Избранные задачи Московской физической олимпиады

ÎËÈÌÏÈÀÄÛ
ïðîìåæóòêå äëèíû 0,001 èç èíòåðâàëà (0; 1) íàéäåòñÿ çíà÷åíèå a, ïðè êîòîðîì îí ñìîæåò äîáèòüñÿ æåëàåìîãî ðåçóëüòàòà ñ ïîìîùüþ êîíå÷íîãî ÷èñëà ðàçðåçîâ? (11)
À.Øàïîâàëîâ
24. Êðèâàÿ íà ïëîñêîñòè â íåêîòîðîé ñèñòåìå êîîðäèíàò
(äåêàðòîâîé) ñëóæèò ãðàôèêîì ôóíêöèè y = sin x . Ìîæåò
ëè òà æå êðèâàÿ ÿâëÿòüñÿ ãðàôèêîì ôóíêöèè y = sin2 x â
äðóãîé ñèñòåìå êîîðäèíàò, è åñëè äà, òî êàêîâû åå íà÷àëî
êîîðäèíàò è åäèíèöû äëèíû íà îñÿõ (îòíîñèòåëüíî èñõîäíûõ êîîðäèíàò è åäèíèö äëèíû)? (11)
Ôîëüêëîð, À.Êàíóííèêîâ, È.Ñåðãååâ
25. Âåðíî ëè, ÷òî ëþáûå 100 êàðòî÷åê, íà êîòîðûõ
íàïèñàíî ïî îäíîé öèôðå 1, 2 èëè 3, âñòðå÷àþùåéñÿ íå áîëåå
÷åì ïî 50 ðàç êàæäàÿ, ìîæíî ðàçëîæèòü â îäèí ðÿä òàê,
÷òîáû â íåì íå áûëî ôðàãìåíòîâ 11, 22, 33, 123 è 321? (11)
Ï.Áîðîäèí
26. Âíóòðè òðåóãîëüíèêà ABC âçÿòà òàêàÿ òî÷êà O, ÷òî
∠ABO = ∠CAO, ∠BAO = ∠BCO, ∠BOC = 90°.
Íàéäèòå îòíîøåíèå AC : OC. (11)
27. Ïðè êàêîé ïåðåñòàíîâêå a1, a2, … , a2011 ÷èñåë 1, 2, …
..., 2011 çíà÷åíèå âûðàæåíèÿ
a2011
a
… 2010
a
3
a2
a1
áóäåò íàèáîëüøèì? (11)
Î.Êîñóõèí
28. Ïî ðåáðàì òðåóãîëüíîé ïèðàìèäû ïîëçàþò ÷åòûðå
æóêà, ïðè ýòîì êàæäûé æóê âñå âðåìÿ îñòàåòñÿ òîëüêî â
îäíîé ãðàíè (â êàæäîé ãðàíè – ñâîé æóê). Êàæäûé æóê
îáõîäèò ãðàíèöó ñâîåé ãðàíè â îïðåäåëåííîì íàïðàâëåíèè,
ïðè÷åì òàê, ÷òî ëþáûå äâà æóêà ïî îáùåìó äëÿ íèõ ðåáðó
ïîëçóò â ïðîòèâîïîëîæíûõ íàïðàâëåíèÿõ. Äîêàæèòå, ÷òî
åñëè ñêîðîñòè (âîçìîæíî, íåïîñòîÿííûå) êàæäîãî èç æóêîâ
âñåãäà áîëüøå 1 ñì/ñ, òî êîãäà-íèáóäü êàêèå-òî äâà æóêà
îáÿçàòåëüíî âñòðåòÿòñÿ íåçàâèñèìî îò ïèðàìèäû, íà÷àëüíîãî ïîëîæåíèÿ è ñêîðîñòè æóêîâ. (11)
Ôîëüêëîð
Ïóáëèêàöèþ ïîäãîòîâèëè Ñ.Äîðè÷åíêî, Å.Åïèôàíîâ
È.Ñåðãååâ
Èçáðàííûå çàäà÷è Ìîñêîâñêîé
ôèçè÷åñêîé îëèìïèàäû
Ïåðâûé òåîðåòè÷åñêèé òóð
7 êëàññ
1. Êðàñíàÿ Øàïî÷êà èñïåêëà 20 ïèðîãîâ, ñëîæèëà èõ â
êîðçèíêó è îòïðàâèëàñü ÷åðåç ëåñ ê áîëüíîé áàáóøêå. Êîãäà
äî áàáóøêè åé îñòàâàëîñü ïðîéòè 3 êì, èç êóñòîâ âûñêî÷èë
ãîëîäíûé âîëê ñ ÿâíûì íàìåðåíèåì ñúåñòü õîòü ÷òî-íèáóäü.
Óâèäåâ åãî, Êðàñíàÿ Øàïî÷êà áðîñèëà íà çåìëþ îäèí ïèðîã
è ïîáåæàëà ñî ñêîðîñòüþ 2,5 ì/ñ. Âîëê ñúåë ïèðîã çà 1 ìèí
è ïîáåæàë çà Êðàñíîé Øàïî÷êîé ñî ñêîðîñòüþ 5 ì/ñ. Òîãäà
Êðàñíàÿ Øàïî÷êà ñòàëà áðîñàòü ïèðîãè, êàê òîëüêî âîëê
íà÷èíàë åå äîãîíÿòü, è òàê äîáåæàëà äî áàáóøêèíîãî äîìà.
Ñêîëüêî ïèðîãîâ äîñòàëîñü áàáóøêå?
