Ткачев Виноградова Булевы функции

ÌÎÑÊÎÂÑÊÈÉ ÃÎÑÓÄÀÐÑÒÂÅÍÍÛÉ ÒÅÕÍÈ×ÅÑÊÈÉ ÓÍÈÂÅÐÑÈÒÅÒ
ÈÌÅÍÈ Í.Ý. ÁÀÓÌÀÍÀ
Ì.Ñ. Âèíîãðàäîâà, Ñ.Á. Òêà÷åâ
ÁÓËÅÂÛ ÔÓÍÊÖÈÈ
Ìåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿ
ê âûïîëíåíèþ òèïîâîãî ðàñ÷åòà
Ì î ñ ê â à
Èçäàòåëüñòâî ÌÃÒÓ èì. Í.Ý. Áàóìàíà
2 0 0 7
ÓÄÊ 519
ÁÁÊ 22.176
B 493
Ðåöåíçåíò Ã.Ï. Êàçàíäæàí
Âèíîãðàäîâà Ì.Ñ., Òêà÷åâ Ñ.Á.
 493 Áóëåâû ôóíêöèè: Ìåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿ ê âûïîëíåíèþ
òèïîâîãî ðàñ÷åòà. { Ì.: Èçä-âî ÌÃÒÓ èì. Í.Ý. Áàóìàíà, 2007. {
32 ñ.: èë.
Ïðèâåäåíû êðàòêèå ñâåäåíèÿ î òåîðèè áóëåâûõ ôóíêöèé è óêàçàíèÿ ê âûïîëíåíèþ äîìàøíåãî çàäàíèÿ. Ðàññìîòðåíû çàäà÷è ðàñ÷åòà çíà÷åíèé áóëåâîé ôóíêöèè,
çàäàííîé ôîðìóëîé, ñ èñïîëüçîâàíèåì òàáëèöû, à òàêæå çàäà÷è ìèíèìèçàöèè áóëåâûõ ôóíêöèé â êëàññå äèçúþíêòèâíûõ íîðìàëüíûõ ôîðì ñ èñïîëüçîâàíèåì êàðò
Êàðíî. Ïîäðîáíî ðàññìîòðåíû ïðèìåðû ðåøåíèÿ çàäà÷ ìèíèìèçàöèè ôóíêöèé òðåõ
è ÷åòûðåõ ïåðåìåííûõ.
Äëÿ ñòóäåíòîâ 2{3-ãî êóðñîâ ôàêóëüòåòîâ ÈÓ, ÐÊ, ÔÍ.
Èë. 16. Áèáëèîãð. 2 íàçâ.
ÓÄÊ 519
ÁÁÊ 22.176
Ìåòîäè÷åñêîå èçäàíèå
Ìàðèíà Ñòàíèñëàâîâíà Âèíîãðàäîâà
Ñåðãåé Áîðèñîâè÷ Òêà÷åâ
ÁÓËÅÂÛ ÔÓÍÊÖÈÈ
Ðåäàêòîð Ñ.À. Ñåðåáðÿêîâà
Êîððåêòîð Ð.Â. Öàðåâà
Êîìïüþòåðíàÿ âåðñòêà Ñ.Á. Òêà÷åâà
Ïîäïèñàíî â ïå÷àòü 26.02.2007. Ôîðìàò 60 × 84/16. Áóìàãà îôñåòíàÿ.
Ïå÷. ë. 2,0. Óñë. ïå÷. ë. 1,86. Ó÷.-èçä. ë. 1,75. Òèðàæ 500 ýêç.
Èçä. ¹ 33. Çàêàç ¹
Èçäàòåëüñòâî ÌÃÒÓ èì. Í.Ý. Áàóìàíà
105005, Ìîñêâà, 2-ÿ Áàóìàíñêàÿ, 5
c
ÌÃÒÓ èì. Í.Ý. Áàóìàíà, 2007
Äîìàøíåå çàäàíèå ïî ðàçäåëó <Áóëåâû ôóíêöèè> êóðñà <Äèñêðåòíàÿ ìàòåìàòèêà> âêëþ÷àåò ðåøåíèå äâóõ çàäà÷: âû÷èñëåíèÿ
òàáëèöû çíà÷åíèé áóëåâîé ôóíêöèè, çàäàííîé ôîðìóëîé, è ìèíèìèçàöèè áóëåâîé ôóíêöèè â êëàññå äèçúþíêòèâíûõ íîðìàëüíûõ ôîðì.
1. ÑÏÎÑÎÁÛ ÇÀÄÀÍÈß ÁÓËÅÂÎÉ ÔÓÍÊÖÈÈ
1.1. Áóëåâà ôóíêöèÿ. Áóëåâ êóá
Áóëåâà ôóíêöèÿ îò n ïåðåìåííûõ (ïðè n > 0) | ýòî ïðîèçâîëüíîå îòîáðàæåíèå f : {0, 1}n → {0, 1}. Îáëàñòü èçìåíåíèÿ êàæäîãî
ïåðåìåííîãî áóëåâîé ôóíêöèè åñòü ìíîæåñòâî {0, 1}, çíà÷åíèÿìè
ôóíêöèè òàêæå ÿâëÿþòñÿ ýëåìåíòû óêàçàííîãî ìíîæåñòâà. Áóëåâó
ôóíêöèþ îò n ïåðåìåííûõ x1 , . . . , xn çàïèñûâàþò â âèäå y =
= f (x1 , . . . , xn ).
Ìíîæåñòâî {0, 1}n íàçûâàþò áóëåâûì êóáîì ðàçìåðíîñòè n
è îáîçíà÷àþò Bn . Ýëåìåíòû áóëåâà êóáà íàçûâàþò n-ìåðíûìè
áóëåâûìè âåêòîðàìè, èëè íàáîðàìè. ×èñëî âñåõ ýëåìåíòîâ áóëåâà
êóáà {0, 1}n ñîñòàâëÿåò 2n .
Íà Bn ìîæíî çàäàòü îòíîøåíèå ïîðÿäêà: äëÿ äâóõ ïðîèçâîëüíûõ
íàáîðîâ α
e = (α1 , . . . , αn ) è βe = (β1 , . . . , βn ) èç Bn èìååò ìåñòî α
e 6 βe
òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà αi 6 βi äëÿ êàæäîãî i = 1, n. Ââåäåííîå
îòíîøåíèå íàçûâàþò áóëåâûì ïîðÿäêîì. Ýòîò ïîðÿäîê ïðè n > 2
ÿâëÿåòñÿ ÷àñòè÷íûì, ïîñêîëüêó íå âñå íàáîðû ïîïàðíî ñðàâíèìû.
Íàïðèìåð, â áóëåâîì êóáå B3 (0, 0, 1) 6 (1, 0, 1), ïîñêîëüêó 0 6 1,
0 6 0 è 1 6 1. Îäíàêî íàáîðû (0, 1, 0) è (1, 0, 1) íåñðàâíèìû, òàê
êàê, íàïðèìåð, ïåðâàÿ êîìïîíåíòà âòîðîãî íàáîðà (1) áîëüøå ïåðâîé
êîìïîíåíòû ïåðâîãî íàáîðà (0), à âòîðàÿ êîìïîíåíòà ïåðâîãî íàáîðà
(1) áîëüøå âòîðîé êîìïîíåíòû âòîðîãî íàáîðà (0).
Áóëåâ êóá êàê óïîðÿäî÷åííîå ìíîæåñòâî ìîæíî èçîáðàçèòü â
âèäå äèàãðàììû Õàññå. Íà ðèñ. 1.1 ïîêàçàíû äèàãðàììû Õàññå äëÿ
áóëåâûõ êóáîâ ðàçìåðíîñòåé 0, 1, 2 è 3.
3
Ðèñ. 1.1
1.2. Òàáëèöû áóëåâûõ ôóíêöèé
Çàäàòü áóëåâó ôóíêöèþ f (x1 , . . . , xn ) îò n ïåðåìåííûõ ìîæíî,
óêàçàâ çíà÷åíèå ôóíêöèè íà êàæäîì èç íàáîðîâ çíà÷åíèé ïåðåìåííûõ. Ïîñêîëüêó êàæäîå ïåðåìåííîå ìîæåò ïðèíèìàòü òîëüêî äâà
çíà÷åíèÿ | 0 è 1, èìååòñÿ 2n ïîïàðíî ðàçëè÷íûõ íàáîðîâ.
Ñëåäîâàòåëüíî, áóëåâà ôóíêöèÿ îò n ïåðåìåííûõ ìîæåò áûòü çàäàíà òàáëèöåé, ñîñòîÿùåé èç äâóõ ñòîëáöîâ è 2n ñòðîê. Â ïåðâîì
ñòîëáöå ïåðå÷èñëÿþò âñå íàáîðû èç Bn , à âî âòîðîì | çíà÷åíèÿ
ôóíêöèè íà ñîîòâåòñòâóþùèõ íàáîðàõ. Â òàáëèöå ïðèìåíÿþò ñòàíäàðòíîå ðàñïîëîæåíèå íàáîðîâ: êàæäûé íàáîð ðàññìàòðèâàþò êàê
çàïèñü íàòóðàëüíîãî ÷èñëà â äâîè÷íîì èñ÷èñëåíèè è ðàñïîëàãàþò
íàáîðû â ñîîòâåòñòâèè ñ åñòåñòâåííûì ÷èñëîâûì ïîðÿäêîì.
Ïîñêîëüêó íà êàæäîì íàáîðå áóëåâà ôóíêöèÿ ìîæåò ïðèíèìàòü
òîëüêî äâà çíà÷åíèÿ | 0 è 1, ÷èñëî áóëåâûõ ôóíêöèé îò n ïåðåìåín
íûõ ðàâíî 22 .
Cóùåñòâóþò äâå áóëåâû êîíñòàíòû: 0 è 1. Èõ ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ôóíêöèè îò ëþáîãî ÷èñëà ïåðåìåííûõ.
Äëÿ ôóíêöèè îäíîãî ïåðåìåííîãî ìîæíî çàäàòü ÷åòûðå áóëåâûõ
ôóíêöèè (òàáë. 1.1). Ôóíêöèþ f1 íàçûâàþò òîæäåñòâåííîé ôóíêöèåé, à ôóíêöèþ f4 | îòðèöàíèåì. Äëÿ çàïèñè îòðèöàíèÿ êàê óíàðíîé
4
îïåðàöèè èñïîëüçóþò îáîçíà÷åíèå x. Ôóíêöèè f2 è f3 ïðèíèìàþò ïîñòîÿííûå çíà÷åíèÿ 0 è 1 ñîîòâåòñòâåííî, èõ òàêæå íàçûâàþò
êîíñòàíòîé 0 è êîíñòàíòîé 1.
Òàáëèöà 1.1
x
0
1
f1 (x)
0
1
f2 (x)
0
0
f3 (x)
1
1
f4 (x)
1
0
Ñóùåñòâóþò 16 ðàçëè÷íûõ áóëåâûõ ôóíêöèé îò äâóõ ïåðåìåííûõ. Ïîñêîëüêó êàæäàÿ áóëåâà ôóíêöèÿ ω(x1 , x2 ) îò äâóõ ïåðåìåííûõ îäíîâðåìåííî ÿâëÿåòñÿ è áèíàðíîé îïåðàöèåé íà ìíîæåñòâå
{0, 1}, äëÿ òàêèõ ôóíêöèé ïðèìåíÿþò çàïèñü x1 ω x2 . Â òàáë. 1.2
ïðèâåäåíû ñåìü íàèáîëåå ÷àñòî óïîòðåáëÿåìûõ áóëåâûõ ôóíêöèé îò
äâóõ ïåðåìåííûõ.
Òàáëèöà 1.2
x1
0
0
1
1
x2 x1 ∨ x2 x1 ∧ x2 x1 ⊕ x2 x1 → x2 x1 ∼ x2 x1 | x2 x1 ↓ x2
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
1
0
0
1
0
1
1
1
0
1
1
0
0
Ôóíêöèè, îïèñàííûå â òàáë. 1.2, èìåþò ñïåöèàëüíûå íàçâàíèÿ. Òàê, x1 ∨ x2 íàçûâàþò äèçúþíêöèåé, x1 ∧ x2 | êîíúþíêöèåé, x1 ⊕ x2 | ñëîæåíèåì ïî ìîäóëþ 2, x1 → x2 | èìïëèêàöèåé, x1 ∼ x2 | ýêâèâàëåíòíîñòüþ, x1 | x2 | øòðèõîì Øåôôåðà,
x1 ↓ x2 | ñòðåëêîé Ïèðñà. ×àñòî äëÿ îáîçíà÷åíèÿ êîíúþíêöèè
èñïîëüçóþò çíàê óìíîæåíèÿ è ïèøóò x1 · x2 , à ÷àñòî è ýòîò çíàê
îïóñêàþò è ïèøóò x1 x2 .
