Рис.9. Сечение правильной четырёхугольной пирамиды

1
Сечения многогранников
Интерактивный комплект
2. Тела, пересеченные плоскостью
2.1. Построение сечений тетраэдров и пирамид
Пособие содержит описание построения сечений тетраэдров и пирамид, примеры
решений задач. Решения сопровождаются интерактивными файлами, выполненными в
программе GInMA.
Оглавление раздела
1. Сечение тетраэдра, метод следов, точки на рёбрах.
2. Сечение тетраэдра, метод вспомогательных плоскостей, точки на рёбрах.
3. Сечение тетраэдра, точки сечения расположены в гранях.
4. Сечение тетраэдра, точки на медианах.
5. Сечение тетраэдра, две из точек на ребрах тетраэдра и одна расположена в грани.
6. Сечение правильной четырёхугольной пирамиды, параллельное двум данным прямым.
7. Сечение четырёхугольной пирамиды, точки на рёбрах.
8. Сечение правильной четырёхугольной пирамиды, параллельное боковой грани.
9. Сечение четырёхугольной пирамиды параллельное основанию.
Чтобы рисунки из комплекта ожили, установите на Вашем компьютере программу
GInMA c сайта http://deoma-cmd.ru/Products/Geometry/GInMA.aspx
Бесплатная базовая версия комплекта позволяет ознакомиться с возможностями
пособия. Во всех файлах доступны первые шаги решений с условием и исходным
интерактивным чертежом, в отдельных файлах доступны все шаги решения вплоть до ответа.
Чтобы научиться управлять рисунком, пользуйтесь Руководством для пользователя комплекта
Смотрите видео Как преобразовать рисунки из текста в интерактивные рисунки
Видео некоторых решений смотрите на Youtube, канал пользователя Vladimir Shelomovskii
Посмотрите пример методики применения комплекта Построение сечения в GInMA
© С.Н. Носуля, В.В. Шеломовский. Тематические комплекты, 2013.
© Д.В. Шеломовский. Компьютерная программа GInMA, 2013. http://www.deoma–cmd.ru/
2
Задание 1
Сечение тетраэдра, метод следов, точки на рёбрах
1 шаг (Условие) Постройте сечение тетраэдра АВСD плоскостью EFG методом следов,
если точки E, F и G находятся на ребрах AD, BD и ВС, соответственно.
Анализ. Две стороны сечения — это отрезки EF и FG, построенные путём соединения
пар данных точек, лежащих в плоскостях граней АВD и BСD. Для построения сечения нужна
точка на ребре АС, разделяющем грани ABD и AСD. Для того, чтобы её найти, используем
прямую EН— след плоскости сечения на плоскости ACD. Эта прямая проходит через данную
точку сечения E. Вторую точку этой прямой удобно найти на прямой CD, которая лежит
одновременно в плоскости ACD и в плоскости ВCD, содержащей точки F и G. Прямая FG
принадлежит плоскости сечения, так как две её точки принадлежат этой плоскости. Прямая
FG и прямая CD принадлежат плоскости ВСD, то есть они либо пересекаются в точке Н, либо
параллельны (свойство 2). Значит, след плоскости сечения на плоскости ACD либо содержит
точки E и Н, либо, если CD||FG, он параллелен CD.
Построение.
2 шаг. Найдена точка Н – след плоскости EFG на прямой CD. В плоскости ВCD строим
прямые CD и FG и находим точку их пересечения Н. Особым является случай, когда прямая
FG параллельна CD. Точки пересечения нет.
3 шаг. В плоскости АCD строим прямую ЕН и находим точку сечения I на ребре АС.
Завершаем построение, построив отрезок IG. Если окажется, что прямая FG параллельна CD,
то точки пересечения Н нет. При этом искомая прямая EI| также параллельна CD. Поэтому
строим EI||CD.
Рис. 1. Сечение тетраэдра построено методом следов
Задание 2
© С.Н. Носуля, В.В. Шеломовский. Тематические комплекты, 2013.
© Д.В. Шеломовский. Компьютерная программа GInMA, 2013. http://www.deoma–cmd.ru/
3
Сечение тетраэдра, метод вспомогательных плоскостей, точки на рёбрах
1 шаг (Условие) Постройте сечение тетраэдра АВСD плоскостью KLM, если точки K, L и
M находятся на ребрах AD, AB и СD, соответственно. Пользуйтесь методом вспомогательных
плоскостей.
