Учебно-методическая разработка по математике «Знакомство с пирамидой»

Учебно-методическая разработка по математике
«Знакомство с пирамидой»
Семенова Надежда Игоревна, кандидат технических наук,
доцент кафедры высшей математики СПбГЛТУ,
старший методист ГБОУ СОШ №16, Санкт-Петербург
Корни новой методической системы российского образования,
основанной на развивающем обучении и системно-деятельностном подходе,
уходят в 30-е годы прошлого столетия. Известный отечественный
исследователь Л.С.Выготский разработал и обосновал инновационную модель
обучения, которое опережает развитие. Во второй половине 20-го века
Д.Б.Эльконин и В.В.Давыдов дополнили формулу Л.С.Выготского (развитие →
обучение) третьим звеном (развитие → деятельность → обучение). В 1980-х гг.
профессор А.З.Рахимов серьезно продвинулся в решении одной из основных
проблем обучения, связанной, с одной стороны, с единством окружающего
мира, имеющего системную организацию, а с другой стороны – с предметной
разобщенностью при его изучении. В конце прошлого столетия педагоги
вплотную подошли к вопросу межпредметной интеграции.
Интеграция не только глубоко перестраивает содержание образования, но
и предоставляет простор для кардинального изменения методического
обеспечения, создания новых обучающих технологий. Интегрированные уроки
способствуют формированию у школьников универсальных учебных действий,
создают благоприятную среду для совместной продуктивной деятельности
учителя и ученика.
Чтобы система развивающего обучения была эффективной, она должна
учитывать понятие «зоны ближайшего развития», личную значимость
содержания обучения для учащегося, разведение уровня подачи учебного
материала и уровня воспроизведения его учащимся, а также возможность
одновременно посмотреть на изучаемые объекты и явления из «окон» разных
учебных предметов. Именно такую возможность предоставляют задания на
медпредметной основе.
Планируемые предметные результаты изучения курса математики в
рамках образовательной системы «Школа 2100» подразумевают формирование
умений выделять из множества геометрических фигур плоские фигуры и
объёмные тела; узнавать и называть их при изменении их положения в
пространстве, а также знать их основные свойства. Кроме того, дети должны
научиться выполнять построения на клетчатой бумаге с помощью карандаша,
линейки и циркуля.
Следует учесть, что свойства всех изучаемых фигур и тел в начальной
школе выявляются экспериментальным путём в ходе выполнения
соответствующих упражнений. В связи с этим, большую значимость
приобретают практические работы и моделирование из бумаги, палочек,
пластилина. При исследовании новой геометрической фигуры или тела важно
учить детей различать его существенные и несущественные признаки. Большое
внимание при этом следует уделить использованию приёма сопоставления и
противопоставления геометрических фигур.
Данная учебно-методическая разработка появилась как результат
дополнительных занятий по геометрии, проводимых в дополнение к основной
программе для развития математической культуры учащихся начальной школы
и формирования всех вышеуказанных умений.
I. Работа с текстом.
Этот блок материала предназначен для ознакомления учащихся с
понятием «пирамида» с позиции истории. Данную работу можно выполнить на
занятии или предложить детям сделать ее самостоятельно дома. В первом
случае работу с текстом неплохо дополнить презентацией с фотографиями, а во
втором – учащихся можно попросить найти дополнительные интересные
сведения о египетских пирамидах. Совсем замечательно, если первое
знакомство с пирамидами у ребят произойдет на экскурсии по Древнему
Египту, например, в залах Эрмитажа.
Прочитай текст.
Первое чудо света.
Более чем на шесть тысяч километров
протянулась по Африке могучая река Нил. Она
надвое разрезает выжженную солнцем пустыню.
Вдоль реки тянется узкая полоса очень
плодородной земли. Каждый год в середине лета
Нил разливается. Когда вода спадает, на полях
остается слой ила, который служит отличным
удобрением. Вот почему в долине Нила с
незапамятных
времен
люди
занимались
земледелием. Пять с лишним тысяч лет назад там
образовалось одно из первых на Земле развитых
государств – Египет.
В древности чудом света считались все
египетские пирамиды. Но когда правитель Египта –
фараон Хеопс в третьем веке до нашей эры возвёл
свою гигантскую усыпальницу, она затмила все
прочие!
