение dU для идеального газа учитывая, что:
и
C
on
Тогда получим
Так как для адиабатического процесса d'Q = 0, то CvdT + pdV=0
C
om
pa
В результате
ny
Заменим здесь давление через уравнение состояния идеального газа
Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Его интегрирование
дает:
Для идеального газа Ср - Cv = R и введя
через
g
g
= Cp/Cv, отношение R/Cv можно заменить
- 1.
Потенцирование дает уравнение адиабаты идеального газа в переменных Т и V.
От этого уравнения можно перейти к уравнению в переменных р и V, заменив в нем
в соответствии с уравнением состояния идеального
газа:
en
tia
l
Это уравнением Пуассона.
on
fid
Из сопоставления уравнения адиабаты с уравнением изотермы следует, что адиабата идет
круче, чем изотерма (рис).
C
Количество тепла, которым обменивается система с ее окружением, будет тем меньше,
чем меньшее время длится процесс. Таким образом, близкими к адиабатическому могут
быть только быстро протекающие процессы.
ny
Во всех рассуждениях мы предполагали, что состояние газа в каждый момент времени
характеризуется определенными значениями параметров р и T, т. е. рассматриваемый
адиабатический процесс считается равновесным.
C
om
pa
Однако в пределах большого объема состояние газа не является равновесным (р и Т в
разных точках различны). Вместе с тем, поведение газа в пределах каждого, достаточно
малого объема вполне удовлетворительно описывается уравнением адиабаты.
§ 69. Политропические процессы
Все рассмотренные нами ранее процессы являются частными случаями политропического
процесса. Политропическим называется такой процесс, при котором давление и объем
идеального газа связаны соотношением:
, где n может принимать значения
Первые три строки таблицы очевидны. Чтобы убедиться в справедливости четвертой
строки, напишем уравнение политропы в следующем виде:
или
Устремив теперь n к +- бесконечности, мы придем к условию которое характеризует
изохорическии процесс:
l
§ 70. Работа, совершаемая идеальным газом при различных процессах
en
tia
Работа, которая совершается при переходе из состояния 1 в состояние 2 каким-либо телом
над внешними телами, равна:
fid
Чтобы произвести интегрирование, нужно выразить р через V. Для этого воспользуемся
связью между р и V при различных процессах.
on
Из уравнения политропы идеального газа можно получить:
ny
C
Подставляя это в работу и получаем для n не равного 1, т.е. не для изотермического
процесса:
C
om
pa
Здесь можно использовать уравнение состояния идеального газа
Для адиабатического процесса в полученной формуле надо заменить n на
g
.
Чтобы вычислить работу идеального газа при изотермическом процессе, заменим
давление в работе его выражением через другие величины в соответствии с уравнением
состояния. В результате получим
При изобарическом процессе работа, совершаемая любым телом, в том числе и идеальным
газом, равна,
При изохорическом процессе работа равна нулю, что справедливо для любых тел.
§ 71. Распределение молекул газа по скоростям
Молекулы газа движутся с самыми различными скоростями, причем как величина, так и
направление скорости каждой отдельно взятой молекулы непрерывно меняются из-за
соударений (при нормальных условиях каждая молекула претерпевает в секунду
примерно 109 соударений).
l
Так как все направления движения равновероятны, распределение молекул по
направлениям будет равномерным: в пределах любым образом ориентированного, но
DW лежат в каждый момент времени
en
tia
постоянного по величине телесного угла
направления движений в среднем одинакового числа молекул
DNJ ,j .
Иначе обстоит дело с численными значениями скорости молекул
v
v . Возможные
fid
, заключенные в пределах от нуля до бесконечности, вовсе не равновероятны.
значения
Это вытекает из следующих соображений. Изменение скоростей молекул при
столкновениях происходит случайным образом. Может случиться, что какая-то молекула
в целом ряде последовательных соударений будет получать энергию от своих партнеров
по столкновениям, в результате чего ее энергия значительно превзойдет среднее значение
on
e
. Однако, даже все молекулы газа остановятся, передав свою энергию одной
единственной молекуле, то и тогда энергия этой молекулы (скорость) будет конечна. Это
правда очень маловероятно. Таким образом, скорость молекул газа вообще не может
v max до ¥ .
