Методические практическим указания к работам

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
ФГБОУ ВПО «СЕВЕРО-КАВКАЗСКИЙ ГОРНО-МЕТАЛЛУРГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ»
(ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)
Кафедра автоматизированной обработки информации
Методические указания к
практическим работам
дисциплины: «Надежность, эргономика и качество АСОиУ»
для направления подготовки:
230100 – Информатика и вычислительная техника
профиль:
«Автоматизированные системы обработки информации и управления»
квалификация (степень) выпускника:
бакалавр
Составитель:
к.т.н. Мирошников А.С.
Владикавказ, 2013 г.
–2–
Оглавление
ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 1. КРИТЕРИИ НАДЕЖНОСТИ НЕВОССТАНАВЛИВАЕМЫХ
ИЗДЕЛИЙ .............................................................................................................................................................. 3
ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 2. КРИТЕРИИ НАДЕЖНОСТИ ВОССТАНАВЛИВАЕМЫХ ИЗДЕЛИЙ . 9
ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 3. РАСЧЕТ ХАРАКТЕРИСТИК НАДЕЖНОСТИ
НЕВОССТАНАВЛИВАЕМЫХ ИЗДЕЛИЙ ПРИ ОСНОВНОМ СОЕДИНЕНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ ................ 19
ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 4. РАСЧЕТ ХАРАКТЕРИСТИК НАДЕЖНОСТИ
НЕВОССТАНАВЛИВАЕМЫХ РЕЗЕРВИРОВАННЫХ ИЗДЕЛИЙ .............................................................. 26
ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 5. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВИДА И ПАРАМЕТРОВ ЗАКОНА
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВРЕМЕНИ ИСПРАВНОЙ РАБОТЫ .............................................................................. 35
ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 6. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВИДА И ПАРАМЕТРОВ ЗАКОНА
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВРЕМЕНИ ИСПРАВНОЙ РАБОТЫ. УСЕЧЕННОЕ НОРМАЛЬНОЕ
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ............................................................................................................................................. 41
ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 7. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОКАЗАТЕЛЕЙ НАДЕЖНОСТИ ЭЛЕМЕНТОВ ПО
ОПЫТНЫМ ДАННЫМ ...................................................................................................................................... 46
–3–
ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 1.
КРИТЕРИИ НАДЕЖНОСТИ НЕВОССТАНАВЛИВАЕМЫХ ИЗДЕЛИЙ
Цель работы
Научиться рассчитывать критерии надежности невосстанавливаемых изделий.
Программное обеспечение, используемое в работе
Microsoft Excel.
MATLAB.
MathCad.
3. Теоретические основы
Невосстанавливаемыми
называются
такие
изделия,
которые
в
процессе
выполнения своих функций не допускают ремонта. Если происходит отказ такого
изделия, то выполняемая операция будет сорвана и ее необходимо начинать вновь в
том случае, если возможно устранение отказа.
Рассмотрим следующую модель испытаний.
Пусть на испытании находится N 0 изделий и пусть испытания считаются
законченными, если все они отказали. Причем вместо отказавших образцов
отремонтированные или новые не ставятся. Тогда критериями надежности данных
изделий являются:
-
вероятность безотказной работы P (t ) ;
-
средняя наработка до первого отказа Tcp ;
-
частота отказов a ( t ) ;
-
интенсивность отказов λ (t ) .
Вероятностью безотказной работы называется вероятность того, что при
определенных условиях эксплуатации в заданном интервале времени или в пределах
заданной наработки не произойдет ни одного отказа.
Согласно определению
Р(t) = P(T > t),
(1.1)
где t – время, в течение которого определяется вероятность безотказной работы; Т –
время работы изделия от его включения до первого отказа.
–4–
Вероятность безотказной работы по статистическим данным об отказах
оценивается выражением
P(t) = (N0 − n(t))/ N0
,
(1.2)
где N0 – число изделий в начале испытания; n(t) – число отказавших изделий за ремя t;
Р(t) – статистическая оценка вероятности безотказной работы. При большом числе
изделий N0 статистическая оценка Р'(t) практически совпадает с вероятностью
безотказной работы Р(t). На практике иногда более удобной характеристикой является
вероятность отказа Q(t).
Вероятностью отказа называется вероятность того, что при определенных
условиях эксплуатации в заданном интервале времени возникнет хотя бы один отказ.
Отказ
и
безотказная
работа
являются
событиями
несовместимыми
и
противоположными, поэтому
Q ( t ) = P ( T ≤ t ),
Q (t ) = n (t ) / N 0 ,
Q (t ) = 1 − P (t )
.
(1.3)
Частотой отказов называется отношение числа отказавших изделий в единицу
времени к первоначальному числу испытываемых изделий при условии, что все
вышедшие из строя изделия не восстанавливаются.
Согласно определению
a (t ) = n(∆t ) / N 0 ∆t ,
(1.4)
где n( ∆ t) – число отказавших образцов в интервале времени от t - ∆ t/2 до t + ∆ t/2.
Частота отказов есть плотность вероятности (или закон распределения)
времени работы изделия до первого отказа. Поэтому
a (t ) = − P ′(t ) = Q ′(t ),
t
Q(t ) = ∫ a (t )dt ,
0
t
P(t ) = 1 − ∫ a (t )dt
0
(1.5)
Интенсивность отказов называется отношение числа отказавших изделий в
единицу времени к среднему числу изделий, исправно работающих в данный отрезок
времени.
–5–
Согласно определению
λ (t ) = n( ∆t ) /( N cp ∆t )
(1.6)
где N cp = ( N i + N i +1 ) / 2 - среднее число исправно работающих изделий в интервале ∆t ;
N i - число изделий, исправно работающих в начале интервала ∆t ; N i +1 -число изделий
исправно работающих в конце интервала ∆t .
Выражение (1.6) есть статистическое определение интенсивности отказов.
Вероятностная оценка этой характеристики находится из выражения
λ (t ) = a(t ) / P(t ) .
(1.7)
Интенсивность отказов и вероятность безотказной работы связаны между собой
зависимостью
t
P(t ) = e
∫
− λ (t ) dt
0
(1.8)
Средняя наработка до первого отказа называется математическое ожидание
времени работы изделия до отказа.
Как математическое ожидание, Тср вычисляется через частоту отказов
(плотность распределения времени безотказной работы):
+∞
M [t ] = Tcp = ∫ ta(t )dt
−∞
(1.9)
Так как t положительно и Р(0) = 1, а Р(¥) = 0, то
T cp =
∞
∫ P ( t ) dt
0
(1.10)
По статистическим данным об отказах средняя наработка до первого отказа
вычисляется по формуле
N0
Tcp = (∑ t i ) / N 0,
i =1
(1.11)
где ti – время безотказной работы i-го образца; N0 – число испытуемых образцов.
Как видно из формулы (1.11), для определения средней наработки до первого
отказа необходимо знать моменты выхода из строя всех испытуемых элементов.
Поэтому для вычисления Т’ср пользоваться указанной формулой неудобно. Имея
–6–
данные о количестве вышедших из строя элементов ni в каждом i-м интервале времени,
среднюю наработку до первого отказа лучше определять из уравнения
m
Tcp ≈ (∑ n i t cpi ) / N 0
i =1
(1.12)
В выражении (1.12) tсрi и m находятся по по следующим формулам:
t cpi = (t i −1 + ti ) / 2,
m = t k / ∆t ,
где ti-1 – время начала i-го интервала; ti – время конца i-го интервала; tk – время, в
течение которого вышли из строя все элементы; ∆t = ti-1 - ti – интервал времени.
При изучении надежности технических устройств наиболее часто применяются
следующие законы распределения времени безотказной работы: экспоненциальный,
усеченный нормальный, Релея, Гамма, Вейбула, логарифмически-нормальный.
В табл. 1 приведены выражения для оценки количественных характеристик надежности
изделий при указанных законах распределения времени их безотказной работы (см.
приложение 1).
–7–
Пример решения типовых задач
На испытании было поставлено1000 однотипных ламп. За первые 3000
часовотказало 45 ламп, а за интервал времени 30000-4000 часов отказало еще 30 ламп.
Требуется определить частоту и интенсивность отказов электронных ламп в
промежутке времени 3000-4000 часов.
Решение:
По формулам (1.4) и (1.6) находим
a(3500) =
n(∆t )
50
=
5*10 −5
∆tN 0 1000 *1000
λ (3500) =
n(∆t )
50
=
≈ 5.6*10 −5 1 .
час
∆tN cp 1000 *(920 + 870) / 2
1
час
,
–8–
Контрольные вопросы
1. Какие изделия называются невосстанавливаемыми?
2. По какой формуле определяется вероятность безотказной работы?
1. Что называется частотой отказов и по какой формуле она определяется?
2. Что называется интенсивностью отказов и по какой формуле она определяется?
3. Что называется средней наработкой до первого отказа и по какой формуле она
определяется?
Рекомендуемая литература
1. Голинкевич Т.А. Прикладная теория надежности. Учебник для вузов. - М.: Высшая
школа, 1985.
2. Боэм Б., Браун Дж., Каспар Х. И др. Характеристики качества программного
обеспечения/Пер. с англ. Е. К. Масловского.- М.: Мир, 1981 – 208 с., ил.
3. Надежность и эффективность АСУ. Заренин Ю. Г., Збырко М. Д., Креденцер Б. П.,
Свистельник А. А., Яценко В. П. “Техника”, 1975, 368 стр.
4. Надежность автоматизированных систем управления: Учеб. пособие для вузов /И.
О. Атовнян, А. С. Вайрадян, Ю. П. Руднев, Ю. Н. Федосеев, Я. А. Хетагуров. – М.:
Высш. Школа, 1979. – 287 с., ил.
5. Липаев В. В. Надежность программных средств. Серия “Информатизация России на
пороге XXI века”. – М.:СИНТЕГ, 1998, 232 с.
6. Сборник задач по теории надежности. Под ред. А. М. Половко и И. М. Маликова.
М., Изд-во “Советское радио”, 1972, 408 стр.
–9–
ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 2.
КРИТЕРИИ НАДЕЖНОСТИ ВОССТАНАВЛИВАЕМЫХ ИЗДЕЛИЙ
Цель работы: научиться рассчитывать критерии надежности восстанавливаемых
изделий.
Программное обеспечение, используемое в работе
Microsoft Excel.
MATLAB.
MathCad.
3. Теоретические основы
Восстанавливаемыми называются такие изделия, которые в процессе выполнения
своих функций допускают ремонт. Если произойдет отказ такого изделия, то он
вызовет прекращение функционирования изделия только на период устранения отказа.
Рассмотрим следующую модель испытаний.
Пусть на испытании находится N изделий и пусть отказавшие изделия
немедленно заменяются исправными (новые или отремонтированные). Испытания
считаются законченными, если число отказов достигает величины, достаточно для
оценки надежности с определенной вероятностью. Если не учитывать времени,
потребного для восстановления системы, то количественными характеристиками
надежности могут быть параметр потока отказов ω (t ) и наработка на отказ t ср .
Параметром потока отказов называется отношение числа отказавших изделий в
единицу времени к числу испытываемых изделий при условии, что все вышедшие из
строя изделия заменяются исправными (новые или отремонтированные).
Согласно определению
ω (t ) =
n ( ∆t )
,
N * ∆t
(1.13)
где n ( ∆t ) - число отказавших образцов в интервале времени от t − ∆t / 2 до t + ∆t / 2 ; N
– число испытываемых образцов; ∆t - интервал времени.
Выражение (1.13) является статистическим определением параметра потока
отказов.
Параметр потока отказов и частота отказов для ординарных потоков с
ограниченным последействием связаны интегральным уравнением Вольтерра второго
рода
– 10 –
t
ω (t ) = a (t ) + ∫ ω (τ ) * a (t − τ )dτ .
(1.14)
0
По известной
a (t )
можно найти все количественные характеристики
надежности невосстанавливаемых изделий. Поэтому (1.14) является основным
уравнением,
связывающим
количественные
характеристики
надежности
невосстанавливаемых и восстанавливаемых изделий при мгновенном восстановлении.
Уравнение (1.14) может записываться в операторной форме:
ω ( s) =
a( s)
1 − a( s)
a( s) =
ω ( s)
.
1 + ω ( s)
(1.15)
Соотношения (1.15) позволяют найти одну характеристику через другую если
существуют преобразования Лапласа функции a (s ) и ω (s ) и обратные преобразования
выражений (1.15).
Параметр потока отказов обладает следующими важными свойствами:
1) для любого момента времени независимого от закона распределения времени
безотказной работы параметр потока отказов больше, чем частота отказов, т.е.
ω (t ) > a (t );
2) независимо от вида функций a (t ) параметр потока отказов ω (t ) при t → ∞
1
стремится к Tcp . Это важное свойство параметра потока отказов означает что при
длительной эксплуатации ремонтируемого изделия поток его отказов независимо от
закона распределения времени безотказной работы становится стационарным.
Однако это вовсе не означает, что интенсивность отказов есть величина
постоянная;
3) если λ (t ) - возвращающая функция времени, то λ (t ) > ω (t ) > a ( t ) , если λ (t ) убывающая функция, то ω (t ) > λ (t ) > a ( t ) ;
4) при λ ( t ) ≠ const параметр потока отказов системы не равен сумме параметров
потока отказов элементов, т. е.
N
ω c (t ) ≠ ∑ ω i (t ).
i =1
(1.16)
Это свойство параметра потока отказов позволяет утверждать, что при
вычислении количественных характеристик надежности сложной системы нельзя
суммировать имеющиеся в настоящее время значения интенсивностей отказов
– 11 –
элементов, полученные по статистическим данным об отказах изделий в условиях
эксплуатации, так как указанные величины являются фактически параметрами потока
отказов;
5) при λ (t ) = λ = const
параметр потока отказов равен интенсивности отказов
ω (t ) = λ (t ) = λ .
Из рассмотренных свойств интенсивности и параметра потока отказов видно, что
эти характеристики различны.
Наработкой на отказ называется среднее значение времени между соседними
отказами.
Эта характеристика определяется по статистическим данным об отказах по
формуле
t cp
 n 
 ∑ ti 
i =1

