Статья №10. Основные процессы и законы в термодинамике.

Дистанционная подготовка Abitu.ru
ФИЗИКА
Статья №10. Основные процессы и законы в термодинамике.
Теоретический материал.
В этой статье мы рассмотрим незамкнутые процессы с газом. Пусть с газом проводят некоторый процесс.
Для его описания рассматриваются следующие физические величины:
1. Q – количество теплоты, подведённой к газу.
Если Q  0 , то теплота подводится к газу в этом процессе, если Q  0 , то теплота отводится от газа.
Если Q  0 , то газ теплоизолирован, процесс протекает без теплообмена газа с окружающей средой и называется
адиабатным (адиабатическим).
2. A – работа газа (работа, совершённая газом).
Работа газа A в этом процессе численно равна площади S под графиком этого процесса в координатах p и V
(на pV -диаграмме), если газ расширяется (рис.1), и она равна этой площади S , взятой со знаком минус, если газ
сжимается (рис.2). Если же в течение процесса объём газа остаётся постоянным (рис.3.), то работу газ не
совершает, т.е. A  0 .
рис.1. Расширение газа
рис.2. Сжатие газа
рис.3. Постоянный объём газа
Следует различать работу газа A и работу над газом Aнад (работа внешних сил над газом). Для одного и того же
процесса эти две работы равны по модулю, но отличаются по знаку: Aнад   A .
3. U – изменение внутренней энергии газа.
Для идеального газа внутренняя энергия U зависит только от его температуры T (закон Джоуля) и определяется
i
  R  T , где  – количество моль газа, R – универсальная газовая постоянная, T – температура
2
газа, i – количество степеней свободы молекулы газа. Значения i для разных газов приведены в Таблице 1.
формулой U 
Тип газа
i
одноатомный
3
двухатомный
5
многоатомный
(число атомов > 2)
6
Таблица 1.
Тогда изменение внутренней энергии U идеального газа в рассматриваемом процессе:
i
U    R T ,
2
где T – изменение температуры газа в этом процессе.
Для реального (неидеального) газа внутренняя энергия U зависит не только от его температуры T , но и от
занимаемого им объёма V .
4. C – теплоёмкость газа; C – молярная теплоёмкость газа.
Теплоёмкостью C газа называется количество теплоты, которое необходимо подвести к газу, что увеличить его
температуру на 1 К . Молярной теплоёмкостью C газа называется теплоёмкость одного моль газа, т.е. C 
С
.

Для процесса, протекающего при постоянной теплоёмкости: Q  C  T  C    T . Такой процесс называется
политропным (политропическим). Изохорный, изобарный, изотермический и адиабатический процессы являются
политропными.
Все перечисленные физические величины описывают поведение газа в процессе.
Для любого процесса справедлив первый закон термодинамики (первое начало термодинамики):
Q  A  U .
Первое начало термодинамики и молярная теплоёмкость для некоторых политропических процессов приведены в
Таблице 2.
Название
политропического
процесса
Первое начало термодинамики
для идеального газа
изохорный
Q  U , A  0
Q  A  U , A  pV , где V –
Молярная теплоёмкость C
C   CV 
i
R
2
изотермический
Q  A, U  0
i
R R
2
C  
адиабатный
A  U , Q  0
C  0
изобарный
изменение объёма газа в процессе
C  C P 
Таблица 2.
Для любого идеального газа независимо от процесса вводится молярная теплоёмкость CV при постоянном
i
R . Следовательно, изменение внутренней энергии U идеального газа можно считать по
2
формуле U  CV   T .
объёме, причём CV 
Рассмотрим несколько примеров решения задач.
Примеры решения задач.
Пример 1. [МФТИ 1996]
Гелий в количестве   2 моль расширяется в процессе с постоянной молярной теплоёмкостью C . В результате к
газу подвели количество теплоты 3000 Дж, и внутренняя энергия газа уменьшилась на 2490 Дж.
1) Чему равна работа, совершённая газом?
2) Определить величину молярной теплоёмкости C .
Решение:
Запишем первое начало термодинамики: Q  U  A . По условию: Q  3000 Дж , а U  2490 Дж (т.к.
внутренняя энергия уменьшилась). Отсюда A  Q  U  3000   2490   5490 Дж .
Гелий – одноатомный газ, поэтому CV 
3
U
R . Для нашего процесса U  CV   T , откуда T 
. По
2
 CV
условию дан политропический процесс. Следовательно, Q  C   T , откуда следует, что C 
Итак, C 
Q Q   CV