Анализ. Для построения сечения нужна вершина сечения на ребре ВС. Для того, чтобы её
найти, можно использовать прямую KF – след сечения на вспомогательной плоскости ВCK.
Эта прямая содержит точку K. Отрезок этой прямой находится внутри треугольника ВСK, так
как его пересекает отрезок LM, целиком принадлежащий сечению. Согласно договоренности
4, точка F пересечения плоскости ВСK и прямой LM не считается известной. Точку F можно
найти на прямой EC, по которой пересекаются плоскость CML, содержащая точки M и L, и
плоскость ВCK. Согласно договоренности 5, прямая пересечения плоскостей не считается
известной. Поэтому необходимо найти точку E на прямой EC, чтобы выполнить построение
этой прямой. Точку E можно найти, как пересечение прямых ВK и LD, по которым плоскости
CML и ВCK пересекают плоскость ABD.
2 шаг. Построение. Строим вспомогательную плоскость ВСK. Точка K принадлежит
сечению, значит, существует след сечения на этой плоскости некоторая прямая KF этой
плоскости. Отрезок этой прямой находится внутри треугольника ВСK, так как его пересекает
отрезок LM, целиком принадлежащий сечению. Согласно договоренности 4, точка F их
пересечения не считается известной.
3 шаг. Строим вспомогательную плоскость СDL. Точки L и М принадлежат сечению,
значит, след сечения на этой плоскости это прямая LМ. Прямая СЕ, общая для построенных
плоскостей, пересекает прямую LМ в точке сечения (F). Согласно договоренности 5,
необходимо найти точку E на прямой EC, чтобы выполнить построение этой прямой.
4 шаг. Для того, чтобы найти точку Е строим отрезки LD и BK. Отрезок LD принадлежит
плоскости СDL. Отрезок BK принадлежит плоскости BCK. Оба этих отрезка принадлежат
треугольнику АВD. Значит они пересекаются в точке прямой СЕ (Е).
5 шаг. Зная прямые LМ и СЕ, находим точку F их пересечения. Эта точка является
следом сечения на прямой СЕ.
6 шаг. Прямая FK принадлежит плоскости сечения и лежит в плоскости BCK. Значит, она
пересекает прямую ВС. Точка G пересечения является следом сечения на прямой ВС.
Поскольку точка F принадлежит треугольнику ВСK, точка G лежит на отрезке ВС.
7 шаг. Четырёхугольник KLGM – это искомое сечение. Исследуйте его. Двигайте все
активные точки (A,B,C,D,K,L,M).
Рис. 2. Сечение тетраэдра построено методом вспомогательных плоскостей.
© С.Н. Носуля, В.В. Шеломовский. Тематические комплекты, 2013.
© Д.В. Шеломовский. Компьютерная программа GInMA, 2013. http://www.deoma–cmd.ru/
4
Задание 3
Сечение тетраэдра, задающие сечение точки расположены в гранях
1 шаг (Условие) Постройте сечение тетраэдра АВСD плоскостью EFG, если точки E, F и
G находятся в гранях ABD, BCD и АВС, соответственно.
Анализ. Строим след плоскости сечения в плоскости основания АВС. Для этого ищем
вторую (кроме G) точку сечения в плоскости ABС. Для этого рассмотрим центральную
проекцию из вершины D прямой EF, принадлежащей сечению, на плоскость ABС. Проекция
точки Е – это точка H пересечения луча DE и ребра АВ. Проекция точки F – это точка I
пересечения луча DF и ребра ВC. Прямая EF пересекает собственную проекцию на плоскость,
прямую HI, в точке плоскости (Р), принадлежащей плоскости сечения. Прямая РG – это след
плоскости сечения на плоскости ABС. Она пересекает рёбра основания пирамиды в вершинах
сечения.
Построение.
2 шаг. Выполняем центральное проектирование прямой EF, принадлежащей плоскости
сечения, на плоскость основания АВС. В плоскости грани ABD строим проекцию точки Е на
ребро АВ.
3 шаг. В плоскости грани BСD строим проекцию точки F на ребро ВC. Проекция прямой
EF – это прямая HI, две точки которой H и I найдены.
4 шаг. След сечения на прямой HI, принадлежащей плоскости АВС, это точка Р
пересечения прямых HI и EF.