=
n ,
(1.17)
где t i - время исправной работы изделия между (i-1)-м и i-м отказами; n – число
отказов за некоторое время t.
Из формулы (1.17) видно, что в данном случае наработка на отказ определяется
по данным испытаниям одного образца изделия. Если на испытании находится N
образцов в течение времени t, то наработка на отказ вычисляется по формуле
t cp
 N nj 
 ∑∑ t ij 
 j =1 i =1 

=
N
∑n
j
j =1
,
(1.18)
где t ij - время исправной работы j-го образца изделия между (i-1)-м и i-м отказом; nj –
число отказов за некоторое время t j-го образца.
Коэффициентом готовности называется отношение времени исправной работы
к сумме времени исправной работы и вынужденных простоев изделия, взятых за один и
тот же календарный срок. Эта характеристика обозначается К г .
Согласно данному определению
Кг =
tp
(t p + t n )
,
(1.19)
– 12 –
где t p - суммарное время исправной работы изделия; t п - суммарное время
вынужденного простоя.
Времена t p и t п вычисляются по формулам
n
n
t p = ∑ t pi .
t n = ∑ t ni ,
i =1
(1.20)
i =1
где t pi - время работы изделия между (i-1)-м и i-м отказом; t ni - время вынужденного
простоя после i-го отказа; n – число отказов (ремонтов) изделия.
Выражение (1.19) является статистическим определением коэффициента
готовности. Для перехода к вероятностной трактовке величины t cp и t n заменяются
математическими ожиданиями времени между соседними отказами и времени
восстановления соответственно.
Тогда
Кг =
t cp
(t cp + t в ) ,
(1.21)
где t cp - наработка на отказ; t в - среднее время восстановления.
Коэффициент
вынужденного
простоя
называется
отношение
времени
вынужденного простоя к сумме времен исправной работы и вынужденных простоев
изделия, взятых за один и тот же календарный срок.
Согласно определению
tn
(t p + t n )
(1.22)
tв
(t сp + t в ) .
(1.23)
Кп =
или, переходя к средним величинам,
Кп =
Коэффициент готовности и коэффициент вынужденного простоя связаны между
собой зависимостью
Кп =1 − Кг .
(1.24)
При анализе надежности восстанавливаемых систем обычно коэффициент
готовности вычисляется по формуле
Кг =
Т ср
(Т ср + t в ) .
(1.25)
– 13 –
Формула (1.25) верна только в том случае, если поток отказов простейший, и
тогда t cp = Tcp .
Для выяснения физического смысла коэффициента готовности К г запишем
формулу для вероятности застать систему в исправном состоянии. При этом
рассмотрим наиболее простой случай, когда интенсивность отказов и интенсивность
восстановления есть величины постоянные.
Предполагая, что при t = 0 система находится в исправном состояние ( P (0) = 1 ),
вероятность застать систему в исправном состоянии определяется из выражений
Р г (t ) =
µ
λ+µ
+
λ
λ+µ
* e −( λ + µ )*t ,
Pг (t ) = К г + (1 − К г ) * е − t / К г tв ,
λ=
где
(1.26)
Tcp
1
1
; µ = ; Kг =
Tcp
tв
Tcp + t в .
Это выражение устанавливает зависимость между коэффициентом готовности
системы и вероятностью застать ее в исправном состоянии в любой момент времени t.
Из (1.26) видно, что Р г (t ) → К г при t → ∞ , т.е. практически коэффициент
готовности имеет смысл вероятности застать изделие в исправном состоянии при
установившемся процессе эксплуатации.
– 14 –
4. Пример решения типовых задач
1.
Время
работы
изделия
до
отказа
некоторых
(например,
электровакуумных приборов) подчиняются закону распределения Релея. Требуется
вычислить количественные характеристики надежности изделия Р(t), a(t), λ (t), Tcp для
t=500, 1000, 2000 час, если параметр распределения σ =1000 час.
Решение:
Воспользуемся формулами для закона распределения Релея, приведенными в табл. 1
(см. приложение I). Для t = 500 час:
−
P (500 ) = e
a (500 ) =
t2
2σ 2
−
t
σ
2
e
=e
t2
2σ 2
−
500 2
2*1000 2
= e − 0 .125 = 0 .88 ;
−
500
=
1000
2
e
500 2
2*1000 2
= 0 .44 *10 − 3
1
;
час
λ (500 ) = t = 500 = 0 .5 *10 − 3 1 ;
час
σ 2 1000 2
π
π
σ =
T cp =
1000 = 1253 час
2
2
;
Для t = 1000 час
P(1000) = e
a(1000) =
Для t = 2000 час
−
10002
2*10002
1000
2
= e−0.5 = 0.606;
−
e
10002
2*10002
= 0.606*10−3
1000
t
1000
1
λ (1000) =
=
= 10−3
.
час
σ 2 1000 2
P(1000) = e
a(2000) =
−
20002
2*10002
2000
−
e
1
;
час
= e− 2 = 0.1353;
20002
2*10002
= 0.27 *10−3
1000 2
t
2000
1
λ (2000) =
=
= 2*10−3
.
час
σ 2 1000 2
1
;
час
Из примера видно, что данные электровакуумные приборы имеют низкую
надежность и практически могут работать в течении времени t < 500 час.
– 15 –
5. Задание на самостоятельную работу
ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 2
Критерии надежности восстанавливаемых изделий
1.
За наблюдаемый период эксплуатации в аппаратуре было зафиксировано
8 отказов. Время восстановления составило: t1=12 мин, t2=23 мин, t3=15 мин, t4=9
мин, t5=17 мин, t6=28 мин, t7=25 мин, t8=31 мин. Требуется определить среднее время
восстановления аппаратуры.
2.
Средняя наработка на отказ аппаратуры составляет tcp=65 час и среднее
время восстановления tв=1,25 час. Требуется определить коэффициент готовности.
3.
Пусть время работы элемента до отказа подчинено экспоненциальному
закону распределения времени с параметром λ=2,5*10-5 1/час. Требуется вычислить
количественные характеристики надежности элемента P(t), a(t), Tcp, если t=500, 1000,
2000 час.
– 16 –
Контрольные вопросы
1. Какие изделия называются восстанавливаемыми?
2. Что характеризует параметру потока отказов и по какой формуле он определяется?
3. Что такое наработка на отказ и по какой формуле она определяется?
4. Что определяет коэффициент готовности и по какой формуле он определяется?
5. Что определяет коэффициент вынужденного простоя и по какой формуле он
определяется?
– 17 –
Рекомендуемая литература
1. Голинкевич Т.А. Прикладная теория надежности. Учебник для вузов. - М.: Высшая
школа, 1985.
2. Боэм Б., Браун Дж., Каспар Х. И др. Характеристики качества программного
обеспечения/Пер. с англ. Е. К. Масловского.- М.: Мир, 1981 – 208 с., ил.
3. Надежность и эффективность АСУ. Заренин Ю. Г., Збырко М. Д., Креденцер Б. П.,
Свистельник А. А., Яценко В. П. “Техника”, 1975, 368 стр.
4. Надежность автоматизированных систем управления: Учеб. пособие для вузов /И.
О. Атовнян, А. С. Вайрадян, Ю. П. Руднев, Ю. Н. Федосеев, Я. А. Хетагуров. – М.:
Высш. Школа, 1979. – 287 с., ил.
5. Липаев В. В. Надежность программных средств. Серия “Информатизация России на
пороге XXI века”. – М.:СИНТЕГ, 1998, 232 с.
6. Сборник задач по теории надежности. Под ред. А. М. Половко и И. М. Маликова.
М., Изд-во “Советское радио”, 1972, 408 стр.
Приложение I
Таблица 1
Основные отношения для количественных характеристик надежности при различных законах распределения времени до отказа
Вероятность
Интенсивность отказов
Средняя наработка до
Наименование закона
Частота отказов
распределения
(плотность
безотказной
первого отказа Тср
λ(t)
распределения) а(t)
работы Р(t)
Экспоненциальный
1
λe − λt
Релея
t
e
σ2
Гамма (при k целом)
Вейбулла
−
e
( λ0t )k −1 − λ0t
e
( k −1)!
λ0
r −1 − λ 0 t k
e
λ 0 kt
Усеченный
нормальный
−
1
T 
F 1 σ 2π
σ 
Логарифмический –
нормальный
t2
2σ 2
1
σt 2π
e
(t −T )2
2σ 3
1 ln t − µ 2
)
− (
e 2 σ
e − λt
λ =const
t2
−
2σ 2
t
σ2
π
λ0 (λ0i)k −1
k
k −1(λ0t )i
−
t
λ
e 0 ∑
i =0 i!
e
2
k −1(λ t )i
(k −1)! ∑ 0
i=0 i!
− λ0t k
λ0 kt
T −t
F( 1 )
k −1
T
F( 1 )
σ
σ t 2π
⋅
σ
1 ln t − µ 2
− (
)
σ
e 2
0.5+φ (
λ0
T2
−1
2
σ
T1+
e 2σ
T1
2πF( )
σ
1
σ
1 
Г  +1
k 
1
λ0k
(t−T )2
− 1
2
e 2σ
T −t
2πσF( 1 )
σ
1
µ − ln t
+φ (
)
2
σ
λ
µ −ln t
)
σ
−
1 ∞
∫e
σ 2π 0
(ln t − µ ) 2
2σ 2
dt
– 19 –
ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 3.
РАСЧЕТ ХАРАКТЕРИСТИК НАДЕЖНОСТИ
НЕВОССТАНАВЛИВАЕМЫХ ИЗДЕЛИЙ ПРИ ОСНОВНОМ
СОЕДИНЕНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ
Цель работы
Научиться рассчитывать критерии надежности невосстанавливаемых изделий при
основном соединение элементов.
Программное обеспечение, используемое в работе
Microsoft Excel.
MATLAB.
MathCad.
3. Теоретические основы
Если отказ технического устройства наступает при отказе одного из его
элементов, то говорят, что такое устройство имеет основное соединение
элементов. При расчете надежности таких устройств предполагают, что отказ
элемента является событием случайным и независимым.
Тогда вероятность безотказной работы изделия в течение времени t равна
произведению вероятностей безотказной работы ее элементов в течение того же
времени. Так как вероятность безотказной работы элементов в течение времени t
t
можно выразить через интенсивность отказов в виде
P(t ) = e
∫
− λ (t ) dt
0
, то расчетные
формулы для вероятности безотказной работы технического устройства при основном
соединении элементов можно записать следующим образом:
N
Pc (t ) = p1 (t ) p 2 (t )... p N (t ) = ∏ p i (t ),
i =1


