Половодья Нила
advertisement
МЕХАНИКА Математические модели эффекта Харста М АХ ЕККТТА ФЕ ФФ ЭФ ИЭ ЛИ ЕЛ ДЕ ОД МО ЕМ ИЕ СККИ ЕС ЧЕ ИЧ АТТИ МА МААТТЕЕМ ХААРРССТТАА В.И. Найденов, И.А. Кожевникова Вячеслав Иосифович Найденов, доктор физико-математических наук, заведующий лабораторией поверхностных вод Института водных проблем РАН. Руководитель проектов 96-05-65043, 99-05-64905. Ирина Аркадьевна Кожевникова, кандидат физико-математических наук, ведущий научный сотрудник механико-математического факультета МГУ. Руководитель проектов 9701-00261, 00-01-00743. Истинные законы не могут быть линейными... А.Эйнштейн В 1951 г. британский климатолог Г. Харст, проведший более 60 лет в Египте, где участвовал в гидротехнических проектах на Ниле, опубликовал работу [1], в которой и описал неожиданный эффект в поведении колебаний стока Нила и ряда других рек. Чтобы понять его суть, давайте предположим, что расход воды в реке во все годы одинаков. Тогда суммарный расход за много лет был бы пропорционален полному времени: Q ~ t. Если же считать, что расходы воды в каждом году — последовательность случайных величин, не связанных друг с 0,5 другом, то суммарный расход воды Q ~ t . Именно так и полагал Харст, приступая к статистической обработке временного ряда расходов (паводков) на Ниле с 622 по 1469 гг. Однако подсчеты, выполненные ученым, опровергли эту гипотетическую зависимость. Оказалось, что 0,7 сток Нила следует соотношению Q ~ t . Это соотношение получило название закона Харста, а показатель степени H — показателя Харста. Немного забегая вперед, отметим, что этот показатель непосредственно определяет важные характеристики и других случайных процессов: дисперсию и низкочастотную асимптотику спектра и т.д. Мы вычислили показатель Харста современными статистическими методами (методы оценивания показателя Харста изложены в [2]). Получили следующие результаты. Для стока Волги H = 0,752, Днепра — 0,621, Немана — 0,647, Дуная — 0,837; для среднегодовых приращений уровня воды Каспийского моря H = 0,767, оз. Балхаш — 0,711, Большое Соленое — 0,682, Чад — 0,690, Чаны — 0,813; для ширины годовых колец сосны и дуба — соответственно 0,764 и 0,676; для глобальной температуры воздуха по Северному полушарию — 0,825, среднегодовой температуры Москвы и Петербурга — соответственно 0,749 и 0,653. Анализ других временных рядов, связанных с климатом, например урожайности пшеницы, привел к следующим показателям Харста: во Франции — 0,5, Германии — 0,82, Великобритании — 0,67, Канаде — 0,76, США — 0,72. Не случайно в докладе одного из ведущих ученых в области геофизики В. Клемеша на Международном конгрессе по стохастической гидрологии (Москва, ноябрь 1998 г.) прозвучал настойчивый вопрос: «Феномен Харста — загадка?» [3]. Попробуем разобраться в этом явлении, которое, судя по всему, имеет глобальный характер в геофизике, обратившись к некоторым примерам, начиная с половодий Нила. Половодья Нила Диодор Сицилийский, путешествуя по Египту, дивился паводку на Ниле (шириной до 100 км) как явлению просто «невероятному». «Около времени летнего солнцестояния, когда во всех реках уровень понижается (следует понимать во всех реках средиземноморского бас- 1 МЕХАНИКА Математические модели эффекта Харста сейна. — В.Н., И.К.), в Ниле вода начинает прибывать». Это явление объясняется тем, что река берет начало очень далеко от Средиземного моря и Египта. В верхней половине течения Нил (здесь на протяжении 900 км он носит название Бахрэль-Джебель) пересекает зоны влажных, типичных и опустыненных саванн, где принимает крупные притоки: слева — Эль-Газаль, справа — Асва, Собат, Голубой Нил и Атбара. Далее Нил течет по тропической и субтропической полупустыне, не имея ни одного постоянного притока на протяжении 3000 км, и, естественно, беднеет вследствие сильного испарения. В пустынной сахарской зоне нижнего Нила вся жизнь людей была тесно связана с паводками «отца вод». Египет был полностью «порабощен» рекой, бывшей в то время для него благословенным даром природы, без которого само существование