Ì.Ñåìåíîâ
2. Íàáëþäàÿ çà êîêîñîì, ñâîáîäíî ïàäàþùèì ñ âåðøèíû
ïàëüìû, òóðèñò îáíàðóæèë, ÷òî ïðîéäåííîå êîêîñîì ðàññòîgt2
, ãäå
ÿíèå s çàâèñèò îò âðåìåíè ïàäåíèÿ t êàê s =
2
2
g = 10 ì ñ . Òóðèñò òàêæå îïðåäåëèë, ÷òî ñðåäíÿÿ ñêîðîñòü
êîêîñà çà âðåìÿ ïàäåíèÿ ñîñòàâëÿåò vñð = 5 ì/ñ. Îïðåäåëèòå âûñîòó ïàëüìû.
Ì.Ðîìàøêà
3. Áðàòüÿ Êîëÿ è Ñàøà åõàëè íà àâòîáóñå èç ïóíêòà A â
ïóíêò B. Äîðîãà ñîñòîÿëà èç äâóõ ÷àñòåé, íà êàæäîé èç
êîòîðûõ àâòîáóñ åõàë ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ. Íà ïåðâîé
÷àñòè ñêîðîñòü àâòîáóñà áûëà v1 , à íà âòîðîé – v2 . Ñðåäíÿÿ
v + v2
ñêîðîñòü àâòîáóñà íà âñåì ïóòè îêàçàëàñü ðàâíîé v = 1
.
2
Êîëÿ è Ñàøà ïîñïîðèëè î òîì, êàê ñîîòíîñÿòñÿ äëèíû ýòèõ
÷àñòåé ïóòè è âðåìåíà èõ ïðîõîæäåíèÿ. Êîëÿ ñ÷èòàåò, ÷òî
àâòîáóñ ïîëîâèíó ïóòè åõàë ñî ñêîðîñòüþ v1 , à äðóãóþ
ïîëîâèíó ïóòè – ñî ñêîðîñòüþ v2 . Ñàøà ñ÷èòàåò, ÷òî àâòîáóñ
ïîëîâèíó âðåìåíè åõàë ñî ñêîðîñòüþ v1 , à äðóãóþ ïîëîâèíó
âðåìåíè – ñî ñêîðîñòüþ v2 . Ìîæíî ëè èç óñëîâèÿ çàäà÷è
îïðåäåëèòü, ïðàâ ëè êòî-íèáóäü èç áðàòüåâ, è åñëè äà, òî êòî
èìåííî?
Ì.Ðîìàøêà
4.  Èíòåðíåòå ñåé÷àñ ìîæíî íàéòè âèäåîçàïèñè ðàçëè÷íûõ ôèçè÷åñêèõ îïûòîâ, â ÷àñòíîñòè òàêîãî: ãðóïïà ñòóäåíòîâ íàïóñêàåò â áîëüøîå êîðûòî äî êðàåâ êàêîé-òî òÿæåëûé
ãàç èç áàëëîíà, à ïîòîì êëàäåò íà ïîâåðõíîñòü ýòîãî ãàçà
ìîäåëü êîðàáëÿ, ñîãíóòóþ èç àëþìèíèåâîé ôîëüãè, è ýòîò
êîðàáëü ïëàâàåò! Ïîòîì ñòóäåíòû çà÷åðïûâàþò êîâøèêîì
ãàç èç êîðûòà, ïåðåëèâàþò åãî âíóòðü êîðàáëÿ, è îí òîíåò.
Íàéäèòå, êàêîé ìèíèìàëüíîé ïëîòíîñòüþ äîëæåí îáëàäàòü
ýòîò òÿæåëûé ãàç, ÷òîáû â íåì ìîã ïëàâàòü êîðàáëü â ôîðìå
ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà (ñ îòêðûòûì âåðõîì),
ñîãíóòûé èç áûòîâîé àëþìèíèåâîé ôîëüãè òîëùèíîé 25 ìêì.
Ðàçìåðû êîðàáëÿ: äëèíà – 50 ñì, øèðèíà – 20 ñì, âûñîòà
áîðòî⠖ 10 ñì. Ñ÷èòàéòå, ÷òî ëèøíèå êóñêè, îáðàçîâàâøèåñÿ ïðè ñãèáàíèè ïàðàëëåëåïèïåäà èç ëèñòà ôîëüãè, óäàëåíû. Ïëîòíîñòü àëþìèíèÿ 2,7 ã cì 3 , ïëîòíîñòü âîçäóõà
1,3 êã ì 3 .
Ì.Ñåìåíîâ
8 êëàññ
1. Ñïîðòñìåí íà÷àë çàáåã ïî ïðÿìîé è ïåðâûå 10 ì áåæàë
ñî ñêîðîñòüþ 10 ì/ñ, ñëåäóþùèå 10 ì – ñî ñêîðîñòüþ
9 ì/ñ, ñëåäóþùèå 10 ì – ñî ñêîðîñòüþ 8 ì/ñ è òàê äàëåå.
Ñêîëüêî âðåìåíè äëèëñÿ çàáåã äî îñòàíîâêè? Ñ êàêîé
ñðåäíåé ñêîðîñòüþ ñïîðòñìåí ïðîáåæàë ïåðâóþ ïîëîâèíó
äèñòàíöèè?