C
иметь значений, начиная с некоторого
ny
Можно утверждать, что слишком большие по сравнению со средним значением скорости
могут реализоваться крайне редко. Точно так же практически исключено, что в результате
соударений скорость молекулы станет равной точно нулю.
C
om
pa
Следовательно, очень малые и очень большие по сравнению со средним значением
скорости маловероятны, причем эта вероятность стремится к нулю как при
v®¥
v =0, так и
. Следовательно, скорости молекул группируются в основном вблизи
при
некоторого наиболее вероятного значения.
Для выяснения способа количественного описания распределения молекул по значениям
v, воспользуемся следующим наглядным приемом. Будем отмечать значения скоростей
точками на оси v. Тогда каждой молекуле на этой оси будет соответствовать точка,
расстояние которой от точки О, принятой за начало отсчета, численно равно величине
скорости данной молекулы
Предположим, что мы можем одновременно определить скорости всех N молекул
некоторого количества газа. Изобразив полученные результаты в виде точек на оси v, мы
получим «моментальную фотографию» скоростей молекул для некоторого
момента времени t.
en
tia
l
Если бы все значения v были одинаково вероятны, то точки распределились бы по оси v
равномерно. Однако, скорости группируются в основном вблизи наиболее вероятного
значения. Близкие же к нулю и очень большие значения скорости встречаются редко.
Поэтому распределение точек на оси v будет неравномерным, с плотностью, различной на
разных участках оси.
DN v , попадающих в пределы
Определим плотность точек как отношение числа точек
Dn , к величине этого интервала:
fid
интервала
Эта величина зависит от того, в каком месте на оси v взят интервал
r = r (v ) .
on
является функцией скорости
Dn . Значит она
ny
C
Каждый акт соударения между двумя молекулами изменяет случайным образом
положение соответствующих точек на оси v. Однако если газ находится в равновесном
состоянии (т. е. в состоянии неизменяющихся параметров), то распределение молекул по
скоростям оказывается неизменным.
C
om
pa
Поэтому плотность, с которой распределены точки на различных участках оси v, будет
для всех моментов времени одна и та же. Если взять несколько порций газа, находящихся
при одинаковых р и Т, то распределение молекул по скоростям в них будет также
одинаково.
Однако плотность точек на оси v при одинаковом характере распределения их по оси
пропорциональна рассматриваемому количеству молекул N и, следовательно, для
различных порций газа будет различна.
Одинаковым для различных порций будет отношение
Определенная таким образом функция f(v) характеризует распределение молекул газа по
скоростям и называется функцией распределения.
Зная вид f(v), можно найти количество молекул
скорости которых попадают внутрь интервала
в пределах от v до v +
Dn .
DN v
из числа данных молекул N,
Dn , т. е. имеют значения, заключенные
Отношение
v
v + Dn .
en
tia
l
есть вероятность того, что скорость молекулы лежит в интервале от
до
Вероятность того, что скорость какой-то молекулы имеет произвольно взятое
определенное значение v, равна нулю. Это объясняется тем, что число возможных
значений v бесконечно, количество же молекул N хоть и велико, но конечно.
Сумма
=N
Dvi .
fid
взята по всем интервалам
on
Отсюда вытекает следующее свойство функции распределения:
или точнее
(+)
ny
C
Функция распределения была найдена теоретически Максвеллом и носит его имя.
Она имеет следующий вид:
C
om
pa
где А — множитель, не зависящий от v, m — масса молекулы, k — постоянная Больцмана.
В показателе степени при е стоит взятое со знаком «-» отношение кинетической энергии
молекулы к kT, т. е. величине, характеризующей среднюю энергию молекулы (рис.).
Площадь, охватываемая кривой f(v), в соответствии с выше приведенной формулой равна
единице.