Øòðèõ Øåôôåðà åñòü îòðèöàíèå êîíúþíêöèè, à ñòðåëêà Ïèðñà | îòðèöàíèå äèçúþíêöèè:
x1 | x2 = x1 · x2 ,
x1 ↓ x2 = x1 ∨ x2 .
 ÷èñëî áóëåâûõ ôóíêöèé îò äâóõ ïåðåìåííûõ òàêæå âõîäÿò äâå
ôóíêöèè, ïðèíèìàþùèå ïîñòîÿííûå çíà÷åíèÿ 0 è 1.
5
Òàáëè÷íûé ñïîñîá çàäàíèÿ áóëåâûõ ôóíêöèé ïðèìåíÿþò îãðàíè÷åííî, ïîñêîëüêó, íàïðèìåð, äëÿ çàäàíèÿ íåêîòîðîé ôóíêöèè îò
äåñÿòè ïåðåìåííûõ ïîòðåáóåòñÿ òàáëèöà èç 1024 ñòðîê. Äàæå âñå
ôóíêöèè îò ïÿòè ïåðåìåííûõ ïðàêòè÷åñêè íåâîçìîæíî çàäàòü òà5
áëèöàìè, ïîñêîëüêó ÷èñëî òàêèõ ôóíêöèé ðàâíî 22 = 4 294 967 296.
Ðàçëè÷íûõ ôóíêöèé îò òðåõ ïåðåìåííûõ | 256.
Ïðèâåäåì äëÿ ïðèìåðà òàáëèöó áóëåâîé ôóíêöèè îò òðåõ ïåðåìåííûõ (òàáë. 1.3), êîòîðóþ íàçûâàþò ìàæîðèòàðíîé ôóíêöèåé (èëè
ôóíêöèåé ãîëîñîâàíèÿ).
Òàáëèöà 1.3
Íîìåð
íàáîðà
x1
x2
x3
f (x1 , x2 , x3 )
0
1
2
3
4
5
6
7
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
0
0
1
0
1
1
1
Äëÿ çàäàíèÿ ôóíêöèè îò n ïåðåìåííûõ ìîæíî ïðèìåíÿòü áîëåå
ýêîíîìíûå ñïîñîáû | äîñòàòî÷íî çàïèñàòü âåêòîð çíà÷åíèé áóëåâîé
ôóíêöèè íà âñåõ íàáîðàõ â ïîðÿäêå èõ ñëåäîâàíèÿ â òàáëèöå èëè
ïåðå÷èñëèòü íîìåðà òåõ íàáîðîâ, íà êîòîðûõ ôóíêöèÿ ïðèíèìàåò
çíà÷åíèå 1. Íàïðèìåð, ìàæîðèòàðíàÿ ôóíêöèÿ f ìîæåò áûòü çàäàíà
â âèäå
f = (0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 1) èëè f = {3, 5, 6, 7}.
1.3. Ôîðìóëû
Ïîìèìî òàáëè÷íîãî ñïîñîáà ñóùåñòâóåò ñïîñîá ïðåäñòàâëåíèÿ
áóëåâûõ ôóíêöèé â âèäå ôîðìóë.
Ïóñòü äàíû íåêîòîðîå ñ÷åòíîå ìíîæåñòâî P , ýëåìåíòû êîòîðîãî áóäåì íàçûâàòü áóëåâûìè ïåðåìåííûìè, è íåêîòîðîå ìíîæåñòâî
6
áóëåâûõ ôóíêöèé F . Ýëåìåíòû ìíîæåñòâà P áóäåì îáîçíà÷àòü ñèìâîëàìè x1 , x2 , . . . , xn , . . . Ýëåìåíòû ìíîæåñòâà F áóäåì îáîçíà÷àòü
ñòðî÷íûìè ëàòèíñêèìè áóêâàìè. Îòìåòèì, ÷òî êîíñòàíòû 0 è 1 òàêæå ìîãóò âêëþ÷àòüñÿ â F .
Ïîíÿòèå ôîðìóëû ââîäèòñÿ èíäóêòèâíî.
1. Áàçèñ èíäóêöèè. Ôîðìóëîé íàä ìíîæåñòâîì F ñ÷èòàþò ëþáóþ
êîíñòàíòó èç F (åñëè îíà òàì åñòü) è ëþáîå áóëåâî ïåðåìåííîå èç P .
2. Èíäóêòèâíûé ïåðåõîä. Åñëè Φ1 , . . . , Φn (n > 1) | ôîðìóëû
íàä ìíîæåñòâîì F , à f | ôóíêöèÿ èç F îò n ïåðåìåííûõ, òî
âûðàæåíèå f (Φ1 , . . . , Φn ) åñòü ôîðìóëà íàä ìíîæåñòâîì F .
3. Çàìûêàíèå. Íèêàêèõ äðóãèõ ôîðìóë íàä ìíîæåñòâîì F , êðîìå
îïðåäåëåííûõ âûøå, íå ñóùåñòâóåò.
Ïðîìåæóòî÷íûå ôîðìóëû, èñïîëüçóåìûå ïðè ïîñòðîåíèè íåêîòîðîé ôîðìóëû, íàçûâàþò ïîäôîðìóëàìè ýòîé ôîðìóëû.
Ïðè ïîñòðîåíèè ôîðìóë ñ èñïîëüçîâàíèåì ôóíêöèé äâóõ ïåðåìåííûõ áóäåì ïðèìåíÿòü òðàäèöèîííóþ ôîðìó çàïèñè ôóíêöèè êàê
áèíàðíîé îïåðàöèè.
Ïóñòü F = {∨, ·, }. Ýòî ìíîæåñòâî, ñîñòîÿùåå èç ôóíêöèé
äèçúþíêöèè, êîíúþíêöèè è îòðèöàíèÿ, íàçûâàþò ñòàíäàðòíûì áàçèñîì. Ïîñòðîèì íåêîòîðóþ ôîðìóëó íàä ýòèì áàçèñîì.
Ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ, ôîðìóëîé íàä ñòàíäàðòíûì áàçèñîì
áóäåò ëþáîå ïåðåìåííîå èç P , íàïðèìåð, x1 , x2 . Èç ïåðåìåííûõ x1 ,
x2 êàê ôîðìóë è ôóíêöèè ∨ ìîæíî ïîñòðîèòü íîâóþ ôîðìóëó Φ1 =
= x1 ∨ x2 . Èç ïåðåìåííîãî x3 (êîòîðîå áóäåò ôîðìóëîé), ôîðìóëû Φ1
è ôóíêöèè · ìîæíî ïîñòðîèòü ôîðìóëó Φ2 = x3 · Φ1 . Èç ôîðìóëû Φ2 ,
èñïîëüçóÿ ôóíêöèþ îòðèöàíèÿ, ìîæíî ïîñòðîèòü ôîðìóëó Φ3 = Φ2 .
 ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì
Φ3 = Φ2 = x3 · Φ1 = x3 · (x1 ∨ x2 ).
Êàæäîìó íàáîðó çíà÷åíèé ïåðåìåííûõ, âõîäÿùèõ â çàäàííóþ
ôîðìóëó, ñîïîñòàâëÿåòñÿ çíà÷åíèå ýòîé ôîðìóëû. Âû÷èñëåíèå ýòîãî çíà÷åíèÿ â òî÷íîñòè ñîîòâåòñòâóåò ïðîöåññó ïîñòðîåíèÿ ôîðìóëû
èç ïîäôîðìóë. Ñëåäîâàòåëüíî, êàæäàÿ ôîðìóëà, ïîñòðîåííàÿ ïî óêàçàííûì âûøå ïðàâèëàì, îïðåäåëÿåò (èëè ïðåäñòàâëÿåò) íåêîòîðóþ
áóëåâó ôóíêöèþ.
7
Åñëè áóëåâà ôóíêöèÿ f (x1 , . . . , xn ) ïðåäñòàâëÿåòñÿ ôîðìóëîé
Φ(x1 , . . . , xn ), òî ïèøóò f = Φ(x1 , . . . , xn ).
Ïðåäñòàâëåíèå áóëåâîé ôóíêöèè ôîðìóëîé ïðè áîëüøîì ÷èñëå
ïåðåìåííûõ ñóùåñòâåííî êîðî÷å, ÷åì ïðåäñòàâëåíèå åå òàáëèöåé.
Òàê, òàáëèöà ôóíêöèè îò äâàäöàòè ïåðåìåííûõ f (x1 , . . . , x20 ) =
= x1 ∨ . . . ∨ x20 ñîäåðæèò áîëåå ìèëëèîíà ñòðîê.
Îäíà è òàæå ôóíêöèÿ ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà ðàçëè÷íûìè ôîðìóëàìè. Íàïðèìåð, ýêâèâàëåíòíîñòü (ñì. òàáë. 1.2) íàä ìíîæåñòâîì
{∨, ·, , →} ìîæíî ïðåäñòàâèòü, íàïðèìåð, êàê
x1 ∼ x2 = (x1 ∨ x2 ) · (x2 ∨ x1 );
x1 ∼ x2 = (x1 → x2 ) · (x2 → x1 ).
Ôîðìóëû íàçûâàþò ýêâèâàëåíòíûìè, åñëè ñîîòâåòñòâóþùèå èì
ôóíêöèè ðàâíû.
1.4. Ðàñ÷åò áóëåâîé ôóíêöèè, çàäàííîé ôîðìóëîé
Ðàññìîòðèì áóëåâó ôóíêöèþ îò òðåõ ïåðåìåííûõ, çàäàííóþ
ôîðìóëîé
f (x1 , x2 , x3 ) = (((x1 ↓ x2 ) ⊕ ((x1 ∨ x2 ) ∼ x3 )) ∨ (x1 | x3 )) |(x1 ∧ x2 ).
Äëÿ ðàñ÷åòà ðàçîáúåì ôîðìóëó íà ïîäôîðìóëû A, B, C, D, E, I è J
è ñâåäåì ðåçóëüòàòû ðàñ÷åòîâ â òàáë. 1.4.
Òàáëèöà 1.4
¹ x1 x2 x3
0
1
2
3
4
5
6
7
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
A
B
C
D
E
I
J
f
x1 ↓ x2 x1 ∨ x2 B ∼ x3 A ⊕ C x1 | x3 x1 ∧ x2 D ∨ E J | I
1
0
1
0
1
0
1
1
1
0
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
1
1
0
0
1
1
1
1
1
1
0
0
1
0
0
1
0
1
1
0
1
1
1
0
0
1
1
0
1
0
0
1
0
1
1
0
1
1
1
0
0
1
1
Îòìåòèì, ÷òî â äàííîì ïðèìåðå ðàçáèåíèå èñõîäíîé ôîðìóëû íà
ïîäôîðìóëû îäíîçíà÷íî çàäàåòñÿ ðàññòàíîâêîé ñêîáîê.
8
1.5. Äèçúþíêòèâíûå è êîíúþíêòèâíûå íîðìàëüíûå ôîðìû
Ðàññìîòðèì çàäàíèå áóëåâûõ ôóíêöèé ôîðìóëàìè íàä ñòàíäàðòíûì áàçèñîì. Ëþáóþ ôîðìóëó âèäà x èëè x íàä ñòàíäàðòíûì
áàçèñîì, ãäå x | ïðîèçâîëüíîå ïåðåìåííîå, íàçûâàþò ëèòåðàëîì.
Äëÿ óíèôèêàöèè çàïèñè ââîäÿò îáîçíà÷åíèå
x, σ = 1;
σ
x =
(1.1)
x, σ = 0.
Ïîäñòàâëÿÿ â (1.1) 0 è 1 âìåñòî x, ïîëó÷àåì
0, σ = 1;
1, σ = 1;
σ
σ
0 =
1 =
1, σ = 0,
0, σ = 0.
Âèäíî, ÷òî xσ = 1 òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà x = σ, ò. å. çíà÷åíèÿ
îñíîâàíèÿ è ïîêàçàòåëÿ ñîâïàäàþò.
×àñòî èñïîëüçóþò òàêæå îáîçíà÷åíèå x
e, ïîíèìàÿ ïîä ýòèì ëþáîé
èç äâóõ ëèòåðàëîâ | x èëè x.
Ôîðìóëó âèäà x
e1 · x
e2 · . . . · x
em , ãäå âñå ôèãóðèðóþùèå â íåé ïåðåìåííûå ïîïàðíî ðàçëè÷íû, íàçûâàþò ýëåìåíòàðíîé êîíúþíêöèåé,
à ôîðìóëó âèäà x
e1 ∨ x
e2 ∨ . . . ∨ x
em | ýëåìåíòàðíîé äèçúþíêöèåé.
Îáû÷íî ïðè çàïèñè ýëåìåíòàðíîé êîíúþíêöèè çíàêè óìíîæåíèÿ
îïóñêàþò.