 t



Pc (t ) = exp − ∫ λ1 (t )dt  exp − ∫ λ 2 (t )dt ...
 0

 0

t
 t

 N t

... exp − ∫ λ N (t )dt  = exp − ∑ ∫ λi (t )dt 
 0

 i =1 0

(1)
– 20 –
Выражения (1) наиболее общие. Они позволяют определить вероятность
безотказной работы изделий до первого отказа при любом законе изменения
интенсивности отказов во времени.
На практике наиболее часто интенсивность отказов изделий является величиной
постоянной.
При
этом
время
возникновения
отказов
обычно
подчинено
экспоненциальному закону распределения, т. е. для нормального периода работы
аппаратуры справедливо условие l = const.
В этом случае выражения для количественных характеристик примут вид
Pc (t ) = e −λc t = e
a c (t ) = λc e
− t / Tcp c
− λc t
N
, λ c = ∑ λi ,
i =1
, Tcp c = 1 / λc .
(2)
Если все элементы данного типа равнонадежны, интенсивность отказов системы
будет
r
λ c = ∑ N i λi ,
(3)
i =1
где N i — число элементов t-го типа; r — число типов элементов.
На практике очень часто приходится вычислять вероятность безотказной работы
высоконадежных систем. При этом произведение lсt значительно меньше единицы, а
вероятность безотказной работы P(t) близка к. единице. В этом случае, разложив е- lсt в
ряд и ограничившись первыми двумя его членами, с высокой степенью точности
можно вычислить P(t).
Тогда
основные
количественные
характеристики
надежности
можно
с
достаточной для практики точностью вычислить по следующим приближенным
формулам:
r
Pc (t ) ≈ 1 − t ∑ N i λi =1 − λc t ,
i =1
Tc =
1
i =1
i
i =1
= 1 / λc , a (t ) ≈ λc (1 − λc t ).
r
∑N λ
r
λ c = ∑ N i λi ,
i
(4)
Вычисление количественных характеристик надежности по приближенным
формулам не дает больших ошибок для систем, вероятность безотказной работы
которых превышает 0,9, т. е. для λt ≤ 0,1 .
– 21 –
При расчете надежности систем часто приходится перемножать вероятности
безотказной работы отдельных элементов расчета, возводить их в степень и извлекать
корни. При значениях P(t), близких к единице, эти вычисления можно с достаточной
для практики точностью выполнять по следующим приближенным формулам:
N
p (t ) p (t )... p (t ) ≈ 1 − ∑ q i (t ),
1
2
N
i =1
p iN (t ) =1 − Nq i (t ),
N p (t ) = 1 − q (t ) / N ,
i
i
(5)
где qi(t) —.вероятность отказа i-го блока.
В зависимости от полноты учета факторов, влияющих на работу изделия,
различают прикидочный, ориентировочный и окончательный расчет надежности.
– 22 –
4. Пример решения типовой задачи
В системах могут быть использованы только элементы, интенсивность отказов
которых равна
λ1 = 10 − 5
1
.
час Системы имеют число элементов Ν1 = 500 и Ν 2 = 2500 .
Требуется определить среднюю наработку до первого отказа и вероятность безотказной
работы в конце первого часа Рс (1).
Решение:
Интенсивность отказов системы соответственно будет
λ c1 = N 1λi = 500*10 −5 = 0.5*10 −2 1час ,
λ c2 = N 2 λi = 2500*10 −5 = 0.025 1час .
Тогда
Pc1 = e −λc1t = e −0.5*10
−2 *1
= 0.995;
Pc2 = e −0.025*1 = 0.975;
Tcp c1 =
Tcp c2 =
1
=
1
λ c1 0.5*10 − 2
1
λ c2
=
= 200 час;
1
= 40 час.
0.025
– 23 –
5. Задание на самостоятельную работу
ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 3
Расчет характеристик надежности невосстанавливаемых изделий при основном
соединение элементов
1. Система состоит из 12600 элементов, средняя интенсивность отказов которых
1
λср = 0,32 * 10 − 6
час . Необходимо определить вероятность безотказной работы в
течение t = 50 час.
2. Система состоит из N = 5 блоков. Надежность блоков характеризуется
вероятностью безотказной работы в течение времени t, которая равна:
p1 (t ) = 0,98; p2 (t ) = 0,99; p3 (t ) = 0,97; p4 (t ) = 0,985; p5 (t ) = 0,975. Требуется
определить вероятность безотказной работы системы.
3. Система состоит из трех блоков, средняя наработка до первого отказа которых
Т1 = 160 час, Т 2 = 320 час, Т 3 = 600 час. Для
равна
блоков
справедлив
экспоненциальный закон надежности. Требуется определить среднюю наработку до
первого отказа системы.
4. В системах могут быть использованы только элементы, интенсивность отказов
1
λ1 = 10 − 5
.
час Системы имеют число элементов Ν1 = 600 и
которых равна
Ν 2 = 2000 . Требуется определить среднюю наработку до первого отказа и
вероятность безотказной работы в конце первого часа Рс (1).
– 24 –
Контрольные вопросы
1. Какие изделия называются невосстанавливаемыми изделиями при основном
соединение элементов?
2. По какой формуле определяется вероятность безотказной работы?
1. Что называется частатой отказов и по какой формуле она определяется?
2. Что называется интенсивностью отказов и по какой формуле она определяется?
3. Что называется средней наработкой до первого отказа и по какой формуле она
определяется?
– 25 –
Рекомендуемая литература
7. Голинкевич Т.А. Прикладная теория надежности. Учебник для вузов. - М.: Высшая
школа, 1985.
8. Боэм Б., Браун Дж., Каспар Х. И др. Характеристики качества программного
обеспечения/Пер. с англ. Е. К. Масловского.- М.: Мир, 1981 – 208 с., ил.
9. Надежность и эффективность АСУ. Заренин Ю. Г., Збырко М. Д., Креденцер Б. П.,
Свистельник А. А., Яценко В. П. “Техника”, 1975, 368 стр.
10. Надежность автоматизированных систем управления: Учеб. пособие для вузов /И.
О. Атовнян, А. С. Вайрадян, Ю. П. Руднев, Ю. Н. Федосеев, Я. А. Хетагуров. – М.:
Высш. Школа, 1979. – 287 с., ил.
11. Липаев В. В. Надежность программных средств. Серия “Информатизация России на
пороге XXI века”. – М.:СИНТЕГ, 1998, 232 с.
12. Сборник задач по теории надежности. Под ред. А. М. Половко и И. М. Маликова.
М., Изд-во “Советское радио”, 1972, 408 стр.
– 26 –
ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 4.
РАСЧЕТ ХАРАКТЕРИСТИК НАДЕЖНОСТИ
НЕВОССТАНАВЛИВАЕМЫХ РЕЗЕРВИРОВАННЫХ ИЗДЕЛИЙ
Научиться
рассчитывать
Цель работы
критерии
надежности
невосстанавливаемых
резервированных изделий технических систем.
Программное обеспечение, используемое в работе
Microsoft Excel.
MATLAB.
MathCad.
3. Теоретические основы
Зарезервированными соединениями называется такое соединение, при котором
отказ наступает только после отказа основного изделия и и всех резервных изделий.
Общим резервированием называется метод повышения надежности, при котором
резервируются изделия в целом.
n
1
2
n
Раздельным
резервированием
называется метод 1 повышения2 надежности, при
котором резервируются отдельные части изделия.
Основным параметром резервирования является его кратность. Под кратностью
резервирования m понимается отношение числа резервных изделий к числу
резервируемых (основных).
Различают резервирование с целой и дробной кратностью. Схемные
обозначения обоих видов резервирования при постоянном включении резерва
одинаковы. Для их различия на схеме указывается кратность резервирования m.
При резервировании с целой кратностью величина m есть целое число, при
резервировании с дробной кратностью величина m есть дробное несокращаемое число.
Например, m=4/3 означает наличие резервирования с дробной кратностью, при котором
число резервных элементов равно четырем, число основных – трем, а общее число
элементов равно семи.
По способу включения резервирование разделяется на постоянное и
резервирование замещением. Постоянное резервирование - резервирование, при
котором резервные изделия подключены к основным в течение всего времени работы и
находятся в одинаковом с ними режиме. Резервирование замещением –
резервирование, при котором резервные изделия замещают основные после их отказа.
При включение резерва по способу замещения резервные элементы до момента
включения в работу могут находиться в трех состояниях:
- нагруженном резерве;
- облегченном резерве;
- ненагруженном резерве.
Приведем основные расчетные формулы для указанных выше видов
резервирования.
1. Общее резервирование с постоянно включенным резервом и с целой
кратностью (рис.1,а )
– 27 –
m +1
n


Pc (t ) = 1 − 1 − ∏ pi (t ) ,
 i =1

(1)
где рi(t) – вероятность безотказной работы i-го элемента в течении времени t; n – число
элементов основной или любой резервной цепи; m – число резервных цепей (кратность
резервирования).
− λi t
При экспоненциальном законе надежности, когда рi(е) = e ,
Pc (t ) = 1 − [1 − e − λ 0 t ]m +1 ,
ас (t ) = 2 * (λ1 + λ2 ) * e − ( λ1 + λ 2 )*t [1 − e − ( λ1 + λ 2 )*t ];
Tcp c =
1
λ0
m
m
1
(2)
1
∑ i + 1 = T ∑ i + 1,
cp 0
i =0
i =0
n
где
λ0 = ∑ λi
интенсивность отказов нерезервированной системы или любой из m
резервных систем; Tcp 0 - среднее время безотказной работы нерезервированной
системы или любой из m резервных систем.
При резервировании неравнонадежных изделий
i =1
m
m
Pc (t ) = 1 − ∏ q i (t ) = 1 − ∏ [1 − p i (t )],
(3)
где qi(t), pi(t) – вероятность отказов и вероятность безотказной работы в течение
времени t i-го изделия соответственно.
2. Раздельное резервирование с постоянно включенным резервом и с целой
кратностью (рис.1,б ):
i=0
i =0
n
Pc (t ) = ∏ {1 − [1 − p i (t )] mi +1 },
(4)
где рi(t) – вероятность безотказной работы i-го элемента; mi – кратность резервирования
i-го элемента; n – число элементов основной системы.
− λi t
При экспоненциальном законе надежности, когда p i (t ) = e
i =1
n
Pc (t ) = ∏ {1 − [1 − e − λi t ] mi +1 }.
i =1
(5)
При равнонадежных элементах и одинаковой кратности их резервирования
Pc (t ) = {1 − [1 − e − λt ] m +1} ,
(6)
(n − 1)! m
1
,
∑
λ (m + 1) i =0 ν i (ν i + 1)...(ν i + n − 1)
(7)
n
∞
Tcp c = ∫ Pc (t )dt =
0
где ν i = (i + 1) /(m + 1).
аc (t ) = 2 * e − ( λ1 + λ 2 )*t [(λ1 + λ2 )(2 * e − ( λ1 + λ 2 )*t ) − ( 2λ1 + λ2 ) * e − λ1t − (λ1 + 2λ2 ) * e − λ 2 t ]
3. Общее резервирование замещением с целой кратностью (рис.1,в )
t
Pm +1 (t ) = Pm (t ) + ∫ P(t − τ )a m (τ )dτ ,
0
(8)
Pm+1 (t ), Pm (t ) - вероятности безотказной работы резервированной системы
кратности m+1 и m соответственно; P (t − τ ) - вероятность безотказной работы
где
– 28 –
основной системы в течение времени (t − τ ) ; a m (τ ) - частота отказов резервированной
системы кратности m в момент времени τ .
Рекуррентная формула (8) позволяет получить расчетные соотношения для
устройств любой кратности резервирования. Для получения таких формул необходимо
выполнять интегрирование в правой части, подставив вместо; P (t − τ ) и a m (τ ) их
значения в соответствии с выбранным законом распределения и состоянием резерва.
При экспоненциальном законе надежности и ненагруженном состоянии резерва
m
(λ t ) i
Pc (t ) − e −λ0t ∑ 0
i! ,
i =0
(9)
Tcp c = Tcp 0 ( m + 1),
(10)
где λ0 , Tcp 0 - интенсивность отказов и средняя наработка до первого отказа основного
(нерезервированного) устройства.
При экспоненциальном законе и недогруженном состоянии резерва
m
a


Pc (t ) = e −λ0t 1 + ∑ i (1 − e −λit ) i ,
 i =1 i!