страны стало бы невозможным. Режим нижнего Нила зависит исключительно от расхода двух главных рукавов его верхнего течения: систем Белого и Голубого Нила. Белый Нил наполняет нижнее течение реки относительно небольшим количеством воды, но непрерывно, в течение всего года. Голубой Нил (точнее совокупность всех эфиопских водотоков), наоборот, представляет собой мощный, но сезонный фактор и главную причину половодий. В северной части Эфиопского массива бывает только один значительный период дождей (их приносят муссоны с Индийского океана) — с июня по сентябрь, с максимумом в июле и августе. Из-за конденсации паров на прохладных вершинах массива эти осадки исключительно обильны. Мощные потоки влаги стекают в Нижний Нил не только по руслам Голубого Нила и его прямых притоков, но по всей системе рек Собата и Атбары. В январе, когда обычно заканчивается прохождение вод Голубого Нила, среднее и нижнее течение реки зависят исключительно от расхода Белого Нила. Объем воды, переносимой 3 паводками, превышает три четверти всего стока за год (90 из 120 млрд м ). Отчетливо видно быстрое повышение расхода воды с последующим медленным спадом (рис.1). До построения Асуанской плотины отношение максимального расхода воды к минимальному равнялось 15, что значительно превосходит это отношение для других рек Африки, например Конго. После пуска Асуанской ГЭС (1967) гидрологический режим реки резко изменился. Понижение уровня реки в годы как нормального, так и сильного половодья начинается в середине октября (врезка к рис.1), поскольку максимум дождевых осадков в Эфиопии приходится на середину августа. К концу ноября половодье заканчивается и начинается постепенное понижение уровня воды: река пополняется только небольшим количеством светлых вод Белого Нила. Этот сухой период — время созревания и уборки урожая. В разгар половодья расход Нила в Ниж3 нем Египте достигает 13 тыс. м /с. Ежегодно в долине реки на всей затопляемой территории 2 откладывается плодородный красный аллювий — 1,5 кг/м (он и придает красноватый цвет водам Нила). Его толщина достигает 10—15 м. Во время паводка через этот слой просачивается вода, благодаря чему образовался горизонт грунтовых вод, служащий постоянным источником питания реки, расход которой даже в месяцы наиболее низкого уровня вод состав3 ляет 900 м /с. Длительность времени добегания воды до русла Нила, задержка ее в почвах, грунтах и подземных водоносных горизонтах — вот причины медленного спада половодий, который продолжается 8 мес, в то время как подъем — всего 4. Мы предположили, что именно продолжительный спад воды и является причиной эффекта Харста. Для того чтобы это доказать, нам понадобятся некоторые сведения из теории случайных процессов. 2 МЕХАНИКА Математические модели эффекта Харста Рис.1. Типичный гидрограф р. Нил за 20-летний период (1956—1976). На врезке показан средний уровень вод Нила в Нижнем Египте в год нормального половодья. Фрактальное броуновское движение Взвешенные в воде мельчайшие частицы участвуют в беспорядочном и очень оживленном движении. Это явление открыл английский ботаник Р. Браун в 1827 г., и в честь ученого оно получило название броуновского движения. Математическое описание этого явления было выведено из законов физики А. Эйнштейном в 1905 г. Физическая теория была далее усовершенствована А. Эйнштейном вместе с М. Смолуховским (1935), а также А. Фоккером, М. Планком, Л. Орнштейном, Дж.Ю. Уленбеком и многими другими. Первое математически четкое построение теории броуновского движения как физического явления было дано Н. Винером в его диссертации в 1918 г. С этого момента у броуновского движения появился синоним — «винеровский процесс». С точки зрения математики броуновское движение — непрерывный гауссовский случайный процесс X = (Xt)t≥0, X0 = 0, с нулевым средним и дисперсией DXt = t. Автокорреляционная функция его приращений — δ-функция Дирака, что означает отсутствие корреляций в последовательных значениях приращений величины Xt и постоянство спектра на всех частотах (f(ω) = const, ω — частота). Дискретные процессы с таким спектром успешно применяются для моделирования многих климатических и гидрологических процессов. Однако попытка его использования для объяснения эффекта Харста потерпела неудачу: суммарный расход воды в 0,5 этом случае приводит к уже упомянутой зависимости Q ~ t . Не спасает положение и применение случайных процессов с конечным, не нулевым, как у приращений винеровского процесса, временем корреляции: доказано, что и в этом случае получается та же зависимость. 