Äèçúþíêòèâíàÿ íîðìàëüíàÿ ôîðìà (ÄÍÔ) îò ïåðåìåííûõ x1 ,
. . . , xn | ýòî ôîðìóëà âèäà K1 ∨ . . . ∨ Km , ãäå Ki , i = 1, m, | ýëåìåíòàðíàÿ êîíúþíêöèÿ, ñîäåðæàùàÿ íåêîòîðûå èç ëèòåðàëîâ x1 , . . . , xn .
Åñëè â êàæäóþ êîíúþíêöèþ Ki äëÿ êàæäîãî íîìåðà j = 1, n
âõîäèò ðîâíî îäèí èç ëèòåðàëîâ xej , ÄÍÔ íàçûâàþò ñîâåðøåííîé
äèçúþíêòèâíîé íîðìàëüíîé ôîðìîé (ÑÄÍÔ).
Êîíúþíêòèâíàÿ íîðìàëüíàÿ ôîðìà (ÊÍÔ) îò ïåðåìåííûõ x1 ,
. . . , xn | ýòî ôîðìóëà âèäà D1 · . . . · Dm , ãäå Di , i = 1, m, | ýëåìåíòàðíàÿ äèçúþíêöèÿ, ñîäåðæàùàÿ íåêîòîðûå èç ëèòåðàëîâ x1 , . . . , xn .
Åñëè â êàæäóþ äèçúþíêöèþ Di äëÿ êàæäîãî íîìåðà j = 1, n
âõîäèò ðîâíî îäèí èç ëèòåðàëîâ xej , ÊÍÔ íàçûâàþò ñîâåðøåííîé
êîíúþíêòèâíîé íîðìàëüíîé ôîðìîé (ÑÊÍÔ).
9
ÑÄÍÔ äëÿ ôóíêöèè f èìååò âèä
_
xα1 1 · . . . · xαnn .
f=
(1.2)
(α1 ,...,αn ):
f (α1 ,...,αn )=1
ÑÊÍÔ äëÿ òîé æå ôóíêöèè
^
f=
xα1 1 ∨ . . . ∨ xαnn .
(1.3)
(α1 ,...,αn ):
f (α1 ,...,αn )=0
Òåîðåìà. Ëþáàÿ áóëåâà ôóíêöèÿ, îòëè÷íàÿ îò êîíñòàíòû 0,
ïðåäñòàâèìà â âèäå ÑÄÍÔ, à ëþáàÿ áóëåâà ôóíêöèÿ, îòëè÷íàÿ îò
êîíñòàíòû 1, | â âèäå ÑÊÍÔ.
Ðàññìîòðèì â êà÷åñòâå ïðèìåðà ïîñòðîåíèå ÑÄÍÔ è ÑÊÍÔ äëÿ
ìàæîðèòàðíîé ôóíêöèè (ñì. òàáë. 1.3). Äëÿ ïîñòðîåíèÿ ÑÄÍÔ ïî
ôîðìóëå (1.2) íàäî âûäåëèòü íàáîðû, íà êîòîðûõ ôóíêöèÿ ïðèíèìàåò
çíà÷åíèå 1. Òàêèõ íàáîðîâ ÷åòûðå: (0, 1, 1), (1, 0, 1), (1, 1, 0)
è (1, 1, 1). Èì ñîîòâåòñòâóþò ýëåìåíòàðíûå êîíúþíêöèè K1 =
= x01 x12 x13 = x1 x2 x3 , K2 = x11 x02 x13 = x1 x2 x3 , K3 = x11 x12 x03 = x1 x2 x3
è K4 = x11 x12 x13 = x1 x2 x3 . ÑÄÍÔ, ïðåäñòàâëÿþùàÿ ìàæîðèòàðíóþ
ôóíêöèþ, èìååò âèä
K1 ∨ K2 ∨ K3 ∨ K4 = x1 x2 x3 ∨ x1 x2 x3 ∨ x1 x2 x3 ∨ x1 x2 x3 .
(1.4)
Äëÿ ïîëó÷åíèÿ ÑÊÍÔ äëÿ òîé æå ôóíêöèè ïî ôîðìóëå (1.3)
âûäåëèì íàáîðû (0, 0, 0), (0, 0, 1), (0, 1, 0), (1, 0, 0), íà êîòîðûõ
ôóíêöèÿ ðàâíà 0. Èì ñîïîñòàâëÿþòñÿ ýëåìåíòàðíûå äèçúþíêöèè
D1 = x01 ∨ x02 ∨ x03 = x11 ∨ x12 ∨ x13 = x1 ∨ x2 ∨ x3 ,
D2 = x01 ∨ x02 ∨ x13 = x11 ∨ x12 ∨ x03 = x1 ∨ x2 ∨ x3 ,
D3 = x01 ∨ x12 ∨ x03 = x11 ∨ x02 ∨ x13 = x1 ∨ x2 ∨ x3 ,
D4 = x11 ∨ x02 ∨ x03 = x01 ∨ x12 ∨ x13 = x1 ∨ x2 ∨ x3
ñîîòâåòñòâåííî. ÑÊÍÔ äëÿ ìàæîðèòàðíîé ôóíêöèè èìååò âèä
D1 ∧ D2 ∧ D3 ∧ D4 = (x1 ∨ x2 ∨ x3 ) ∧ (x1 ∨ x2 ∨ x3 ) ∧
∧ (x1 ∨ x2 ∨ x3 ) ∧ (x1 ∨ x2 ∨ x3 ). (1.5)
10
2. ÌÈÍÈÌÈÇÀÖÈß ÁÓËÅÂÛÕ
ÔÓÍÊÖÈÉ Â ÊËÀÑÑÅ ÄÍÔ
2.1. Ïðîáëåìà ìèíèìèçàöèè
ÑÄÍÔ, êîòîðàÿ ñòðîèòñÿ ïî òàáëèöå áóëåâîé ôóíêöèè, çà÷àñòóþ
îêàçûâàåòñÿ âåñüìà ñëîæíîé, òàê êàê îíà îáû÷íî ñîäåðæèò äîñòàòî÷íî ìíîãî ýëåìåíòàðíûõ êîíúþíêöèé è ëèòåðàëîâ. Îáû÷íî ÑÄÍÔ
óäàåòñÿ óïðîñòèòü è ïîëó÷èòü íåêîòîðóþ áîëåå ïðîñòóþ ÄÍÔ, ïðè÷åì òàêîå óïðîùåíèå ìîæíî ïðîäåëàòü ðàçíûìè ñïîñîáàìè.
Ðàññìîòðèì çàäà÷ó âûáîðà ñðåäè âñåõ ÄÍÔ, ïðåäñòàâëÿþùèõ
äàííóþ ôóíêöèþ, òàêîé ÄÍÔ, êîòîðàÿ ïðåäïî÷òèòåëüíåé, ïðîùå
â ñìûñëå íåêîòîðîãî êðèòåðèÿ. Ïðè ðåøåíèè óêàçàííîé çàäà÷è â
êà÷åñòâå êðèòåðèåâ ïðîñòîòû ïðèìåíÿþò ÷èñëî ëèòåðàëîâ, ÷èñëî
ýëåìåíòàðíûõ êîíúþíêöèé è ÷èñëî îòðèöàíèé, èñïîëüçóåìûõ äëÿ
çàïèñè ôîðìóëû.
×èñëî âõîäÿùèõ â ÄÍÔ ýëåìåíòàðíûõ êîíúþíêöèé íàçûâàþò
åå äëèíîé. Íàïðèìåð, ÑÄÍÔ (1.4) ñîäåðæèò 12 ëèòåðàëîâ (ïî òðè
ëèòåðàëà â êàæäîé èç ÷åòûðåõ ýëåìåíòàðíûõ êîíúþíêöèé), åå äëèíà
ðàâíà ÷åòûðåì è â åå çàïèñè èñïîëüçîâàíî òðè îòðèöàíèÿ.
ÄÍÔ íàçûâàþò:
{ ìèíèìàëüíîé, åñëè îíà ñîäåðæèò íàèìåíüøåå ÷èñëî ëèòåðàëîâ
ñðåäè âñåõ ÄÍÔ, ïðåäñòàâëÿþùèõ ôóíêöèþ f ;
{ êðàò÷àéøåé, åñëè îíà èìååò íàèìåíüøóþ äëèíó ñðåäè âñåõ
ÄÍÔ, ïðåäñòàâëÿþùèõ ôóíêöèþ f .
Ïðèìåð 2.1. ÄÍÔ x1 x2 ∨ x1 x2 íå ÿâëÿåòñÿ ìèíèìàëüíîé, òàê êàê
åå ìîæíî ïðåîáðàçîâàòü ê ýêâèâàëåíòíîé ÄÍÔ, íå ñîäåðæàùåé íè
îäíîãî èç ëèòåðàëîâ x
e1 , ò. å. x1 èëè x1 :
x1 x2 ∨ x1 x2 = (x1 ∨ x1 )x2 = x2 .
Âìåñòî ÷åòûðåõ ëèòåðàëîâ â èñõîäíîé ÄÍÔ ïîëó÷àåì ÄÍÔ, ñîñòîÿùóþ èç îäíîãî ëèòåðàëà. I
 ïðèíöèïå, ïðîáëåìó ïîèñêà ÄÍÔ, íàèëó÷øåé ïî ëþáîìó èç
ïðèâåäåííûõ âûøå êðèòåðèåâ, ìîæíî ðåøèòü ïîëíûì ïåðåáîðîì
11
âàðèàíòîâ. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè äëÿ ôóíêöèè f âûïèñàòü âñå ïðåäñòàâëÿþùèå åå ÄÍÔ è ðàññ÷èòàòü äëÿ êàæäîé êðèòåðèè ïðîñòîòû, òî
ìîæíî âûáðàòü íàèëó÷øóþ ïî çàäàííîìó êðèòåðèþ ÄÍÔ.
Ïðè ýòîì íå âïîëíå ÿñíî, êàê äëÿ çàäàííîé ôóíêöèè f îò n ïåðåìåííûõ âûïèñàòü âñå ïðåäñòàâëÿþùèå åå ÄÍÔ. Òåîðåòè÷åñêè ìîæíî
ïåðåáðàòü âñå ÄÍÔ îò n ïåðåìåííûõ è ñðåäè íèõ âûáðàòü íóæíûå.
Ïîñêîëüêó â êàæäóþ ýëåìåíòàðíóþ êîíúþíêöèþ êàæäîå ïåðåìåííîå ìîæåò âõîäèòü, íå âõîäèòü èëè âõîäèòü ñ îòðèöàíèåì, ÷èñëî
ðàçëè÷íûõ êîíúþíêöèé (âêëþ÷àÿ ïóñòóþ) ðàâíî 3n , à äëÿ ïðîâåðêè
n
ñîîòâåòñòâèÿ ÄÍÔ ôóíêöèè ïðèäåòñÿ âûïîëíèòü íå ìåíåå 23 áîëåå
ìåëêèõ îïåðàöèé. Äàæå ïðè n = 3 ïîëó÷èì 134 217 728 îïåðàöèé,
÷òî ãîâîðèò î ïðàêòè÷åñêîé íåïðèìåíèìîñòè ìåòîäà ïðÿìîãî ïåðåáîðà.
Çàìåòèì, ÷òî äëÿ ôóíêöèè f , ïðèíèìàþùåé õîòÿ áû îäíî íåíóëåâîå çíà÷åíèå, âñåãäà ñòðîèòñÿ ÑÄÍÔ. Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî â
ëþáóþ ÄÍÔ, ïðåäñòàâëÿþùóþ ôóíêöèþ f , ìîãóò âõîäèòü òîëüêî
êîíúþíêöèè, ïîëó÷åííûå èç íåêîòîðîé êîíúþíêöèè, âõîäÿùåé â
ÑÄÍÔ, ïóòåì âû÷åðêèâàíèÿ èç íåå íåêîòîðîãî ÷èñëà ëèòåðàëîâ.
Ñäåëàííîå íàáëþäåíèå ïîçâîëÿåò ñîêðàòèòü êîëè÷åñòâî ïðîñìàòðèâàåìûõ âàðèàíòîâ, îäíàêî äëÿ ôóíêöèé îò áîëüøîãî ÷èñëà
ïåðåìåííûõ ýòî êîëè÷åñòâî âñå ðàâíî îñòàåòñÿ çíà÷èòåëüíûì. Ê
ñîæàëåíèþ, ïîñòðîèòü àëãîðèòì, êîòîðûé áû íå îñíîâûâàëñÿ íà ïåðåáîðå âàðèàíòîâ, íåâîçìîæíî â ñèëó òîãî, ÷òî äëÿ çàäàííîé ôóíêöèè
f â îáùåì ñëó÷àå ìîæåò ñóùåñòâîâàòü íåñêîëüêî ÄÍÔ, íå ðàçëè÷èìûõ ïî ïðèâåäåííûì âûøå êðèòåðèÿì.
Ïðåäñòàâëÿåòñÿ ðàçóìíûì ñíà÷àëà ìàêñèìàëüíî ñîêðàòèòü êîëè÷åñòâî àíàëèçèðóåìûõ âàðèàíòîâ, èñïîëüçóÿ ÑÄÍÔ, à çàòåì âûáðàòü
ñðåäè íàéäåííûõ âàðèàíòîâ íàèëó÷øèé ïî çàäàííûì êðèòåðèÿì.