Ñ.Âàðëàìîâ
2. Ìåòàëëè÷åñêàÿ ïëîñêàÿ ëèíåéêà èìååò ìàëóþ è âñþäó
îäèíàêîâóþ òîëùèíó, îäèíàêîâóþ ïî âñåé äëèíå øèðèíó è
äëèíó 50 ñì. Íà êîíöàõ ëèíåéêè íàõîäÿòñÿ îòìåòêè: 0 ñì è
50 ñì. Ëèíåéêó ñîãíóëè ïîä ïðÿìûì óãëîì. Ìåñòî ñãèáà
ïðèõîäèòñÿ íà îòìåòêó 40 ñì. Çà êàêîå ìåñòî íóæíî ïîäâåñèòü íà òîíêîé íèòè ñîãíóòóþ ëèíåéêó, ò.å. âáëèçè êàêîé
îòìåòêè íóæíî çàêðåïèòü íèòü, ÷òîáû äëèííûé ïðÿìîé
ó÷àñòîê ëèíåéêè â ïîëîæåíèè ðàâíîâåñèÿ áûë ãîðèçîíòàëüíûì?
Ñ.Âàðëàìîâ
3. Îäíàæäû çèìîé ðûáîëîâ ïðîáóðèë ëóíêó âî ëüäó íà
ïîâåðõíîñòè îçåðà è îáíàðóæèë, ÷òî âîäà â ëóíêå íàõîäèòñÿ
íà ãëóáèíå h = 18 ñì, åñëè îòñ÷èòûâàòü îò ïîâåðõíîñòè
ëüäà íà îçåðå. Ðàññòîÿíèå îò ëóíêè äî áëèæàéøåé òî÷êè
áåðåãà îçåðà âî ìíîãî ðàç áîëüøå, ÷åì òîëùèíà ñëîÿ ëüäà è
ðàäèóñ ëóíêè. Âû÷èñëèòå òîëùèíó ñëîÿ ëüäà, ñ÷èòàÿ åå
îäèíàêîâîé íà âñåé ïîâåðõíîñòè îçåðà. Ïëîòíîñòü âîäû
ρâ = 1000 êã ì 3 , ïëîòíîñòü ëüäà ρë = 900 êã ì 3 . Ìàññîé
ñíåãà, ðûáîëîâà è âñåõ äðóãèõ îáúåêòîâ íà ïîâåðõíîñòè
îçåðà ïðåíåáðå÷ü.
Ì.Ðîìàøêà
4. Â Ìîñêâå ïîñòðîèëè 30 ñíåãîïëàâèëüíûõ ïóíêòîâ, â
êîòîðûõ ñîáðàííûé ñ óëèö ñíåã ðàñïëàâëÿåòñÿ è â æèäêîì
âèäå îòïðàâëÿåòñÿ íà î÷èñòêó. Äëÿ ïëàâëåíèÿ ñíåãà èñïîëüçóåòñÿ òåïëàÿ âîäà èç êàíàëèçàöèè, ïðè÷åì ñåé÷àñ ðåàëèçóåòñÿ òîëüêî 1% îò ñáðàñûâàåìîãî â êàíàëèçàöèþ êîëè÷åñòâà
òåïëîòû. Îöåíèòå, ñêîëüêî ïðîöåíòîâ îò ñáðàñûâàåìîé â
êàíàëèçàöèþ òåïëîé âîäû íàäî èçðàñõîäîâàòü, ÷òîáû ïåðåòîïèòü âåñü âûïàäàþùèé íà óëèöû è ïëîùàäè ñíåã. Èçâåñòíî, ÷òî íà îäíîãî ìîñêâè÷à â ñðåäíåì ïðèõîäèòñÿ 10 ì2
ïëîùàäè óëèö, òðîòóàðîâ è ïëîùàäåé. Êàæäûé æèòåëü
ñëèâàåò â êàíàëèçàöèþ â ñðåäíåì 100 ë âîäû â ñóòêè, ïðè
ýòîì ñðåäíÿÿ òåìïåðàòóðà âîäû íà âõîäå â ñëèâíîå îòâåðñòèå
ðàâíà +30 °C . Ñðåäíÿÿ ìåñÿ÷íàÿ íîðìà îñàäêîâ çèìîé äëÿ
Ìîñêâû ñîñòàâëÿåò 50 ìì (â ïåðåñ÷åòå íà âîäó). Óäåëüíàÿ
òåïëîòà ïëàâëåíèÿ ñíåãà, êàê è ëüäà, ðàâíà 3,3 ⋅ 105 Äæ êã ,
ïëîòíîñòü âîäû 1000 êã ì 3 , óäåëüíàÿ òåïëîåìêîñòü âîäû
4200 Äæ (êã ⋅ °Ñ ) .
Ñ.Âàðëàìîâ
9 êëàññ
1. Íàõîäÿñü íà êðàþ ãëóáîêîãî îáðûâà, òóðèñò áðîñàåò
êàìåíü âåðòèêàëüíî ââåðõ. Ïðè ïîñëåäóþùåì äâèæåíèè
âíèç êàìåíü ïðîõîäèò òî÷êó áðîñàíèÿ è ïàäàåò â îáðûâ.
Èçâåñòíî, ÷òî çà ïðîìåæóòîê âðåìåíè t = 1 ñ, îòñ÷èòûâàåìûé îò ìîìåíòà áðîñêà, êàìåíü ïðîøåë ïóòü s = 2,9 ì.
Îïðåäåëèòå íà÷àëüíóþ ñêîðîñòü êàìíÿ, ñîîáùåííóþ åìó
ïðè áðîñêå. Óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ ñ÷èòàòü ðàâíûì
g = 10 ì ñ2 . Ñîïðîòèâëåíèåì âîçäóõà ïðåíåáðå÷ü.