2H А.Н.Колмогоров в 1940 г. впервые рассмотрел процессы с дисперсией DXt = t , t ≥ 0, 0 ≤ H ≤ 1, и назвал их спиралями Винера [4]. Так появилось обобщение винеровского процесса, которое впоследствии развивалось Б. Мандельбротом, Дж. Ван Нессом [5] и многими другими. Непрерывный гауссовский случайный процесс X = (Xt)t≥0 называется фрактальным броуновским движением с показателем Харста H, если дисперсия этого процесса следует соот2H ношению DXt = t , t — время, 0 < H < 1. Автокорреляционная функция приращений фрактального броуновского движения затухает по степенному закону (характерное время корреляции этого процесса бесконечно), а его 1–2H спектр при низких частотах следует соотношению fH(ω) ω . Другими словами, этот процесс при 0,5 < H < 1 имеет бесконечную память. 3 МЕХАНИКА Математические модели эффекта Харста При 0,5 < H < 1 фрактальный шум называют еще и «черным шумом». Его спектральная плотность имеет неограниченный пик на нулевой частоте. –α Случайные процессы со спектральной плотностью |ω| (α = 0,8—1,4) также называют фликкер-шумом (от англ. flicker — мерцание, трепетание, дрожание, короткая вспышка). Такой шум характерен для транзисторов, речи, для потока автомобилей по шоссе, землетрясений и гроз; нормальный период сердцебиения человека имеет флуктуации, спектральная плотность которых изменяется по этому же закону. Как было сказано выше, Харст показал, что для стока Нила H ≈ 0,7. Таким образом, эффект Харста получает математическую интерпретацию: колебания стока Нила — случайный процесс с бесконечной памятью. Однако эта аппроксимация формальна, так как нет ответа на главный вопрос: какие законы физики ответственны за эффект Харста. Дождевые паводки Чтобы объяснить эффект «бесконечной памяти» описываемых процессов, воспользуемся результатами исследования стохастического моделирования колебания речного стока в паводочный период, выполненного на кафедре гидрологии суши географического факультета МГУ. На основе материала многолетних наблюдений за стоком более 50 рек различных регионов мира получены статистические закономерности колебаний паводочного стока и разработана стохастическая модель этого процесса. Она основана на следующей аппроксимации расхода воды во времени (гидрогафа): где s — число паводочных пиков, t1,…,ts — даты прохождения максимальных расходов воды, Q1,…,Qs — значения этих максимальных расходов, самостоятельно формируемых каждым паводком и накладывающихся на спад предыдущих, а φ(t–t ) — функция формы паводка. j Модель апробирована для рек Ченчон у г. Анджу (Северная Корея), Ломницы (Украинские Карпаты), Читы, для многих рек бассейна Амура и др. Для нас очень важно, что результаты упомянутых исследований доказывают: распределение вероятностей паводочных пиков и дат их прохождения достаточно хорошо соответствуют распределению Пуассона с одним и тем же параметром, который не зависит от времени. В последние годы этот подход широко используется для описания последовательностей прохождения различных синоптических ситуаций, определяющих условия формирования стока и выпадения осадков. Таким образом, правомерна постановка задачи об определении спектра такого случайного процесса, как Q(t). Оказалось, что характер спектра существенно зависит от функции формы паводка, точнее от того, как он спадает. Так, для горных рек это происходит очень быстро, поэтому уместна аппроксимация экспонентой: φ(t) = e–tβ. В этом случае спектр процесса f(ω)→const при ω→0 и эффект Харста у паводочного режима отсутствует. Напротив, при медленном спадании паводка, когда оправдана аппроксимация медленно меняющейся функцией, например φ(t) = (1+2tβ)0,5, спектр f(ω)→∞ при ω→0, явление Харста характерно. Механизм формирования паводочного шлейфа (чрезвычайной распластанности гидрографа стока) характерен для больших рек за счет продолжительного времени бассейнового добегания и за счет задержки воды в почвогрунтах. Продолжительный спад воды — фактор усиления корреляции между расходами воды в разные моменты времени. Таким образом, возможная причина эффекта Харста в паводках Нила — их медленный спад в период отсутствия дождей. 