Решения заданий по физике ОРМО 2 этап 2011

Вариант 1
1. Тело брошено вертикально вверх со скоростью 5 м/с. Через какое время тело вернется в
исходную точку?
Решение
Будем считать начальную координату тела равной нулю. Тогда уравнение движения можно
записать в виде
. Приравняв координату нулю можно найти что время равно или
нулю (начало движения) или одной секунде.
Ответ: через 1 с тело вернется в исходную точку.
2. К концу пружины подвешены два одинаковых груза массы m каждый,
соединенные нитью (см. рисунок). В некоторый момент нить пережигают.
Найдите амплитуду колебаний верхнего груза. Коэффициент жесткости
пружины k, массами пружин и нити можно пренебречь.
Решение
Пружина растянута на величину 2mg/k. После пережигания нити положение равновесия шара
соответствует растяжению пружины на величину mg/k. Следовательно, амплитуда колебаний
равна mg/k.
Ответ: mg/k.
3. Линейка длины 30 см и массы 50 г лежит на столе так, что за край стола выступает треть её
длины. Какую силу необходимо вертикально приложить к выступающему концу линейки, чтобы
противоположный её конец начал приподниматься?
Решение
mg
F
Сила тяжести приложена к середине линейки. К свободному концу необходимо прикладывать
силу направленную вниз. Расстояния от точек приложения сил до точки опоры (оси вращения)
равны 10 см. Запишем уравнение моментов относительно точки опоры линейки на стол:
F  0.1  mg  0.1
Ответ: необходимо приложить вертикальную силу 0,5 Н
4. Заданы главная оптическая ось линзы NN,
положение источника S и его изображения S´.
Найдите построением положение оптического
центра линзы С и ее фокусов.
S
N
Решение
S´
N
S
Используем
стандартные
лучи
для
построения
изображений
в
линзах.
Первый
N
N
S´
лучи проходит через точку предмета, центр
линзы и точку изображения. Второй луч
идет параллельно главной оптической оси и
после линзы проходит через фокус (и через точку изображения). Третий луч за линзой идет
параллельно главной оптической оси
через точку изображения, а перед линзой
проходит через фокус (и точку предмета)
S
N
S´
N
S
N
S´
N
5. Четыре одинаковых тела равной массы по m = 20 г каждое расположены на одной
горизонтальной прямой на некотором расстоянии друг от друга. В крайнее тело ударяется такое
же тело, имеющее скорость v 0  20 м с и движущееся вдоль прямой, на которой расположены
тела. Считая соударения тел абсолютно неупругими, найти кинетическую энергию E к системы
после прекращения соударений.
Решение
Так как удар неупругий, то полная механическая энергия системы тел не сохраняется. Но
будет сохраняться полный импульс системы, то есть
mv 0  5mv ,
следовательно, вся система слипшихся шаров будет двигаться со скоростью
v
v 0 ,
5
а ее кинетическая энергия будет равна
EK 
mv 02
 0 ,8 Дж.
10
6. Сопротивление каждого резистора в схеме равны 1 Ом. ЭДС
источника 2 В. Найти напряженность электрического поля внутри
конденсатора, если расстояние между его пластинами 2 мм.
Внутренним сопротивлением источника пренебречь.
Оценка задания № 6 – 15 баллов
Решение
Напряженность электрического поля конденсатора можно связать с напряжением на его
обкладках
U
E
d
Напряжение на конденсаторе равно напряжению на верхнем резисторе, которое можно выразить
по закону Ома для участка цепи
U  IR
Сила тока может быть выражена по закону Ома для полной цепи, а с учетом того, что по участку
содержащему конденсатор ток не протекает, резисторы соединены последовательно

I
2R
Для напряженности получается выражение
E

2d
Подставим числовые значения и получим Ответ 500 В/м
7. С какой максимальной силой прижимается к телу человека медицинская банка, если диаметр ее
отверстия d = 4 см? В момент прикладывания к телу воздух в ней имеет температуру t1 = 80 C, а
температура окружающего воздуха t0 = 20 C, атмосферное давление P0 = 105 Па. Изменением
объема воздуха в банке при ее присасывании к телу пренебречь.
Решение
При остывании воздуха в банке давление в ней становится меньше атмосферного, и сила, с которой
она прижимается к телу, равна
F  P0  Pб   S ,
где S 
d 2
, Pб - давление в банке после остывания воздуха.
4
Изменением объема в банке пренебрегаем, тогда по закону Шарля
Pб P0
при V  const .

