Document 2003070

Вопрос. Рост взрослых мужчин
Предположим, мужчины имеют средний рост 176 см со
стандартным отклонением 7 см.
Какова вероятность, что случайно выбранный мужчина имеет
рост более 190 см?
Рост от 180 до 190 см?
© Иванов О.В., 2006
2
Вопрос. Батарейки
Батарейки служат в среднем 19 часов со стандартным
отклонением 1,2 часа.
В каком интервале находится срок службы 90% батареек?
© Иванов О.В., 2006
3
Вопрос. Возраст директоров
Во время проведенного исследования выяснилось, что средний
возраст директоров заводов составляет 56 лет со стандартным
отклонением 4 года.
При произвольном выборе завода определите вероятность того,
что возраст директора превысит 59 лет.
© Иванов О.В., 2006
4
Нормальное распределение
Во всех этих случаях распределение переменной является
нормальным или близким к нему.
© Иванов О.В., 2006
5
График нормального распределения
График плотности нормального распределения имеет форму
колокола. Этот график называют нормальной кривой или
кривой Гаусса.
© Иванов О.В., 2006
7
Плотность нормального распределения
Непрерывная случайная величина имеет нормальное
распределение, если ее плотность задается выражением:
© Иванов О.В., 2006
8
Параметры нормального распределения
Нормальное распределение определяется двумя параметрами:
µ
σ
© Иванов О.В., 2006
Математическое ожидание
Стандартное отклонение
9
График нормального распределения
График плотности зависит от значения параметров нормального
распределения. Показаны два разных распределения, оба
имеющие нормальный закон.
© Иванов О.В., 2006
10
Функция распределения нормального закона
Функция распределения для нормального закона имеет вид:
© Иванов О.В., 2006
11
Стандартное нормальное распределение
Случайная величина
распределение, если:
имеет
среднее значение
стандартное отклонение
© Иванов О.В., 2006
стандартное
нормальное
µ=0
σ=1
13
Плотность распределения
Плотность распределения для стандартного
распределения записывается в следующем виде:
© Иванов О.В., 2006
нормального
14
Свойства плотности
Свойство 1. Плотность является четной функцией:
График симметричен относительно вертикальной оси.
Свойство 2. Плотность стремится к нулю, если переменная x
стремится к плюс или минус бесконечности.
© Иванов О.В., 2006
15
Функция распределения
Функция распределения для стандартного
распределения записывается в следующем виде:
© Иванов О.В., 2006
нормального
16
Свойства функции распределения
Свойство 1. Для отрицательных аргументов:
Свойство 2. При стремлении x к плюс бесконечности Ф(х)
возрастает и стремится к единице.
Свойство 3. При стремлении х к минус бесконечности Ф(х)
убывает и стремится к нулю.
© Иванов О.В., 2006
17
Таблица нормального закона
z =1,58
0,9429
© Иванов О.В., 2006
19
Z-значения и площадь под графиком
Для нормального закона с параметрами 0, 1 таблица позволяет
найти значение функции распределения (площадь):
© Иванов О.В., 2006
20
Таблица нормального закона позволяет:
(1) По заданному z-значению находить площадь под графиком,
то есть соответствующее ему значение функции распределения.
(2) По известной площади под графиком, то есть для известного
значения функции распределения находить соответствующее
ему z-значение.
© Иванов О.В., 2006
21
Нахождение площади
Для отрицательных z-значений при нахождении
пользуемся свойством симметрии графика.
© Иванов О.В., 2006
площади
22
Нахождение площади
Для интервала z-значений:
© Иванов О.В., 2006
23
Операция стандартизации
Операция
стандартизации
означает
преобразование
произвольного нормального распределения с параметрами µ, σ
в стандартное с параметрами 0 и 1:
© Иванов О.В., 2006
25
Операция стандартизации
Операция
стандартизации
означает
преобразование
произвольного нормального распределения с параметрами µ, σ
в стандартное с параметрами 0 и 1:
x
© Иванов О.В., 2006
z
26
Операция стандартизации
Стандартизация означает, что мы смещаем распределение и
изменяем его форму так, чтобы оно стало стандартным. При
этом площадь под кривой до значения x равна площади под
стандартной кривой до значения z.
© Иванов О.В., 2006
27
Пример с автомобилем
При разработке новой модели автомобиля инженерыконструкторы учитывают, что рост человека в сидячем
состоянии в среднем составляет 90 см со стандартным
отклонением 3,5 см.
