ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТЬ ПЕРИОДИЧЕСКОГО ДВИЖЕНИЯ В

Известия ТулГУ. Технические науки. 2014. Вып. 12. Ч. 1
_________________________________________________________________________________________________________________
Бреус Роман Александрович, военнослужащий, ivts.tulgu@rambler.ru, Россия,
Тула, в/ч 55599,
Васильев Андрей Вячеславович, военнослужащий, ivts.tulgu@rambler.ru, Россия,
Тула, в/ч 55599.
OPTIMIZING THE DEVELOPMENT OF COMPUTATIONAL
ALGORITHM FOR SHOOTER-WEAPON SYSTEM DYNAMICS
V.A. Shamanov, S.V. Chubaryikin., R.A. Breus, A.V. Vasilyev
Applicability of topological tensor-vector description to model shooter-weapon system dynamics is proved.
Key words: automatic functioning, machine tests, kinematic analysis, multilink, multiloop system, generalized coordinates, impact interactions, links, unilateral and frictional
constraints.
Shamanov Vladimir Аnatolievich, candidate of sociological sciences, serviceman,
ivts.tulgu@rambler.ru, Russia, Moscow, Military Unit № 25953,
Chubaryikin Sergey Viktorovich, Serviceman, ivts.tulgu@rambler.ru, Russia, Tula,
Military Unit № 55599,
Breus Roman Aleksandrovich, Serviceman, ivts.tulgu@rambler.ru, Russia, Tula,
Military Unit № 55599,
Vasilyev Andrey Vyacheslavovich, Serviceman, ivts.tulgu@rambler.ru, Russia, Tula,
Military Unit № 55599.
УДК 681.511.4
ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТЬ ПЕРИОДИЧЕСКОГО ДВИЖЕНИЯ
В РЕЛЕЙНОЙ СИСТЕМЕ, СОДЕРЖАЩЕЙ ЗВЕНО
С ОГРАНИЧИТЕЛЕМ
Н.В. Фалдин, С.В. Феофилов, А.В. Козырь
Представлен метод анализа чувствительности периодического движения в
релейной системе управления, содержащей звено с ограничителем в форме жесткого
механического упора. Метод позволяет определить чувствительность периода автоколебаний и периодической траектории.
Ключевые слова: релейная система, чувствительность, звено с ограничителем, параметрическое возмущение.
Для проведения синтеза любой системы автоматического управления необходимо иметь точную параметрическую и структурную модель
исследуемого объекта. Построение математических моделей реальных
технических систем неизбежно связано с различного рода допущениями,
отсутствием информации о возмущающих воздействиях и ограничениях на
204
Системы управления
_________________________________________________________________________________________________________________
фазовые координаты, проблемой идентификации параметров объекта
управления. Всё это приводит к неточности математической модели. Даже
если система синтезирована с использованием точной структурной и параметрической модели практически всегда при технической реализации возможны некоторые отклонения от исходных рассчитанных значений параметров. Эти отклонения могут возрастать в ходе эксплуатации, естественного старения элементов и т.д.
Таким образом, на этапе проектировании автоматической системы
управления существует актуальная задача учета чувствительности системы
управления к параметрическим флуктуациям объекта управления.
В данной работе представлен метод исследования чувствительности
периодического движения в релейной системе, содержащий нелинейное
звено вида жёсткого механического ограничителя [1]. Под чувствительностью периодического движения понимают, количественный показатель
изменения периодического режима при изменении параметров объекта
управления.
Рассмотрим теоретические положения на примере объекта управления наиболее сложной структуры, когда звено с ограничителем охвачено
обратной связью. На рис. 1 приведена структурная схема объекта управления.
Рис.1. Структурная схема объекта управления
Уравнение движения звена с ограничителем в форме жесткого механического упора [1]:
x& m = x2
k ( xr − xv ) − 2αx2 − ηx1 , если x1 < D, или x1 = D, и
(1)

x& 2 = [ k ( xr − xv ) − ηx1 ]sign ( x1 ) ≤ 0;
0, если x = D, и[ k ( x − x ) − ηx ]sign ( x ) = 0.
1
r
1
1