.
T
U
3Q R
Дж
 30
2U
К
Ответ:
1) A  5490 Дж ;
2) C  30
Дж
.
К
Пример 2. [МФТИ 1995]
В вакуумной теплоизолированной камере находятся два масляных пузыря одинакового размера, один из которых
наполнен гелием, а другой водородом до давления P0 каждый. Найти отношение давления P , установившегося в
камере, после того, как пузыри лопнули, к начальному давлению газа в пузырях. Отношение температуры гелия T1
к температуре водорода T2 составляет
CV1 
T1
 0, 6 . Молярная теплоёмкость гелия при постоянном объёме
T2
3
5
R , водорода CV2  R , R – газовая постоянная. Объём пузыря в 160 раз меньше объёма камеры.
2
2
Изменением поверхностной энергии пленок при разрыве пузырей пренебречь.
Решение:
Пусть V0 – объём пузыря, V – объём камеры. Тогда в пузырях с гелием и водородом содержится  1 
2 
PV
0 0
и
RT1
PV
0 0
моль газа соответственно. Пусть T1 , P1 – температура и давление смеси водорода и гелия после того,
RT2
как в камере установится равновесие. Поскольку в камере вакуум, то A  0 . Так как камера теплоизолированна,
то Q  0 . Тогда из первого начала термодинамики следует, что U  0 , т.е.  1CV1  T1  T    2CV2  T2  T   0 ,
откуда T 
 1CV1T1   2CV2 T2
 1CV1   2 CV2
. По закону Дальтона давление смеси P складывается из парциальных давлений
 1RT  2 RT  1  2  RT


. Подставив выражения для  1 ,  2 и T , получим, что
V
V
V
 T1 
PV

0 0  CV1  CV2   1 
P
1
 T2   32 PV
0 0
. Отсюда

.
P

15V
P0 75
T1 
V  CV1  CV2 
T2 

гелия и водорода: P 
Ответ:
P
1

.
P0 75
Пример 3. [МФТИ 1992]
В цилиндре под давлением P  2 атм находится смесь гелия He и водорода H 2 . Изобарический нагрев смеси
газов приводит к увеличению объёма цилиндра на V  1 л. На сколько изменилась при этом внутренняя энергия
3
5
R , для водорода CV2  R .
2
2
г
г
Молярные массы гелия и водорода равны соответственно 1  4
и 2  2
.
моль
моль
смеси газов? Масса водорода в 1, 5 раза больше массы гелия. Для гелия CV1 
Решение:
Изменение внутренней энергии смеси складывается из изменений внутренней энергии гелия и водорода:


U  U1  U 2   1CV1 T   2CV2 T   1CV1   2CV2 T , где T – изменение температуры смеси,  1 –
количество моль гелия,  2 – количество моль водорода. Из уравнения Менделеева-Клапейрона для смеси
следует, что P V   1   2  R T , следовательно, U 
раза больше массы m2 водорода, то  1 
(1), получим, что U 
Ответ:
U 
 C
1 V1
 2CV2
 1  2 
  PV
R
(1). Т.к. масса m1 гелия
в 1, 5
m1 1 m2 1

  2 . Подставив выражения для  1 , CV1 и CV2 в уравнение
1 3 2 3
9
PV  460 Дж .
4
9
PV  460 Дж .
4
Пример 4. [МФТИ 2005]
В вертикально расположенном цилиндрическом сосуде под поршнем находится моль гелия при температуре
T1  300 К . На поршень поставили гирю массой в   2,5 раза больше массы поршня.
1) Во сколько раз изменится температура гелия после установления нового равновесия при отсутствии
теплообмена с окружающей средой?
2) Какое количество теплоты необходимо отвести от гелия в изобарическом процессе, чтобы вернуть газ в
состояние с первоначальной температурой T1 ?
Наружным давлением, трением поршня о стенку сосуда, теплоёмкостью сосуда и поршня пренебречь.
Решение:
1) Пусть H 1 и H 2 – расстояния от поршня до дна сосуда соответственно в начале и в конце опыта, T2 – конечная
3
R ,   1 моль . По закону сохранения энергии для всей системы:
2
СV   T1   m   m  gH1  СV   T2   m   m  gH 2 .
температура газа, S – площадь поршня, CV 
Отметим, что последнее соотношение также можно получить, если написать первое начало термодинамики для
газа. Газ теплоизолирован, поэтому работа над газом будет равна изменению внутренней энергии газа
СV   T2  T1  . Работа  m   m   g   H1  H 2  , совершаемая поршнем, равна работе над газом в сосуде.
Уравнения состояния газа:
mg
 SH1   RT1 ,
S
 m   m  g  SH
S
2
  RT2 .
Из записанных уравнений находим, что температура увеличится в
T2 CV  R   R
R

 1
 2 раза .
T1
CV  R
CV  R
2) Если Q – количество теплоты, отведённое от газа в изобарическом процессе, то газ получил количество теплоты
– Q , причём
Q     CV  R   T1  T2  , откуда Q     RT1 , Q  6, 2 кДж .
Ответ:
1) в 2 раза ;
2) Q     RT1  6, 2 кДж .
Пример 5. [МФТИ 2002]
Моль гелия расширяется из начального состояния 1 в конечное состояние 3 в двух процессах. Сначала расширение
идёт в процессе 1-2 с постоянной молярной теплоёмкостью C 
3
R . Затем газ расширяется в процессе 2-3, когда
4
его давление p прямо пропорционально объёму V . Найти работу, совершённую газом в процессе 1-2, если в
процессе 2-3 он совершил работу A
 A23  A  . Температуры в состояниях 1 и 3 одинаковы.
Решение:
Гелий будем считать идеальным газом. По условию:   1 моль , T1  T3 . В процессе
2-3 давление p газа прямо пропорционально объёму V , который он занимает,
значит,
p2 p3