T0 T1
Тогда Pб  P0
T0
.
T1
Решаем, применяя систему единиц СИ:

 T 
T 
Fmax  S  P0  P0 0   P0 S 1  0  ,
T1 

 T1 
Fmax  10 5 
4 10 
2 2
4
 293 
5 3,14
 3,141 
 16  10 4  0,17  21 H .
  10 
4
 353 
Ответ: Fmax  21H .
8. Круглая металлическая пластина падает вертикально вниз в однородном магнитном поле,
параллельном поверхности Земли. В процессе падения она остается параллельной линиям
индукции магнитного поля и перпендикулярной поверхности Земли. Толщина пластинки d
много меньше ее радиуса R, масса пластины равна т, модуль индукции магнитного поля В.
Определите ускорение, с которым падает пластина.
Решение.
Предположим, что пластина падает с постоянной скоростью v.
На каждый электрон будет действовать сила Лоренца F  qvB

(q – заряд электрона). Пусть вектор B (рис.12) направлен
перпендикулярно плоскости рисунка вверх. Тогда под
действием силы Лоренца электроны будут смещаться вправо. В
результате правая сторона пластины приобретет отрицательный
заряд, а левая – положительный. Внутри пластины возникнет
электрическое поле, силовые линии которого будут направлены

⊙ B
⊙

FЛ
Х
слева направо. Так как d ≪ R, поле можно считать однородным.
1.
Краевыми эффектами пренебрегаем. Разделение зарядов будет
2. Рис.12
происходить до тех пор, пока сила Лоренца не уравновесится
электрической силой, обусловленной электрическим полем разделившихся зарядов
qvB  qE ,
где Е – напряженность электрического поля. Поскольку появится электрическое поле,
напряженность которого E  Bv , то между плоскостями, ограничивающими пластину,
возникнет разность потенциалов
U  Ed  Bvd .
Пластину с разделившимися зарядами можно рассматривать как плоский конденсатор, на
пластинах которого находится заряд
SBvd SBv
,
(5)

4kd 4k
где S – площадь пластин S  R 2 . Как видно из соотношения (5), заряд зависит от скорости
движения пластины. Если пластина движется с ускорением, то скорость растет, и заряды на
сторонах пластины будут меняться. Следовательно, в пластине возникнет ток. Сила тока
будет равна
Q  CU 


Q SB v SB


a,
t 4k t 4k
где а – ускорение, с которым движется пластина.
I
Таким образом, движущуюся пластину можно рассматривать как проводник с током,
движущийся в магнитном поле. На такой проводник будет действовать сила Ампера.
SB 2 d
a.
4k
В рассматриваемом случае сила Ампера направлена вверх.
FA  IBd 
(6)
Уравнение движения пластины можно записать следующим образом:

 
ma  mg  FA .
Проецируя это уравнение на вертикальную ось Х, и, подставляя значение силы Ампера (6),
получим:
SB 2 d
a.
4k
Отсюда для ускорения, с которым движется пластина, получим следующую формулу:
ma  mg 
a
g
.
RB 2 d
1
4km
Ответ: a 
g
.
RB 2 d
1
4km
Вариант 2
1. Тело брошено вертикально вверх со скоростью 10 м/с. Через какое время скорость тела станет
равной нулю? Сопротивлением воздуха пренебречь.
Решение
Для скорости тела в случае движения вертикально вверх можно записать уравнение:
  0  gt
Подставим числовые значения и приравняем скорость нулю.
Ответ: время равно 1 с.
2. Груз, висящий на пружине, совершает колебания в вертикальной плоскости. Во сколько раз
изменится частота колебаний груза, если его подвесить на двух таких же пружинах,
соединенных последовательно?
Решение
Частота колебаний груза связана с массой груза и коэффициентом жесткости пружины
соотношением
k
1  1
m
Во втором случае удлинение обеих пружин равно сумме удлинений каждой из них:
x  x1  x1 . Каждое из удлинений можно записать по закону Гука
F F F