Будем предполагать, что свободное движение системы на рис.1 задаётся уравнением
r
dx
r
(2)
= C (α ) x + B (α )U .
dt
205
Известия ТулГУ. Технические науки. 2014. Вып. 12. Ч. 1
_________________________________________________________________________________________________________________
Под свободным движением понимается такое движение, при котором фазовая координат x m не выходит на ограничитель. Движение на ограничителе задаётся уравнением
dx
r
(3)
= C * (α ) x + B (α )U ,
dt
r r
где U = Ф(− R T x , b, A) .
В формулах (2) и (3) матрицы C , C * имеют размерность nxn, а B –
nx1, (n – порядок системы), α – некоторый скалярный параметр, который
не входит в описание движения звена с ограничителем. Статическая характеристика двухпозиционного релейного элемента задаётся функцией
r r
r
Ф(− R T x , b, A) , где R T – вектор задающий коэффициенты обратных связей,
b –ширина петли гистерезиса, А – величина полки реле.
Удар об ограничитель будем предполагать абсолютно неупругим:
 xm (t1 + 0) = xm (t1 − 0);

 x2 (t1 + 0) = 0,
где t1 – момент времени входа на ограничитель.
Сход с ограничителя предполагается непрерывным, т.е. выполняется равенство
r
r
x (t 2 + 0) = x (t 2 − 0).
(4)
Положим для определённости, что в периодическом движении сигнал с выхода звена с механическим ограничителем x1 имеет вид, представленный на рис.2, где 2T 0 – период симметричных колебаний.
Рис.2. Сигнал на выходе звена с механическим ограничителем
Определим чувствительность автоколебаний, возникающих в системе 1 к изменению параметра α .
Пусть параметр α получил малое возмущение δα . Обозначим периодическую траекторию в параметрически
r
r возмущённой системе
~
x (t ) = x (t ) + δx (t ).
Опуская величины, имеющие порядок малости выше первого запи206
Системы управления
_________________________________________________________________________________________________________________
шем систему уравнений связывающих между собой малые отклонения
параметра δα и δx :
r
∂B(α) 
 dδx
r
 ∂C (α) r
=
C
(
α
)
δ
x
(
t
)
+
x
(
t
)
+
U δa,
 dt
 ∂α
∂
α



(5)
 r
*


∂
C
(
α
)
∂
B
(
α
)
d
δ
x
r
r

= C * (α)δx (t ) + 
x (t ) +
U δa.
 dt
∂
α
∂
α



Каждое из уравнений (5) представляет собой неоднородное линейное дифференциальное уравнение с переменными коэффициентами.
Обозначим V (t ) и V * (t ) нормированные фундаментальные матрицы
решений соответственно первого и второго уравнения (5), а через r (t ) и
r * ( t ) – частные решения уравнения (5) при нулевых начальных условиях.
Тогда решение уравнений (5) можно записать в виде
r
r
δx = V (t )δx (0) + r (t )δa,
(6)
 r
r
δx = V * (t )δx (0) + r * (t )δa.
В соответствии с рис. 2 переключение уравнений движений для
траектории x (t ) происходит в моменты времени t1 и t2 .Обозначим вариа-
ции t1 , t2 , T 0 соответственно δt1 , δt 2 , δT 0 .
В момент времени t1 + δt1 справедливо равенство
r
r
R m [x (t1 + δt1 ) + δx (t1 + δt1 )] = − D,
где R m – вектор размером n, состоящий из нулей и единицы на m-месте.
Пренебрегая величинами, имеющими порядок малости выше первого, получим следующее выражение:
r
R m δx − (t1 )
δt1 = −
.
(7)
r
R m x& − (t1 )
Здесь и далее верхний индекс «минус» означает предел слева.
Аналогичным образом, исходя из рис. 2 и уравнений (1), получим
вариацию момента времени t2 :
r
( R r − R v )δx − (t 2 )
δt 2 = −
.
(8)
r
v r& −
( R − R ) x (t 2 )
Изменение полупериода δT 0 определяется из условия переключения релейного элемента с U = A на U = − A :
r
r
− R T x (T 0 + δT 0 ) + δx (T 0 + δT 0 ) = −b.
[
]
207
Известия ТулГУ. Технические науки. 2014. Вып. 12. Ч. 1
_________________________________________________________________________________________________________________
Принимая те же допущения, что и выше, получим следующую зависимость:
r
R T δx − (T 0 )
0
δT = −
.
(9)
T r& − 0
R x (T )
Установим связь между вариациями в моментах времени t1 и t2 .
Удар об упор описывается равенством
x(t1 + 0) = Ex(t1 − 0),
(10)
где E отличается от единичной матрицы m-й строкой, которая состоит из
нулей.
Исходя из (10), получаем
r
r
r
r
x + (t1 + δt1 ) + δx (t1 + 0) = E x (t1 + δt1 ) + δx − (t1 ) ,
r
r
r
r
δx + (t1 ) = ( Ex (t1 ) − x + (t1 ))δt1 + Eδx − (t1 ).
(11)
В момент времени t2
r
r
r
r
x + (t2 + δt2 ) + δx + (t2 ) = x − (t2 + δt2 ) + δx − (t2 ),
r
r
r
r
δx + (t2 ) = x − (t2 ) + ( x& − (t2 ) − x& + (t2 ))δt2 .
(12)
Из выражений (11) и (7) следует
r
r
r
( Ex (t1 ) − x + (t1 )) R m x − (t1 )
r+
r
δx (t1 ) = −
+ Eδx − (t1 ).
(13)
r
R m x& − (t1 )
Аналогичным образом из (8) и (12) получим
r
r
r
r+
r−
( x (t2 ) − x& + (t2 ))( R r − R v )δx − (t2 )
δx (t2 ) = δx (t2 ) −
.
r
( R r − R v ) x& − (t2 )
Используя обозначения (13), из (9) получаем
r
r