4 МЕХАНИКА Математические модели эффекта Харста Мы рассмотрели некоторые подходы к математическому объяснению эффекта Харста. Однако они не отвечали на вопрос: откуда может взяться степенная (медленная) релаксация динамической системы. А разобраться в этом явлении — значит построить простую физикоматематическую модель гидрологического процесса, демонстрирующую эффект Харста. Обратимся к важным составляющим гидрологического цикла суши — осадкам и динамике влажности почвы. После выпадения дождя объемная влажность почвы резко увеличивается. Дальнейшая судьба этой влаги такова: одна часть за счет процессов инфильтрации поступает в грунтовые воды, другая испаряется, третья образует поверхностный сток. Коэффициент инфильтрации (доля влаги осадков, перешедшая в грунтовые воды) для большинства водосборов основных рек России больше 0,6 (на пример, для бассейна Оки — 0,85, Москвы — 0,79, Печоры — 0,66), поэтому процессы инфильтрации очень важны для понимания генезиса речного стока. Если составить уравнение водного баланса верхнего слоя почвы, то в левой части уравнения окажется скорость изменения влажности почвы, а в правой — сумма трех объемов влаги: выпадающей с осадками, испаряющейся и поступающей в грунтовые воды в единицу времени. Процесс изменения влажности почвы, описанный этим уравнением, диссипативный (стекание воды и ее испарение) и существенно нелинейный, так как количество влаги, поступающей в грунтовые воды, определяется влагопроводностью, которая сама по себе является степенной функцией с показателем степени 3—5. Количество испаряющейся влаги также зависит от влажности, но линейно. Физика нелинейных диссипативных систем показывает большое разнообразие их свойств. Исследование этого процесса показало, что он способен объяснить и эффект Харста. Интегрирование уравнения водного баланса верхнего слоя почвы приводит к следующему импульсному процессу: где φ(t–tk) — функция формы импульса, θk — относительные амплитуды процесса. Временную эволюцию влажности почвы можно представить себе как беспорядочно «сшитые» длинные куски регулярных колебаний (см. рис.2,а, б). Как хорошо известно из нелинейной динамики диссипативных систем, корреляционные функции таких реализаций затухают степенным образом, что и определяет «долгую» память процесса. Подробно эта процедура описана в наших статьях [6, 7]. Если скорость инфильтрации значительно превосходит скорость транспирации, спектр процесса, определенного уравнением водного баланса верхнего слоя почвы, расходится при низких частотах. Это явление объясняется сильной степенной зависимостью коэффициента влагопроводности от влажности, благодаря чему релаксация влажности после выпадения дождя к своему равновесному значению происходит очень медленно и спадает по степенному закону. Для функции формы импульса в качестве точного решения уравнения водного баланса в верхнем метровом слое почвы мы получили зависимость Эта функция медленно убывает со временем, что приводит к расходимости спектра при низких частотах. Такая динамика влажности почвы и скорости инфильтрации соответствует многочисленным экспериментальным наблюдениям. Например, скорость инфильтрации, будучи высокой в начале дождя (6 см/ч), затем резко снижается (через 2 ч она равняется 1,5 –0.5 см/ч), далее этот темп замедляется и скорость инфильтрации следует зависимости t . 