Ì.Ðîìàøêà
2.  öèëèíäðè÷åñêîì ñîñóäå âûñîòîé h = 20 ñì íàõîäèòñÿ ñìåñü âîäû è ìåëêèõ êóñî÷êîâ ëüäà. Íà ïîâåðõíîñòè
ïëàâàåò êðóãëàÿ ñòàëüíàÿ êðûøêà òîëùèíîé d = 2 ìì,
íèæíèé êðàé êîòîðîé íàõîäèòñÿ òî÷íî íà ïîâåðõíîñòè âîäû.
Íàéäèòå ñðåäíþþ ïëîòíîñòü ñìåñè âîäû è ëüäà. Ïëîòíîñòü
âîäû ρâ = 1000 êã ì 3 , ïëîòíîñòü ëüäà ρë = 900 êã ì 3 , ïëîòíîñòü ñòàëè ρc = 7800 êã ì3 . Òðåíèåì ëüäà î ñòåíêè ñîñóäà
ïðåíåáðå÷ü.
Ì.Ðîìàøêà
3. Ñõåìà, ñîñòîÿùàÿ èç òðåõ ðåçèñòîðîâ è òðåõ êëåìì,
ñîåäèíåííûõ ïî ñõåìå «òðåóãîëüíèê» (ðèñ.1), èññëåäóåòñÿ
ñëåäóþùèì îáðàçîì: äâå êëåììû çàìûêàþòñÿ ìåæäó ñîáîé
è èçìåðÿåòñÿ ñîïðîòèâëåíèå ìåæäó äâóìÿ çàìêíóòûìè êëåììàìè è òðåòüåé (ñâîáîäíîé).  ðåçóëüòàòå èçìåðåíèé ïîëó÷èëèñü ñîïðîòèâëåíèÿ Ra , Rb , Rc . Íàéäèòå íîìèíàëû
ðåçèñòîðîâ R1 , R2 , R3 , èç
êîòîðûõ ñîñòîèò ñõåìà.
Ä.Õàðàáàäçå
10 êëàññ
1. Íà ãëàäêîé ãîðèçîíòàëüíîé ïîâåðõíîñòè íàõîäèòñÿ æåñòêèé êëèí ìàññîé M, ïðè÷åì åãî ãëàäêàÿ
íàêëîííàÿ ïîâåðõíîñòü ñîñòàâëÿåò ñ ãîðèçîíòîì óãîë
α . Íà ýòîò êëèí íàëåòàåò
Ðèñ. 1
æåñòêèé øàðèê ìàññîé m, ó
êîòîðîãî çà ìãíîâåíèå äî ñòîëêíîâåíèÿ ñ íàêëîííîé ïîâåðõíîñòüþ êëèíà ñêîðîñòü áûëà íàïðàâëåíà ãîðèçîíòàëüíî.
Ïðîèñõîäèò àáñîëþòíî óïðóãèé óäàð. Ïðè êàêîì îòíîøåíèè
ìàññ m/M øàðèê ïîñëå óäàðà áóäåò äâèãàòüñÿ â âåðòèêàëüíîì íàïðàâëåíèè?
Ñ.Âàðëàìîâ
2. Øêîëüíèê Êîëÿ íàëèë â òàðåëêó õîëîäíóþ îêðîøêó,
èìåþùóþ òåìïåðàòóðó to = 10 °C . Ìàññà îêðîøêè
m = 300 ã, à åå óäåëüíàÿ òåïëîåìêîñòü ðàâíà óäåëüíîé
òåïëîåìêîñòè âîäû câ = 4200 Äæ (êã ⋅ °Ñ ) . Êîëÿ äîáàâèë â
îêðîøêó ãîðÿ÷óþ êàðòîøêó, êîòîðàÿ èìåëà òåìïåðàòóðó
tê = 80 °C . Ïîëíàÿ òåïëîåìêîñòü äîáàâëåííîé êàðòîøêè
ðàâíà C = 450 Äæ °C . Ïîñëå óñòàíîâëåíèÿ òåïëîâîãî ðàâíîâåñèÿ òåìïåðàòóðà êàðòîøêè è îêðîøêè îêàçàëàñü ðàâíîé
t = 22 °C . Â êàêóþ ñòîðîíó áûëî ïåðåäàíî áîëüøå òåïëà ïðè
òåïëîîáìåíå ñ îêðóæàþùåé ñðåäîé: îò ñîäåðæèìîãî òàðåëêè
â ñðåäó èëè íàîáîðîò è íà
ñêîëüêî áîëüøå?
Ì.Ðîìàøêà
3. Èç òðåõ îäèíàêîâûõ
áàòàðååê ñîáðàëè öåïü,
ñõåìà êîòîðîé èçîáðàæåíà íà ðèñóíêå 2. ×òî ïîêà- Ðèñ. 2
æåò âîëüòìåòð, ïîäêëþ÷åííûé ê âûâîäàì 1 è 2? ÝÄÑ êàæäîé èç áàòàðååê ðàâíà - .
Î.Øâåäîâ
11 êëàññ
1. Ïîåçä, ïîäõîäÿùèé
ê ñòàíöèè, äâèæåòñÿ ðàâíîçàìåäëåííî ñ óñêîðåíèåì
a = 0,2 ì ñ2
âïëîòü äî ìîìåíòà îñòàíîâêè. Íà àáñîëþòíî
ãëàäêîì ãîðèçîíòàëüíîì ñòîëå âíóòðè âàãîíà ïîåçäà íàõîäèòñÿ ãðó- Ðèñ. 3
çèê, ñîåäèíåííûé ïðóæèíîé ñ íåïîäâèæíîé îïîðîé (ðèñ.3).