( Ex (t1 ) − x + (t1 )) R mV (t1 )  r
r+
δx (t1 ) =  EV (t1 ) −
 δx (0) +
m −
R x& (t1 )


r
r

( Ex (t1 ) − x + (t1 )) R m r (t1 ) 
+  Er (t1 ) −
 δα.
r
R m x& − (t1 )


Для удобства представим полученное равенство в следующем виде:
r
r
δx + (t1 ) = P*δx (0) + Q *δα .
(14)
Аналогичным образом в соответствии с (13) и (20) получим
r
r
 *
( x (t 2 ) − x + (t 2 ))( R r − R v )V * (t 2 − t1 )  r
r+
δx (t 2 ) = V (t 2 − t1 ) −
 δx (t1 ) +
r−
r
v


( R − R ) x& (t 2 )
r
r
 *
( x& − (t 2 ) − x& + (t 2 ))( R r − R v )  *
+ V (t 2 − t1 ) −
 r (t 2 − t1 )δα.
r−
r
v


( R − R ) x& (t 2 )
[
208
]
Системы управления
_________________________________________________________________________________________________________________
Запишем полученное равенство в виде
r
r
δx + (t 2 ) = P**δx (t1 ) + Q**δα .
(15)
Поскольку периодическое движение является симметричным, то
~
x (T 0 + δT 0 ) = − ~
x (0),
r
r
r
r
δx (T 0 + δT 0 ) + δx (T ) = − x (0) − δx (0).
Пренебрегая величинами, имеющими порядок малости выше первого, получим
r
r
r
δx (T 0 ) + x& − (T 0 )δT 0 = −δx (0).
Принимая во внимание равенство (9), запишем
r
r 0 r − 0 R T δx − (T 0 )
r
δx (T ) − x& (T )
= −δx (0),
r
R T x& − (T 0 )

r − 0 R T δxr − (T 0 )  r +
0
V (T − t 2 ) − x& (T )
 δx (t 2 ) +
T r& − 0
R x (T ) 


r − 0 R T δxr − (T 0 ) 
r
0
0
+ V (T − t 2 ) r (T − t 2 ) − x& (T )
 δα = −δx (0).
r

R T x& − (T 0 ) 
Запишем полученное равенство в более удобном виде:
r
r
Mδx + (t 2 ) + Nδα = −δx (0).
(16)
Из (15) и (16) следует
r
r
δx + (t 2 ) = P** P*δx (0) + ( P**Q* + Q** )δα.
(17)
После подстановки (17) в (16) и преобразований получим
r
I + MP ∗* P* δx (0) = − MP **Q * + MQ ** + N δα.
(
)
(
)
Введем следующие обозначения:
r
Pδx (0) = −Qδα ,
r
δx (0) = −µδα ,
(18)
где µ = P −1Q.
Получим равенство, связывающее вариацию параметра и полупериода автоколебаний. Исходя из равенства (6), получим
r
r
δx − (T 0 ) = V (T 0 − t 2 )δx + (t 2 ) + r (T 0 − t2 )δα.
(19)
Подставим (19) в равенство (17):
r
r
δx − (T 0 ) = V (T 0 − t2 ) P**P*δx (0) + ( P**Q* + Q** )δα + r (T 0 − t2 )δα. (20)
(
)
209
Известия ТулГУ. Технические науки. 2014. Вып. 12. Ч. 1
_________________________________________________________________________________________________________________
Исходя из (9) и (20), вариацию полупериода можно выразить в следующем
виде:
 R T V (T 0 − t ) P ** P * µ R T V (T 0 − t )( P ** Q * + Q ** ) + r (T 0 − t ) 
0
2
2
2
δT = 
−
×