(11)
m
1
1
Tcp c =
,
∑
λ0 i =0 1 + ik
(12)
i =1
ai = ∏ ( j +
j =0
где
замещения.
λ0
λ
); k = 1 ; λ1
λ1
λ0
- интенсивность отказов резервного устройства до
При нагруженном состоянии резерва фурмулы для Pc (t ) и Tcp c совпадают с (2).
4. Раздельное резервирование замещением с целой кратностью (рис.1,г )
n
Pc (t ) = ∏ p i (t )
i =1
,
(13)
где pi (t ) - вероятность безотказной работы системы из-за отказов элементов i-го типа,
резервированных по способу замещения. Вычисляется Pi (t ) по формулам общего
резервирования замещением [формулы (8), (9), (11)].
5. Общее резервирование с дробной кратностью и постоянно включенным
резервом (рис.1,д )
l −h
i
i=0
j =0
Pc (t ) = ∑ Cli p l −i (t )∑ (−1) j Cil p0j (t ),
Tcp c =
1
λ0
l −h
(14)
1
∑ h + i,
i=0
(15)
где р0(t) – вероятность безотказной работы основного или любого резервного элемента;
l – общее число основных и резервных систем; h – число систем, необходимых для
нормальной работы резервированной системы.
В данном случае кратность резервирования
m = (l − h) / h.
(16)
6. Скользящее резервирование:
– 29 –
Pc (t ) = p (t ) + np
n
n −1
t
(t ) ∫ a(τ ) p(t − τ )dτ +
0
t −τ


+ n 2 p −1 (t ) ∫ a (τ ) ∫ a (τ 1 ) p(t − τ I )dτ 1 dτ + ... +
0
0

t
+n p
m0
n −1
t −τ
t −τ

a
(
)
a
(
)
τ
τ
∫0  ∫0 1  ∫0 a(τ 2 )...

I
t
}
( m −2)
t −τ 0
... ∫ a(τ m0 −1 ) p(t − τ m0 −1 ) dτ m −1 ...}dτ1}dτ ,
0
 0
(17)
= τ + τ 1 + ... + τ m0 −1 ; n - число элементов основной
где τ = τ + τ 1 ; τ = τ + τ 1 + τ 2 ...; τ
системы; m0 – число резервных элементов; p(t - ti) – вероятность безотказной работы
m0 −1
; a (τ i ) - частота отказов
одного элемента в течение времени t – ti; t i = t , t − τ , t − τ
I
m0 −1
II
одного из основных элементов в момент времени τ i ,
τ i = τ ,τ 1 ,...,τ m0 −1 .
При экспоненциальном законе надежности
(nλt ) 2
(nλt ) m0
Pc (t ) = e −nλt [1 + nλt +
+ ... +
]=
m0 !
2!
m0
(λ 0 t ) i
(nλt ) i
− λ0t
=e ∑
=e ∑
;
i!
i!
i =0
i =0
Tcp c = Tcp 0 (m0 + 1),
− nλt
m0
(18)
где λ0 = nλ - интенсивность отказов нерезервированной системы; l - интенсивность
отказов элемента; n – число элементов основной системы; Tcp 0 - среднее время
безотказной работы нерезервированной системы; m0 – число резервных элементов.
В этом случае кратность резервирования
m = m0 / n .
(19)
Приведенные выше формулы [кроме выражения (8), (11), (12)] могут быть
использованы только в тех случаях, когда вправедливо допущение об отсутствии
последствия отказов.
Выражение (8) является основным при получении расчетных формул в случае
учета влияния последствия отказов. При этом члены p (t − τ ) и a m (τ ) должны быть
записаны с учетом последствия отказов, вида резервирования и его кратности.
Элементы резервированных устройств в ряде случаев могут иметь два вида
отказов – “обрыв” и “короткое замыкание”. В этом случае вычислять вероятность
безотказной работы следует, суммируя вероятности всех благоприятных (не
приводящих к отказу) гипотез, т.е.
k
Pc (t ) = ∑ p j (t ),
j =1
(20)
где p j (t ) - вероятность j-й благоприятные гипотезы, вычисленной с учетом двух видов
отказов; k – число благоприятных гипотез.
– 30 –
При вычислениях рj(t) следует иметь в виду, что для элементов сложной
системы справедливы выражения
 t