, откуда p2V3  p3V2 (1). Работа A газа в процессе 2-3 численно
V2 V3
равна площади под графиком процесса 2-3, т.е. A 
p2  p3
 V3  V2  (2). Упростим
2
1
1
  p2V3  p2V2  p3V3  p3V2     p3V3  p2V2  .
2
2
1
2A
Поскольку p2V2   RT2 , p3V3   RT3 , то A   R T3  T2  , следовательно, T3  T2 
(3).
2
R
3
Процесс 1-2 является политропическим, поэтому: Q12  С    T2  T1    R  T2  T1  . Гелий – одноатомный газ,
4
3
поэтому U 12   R  T2  T1  . По первому началу термодинамики для процесса 1-2 верно, что Q12  A12  U12 ,
2
3
3
3
откуда A12  Q12  U12    R T2  T1    R  T1  T2  . Поскольку T1  T3 , то A12   R T3  T2  ,
4
4
4
4 A12
3
откуда T3  T2 
(4). Приравнивая уравнения (3) и (4) получаем, что A12  A .
3 R
2
3
Ответ:
A12  A .
2
уравнение (2), используя соотношение (1): A 
Пример 6. [МФТИ 2004]
Внутренняя энергия U некоторой массы неидеального газа зависит от его температуры T и объёма V по
формуле U  U  T ;V   cT 
a
, где с , a – известные константы. Такой газ из начального состояния с давлением
V
p1 и объемом V расширяется сначала в изобарическом процессе, а затем в изохорическом процессе переводится
в конечное состояние, в котором его объём в k раз  k  1 больше начального. В результате всего процесса
температура газа уменьшилась на T
 T  0  , а его внутренняя энергия не изменилась.
1) Найти T . 2) Какое суммарное количество теплоты Q сообщили газу во всем процессе?
Решение:
По условию дан неидеальный газ, поэтому внутренняя энергия U зависит не только от его
температуры T , но и от занимаемого им объёма V . Весь процесс изображён на рисунке
слева. По условию T3  T1  T и U1  U 3 , значит, cT1 
a
a
, откуда
 c T1  T  
V
kV
a   k  1
. Для всего процесса 1-2-3 запишем первое начало термодинамики:
c  k V
Q  A12  A23  U 3  U1 (1). Процесс 2-3 изохорный, значит, A23  0 . Итак, уравнение (1) принимает вид Q  A12 .
T 
Работа A12 газа в процессе 1-2 численно равна площади под графиком процесса 1-2, т.е. A12  p1   kV  V  ,
откуда Q  p1V   k  1 .
Ответ:
1) T 
a   k  1
;
c  k V
2) Q  p1V   k  1 .
Домашнее задание.
Задача 1. [МФТИ 2001] Температура идеального двухатомного газа увеличилась в k раз  k  1 в процессе
p 2  V  const ( p – давление, V – объём газа). Найти:
1) начальный объём газа V1 ;
2) конечный объём газа V2 ;
3) изменение его внутренней энергии U в данном процессе.
Начальное давление газа p1 , а минимальный объём, который он занимал в процессе нагрева, составил Vmin .
Задача 2. Внутри откачанной до глубокого вакуума установки находится герметичный теплоизолированный
цилиндрический сосуд, заполненный идеальным одноатомным газом. Сосуд закрыт сверху теплонепроницаемым
поршнем, на котором стоит гиря. Объём, занимаемый газом, равен при этом V . Гирю с поршня снимают. Найти
объём газа в новом положении равновесия. Массы поршня и гири одинаковы.
Задача 3. [МФТИ 1994] В процессе расширения к одноатомному идеальному газу было подведено количество
теплоты в 4 раза превышающее величину его внутренней энергии в начальном состоянии. Во сколько раз
увеличился объём газа, если в процессе расширения он менялся прямо пропорционально давлению?
Задача 4. [МФТИ 2002] Моль гелия, расширяясь в процессе 1-2, где его давление
p
меняется прямо пропорционально объёму
V
, совершает работу
A
(рис.4). Из
состояния 2 гелий расширяется в процессе 2-3, в котором его молярная
теплоёмкость
C
остаётся постоянной и равной
газовая постоянная). Какую работу
рис.4
A23
C
1
R
2
(
R
– универсальная
совершит гелий в процессе 2-3, если его
температура в состоянии 3 равна температуре в состоянии 1?
11 ноября 2009 г.
Межвузовский центр воспитания и развития
талантливой молодежи в области
естественно-математических наук
"Физтех-центр"
Составители: Пенкин М.А., Шимко О.В., Шувалов Н.Д.
E-mail: abitu@phystech.edu, fmicky@gmail.com
Сайт: www.abitu.ru