5 шаг. След сечения в плоскости АВС, это прямая РG содержащая данную и найденную
точки сечения.
6 шаг. Следы сечения на ребрах основания АВС это точки G', G'', G''' в которых прямая
РG пересекает стороны треугольника основания.
Исследуйте построенное сечение. Рассмотрите случай, когда прямая EF параллельна
плоскости основания.
Рис. 3. Сечение тетраэдра, точки в гранях
© С.Н. Носуля, В.В. Шеломовский. Тематические комплекты, 2013.
© Д.В. Шеломовский. Компьютерная программа GInMA, 2013. http://www.deoma–cmd.ru/
5
Задание 4
Сечение тетраэдра, заданные точки сечения находятся на медианах граней,
выходящих из одной вершины
1 шаг (Условие) Постройте сечение тетраэдра АВСD плоскостью EFG, если точки E, F и
G находятся на медианах граней, выходящих из вершины D.
Анализ. Необходимо найти след сечения на одном из рёбер, выходящих из вершины D.
Пользуемся плоскостью, содержащей это ребро и медиану противолежащей грани (например,
АD и A'D), и плоскостью, содержащей пару оставшихся медиан (В'D и С'D). Пусть плоскости
пересекаются по прямой DD'. Если М – точка пересечения D'D и EG, она принадлежит
секущей плоскости (как и любая точка отрезка EG), и плоскости АА'D (как и любая точка
отрезка D'D). Значит, точка H пересечения луча FM с прямой АD – это искомый след сечения
на ребре АD.
Построение.
2 шаг. Построена вспомогательная плоскость В'DС'. След сечения в треугольнике В'DС'
– это отрезок FG.
3 шаг. Построена вспомогательная плоскость АА'D. Чтобы найти точку М, след сечения
на прямой DD' лежащей в плоскости АА'D необходимо построить эту прямую. Так как в
треугольнике АВС В'С' – это средняя линия, то точка D' – это середина отрезка АА'.
Построена прямая DD' по которой пересекаются плоскость АА'D и плоскость В'DС'.
4 шаг. Построена точка М – след плоскости сечения на прямой DD'. Эта точка лежит в
плоскости АА'D.
5 шаг. Прямая FМ – это след плоскости сечения на плоскости DАА'. Точка Н
пересечения FМ и ребра АD – это след плоскости сечения на этом ребре, то есть вершина
многоугольника сечения.
6 шаг. Построены прямые НЕ и HG, содержащие стороны сечения и найдены следы
сечения на прямых BD и CD. Эти точки позволяют построить сечение. Исследуйте его при
различных положениях активных точек A, …, G.
© С.Н. Носуля, В.В. Шеломовский. Тематические комплекты, 2013.
© Д.В. Шеломовский. Компьютерная программа GInMA, 2013. http://www.deoma–cmd.ru/
6
Рис.4. Сечение тетраэдра, точки расположены на медианах граней
DA ' , DB ' , DC '
BCD , ACD , ABD
граней
A' F
B' G
C' E
F , G , E в отношении
=x,
=y ,
=z .
разделены точками
Найдите
FD
DG
DE
отношение в котором плоскость FGE делит ребро AD.
7 шаг (Условие). Пусть медианы
8 шаг. Заметим, что точка D' пересечения средней линии В'С' и медианы АА' делит
пополам оба этих отрезка. Пусть отрезок с вершинами на сторонах треугольника делит
медиану. Известно соотношение для поиска частей медианы. Пользуясь им, находим:
C ' E B'G
D' M
+
=2
,
DE DG
DM
AH A' F
D' M
AH
+
=2
. Значит,
= y + z− x .
DH DF
DM
DH
© С.Н. Носуля, В.В. Шеломовский. Тематические комплекты, 2013.
© Д.В. Шеломовский. Компьютерная программа GInMA, 2013. http://www.deoma–cmd.ru/
7
Задание 5
Сечение тетраэдра, две из заданных точек сечения находятся на ребрах тетраэдра
и одна расположена в грани
1 шаг (условие) Постройте сечение тетраэдра АВСD плоскостью EFG, если точка E
расположена на ребре AD, точка F расположена на грани АВС и точка G расположена на ребре
BС.
Анализ. В грани ABС известны две точки, что позволяет построить следы плоскости
сечения на прямых AB, ВС и AС. Задача свелась к задаче 1, в которой все точки сечения
размещались на рёбрах. Например, пусть прямая FG пересекает AB в точке Н. Тогда две точки
в плоскости АВD позволят найти след сечения EН и точку М на прямой ВD, то есть в
плоскости ВСD. В этой плоскости след плоскости сечения — это прямая GМ.