 . Тогда коэффициент жесткости для двух пружин будет равен
k k1 k1
kk
k 1 1
k1  k1
Для отношения частот можно составить уравнение
k1k1
k1 1



1
(k1  k1 )m
m 2
Ответ: уменьшиться в два раза
3. Какую силу нужно приложить к одному из концов трубы, лежащей на земле горизонтально,
чтобы она начала приподниматься? Масса трубы 80 кг.
Решение
Для поворота необходимо чтобы момент силы приложенной к одному из концов трубы
превосходил момент силы тяжести. Считаем все моменты относительно точки
соприкосновения трубы и земли. Плечо силы тяжести равно половине длины трубы, а плечо
силы, прикладываемой к концу трубы равно её длине
l
mg  Fl
2
В результате получается, что прикладываемая сила должна быть равна половине силы тяжести.
Ответ: 400 Н.
4. Заданы главная оптическая ось линзы NN, положение
источника S и его изображения S´. Найдите построением
положение оптического центра линзы О и ее фокусов.
S
S´
N
N
Решение
Используем стандартные лучи для построения изображений в линзах. Первый лучи проходит
через точку предмета, центр линзы и точку изображения.
S
N
S´
N
F
Второй луч идет параллельно главной
оптической оси и после линзы проходит
через фокус (и через точку изображения).
Третий луч за линзой идет параллельно
главной оптической оси, так что его
продолжение проходит через точку
изображения, а после линзы продолжение
луча проходит через фокус (и точку
предмета)
S
N
S´
F
N
5. Самолет в безветренную погоду взлетает со скоростью v0 = 40 м/с под углом к горизонту
α/ = 10°. Внезапно начинает дуть горизонтальный встречный ветер, скорость которого
v = 10 м/с. Какой стала скорость самолета относительно Земли и какой угол образует этот
вектор скорости с горизонтом?
Решение
Изобразим рисунок.
1. Полная скорость самолёта в ветреную погоду может быть найдена как:
vc  vcx2  vcy2
,
(1)
где vcx и vcy – проекции скорости на оси координат:
vcx  v0 x  v  v0  cos   v .
vcy  v0 y  v0  sin  .
OX:
(2)
OY:
Подставив (2) и (3) в (1), получим:
(3)
vc  (v0  cos   v) 2  v02  sin 2  
 (v02  cos 2   v02  sin 2  )  2  v0  v  cos   v2 
 v02  2  v0  v  cos   v2  1600  2  40  10  cos10o  100 
 1700  800  0.9848  912,15  30,201  30,2 м / с
2. Тангенс угла φ, который образует вектор скорости vс с горизонтом, можно найти как
отношение:
v0  sin 
40  sin 10o
tg 



vcx v0  cos   v 40  cos 10o  10
vcy
40  0,1736
 0,2363.
40  0,9848  10
40  0,17
или 
 0,2328.
40  0,98  10
  arctg 0,2363  13,295o  13,3o.
  arctg 0,2328  13,105o  13,1o.
или 
Тогда:
Ответ: v = 30,2 м/с, φ ≈ arctg 0,23 ≈ 13°.
6. В схеме, изображенной на рисунке, определите напряжение на
конденсаторе. Сопротивления каждого резистора 1 Ом, ЭДС источника 2
В. Внутренним сопротивлением источника пренебречь.
Решение
Конденсатор и участок цепи, включающий два резистора соединены параллельно.
Напряжение на последовательно соединенных резисторах можно выразить по закону Ома для
участка цепи
U  I  2R
Для нахождения силы тока используем закон Ома для полной цепи. Учтем при этом, что по
участку содержащему конденсатор ток не протекает поэтому все три резистора оказываются
соединенными последовательно. Тогда
I