p (t ) = exp − ∫ λ (t )dt , ϕ 0 + ϕ 3 = 1,
 0

(21)
где λ (t ) - интенсивность отказа элемента; ϕ 0 ,ϕ 3 - веротность возникновения “обрыва”
и “короткого замыкания” соответственно.
При экспоненциальном законе надежности
p(t ) = e −λt , ϕ 3 =
λ3
λ0 + λ3
, ϕ0 =
λ0
λ0 + λ3
,
(22)
где λ0 , λ3 - интенсивность отказов элемента по “обрыву” и “короткому замыканию”
соответственно.
Расчет надежности резервированных систем иногда полезно выполнять,
используя схему “гибели” (“чистого размножения”). В соответствии с этой схемой
преобразование Лапласа вероятности возникновения n отказов вычисляется по формуле
λ0 λ1λ2 ...λn −1
Pn ( s) =
.
( s + λ0 )(s + λ1 )...(s + λn )
(23)
При неравных корнях знаменателя обратное преобразование Лапласа Pn(s) будет
n
e sk t
Pn (t ) = λ0 λ1 ...λ n −1 ∑
k =0 B ' ( s k ) .
(24)
В формулах (23) и (24) приняты обозначения: λ 0 - интенсивность отказов
системы до выхода из строя первого элемента; λ1 - интенсивность отказов системы в
промежутке времени от момента отказа первого элемента до второго; λ 2 интенсивность отказов системы в промежутке времени от момента отказа второго
элемента до третьего и т.д.; n – число отказавших элементов; s k = −λ k − k − й корень
знаменателя выражения (23); B' ( s k ) - производная знаменателя в точке s k .
При одинаковых опасностях отказов λi , т.е. λ0 = λ1 = ... = λ n , расчетные
формулы имеют вид
λn0
(λ0 t ) n −λ0t
Pn ( s ) =
,
P
(
t
)
=
e .
n
n!
( s + λ0 ) n+1
(25)
При расчетах надежности по формула (23) – (25) следует помнить, что они не
определяют
вероятности
безотказной работы (или
вероятности
отказа)
резервированной системы, т.е. вероятности того, что в системе откажут n элементов.
Для вычисления вероятности безотказной работы необходимо находить вероятности 0,
1, …, n отказов, когда система еще находится в работоспособном состоянии (исправна),
и суммировать полученные вероятности.
Среднее время безотказной работы системы при использовании схемы “гибели”
вычисляется по формуле
n −1
1
Tcp c = ∑ ,
i = 0 λi
(26)
Наиболее часто используются следующие критерии качества резервированных
устройств: G q (t ) - выигрыш надежности в течении времени t по вероятности отказов;
– 31 –
G p (t ) - выигрыш надежности в течении времени t по вероятности безотказной работы;
GT - выигрыш надежности по среднему времени безотказной работы.
При резервировании элементов электроники (резисторов, конденсатор,
контактов реле, диодов и т.п.) всегда произведение интенсивности отказов элемента на
время его работы значительно меньше единицы, т.е. λt << 1 . Поэтому при вычислении
G q (t ) и G p (t ) целесообразно функции вида e − kλt (экспоненциальный случай) разложив
в ряд:
k 2 λ2 t 2
(при небольших k )
2!
Если система исправна при отказе m элементов, то необходимо брать не менее
чем m+2 членов разложения.
e −kλt = 1 − kλt +
– 32 –
4. Пример решения типовой задачи
Интенсивность отказов элементов имеют следующие значения: l1=0,3*10-3 1/час,
l2=0,7*10-3 1/час. Необходимо определить вероятность безотказной работы изделия в
течение времени t=100 час, среднюю наработку до первого отказа, частоту отказов и
интенсивность отказов в момент времени t=100 час.
Решение:
Pc (t ) = 1−[1− e−(λ1 + λ2 )*t ]2;
−3
−3
Pc (100) =1−[1− e −(0.3*10 + 0.7*10 )*100 ] 2 = 0.99;
n
1 m 1
Tcp c =
; λ 0 = ∑ λi
∑
i =1
λ 0 i = 0 i +1
1 1 1
1
1 1 
*
Tcp c =
=
 +  =1500 час;
∑
λ 0 i = 0 i +1 0.3*10 −3 + 0.7 *10 −3  1 2 
a c (t ) = 2(λ1 + λ 2 )e −(λ1 + λ2 )*t [1− e
− (λ1 + λ2 )*t
a c (100) = 2(0.3*10 −3 + 0.7 *10 −3 )e −(0.3*10
*[1− e −(0.3*10
−3 + 0.7*10−3 )*100
];
−3 + 0.7*10−3 )*100
] =1.8*10 − 4 1 ;
час
a(100)
λ c (100) =
≈ a(100) =1.8*10 − 4 1 .
час
P(100)
где m – кратность резервирования (m=1).
*
– 33 –
5. Задание на самостоятельную работу
ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 4
Расчет характеристик надежности невосстанавливаемых изделий при основном
соединение элементов
1. Предполагается, что последствие отказов отсутствует и все элементы расчета
равнонадежны. Интенсивность отказов элемента l=1,35*10-3 1/час. Требуется
определить наработку до первого отказа резервированного устройства. (В данном
случае имеется место раздельное резервирование равнонадежных устройств с
постоянно включенном резервом.)
2. Интенсивность отказов элементов имеют следующие значения: l1=0,3*10-3 1/час,
l2=0,5*10-3 1/час, l3=0,2*10-3 1/час. Необходимо определить вероятность безотказной
работы изделия в течение времени t=200 час, среднюю наработку до первого отказа,
частоту отказов и интенсивность отказов в момент времени t=200 час.
3. Средняя наработка до первого отказа схемы рис. 2 Тср с=1000 час и Т1=2Т2.
Необходимо найти вероятность безотказной работы схемы в течение 100 час.
– 34 –
Рекомендуемая литература
1. Голинкевич Т.А. Прикладная теория надежности. Учебник для вузов. - М.: Высшая
школа, 1985.
2. Боэм Б., Браун Дж., Каспар Х. И др. Характеристики качества программного
обеспечения/Пер. с англ. Е. К. Масловского.- М.: Мир, 1981 – 208 с., ил.
3. Надежность и эффективность АСУ. Заренин Ю. Г., Збырко М. Д., Креденцер Б. П.,
Свистельник А. А., Яценко В. П. “Техника”, 1975, 368 стр.
4. Надежность автоматизированных систем управления: Учеб. пособие для вузов /И.
О. Атовнян, А. С. Вайрадян, Ю. П. Руднев, Ю. Н. Федосеев, Я. А. Хетагуров. – М.:
Высш. Школа, 1979. – 287 с., ил.
5. Липаев В. В. Надежность программных средств. Серия “Информатизация России на
пороге XXI века”. – М.:СИНТЕГ, 1998, 232 с.
6. Сборник задач по теории надежности. Под ред. А. М. Половко и И. М. Маликова.
М., Изд-во “Советское радио”, 1972, 408 стр.
– 35 –
ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 5.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВИДА И ПАРАМЕТРОВ ЗАКОНА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
ВРЕМЕНИ ИСПРАВНОЙ РАБОТЫ
Цель работы
Научиться определять вид и параметры закона распределения времени исправной
работы изделий.
Программное обеспечение, используемое в работе
Microsoft Excel.
MATLAB.
MathCad.
3. Теоретические основы
Определение вида параметров закона распределения времени исправной
работы. Экспоненциальное распределение
Экспоненциальное распределение характерно для внезапных отказов элементов
и
систем.
Плотность
вероятности
экспоненциального
распределения
задается
уравнением
f (t ) = λe − λt ,
(1)
где λ — интенсивность отказов есть величина, обратная средней наработке до отказа
λ = 1/ Т .
Оценки параметра λ экспоненциального распределения могут быть получены по
формулам, соответствующим планам испытаний, приведенным в табл. 1. Во втором
столбце этой таблицы располагаются условные трехбуквенные обозначения планов,
которые расшифровываются следующим образом:
•
первая бука п означает объем выборки, подверженной испытаниям;
•
второй буквой Б или В обозначены планы без восстановления выборки или с
восстановлением ее соответственно;
•
третья буква (п, или t0 пли d) в условном обозначении плана указывает на
признак окончания испытания. Планы, предусматривающие испытания до
отказа всех испытываемых элементов выборки, обозначены, буквой п; планы с
окончанием испытаний через заданное время обозначены буквой t0; буквой d
обозначены планы с окончанием испытаний после появления установленного
числа d отказов.
– 36 –
Таким
образом,
символом
[п,
В,
t0],
например,
обозначен
план
с
восстановлением выборки объема п и окончанием испытаний по истечении времени t0.
Символ [п, Б, d] относится к плану без восстановления выборки с окончанием
испытаний после d отказов. Кроме указанных выше символов в таблице приняты также
следующие обозначения:
t d - время от начала испытаний до d-го отказа;
t Σ - суммарная наработка.
Формулы, содержащиеся в табл. 1, удобно обозначать двузначными числами, у
которых первая цифра — номер строки (план), а вторая — номер столбца. Например, в
таблице формула, обозначенная номером (14), записывается в виде λ = n / t Σ .
Таблица 1
Планы испытаний для случая экспоненциального распределения (оценка параметра λ)
Номер
плана
План
испытаний
1
1
2
[nБn]
Суммарная
наработка t∑
3
n
∑t
i =1
i
[nБt0]
d ≠0
∑ ti + ( n − d ) t0
3
[nБt0]
d =0
nt0
4
[nБd]
2
d
i =1
d
∑t
i =1
5
6
[nB t0]
[nBd]
i
+ (n − d ) td
nt0
ntd
Оценка
Нижняя граница
интенсивности
λН
отказов λ
4
5
2
n
χ (1 − α1 ) (2n)
t∑
2 t∑
d
χ 2 (1 − α1 ) (2d )
t∑
2 t∑
Верхняя граница
λВ
6
χ (α 2 ) (2n)
2
2 t∑
χ 2 (α 2 ) (2d )
2 t∑
–
0
r0
t∑
d −1
t∑
χ 2 (1 − α1 ) (2d )
χ 2 (α 2 ) (2d )
2 t∑
2 t∑
d
t∑
χ 2 (1 − α1 ) (2d )
χ 2 (α 2 ) (2d + 2)
2 t∑
2 t∑
d −1
t∑
χ 2 (1 − α1 ) (2d )
χ 2 (α 2 ) (2d )
2 t∑
2 t∑
Для определения доверительных границ λ, при d ≠ 0 необходимо пользоваться
таблицей квантилей хи-квадрат распределения (табл. П.7.1), в которой параметрами
являются вероятность Р( 1 − α1
или α 2 ) и число степеней свободы κ , равное 2n, 2d
или 2d+2, в зависимости от плана.
Для определения λ в при d=0 в плане [п, Б, t] нужно определить коэффициент r0
по табл. П.7.8.
– 37 –
Учитывая, что при экспоненциальном распределении
P(t ) = e − λt , а T = 1 / λ ,
получим:
Pн (t ) = e − λв t = e − t / Tн ,
Pв (t ) = e −λнt = e −t / Tв ,
Tн = 1 / λв , Tв = 1 / λ н .
(2)
Для этих целей можно воспользоваться и непосредственно табл. 1.
В том случае, когда число степеней свободы κ (2п в планах [п, Б, п] или 2d в
других планах) более 100, формулы для определения доверительных границ,
приведенные в табл. 1, не могут быть реализованы ввиду ограниченности табл. П.7.1.
При таких объемах испытаний выборочная оценка средней наработки на отказ
распределена нормально и поэтому могут быть использованы формулы для границ Т
при нормальном распределении времени безотказной работы, в соответствии с
которыми
Tв , н = T ± tα ( n −1) S / n .
(3)
Получение значения S при этом может оказаться затруднительным и в ряде
случаев невозможным. Тогда следует воспользоваться свойством экспоненциального
распределения, у которого σ = T , а следовательно, S ≈ T .
При планировании объема испытаний для случая экспоненциального закона
распределения
времени
безотказной
работы
необходимо
определить,
сколько
экземпляров и сколько времени нужно испытывать, чтобы получить из опыта
интенсивность отказов с ошибкой, не превосходящей заданную. Если заданная
предельная ошибка выражена в процентах и равна δ, то можно записать
λ
δ
= 1+
=κ
100
λн
(4)
Тогда для плана [n, Б, п] имеем
κ = 2n / χ (21−α )( 2 n ) = r1 .
1
(5)
Это соотношение при заданных κ и α 1 позволяет определить объем испытаний
п с помощью табл. П.7.1. Для удобства решения этой задачи составлена табл. П.7.2 для
значений r1 = κ , в которой входами являются d=n и α = α 1 . Табл. П.7.2, очевидно,
может быть использована для определения п в планах [n, Б, п].
– 38 –
При планах [п, Б, t0] объем испытаний определяется величинами п и t0. При
испытаниях регистрируется число отказов d. Очевидно, что между d и t0 существует
неявная связь. Поэтому по величине κ = R1 , пользуясь табл. П.7.3, составленной для
вероятности α=0,95, находим d. Затем по числу d и заданному значению доверительной
вероятности определения объема испытаний α 0 с помощью табл. П. 7.4 находим
коэффициент r3 и по формуле получаем примерный объем испытаний
nt 0 = dr3 / λ0 ,
(6)
где λ 0 - ожидаемое значение λ. Если п или t0 задается заранее, то из произведения nt0
легко определить искомое.
Для планов [п, Б, d] объем испытаний определяется значениями п и d. Число
отказов d можно определить по табл. П.7.2, исходя из заданного κ = r1 и доверительной
вероятности α 1 . Величина п влияет только на длительность испытаний: чем больше n,
тем скорее будет достигнуто число отказов d и, следовательно, время испытаний будет
меньшим.
В случае планов типа [n, В, t0] испытанию подлежат п объектов в течение
времени t0. Время t0 косвенно связано с числом отказов d при испытаниях, которое
определим по табл. П.7.2 для заданных κ и α 1 . Для того чтобы по числу d найти
необходимые
п
и
t0
с
вероятностью
α0 ,
воспользуемся
вспомогательным
коэффициентом r3 , определяемым из табл. П.7.4 по известным d и α 0 .
Наконец, установив предполагаемое значение α 0 , находим по формуле (6)
произведение nt0.
Для планов типа [п, В, d] объем испытаний определяется величинами n и d,
которые находятся так же, как и в случае планов типа [п, Б, d].
– 39 –
4. Задание на лабораторную работу
Определение вида и параметров закона распределения времени исправной работы
(времени до отказа). Экспоненциальный закон
1. План [n, Б, n]. При испытании n=10 устройств до выхода их из строя получены
следующие значения наработки в часах: t1=30, t2=35, t3=50, t4=85, t5=100, t6=150,
t7=250, t8=300, t9=400, t10=600.
Требуется определить:
•
Оценку λ интенсивности отказов λ .
•
Верхнюю доверительную границу λв с доверительной вероятностью α 2 = 0.9 .
•
Двусторонний доверительный интервал для λ при α = 0.9 и
•
Оценку средней наработки до отказа T и его нижнюю границу с вероятностью
β1 = β 2 = 0.05 .
0,9.
2. План [n, Б, t0]. За время испытаний по плану [n=50, Б=, t0=500 час] отказало d=6
устройств, причем отказавшие устройства проработали до выхода из строя
соответственно 50, 150, 200, 300, 350, 450 час. Требуется определить оценку λ и
двусторонний доверительный интервал для α = 0.8 при β1 = β 2 = 0.1 .
3. План [n, Б, d]. При испытаний по плану [n=50, Б=, d=6] получены следующие
значения наработки отказавших устройств: 50, 150, 200, 300, 350, 450 час.
Отказавшие устройства не восстанавливаются. Требуется определить оценку λ и
доверительный интервал для α = 0.9 при β1 = β 2 = 0.05 .
4. План [n, Б, t0]. При испытаниях n=100 устройств в течение времени t0=100 час
зарегистрировано 5 отказов. Отказавшие устройства мгновенно заменяются
исправными. Требуется определить оценку интенсивности отказов, верхнюю
доверительную границу λ с вероятностью 0,99 и доверительный интервал для λ с
α = 0.9 при β1 = β 2 = 0.05 .
Рекомендуемая литература
1. Голинкевич Т.А. Прикладная теория надежности. Учебник для вузов. - М.: Высшая
школа, 1985.
2. Боэм Б., Браун Дж., Каспар Х. И др. Характеристики качества программного
обеспечения/Пер. с англ. Е. К. Масловского.- М.: Мир, 1981 – 208 с., ил.
3. Надежность и эффективность АСУ. Заренин Ю. Г., Збырко М. Д., Креденцер Б. П.,
Свистельник А. А., Яценко В. П. “Техника”, 1975, 368 стр.
4. Надежность автоматизированных систем управления: Учеб. пособие для вузов /И.
О. Атовнян, А. С. Вайрадян, Ю. П. Руднев, Ю. Н. Федосеев, Я. А. Хетагуров. – М.:
Высш. Школа, 1979. – 287 с., ил.
5. Липаев В. В. Надежность программных средств. Серия “Информатизация России на
пороге XXI века”. – М.:СИНТЕГ, 1998, 232 с.
6. Сборник задач по теории надежности. Под ред. А. М. Половко и И. М. Маликова.
М., Изд-во “Советское радио”, 1972, 408 стр.
– 41 –
ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 6.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВИДА И ПАРАМЕТРОВ ЗАКОНА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
ВРЕМЕНИ ИСПРАВНОЙ РАБОТЫ. УСЕЧЕННОЕ НОРМАЛЬНОЕ
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
Цель работы
Научиться определять вид и параметры закона распределения времени исправной
работы изделий.
Программное обеспечение, используемое в работе
Microsoft Excel.
MATLAB.
MathCad.
3. Теоретические основы
Определение вида параметров закона распределения времени исправной
работы. Усеченное нормальное распределение
Нормальный закон распределения наиболее часто используется для оценки
надежности изделий при наличии постепенных отказов. Плотность вероятности
нормального распределения задается уравнением
 (t − T ) 2 
f (t ) =
exp−

2σ 2  ,
σ 2π

1
(1)
где Т — средняя наработка до отказа; σ — среднее квадратическое (стандартное)
отклонение времени безотказной работы.
Так как при нормальном распределении случайная величина может принимать
любые значения от − ∞ до + ∞ , а время безотказной работы может быть только
положительным, нужно рассматривать усеченное нормальное распределение с
плотностью
 (t − T ) 2 
f (t ) =
exp−

2σ 2 
σ 2π

с
(2)
где с—нормирующий множитель.
Нормирующий множитель с определяется из выражения
∞
с ∫ f (t )dt = 1
0
и равен
(3)
– 42 –