Высота пирамиды Хеопса (около 150 метров) такова, что внутри неё
свободно мог бы поместиться любой европейский собор. Эта гигантская
пирамида сложена из блоков известняка весом две с половиной, а то и три
тонны каждый. Блоки так плотно пригнаны друг к другу, что между ними не
просунешь и иголку.
Древние египтяне были замечательными
математиками и инженерами. Даже сейчас поднять на
такую высоту и расставить вплотную друг к другу
тысячи многотонных каменных блоков было бы не
простым делом. А ведь у египтян не было подъемных
кранов.
Все пирамиды имеют совершенно одинаковую правильную форму, в
основании у них лежит квадрат. И стоят они не как попало: одна сторона
пирамиды всегда смотрит точно на восток, другие – на север, юг и запад.
Хотя облицованная белоснежным отполированным известняком
пирамида сияла в лучах солнца и казалась единым монолитом, внутри неё была
устроена разветвлённая сеть ходов, одни из которых вели к погребальной
камере фараона, а другие, обманные, должны были завести непрошенных
гостей в ловушки, где они найдут свою гибель. Фараон таким образом пытался
обезопасить место своего упокоения от грядущих грабителей. Естественно, что
все входы в пирамиду были тщательным образом замурованы.
Ответь на вопросы:
1. Назови страну, в которой строились пирамиды. ____________________
2. Какая река протекает по территории этой страны? __________________
3. Кто такие фараоны? ____________________________________________
4. Для чего фараоны строили пирамиды? ____________________________
5. Какова высота пирамиды Хеопса? _______________________________
6. Из чего построены пирамиды? __________________________________
7. Сколько весит один блок? ______________________________________
8. Чем замечательны пирамиды? ___________________________________
Раскрась картинку.
II. Занятие 1.
Целью данного занятия является ознакомление учащихся с объектом
«пирамида» уже с точки зрения геометрии. Основными задачами занятия будут
моделирование объекта из бумаги и изучение его элементов.
Дидактический материал, необходимый для занятия, должен содержать
все изучаемые на занятии рисунки, чертежи и таблицы.
Свободное использование латинского алфавита при наименовании
геометрических объектов обусловлено преподаванием иностранного языка со
второго класса начальной школы.
Посмотрите на рисунок 1.
Какой объект лишний в первой
строчке? Зачеркните его. Во второй?
Почему? (Отличаем плоские фигуры
от объемных тел.)
Рис.1
Посмотрите на рисунок 2 и скажите,
что
на
нем
изображено.
(Это
четырехугольник,
противоположные
вершины которого соединены отрезками.)
Назовем его и подпишем под рисунком –
четырехугольник KLMN.
Что в таком случае изображено на рисунке 3?
Рис.2
Рис.3
(Пирамида) Назовем ее XYYZ и подпишем это под рисунком.
Как вы догадались, что на одном чертеже плоская фигура, а на другом –
объемное тело? (Одна из линий пунктирная.) Действительно, в геометрии для
удобства договорились обозначать линии, скрытые от взора наблюдателя,
пунктиром.
Наверное, уже все догадались, чем мы будем заниматься? (Исследовать
пирамиду)
На прошлом занятии вы изучали историю пирамид. Давайте попробуем
собрать вместе все известные нам сведения. (Чтобы провести эту часть занятия
более интересно и вовлечь в процесс обсуждения больше учащихся, можно
предложить соревнование: отвечают все подряд, но с условием, что они говорят
только по одному предложению и не повторяют уже сказанных фактов. Кто не
может ничего сказать, тот пропускает свою очередь. Побеждает тот, кто скажет
самую последнюю значимую фразу.)
Для геометрии важным является тот факт, что египтяне пирамидами
называли усыпальницы фараонов, а теперь так называется любое объемное тело
такого же вида. Мы сейчас с вами соберем из бумаги модель пирамиды, но не
совсем такой, как строили египтяне – у египетских пирамид в основании
находится квадрат – наша пирамида будет состоять из равносторонних
треугольников и называться тетраэдр.
Слово «тетраэдр» происходит от греческих слов «тетра» – четыре и
«эдра» – твердое основание, грань. Таким образом, мы с вами будем собирать
четырехгранник.