3R
Окончательно для напряжения на конденсаторе получим
U

2R
3R
Подставим числовые данные и получим Ответ 4/3 В.
7. Из баллона со сжатым кислородом объемом 100 л из-за неисправности крана вытекает газ.
При температуре 273 К манометр на баллоне показывал давление 2106 Па. Через некоторое
время при температуре 300 К манометр показал то же давление. Сколько газа вытекло из
баллона?
Решение
В системе СИ (системе интернациональной)
V1  V2  V  100 л = 0,1 м–3,
P1  P2  P  2  10 6 Па,
Т1 = 273 К
Т2 = 300 К.
m  m1  m2 = ?
Запишем уравнение Менделеева–Клапейрона для двух состояний газа:
m

PV  1 RT1 ,


M

 PV  m1  m  RT .
2

M

m  m ,
m
Из (12) и (13)  1 RT1  1
RT2
M
M
(12)
(13)
или
m1T1  m1T2  mT2 
 m 
m1 T2  T1  ,
T2
или
 T 
m  1  1   m1 .
 T2 
Из (12)
m1 
PVM
.
RT1
Тогда
6
3
 273  2  10  0,1  32  10
m  1 
 0,254 кг.

8,32  273
 300 
Ответ: m = 0,254 кг.
8. По обмотке длинного цилиндрического соленоида радиуса r протекает постоянный ток,
создающий внутри соленоида однородное магнитное поле с индукцией B . Между витками
соленоида
в него влетает по радиусу (перпендикулярно оси соленоида) электрон со скоростью

v . Отклоняясь в магнитном поле, электрон, спустя некоторое время, покинул соленоид.
Определите время движения электрона внутри соленоида.
Решение
На электрон, влетевший в магнитное поле, будет действовать сила Лоренца, направленная
перпендикулярно векторам скорости электрона и индукции магнитного поля, то есть вектор
силы Лоренца в любой момент времени будет лежать в плоскости, перпендикулярной оси
соленоида. Скорость электрона перпендикулярна индукции магнитного поля, поэтому
величина силы Лоренца будет равна FЛ  qvB .
Электрон внутри соленоида будет двигаться по дуге окружности. Радиус этой окружности R
можно найти из уравнения движения электрона
mv 2
 qvB .
R
Отсюда
R
mv
.
qB
На рис.11 показана траектория движения электрона
внутри соленоида. В точке О1 находится центр

окружности, описываемой электроном, v  – скорость
электрона в момент выхода из соленоида. Поскольку
сила Лоренца работы не совершает, модули векторов


v и v  равны. Время движения электрона внутри
соленоида будет равно
S
t ,
v
где S – длина дуги СD (путь, пройденный электроном).
Поскольку S  R , то
R
.
v
Угол  можно найти из прямоугольного треугольника
О1СО.

B
O
C
R

t
O1
Рис.11
r
qBr
 2arctg
.
R
mv
Таким образом, время движения электрона внутри соленоида будет равно
  2arctg
2m
 qBr 
arctg 
.
qB
 mv 
2m
 qBr 
arctg 
Ответ: t 