R T x − (T 0 )
R T x − (T 0 )
× δα.
Полученную зависимость можно представить в виде
δT 0 = Lδα.
(21)
Выражение (21) задаёт вариацию полупериода автоколебаний, обусловленную вариацией параметра системы.
Вариацию периодической траектории можно найти в следующем
виде:
− V (t )µδα + r (t )δα, при 0 ≤ t < t1 ,

r
r
δx (t ) = V * (t − t1 )δx + (t1 ) + r * (t − t1 ), при t1 ≤ t < t 2 ,

r
V (t − t 2 )δx + (t 2 ) + r * (t − t 2 ), при t 2 ≤ t < T 0 .
Принимая во внимание равенства (14) и (17), получим
[− V (t )µ + r (t )]δα, при 0 ≤ t < t1 ,

r
δx (t ) =  V * (t − t1 ) − P*µ + Q* + r * (t − t1 ) δα, при t1 ≤ t < t 2 ,

 V (t − t 2 ) − P** P *µ + ( P**Q* + Q** ) + r * (t − t 2 ) δα, при t 2 ≤ t < T 0 .
Полученное равенство задаёт вариацию периодического движения,
обусловленную изменением параметра.
Пример. На рис. 3 приведена структурная схема автоколебательного следящего привода, содержащего звено с жестким механическим ограничителем.
[
[
[
(
(
]
]
)
)
]
Рис.3. Структурная схема автоколебательного привода
Параметры математической модели имеют следующие значения:
T1 = 0.07, K1 = K 2 = K 3 = K 4 = 1, ξ1 = ξ 2 = 0.4, T2 = 0.11, D = 0.3,
T3 = 0.03, T4 = 0.03.
210
Системы управления
_________________________________________________________________________________________________________________
В качестве варьируемого параметра выступала постоянная времени T1 .
Для системы 3 численно был построен фазовый годограф[1], с помощью которого определен период автоколебаний 2T 0 = 0.4910 (с). Качественный вид выходного сигнала со звена с ограничителем соответствует
рисунку 3,где t1 = 0.0115(c), t2 = 0.0834(c) . Чувствительность периода автоколебаний к варьируемому параметру определялось выражением (21), а
чувствительность периодической траектории – зависимостью (22). Векторы r (t ) и r * (t ) рассчитывались числено, для этого одновременно моделировалась исходная и варьируемая система.
На рис. 4, а представлен график изменения полупериода автоколебании в зависимости от вариации параметра, линия пунктиром рассчитана
с помощью компьютерного моделирования, сплошная линия определена с
использованием коэффициента чувствительности, как видно погрешность
не превышает 5 %.
На рис. 4, б показан график функции вариации периодического
движения (22) (сплошная линия) и разность между исходной и параметрически возмущённой периодической траектории (линия пунктиром), при
изменении параметра на 20 %.
Из рисунка 4(б) видно, что вариация периодической траектории,
полученная с использованием предложенного метода, практически точно
совпадает с траекторией, полученной в результате численного эксперимента.
а
б
Рис. 4.Чувствительность полупериода автоколебаний (а)
и вариация периодической траектории (б)
Таким образом, представленный в работе метод позволяет оценить
степень чувствительности периода автоколебаний и изменение периодической траектории в зависимости от вариации параметра объекта управле211
Известия ТулГУ. Технические науки. 2014. Вып. 12. Ч. 1
_________________________________________________________________________________________________________________
ния, содержащего нелинейный элемент типа жёсткого механического ограничителя. Представленные в работе результаты могут быть использованы при синтезе робастных релейных систем управления и для установления допусков на параметры системы управления.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант №1408-00662).
Список литературы
1. Фалдин Н.В., Феофилов С.В. Исследование периодических движений в релейных системах, содержащих звенья с ограничениями // Изв.
РАН. ТиСУ. 2007. №2. С. 15-27.
2. Фалдин Н.В. Точный метод исследования релейных систем //
Машиностроение (энциклопедия). Т. 1 - 4. Автоматическое управление.
Теория / под ред. Е.А. Федосова. М.: Машиностроение, 2000. С. 231 – 253.
Фалдин Николай Васильевич, д-р техн. наук, проф., ivts.tulgu@rambler.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет,
Феофилов Сергей Владимирович, д-р техн. наук, проф., ivts.tulgu@rambler.ru,
Россия, Тула, Тульский государственный университет,
Козырь Андрей Владимирович, магистрант, Kozyr_A_V@mai.ru, Россия, Тула,
Тульский государственный университет
SENSITIVITY PERIODIC MOTIONS IN RELAY SYSTEM COMPRISING
THE LIMITED OSCILLATOR.
N.V. Faldin, S.V. Feofilov, A.V. Kozyr
The method of the sensitivity analysis periodic motion in a relay control system,
containing the limited oscillator, was presented. The method enables to find the sensitivity of
the period oscillation and the periodic trajectory.
Key words: relay system, the sensitivity, the limited oscillator, parametric perturbation.
Faldin Nikolay Vasilyevich, doctor of technical
ivts.tulgu@rambler.ru, Russia, Tula, Tula State University,
sciences,
professor,
Feofilov Sergey Vladimirovich, doctor of technical
ivts.tulgu@rambler.ru, Russia, Tula, Tula State University,
sciences,
professor,
Kozyr Andrey Vladimirovich, student, Kozyr_A_V@mail.ru, Russia, Tula, Tula State
University.
212