5 МЕХАНИКА Математические модели эффекта Харста Если отношение скорости испарения к скорости инфильтрации мало, спектр процесса –α имеет достаточно протяженный участок, на котором выполняется соотношение f(ω) ~ ω . Этот результат получен, например, при α = 0,72, H = 0,5(α+1) = 0,86 (см. рис.2,в). В области низких частот при –4 < lnω < 2 справедлива прямолинейная зависимость lnf(ω) ~ –0,720 lnω (коэффициент корреляции –0,804), что указывает на степенную зависи–0.72 . При очень низких частотах (lnω < –4) явление Харста вырождается из-за мость f(ω) ~ ω линейной зависимости слоя испарения от влажности, причем чем меньше отношение слоя испарения к скорости инфильтрации, тем более протяженна область, где справедлив закон Харста. Если, наоборот, отношение скорости испарения к скорости инфильтрации велико, функция формы импульсного процесса приближается к экспоненте и эффект Харста «вырождается». Следовательно, в построенной модели влагопереноса нелинейный процесс инфильтрации способствует возникновению эффекта Харста; линейный процесс испарения разрушает его. На величину показателя Харста более всего влияет величина n, характеризующая степень зависимости коэффициента влагопроводности от влажности. Увеличение n приводит к замедлению релаксации влажности почвы, слабому затуханию корреляционной функции случайного процесса, что в свою очередь способствует росту показателя H. Таким образом, эффект Харста объясняется медленной (степенной) релаксацией вязкой жидкости в пористой среде от момента выпадения осадков до момента попадания воды в замыкающий створ речного бассейна. Эффекты медленной (степенной) релаксации вязкой жидкости в пористой среде характерны для большинства задач нестационарной и нелинейной фильтрации и отражают природные закономерности. 2 Итак, огромный (2,8 млн км ) бассейн Нила представляет собой нелинейную, неравновесную и нестационарную природную систему. Потоки солнечного тепла и влаги с Индийского океана постоянно выводят ее из состояния равновесия. В соответствии со вторым законом термодинамики (законом возрастания энтропии) природная система за счет процессов диссипации (вязкого течения и теплопроводности) релаксирует к состоянию с более высокой энтропией, причем эта релаксация происходит довольно медленно. Вот эту интересную особенность функционирования бассейна Нила и подметил британский климатолог Г. Харст. О степенном законе катастрофических наводнений Как уже отмечалось выше, явление Харста обусловлено отсутствием характерного времени в динамике влажности почвы, т.е. степенным распределением временных характеристик процесса и расходимостью спектра приращений фрактального броуновского движения при низких частотах. В [8] показано, что этот нелинейный эффект тесно связан с другим широко распространенным эффектом, характеризующим сложность физической системы — «степенным законом распределения вероятностей», который хорошо описывает статистику катастрофических наводнений. Для России характерен рост количества катастроф, особенно в последние годы [9]. Так, по данным МЧС России, за период 1990—1999 гг. было зарегистрировано 2877 природных катастроф. Катастрофические явления, обусловленные наводнениями, составляют 19% от общего числа. Американская статистика торнадо, землетрясений, наводнений, ураганов за прошедший век показывает, что данные наблюдений с достаточно хорошей точностью ложатся на прямые, которые соответствуют идеальному степенному закону [10]. 6 МЕХАНИКА Математические модели эффекта Харста Рис.2. Некоторые характеристики импульсного случайного процесса динамики влажности почвы: а — характерная реализация; б — плотность вероятности амплитуд влажности почвы; в — спектральная плотность характерной реализации в окрестности нуля. Прямая — линия регрессии между логарифмом спектра и логарифмом частоты; кривые — линии, ограничивающие доверительную область. С точки зрения случайных процессов это означает, что плотности распределений вероятностей случайных величин, характеризующих наводнения (уровни воды в реке, объемы стока за половодья, максимальные расходы воды и т.