 T 
T 
c = 1 / F  1  = 1 / 0,5 + Φ 0  1 
 σ  ,
σ 

где
1
T 
F 1  =
 σ  2π
T1 / σ
−x
∫e
2
/2
dx
табулированная интегральная функция нормального
−∞
T  1
Φ0  1  =
 σ  2π
распределения;
(4)
T1 / σ
∫e
− x2 / 2
dx
— нормированная функция Лапласа.
−∞
Средняя наработка до отказа и параметр
T1
усеченного нормального
распределения связаны зависимостью
σ
T = T1 +
При
T 
2π F  1 
σ 
e −T1
2
/ 2σ 2
(5)
T / σ ≥ 2 , что имеет место в абсолютном большинстве случаев при оценке
надежности устройств с нормально распределенными отказами, коэффициент с мало
отличается от единицы и усеченное нормальное распределение достаточно точно
аппроксимируется обычным нормальным законом.
При испытании выборки объемом в п изделий с наработкой t1 , t 2 , K , t n
параметры распределения T и σ оцениваются по формулам
 n 
 ∑ ti 
T =  i =1 
n ,
(6)
1 n
(t i − T ) 2
∑
n − 1 i =1
σ =S=
(7)
С целью экономии времени и уменьшения ошибок при подсчетах S, когда п
велико, t i — большие или нецелые числа, следует использовать тождество
1 n 
(
t
−
T
)
=
t
−
 ∑ ti 
∑
∑
i
n  i =1 
i =1
i =1
n
n
2
2
2
i
(8)
Доверительные границы Т определяются по уравнениям:
Tн = T − tα1 ( n −1)
S
Tв = T + tα 2 ( n−1)
S
n - нижняя граница,
n - верхняя граница,
(9)
(10)
– 43 –
где tα ( n −1) - квантиль распределения Стьюдента для вероятности α или уровня
значимости β = 1 − α и числа степеней свободы f = n − 1 ; величина tα ( n −1) находится по
табл. П.7.5.
В случае двустороннего определения доверительных границ
β1 = β 2 = (1 − α ) / 2 .
Доверительные границы о определяются с помощью формулы
(n − 1) S 2
χ (21− β / 2)( n −1)
≤σ 2 ≤
(n − 1) S 2
χ (2β / 2)( n −1) ,
(11)
2
где χ (1− β / 2 )( n −1) — квантиль хи-квадрат распределения при вероятности p = 1 − β / 2 и
2
числе степеней свободы κ = n − 1 ; χ ( β / 2 )( n −1) — то же для вероятности p = β / 2 .
2
Значения χ ( p )(κ ) находятся по табл. П.7.1.
– 44 –
4. Задание на самостоятельную работу
Определение вида и параметров закона распределения времени исправной работы
(времени до отказа). Усеченное нормальное распределение
1.
При испытании десяти элементов, отказы которых распределены нормально,
получены следующие значения времени безотказной работы в часах: t1=150, t2=100,
t3= 70, t4=200, t5=100, t6=100, t7=150, t8=200, t9=80, t10=150. Требуется оценить Т и σ
и определить для них двусторонние доверительные интервалы с вероятностью
α=0,9.
2.
В результате испытаний 15 элементов были получены следующие значения
наработки в часах: 10,2; 12,3; 17,1; 18,4; 20,3; 22,7; 23,1; 25,5; 26,4; 28,9; 30,3; 32,5;
33,3; 38,1; 41,0. Требуется определить оценку средней наработки до отказа ( T ) и
дисперсию ( σ ), а также нижнюю границу Т и верхнюю границу
2
σ с
вероятностью α = 0.95 .
3.
При испытании двенадцати элементов, отказы которых распределены нормально,
получены следующие значения времени безотказной работы в часах: t1=150, t2=100,
t3= 70, t4=200, t5=100, t6=100, t7=150, t8=200, t9=80, t10=150, t11=120, t12=160.
Требуется оценить Т и σ и определить для них двусторонние доверительные
интервалы с вероятностью α=0,8.
4.
В результате испытаний 20 элементов были получены следующие значения
наработки в часах: 11,2; 12,3; 17,1; 16,8; 20,3; 25,7; 23,1; 35,8; 26,4; 28,9; 30,3; 32,5;
33,3; 38,1; 41,0; 22,8; 35,8; 20,4; 17,5; 10,5. Требуется определить оценку средней
наработки до отказа ( T ) и дисперсию ( σ ), а также нижнюю границу Т и
2
верхнюю границу σ с вероятностью
α = 0,9.
– 45 –
Рекомендуемая литература
1. Голинкевич Т.А. Прикладная теория надежности. Учебник для вузов. - М.: Высшая
школа, 1985.
2. Боэм Б., Браун Дж., Каспар Х. И др. Характеристики качества программного
обеспечения/Пер. с англ. Е. К. Масловского.- М.: Мир, 1981 – 208 с., ил.
3. Надежность и эффективность АСУ. Заренин Ю. Г., Збырко М. Д., Креденцер Б. П.,
Свистельник А. А., Яценко В. П. “Техника”, 1975, 368 стр.
4. Надежность автоматизированных систем управления: Учеб. пособие для вузов /И.
О. Атовнян, А. С. Вайрадян, Ю. П. Руднев, Ю. Н. Федосеев, Я. А. Хетагуров. – М.:
Высш. Школа, 1979. – 287 с., ил.
5. Липаев В. В. Надежность программных средств. Серия “Информатизация России на
пороге XXI века”. – М.:СИНТЕГ, 1998, 232 с.
6. Сборник задач по теории надежности. Под ред. А. М. Половко и И. М. Маликова.
М., Изд-во “Советское радио”, 1972, 408 стр.
– 46 –
ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 7.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОКАЗАТЕЛЕЙ НАДЕЖНОСТИ ЭЛЕМЕНТОВ ПО
ОПЫТНЫМ ДАННЫМ
Цель работы
Научиться определять показатели надежности по экспериментальным данным.
Программное обеспечение, используемое в работе
Microsoft Excel.
MATLAB.
MathCad.
1. Теоретические основы
2. Постановка задачи
Дано:
•
N – число элементов, находящихся на испытании;
•
ti – время исправной работы i –го элемента, i = 1, 2,…, п;
•
п – число отказавших элементов за время испытания t.
Определить показатели надежности элемента:
•
λ(t) – интенсивность отказа как функцию времени;
•
ω (t) – плотность распределения времени исправной работы
элемента;
•
f (t) – параметр потока отказов как функцию времени.
Эти показатели надежности необходимо определить при следующих двух видах
испытания:
а) с выбрасыванием отказавших элементов;
б) с заменой новыми или отремонтированными.
В случае (а) число элементов в процессе испытания убывает, в случае (б) —
остается постоянным.
Варианты задания приведены далее в разд. 1.5.
3. Сведения из теории
В теории надежности под элементом понимают элемент, узел, блок, имеющий
показатель надежности и входящий в состав системы. Элементы бывают двух видов:
невосстанавливаемые (резистор, конденсатор, подшипники и т. П.), и
восстанавливаемые или ремонтируемые (генератор тока, колесо автомобиля, телевизор,
ЭВМ и т. П.). Отсюда следует, что показателями надежности невосстанавливаемых
элементов являются только такие показатели, которые характеризуют надежность
техники до ее первого отказа.
Показателями надежности восстанавливаемых элементов являются показатели,
которые характеризуют надежность техники не только до первого отказа, но и между
отказами.
Показателями надежности невосстанавливаемых элементов являются:
– 47 –
•
•
•
•
P(t) – вероятность безотказной работы элемента в течение времени t;
T1 – среднее время безотказной работы (наработка до отказа);
ω(t) — плотность распределения времени до отказа;
λ(t) — интенсивность отказа в момент t.
Между этими показателями существуют следующие зависимости:
t
P (t ) = e
∫
− χ ( t ) dt
,
0
(1.1)
∞
ω (t ) = − P′(t ) , P(t ) = ∫ ω (t )dt ,
(1.2)
t
λ (t ) =
ω (t )
P(t )
,
(1.3)
∞
T1 = ∫ P (t )dt .
(1.4)
0
Интенсивность отказа многих элементов, особенно элементов электроники,
является величиной постоянной: λ(t) = λ. В этом случае зависимости между
показателями надежности имеют вид:
P(t ) = e − λt ,
1
T1 = ,
λ
− λt
ω (t ) = λe
.
λ (t ) = λ = const
Показателями надежности восстанавливаемых элементов являются:
• ω(t) – параметр потока отказов в момент времени t;
• T – среднее время работы между отказами (наработка на отказ).
Показателями надежности восстанавливаемых элементов могут быть также
показатели надежности невосстанавливаемых элементов. Это имеет место в тех
случаях, когда система, в состав которой входит элемент, является неремонтируемой по
условиям ее работы (необитаемый космический аппарат, аппаратура, работающая в
агрессивных средах, самолет в процессе полета, отсутствие запчастей для ремонта и т.
П.). Между показателями надежности невосстанавливаемых и восстанавливаемых
элементов имеют место следующие зависимости:
t
f (t ) = ω (t ) + ∫ f (τ )ω (t − τ )dt ,
(1.5)
0
lim
t →∞
1
f (t ) = .
T1
(1.6)
Из выражений для показателей надежности невосстанавливаемых и восстанавливаемых элементов можно сделать следующий важный вывод: основным
показателем надежности элементов сложных систем является интенсивность отказов
λ(t). Это объясняется следующими обстоятельствами:
• надежность многих элементов можно оценить одним числом, т. К. их интенсивность отказа — величина постоянная;
• по известной интенсивности λ(t) наиболее просто оценить остальные по-
– 48 –
казатели надежности элементов и сложных систем;
• λ(t) обладает хорошей наглядностью;
• интенсивность отказов нетрудно получить экспериментально.
Следует, однако, иметь в виду, что плотность распределения наиболее полно
характеризует случайное явление — время до отказа. Остальные показатели, в том
числе и λ(t), лишь в совокупности позволяют достаточно полно оценить надежность
сложной системы.
Основным способом определения показателей надежности элементов сложных
систем является обработка статистических данных об их отказах в процессе
эксплуатации систем или при испытаниях в лабораторных условиях. При этом
возможны следующие два случая:
• отказавшие элементы в процессе испытания или эксплуатации системы
новыми не заменяются (испытания без восстановления);
• отказавший элемент заменяется новым того же типа (испытания с
восстановлением).
В процессе эксплуатации системы или при испытаниях в лабораторных
условиях фиксируется дата возникновения отказа. По этим данным путем
статистической обработки и определяются показатели надежности элементов.
Как следует из определений показателей надежности невосстанавливаемого
элемента, все они могут быть вычислены, если известен закон распределения времени
работы элемента до отказа в виде плотности ω(t). Если элемент может
ремонтироваться, то все показатели надежности выражаются через закон
распределения времени безотказной работы ω(t). Поэтому важным обстоятельством
является умение находить ω(t) с помощью проведения и обработки результатов
эксперимента.
Предположим, что в результате проведения испытаний над N элементами в
течение времени Т получены некоторые статистические данные о распределении
количества отказавших элементов. Возможны три способа регистрации отказов
элементов.
• Первый способ регистрации
Элементы, поставленные на испытания, являются невосстанавливаемыми. При
возникновении отказа некоторого элемента фиксируется момент времени его отказа.
В результате испытаний статистической информацией является
последовательность t1, t2,…, tt,…, tN моментов времени отказа элементов (рис. 1.1).
Рис. 1.1. Временная диаграмма моментов отказов невосстанавливаемых
элементов
•
Второй способ регистрации
– 49 –
Элементы, поставленные на испытания, являются восстанавливаемыми. После
отказа какого-либо элемента он заменяется новым. В результате испытаний исходной
статистической информацией является последовательность моментов времени отказов
i-го элемента ti, j (j = l, 2,…, и, j= 1, 2,…, N ) в течение периода наблюдений Т (рис. 1.2).
Реализациями наработок элемента в этом случае служат разности τi, j,. Ti, j – ti, j-1
предполагается, что ti,0= 0).
Рис. 1.2. Временная диаграмма моментов отказов восстанавливаемых элементов
с известными номерами
Второй способ регистрации отказов, очевидно, сводится к первому, если
фиксируются номера отказавших элементов. В качестве статистических данных
берется совокупность разностей τi, j, представляющих собой времена работы элементов
до первого отказа.
• Третий способ регистрации
Элементы, поставленные на испытания, являются восстанавливаемыми. После
отказа какого-либо элемента он заменяется новым, однако не известен номер
отказавшего элемента. В результате испытаний исходной статистической информацией
является последовательность t1, ,t2,,… ,ti,…,tn моментов отказов элементов, где п – число
отказавших элементов. Таким образом, в отличие от второго способа, здесь
регистрируются моменты отказов элементов без указания их номеров.
Рассмотрим статистические определения показателей надежности элемента.
Соответствующий статистический аналог показателя надежности будем обозначать тем
же символом, что и раньше, но со знаком (^) сверху.
Невосстанавливаемые элементы
Исходными статистическими данными является время работы элементов
первого отказа:t1, t2,…, ti,…, tN . Тогда среднее время работы элемента до отказа равно
среднему арифметическому времени ti, т. Е
) 1 N
T1 = ∑ t i .
N i =1
Обозначим через v(t) число элементов, для которых отказ произошел позднее
момента времени t. Тогда вероятность отказа элемента равна
)
v (t )
Q (t ) =
,
N
а вероятность безотказной работы —
)
)
P (t ) = 1 − Q (t ),
– 50 –
Пусть последовательность t1, t2,…, ti, …,tN получена упорядочением исходной
)
последовательности. Функция Q(t ) представляет собой эмпирическую функцию
распределения, и если все t(i) различны, то
0,
)