Исходя из этого, они предполагают, что рост человека в сидячем
состоянии не превысит 97 см.
Проверим, насколько разумны эти предположения. Какое
количество потенциальных покупателей останутся «за бортом»?
© Иванов О.В., 2006
28
Решение
Максимально возможный рост составляет 97 см.
Найдем вероятность того, что произвольный человек окажется
ниже этого роста.
Приводим распределение к стандартному:
© Иванов О.В., 2006
29
Решение
Находим по таблице площадь для z = 2,00:
© Иванов О.В., 2006
30
Решение
97 отклоняется от 90 также, как 2 отклоняется от 0:
© Иванов О.В., 2006
31
Ответ
Инженерам-конструкторам следует решить, считают ли они
возможным разрабатывать автомобиль, в котором из
соображений роста поместятся 97,72% водителей.
© Иванов О.В., 2006
32
Обратная задача
Может случиться, что инженеры, после советов с продавцами,
выберут границу роста в 5%. Тогда требуется решить обратную
задачу: для какого роста 95% мужчин окажутся в его пределах?
Решение. Находим в основном поле таблицы число 0,9500.
Такого значения, к сожалению, нет. Зато есть 0,9495 и 0,9505.
Соответствующие им z-значения равны 1,64 и 1,65
соответственно. Берем среднее и получим, что z-значение,
соответствующее 95% вероятности есть 1,645.
© Иванов О.В., 2006
33
Решение
Решаем уравнение:
Находим, что:
x ≈ 95,8
Это означает, что 5% мужчин имеют в сидячем состоянии рост
выше 95,8.
© Иванов О.В., 2006
34
Правило «трех сигм»
µ - 3σ µ - 2σ µ - σ
© Иванов О.В., 2006
µ
µ + σ µ + 2σ µ + 3σ
36
Следствия
1.
Площадь под кривой нормального распределения на
интервале от µ - σ до µ + σ составляет 68,27% всей
площади. На этом интервале сосредоточено 68,27% всех
значений случайной величины.
2. Площадь под кривой нормального распределения на
интервале от µ - 2σ до µ + 2σ составляет 95,45% всей
площади. На этом интервале сосредоточено 95,45% всех
значений случайной величины.
3. Площадь под кривой нормального распределения на
интервале от µ - 3σ до µ + 3σ составляет 99,73% всей
площади. На этом интервале сосредоточено 99,73% всех
значений случайной величины.
© Иванов О.В., 2006
37
Следствия
Площадь
Интервал
90% площади
µ ± 1,64 σ
95% площади
µ ± 1,96 σ
99% площади
µ ± 2,50 σ
© Иванов О.В., 2006
38
Пример
Батарейки работают в среднем 19 часов со стандартным
отклонением 1,2 часа.
Можно утверждать, что 95,45% батареек служат от 16,6 до 21,4
часа.
© Иванов О.В., 2006
39
Использование EXCEL
© Иванов О.В., 2006
40
Использование EXCEL
© Иванов О.В., 2006
41
График функции распределения
© Иванов О.В., 2006
42
График плотности распределения
© Иванов О.В., 2006
43
Решение задач на нормальный закон
Рост взрослых мужчин
Срок службы батареек
Возраст генеральных директоров
© Иванов О.В., 2006
45
Рост взрослых мужчин
Предположим, мужчины имеют средний рост 176 см со
стандартным отклонением 6 см.
Какова вероятность, что случайно выбранный мужчина имеет
рост более 190 см?
Рост от 180 до 190 см?
© Иванов О.В., 2006
46
Рост взрослых мужчин
Решение.
© Иванов О.В., 2006
47
Рост взрослых мужчин
Решение.
© Иванов О.В., 2006
48
Рост взрослых мужчин
Решение.
© Иванов О.В., 2006
49
Батарейки
Батарейки служат в среднем 19 часов со стандартным
отклонением 1,2 часа.
В каком интервале находится срок службы 90% батареек?
© Иванов О.В., 2006
50
Батарейки
Если бы распределение было стандартным,
распределения находится в интервале:
то
90%
-1,645 < z < 1,645
17,0
© Иванов О.В., 2006
21,0
51
Возраст директоров
Во время проведенного исследования выяснилось, что средний
возраст директоров заводов составляет 56 лет со стандартным
отклонением 4 года.
При произвольном выборе завода определите вероятность того,
что возраст директора превысит 59 лет.
© Иванов О.В., 2006
52
Возраст директоров
Решение.
© Иванов О.В., 2006
53