Билет 20 _1,2_

Билет № 20
1. Второй признак подобия треугольников.
2. Построение биссектрисы данного угла.
Вопрос № 1
Второй признак подобия треугольников
Теорема. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум
сторонам другого треугольника и углы, заключённые между этими сторонами,
равны, то такие треугольники подобны.
Дано: ∆ АВС и ∆ А1В1С1, ∠ А = ∠ А1, АВ = АС .
А1В1
А1С1
Доказать: ∆ АВС ~ ∆ А1В1С1 .
C
С1
A
1
2
B
A1
B1
С2
Доказательство
Чтобы доказать, что треугольники подобны, достаточно доказать, что
∠ В = ∠ В 1 , тогда согласно I признаку подобия ∆ АВС будет подобен
∆ А1В1С1 по двум углам: ∠ А = ∠ А1 по условию теоремы , а ∠ В = ∠ В1 по доказанному.
Рассмотрим ∆ АВС2 , у которого ∠ 1 = ∠ А1, ∠ 2 = ∠ В1, тогда ∆ АВС2 ~ ∆ А1В1С1
по I признаку подобия треугольников (по двум углам).
В подобных треугольниках соответствующие стороны пропорциональны,
АС 2
АВ
АВ
АС
поэтому
=
, а по условию теоремы
=
, тогда АС =АС2.
А1 В1 А1С1
А1 В1 А1С1
Рассмотрим ∆ АВС и ∆ АВС2:
а) АВ – общая сторона;
б) АС = АС2 по доказанному выше;
в) ∠ А = ∠ 1, так как ∠ А =∠ А1, ∠ А1 = ∠ 1.
ΔАВС
ΔАВС
Следовательно, ∆ АВС = ∆ АВС2 по I признаку равенства треугольников
(по двум сторонам и углу между ними).
В равных треугольниках соответствующие элементы равны, поэтому ∠ В = ∠ 2 , а так как ∠ 2 = ∠ В1, то ∠В = ∠В1 .
ΔАВС
ΔАВС
ΔАВС2
Получили, что в ∆ АВС и ∆ А1В1С1 ∠ А = ∠ А1 и ∠ В = ∠ В1, поэтому по
I признаку подобия треугольников ∆ АВС ~ ∆ А1В1С1.
Итак, если две стороны одного треугольника пропорциональны двум
сторонам другого треугольника и углы, заключённые между этими сторонами,
равны, то такие треугольники подобны.
Ч.т.д.
Вопрос № 2
Построение биссектрисы данного угла
Биссектрисой угла называется луч, исходящий из вершины угла и делящий его на два равных угла.
Дано: ∠АВС.
Построить: биссектрису ∠АВС.
Построение
Проведем окружность с центром в вершине В и произвольным радиусом.
Она пресекает стороны угла в точках М и N. Затем проведем две окружности с
центрами в точках М и N и тем же радиусом. Точку пересечения этих окружностей обозначим D. Проведем луч BD. Этот луч и будет являться биссектрисой
∠АВС.
A
A
A
A
N
N
•
•
B
•D
•
•
М
•
C B
N
•
М
C
•
•
•
B
•
М
D
C
N
•
•
•
B
1
2
•
М
D
C
1) ω(В; r), r − произвольный радиус; ω(В; r) ∩ ВС = М; ω(В; r) ∩ ВА = N;
2) ω(М; r), ω(N; r); ω(М; r) ∩ ω(N; r) = D;
3) луч BD – биссектриса ∠АВС.
Доказательство
Соединим точку D с точками М и N.
Рассмотрим получившиеся треугольники ВND и ВMD.
BN = BM как радиусы одной и той же окружности, ND = MD по построению, BD − общая сторона.
Следовательно, ∆ ВND и ∆ ВMD по III признаку равенства треугольников
(по трем сторонам).
В равных треугольниках соответствующие элементы равны, поэтому ∠1 = ∠2,
то есть BD − биссектриса данного ∠АВС.
Ч.т.д.
Исследование. Задача имеет единственное решение.
Замечание. Данный угол можно разделить с помощью циркуля и линейки
также на четыре (восемь, шестнадцать…) равных угла. Для этого нужно разделить его пополам, а затем каждую половину разделить еще раз пополам…
А вот разделить данный угол с помощью циркуля и линейки на три равных
угла нельзя. Эта задача, получившая название задачи о трисекции угла, в течение многих веков привлекала внимание математиков. Лишь в позапрошлом
веке было доказано, что для произвольного угла такое деление невозможно.