Ïîêà ïîåçä äâèæåòñÿ, ãðóçèê íåïîäâèæåí îòíîñèòåëüíî
âàãîíà. Â ìîìåíò, êîãäà
ïîåçä îñòàíàâëèâàåòñÿ,
ãðóçèê ïðèõîäèò â äâèæåíèå è íà÷èíàåò êîëåáàòüñÿ ñ ïåðèîäîì T =
= 1 c. Íàéäèòå àìïëèòóäó êîëåáàíèé ãðóçèêà.
Ì.Ðîìàøêà
2. Ñ îäíèì ìîëåì îäíîàòîìíîãî èäåàëüíîãî
ãàçà ñîâåðøàþò öèêëè÷åñêèé ïðîöåññ 1–2–3–
Ðèñ. 4
ÎËÈÌÏÈÀÄÛ
4–1, êàê ïîêàçàíî íà ðèñóíêå 4 â êîîðäèíàòàõ ρ–T (ïëîòíîñòü–òåìïåðàòóðà). Ó÷àñòîê 2–3 – ãèïåðáîëà. Òåìïåðàòóðû
â òî÷êàõ 1, 2 è 3 ðàâíû T1 = 300 K, T2 = 500 K è
T3 = 800 K ñîîòâåòñòâåííî. Íà ó÷àñòêå 4–1 ãàç îòäàåò
õîëîäèëüíèêó êîëè÷åñòâî òåïëîòû Q41 ≈ 1172 Äæ . Íàéäèòå
ÊÏÄ öèêëà.
Å.ßêóòà
3. Ó÷àñòîê AB ýëåêòðè÷åñêîé öåïè ñîñòîèò èç ðåçèñòîðîâ
ñ ñîïðîòèâëåíèÿìè R1 = R0 , R2 = 9 R0 , R3 = 9 R0 , R4 = R0 ,
ãäå R0 = 1 êÎì, è èäåàëüíîãî äèîäà (ðèñ.5).
Èäåàëüíûé äèîä ïðîïóñêàåò òîê áåç ñîïðîòèâëåíèÿ â íàïðàâëåíèè
îò C ê D è ñîâñåì íå
ïðîïóñêàåò òîê â îáðàòíîì íàïðàâëåíèè. Ó÷àñòîê AB ïîäêëþ÷àþò ê
Ðèñ. 5
èñòî÷íèêó ïåðåìåííîãî
ñèíóñîèäàëüíîãî íàïðÿæåíèÿ u (t ) = Um sin ωt , àìïëèòóäà
êîòîðîãî Um = 300 Â. Êàêàÿ òåïëîâàÿ ìîùíîñòü áóäåò
âûäåëÿòüñÿ íà ýòîì ó÷àñòêå?
Ì.Ðîìàøêà
4. Áóñèíêà, íàíèçàííàÿ íà íåïîäâèæíûé ñòåðæåíü, îáðàçóþùèé óãîë α ñ ãîðèçîíòîì, èìååò ìàññó m è çàðÿä q
(ðèñ.6). Áóñèíêà ìîæåò
ñêîëüçèòü âäîëü ñòåðæíÿ
ñ êîýôôèöèåíòîì òðåíèÿ
µ è íà÷èíàåò äâèæåíèå
èç ñîñòîÿíèÿ ïîêîÿ, ïðè÷åì µ < tg α . Ñèñòåìà íàõîäèòñÿ â îäíîðîäíîì ìàãíèòíîì ïîëå ñ èíäóêöèåé
Ðèñ. 6
B, ëèíèè êîòîðîé ãîðèçîíòàëüíû (ïåðïåíäèêóëÿðíû ïëîñêîñòè ðèñóíêà è íàïðàâëåíû çà åãî ïëîñêîñòü). Êàêóþ ìàêñèìàëüíóþ ñêîðîñòü è
êàêîå ìàêñèìàëüíîå óñêîðåíèå áóäåò èìåòü áóñèíêà ïðè
äâèæåíèè? Ñòåðæåíü íå ïðîâîäèò òîê. Ðàññìîòðèòå äâà
ñëó÷àÿ: q > 0 è q < 0.
Ì.Ðîìàøêà
Âòîðîé òåîðåòè÷åñêèé òóð
8 êëàññ
1. Äåðåâÿííàÿ ïàëî÷êà AB äëèíîé l = 1 ì è ìàññîé
M = 0,25 êã ïîäâåøåíà â òî÷êå O, êîòîðàÿ íàõîäèòñÿ íà
ðàññòîÿíèè îäíîé òðåòè äëèíû ïàëî÷êè îò òî÷êè À ( ðèñ.7).
Ê ïðàâîìó êîíöó ïàëî÷êè â òî÷êå  ïîäâåøåí ìåäíûé
áðóñîê ìàññîé m1 = 1 êã, ïðè÷åì ïàëî÷êà íà îäíó òðåòü
ñâîåé äëèíû, ñ÷èòàÿ îò
òî÷êè Â, ïîãðóæåíà â
ñîñóä ñ âîäîé. Ê ëåâîìó êîíöó ïàëî÷êè â
òî÷êå À ïîäâåøåí äðóãîé ãðóç, ìàññîé m2 .