п.) являются «распределениями с тяжелыми хвостами». Таким образом, вероятность катастрофических наводнений гораздо выше, чем это следует из предположения о гауссовском законе распределения. Покажем, как в гидрологических процессах возникают «распределения с тяжелыми хвостами». Рассмотрим уравнение водного баланса речного бассейна 7 МЕХАНИКА Математические модели эффекта Харста где W, Q — соответственно влагозапас и речной сток, P, E — средние многолетние величины осадков и испарения, ξ(t) — дельта-коррелированный случайный процесс колебаний осадков и испарения, σ — его интенсивность. Предположим, что сток и влагозапас бассейна связаны нелинейной (гиперболической) зависимостью ~ где P — эффективные осадки, W* — некоторый характерный влагозапас бассейна. Физический механизм увеличения стока с ростом влагозапасов заключается в следующем. Во-первых, чем больше объем поверхностных, почвенных, подземных вод, вод озер и болот, составляющих влагозапасы бассейна, тем выше потенциальная энергия этих вод. Вовторых, в соответствии с законом Ньютона о линейной связи тензора напряжений и тензора скоростей деформации в вязкой жидкости величина диссипации энергии при движении воды в увлажненном бассейне гораздо меньше, чем в «сухом» (именно по этой причине коэффициент фильтрации воды резко увеличивается с ростом влажности почвы). Таким образом, увеличение потенциальной энергии воды и уменьшение сопротивления ее движению в бассейне реки ведет к нелинейному увеличению расхода. Можно показать, что решение стационарного уравнения Фоккера—Планка— Колмогорова, соответствующее стохастическому дифференциальному уравнению (1) для плотности распределения вероятностей величины речного стока, является степенной функцией. Физически появление степенного закона объясняется нелинейной зависимостью стока от влагозапасов бассейна. Два важнейших фактора стока — увеличение влагозапасов и уменьшение сопротивления движению воды в бассейне — являются зависимыми, и случайный процесс колебаний стока уже не может быть гауссовским. Допустим, что в бассейне реки выпали обильные дождевые осадки; в этом случае сопротивление движению воды настолько уменьшится, что в реку попадут не только выпавшие осадки, но и осадки от предыдущих дождей, которые ранее из-за большого сопротивления трения не могли попасть в реку. Математическая формализация этого известного гидрологического явления и приводит к степенным законам паводков и наводнений. Обратим внимание на то, что выпадение осадков следует гауссовскому закону и, следовательно, «тяжелый хвост» распределения формируется гидрофизическими процессами на водосборе. Мы выполнили статистический анализ большого количества временных рядов максимальных уровней воды в реках, объемов стока за половодье, максимальных расходов воды. Особое внимание было уделено анализу катастрофических наводнений в Санкт-Петербурге, так как для этого явления разработаны детальные физические модели и представилась хорошая возможность сравнить вероятностные и гидродинамические методы расчета. Для этого были построены функции распределения вероятностей максимальных уровней воды в р. Неве у Горного института (рис.3). 8 МЕХАНИКА Математические модели эффекта Харста Рис.3. Максимальные уровни р. Невы у Горного института (1878—1994). В качестве распределений выберем гамма-распределение и степенное распределение: здесь µ>1, β>2 — параметры распределений, Γ(·) — гамма-функция Эйлера. Для максимальных уровней воды в р. Неве (1878—1994) были получены следующие оценки: µ =15,906, β =16,283. Для этих оценок доверительные интервалы соответственно равны (11,529; 20,283) и (12,359; 20,207) (уровень доверия 0,95). Вероятности превышения уровней воды в р. Неве приведены в табл.1. На основе анализа различных критериев согласия можно утверждать, что гаммараспределение и степенное распределение удовлетворительно соответствуют данным наблюдений. Однако вероятности катастрофических наводнений, вычисленные на основе этих распределений, существенно различаются (рис.4 и врезка). Например, знаменитое наводнение в Санкт-Петербурге, произошедшее 19 ноября 1824 г. (уровень воды в р. Неве 421 см), должно происходить 1 раз в 667 лет с точки зрения степенного распределения. По гамма-распределению это событие практически невозможно (1 раз в 22 222 лет). Наводнение, случившееся 23 сентября 1924 г. (уровень воды в р. Неве 380 см) имеет вероятность 0,0039 (1 раз в 256 лет) по степенному распределению и 0,00036 (1 раз в 2777 лет) по гамма-распределению, т.