2.2. Ìèíèìèçàöèÿ ñ èñïîëüçîâàíèåì
òîæäåñòâ ñêëåéêè è ïîãëîùåíèÿ
Îñíîâîé àëãîðèòìà ìèíèìèçàöèè ÿâëÿþòñÿ òîæäåñòâî ïðîñòîé
ñêëåéêè è òîæäåñòâî ïîãëîùåíèÿ
xK ∨ xK = K,
xK ∨ K = K,
ãäå K | íåêîòîðàÿ ýëåìåíòàðíàÿ êîíúþíêöèÿ.
12
(2.1)
Åñëè xK è xK | íåêîòîðûå ýëåìåíòàðíûå êîíúþíêöèè, ïðèñóòñòâóþùèå â ÑÄÍÔ ìèíèìèçèðóåìîé ôóíêöèè, òî òîæäåñòâî ñêëåéêè
ïîçâîëÿåò ïîëó÷èòü ýëåìåíòàðíóþ êîíúþíêöèþ K, êîòîðàÿ ñîäåðæèò íà îäèí ëèòåðàë ìåíüøå, ÷åì èñõîäíûå êîíúþíêöèè, à òîæäåñòâî
ïîãëîùåíèÿ ïîçâîëÿåò óäàëèòü èç ôîðìóëû ýëåìåíòàðíûå êîíúþíêöèè xK è xK, çàìåíèâ èõ íà K. Îáðàçíî ãîâîðÿ, äâå ýëåìåíòàðíûå
êîíúþíêöèè <ñêëåèâàþòñÿ> â îäíó, â êîòîðîé ÷èñëî ëèòåðàëîâ íà
åäèíèöó ìåíüøå. Ñîîòâåòñòâåííî ïðèìåíåíèå òîæäåñòâà ïîãëîùåíèÿ óìåíüøàåò äëèíó ÄÍÔ íà åäèíèöó. Ê ïîëó÷åííîé ÄÍÔ ìîæíî
ñíîâà ïðèìåíèòü äâà óêàçàííûõ òîæäåñòâà. Òàê ñëåäóåò ïðîäîëæàòü
äî òåõ ïîð, ïîêà ïðèìåíåíèå òîæäåñòâ íå ñòàíåò íåâîçìîæíûì.
Ïîñêîëüêó òîæäåñòâî ñêëåéêè ïðèìåíèìî ê ðàçëè÷íûì ïàðàì
êîíúþíêöèé, âõîäÿùèõ â ÄÍÔ, ðåçóëüòàò ïðèìåíåíèÿ òîæäåñòâà
ñêëåéêè óäîáíî äîïèñûâàòü â ÄÍÔ áåç óäàëåíèÿ <ñêëåèâàåìûõ>
êîíúþíêöèé, ÷òî íå íàðóøàåò ðàâåíñòâà â ñèëó òîæäåñòâ áóëåâîé
àëãåáðû. Óäàëÿòü êîíúþíêöèè ñ èñïîëüçîâàíèåì òîæäåñòâà ïîãëîùåíèÿ ïðè ýòîì ñëåäóåò ïîñëå òîãî, êàê âñå âîçìîæíûå ñêëåéêè
âûïîëíåíû.
Ïðîâîäèìûå â ïðèìåðå 2.1 ïðåîáðàçîâàíèÿ ìîæíî èíòåðïðåòèðîâàòü êàê ïîñëåäîâàòåëüíîå ïðèìåíåíèå îäèí ðàç òîæäåñòâà ñêëåéêè
è äâà ðàçà òîæäåñòâà ïîãëîùåíèÿ:
x1 x2 ∨ x1 x2 = x1 x2 ∨ x1 x2 ∨ x2 = x2 .
 äàííîì ñëó÷àå ðåçóëüòèðóþùàÿ ÄÍÔ îêàçàëàñü åäèíñòâåííîé,
à ñëåäîâàòåëüíî, è ìèíèìàëüíîé, è êðàò÷àéøåé, è íàèëó÷øåé ïî
êîëè÷åñòâó îòðèöàíèé.
Ïðèìåð 2.2. Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ òðåõ ïåðåìåííûõ, çàäàííóþ
â âèäå ÑÄÍÔ:
f = x1 x2 x3 ∨ x1 x2 x3 ∨ x1 x2 x3 ∨ x1 x2 x3 ∨ x1 x2 x3 .
(2.2)
Ïðèìåíèì òîæäåñòâî ñêëåéêè ê ïåðâîé è âòîðîé, âòîðîé è òðåòüåé,
à òàêæå ê ÷åòâåðòîé è ïÿòîé êîíúþíêöèÿì. Ðåçóëüòàòû âûïîëíåíèÿ
13
òîæäåñòâà ñêëåéêè äîáàâèì ê èñõîäíîé ÑÄÍÔ. Çàìåòèì, ÷òî òàêîå
äîáàâëåíèå äàåò ÄÍÔ, ýêâèâàëåíòíóþ èñõîäíîé. Ïîëó÷èì
x1 x2 x3 ∨ x1 x2 x3 ∨ x1 x2 ∨
∨ x1 x2 x3 ∨ x1 x2 x3 ∨ x2 x3 ∨
∨ x1 x2 x3 ∨ x1 x2 x3 ∨ x1 x2 .
Ïîñëå ïðèìåíåíèÿ òîæäåñòâà ïîãëîùåíèÿ çàïèøåì ÄÍÔ
x1 x2 ∨ x2 x3 ∨ x1 x2 .
(2.3)
Äàëüíåéøåå óïðîùåíèå ôîðìóëû ñ èñïîëüçîâàíèåì òîæäåñòâ ñêëåéêè è ïîãëîùåíèÿ íåâîçìîæíî.
Ðàññìîòðåííûé âàðèàíò ïðåîáðàçîâàíèÿ íå ÿâëÿåòñÿ åäèíñòâåííûì. Ïðèìåíèì òîæäåñòâî ñêëåéêè ê ïåðâîé è âòîðîé, òðåòüåé è
ïÿòîé, ÷åòâåðòîé è ïÿòîé êîíúþíêöèÿì. Çàïèøåì
x1 x2 x3 ∨ x1 x2 x3 ∨ x1 x2 ∨
∨ x1 x2 x3 ∨ x1 x2 x3 ∨ x1 x3 ∨
∨ x1 x2 x3 ∨ x1 x2 x3 ∨ x1 x2 .
Ïîñëå âûïîëíåíèÿ òîæäåñòâà ïîãëîùåíèÿ ïîëó÷èì ÄÍÔ
x1 x2 ∨ x1 x3 ∨ x1 x2 ,
(2.4)
îòëè÷íóþ îò ÄÍÔ (2.3). Äàëüíåéøåå óïðîùåíèå ÄÍÔ (2.4) òàêæå
íåâîçìîæíî.
Åñëè â èñõîäíîé ÑÄÍÔ êî âñåì âîçìîæíûì ïàðàì (ïåðâîé è
âòîðîé, âòîðîé è òðåòüåé, òðåòüåé è ïÿòîé, ÷åòâåðòîé è ïÿòîé
êîíúþíêöèÿì) ïðèìåíèòü òîæäåñòâî ñêëåéêè, à çàòåì òîæäåñòâî
ïîãëîùåíèÿ, ïîëó÷èì ÄÍÔ
x1 x2 ∨ x2 x3 ∨ x1 x2 ∨ x1 x3 ,
(2.5)
êîòîðàÿ ñîäåðæèò âñå êîíúþíêöèè, âõîäÿùèå â ÄÍÔ (2.3) è (2.4).
Äðóãèõ ÄÍÔ, ýêâèâàëåíòíûõ ÑÄÍÔ (2.2), ïîñòðîèòü íå óäàåòñÿ.
14
Èç òðåõ ïîëó÷åííûõ ÄÍÔ äâå ïåðâûå ÿâëÿþòñÿ êðàò÷àéøèìè
è ìèíèìàëüíûìè, ïðè÷åì ÄÍÔ (2.4) ñîäåðæèò íà îäíî îòðèöàíèå
ìåíüøå. Åñëè ïîñëåäîâàòåëüíî ïðèìåíÿòü âñå òðè êðèòåðèÿ, òî
èìåííî (2.4) îêàçûâàåòñÿ íàèëó÷øåé ÄÍÔ. I
Íåîæèäàííûì îêàçàëñÿ ðåçóëüòàò ïðèìåíåíèÿ òîæäåñòâà ñêëåéêè
êî âñåì âîçìîæíûì ïàðàì ýëåìåíòàðíûõ êîíúþíêöèé â ÑÄÍÔ:
ïîëó÷åííàÿ ÄÍÔ îêàçàëàñü äëèííåå, ÷åì ÄÍÔ (2.3) è (2.4).
Çàìåòèì, ÷òî âñå òðè ïîëó÷åííûå ÄÍÔ ñîäåðæàò îáùóþ ÷àñòü
D = x1 x2 ∨ x1 x2 , à ÄÍÔ (2.3) è (2.4) îáðàçóþòñÿ äîáàâëåíèåì ê
D êîíúþíêöèé x2 x3 è x1 x3 ñîîòâåòñòâåííî, ïðè÷åì äîáàâëÿåìûå
êîíúþíêöèè ñîäåðæàòñÿ â (2.5).
2.3. Àëãîðèòì ìèíèìèçàöèè
Àíàëèç ïðèìåðà (2.2) ïîçâîëÿåò ïðåäëîæèòü ñëåäóþùèé àëãîðèòì ìèíèìèçàöèè:
1) ïîñëåäîâàòåëüíî âûïîëíÿÿ âñå âîçìîæíûå ñêëåéêè, à çàòåì ïðèìåíÿÿ ê ðåçóëüòàòó òîæäåñòâî ïîãëîùåíèÿ, ïîëó÷èòü ÄÍÔ
(íàçûâàåìóþ ñîêðàùåííîé ÄÍÔ), ñîäåðæàùóþ âñå êîíúþíêöèè,
äàëüíåéøåå óïðîùåíèå êîòîðûõ ñ ïîìîùüþ óêàçàííûõ òîæäåñòâ íåâîçìîæíî;
2) âûäåëèòü èç ñîêðàùåííîé ÄÍÔ îáùóþ ÷àñòü, âõîäÿùóþ â ëþáóþ ÄÍÔ, ñîñòàâëåííóþ èç ïðîñòûõ èìïëèêàíò è ïðåäñòàâëÿþùóþ
ôóíêöèþ f , à çàòåì ñ èñïîëüçîâàíèåì ïðîñòûõ èìïëèêàíò, âõîäÿùèõ
â ñîêðàùåííóþ ÄÍÔ, âûïèñàòü âñå âîçìîæíûå ÄÍÔ, ïðåäñòàâëÿþùèå ôóíêöèþ f ;
3) íàéòè ñðåäè âûïèñàííûõ ÄÍÔ ëó÷øèå ïî ïðèâåäåííûì âûøå
êðèòåðèÿì.
Ýëåìåíòàðíûå êîíúþíêöèè, âõîäÿùèå â ñîêðàùåííóþ ÄÍÔ
ôóíêöèè f , íàçûâàþò ïðîñòûìè èìïëèêàíòàìè áóëåâîé ôóíêöèè f .
Ïðîñòóþ èìïëèêàíòó áóëåâîé ôóíêöèè f ìîæíî îïðåäåëèòü
êàê òàêóþ ýëåìåíòàðíóþ êîíúþíêöèþ â ñîñòàâå íåêîòîðîé ÄÍÔ,
ïðåäñòàâëÿþùåé ôóíêöèþ f , ÷òî óäàëåíèå èç íåå ëþáîãî ëèòåðàëà
ïðèâîäèò ê òîìó, ÷òî îíà ïåðåñòàåò áûòü èìïëèêàíòîé.
15
Íàïðèìåð, êîíúþíêöèÿ x1 x2 x3 (ñì. ïðèìåð 2.2) íå ÿâëÿåòñÿ
ïðîñòîé èìïëèêàíòîé ôóíêöèè f , òàê êàê èç íåå ìîæíî óäàëèòü
ëèòåðàë x3 è ïîëó÷èòü êîíúþíêöèþ x1 x2 . Ýòà êîíúþíêöèÿ áóäåò
ïðîñòîé èìïëèêàíòîé.
Äàäèì ãåîìåòðè÷åñêóþ èíòåðïðåòàöèþ ïåðâîìó øàãó ïðåäëîæåííîãî àëãîðèòìà. Óñòàíîâèì ñìûñë ïðîñòîé ñêëåéêè ñ òî÷êè
çðåíèÿ ãåîìåòðèè áóëåâà êóáà.