×åìó ðàâíà ìàññà ýòîãî âòîðîãî ãðóçà, åñëè
ñèñòåìà íàõîäèòñÿ â
ðàâíîâåñèè? Ïëîòíîñòü
âîäû ρâ = 1000 êã ì 3 ,
ïëîòíîñòü ìåäè ρì =
= 8900 êã ì 3 , ïëîòíîñòü äåðåâà ρä =
= 400 êã ì 3 .
Ðèñ. 7
Å.ßêóòà
2. Â ñîñóä, ãäå íàõîäèëîñü V = 4 ë âîäû ïðè òåìïåðàòóðå
t = 20 °C , îïóñêàþò ñèëüíî íàãðåòóþ ñòàëüíóþ äåòàëü ìàññîé m = 2,4 êã. Ïðè ýòîì ÷àñòü âîäû áûñòðî èñïàðÿåòñÿ, òàê
÷òî òåìïåðàòóðà îñòàâøåéñÿ âîäû ïðàêòè÷åñêè íå óñïåâàåò
èçìåíèòüñÿ. Ïîñëå óñòàíîâëåíèÿ òåïëîâîãî ðàâíîâåñèÿ òåìïåðàòóðà âîäû â ñîñóäå îêàçûâàåòñÿ ðàâíîé tp = 25 °C .
Íàéäèòå íà÷àëüíóþ òåìïåðàòóðó ñòàëüíîé äåòàëè. Óäåëüíàÿ
òåïëîåìêîñòü âîäû câ = 4200 Äæ (êã ⋅ °Ñ ) , óäåëüíàÿ òåïëîåìêîñòü ñòàëè cñ = 460 Äæ (êã ⋅ °Ñ ) , óäåëüíàÿ òåïëîòà ïàðîîáðàçîâàíèÿ âîäû r = 2,2 ⋅ 106 Äæ êã , ïëîòíîñòü âîäû
ρ = 1000 êã ì 3 . Âñåìè ïîòåðÿìè òåïëà èç ñîñóäà, êðîìå
èñïàðåíèÿ, ïðåíåáðå÷ü.
Ì.Ðîìàøêà
3. Çèìîé íà âõîäå â ñèñòåìó îòîïëåíèÿ øêîëüíîãî çäàíèÿ
âîäà èìååò òåìïåðàòóðó t1 = +60 °C , à íà âûõîäå èç ýòîé
ñèñòåìû âîäà èìååò òåìïåðàòóðó t2 = +40 °C . Òåïëîâûå
ïîòåðè çäàíèÿ øêîëû âñëåäñòâèå òåïëîïðîâîäíîñòè ñòåí,
èçëó÷åíèÿ è ñêâîçíÿêîâ ñîñòàâëÿþò N = 106 Âò . Òðóáû,
ïîäâîäÿùèå è îòâîäÿùèå âîäó, èìåþò âíóòðåííèé äèàìåòð
D = 100 ìì. Ñ êàêîé ñðåäíåé ïî ñå÷åíèþ òðóá ñêîðîñòüþ
òå÷åò â íèõ âîäà? Óäåëüíàÿ òåïëîåìêîñòü âîäû
c = 4200 Äæ (êã ⋅ °Ñ ) , ïëîòíîñòü âîäû ρ = 1000 êã ì 3 .
Ñ.Âàðëàìîâ
9 êëàññ
1. Ñàìîëåò ÒÓ-160 â áåçâåòðåííóþ íà âñåé òåððèòîðèè
çåìëè ïîãîäó ñòàðòîâàë ñ àýðîäðîìà â Ñàíêò-Ïåòåðáóðãå. Â
òå÷åíèå âñåãî âðåìåíè 27-÷àñîâîãî ïîëåòà ñàìîëåò íàõîäèëñÿ
íà îäíîé è òîé æå âûñîòå è äåðæàë îäíó è òó æå ïî âåëè÷èíå
ñêîðîñòü 1000 êì/÷, ñäåëàâ íåñêîëüêî äîçàïðàâîê â âîçäóõå. Ñíà÷àëà îí 6 ÷ ëåòåë íà þã, çàòåì 10 ÷ íà âîñòîê, ïîòîì
6 ÷ íà ñåâåð, à â ïîñëåäíèå 5 ÷ ïîëåòà åãî ñêîðîñòü áûëà
íàïðàâëåíà íà çàïàä. Ñêîëüêî åùå âðåìåíè ïîòðåáóåòñÿ
ñàìîëåòó, ÷òîáû ñ òàêîé æå ïî âåëè÷èíå ñêîðîñòüþ äîëåòåòü
äî ðîäíîãî àýðîäðîìà ïî êðàò÷àéøåìó ïóòè? Ñàíêò-Ïåòåðáóðã íàõîäèòñÿ íà øèðîòå 60° , à ðàäèóñ Çåìëè ðàâåí
ïðèìåðíî 6400 êì.
Ñ.Âàðëàìîâ
2. Ïîñëå çàâåðøåíèÿ ñòðîèòåëüñòâà ïèðàìèäû Õåîïñà âñå
åå ðåáðà, ñîãëàñíî ëåãåíäå, èìåëè îäíó è òó æå äëèíó
A ≈ 230 ì . Â îñíîâàíèè ïèðàìèäû áûë êâàäðàò ñî ñòîðîíîé
A. Ïî ïðåäàíèÿì, âî âðåìÿ Âåëèêîãî ïîòîïà óðîâåíü âîäû
ñîâïàë ñ âåðøèíîé ïèðàìèäû. Ñ êàêîé ñèëîé äàâèëà âîäà íà
ñåâåðíóþ áîêîâóþ ãðàíü ïèðàìèäû? Ïëîòíîñòü âîäû
ρ = 1000 êã ì 3 , óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ g = 10 ì ñ2 .