Рис.4
Вырежьте из листа две полоски (см. рис.4).
Согните и разогните каждую из полосок по
пунктирным линиям, чтобы образовались сгибы.
Наложите одну полоску на другую, как показано на
рисунке.
Сложите из первой тетраэдр так, чтобы треугольник
второй полоски оказался внутри него, затем оберните
второй полоской две грани тетраэдра и оставшийся
треугольник
вставьте
в
щель
между
двумя
треугольниками.
(Можно
предварительно
попросить
раскрасить треугольники полоски с внешней
стороны в разные цвета, тогда детям будет
удобнее работать с моделью.)
У каждой пирамиды есть важные
элементы: вершины, ребра и грани. Посмотрите
на рис.5. Давайте сосчитаем элементы на вашей
модели и заполним таблицу 1.
ребро
вершина
грань
Рис.5
Таблица 1.
Вершины (В)
Грани (Г)
Рёбра (Р)
Формула
многогранника
В+Г–Р=
Пирамида с
треугольным
основанием,
тетраэдр
Замечание 1. Так как начальные занятия были посвящены элементарным
геометрическим фигурам, то можно обсудить с учащимися, что вершина
пирамиды есть точка, ребро – отрезок, грани в данном случае – треугольники, а
та грань, на которой пирамида стоит, называется основанием.
Замечание 2. Формула многогранника не так актуальна, если вы
рассматриваете только пирамиду. Но если подобным образом вы изучаете
несколько многогранников, то ее соотношение легко проверяется практически
и на него можно обратить внимание ребят.
Вернемся к пирамиде XYYZ на рис.3. Назовите, пожалуйста, все ее
вершины, затем ребра и грани. Подпишем названия элементов пирамиды под
рисунком.
В качестве домашнего задания можно предложить учащимся сделать
модель пирамиды не из бумаги, а из другого материала.
III. Занятие 2.
На данном занятии мы продолжаем работать с изображениями плоских
фигур и объемных тел, знакомимся с различными видами пирамид, а также
учимся строить изображение треугольной пирамиды на клетчатой бумаге с
помощью карандаша и линейки.
Разделите объекты на рис.6 на две
группы. Почему вы так распределили
объекты? Назовите их.
Рис.6
На каких чертежах на рис. 7 изображены плоские фигуры, а на каких –
объемные тела? Почему?
Рис.7
Выберите
изображение,
которое
нужно вставить на место вопросительного
знака. Объясните, почему. Назовите все
объекты, изображенные на рисунке 8.
Рис.8
Рассмотрите пирамиды, изображенные на рис.9. Чем они отличаются?
(Основанием пирамид являются разные многоугольники.)
Рис.9
Пирамида называется в соответствии с количеством сторон
многоугольника, лежащего в основании (треугольная, четырехугольная и.т.д.).
Напишем под чертежами названия пирамид.
Замечание 3. Стоит обратить внимание на то, что на рисунке две
четырехугольные пирамиды и нет пятиугольной. Это сделано специально,
чтобы сосредоточить внимание учащихся.
Давайте научимся строить треугольную пирамиду на клетчатой бумаге.
Посмотрите на ее изображение и попробуйте объяснить, как сделать. (Ставим
четыре точки, последовательно их соединяем по линейке; дальше одну пару
противоположных точек соединяем сплошной линией, вторую пару –
пунктиром.)
Начертите в тетради три треугольных пирамиды. Теперь мы проверим
ваше внимание и знание элементов пирамиды. На ваших чертежах выполните
следующие задания.
1 пирамида: заштрихуйте заднюю грань жёлтым цветом; заштрихуйте
основание синим цветом.
2 пирамида: раскрасьте левую боковую грань красным цветом; раскрасьте
правую боковую грань зелёным цветом.
3 пирамида: выделите боковые рёбра синим цветом; выделите рёбра
основания красным цветом.
Замечание 4. Если есть дети, которые быстро и, главное, аккуратно
справились с заданиями, им можно предложить начертить еще 1-2 пирамиды и
придумать к ним похожие задания самостоятельно.
Начертим в тетради еще одно изображение пирамиды. Ставим три точки,
соединяем их последовательно по линейке – получаем треугольник. Внутри
треугольника ставим еще одну точку и соединяем ее пунктиром с остальными.
Чем это изображение пирамиды отличается от предыдущего? (Пирамида
повернута к нам одной гранью, остальные мы не видим.)
Давайте сделаем то же самое, только все линии поведем сплошными. Как
в этом случае расположена пирамида? (Мы смотрим на пирамиду сверху).
Дома ребятам нужно закрепить полученные навыки построения
различных положений треугольной пирамиды. Для этого им можно предложить
выполнить такое задание.
Начерти треугольную пирамиду, у которой мы видим две грани.
Заштрихуй её основание зелёным цветом. Представь, что пирамиду
перевернули и поставили на другую грань. Где теперь расположена грань
зелёного цвета? Начерти в тетради все возможные варианты решения
задачи. Выполни это же задание, если мы видим: а) только одну грань
пирамиды; б) три грани пирамиды.
IV. Занятие 3.
На этом занятии мы не только продолжаем работать с пирамидой как
геометрическим объектом, но и вспоминаем, где пирамида встречается в
обыденной жизни.
В первую очередь, необходимо обсудить с ребятами решение домашней
задачи. Затем в качестве контроля попросить их выполнить следующие задания
самостоятельно.
1 вариант
1. Начерти треугольную пирамиду, у которой две грани видимые.
2. Заштрихуй боковую правую грань пирамиды синим цветом.
2 вариант
1. Начерти треугольную пирамиду, у которой одна грань видимая.
2. Закрась основание пирамиды жёлтым цветом.
3 вариант
1. Начертите треугольную пирамиду, у которой три грани видимые.
2. Выделите боковые рёбра пирамиды красным цветом.
Выберите изображение на рис.10 и 11, которое нужно вставить на место
вопросительного знака. Объясните свой выбор. (10 рис. Изображение 2 – тело
делят горизонтально на две части и верхнюю часть убирают; 11 рис.
Изображение 1 – пирамиду делят на две части вертикально.)
Рис.10
Рис.11
Когда вы были совсем маленькими, то играли с игрушкой, которая тоже
называлась «пирамида». Давайте решим две задачи, связанные с этой
игрушкой.
Сколько можно составить всевозможных пирамид из трёх разных по
цвету колец: синего, жёлтого и красного? Раскрась эти пирамиды на рис.12
соответствующим образом. (Работаем над комбинаторными задачами –
перестановки).
Рис.12
Замечание 5. Одна пирамида на рисунке лишняя для того, чтобы сами
сосчитали верный ответ, а не подстраивались под нарисованное заранее.
В детской пирамиде на большое кольцо всегда кладётся
кольцо меньшего размера. Красное кольцо меньше зелёного,
но больше синего. Жёлтое кольцо больше зелёного. Раскрась
пирамиду на рис.13 указанным образом.
Ответ: желтый – зеленый – красный – синий.
Рис.13
Пирамиды часто встречаются в нашей повседневной жизни. Посмотрите
на рисунки.
Лувр, музей в центре Парижа (Франция)
Фонтан «Пирамида» в Петергофе
Стадион в Калифорнии (США)
Пакет молока
Домашним заданием для учащихся на данном занятии будет поиск
пирамиды как объекта повседневной жизни. Можно также предложить им
чисто геометрическое задание.
1. Начертите треугольную пирамиду, у которой две грани видимые.
2. Назовите основание пирамиды ABC, а оставшуюся вершину D.
3. Заштрихуйте боковую левую грань пирамиды зелёным цветом.
4. Выделите рёбра задней грани красным цветом.
5. Найдите на чертеже и выделите дугой угол DCB.
Использованная литература:
1. Депман И.Я. Мир чисел. – Л., 1963.
2. Удодова Н.И. Занимательная математика. Смекай, отгадывай, считай. –
Волгоград: Учитель, 2011.
При написании разработки использованы материалы сайтов:
1. Образовательная система «Школа 2100» http://www.school2100.ru/;
2. http://jhistory.nfurman.com/;
3. http://travelrush.ru/;
4. http://www.raskraska.com/;
5.http://www.rnd.travelsystem.ru/;
6. http://forum.fxclub.org/;
7. http://mxk.co1472.edusite.ru/;
8. http://фарфор.рф/.