Построение.
2 шаг. В плоскости АВC строим прямые АВ и FG и находим точку их пересечения Н. В
плоскости АВC находим точку Н' пересечения прямой FG и ребра AC, если эта точка
существует.
3 шаг. В плоскости АВD строим прямую ЕН и находим след плоскости сечения точку М
на ребре ВD.
4 шаг. Завершаем построение, соединив найденные точки, лежащие на рёбрах. Если
окажется, что прямая FG параллельна АВ (FG||АВ), то точки пересечения Н нет. При этом
искомая прямая EM также параллельна AB. Поэтому строим EМ||АВ.
Рис. 5. Сечение тетраэдра для случая, когда точки расположены на рёбрах и в грани
© С.Н. Носуля, В.В. Шеломовский. Тематические комплекты, 2013.
© Д.В. Шеломовский. Компьютерная программа GInMA, 2013. http://www.deoma–cmd.ru/
8
Задание 6
Сечение правильной четырёхугольной пирамиды, параллельное двум прямым
1 шаг (условие) Постройте сечение правильной четырёхугольной пирамиды PАВСD,
которое проходит через точку E, лежащую в грани АВСD, параллельное боковому ребру PС и
диагонали основания ВD.
Анализ. Известно, что если прямая l параллельна плоскости П, то любая плоскость,
содержащая эту прямую, пересекает П по прямой, параллельной l. След плоскости сечения в
грани ABCD – это отрезок FG, который параллелен диагонали BD и пересекает диагональ AС
в точке K. Точка N на ребре АР находится из условия KN||CP. Если точка Е внутри
треугольника ВCD, то GL||CP и FH||CP.
Построение.
2 шаг. Строим след плоскости сечения в грани АВСD. Это отрезок FG параллельный BD.
Его середина точка K располагается на диагонали АС.
3 шаг. Строим след плоскости сечения в треугольнике АСР, который является частью
плоскости АСР. Это отрезок KN параллельный CP. Прямая KN пересекает ребро АP в точке N
на ребре АР, которая является следом сечения на этом ребре.
4 шаг. Если точка Е расположена внутри треугольника ВCD, то строим следы сечения в
гранях CDР и ВDР. Эти следы также параллельны CР. GL||CP и FH||CP.
Рис. 6. Сечение правильной четырёхугольной пирамиды, параллельное двум данным прямым
© С.Н. Носуля, В.В. Шеломовский. Тематические комплекты, 2013.
© Д.В. Шеломовский. Компьютерная программа GInMA, 2013. http://www.deoma–cmd.ru/
9
Задание 7
Сечение четырёхугольной пирамиды, точки на рёбрах
1 шаг (условие) Постройте сечение пирамиды SAВСD плоскостью, проходящей через точку E,
лежащую на ребре BC, точку F, лежащую на ребре SA, и точку G, лежащую на ребре SC.
Анализ. Сторона сечения EG дана. Согласно договоренности 4, мы не знаем точку Н
пересечения прямой FG, принадлежащей сечению, и плоскости основания АВС. Поэтому, для
того, чтобы найти след сечения в плоскости основания, пользуемся вспомогательной
плоскостью ACS. В ней пересекаются прямая АС, принадлежащая плоскости основания, и FG.
Точка Н пересечения прямых АС и FG – это след прямой FG плоскости сечения на плоскости
основания АВС. Зная эту точку, находим след EН плоскости сечения на плоскости основания
АВС и вершины сечения в этой плоскости. Чтобы найти вершину сечения на ребре SD, ищем
след плоскости сечения KM на вспомогательной плоскости BDS. Точка K находится на
пересечении диагонали основания BD и стороны сечения EI. Точка M находится на
пересечении прямой FG, принадлежащей сечению, и прямой SL, принадлежащей как
плоскости BDS, так и плоскости АСS.
Построение.
2 шаг. Построены сторона сечения EG и прямая FG, принадлежащая плоскости сечения.
3 шаг. Во вспомогательной плоскости ACS построена точка Н пересечения прямых АС и
FG. Точка Н – это след прямой плоскости сечения на плоскости основания АВС.