Çàìå÷àíèå: îáúåì ïèðàìèäû âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå
1
V = SH , ãäå S – ïëîùàäü îñíîâàíèÿ ïèðàìèäû, Í – åå
3
âûñîòà.
Ñ.Âàðëàìîâ
3. Öèëèíäðè÷åñêèé êàëîðèìåòð ðàäèóñîì R = 10 ñì è
âûñîòîé h = 30 ñì íà îäíó òðåòü ñâîåãî îáúåìà çàïîëíåí
ëüäîì ïðè òåìïåðàòóðå t0 = −10 °C .  êàëîðèìåòð ÷åðåç
îòâåðñòèå ñâåðõó ìåäëåííî íàëèâàþò âîäó, èìåþùóþ òåìïåðàòóðó t = 30 °C . Êàêîé ìàêñèìàëüíûé îáúåì âîäû ìîæíî
íàëèòü â êàëîðèìåòð? Óäåëüíàÿ òåïëîåìêîñòü âîäû
câ = 4200 Äæ (êã ⋅ °Ñ ) , óäåëüíàÿ òåïëîåìêîñòü ëüäà
cë = 2100 Äæ (êã ⋅ °Ñ ) , óäåëüíàÿ òåïëîòà ïëàâëåíèÿ ëüäà
3
λ = 330 êÄæ/êã, ïëîòíîñòü âîäû ρâ = 1000 êã ì , ïëîò3
íîñòü ëüäà ρë = 900 êã ì . Òåïëîåìêîñòüþ êàëîðèìåòðà è
ïîòåðÿìè òåïëà ïðåíåáðå÷ü.
Ì.Ðîìàøêà
4. Ñõåìà ñîñòîèò èç ÷åòûðåõ êëåìì è ÷åòûðåõ ðàçëè÷íûõ ðåçèñòîðîâ, êîòîðûå
èìåþò îäèí îáùèé âûâîä, à
äðóãèì âûâîäîì ñîåäèíåíû
ñ ñîîòâåòñòâóþùåé êëåììîé
(ðèñ.8). Èçâåñòíû ñîïðîòèâëåíèÿ ìåæäó êëåììàìè 1–2,
2–3 è 3–4, îíè ðàâíû R12 ,
R23 è R34 ñîîòâåòñòâåííî.
Ñîïðîòèâëåíèå ìåæäó êàêèìè êëåììàìè åùå íåîáõîäèìî èçìåðèòü, ÷òîáû íàéòè
Ðèñ. 8
íîìèíàëû âñåõ ðåçèñòîðîâ
R1 , R2 , R3 è R4 ? ×åìó îíè áóäóò ðàâíû?
Ä.Õàðàáàäçå
10 êëàññ
1. Íà ãîðèçîíòàëüíîì ñòîëå íàõîäÿòñÿ äâà îäèíàêîâûõ
ãðóçèêà, ñâÿçàííûå íåâåñîìîé è íåðàñòÿæèìîé íèòüþ, îáðàçóþùåé ðàâíîáåäðåííûé
òðåóãîëüíèê
AOB
(ðèñ.9). Óãëû ïðè îñíîâàíèÿõ òðåóãîëüíèêà ðàâíû α .  òî÷êå O ê ýòîé
íèòè ïðèâÿçàíà äðóãàÿ
íèòü, êîòîðóþ óäåðæèâàþò âåðòèêàëüíî ñëåãêà
íàòÿíóòîé. Ñ êàêèì ìèÐèñ. 9
íèìàëüíûì óñêîðåíèåì
íóæíî íà÷àòü ïîäíèìàòü
òî÷êó O, ÷òîáû ãðóçû îòîðâàëèñü îò ñòîëà â ìîìåíò íà÷àëà
ñâîåãî äâèæåíèÿ?
Ì.Ðîìàøêà
2. Â ñèñòåìå, èçîáðàæåííîé íà ðèñóíêå 10, âñå áëîêè
íåâåñîìûå è âðàùàþòñÿ áåç òðåíèÿ, âñå íèòè íåâåñîìûå è
íåðàñòÿæèìûå (èõ æåñòêîñòü âåëèêà ïî ñðàâíåíèþ ñ æåñòêîñòüþ ïðóæèíû), ïðóæèíà òàêæå íåâåñîìà. Ñèñòåìà íàõîäèòñÿ â ïîêîå. Ïðè êàêîé ìàññå ãðóçà M
ãðóç 1 ñðàçó ïîñëå ïåðåæèãàíèÿ íèòè
â òî÷êå À áóäåò èìåòü óñêîðåíèå
áîëüøå ÷åì g?
Å.Âûðîäîâ
3. Ñ îäíèì ìîëåì îäíîàòîìíîãî
èäåàëüíîãî ãàçà ñîâåðøàþò öèêëè÷åñêèé ïðîöåññ 1–2–3–4–1, êàê ïîêàçàíî íà ðèñóíêå 11 â êîîðäèíàòàõ
p–V (äàâëåíèå–îáúåì)). Èçâåñòíî,
÷òî òåìïåðàòóðû ãàçà â òî÷êàõ 1 è 3
ðàâíû T1 = 300 K è T3 = 1500 K
ñîîòâåòñòâåííî, à îòíîøåíèå îáúåìîâ ãàçà â òî÷êàõ 1 è 2 ðàâíî
V2 V1 = 2 . ×åìó ðàâíà ðàáîòà, ñîâåðøàåìàÿ ãàçîì çà öèêë?