Условие (+) позволяет вычислить множитель А:
en
tia
l
Это условие носит название условия нормировки функции. Таким образом, функция
распределения Максвелла имеет вид
Конкретный вид функции зависит от рода газа (от массы молекулы) и от параметра
состояния (от температуры Т). Давление и объем газа на распределение молекул по
скоростям не влияют.
fid
Вопрос: Функция обращается в нуль только на бесконечности, в то время как
реализуемые значения скорости ограничены конечным пределом ? Однако при достаточно
больших v функция близка к нулю, что отмеченное несоответствие практически не имеет
никакого значения.
on
Скорость, отвечающая максимальному значению функции распределения, будет
наиболее вероятной.
C
Решив задачу на нахождение максимума f(v), мы найдем наиболее вероятную скорость:
¥ соответствуют минимумам
C
om
pa
ny
Удовлетворяющие этому уравнению значения v = 0 и v =
f(v). Значение v,
обращающее в нуль выражение, стоящее в скобках,
представляет собой искомое
Подставив в функцию наиболее вероятную скорость, найдем максимальное значение f(v):
Можно исследовать, как изменяется кривая распределения в зависимости от температуры
газа и массы молекулы.
Зная распределение молекул по скоростям, можно найти среднее значение скорости, а
также любой величины, являющейся функцией скорости, например v2. Разобьем ось
скоростей на малые интервалы
количество молекул:
Dv . Каждому интервалу (см. выше) соответствует
DN
Поскольку интервал Dvi мал, скорость каждой из
v молекул можно приближенно
считать равной vi Тогда сумма значений скоростей всех N молекул
en
tia
l
Выражение для средней скорости V получается делением на N:
или
Если подставить сюда f(v) и произвести вычисления, получится:
on
fid
Аналогичным образом для среднего значения квадрата скорости v2 получается выражение
ny
C
Корень квадратный из v2 называется средней квадратичной скоростью
Этот результат согласуется с полученным ранее выражением для средней энергии
e
Установленный Максвеллом закон распределения молекул по скоростям и все
вытекающие из него следствия справедливы только для газа, находящегося в равновесном
состоянии. Закон справедлив только для любого достаточно большого числа N.
om
pa
C
.
Закон Максвелла —статистический, а законы статистики выполняются тем точнее, чем к
большему числу одинаковых объектов они применяются. При малом числе объектов
могут наблюдаться значительные отклонения от предсказаний статистики.
Если имеется смесь газов, находящаяся в равновесии, то в пределах молекул каждого
сорта имеет место максвелловское распределение со своим значением Т. Более тяжелые
молекулы будут двигаться в среднем с меньшей скоростью, чем более легкие.
Исходя из распределения молекул по скоростям
можно найти распределение молекул по значениям кинетической энергии
поступательного движения.
Для этого нужно перейти от переменной v к переменной
e , равной mv /2. Заменяя в
2
~
и
получим:
en
tia
l
e de
где dN означает число молекул, энергия которых имеет значения, заключенные в пределах
от
e
до
e +d e .
e
характеризуется функцией
fid
Таким образом, распределение молекул по значениям
k R
=
m m
ny
Тогда средняя скорость
C
on
В заключение произведем оценку средней скорости молекул, например, кислорода.
Вычисления будут удобнее, если заменить
C
om
pa
перепишется
Масса киломоля 32 кг/кмоль, комнатная температура равна примерно 300° К,
универсальная газовая постоянная R =
. Подставляя это,
получаем 500 м/сек. Таким образом, каждая молекула кислорода проходит за секунду
путь, равный в среднем 0,5 км. Поскольку молекула претерпевает очень частые
соударения с другими молекулами, этот путь состоит из большого числа коротких
прямолинейных отрезков, образующих ломаную линию.
Молекулы водорода имеют массу, в 16 раз меньшую, чем молекулы кислорода,
вследствие чего их скорость при той же температуре будет в 4 раза больше и составит при
комнатной температуре в среднем почти 2 км/сек.
Над экспериментальной проверкой закона распределения Максвелла работали Штерн
(1920 г.) и Ламмерт (1929 г.). Результаты опыта Штерна подтвердили правильность
оценки средней скорости атомов, которая вытекает из распределения Максвелла. Затем
закон распределения Максвелла был проверен более точно.