Q(t ) = i / N ,
1,

при
t<t(1)
при t(1)≤t<t(i+1)
при
t≥t(N)
)
Величина всех скачков равна 1/N, а типичный график функции Q(t ) приведен на
рис. 1.3.
Рис. 1.3. График статистической вероятности отказа элемента
Другим наглядным способом представления статистических данных является
гистограмма. Область значений [t(1); t(N)] разбивается на равные интервалы ∆i = 1, 2,…,
R
k длины h = , где R = t(N)-t(1), и называется размахом выборки. Гистограмма
k
представляет собой примыкающие друг к другу прямоугольники, основанием которых
N
являются указанные интервалы, а высоты равны плотностям относительных частот i
Nh
, где Ni – число выборочных значений, попавших в данный интервал (рис. 1.4).
Гистограмма является статистической плотностью распределения времени работы до
отказа. Для оценки плотности иногда используется также полигон относительных
частот, который представляет собой ломаную линию, построенную по точкам, абсциссами которых являются середины интервалов ∆i = 1, 2,…, k, а ординаты соответствуют
N
плотностям i (рис. 1.4).
Nh
– 51 –
Рис. 1.4. График статистической плотности распределения в виде гистограммы и
полигона частот
Интенсивность отказа элемента рассчитывается как отношение плотности
распределения к вероятности безотказной работы.
Восстанавливаемые элементы
Исходными статистическими данными являются моменты времени отказов
элементов: tx, t2,…, ti,…, tn, где п – число отказавших элементов, N – общее число
элементов, участвующих в испытаниях. Информация об отказах элементов может быть
представлена в виде табл. 1.1. Весь период испытаний разбивается на интервалы
времени определенной длины, и подсчитывается количество отказавших элементов на
каждом интервале.
Таблица 1.1. Таблица отказов элементов
∆t
∆n
∆t 1
∆n i
∆t 2
∆n i
…
…
∆t k
∆n k
Табличные данные означают, что на интервале времени ∆t, было зафиксировано
точно ∆n, отказов элементов, t = 1, 2, … ,k. Тогда имеет место следующее
статистическое определение параметра потока отказов элемента:
∆ni
)
ϖ (t ) =
N ∆t i
Для всех t, принадлежащих i – интервалу времени:
∆t1 + ... + ∆t i −1 < t ≤ ∆t1 + ... + ∆t i −1 + ∆t .
Определение плотности распределения f(t) путем решения интегрального
уравнения (1.5) связано с некоторыми трудностями, которые вызваны скачкообразным
изменением параметра потока отказов. Один из возможных подходов к определению
функции f(t) состоит в следующем. Найдем функцию f(t) в виде кусочно-постоянной
функции
если ak-1<t≤ak , k=1, 2, … , n;
ω k ,
если t=an
ω (t ) = 
0
,

Здесь aQ =0, an=T, ω k – искомые величины, которые можно определить из
условия выполнения уравнения (1.5) в среднем по интегральной метрике
2
t
)

)