4 шаг. В плоскости AВC основания пирамиды построен след плоскости сечения прямая
FН. Найдена вершина сечения на ребре основания пирамиды.
5 шаг. Во вспомогательной плоскости ВDS построены точка сечения K и прямая SL по
которой пересекаются плоскости ACS и BDS.
6 шаг. На пересечении прямых FG плоскости сечения и SL, принадлежащей плоскости
BDS найдена точка М плоскости сечения и построена прямая KM этой плоскости.
7 шаг. На пересечении прямой KM плоскости сечения и ребра SD найдена вершина
сечения. Сечение построено по найденным вершинам.
Рис. 7. Построение сечения четырёхугольной пирамиды методом вспомогательных плоскостей
© С.Н. Носуля, В.В. Шеломовский. Тематические комплекты, 2013.
© Д.В. Шеломовский. Компьютерная программа GInMA, 2013. http://www.deoma–cmd.ru/
10
Задание 8
Сечение правильной четырёхугольной пирамиды, параллельное боковой грани
1 шаг (условие) Постройте сечение правильной четырёхугольной пирамиды PАВСD,
параллельное боковой грани PВС, которое проходит через точку E, лежащую в квадрате
АВСD.
Анализ. Сечение параллельно грани PBC, значит, след сечения в плоскости основания
грани ABCD – это прямая FG содержащая точку Е, параллельная ребру пирамиды BC,
лежащему в плоскости PВС. След плоскости сечения в грани РAB – это отрезок, который
параллелен ребру РВ, лежащему в плоскости PВС. След плоскости сечения в грани РCD – это
отрезок, который параллелен ребру РC, лежащему в плоскости PСD.
Построение.
2 шаг. Строим отрезок FG параллельный BC и содержащий точку E.
3 шаг. В гранях PВС и PСD строим отрезки, параллельные рёбрам ВP и СP.
Рис. 8. Сечение правильной четырёхугольной пирамиды, параллельное боковой грани
© С.Н. Носуля, В.В. Шеломовский. Тематические комплекты, 2013.
© Д.В. Шеломовский. Компьютерная программа GInMA, 2013. http://www.deoma–cmd.ru/
11
Задание 9
Сечение правильной четырёхугольной пирамиды, параллельное основанию
1 шаг (условие) Постройте сечение правильной четырёхугольной пирамиды PАВСD
плоскостью, которая проходит через точку E, лежащую в пространстве, параллельно
основанию АВСD.
Анализ. Если найти след сечения на любом элементе пирамиды, то построение сечения
тривиально. Удобно найти след сечения на высоте пирамиды PO. Если J – это точка сечения
на высоте, то высота перпендикулярна как плоскости основания, так и плоскости сечения.
Значит, любая прямая этой плоскости перпендикулярна высоте, то есть EJ⊥PO.
Построение.
2 шаг. Строим высоту пирамиды РО, где О – это середина диагонали АС основания.
3 шаг. Пусть точка J – это след сечения на высоте пирамиды РО. Плоскость сечения
параллельна основанию, значит, она перпендикулярна РО. Прямая EJ лежит в этой плоскости,
значит, EJ⊥PO.
4 шаг. В вспомогательной плоскости ЕОР опускаем перпендикуляр из точки Е на
прямую РО. Основание перпендикуляра определяет точку J – след плоскости сечения на
прямой РО.
5 шаг. Проводим прямые, параллельные диагоналям основания через точку J и находим
вершины сечения на боковых рёбрах пирамиды.
Рис.9. Сечение правильной четырёхугольной пирамиды, параллельное основанию
© С.Н. Носуля, В.В. Шеломовский. Тематические комплекты, 2013.
© Д.В. Шеломовский. Компьютерная программа GInMA, 2013. http://www.deoma–cmd.ru/
12
Литература:
1. И. Ф. Шарыгин. Геометрия. 10 – 11 кл.: Учебник. –М.: Дрофа, 2007. – 206 с.
2.2. Построения на изображениях.
2. А.Ю.Калинин, Д.А. Терешин. Стереометрия 10. –M.: МФТИ, 1996. – 256 с.
2.6. Сечение многогранника. Построения сечений методом следов.
2.7. Применение проектирования при построении сечений многогранников.
© С.Н. Носуля, В.В. Шеломовский. Тематические комплекты, 2013.
© Д.В. Шеломовский. Компьютерная программа GInMA, 2013. http://www.deoma–cmd.ru/