§ 72. Барометрическая формула
en
tia
l
Атмосферное давление на какой-либо высоте обусловлено весом вышележащих слоев
газа.
где
r
— плотность газа на высоте h.
on
Отсюда dp=- r gdh
fid
Разность давлений р и р + dp равна весу газа, заключенного в объеме цилиндра с
площадью основания, равной единице, и высотой dh (рис.:
ny
C
Воспользовавшись уравнением состояния, плотность газа можно выразить через давление
и температуру.
При условиях, близких к нормальным, газы, входящие в состав атмосферы, мало
отличаются по своему поведению от идеального. Поэтому исходим из уравнения
состояния:
и получим
om
pa
Если вид функции T(h) известен, то после интегрирования получим р как функцию
высоты h.
Интегрирование при постоянной температуре Т дает
C
Дальнейшее потенцирование с учетом условия, что давление р=ро на высоте h = 0, дает
Эта формула называется барометрической. Из нее следует, что давление убывает с
высотой тем быстрее, чем тяжелее газ и чем ниже температура (см. рис.).
l
en
tia
§ 73. Распределение Больцмана
fid
Заменим давление р через nkT, получим закон изменения с высотой числа молекул в
единице объема:
C
Заменим
k R
=
m m
on
Здесь n0 — числе молекул в единице объема на высоте, равной нулю.
C
om
pa
ny
Видно, что с понижением температуры число частиц на высотах, отличных от нуля,
убывает, обращаясь в нуль при Т = 0 (рис.). При абсолютном нуле все молекулы
расположились бы на земной поверхности. При высоких температурах, напротив, n слабо
убывает с высотой, так что молекулы оказываются распределениями по высоте почти
равномерно.
Этот факт имеет простое физическое объяснение. Каждое конкретное распределение
молекул по высоте устанавливается в результате действия двух тенденций: 1) притяжение
молекул к Земле (характеризуемое силой mg) стремится расположить их на поверхности
Земли; 2) тепловое движение (характеризуемое величиной kT) стремится разбросать
молекулы равномерно по всем высотам.
В пределе при Т =0 тепловое движение совсем прекращается и под влиянием притяжения
молекулы располагаются на земной поверхности.
На разной высоте молекула обладает различным запасом потенциальной энергии:
e p = mgh
en
tia
l
Следовательно, распределение молекул по высоте является вместе с тем и распределением
их по значениям потенциальной энергии
fid
где n0 — число молекул в единице объема в том месте, где потенциальная энергия
молекулы равна нулю. Это распределение Больцмана. Молекулы располагаются с
большей плотностью там, где меньше их потенциальная энергия, и, наоборт, с меньшей
плотностью в местах, где их потенциальная энергия больше.
on
Больцман доказал, что такое распределение справедливо не только в случае
потенциального поля сил земного тяготения, но и в любом потенциальном поле сил для
совокупности любых одинаковых частиц, находящихся в состоянии хаотического
теплового движения.
C
В то время как закон Максвелла дает распределение частиц по значениям кинетической
энергии, закон Больцмана дает распределение частиц по значениям потенциальной
энергии.
ny
Распределения полученные выше можно объединить в один закон Максвелла –
Больцмана.
C
om
pa
Возьмем распределение Максвелла
и учтем потенциальную энергию частиц.
Тогда получим закон М-Б, согласно которому содержащееся в единице объема количество
молекул, скорость которых лежит между v и v + dv, равно
e =0
где nо - число молекул в единице объема в той точке, в которой p
, а Е — полная
энергия молекулы, равная сумме ее кинетической и потенциальной энергий.
Заметим, что в полученном распределении полная энергия Е, может принимать
непрерывный ряд значений. Однако внутренняя энергия атома может принимать лишь
дискретный ряд значений, поэтому число частиц, находящихся в состоянии с энергией Еi:
где А — коэффициент пропорциональности, который должен удовлетворять условию
C
om
pa
ny
C
on
fid
en
tia
l
N - полное число частиц в рассматриваемой системе. Найдем отсюда А и получим
окончательное выражение распределения Больцмана для случая дискретных значений
энергии: