Document 2008259

УДК 621.38
МОДЕЛИ АНАЛИЗА НЕЧЁТКОЙ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ
СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ
Ю.Н. Яковенко
В статье построены модели анализа чувствительности систем автоматического регулирования, в качестве
инструмента для решения этой проблемы предлагается принять теорию нечётких множеств
Ключевые слова: система автоматического регулирования, передаточная функция, нечёткая чувствительность,
функция принадлежности, многомерные нечёткие переменные
Введение.1 Чувствительность – это мера
зависимости
системных
характеристик
от
характеристик
отдельного
элемента.
Дифференциальная чувствительность передаточной
функции W замкнутой системы автоматического
регулирования
(САР)
относительно
данного
элемента P определяется уравнением
d ln W dW W
=
,
(1)
d ln P
dP / P
Y (S )
где W (S ) =
,
X (S ) - входная
X (S )
характеристика, Y (S ) - выходная характеристика,
S - оператор Лапласа.
S=
Уравнение
(1)
показывает,
что
дифференциальная чувствительность функции W
относительно P , вызвавшему изменение в W .
Согласно
введённому
определению
чувствительность описывается функцией частоты и
чувствительность идеальной САР равна нулю
относительно любого параметра.
Основная цель использования обратной связи в
САР состоит в уменьшении чувствительности
системы к изменению параметров и появившемся
возмущением.
Математическая
характеристика
изменения параметров нужна для количественного
изучения систем с обратной связью. Существующие
методы анализа САР позволяют обрабатывать
многопараметрические
переменные
или
многомерные передаточные функции, не сводимые в
одно уравнение. Проблемные вопросы возникают в
том
случае,
когда
необходимо
оценить
характеристику САР в интегральном виде. Кроме
того, чувствительность в настоящее время
определяется как мера зависимости характеристик
САР от характеристик отдельного элемента, при
котором рассматривается один параметр, или
передаточной функции замкнутого контура в
определённых частных границах, что существенно
накладывает ограничения на решаемые задачи.
Для таких проблем, по – видимому, пригоден
другой подход. В [1] Заде предложил «единую точку
Яковенко Юрий Николаевич – ОАО
начальник смены, тел. 8-910-241-07-41
зрения
на
различные
методы
решения,
возникающие в факторном анализе, числовой
таксономии, в задачах распознавания образов и
анализе близости». Это точка зрения опирается на
теорию нечётких множеств [1,2], которая
позволяет
получить
информацию
о
чувствительности САР во временной области без
всяких
ограничений
к
одновременным
отклонениям по многим параметрам.
1.
Формализация
нечёткой
чувствительности. Пусть отклонения входных
параметров
x1 , x 2 , K , x n
характеризуются
соответственно
функциями
принадлежности
которая
µ x1 (x1 ), µ x 2 (x 2 ),K, µ x n (x n ) ,
образуют векторную функцию принадлежности.
Другими словами, вектор X = x1 , x 2 , K , x n -
[
]
n - компонентный вектор нечётких входных
переменных. Нечёткая переменная на выходе
y (t ) характеризуется функцией принадлежности
µ y ( y; t ) ,
которая может быть функцией от
времени t , интегралом или скаляром [2]:
µ y ( y; t ) = Ф[µ x1 (x1 ), µ x2 (x2 ),K, µ xn (xn ); t] .
(2)
Функция Ф - нелинейная алгебраическая
функция времени t , т.е. отображение X → Y ,
где
X
декартово
произведение
X 1 × X 2 × K × X n , X i ∈ R 1 и Y ∈ R 1 , где R 1
- действительное метрическое пространство.
Нечёткая чувствительность целевой функции y
относительно n нечётких входных параметров
x1 , x 2 , K , x n можно определить уравнением:
(
)
S t , µ y ( y ), µ x1 (x1 ), µ x2 (x2 ),K, µ xn (xn ) =
=
1
1 − µ x1 ( x1 ) − µ x2 (x2 ) − K − µ xn (xn )
(3)
Здесь под нечёткой чувствительностью
понимается функция от времени t и функций
«Видеофон»,
101
принадлежности
y и x1 , x 2 , K , x n . Величина
(1 − µ (⋅)) оценивает отклонение параметров от
заданных значений. Физический смысл соотношения
(3) – процентное отклонение, т.к. для заданного
значения µ (⋅) = 1 максимум S достигается при
µ x (x ) = 1 и µ y ( y ) < 1 , а минимальное
µ y (y) = 1
и
µ x (x ) < 1 ,
S =1,
µ x (x ) = µ y ( y ) и µ y ( y ) ≠ 1 и µ x (x ) ≠ 1 .
– при
когда
e 1− ( y − y * )
=
, где y ≥ y * ,
E
E
e 1− ( y * − y )
µ y ( y) = 1 − =
, где y ≤ y * , (5)
E
E
0 в остальных случаях.
1−
µy ( y)
В уравнении (3) функции принадлежности
µ x ( xi )
i
____
и
µ x ( y ) , i = 1, n ,
теоретически могут
быть представлены любой общей функцией
принадлежности [3]. Однако, при решении задачи
оптимального управления, по – видимому, эти
функции должны быть треугольные. На рисунке 1 и
2 изображены симметричные треугольные функции
принадлежности µ xi ( xi ) и µ x ( y ) соответственно.
0
y* − E
y* + E
y*
y
µx (xi )
i
Рис. 2. Функция принадлежности нечёткой
переменной y
2.
Модели
анализа
нечёткой
чувствительности во времени. Рассмотрим
линейную инвариантную по времени САР со
следующей передаточной функцией:
0
xi* − Д i
W (s , T , K ) =
xi* + Д i
xi*
xi
Рис. 1. Функция принадлежности нечёткой
переменной xi
x * и y * - оптимальные (заданные)
значения. Константы Д i и E , устанавливающие
Здесь
область изменения (разброс) нечётких переменных
x и y , представляют собой угловые значения и
угловую функцию. Функция принадлежности на
входе и выходе математически выражаются
следующим образом:
(
)
d

*
 1− i =1− xi − xi Дi , где di ≤ Дi ,
Дi
0 в остальных случаях,
µx (xi ) = 
102
K
,
Ts + 1
(6)
где K и T - коэффициенты усиления и
постоянная времени соответственно.
Обе нечёткие переменные K и T имеют
вид функции принадлежности, показанной на рис.
1. Будем считать, что обе нечёткие переменные
K и T принимают только положительные
значения. Также будем предполагать, что для K
и T
определены возможные допустимые
интервалы
(изменения)
Д1
и
Д2
соответственно. Области значений возможного
отклонения K и T характеризуются функциями
µ K (K ) и
µT (T )
принадлежности
соответственно:
µ K (K ) =
(4)
µ T (T ) =
1− K − K *
,
Д1
(7)
1− T −T *
Д2
,
(8)
где K * , T * - номинальные значения для
нечётких переменных K и T соответственно.
Исходя из (7) и (8), можно записать
K * + [1 − µK (K )] Д1 для K ≥ K * ,
K = *
(9)
*
[
(
)
]
K
−
1
−
µ
K
Д
для
K
<
K
,

K
1
и
T * + [1 − µT (T )] Д 2 для T ≥ T * ,
T = *
(10)
*
 T − [1 − µT T ] Д 2 для T < T .
t

T
y (t ) = K 1 − e


 u (t ) .


t

y * (t ) = K * 1 − e T

[
(11)

 u (t )


(12)
y (t , µ K (K ) , µ T (T )) =
]
 K + (1 − µ K (K )) Д 1 ×

*
× 1 − exp− t / T + (1 − µ T (T ))
для K ≥ K * , T ≥ T * ,
 *
 K + (1 + µ K (K )) Д 1 ×

*
× 1 − exp− t / T − (1 − µ T (T ))
для K ≥ K * , T < T * ,
= *
 K − (1 − µ K (K )) Д 1 ×
× 1 − exp− t / T * + (1 − µ (T ))
T

*
*
для K p K , T ≥ T ,
 K * − (1 + µ (K )) Д ×
K
1

*
× 1 − exp− t / T − (1 − µ T (T ))

для K p K * , T < T * .
[
[
[
*
(
(
(
(
(
(
(
(
]
]
]
)Д )
2
)Д )
2
(13)
)Д )
2
)Д )
2
Предположим, что идеальная реакция
динамической САР первого порядка описывается
ступенчатой функцией K и u (t ) , а выходная
переменная системы – нечёткой выходной
переменной
y (t ) , которая описывается
уравнением (11).
Тогда уравнение (12) описывает реакцию
системы при оптимальных значениях нечётких
*
*
параметров K и T , полученных в результате
оптимизации по некоторому функционалу.
С учётом (9) – (12) реакцию САР на выходе
можно описать через функцию принадлежности
(13).
Анализ соотношения (13) показал, что все
эти функции нелинейные. Когда значения t
малы, влияние T на выходную функцию y (t )
весьма значительны и уменьшается с ростом t .
Заключение. Проблема чувствительности
чрезвычайна важна во многих областях: от
исследования обратной связи и критериев
стабильности до проблем оптимизации САР.
Применяя теорию нечётких множеств к анализу
чувствительности не только оправдано, но и даёт
возможность
расширения
практических
приложений теории управления, особенно в
случае, когда необходимо оценить выходную
характеристику САР в интегральном виде. По
существу, этот подход представляет собой одну
из форм метода шкалирования и нормализации.
Также этот подход является весьма эффективным
инструментом в исследовании и разработке
динамических САР.
Литература
1. Заде Л.А. Понятия лингвистической
переменной
и
его
применение
к
понятию
приближенных решений. М.:Мир, 1976. – 165с.
2. Кофман А. Введение в теорию нечётких
множеств/Пер. с фр. – М.: Радио и связь, 1982. – 432с.
3. Борисов А.Н. Обработка нечёткой информации
в системах принятия решений / А.Н. Борисов, А.В.
Алексеев. –М.: Радио и связь, 1989. – 304с.
ОАО «Видеофон», г. Воронеж
SENSITIVITY ANALYSIS OF FUZZY MODEL OF AUTOMATIC CONTROL
Yu.N. Yakovenko
In this paper we construct a model sensitivity analysis and automatic control systems as a tool to solve this problem, we
propose to accept the theory of fuzzy sets
Key words: automatic control system, the transfer function, fuzzy sensitivity, membership function, multi-dimensional
fuzzy variables
103