qB
 mv 
t
D

v

v
Вариант 3
1. Тело, брошенное вертикально вверх упало на Землю через 4 с. Какой максимальной высоты
достигло тело? Сопротивлением воздуха пренебречь.
Решение
Время подъема tпод= tобщ/2 = 2 с.
Для скорости тела в случае движения вертикально вверх можно записать уравнение:
v = v0 - gt
В верхней точке скорость равна нулю. Тогда
v0 =g tпод
поскольку
h = v0tпод – g tпод 2/2, то h = g tпод 2 – g tпод 2/2 = g tпод 2/2 = 104 /2 = 20 м
Ответ: 20 м
2. На идеально гладкой поверхности лежит груз массой т,
растянутый пружинами 1 и 2 с коэффициентами упругости
соответственно k1 и k2 (рис.1). Если груз вывести из положения
равновесия (отклонить в сторону), он начнет колебаться с
периодом Т. Изменится ли период колебаний, если те же
пружины закрепить не в точках А1 и А2, а в В1 и В2?
Решение
Уравнение движения груза, выведенного из положения равновесия, если пружины закреплены
в А1 и А2 имеют вид
ma  k1  k 2 x ,
или
k k
a 1
x  0.
m
k1  k 2
В этом уравнении 0 
– собственная частота колебаний груза. Как видно, она не
m
зависит от смещения груза. Период колебаний связан с собственной частотой соотношением
2
. Следовательно, период также не зависит от смещения груза.
T
0
Так как при изменении растяжения пружин зависимость силы, действующей на груз т от
смещения не изменяется, то и период колебаний не будет зависеть от этого растяжения.
Перемещение точек закреплена из А1 и А2 в В1 и В2 приведет лишь к изменению положения
равновесия, около которого будет колебаться груз.
3. Однородный брус лежит на платформе так, что за край платформы свешивается четверть его
длины. К выступающему концу бруса прикладывают силу F, направленную вертикально.
Когда эта сила становится равной 2000 Н, противоположный конец бруса начинает
приподниматься. Определите массу бруса.
Решение
mg
F
Сила тяжести приложена к середине бруса. К свободному концу необходимо прикладывать силу
направленную вниз. Расстояния от точки приложения силы тяжести до точки опоры (оси
вращения) равно l/4. Запишем уравнение моментов относительно точки опоры бруса на стол:
mgl/4 = F /4
Ответ: 200 кг
4. На дне водоема расположено плоское озеркало так, что луч света от фонарика, падающий на
поверхность зеркала под углом α = 60 к его поверхности, претерпевает полное внутреннее
отражение на поверхности водоема. Найти угол β, который составляет плоскость зеркала с
горизонтом. Показатель преломления воды n = 1,33.
Решение
Изобразим рисунок.
1. При падении луча фонарика на границу раздела «вода–воздух» (в точке С) должен
выполняться закон преломления:
nв  Sin  n  Sin90o ,
(1)
где n = 1 (показатель преломления воздуха). Sin 90 , т.к. по условию луч претерпевает полное
внутреннее отражение (Sin 90o = 1).
o
Из (1) получаем:
Sin 
1
nв
1
 nв
, →   arcSin




(2)
2. Найдём из прямоугольного треугольника ΔАВС угол γ:
       90o , →   90o       90o     .
(3)
Приравняем (3) и (2):
1
90o      arcSin  , откуда
 nв 
1
 1 
o
o
o
    90o  arcSin
  60  90  18 ,75
 1,33 
 nв 
  arcSin
Ответ:
1
 1 
o
o
o
    90o  arcSin
  60  90  18 ,75
 1,33 
 nв 
  arcSin
5. Под каким углом нужно бросить тело массой m, чтобы высота максимального подъёма
равнялась дальности полета, если на тело в горизонтальном направлении дует встречный
ветер, который создает ускорение а?
Решение
Дано:
S x = hm
a
Решение

a
у
A
α=?

g

V0 y
α

V0 x

Vy 0

V
K xK
x


VyK VK


На тело действуют две силы: сила тяжести mg и сила со стороны встречного ветра F . Тогда в
проекции на ось х движение тела является равнозамедленным с начальной скоростью V0х и
ускорением а.
В проекции на ось у половину всего времени тело движется равнозамедленно с начальной скоростью
V0у, а половину времени - равноускоренно без начальной скорости. Естественно, движение по оси у
происходит с ускорением g. В целом движение тела в кинематике описывается следующей системой
уравнений:
at x2
S x  V0 x t x 
2
VxK  V0 x  at x
hm  V0 y t 
gt 2y
2
0  V0 y  gt y
h
gt y2
2
V yK  gt y
t x  2t y
Используя часть уравнений этой системы и второй закон Ньютона запишем замкнутую систему
уравнений:
hm  S x
hm 
gt
(1)
2
y
( 2)
2
0  V0 y  gt y
(3)
V0 y  V0 sin 
(4)
at x2
2
V0 x  V0 cos 
( 6)
t x  2t y
(7)
S x  V0 x t x 
(5)
Решение этой системы методом последовательных подстановок приводит к искомому решению.
a  4  t y2
gt y2
 V0 x  2t y 
2
gt y  4V0 x  4at y
2
V0 sin 
4a  V0 sin 
 4V0 cos  
g
g
4a
sin   4 cos  
sin 
g
g 
4a
tg
g
4
tg 
4a
1 
g
tg  4 
  arctg
4g
g  4a
  arctg
Ответ:
4g
g  4a
6. Каким должно быть сопротивление R, чтобы напряженность
электрического поля в плоском конденсаторе была равна Е = 2250 В/м
(рисунок)? ЭДС источника ξ = 5 В, внутреннее сопротивление r = 0,5 Ом.
Расстояние между пластинами плоского конденсатора d = 0,2 см.
Решение:
Запишем закон Ома: ξ = I∙(R12 + r) = U12 + I∙r.
Где R12 
1
1
1