Íàïîìíèì, ÷òî êàæäîìó íàáîðó α
e = (α1 , . . . , αn ), äëÿ êîòîðîãî
f (e
α) = 1 â ÑÄÍÔ ñîîòâåòñòâóåò ýëåìåíòàðíàÿ êîíúþíêöèÿ Kαe =
= xα1 1 · . . . · xαnn , ïðèíèìàþùàÿ çíà÷åíèå 1 òîëüêî íà íàáîðå α
e.
Ïðîñòàÿ ñêëåéêà ìîæåò áûòü ïðèìåíåíà ëèøü ê òàêèì äâóì
ýëåìåíòàðíûì êîíúþíêöèÿì Kαe è Kβe, êîòîðûå îòëè÷àþòñÿ òîëüêî
îäíèì ëèòåðàëîì. Ýòî çíà÷èò, ÷òî ñîîòâåòñòâóþùèå íàáîðû α
e, βe
ðàçëè÷àþòñÿ çíà÷åíèåì âñåãî îäíîé êîìïîíåíòû, ò. å. îíè îáðàçóþò
ðåáðî áóëåâà êóáà Bn .
Ñëåäîâàòåëüíî, òîæäåñòâî ïðîñòîé ñêëåéêè ìîæíî ïðèìåíèòü
òîëüêî ê òåì ýëåìåíòàðíûì êîíúþíêöèÿì èñõîäíîé ÑÄÍÔ, ïðåäñòàâëÿþùåé ôóíêöèþ f , êîòîðûå ñîîòâåòñòâóþò ýëåìåíòàì êàêîãîëèáî ðåáðà áóëåâà êóáà, íà êîòîðîì ôóíêöèÿ f ïðèíèìàåò åäèíè÷íîå
çíà÷åíèå.
Ïðèìåíÿÿ ïðîñòóþ ñêëåéêó ê èñõîäíîé ÑÄÍÔ Φ, ïîëó÷àåì
íîâóþ ÄÍÔ Φ1 . Åñëè âîçìîæíî, ê íåé òàêæå ïðèìåíÿåì ïðîñòóþ
ñêëåéêó | ïîëó÷àåì ÄÍÔ Φ2 .
Ãåîìåòðèÿ ïîâòîðåíèÿ ïðîñòîé ñêëåéêè ñîñòîèò â äàëüíåéøåì
ñêëåèâàíèè êàæäîé ïàðû ðåáåð, ïðèíàäëåæàùèõ îäíîé ãðàíè ðàçìåðíîñòè 2 è íå èìåþùèõ îáùåé âåðøèíû (ïðîòèâîëåæàùèõ), íà
êîòîðûõ çíà÷åíèå ôóíêöèè ðàâíî 1, â ãðàíè ðàçìåðíîñòè 2. Îòìåòèì, ÷òî äâà ðåáðà, ïðèíàäëåæàùèå îäíîé ãðàíè ðàçìåðíîñòè 2 è
èìåþùèå îáùóþ âåðøèíó, íå ñêëåèâàþòñÿ.
Ïðîäîëæàåì âûïîëíÿòü ýòó îïåðàöèþ äî òåõ ïîð, ïîêà íå îêàæåòñÿ, ÷òî äëÿ íåêîòîðîãî k â ÄÍÔ Φk óæå íåëüçÿ ñêëåèòü íèêàêèå äâå
ýëåìåíòàðíûå êîíúþíêöèè.  ñèëó êîíå÷íîñòè áóëåâà êóáà òàêîå k
âñåãäà íàéäåòñÿ.
16
Ïðèìåð 2.3. Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ f îò òðåõ ïåðåìåííûõ,
çàäàííóþ ñëåäóþùåé ÑÄÍÔ:
x1 x2 x3 ∨ x1 x2 x3 ∨ x1 x2 x3 ∨ x1 x2 x3 .
(2.6)
Ïðèìåíèì òîæäåñòâî ïðîñòîé ñêëåéêè ê ïåðâîé è òðåòüåé, à òàêæå
êî âòîðîé è ÷åòâåðòîé ýëåìåíòàðíûì êîíúþíêöèÿì â (2.6):
x1 x2 x3 ∨ x1 x2 x3 = x2 x3 ,
x1 x2 x3 ∨ x1 x2 x3 = x2 x3 .
 ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì
f = x2 x3 ∨ x2 x3 .
(2.7)
Ñ ãåîìåòðè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ ñêëåéêà
ïåðâîé è òðåòüåé êîíúþíêöèé â ôîðìóëå
(2.6) îçíà÷àåò, ÷òî ôóíêöèÿ f ïðèíèìàåò
åäèíè÷íîå çíà÷åíèå íà ðåáðå [000, 100]
(ñì. ðèñ. 2.1), à ñêëåéêà âòîðîé è ÷åòâåðòîé
êîíúþíêöèé | íà ðåáðå [001, 101].
Ýòè ðåáðà ÿâëÿþòñÿ ñîñåäíèìè. Êðîìå
òîãî, îêàçûâàåòñÿ, ÷òî ôóíêöèÿ f ïðèíèìàåò åäèíè÷íîå çíà÷åíèå è íà äðóãîé ïàðå
ñîñåäíèõ ðåáåð: [000, 001] è [100, 101].
Åñëè ôóíêöèÿ ïðèíèìàåò åäèíè÷íîå
Ðèñ. 2.1
çíà÷åíèå íà äâóõ ñîñåäíèõ ïðîòèâîëåæàùèõ ðåáðàõ áóëåâà êóáà, òî îíà ðàâíà 1 â ëþáîé òî÷êå îáðàçóåìîé
èìè ãðàíè ðàçìåðíîñòè 2. Ïðèìåíÿÿ ïðîñòóþ ñêëåéêó ê (2.7) (ïî
ïåðåìåííîìó x3 ), ïîëó÷àåì f (x1 , x2 , x3 ) = x2 . I
Ïðèìåð 2.4. Ðàññìîòðèì ñ ãåîìåòðè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ ïîèñê
ñîêðàùåííîé ÄÍÔ äëÿ ôóíêöèè, ïðèâåäåííîé â ïðèìåðå 2.2.
Íà ðèñ. 2.2 âûäåëåíû ïÿòü âåðøèí, â êîòîðûõ ôóíêöèÿ ïðèíèìàåò çíà÷åíèå 1, è ÷åòûðå ñîîòâåòñòâóþùèõ èì ðåáðà áóëåâà êóáà.
Êàæäîìó èç âûäåëåííûõ ÷åòûðåõ ðåáåð ñîîòâåòñòâóåò êîíúþíêöèÿ, ÿâëÿþùàÿñÿ ðåçóëüòàòîì âûïîëíåíèÿ ïðîñòîé ñêëåéêè: ðåáðó
17
[000, 001] ñîîòâåòñòâóåò ñêëåéêà x1 x2 x3 ∨
∨ x1 x2 x3 = x1 x2 , ðåáðó [001, 101] | ñêëåéêà
x1 x2 x3 ∨ x1 x2 x3 = x2 x3 , ðåáðó [101, 111] |
ñêëåéêà x1 x2 x3 ∨ x1 x2 x3 = x1 x3 , à ðåáðó
[111, 110] | ñêëåéêà x1 x2 x3 ∨ x1 x2 x3 =
= x1 x2 .
Ïîñêîëüêó êàæäàÿ ïàðà ðåáåð, ïðèíàäëåæàùèõ îäíèì ãðàíÿì êóáà ðàçìåðíîñòè 2,
èìååò îáùóþ âåðøèíó, ïðèìåíèòü òîæäåñòâî ñêëåéêè ê êîíúþíêöèÿì, íàéäåíÐèñ. 2.2
íûì íà ïåðâîì øàãå, íå óäàåòñÿ.
Ïîëó÷åííàÿ â ðåçóëüòàòå ïðåîáðàçîâàíèé ñîêðàùåííàÿ ÄÍÔ èìååò âèä
x1 x2 ∨ x2 x3 ∨ x1 x3 ∨ x1 x2 . I
2.4. Êàðòû Êàðíî
Äëÿ áóëåâûõ ôóíêöèé îò òðåõ è ÷åòûðåõ ïåðåìåííûõ ïðîöåäóðà
ñêëåéêè íàãëÿäíî è ïðîñòî âûïîëíÿåòñÿ íà òàê íàçûâàåìûõ êàðòàõ
Êàðíî, ïðåäñòàâëÿþùèõ ñîáîé ïðÿìîóãîëüíûå òàáëèöû.
Äëÿ ôóíêöèè îò òðåõ ïåðåìåííûõ êàðòà Êàðíî ñ çàäàííîé íà íåé
ôóíêöèåé èç ïðèìåðà 2.3 ïîêàçàíà íà ðèñ. 2.3, à. Íà ðèñóíêå òàêæå
èçîáðàæåí áóëåâ êóá B3 è âûäåëåíû íàáîðû, íà êîòîðûõ ýòà ôóíêöèÿ
ïðèíèìàåò çíà÷åíèÿ 1.
 êàðòå Êàðíî còðîêè îòìå÷åíû íàáîðàìè çíà÷åíèé ïåðåìåííîãî
x1 , à ñòîëáöû | x2 , x3 .  êëåòêàõ òàáëèöû ïèøóò 1 â òîì ñëó÷àå,
åñëè íà ñîîòâåòñòâóþùåì íàáîðå èññëåäóåìàÿ ôóíêöèÿ ïðèíèìàåò
çíà÷åíèå 1. Ïîýòîìó êàðòó Êàðíî ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ñïåöèàëüíóþ òàáëèöó, çàäàþùóþ áóëåâó ôóíêöèþ.
Ïîðÿäîê ñëåäîâàíèÿ íàáîðîâ ïåðåìåííûõ â ñòðîêàõ è ñòîëáöàõ
îïðåäåëåí òàê, ÷òîáû äâóì ñîñåäíèì ïî ãîðèçîíòàëè èëè âåðòèêàëè
êëåòêàì ñîîòâåòñòâîâàëè íàáîðû, ñîåäèíåííûå â áóëåâîì êóáå ðåáðîì. Èìåííî ñ ýòèì ñâÿçàíî ñëåäîâàíèå íàáîðà 11 ïîñëå íàáîðà
01 â çàãîëîâêàõ ñòîëáöîâ òàáëèöû. Íàïðèìåð, ìîæíî çàìåòèòü, ÷òî
18
êëåòêè òàáëèöû, ïîìå÷åííûå íàáîðàìè 000 è 010, ñîîòâåòñòâóþò
â áóëåâîì êóáå âåðøèíàì, ïðèíàäëåæàùèì îäíîìó ðåáðó. Ïî
ñóùåñòâó êàðòà Êàðíî åñòü òàáëè÷íûé ñïîñîá îïèñàíèÿ áóëåâà êóáà.
Óêàçàííàÿ îñîáåííîñòü êàðòû Êàðíî ïîçâîëÿåò ëåãêî íàõîäèòü
ýëåìåíòàðíûå êîíúþíêöèè, ê êîòîðûì ìîæíî ïðèìåíèòü òîæäåñòâî
ñêëåéêè: åñëè äâå åäèíèöû ðàñïîëîæåíû ðÿäîì â ñòðîêå èëè â ñòîëáöå, ëèáî ÿâëÿþòñÿ ñîñåäíèìè ïðè ïåðåõîäå ÷åðåç <êðàé> òàáëèöû, òî
ñîîòâåòñòâóþùèå èì ýëåìåíòàðíûå êîíúþíêöèè ñêëåèâàþòñÿ.
Âåðíåìñÿ ê çàäà÷å ìèíèìèçàöèè ôóíêöèè, îïèñàííîé â ïðèìåðå 2.3. Âûïîëíåííûå â ýòîì ïðèìåðå ñêëåéêè ïîêàçàíû íà ðèñ. 2.3, à
â âèäå ïðÿìîóãîëüíèêîâ. Ñêëåéêà ïåðâîé è òðåòüåé êîíúþíêöèé â
ÑÄÍÔ (2.6) ñîîòâåòñòâóåò ñêëåéêå äâóõ åäèíèö â ïåðâîì ñòîëáöå, à
âòîðîé è ÷åòâåðòîé êîíúþíêöèé | äâóõ åäèíèö âî âòîðîì ñòîëáöå.
Ðåçóëüòàò ñêëåéêè íà êàðòå óäîáíî çàïèñûâàòü â âèäå ñïåöèàëüíîãî íàáîðà, ñîäåðæàùåãî 0, 1 è × (êðåñòèê), ïðè÷åì êðåñòèê çàíèìàåò
ïîçèöèþ òîãî ïåðåìåííîãî, ïî êîòîðîìó ïðîâåäåíà ñêëåéêà. Ïî òàêîìó íàáîðó ðåçóëüòàò ñêëåéêè âûïèñûâàþò òàê: 0 ñîîòâåòñòâóåò
îòðèöàíèå ïåðåìåííîãî, 1 | ñàìî ïåðåìåííîå, à ïåðåìåííûå, ñîîòâåòñòâóþùèå ×, ïðîïóñêàþòñÿ.