е. снова практически невозможно. Наводнение 1954 г. на р. Янцзы в Китае имеет вероятность в 4 раза большую по степенному распределению (1 раз в 167 лет), чем по гамма-распределению (1 раз в 667 лет). Вероятность превышения катастрофического уровня половодья 1931 г. на р. Западная Двина у г. Витебска по степенному распределению равна 0,0114 (1 раз в 88 лет) и превышает вероятность по гамма-распределению 0,0019 (1 раз в 526 лет) в 6 раз. Подчеркнем, что в 1951 г. катастрофический подъем уровня воды на р. Западная Двина повторился. Вероятность пре3 вышения максимального расхода воды на р. Миссури в 1951 г. (12 606 м /с) по степенному распределению равна 0,026 (1 раз в 38 лет), а по гамма-распределению 0,0055 (1 раз в 181 год), т.е. в 5 раз больше. 9 МЕХАНИКА Математические модели эффекта Харста Рис.4. Плотности степенного (жирная линия) и гамма-распределений максимальных уровней воды в р. Неве (1878—1994). На врезке показано поведение «хвостов» степенного и гамма-распределений в области величин катастрофических наводнений. Таким образом, степенная статистика указывает на то, что катастрофические наводнения, происходящие на нашей планете, не являются из ряда вон выходящими событиями, а имеют достаточно большую вероятность, и с этой вероятностью необходимо считаться. В связи с гидрологическим обоснованием ряда проектов по защите Санкт-Петербурга и ближайших пригородов от наводнений были проведены обширные научные исследования по проблеме расчета максимальных уровней воды в р. Неве. Нами проведено сравнение результатов этих исследований с расчетами по статистическим моделям (табл.2). Видно, что степенное распределение хорошо соответствует гидродинамическим моделям наводнений. 10 МЕХАНИКА Математические модели эффекта Харста Хаотическая динамика гидросферы и климата В статье [11] исследован временной ряд температуры более чем за 900 тыс. лет. На основании анализа данных по изотопному составу кислорода в осадочных породах из экваториальной зоны Тихого океана сделан вывод о том, что этот ряд порожден хаотическим аттрактором малой размерности 3,1. Подчеркнем, что хаотический аттрактор способен порождать множество стохастических процессов. По этой причине флуктуации климата можно рассматривать как проявление хаотического характера самого аттрактора. Нами показано, как в принципе в глобальных гидросферных и климатических процессах могут возникать хаотические автоколебания. Подчеркнем, что существует гипотеза о том, что эффект Харста может быть объяснен в рамках динамического хаоса. Рассмотрим модель климата [12, 13], состоящую из уравнений теплового и водного баланса, динамики речного стока и диоксида углерода. В нашей статье [14] показано, что эта система уравнений может быть сведена к системе нелинейных осцилляторов типа Дуффинга и Ван-дер-Поля. Гомоклинический сценарий перехода решений уравнения Дуффинга к хаотическим режимам указан в [15]. Предложенная простая нелинейная модель климата не только демонстрирует его неустойчивость, но и указывает на хаотические автоколебания с существенной амплитудой изменения глобальной температуры, влагозапаса суши, речного стока и концентрации диоксида углерода в атмосфере. По существу это означает, что наша планета либо постоянно переохлаждается (ледниковые эпохи, похолодание климата), либо перегревается (потепление и увлажнение, усиленное развитие растительного покрова). Причиной хаотических автоколебаний климата является нелинейная зависимость теплоемкости и альбедо суши от ее влагозапасов. Характерные реализации глобальной температуры, а также фазовый портрет предложенной системы уравнений приведены на рис.5 и 6. Анализ теплового режима планеты показал, что синхронное и синфазное увеличение (уменьшение) влагозапасов всех континентов приводит к уменьшению (увеличению) планетарного альбедо, резкому, внезапному увеличению (уменьшению) глобальной температуры приземного слоя атмосферы и изменению климата Земли. При изменении влагозапасов одного или двух континентов глобальная температура изменяется не столь резко. Таким образом, глобальные потепление и похолодание, а также резкие изменения концентрации диоксида углерода в атмосфере объясняются естественными природными процессами. 