ϖ
(
t
)
−
f
(
t
)
−
∫0 
∫0 f (τ )ϖ (t − τ )dt  dt → min
при ограничениях
T
T
∫ f (t )dt = 1,
f (t ) ≥ 0
0
4. Пример выполнения лабораторной работы
Постановка задачи
– 52 –
Требуется определить показатели надежности элемента без восстановления и с
восстановлением соответственно для двух вариантов исходных данных:
1. Первый набор исходных данных
На испытания поставлено N = 100 элементов. Моменты отказов элементов
представлены в табл. 1. Все элементы работают до своего отказа и после отказа не
ремонтируются. Требуется определить статистические и теоретические показатели
надежности элемента: T1, P(t), Q(t), ω(t).
Таблица 1. Моменты отказов элементов, в часах
120 221 151 212 445 575 411 415 152 750
123 130 235 875 147 316 613 745 251 319
120 145 120 309 432 243 649 158 344 789
247 197 623 254 655 723 696 267 997 326
128 130 158 462 346 294 120 30 165 215
232 186 938 146 518 248 177 848 127 198
239 450 216 559 239 560 263 144 139 261
378 289 768 310 413 351 141 292 319 969
56 877 357 265 796 584 243 394 614 146
422 255 360 360 824 114 242 396 166 224
2. Второй набор исходных данных
На испытаниях находится N -10 элементов. В течение периода Т = 700 час
регистрируются моменты времени отказов элементов (табл. 2). Предполагается, что
отказавшие элементы заменяют идентичными по надежности элементами. Требуется
определить показатели надежности элемента, характеризующие время его работы
между соседними отказами: Т2, ω(t), F(t), λ(t).
Обработка статистических данных предусматривает их группировку в 10
частичных интервалах (классах). Уровень значимости принять равным 0,05.
Таблица 2. Моменты времени отказов элементов
Номер элемента Моменты отказа на периоде времени 700 часов
1
204; 221; 345; 376; 537; 697
2
2; 39; 71; 104; 118; 213; 544; 596; 608; 657
3
138; 314; 387; 467;-471; 556; 699
4
8; 11; 52; 94* 192; 476; 491; 527; 655
5
106; 168; 325; 360; 690
6
192; 207; 217; 362; 426
7
225; 440; 618: 657; 667
8
371; 420; 500
9
85; 371; 568; 579; 611; 625; 663
10
80; 111; 152; 162; 369; 394; 462; 551
Таблица 3. Время между отказами элементов11
Номер элемента Моменты отказа на периоде времени 700 часов
1
204; 17;124;31;161;160
2
2;37;32:33;14;95;331;52;12;49
– 53 –
3
138; 176;73;80;4;85;143
4
8; 3;41;42;98;284;15;36;128
5
106; 62;157;35;330
6
192; 15;10;145;64
7
225;215;178;39;10
8
371; 49;80
9
85; 286;197;11;32;14;38
10
80; 31;41;10;207;25;68;89
Narabotka1
Narabotka2
Размер выборки
100
65
Среднее значение
361,61
95,4615
Стандартное отклонение 237,271
91,0529
Минимум
30
2
Максимум
997
371
Размах
967
369
Отсюда следует, что для первого набора исходных данных средняя наработка до
первого отказа приближенно равна T1=362 часа, а для второго набора средняя
наработка на отказ равна T2 = 95 часов. В первом случае распределение времени работы
элемента между отказами явно отличается от экспоненциального, т. к. стандартное
отклонение s1= 237 существенно отличается от средней наработки на отказ. Во втором
случае стандартное отклонение s2=91 достаточно близко к средней наработке до отказа,
что свидетельствует о возможной близости распределения к экспоненциальному.
Видим также, что для первого набора данных все реализации случайной
наработки до отказа находятся в интервале [30; 997], и размах выборки равен 967 часов.
Для второго набора данных все выборочные значения содержатся в интервале [2; 371]
длиной 369 часов.
– 54 –
Рис. 1.5. Подбор плотности распределения к гистограмме частот
Уровень значимости для Гамма-распределения равен 0,728906. Так как это
значение больше требуемого 0,05, то Гамма-распределение согласуется с
экспериментальными данными.
Рис. 1.6. Вероятность безотказной работы элемента P(t)
– 55 –
Рис. 1.7. Вероятность отказа элемента Q(t)
Рис. 1.8. Интенсивность отказов элемента λ(t)
Гистограмма по наработкам2 и соответствующая кривая экспоненциального
распределения приведены на рис. 1.9. Уровень значимости для экспоненциального
распределения равен 0,284492, что больше заданного уровня значимости, равного 0,05.
Следовательно, экспоненциальное распределение не противоречит опытным данным.
– 56 –
Рис. 1.9. Подбор плотности распределения w(t) к гистограмме частот
В пункт Analysis Options контекстного меню введем следующие параметры
экспоненциального распределения: среднее отклонение = 95.4615
В соответствии с указанными параметрами в пункте меню
Describe\Distributions\Probability Distributions строятся графики требуемых показателей
надежности.
На рис. 1.10. и 1.11 изображены графики функций распределения и
интенсивности отказов соответственно.
Средняя наработка на отказ равна T= 95,4615 час.
Рис. 1.10. Функция распределения времени работы элемента между отказами
F(t)
– 57 –
Рис. 1.11. Интенсивность отказов элемента λ(t)
Обработка статистических данных
Размах варьирования:
h = t max − t min = 997 − 30 = 967
Разобьем размах варьирования на k интервалов:
k < 1 + 3.3 lg N ,
, где N-число элементов выборки. N=100
5 < k < 20
k = 1 + 3.3 lg 100 = 7
Длина интервала:
h 967
∆h = =
= 138,14
k
7
Количество отказов выборки, попавших в i-ый интервал:
[30;168) : n1 = 24;
[168;306) : n 2 = 29;
[306;444) : n3 = 20;
[ 444;582) : n 4 = 7;
[582;720) : n5 = 7;
[720;858] : n 6 = 8;
(858;997] : n7 = 5;
Все интервалы удовлетворяют условию n>=5, следовательно, объединение
интервалов не требуется.
n
Wi = i
N
W1 = 0,24; W2 = 0,29;W3 = 0,2; W4 = 0,07;W5 = 0,07; W6 = 0,08;W7 = 0,05.
Плотность распределения наработки до отказа:
– 58 –
Wi
Wi
=
∆h 138,14
ω1 (t ) = 0.001737;
ω i (t ) =
ω 2 (t ) = 0.002099;
ω 3 (t ) = 0.001448;
ω 4 (t ) = 0.000507;
ω 5 (t ) = 0.000507;
ω 6 (t ) = 0.005791;
ω 7 (t ) = 0.000362.
Интенсивность отказа в момент t:
λ i * (t ) =
ni
( N − n i −1 ) • ∆h
29
= 0,0027622;
(100 − 24) • 138,14
20
= 0,0020391;
λ 3 * (t ) =
(100 − 29) • 138,14
7
= 0,0006334;
λ 4 * (t ) =
(100 − 20) • 138,14
7
= 0,0005449;
λ 5 * (t ) =
(100 − 7) • 138,14
8
= 0,0006227;
λ 6 * (t ) =
(100 − 7) • 138,14
5
λ 7 * (t ) =
= 0,0003934.
(100 − 8) • 138,14
λ 2 * (t ) =
Гистограммы:
плотность распределения наработки до отказа
0,007
плотность распределения
наработки до отказа
0,006
0,005
0,004
0,003
0,002
0,001
0
0-168
168-306 306-444 444-582 582-720 720-858 858-997
время
– 59 –
интенсивность отказа
интенсивность отказа
0,003
0,0025
0,002
0,0015
0,001
0,0005
0
168-306 306-444 444-582 582-720 720-858 858-997
время
1.4. Форма отчета
По результатам выполненной работы представляется отчет, в котором должны
содержаться следующие пункты:
1.
Постановка задачи с конкретным содержанием, сформулированным
для своего варианта. Исходные данные должны быть представлены в
виде таблиц. 1.2 и 1.3.
2.
Данные второго набора представляются в виде таблицы 1.4.
3.
перебор пяти распределений, включая заданное, и выбор среди них
наиболее подходящего к «экспериментальным» данным по критерию
хи – квадрат, графическое изображение гистограммы и всех
рассмотренных кривых распределений.
4.
Выводы по результатам исследований.
В работе следует указать названия процедур StatGraphics, используемых при
выполнении каждого пункта.
1.5. Варианты заданий
Дано:
• Два набора исходных данных об отказах элементов.
• N – число элементов в каждом наборе.
• Закон распределения времени до отказа в первом варианте.
• Закон распределения времени между отказами во втором варианте.
• Моменты отказа элементов.
Определить:
• Показатели надежности элемента, характеризующие время его между
отказами (второй набор исходных данных): Т1, Р(t), Q(t), w(t), χ(t).
• Показатели надежности элемента, характеризующие время его работы
между отказами (второй набор исходных данных): Т1, F(t), w(t), χ(t).
– 60 –
Решение получить в виде таблиц и графиков.
При обработке данных вручную и на компьютере их следует разобрать 10 групп
(классов). Подбор подходящего распределения необходимо установить для уровня
значимости, равного 0,05.
ВАРИАНТ 1
Первый набор исходных данных (Нормальное распределение):
1155
1147
1126
1139
1137
1132
1120
1165
1163
11
1142
1140
1140
1136
1166
1147
1119
1128
1163
11
11
11
11
11
11
11
11
11
1143
1145
1149
1146
1137
1148
1145
1123
1112
1138
1169
1149
1140
1147
1153
1137
1139
1126
1144
1148
1123
1130
1137
1146
1149
1134
1146
1149
1121
1141
1147
1126
1128
1163
1154
1147
1145
1135
1164
1108
1143
1145
1141
1149
1149
1157
1152
1145
1122
1114
1135
1137
1144
1146
Второй набор исходных данных (Экспоненциальное распределение):
Номер элемента
Моменты отказа на периоде времени 700 часов
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
37; 90; 279; 355; 360; 420; 466; 488; 627; 671
26; 77; 141; 532; 642; 661
53; 59; 164; 183; 316; 568; 607
22; 26; 134; 287; 356; 470; 472; 481
24; 40; 152; 412; 431; 486; 567; 630; 649
193; 216; 474; 488; 538; 616
86; 355; 415; 451
117; 157; 358; 462; 527; 673
74; 89; 356; 356; 420; 492; 497; 512; 548; 601
204; 276; 327; 515; 516; 544
1152
1138
1131
1133
1109
1147
1137
1166
1127
1145
1128
1157
1115
1147
1151
1146
1152
1143
– 61 –
ВАРИАНТ 2
Первый набор исходных данных (Гамма-распределение):
2127
1162
1131
1111
4414
1291
1266
2122
2268
11
9168
2126
2134
4116
7119
2113
2110
3123
1103
31
3288
3289
2229
1261
9224
1282
4221
7229
1248
52
3232
2263
1216
8253
5262
4243
2268
2272
3270
52
7235
1220
2292
3263
1251
5220
4200
8219
3208
21
2146
3121
5109
5147
4214
4156
1202
4104
3123
11
2288
4225
6234
6210
1240
8238
~171
1263
1208
82
9236
1100
7137
3196
2158
5110
3127
2146
1166
21
1103
3218
6218
5217
2238
3212
2232
3233
1130
11
4154
2186
1197
2136
3113
1115
1111
1138
2116
21
Второй набор исходных данных (Равномерное распределение):
Номер элемента Моменты отказа на периоде
времени 600 часов
1
107; 201; 295; 397; 515
2
95; 213; 320; 403; 483; 568
3
97; 196; 282; 399; 504; 584
4
109; 216; 328; 422; 528
5
112; 226; 310; 417; 524
6
103; 195; 300; 392; 480 570
7
93; 178; 268; 375; 494
8
93; 203; 312; 393; 488 581
9
119; 210; 293; 408; 518
10
102; 220; 334; 439; 537
– 62 –
221
ВАРИАНТ 3
Первый набор исходных данных (Гамма-распределение):
370
84
97
196
475
426
151
72
133
282
107
91
97
37
255
321
176
169
315
197
149
107
182
256
108
467
53
156
146
283
597
97
103
241
244
468
210
54
38
369
204
80
277
305
306
466
155
209
163
93
83
227
159
60
67
276
221
123
298
351
235
706
168
244
126
112
30
216
106
236
210
382
670
298
178
430
72
49
275
86
559
161
138
397
405
508
187
334
229
252
107
582
167
24
519
427
226
139
247
Второй набор исходных данных (Нормальное распределение):
Номер элемента Моменты отказа на периоде
времени 600 часов
1
11О; 211; 296; 408; 512; 584
2
3
80; 167; 239; 336; 435; 523
113; 206; 292; 370; 466; 588
4
123; 211; 301; 397; 502
5
79; 197; 296; 377; 457; 538
6
132; 224; 302; 383; 486; 570
7
86; 185; 312; 390; 471; 576
8
106; 195; 265; 350; 431; 537
9
83; 176; 253; 328; 407; 511; 595
10
130; 232; 371; 442; 539
– 63 –
156
ВАРИАНТ 4
Первый набор исходных данных (Нормальное распределение):
161
145
122
180
190
153
174
163
133
135
156
176
160
163
150
157
156
136
168
176
155
165
140
165
160
138
181
183
182
165
175
153
131
180
168
149
156
173
156
148
133
154
149
152
150
188
163
145
142
169
163
174
135
154
183
172
136
166
157
157
182
174
162
173
191
165
146
151
163
175
167
141
163
142
143
167
149
142
173
149
148
150
154
149
178
145
168
176
170
158
140
152
162
163
148
184
159
143
163
Второй набор исходных данных (Равномерное распределение):
Номер элемента Моменты отказа на периоде
времени 500 часов
1
105; 208; 323; 414
2
113; 216; 331; 433
3
111; 192; 272; 363; 453
4
110; 209; 314; 426
5
85; 192; 301; 393; 480
6
87; 174; 292; 381; 479
7
102; 195; 314; 404
8
94; 190; 275; 363; 449
9
218; 230; 331; 433
10
105; 219; 310; 408
– 64 –
65
ВАРИАНТ 5
Первый набор исходных данных (Гамма-распределение):
266
138
87
219
466
71
286
107
34
106
231
169
219
387
82
63
92
104
96
54
243
702
245
128
153
260
448
220
32
550
210
124
293
209
473
114
228
194
33
220
29
270
481
499
854
533
606
133
17
426
212
395
199
412
182
153
109
156
65
174
142
374
170
97
52
434
392
197
35
23
200
35
286
352
53
544
198
111
.9
361
409
393
20
296
409
42
73
138
51
223
345
79
98
51
25
188
194
88
10
Второй набор исходных данных (Равномерное распределение):
Номер элемента Моменты отказа на периоде
времени 700 часов
1
86; 194; 299; 406; 505; 619
2
119; 221; 333; 438; 528; 643
3
86; 200; 295; 389; 496; 600
4
107; 188; 286; 385; 501; 612
5
82; 185; 294; 392; 510; 591; 675
6
117; 234; 340; 425; 516; 613; 695
7
21О; 202; 318; 414; 503; 597
8
104; 197; 310; 429; 534; 622
9
109; 196; 289; 395; 510; 619
10
83; 193; 309; 419; 507; 592; 683 -
– 65 –
188
ВАРИАНТ 6
Первый набор исходных данных (Гамма-распределение):
297
644
136
728
194
312
389
387
153
191
332
988
177
132
127
100
137
224
174
975
164
798
182
115
687
165
113
244
847
199
227
118
124
112
986
196
150
319
349
423
П21
224
163
945
789
960
158
377
747
139
154
728
129
197
241
282
152
161
228
171
458
189
381
580
177
986
156
347
277
163
355
347
180
241
256
239
128
862
189
292
221
254
953
253
515
474
588
434
167
240
757
149
178
380
344
546
761
127
271
Второй набор исходных данных (Нормальное распределение):
Номер элемента Моменты отказа на периоде
времени 500 часов
1
94; 181; 278; 365; 478
2
87; 168; 261; 353; 468
3
123; 211; 336; 412
4
93; 194; 280; 357; 459
5
80; 175; 266; 365; 493
6
113; 230; 346; 430
7
88; 191; 295; 400
8
74; 187; 286; 405; 478
9
79; 187; 308; 400; 476
10
123; 206; 333; 464
– 66 –
226
ВАРИАНТ 7
Первый набор исходных данных (Гамма-распределение):
649
453
364
340
321
545
497
149
293
295
323
613
257
584
226
277
923
222
764
583
725
690
476
281
1395
230
273
122
292
191
460
444
755
618
235
219
125
367
124
416
293
290
112
138
445
П44
176
934
547
538
143
363
594
116
369
127
688
219
175
233
745
223
466
380
532
230
141
256
996
134
478
180
658
149
643
155
296
280
346
205
495
508
134
314
244
287
579
343
272
199
243
774
790
419
1102
733
637
1412
354
Второй набор исходных данных (Равномерное распределение):
Номер элемента Моменты отказа на периоде
времени 900 часов
1
98; 209; 295; 392; 502; 592; 691; 806
2
3
4
5
6
7
8
9
10
111; 197; 292; 405; 509; 590; 704;
788; 877
105; 218; 313; 397; 485; 570; 656;
766; 870
105; 218; 335; 419; 532; 618; 698;
792
95; 196; 292; 372; 452; 534; 653; 745;
829
99; 208; 293; 390; 478; 561; 669; 773;
860
103; 211; 326; 406; 515; 624; 722;
822
108; 205; 299; 412; 501; 612; 731;
812; 892
88; 191; 278; 360; 443; 539; 644; 750;
854
80; 177; 277; 365; 476; 564; 661; 775;
887
– 67 –
936
ВАРИАНТ 8
Первый набор исходных данных (Гамма-распределение):
285
116
367
247
237
456
155
141
157
142
233
135
996
298
180
229
440
150
124
173
123
111
161
111
269
874
245
390
129
149
574
131
745
334
254
417
634
423
178
845
116
267
369
698
190
764
295
108
234
723
119
877
132
119
259
987
484
155
139
253
234
135
156
220
223
198
412
449
186
151
853
155
943
545
429
165
344
277
124
326
245
381
279
491
535
945
558
158
487
386
140
195
151
166
276
679
120
575
225
Второй набор исходных данных (Нормальное распределение):
Номер элемента Моменты отказа на периоде времени
900 часов
1
73; 169; 282; 341; 425; 540; 663; 777
2
6
73; 147; 213; 305; 372; 461; 569; 666;
768; 873
109; 200; 286; 402; 480; 575; 718; 797;
871
112; 197; 286; 380; 486; 564; 665; 782;
889
92; 187; 260; 355; 476; 567; 668; 760;
865
88; 191; 313; 419; 533; 609; 700; 797
7
110; 221; 369; 448; 529; 643; 772; 887
8
94; 182; 280; 340; 436; 534; 638; 750;
875
99; 202; 274; 365; 441; 526; 643; 742;
825; 899
101; 193; 288; 419; 542; 635; 716; 799;
881
3
4
5
9
10
– 68 –
350
ВАРИАНТ 9
Первый набор исходных данных (Гамма-распределение):
244
69
234
145
196
389
23
251
127
226
118
219
204
120
180
406
182
74
240
206
257
181
104
130
341
245
59
226
161
147
71
219
361
162
112
67
182
34
76
143
67
119
190
281
437
226
37
41
148
228
37
296
51
^ 254
44
190
143
795
117
191
14
392
157
16
23
89
346
33
47
377
319
258
37
68
235
385
128
111
640
136
224
174
61
35
71
345
132
197
35
331
83
97
178
328
194
П78
120
106
109
Второй набор исходных данных (Равномерное распределение):
Номер элемента Моменты отказа на периоде
времени 600 часов
1
104; 200; 287; 373; 477; 586
2
96; 198; 314; 399; 513
3
81; 165; 277; 375; 475; 562
4
111; 226; 312; 413; 530
5
111; 209; 322; 406; 516; 596
6
83; 198; 288; 384; 468 565
7
99; 215; 317; 415; 506
8
84; 200; 316; 431; 516
9
109; 218; 330; 435; 536
10
85; 172; 271; 386; 496
– 69 –
55
ВАРИАНТ 10
Первый набор исходных данных (Экспоненциальное распределение):
87
105
18
386
187
118
227
65
89
106
42
186
11З
147
306
202
168
44
563
173
119
41
57
86
59
38
151
348
41
165
395
185
382
67
351
16
540
41
31
96
468
37
19
263
58
267
443
260
130
116
211
243
225
77
175
276
762
634
436
341
670
23
41
89
486
137
18
55
139
412
362
120
346
29
34
21
123
140
89
162
567
117
34
73
44
123
32
82
113
176
137
49
190
133
598
115
656
178
167
Второй набор исходных данных (Нормальное распределение):
Номер элемента Моменты отказа на периоде
времени 1000 часов
1
115; 222; 328; 406; 486; 594; 696;
801; 896; 977
2
91; 215; 316; 411; 484; 603; 687; 797;
878
3
89; 175; 266; 360; 468; 604; 695; 813;
895
4
85; 170; 258; 382; 470; 579; 658; 739;
819; 920
5
115; 222; 327; 436; 550; 634: 732;
811; 933
6
86; 164; 247; 366; 495; 588; 713; 816;
939
7
105; 205; 290; 409; 473; 580; 680;
773; 869; 969
8
99; 199; 315; 430; 527; 650; 762; 844;
945
9
105; 220; 311; 389; 478; 563; 661;
734: 855; 968
10
106; 184; 284; 395; 490; 593; 697;779;
922