Çàìåòèì, ÷òî â ïðèìåðå 2.3 óäàëîñü ïðèìåíèòü òîæäåñòâî ñêëåéêè åùå ðàç. Íà êàðòå Êàðíî ýòîìó ñîîòâåòñòâóåò ñêëåéêà, îáúåäèíÿþùàÿ ÷åòûðå åäèíèöû. Ðåçóëüòàò òàêîé ñêëåéêè ìîæíî ïîëó÷èòü,
ñðàâíèâ íàáîðû, îïèñûâàþùèå ðåçóëüòàòû ñêëååê äâóõ åäèíèö. Ðåçóëüòèðóþùåìó íàáîðó ×0× ñîîòâåòñòâóåò êîíúþíêöèÿ x2 .
Íà ðèñ. 2.3, à â áóëåâîì êóáå âûäåëåíû ðåáðà, à íà ðèñ. 2.3, â |
äâóìåðíàÿ ãðàíü, â êîòîðûå <ñêëåèëèñü> âåðøèíû.
Ïðèìåíÿòü òîæäåñòâî ñêëåéêè ìîæíî áûëî è â äðóãîì ïîðÿäêå |
ïî ñòðîêàì (ñì. ðèñ. 2.3, á).  ýòîì ñëó÷àå íà ïåðâîì ýòàïå âîçíèêàþò
êîíúþíêöèè, îòëè÷íûå îò êîíúþíêöèé, ïîëó÷àåìûõ ïðè âûïîëíåíèè ñêëåéêè ïî ñòîëáöàì. Íà âòîðîì ýòàïå òàêæå óäàåòñÿ âûïîëíèòü
ñêëåéêó, ðåçóëüòàò êîòîðîé ñîâïàäàåò ñ ðåçóëüòàòîì, ïîëó÷åííûì ïðè
ïåðâîíà÷àëüíîé ñêëåéêå ïî âåðòèêàëè. Ñ ãåîìåòðè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ â ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå äðóãàÿ ïàðà ïðîòèâîëåæàùèõ ðåáåð
<ñêëåèëàñü> â òó æå ãðàíü ðàçìåðíîñòè 2.
19
Ðèñ. 2.3
20
 äàííîì ñëó÷àå ìîæíî ñðàçó ãîâîðèòü î ñêëåéêå íà ÷åòûðå
åäèíèöû (ñì. ðèñ. 2.3, â) è íå âûäåëÿòü âõîäÿùèå â òàêóþ ñêëåéêó
áîëåå ìåëêèå. Ýòî ñîîòâåòñòâóåò âûäåëåíèþ ãðàíè â áóëåâîì êóáå.
Ðèñ. 2.4
Ïðèìåð 2.5. Âûïîëíèì ñ èñïîëüçîâàíèåì êàðòû Êàðíî ïîñòðîåíèå ñîêðàùåííîé ÄÍÔ äëÿ ìàæîðèòàðíîé ôóíêöèè (ñì. òàáë. 1.3).
Íà êàðòå, ïîêàçàííîé íà ðèñ. 2.4,
ïðèâåäåíû âñå âîçìîæíûå ñêëåéêè.
Çäåñü ñêëåéêà 11× ñîîòâåòñòâóåò ðåáðó áóëåâà êóáà [110, 111],
1 × 1 è × 1 1 | ðåáðàì [101, 111]
è [011, 111] ñîîòâåòñòâåííî.
Êàæäîé ñêëåéêå ñîîòâåòñòâóåò
ïðîñòàÿ èìïëèêàíòà ôóíêöèè. Â
ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåì ñîêðàùåííóþ
ÄÍÔ ìàæîðèòàðíîé ôóíêöèè â
âèäå
x1 x2 ∨ x1 x3 ∨ x2 x3 . I
Ðèñ. 2.5
Ïðèìåð 2.6. Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ îò òðåõ ïåðåìåííûõ f = {0, 1, 2, 4, 5}. Êàðòà Êàðíî ôóíêöèè
è ìàêñèìàëüíûå ñêëåéêè ïîêàçàíû íà ðèñ. 2.5. Îòìåòèì, ÷òî îäíà
èç ñêëååê âûïîëíÿåòñÿ <÷åðåç êðàé>, à äðóãàÿ | ñðàçó íà ÷åòûðå
åäèíèöû. Ñîêðàùåííàÿ ÄÍÔ èìååò âèä x2 ∨ x1 x3 . I
Êàðòà Êàðíî äëÿ ôóíêöèè îò ÷åòûðåõ ïåðåìåííûõ åñòü òàáëè÷íîå ïðåäñòàâëåíèå áóëåâà êóáà B4 . Ñòðîêè êàðòû ïîìå÷åíû íàáîðàìè
çíà÷åíèé ïåðåìåííûõ x1 , x2 , à ñòîëáöû | x3 , x4 . Íà ðèñ. 2.6 ïîêàçàíà êàðòà Êàðíî äëÿ ôóíêöèè f = {0, 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10}. Íà êàðòå
îáîçíà÷åíû ìàêñèìàëüíûå ñêëåéêè, ñîîòâåòñòâóþùèå ïðîñòûì èìïëèêàíòàì ôóíêöèè. Òàêæå íà ðèñóíêå ïîêàçàí áóëåâ êóá, íà êîòîðîì
âûäåëåíû ðåáðà è ãðàíè, ñîîòâåòñòâóþùèå ìàêñèìàëüíûì ñêëåéêàì.
21
Ðèñ. 2.6
Íà êàðòå âûäåëÿþò äâà ïðÿìîóãîëüíèêà íà ÷åòûðå åäèíèöû:
×0×0 è 0×0×, ñîîòâåòñòâóþùèå ãðàíÿì ðàçìåðíîñòè 2, è îäèí
ïðÿìîóãîëüíèê 01×1, îòâå÷àþùèé ðåáðó, êîòîðîå íå ñîäåðæèòñÿ íè
â îäíîé èç óêàçàííûõ âûøå ãðàíåé.
Äëÿ êàðòû, ïîêàçàííîé íà ðèñ. 2.6, ïîëó÷èì ñîêðàùåííóþ ÄÍÔ
â âèäå x2 x4 ∨ x1 x3 ∨ x1 x2 x4 .
Âûäåëåíèå ïðÿìîóãîëüíèêîâ íà êàðòå Êàðíî ïðîâîäèòñÿ ñ ó÷åòîì
ãåîìåòðèè áóëåâà êóáà. Òàê, ïðÿìîóãîëüíèê íà êàðòå, îáîçíà÷åííûé
×0×0, îáðàçîâàí äâóìÿ ïàðàìè ïðîòèâîïîëîæíûõ óãëîâûõ êëåòîê,
íî ñîîòâåòñòâóåò îäíîé ãðàíè êóáà.
Äëÿ ôóíêöèè îò ÷åòûðåõ ïåðåìåííûõ âîçìîæíî ïîëó÷åíèå ñêëåéêè íà âîñåìü åäèíèö (ðèñ. 2.7). Òàêàÿ ñêëåéêà îòâå÷àåò ãðàíè êóáà
ðàçìåðíîñòè 3. Îòìåòèì, ÷òî è çäåñü ñêëåéêà âûïîëíÿëàñü <÷åðåç
êðàé> òàáëèöû ñ ó÷åòîì ãåîìåòðèè áóëåâà êóáà.  ïðèíöèïå, äëÿ
ôóíêöèè ÷åòûðåõ ïåðåìåííûõ âîçìîæíà ñêëåéêà øåñòíàäöàòè åäèíèö, îäíàêî ýòî | òðèâèàëüíûé ñëó÷àé.
Òàêèì îáðàçîì, åñëè íà êàðòå Êàðíî ìû ñðàçó áóäåì âûäåëÿòü
âñå ìàêñèìàëüíûå (â óêàçàííîì âûøå ñìûñëå) ïðÿìîóãîëüíèêè íà
22
Ðèñ. 2.7
2k åäèíèö (äëÿ íåêîòîðîãî k > 0, íå ïðåâûøàþùåãî ÷èñëà ïåðåìåííûõ), òî òåì ñàìûì ìû ãåîìåòðè÷åñêè ðåàëèçóåì îïèñàííûé ðàíåå
àëãåáðàè÷åñêèé èòåðàöèîííûé ïðîöåññ ñêëåéêè è â ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì âñå ïðîñòûå èìïëèêàíòû èñõîäíîé ôóíêöèè, ñîñòàâëÿþùèå
ñîêðàùåííóþ ÄÍÔ. Ýòè èìïëèêàíòû ëåãêî âûïèñûâàþòñÿ ïî óñëîâíûì îáîçíà÷åíèÿì ïðÿìîóãîëüíèêîâ.
2.5. Îïðåäåëåíèå ÿäðà. ÄÍÔ Êâàéíà
Ïðèìåíåíèå êàðò Êàðíî ïîçâîëèëî âûïèñàòü âñå ïðîñòûå èìïëèêàíòû è ïîëó÷èòü ñîêðàùåííóþ ÄÍÔ. Ñëåäóþùåé çàäà÷åé ÿâëÿåòñÿ
âûäåëåíèå îáùåé ÷àñòè, âõîäÿùåé âî âñå ïðåäñòàâëÿþùèå çàäàííóþ ôóíêöèþ ÄÍÔ, êîòîðûå ìîæíî ïîëó÷èòü èç ñîêðàùåííîé ÄÍÔ
âû÷åðêèâàíèåì íåêîòîðûõ êîíúþíêöèé.
Ãîâîðÿò, ÷òî ýëåìåíòàðíàÿ êîíúþíêöèÿ K ïîêðûâàåò ýëåìåíòàðíóþ êîíúþíêöèþ L (è ïèøóò K L), åñëè ëþáîé ëèòåðàë,
âõîäÿùèé â K, âõîäèò â L. Òàê, x1 x2 x1 x2 x3 , x1 x3 x1 x2 x3 ,
23
íî x1 x3 6 x1 x2 x3 , ïîñêîëüêó âòîðàÿ êîíúþíêöèÿ ñîäåðæèò ëèòåðàë
x3 , îòñóòñòâóþùèé â ïåðâîé êîíúþíêöèè. Ñîãëàñíî òîæäåñòâó ïîãëîùåíèÿ, èç K L ñëåäóåò, ÷òî K ∨ L = K.
Êàæäàÿ âõîäÿùàÿ â ñîêðàùåííóþ ÄÍÔ ïðîñòàÿ èìïëèêàíòà ïîêðûâàåò íåêîòîðóþ ýëåìåíòàðíóþ êîíúþíêöèþ èñõîäíîé ÑÄÍÔ. Íà
êàðòå Êàðíî ýòîìó îòâå÷àåò ïðÿìîóãîëüíèê, çàêðûâàþùèé ñîîòâåòñòâóþùóþ åäèíèöó.
Ïðîñòóþ èìïëèêàíòó íàçûâàþò ÿäðîâîé, åñëè îíà ïîêðûâàåò
íåêîòîðóþ ýëåìåíòàðíóþ êîíúþíêöèþ èñõîäíîé ÑÄÍÔ, íå ïîêðûâàåìóþ íèêàêîé äðóãîé ïðîñòîé èìïëèêàíòîé. Íà êàðòå Êàðíî
î÷åíü ëåãêî îòûñêàòü ïðÿìîóãîëüíèê, ñîîòâåòñòâóþùèé ÿäðîâîé èìïëèêàíòå: ýòî òàêîé ïðÿìîóãîëüíèê, óäàëèâ êîòîðûé, ìû ïîëó÷èì
åäèíèöó, íå çàêðûòóþ íèêàêèì äðóãèì ïðÿìîóãîëüíèêîì. Ñëåäîâàòåëüíî, íè îäíà ÿäðîâàÿ èìïëèêàíòà íå ìîæåò áûòü óäàëåíà èç
èñêîìîé ìèíèìàëüíîé ÄÍÔ èñõîäíîé ôóíêöèè.
Ìíîæåñòâî âñåõ ÿäðîâûõ èìïëèêàíò (ñêëååê) ñîêðàùåííîé ÄÍÔ
íàçûâàþò ÿäðîì.
Ïðèìåð 2.7. Ó ìàæîðèòàðíîé
ôóíêöèè âñå èìïëèêàíòû ÿâëÿþòñÿ
ÿäðîâûìè (ñì. ðèñ. 2.4), ïîñêîëüêó
óäàëåíèå ëþáîãî ïðÿìîóãîëüíèêà
ïðèâîäèò ê ïîÿâëåíèþ åäèíèöû, íå
çàêðûòîé äðóãèìè ïðÿìîóãîëüíèêàìè.
Ðèñ. 2.8
Ó ôóíêöèè, èçîáðàæåííîé íà
êàðòå Êàðíî (ðèñ. 2.8), ÿäðî ïóñòî, ò. å. íè îäíà èìïëèêàíòà íå ÿâëÿåòñÿ ÿäðîâîé, ïîñêîëüêó ïðè óäàëåíèè îäíîãî ëþáîãî ïðÿìîóãîëüíèêà
âñå åäèíèöû îñòàþòñÿ çàêðûòûìè.