11 МЕХАНИКА Математические модели эффекта Харста Рис.5. Глобальная температура приземного слоя атмосферы, полученная методом математического моделирования (две хаотические реализации детерминированного процесса). Рис.6. Фазовый портрет хаотических колебаний температуры. В статье [16] показано, что стохастические автоколебания рассматриваемого типа могут стать одним из возможных механизмов возникновения фликкер-шума. Рис.7. Возможная реализация случайного процесса колебаний уровня Каспийского моря. 12 МЕХАНИКА Математические модели эффекта Харста Рис.8. Гистограммы колебаний уровней Каспийского моря (а), оз. Чад (б), Мертвого моря (в). Эффект Харста является характерным для нелинейной динамики колебаний уровня Каспийского моря, что впервые в гидрологии показано в статье [17]. Анализ динамики колебаний уровня моря показал, что под воздействием сильных и случайных колебаний осадков возникают случайные переходы от низкого уровня моря к высокому и обратно, причем устойчивые уровни реализуются гораздо чаще, чем неустойчивый [18, 19]. Отметим, что стационарным колебаниям осадков в бассейне моря соответствуют резкие и нестационарные колебания уровня моря, причиной которых является нелинейная зависимость испарения от увлажненности. Возможная реализация случайного процесса колебаний уровня Каспийского моря, полученная методом математического моделирования, показана на рис.7. Оценка показателя Харста в этом случае значительно больше 0,5. Интересно отметить совпадение показателей Харста для стока р. Волги и приращений уровня Каспийского моря (0,752 и 0,767), что объясняется очень высокой корреляцией (0,86) между соответствующими временными рядами. 13 МЕХАНИКА Математические модели эффекта Харста Подчеркнем, что возникновение двух устойчивых состояний равновесия характерно и для других бессточных озер, на что указывают гистограммы уровней Каспийского моря, оз. Чад и Мертвого моря (рис.8). Таким образом, одним из возможных механизмов эффекта Харста является хаотичность природных процессов. Авторы благодарят академика В.В. Козлова за постоянную поддержку исследований по нелинейной динамике природных процессов. ЛИТЕРАТУРА 1 Hurst H. // Transactions of American Society of Civil Engineers. 1951. V.116. P.770—808. 2 Ширяев А.Н. Финансовая математика. М., 1998. 3 Klemes V. // Water Resour. Res. 1974. V.10(4). P.675—688. 4 Колмогоров А.Н. // Докл. АН СССР. 1940. Т.26. №2. С.115—118. 5 Mandelbrot B.B., Ness J.W.van // SIAM Rewiew. 1968. V.10. №4. P.422—437. 6 Найденов В.И., Кожевникова И.А. // Докл. РАН. 2000. Т.373. №1. С.45—47. 7 Найденов В.И., Кожевникова И.А. // Природа. 2000. №1. С.3—11. 8 Lowen S.B., Teich M.C. // Phys. Rev. E. 1993. V.47. №2. P.992—1001. 9 Осипов В.И. // Вестник РАН. 2001. Т.71. №4. С.291—302. 10 Малинецкий Г.Г., Курдюмов С.П. // Вестник РАН. 2001. Т.71. №3. С.210—232. 11 Nicolis C., Nicolis G. // Nature. 1984. V.311. P.529—532. 12 Найденов В.И. // Вестник РАН. 2001. Т.71. №5. С.405—414. 13 Найденов В.И., Кожевникова И.А. // Докл. РАН. 2001. Т.378. №1. С.51—57. 14 Найденов В.И., Кожевникова И.А. // Докл. РАН. 2002. Т.384. №3. С.1—6. 15 Козлов В.В. // УМН. 1986. Т.41. №5. С.177—178. 16 БончБруевич В.Л.// Докл. АН СССР. 1984. Т.278. №2. С.335—339. 17 Кожевникова И.А. // Обозрение прикладной и промышленной математики. 1997. Т.4. Вып.3. С.353—355. 18 Найденов В.И. // Математическое моделирование. 1992. Т.4. №6. С.50—64. 19 Кожевникова И.А., Найденов В.И. // Водные ресурсы. 1998. Т.25. №6. С.661—670. 14