Å.ßêóòà
4. Â N-ïîëþñíèêå (ñõåìà ñ N êëåììàìè) êàæäàÿ êëåììà
ñîåäèíåíà ñ êàæäîé äðóãîé ïðè ïîìîùè ðåçèñòîðà ñîïðîòèâëåíèåì R – ñõåìà òèïà «ìíîãîóãîëüíèê». Èçâåñòíî, ÷òî ýòà
ñõåìà ýêâèâàëåíòíà ñõåìå òèïà «çâåçäà» ñ N êëåììàìè, â
êîòîðîé N ðåçèñòîðîâ íîìèíàëîì r èìåþò â öåíòðå îáùèé
êîíòàêò, à äðóãèì êîíòàêòîì ñîåäèíåíû ñ ñîîòâåòñòâóþùåé
êëåììîé (êàæäûé ðåçèñòîð ñîåäèíåí ñ îäíîé êëåììîé). Êàê
ñâÿçàíû äðóã ñ äðóãîì âåëè÷èíû R è r?
Ä.Õàðàáàäçå
11 êëàññ
1. Ðàáî÷èì òåëîì òåïëîâîé ìàøèíû ñëóæèò íåêîòîðîå
êîëè÷åñòâî âîäû. Öèêë, ïî êîòîðîìó ðàáîòàåò ìàøèíà,
ïîêàçàí íà ðèñóíêå 12 â p–T êîîðäèíàòàõ, ãäå ñèíåé ïóíêòèðíîé ëèíèåé èçîáðàæåíà çàâèñèìîñòü äàâëåíèÿ íàñûùåííûõ ïàðîâ âîäû îò òåìïåðàòóðû. Öèêë ñîñòîèò èç èçîáàðè÷åñêîãî (1–2–3),
èçîõîðè÷åñêîãî (3–4) è
èçîòåðìè÷åñêîãî (4–1)
ó÷àñòêîâ. Íàéäèòå ÊÏÄ
ýòîãî öèêëà, ñ÷èòàÿ âîäó
ïðàêòè÷åñêè íåñæèìàåìîé æèäêîñòüþ.
Ðèñ. 12
Íàïîìèíàíèÿ:
p1 = 101,3 êÏà – íîðìàëüíîå àòìîñôåðíîå äàâëåíèå, óäåëüíàÿ òåïëîòà ïàðîîáðàçîâàíèÿ âîäû (ïðè 100 °C )
L ≈ 2,26 ⋅ 106 Äæ êã , ìîëÿðíàÿ ìàññà âîäû Ì = 18 ã/ìîëü,
óäåëüíàÿ òåïëîåìêîñòü âîäû c ≈ 4,19 ⋅ 103 Äæ (êã ⋅ Ê ) , óíèâåðñàëüíàÿ ãàçîâàÿ ïîñòîÿííàÿ R ≈ 8,31 Äæ (ìîëü ⋅ Ê ) , òåïëîåìêîñòü îäíîãî ìîëÿ âîäÿíîãî ïàðà ïðè ïîñòîÿííîì äàâëåíèè ðàâíà 4R.
Å.Âûðîäîâ
2. Òîíêèé æåñòêèé íåïðîâîäÿùèé ñòåðæåíü äëèíîé L
íåñåò íà ñåáå ýëåêòðè÷åñêèé çàðÿä Q, êîòîðûé ðàâíîìåðíî
ðàñïðåäåëåí ïî äëèíå ñòåðæíÿ. Ìàëåíüêèé øàðèê èìååò
ýëåêòðè÷åñêèé çàðÿä q è ïðèêðåïëåí ê îäíîìó èç êîíöîâ
ñòåðæíÿ òîíêîé íåïðîâîäÿùåé è íåçàðÿæåííîé íèòüþ äëèíîé R. Êàêîâà ñèëà íàòÿæåíèÿ íèòè, åñëè ñèñòåìà íàõîäèòñÿ
â ðàâíîâåñèè? Ñ÷èòàòü, ÷òî Q/q > 0. Ñèëó òÿæåñòè íå
ó÷èòûâàòü.
Ñ.Âàðëàìîâ
3. Íà òîíêîé íåïðîâîäÿùåé íèòè äëèíîé l ïîäâåøåí
ìàëåíüêèé øàðèê ìàññîé m, êîòîðûé çàðÿæåí çàðÿäîì +q.
Ñëåâà ê øàðèêó ïðèêðåïëåíà
íåïðîâîäÿùàÿ ïðóæèíêà æåñòêîñòüþ k, ðàñïîëîæåííàÿ ãîðèçîíòàëüíî. Øàðèê íàõîäèòñÿ â îäíîðîäíîì
ýëåêòðè÷åñ
êîì ïîëå E , íàïðàâëåííîì
òàê, êàê ïîêàçàíî íà ðèñóíêå
13. Â ñîñòîÿíèè ðàâíîâåñèÿ
íèòü ñ øàðèêîì âèñèò âåðòèêàëüíî. Íàéäèòå ïåðèîä ìàëûõ êîëåáàíèé øàðèêà â ïëîñêîñòè ðèñóíêà.
Å.ßêóòà Ðèñ. 13
Ïóáëèêàöèþ ïîäãîòîâèëè
Ì.Ñåìåíîâ, Î.Øâåäîâ, À.ßêóòà
Ðèñ. 10
Ðèñ. 11