Íà êàðòå Êàðíî (ðèñ. 2.9) âûäåëåíû ñêëåéêè 0××1, 0×1×, 1×00,
ÿâëÿþùèåñÿ ÿäðîâûìè. Äâå ñêëåéêè 10×0 è ×010 íå ÿäðîâûå,
ïîñêîëüêó óäàëåíèå ëþáîãî èç èçîáðàæàþùèõ èõ ïðÿìîóãîëüíèêîâ
íå ïðèâåäåò ê ïîÿâëåíèþ îòêðûòûõ åäèíèö. I
24
Åñëè âñå ïðîñòûå èìïëèêàíòû
îêàçàëèñü â ÿäðå, òî ñîêðàùåííàÿ
ÄÍÔ è åñòü åäèíñòâåííàÿ ìèíèìàëüíàÿ è êðàò÷àéøàÿ ÄÍÔ äëÿ
äàííîé ôóíêöèè. Èìåííî òàê îáñòîèò äåëî ñ ìàæîðèòàðíîé ôóíêöèåé (ñì. ïðèìåð 2.5).
Ìîæåò îêàçàòüñÿ, ÷òî íà êàðòå
Êàðíî èìåþòñÿ ñêëåéêè, íå ÿâëÿþùèåñÿ ÿäðîâûìè, íî ïîêðûâàþÐèñ. 2.9
ùèå òîëüêî åäèíèöû, óæå ïîêðûòûå ÿäðîâûìè ñêëåéêàìè.
Òàêèå ñêëåéêè îêàçûâàþòñÿ ëèøíèìè, ò. å. óäàëåíèå ñîîòâåòñòâóþùèõ èì ïðîñòûõ èìïëèêàíò èç ñîêðàùåííîé ÄÍÔ íå ïðèâîäèò ê
íàðóøåíèþ ýêâèâàëåíòíîñòè ýòîé ÄÍÔ ñ èñõîäíîé ÑÄÍÔ. ÄÍÔ,
ïîëó÷àþùàÿñÿ èç ñîêðàùåííîé ÄÍÔ ïîñëå óäàëåíèÿ âñåõ ïðîñòûõ
èìïëèêàíò, ñîîòâåòñòâóþùèõ ìàêñèìàëüíûì ñêëåéêàì, öåëèêîì ïîêðûâàåìûõ ÿäðîì, íàçûâàþò ÄÍÔ Êâàéíà. Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî
äëÿ ëþáîé áóëåâîé ôóíêöèè, îòëè÷íîé îò êîíñòàíòû 0, ñóùåñòâóåò
åäèíñòâåííàÿ ÄÍÔ Êâàéíà.
Íà ðèñ. 2.10 ïîêàçàí ïðèìåð ôóíêöèè, ñîêðàùåííàÿ ÄÍÔ êîòîðîé
ñîäåðæèò ïðîñòóþ èìïëèêàíòó, êîòîðàÿ ìîæåò áûòü óäàëåíà. Â ÿäðî
çäåñü âõîäÿò ñêëåéêè, îáîçíà÷åííûå 10× è 0×1. Ñêëåéêà ×01, ðàñïîëîæåííàÿ âåðòèêàëüíî, èçáûòî÷íàÿ, è ñîîòâåòñòâóþùàÿ ïðîñòàÿ
èìïëèêàíòà ìîæåò áûòü óäàëåíà.
Òàêèì îáðàçîì, ñîêðàùåííàÿ ÄÍÔ
èìååò âèä x1 x2 ∨ x1 x3 ∨ x2 x3 , à ÄÍÔ
Êâàéíà | x1 x2 ∨ x1 x3 .
Îòìåòèì, ÷òî ÄÍÔ Êâàéíà ìîæåò
ñîâïàäàòü ñ ñîêðàùåííîé ÄÍÔ, åñëè
ëèøíèõ ñêëååê íà êàðòå Êàðíî íåò.
Ðèñ. 2.10
25
2.6. Ïåðå÷èñëåíèå òóïèêîâûõ ÄÍÔ
Âûøå ïîêàçàíî, êàê âûäåëèòü èç ñîêðàùåííîé ÄÍÔ ÿäðî, âõîäÿùåå â ëþáóþ ÄÍÔ, êîòîðóþ ìîæíî ïîëó÷èòü èç ñîêðàùåííîé, è
ïåðåéòè îò ñîêðàùåííîé ÄÍÔ ê ÄÍÔ Êâàéíà. Äàëüíåéøàÿ ìèíèìèçàöèÿ îñíîâàíà íà ïåðåáîðå âñåõ âîçìîæíûõ ÄÍÔ, ïðåäñòàâëÿþùèõ
èññëåäóåìóþ ôóíêöèþ, êîòîðûå ìîæíî ïîëó÷èòü èç ÄÍÔ Êâàéíà
ïóòåì óäàëåíèÿ íåêîòîðûõ êîíúþíêöèé.
Ïðîñòóþ èìïëèêàíòó íàçûâàþò èçáûòî÷íîé (îòíîñèòåëüíî íåêîòîðîé ÄÍÔ, ñîäåðæàùåé òîëüêî ïðîñòûå èìïëèêàíòû è ýêâèâàëåíòíîé èñõîäíîé ÑÄÍÔ), åñëè åå ìîæíî óäàëèòü èç ýòîé ÄÍÔ áåç
ïîòåðè ýêâèâàëåíòíîñòè åå èñõîäíîé ÑÄÍÔ.
Òàê, ñîêðàùåííàÿ ÄÍÔ (ñì. ðèñ. 2.9) ñîäåðæèò èçáûòî÷íûå
èìïëèêàíòû. Ìîæåò áûòü óäàëåíà èìïëèêàíòà, ñîîòâåòñòâóþùàÿ
ïðÿìîóãîëüíèêó 10×0, èëè èìïëèêàíòà, ñîîòâåòñòâóþùàÿ ïðÿìîóãîëüíèêó ×010 (íî íå îáå ñðàçó!). Ýòî çíà÷èò, ÷òî êàæäàÿ èç ýòèõ
èìïëèêàíò ÿâëÿåòñÿ èçáûòî÷íîé îòíîñèòåëüíî ñîêðàùåííîé ÄÍÔ,
íî óäàëåíèå îäíîé èç íèõ ïðèâîäèò ê íîâîé ÄÍÔ, îòíîñèòåëüíî êîòîðîé âòîðàÿ èç óïîìÿíóòûõ èìïëèêàíò óæå íå áóäåò èçáûòî÷íîé.
 òîì ñëó÷àå, êîãäà êàæäóþ ýëåìåíòàðíóþ êîíúþíêöèþ èñõîäíîé
ÑÄÍÔ ïîêðûâàåò íåêîòîðàÿ ÿäðîâàÿ èìïëèêàíòà, èìïëèêàíòû, íå
âîøåäøèå â ÿäðî, ìîæíî óäàëèòü îäíîâðåìåííî.
Òîãäà ìîæíî ïðåäñòàâèòü ïðîöåññ ïîøàãîâîãî óäàëåíèÿ èçáûòî÷íûõ èìïëèêàíò, íà÷èíàÿ ñ ñîêðàùåííîé ÄÍÔ, â ðåçóëüòàòå êîòîðîãî
ïîëó÷èòñÿ íåêîòîðàÿ ÄÍÔ, óæå íå ñîäåðæàùàÿ íè îäíîé èçáûòî÷íîé
ñêëåéêè.
Ëþáóþ ÄÍÔ, ýêâèâàëåíòíóþ èñõîäíîé ÑÄÍÔ, ñîäåðæàùóþ âñå
ÿäðîâûå èìïëèêàíòû è íå ñîäåðæàùóþ íè îäíîé èçáûòî÷íîé èìïëèêàíòû, íàçûâàþò òóïèêîâîé.
Äëÿ ÑÄÍÔ, êàðòà Êàðíî êîòîðîé ïîêàçàíà íà ðèñ. 2.9, èìåþòñÿ
äâå òóïèêîâûå ÄÍÔ:
x1 x4 ∨ x1 x3 ∨ x1 x3 x4 ∨ x2 x3 x4 è x1 x4 ∨ x1 x3 ∨ x1 x3 x4 ∨ x1 x2 x4 .
Ïåðâûå òðè êîíúþíêöèè ñîîòâåòñòâóþò ÿäðó.
26
Äëÿ ïåðå÷èñëåíèÿ âñåõ òóïèêîâûõ ÄÍÔ ìîæåò áûòü èñïîëüçîâàí
àëãîðèòì, îñíîâàííûé íà ïîñòðîåíèè âñïîìîãàòåëüíîé ÊÍÔ, êîòîðóþ íàçûâàþò ôóíêöèåé Ïàòðèêà.
Îáîçíà÷èì ñêëåéêè íà êàðòå Êàðíî (ò. å. ïðîñòûå èìïëèêàíòû
ñîêðàùåííîé ÄÍÔ) ÷åðåç K1 , K2 , . . . , Km . Äëÿ êàæäîé åäèíèöû êàðòû Êàðíî, íå ïîêðûâàåìîé ÿäðîì, çàïèøåì ýëåìåíòàðíóþ
äèçúþíêöèþ âèäà Ki ∨ Kj . . . ∨ Kl , â êîòîðóþ âêëþ÷èì òîëüêî èìåíà
ñêëååê, ïîêðûâàþùèõ äàííóþ åäèíèöó. Èç ïîëó÷åííûõ äèçúþíêöèé
ñîñòàâëÿåì ÊÍÔ (ôóíêöèþ Ïàòðèêà).
Îòìåòèì, ÷òî ïåðåìåííûìè â ïîñòðîåííîé ÊÍÔ ñ÷èòàþòñÿ ââåäåííûå âûøå èìåíà ñêëååê (ïðîñòûõ èìïëèêàíò). Ïî ñóùåñòâó,
ôóíêöèÿ Ïàòðèêà îïèñûâàåò âñå âîçìîæíûå âàðèàíòû íåèçáûòî÷íûõ ïîêðûòèé âñåõ åäèíèö íà
êàðòå Êàðíî, íå âîøåäøèõ â ÿäðî. Ðàñêðûâ â
ôóíêöèè Ïàòðèêà ñêîáêè,
ìàêñèìàëüíî óïðîñòèâ è
çàïèñàâ åå â âèäå ÄÍÔ,
ïîëó÷èì îïèñàíèå âàðèàíòîâ ïîêðûòèé âñåõ íåÐèñ. 2.11
ÿäðîâûõ åäèíèö.
Ïðèìåð 2.8. Ðàññìîòðèì êàðòó Êàðíî (ðèñ. 2.11). Àíàëèç
ðàñïîëîæåíèÿ ñêëååê ïîêàçûâàåò, ÷òî íè îäíà ñêëåéêà íå ÿâëÿåòñÿ
ÿäðîâîé. Îáîçíà÷èì
K1 = x1 x2 (00××);
K4 = x2 x4 (×1×1);
K2 = x2 x4 (×0×0);
K5 = x1 x2 (11××);
K3 = x1 x4 (0××1);
K6 = x1 x4 (1××0).
Çàïèøåì ôóíêöèþ Ïàòðèêà, ïðîñìàòðèâàÿ åäèíèöû ñëåâà íàïðàâî
ïî ñòðîêàì êàðòû:
27
(K1 ∨ K2 ) ∧ (K1 ∨ K3 ) ∧ (K1 ∨ K3 ) ∧ (K1 ∨ K2 ) ∧
∧ (K3 ∨ K4 ) ∧ (K3 ∨ K4 ) ∧ (K5 ∨ K6 ) ∧ (K4 ∨ K5 ) ∧
∧ (K4 ∨ K5 ) ∧ (K5 ∨ K6 ) ∧ (K2 ∨ K6 ) ∧ (K2 ∨ K6 ). (2.8)
Ïðèìåíèâ òîæäåñòâî K ∧ K = K, ôóíêöèþ (2.8) ìîæíî óïðîñòèòü, óäàëèâ ïîâòîðÿþùèåñÿ äèçúþíêöèè:
(K1 ∨ K2 ) ∧ (K1 ∨ K3 ) ∧ (K3 ∨ K4 ) ∧
∧ (K5 ∨ K6 ) ∧ (K4 ∨ K5 ) ∧ (K2 ∨ K6 ). (2.9)
 (2.9) óäîáíî ðàñêðûâàòü ñêîáêè ïî ïàðàì, âûáèðàÿ ïàðû òàê,
÷òîáû â íèõ ñîäåðæàëèñü îäèíàêîâûå êîíúþíêöèè. Ïðèìåíåíèå
òîæäåñòâà ïîãëîùåíèÿ Ki ∨ Ki Kj = Ki è äðóãèõ òîæäåñòâ áóëåâîé
àëãåáðû ïîçâîëÿåò â ýòîì ñëó÷àå ñóùåñòâåííî óïðîñòèòü ðåçóëüòàò.