R  R 2R
 R  R  R  2R .
(1)
(2)
Разность потенциалов между точками 1 и 2 связана с напряжённостью электрического поля в
плоском конденсаторе: U12  E  d .
(3)
С другой стороны из (1):
U12  I  R12 

R12  r
 R12 
2 R
.
2R  r
(4)
Приравняем (3) и (4), получим:
rEd
2 R
 E  d , → 2R  2REd  rEd , → 2R(  Ed )  rEd , → R 
.
2 R(  Ed )
2R  r
rEd
0,5  2250  2  103
2,25
2,25
R



 2,25 Ом
3
2(  Ed ) 2(5  2250  2  10 ) 2(5  4,5) 2  0,5
Ответ: R = 2,25 Ом.
7. Баллон, содержащий 1 кг азота, взорвался при испытании при 350°С. Какое количество
водорода можно хранить в этом баллоне при 20°С, имея пятикратный запас прочности.
Считать прочность баллона не зависящей от температуры.
Решение
молярная масса азота 0.028 кг, водорода – 0.002 кг
Взрыв баллона означает, что давление в нем превысило некоторую критическую величину.
Обозначим ее PN. В момент взрыва:
PNVN = mNRTN/μN
(1)
Для водорода аналогично получим
PHVH = mHRTH/μH
(2)
Объем баллона не меняется, т.е. VN = VH, пятикратный запас прочности аналогичен
требованию 5PH = PN, тогда из (2) получим
PNVN = 5mHRTH/μH
(3)
Подставив (1) в (3) получаем
mNRTN/μN = 5mHRTH/μH
Подставив численные значения получим
Ответ: 0,034 кг
8. Проводящий стержень массой m = 0,1 кг и длиной L = 0,25 м лежит на горизонтальной
поверхности перпендикулярно к однородному горизонтальному магнитному полю с
индукцией В = 0,2 Тл. Какую силу нужно приложить перпендикулярно проводнику в
горизонтальном направлении для его равномерного поступательного движения, если сила
тока в проводнике I = 10 А? Коэффициент трения μ = 0,1.
Решение:
Изобразим рисунок. Возможны 2 случая в зависимости от направления тока в проводнике.
Рисунок 1
Запишем второй Ньютона для обеих ситуаций.
Рисунок 2





FТР  FТ  FА  F  ma .
(1)
Т.к. скорость стержня постоянна, то ускорение равно нулю. Возьмём проекцию уравнения (1)
на направление движения (слева на право):
 FТР  F  0 , → F  FТР .
(2)
Т.о. сила, которую нужно приложить к стержню, равна силе трения. Найдём силу трения.
Известно, что: FТР    N .
Для первого рисунка:
FТР    ( FТ  FА )    (mg  IBL)  0,1  (0,1  9,8  10  0,2  0,25) 
 0,1  (0,98  0,5)  0,1  1,48  0,148Н
.
Для второго рисунка:
FТР    ( FТ  FА )    (mg  IBL)  0,1  (0,1  9,8  10  0,2  0,25) 
 0,1  (0,98  0,5)  0,1  0,48  0,048Н
Ответ: F = μ (mg ± IВL); F = 0,148 Н или F = 0,048 Н.
.