Òàê,
(K1 ∨ K2 ) ∧ (K1 ∨ K3 ) =
= K 1 ∨ K1 K 3 ∨ K1 K 2 ∨ K2 K3 = K1 ∨ K2 K3 .
Àíàëîãè÷íî
(K3 ∨ K4 ) ∧ (K4 ∨ K5 ) = K4 ∨ K3 K5 ,
(K5 ∨ K6 ) ∧ (K2 ∨ K6 ) = K6 ∨ K2 K5 .
Âûïîëíÿÿ äàëüíåéøèå óïðîùåíèÿ, ïîëó÷àåì
(K1 ∨ K2 K3 )(K4 ∨ K3 K5 )(K6 ∨ K2 K5 ) =
= (K1 K4 ∨ K1 K3 K5 ∨ K2 K3 K4 ∨ K2 K3 K5 )(K6 ∨ K2 K5 ) =
= K 1 K4 K6 ∨ K1 K2 K4 K5 ∨ K1 K3 K5 K6 ∨ K1 K2 K 3 K5 ∨
∨ K2 K3 K4 K6 ∨ K2 K3 K4 K5 ∨ K2 K3 K 5 K6 ∨ K 2 K3 K 5 .
Èñïîëüçóÿ òîæäåñòâî ïîãëîùåíèÿ, ýòó ÄÍÔ ìîæíî óïðîñòèòü, ïîñêîëüêó
K1 K 2 K3 K 5 ∨ K2 K 3 K5 = K2 K3 K 5 ,
K2 K 3 K4 K5 ∨ K2 K3 K5 = K 2 K3 K 5 ,
K2 K 3 K5 K6 ∨ K2 K3 K5 = K 2 K3 K 5 .
28
 ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì ÄÍÔ
K1 K4 K6 ∨ K1 K2 K 4 K5 ∨ K 1 K3 K5 K6 ∨
∨ K2 K 3 K4 K 6 ∨ K2 K 3 K5 ,
(2.10)
â êîòîðîé êàæäàÿ ýëåìåíòàðíàÿ êîíúþíêöèÿ ñîîòâåòñòâóåò íåêîòîðîé òóïèêîâîé ÄÍÔ, è íàîáîðîò, êàæäîé òóïèêîâîé ÄÍÔ ìîæåò áûòü
ñîïîñòàâëåíà îäíà èç ýòèõ êîíúþíêöèé.
Íà îñíîâå ôóíêöèè Ïàòðèêà òóïèêîâûå ÄÍÔ ìîæíî ïîëó÷èòü,
çàìåíèâ â êàæäîé êîíúþíêöèè çíàêè ∧ íà çíàêè ∨. Òàêèõ òóïèêîâûõ
ÄÍÔ ïî (2.10) ïÿòü:
1) K1 ∨ K4 ∨ K6 = x1 x2 ∨ x2 x4 ∨ x1 x4 ;
2) K1 ∨ K2 ∨ K4 ∨ K5 = x1 x2 ∨ x2 x4 ∨ x2 x4 ∨ x1 x2 ;
3) K1 ∨ K3 ∨ K5 ∨ K6 = x1 x2 ∨ x1 x4 ∨ x1 x2 ∨ x1 x4 ;
4) K2 ∨ K3 ∨ K4 ∨ K6 = x2 x4 ∨ x1 x4 ∨ x2 x4 ∨ x1 x4 ;
5) K2 ∨ K3 ∨ K5 = x2 x4 ∨ x1 x4 ∨ x1 x2 .
Çàìåòèì, ÷òî ïåðå÷èñëåíèå òóïèêîâûõ ÄÍÔ ÿâëÿåòñÿ ñàìûì òðóäîåìêèì ýòàïîì âñåãî àëãîðèòìà ìèíèìèçàöèè. I
2.7. Îòûñêàíèå êðàò÷àéøèõ è ìèíèìàëüíûõ ÄÍÔ
Ñðåäè íàéäåííûõ òóïèêîâûõ ÄÍÔ íàõîäÿò êðàò÷àéøèå è ìèíèìàëüíûå. Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ìèíèìàëüíàÿ ÄÍÔ âñåãäà ÿâëÿåòñÿ êðàò÷àéøåé, íî îáðàòíîå
íåâåðíî.
Äëÿ ôóíêöèè, ðàññìîòðåííîé â ïðèìåðå 2.8, ïåðâàÿ
è ïÿòàÿ ÄÍÔ ÿâëÿþòñÿ êðàò÷àéøèìè. Êîëè÷åñòâî ëèòåðàëîâ â îáåèõ ÄÍÔ ñîâïàäàåò, ïîýòîìó îáå ÄÍÔ
ìèíèìàëüíûå. Êîëè÷åñòâî
îòðèöàíèé â ýòèõ ÄÍÔ òàêæå îäèíàêîâî, è ïî ýòîìó
Ðèñ. 2.12
êðèòåðèþ îíè íåðàçëè÷èìû.
29
Íà ðèñ. 2.12 èçîáðàæåíî ïîêðûòèå âñåõ åäèíèö ñêëåéêàìè, ñîîòâåòñòâóþùåé ïåðâîé ÄÍÔ, à íà ðèñ. 2.13 | ïîêðûòèå, ñîîòâåòñòâóþùåå ïÿòîé ÄÍÔ.
Ïðèìåð 2.9. Ðàññìîòðèì
êàðòó Êàðíî (ñì. ðèñ. 2.14).
Íà êàðòå ïîêàçàíû âñå ñêëåéêè
ìàêñèìàëüíîãî ðàçìåðà. ßäðîâûå ñêëåéêè âûäåëåíû. Â ÿäðîâûõ ñêëåéêàõ ïîëóæèðíûì
øðèôòîì âûäåëåíû åäèíèöû,
ïîêðûâàåìûå òîëüêî ýòèìè
ñêëåéêàìè. ßäðî ñîñòàâëÿþò
ñîîòâåòñòâóþùèå ýòèì ñêëåéÐèñ. 2.13
êàì ïðîñòûå èìïëèêàíòû x1 x3
è x1 x2 .  ðåçóëüòàòå ïðîâåäåíèÿ ñêëåéêè ïîëó÷èì ñëåäóþùóþ ñîêðàùåííóþ ÄÍÔ:
x1 x3 ∨ x1 x2 ∨x2 x4 ∨ x2 x3 ∨ x3 x4 ∨ x1 x2 x4 ∨ x1 x2 x3 ∨ x1 x3 x4 .
{z
}
|
ßäðî
Ïîñêîëüêó â ÿäðå ëèøíèõ ñêëååê íåò, ñîêðàùåííàÿ ÄÍÔ ñîâïàäàåò ñ ÄÍÔ Êâàéíà.
Øåñòü êëåòîê, ñîäåðæàùèõ
åäèíèöó, íà êàðòå Êàðíî îñòàþòñÿ íåïîêðûòûìè ÿäðîâûìè
ñêëåéêàìè. Íåÿäðîâûå ñêëåéêè îáîçíà÷èì ñîîòâåòñòâåííî
K1 , . . . , K6 è ñîñòàâèì ôóíêöèþ Ïàòðèêà â âèäå
Ðèñ. 2.14
30
(K3 ∨ K4 )(K4 ∨ K5 )(K5 ∨ K6 )
(K1 ∨ K2 )(K2 ∨ K3 )(K1 ∨ K6 ).
Ïåðåìíîæèâ ïîïàðíî ïåðâóþ è âòîðóþ, òðåòüþ è øåñòóþ, ÷åòâåðòóþ è ïÿòóþ ñêîáêè, ïîëó÷èì
(K4 ∨ K3 K5 )(K6 ∨ K1 K5 )(K2 ∨ K1 K3 ).
Ðàñêðûâ ñêîáêè è ïðèìåíèâ òîæäåñòâî ïîãëîùåíèÿ, ïîëó÷àåì ÄÍÔ
K1 K3 K5 ∨ K2 K4 K 6 ∨ K2 K 3 K5 K 6 ∨ K1 K2 K4 K5 ∨ K1 K3 K4 K6 .
Êàæäàÿ èç ïîëó÷åííûõ êîíúþíêöèé ïîêàçûâàåò, êàêèå èìïëèêàíòû íóæíî äîáàâèòü ê ÿäðó, ÷òîáû ïîëó÷èòü òóïèêîâóþ ÄÍÔ. Òàêèõ
ÄÍÔ ïÿòü:


x2 x4 ∨ x3 x4 ∨ x1 x2 x3 ;


x2 x3 ∨ x1 x2 x4 ∨ x1 x3 x4 ;
x1 x3 ∨ x1 x2 ∨ x2 x3 ∨ x3 x4 ∨ x1 x2 x3 ∨ x1 x3 x4 ;
|
{z
} 

x2 x4 ∨ x2 x3 ∨ x1 x2 x4 ∨ x1 x2 x3 ;

ßäðî

x2 x4 ∨ x3 x4 ∨ x1 x2 x4 ∨ x1 x3 x4 .
Èç ïîëó÷åííûõ ïÿòè òóïèêîâûõ ÄÍÔ êðàò÷àéøèìè ÿâëÿþòñÿ
ïåðâàÿ è âòîðàÿ. Èç íèõ, â ñâîþ î÷åðåäü, ìèíèìàëüíîé ÿâëÿåòñÿ
ïåðâàÿ, òàê êàê îíà ñîäåðæèò íà îäèí ëèòåðàë ìåíüøå.
 èòîãå ïîëó÷àåì ìèíèìàëüíóþ ÄÍÔ â âèäå
x1 x3 ∨ x1 x2 ∨ x2 x4 ∨
∨ x3 x4 ∨ x1 x2 x3 .
 äàííîì ñëó÷àå ìèíèìàëüíàÿ ÄÍÔ îêàçàëàñü åäèíñòâåííîé. Íà ðèñ. 2.15 èçîáðàæåíî ïîêðûòèå êàðòû Êàðíî ñêëåéêàìè, ñîîòâåòñòâóþùèìè ìèíèìàëüíîé ÄÍÔ. I
Ðèñ. 2.15
Ïåðå÷èñëåíèåì òóïèêîâûõ ÄÍÔ è âûáîðîì èç íèõ ñíà÷àëà êðàò÷àéøèõ, à çàòåì èç êðàò÷àéøèõ | ìèíèìàëüíûõ çàêàí÷èâàåòñÿ
ðàáîòà àëãîðèòìà ìèíèìèçàöèè.
31
ÑÏÈÑÎÊ ÐÅÊÎÌÅÍÄÓÅÌÎÉ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
Áåëîóñîâ À.È., Òêà÷åâ Ñ.Á. Äèñêðåòíàÿ ìàòåìàòèêà / Ïîä ðåä.
Â.Ñ. Çàðóáèíà, À.Ï. Êðèùåíêî. { Ì.: Èçä-âî ÌÃÒÓ èì. Í.Ý. Áàóìàíà, 2006. 744 ñ. (Ñåð. Ìàòåìàòèêà â òåõíè÷åñêîì óíèâåðñèòåòå;
Âûï. XIX).
ßáëîíñêèé Ñ.Â. Ââåäåíèå â äèñêðåòíóþ ìàòåìàòèêó. 3-å èçä. Ì.:
Âûñø. øê., 2001. 384 ñ.
ÎÃËÀÂËÅÍÈÅ
1. Ñïîñîáû çàäàíèÿ áóëåâîé ôóíêöèè . . . . . . . . . . . . . . .
1.1. Áóëåâà ôóíêöèÿ. Áóëåâ êóá . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Òàáëèöû áóëåâûõ ôóíêöèé . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3. Ôîðìóëû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4. Ðàñ÷åò áóëåâîé ôóíêöèè, çàäàííîé ôîðìóëîé . . . . .
1.5. Äèçúþíêòèâíûå è êîíúþíêòèâíûå íîðìàëüíûå ôîðìû
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
3
3
4
6
8
9
2. Ìèíèìèçàöèÿ áóëåâûõ ôóíêöèé â êëàññå ÄÍÔ . . . . . . . . . .
2.1. Ïðîáëåìà ìèíèìèçàöèè . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Ìèíèìèçàöèÿ ñ èñïîëüçîâàíèåì òîæäåñòâ ñêëåéêè è ïîãëîùåíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3. Àëãîðèòì ìèíèìèçàöèè . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4. Êàðòû Êàðíî . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5. Îïðåäåëåíèå ÿäðà. ÄÍÔ Êâàéíà . . . . . . . . . . . . . . .
2.6. Ïåðå÷èñëåíèå òóïèêîâûõ ÄÍÔ . . . . . . . . . . . . . . .
2.7. Îòûñêàíèå êðàò÷àéøèõ è ìèíèìàëüíûõ ÄÍÔ . . . . . . .
11
11
Ñïèñîê ðåêîìåíäóåìîé ëèòåðàòóðû . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
12
15
18
23
26
29