тригонометрические неравенства и их системы

Министерство образования и науки Российской Федерации
ГОУ ВПО «Чувашский государственный педагогический университет
имени И. Я. Яковлева»
Физико-математический факультет
Кафедра математического анализа
Курсовая работа по теории и методике обучения математике на тему:
Тригонометрические неравенства и их системы
Выполнила: студентка 5 курса ФМФ
группы МиИ-5А
Иванова Елена Витальевна
Научный руководитель:
кандидат физико-математических
наук, доцент кафедры
математического анализа
Пономарева Татьяна Тажутиновна
г. Чебоксары, 2010 г.
Содержание:
Введение ................................................................................................................... 3
Методика формирования умений решать тригонометрические неравенства и
их системы ............................................................................................................... 6
Решение неравенства с помощью тригонометрического круга ....................... 12
Графический способ решения неравенства ........................................................ 17
Метод интервалов на единичной окружности ................................................... 20
Практическая часть ............................................................................................... 24
Заключение ............................................................................................................ 38
Список использованной литературы ................................................................... 40
2
Введение
В настоящее время одной из основных задач школьного образования
является переориентация его на приоритет развивающей функции обучения.
Это означает, что на первый план выходит задача интеллектуального развития личности, т. е. развитие учебно-познавательной деятельности. Пожалуй,
ни один школьный предмет не может конкурировать с возможностями математики в воспитании мыслящей личности.
Уже несколько десятилетий раздел математики «Тригонометрия», как
отдельная дисциплина в школьном курсе математики не существует, так как
она плавно растеклась не только в геометрию и алгебру основной школы, но
и в алгебру и начала анализа в старших классах.
Исторически сложилось, что тригонометрическим уравнениям и неравенствам уделялось особое место в школьном курсе математики. Еще греки
на заре человечества, считали тригонометрию важнейшей из наук. Поэтому и
мы, не оспаривая древних греков, будем считать тригонометрию одним из
важнейших разделов школьного курса, да и всей математической науки в целом.
Тригонометрические уравнения и неравенства занимают одно из центральных мест в курсе математики средней школы, как по содержанию учебного материала, так и по способам учебно-познавательной деятельности, которые могут и должны быть сформированы при их изучении и применены к
решению большого числа задач теоретического и прикладного характера.
В школьном математическом образовании с изучением тригонометрических уравнений и неравенств связаны несколько направлений:
1.
Решение уравнений и неравенств;
2.
Решение систем уравнений и неравенств;
3.
Доказательство неравенств.
Анализ учебной, научно-методической литературы показывает, что
большое внимание уделяется первому и второму направлениям.
Требованием нашего времени является необходимость усиления при3
кладных направлений в обучении математике. Возможности решения тригонометрических уравнений, а особенно тригонометрических неравенств в
этом плане достаточно широки.
Также следует заметить, что решение тригонометрических уравнений и
неравенств создаёт предпосылки для систематизации знаний учащихся, связанных со всем учебным материалом по тригонометрии (например, свойства
тригонометрических функций, приёмы преобразования тригонометрических
выражений и т. д.), и даёт возможность установить действенные связи с изученным материалом по алгебре (уравнения, равносильность уравнений, неравенства, тождественные преобразования алгебраических выражений и т. д.).
Иначе говоря, рассмотрение приёмов решения тригонометрических
уравнений и неравенств предполагает своего рода перенос этих умений на
новое содержание.
Актуальность исследования: анализ материала, посвященного решению
тригонометрических неравенств и их систем в учебных пособиях «Алгебра и
начала анализа» для 10 – 11 классов разных авторов, учет целей изучения
тригонометрических неравенств и их систем, а так же обязательных результатов обучения, связанных с рассматриваемой темой, свидетельствует о том,
что перед учителем стоит задача – формировать у учащихся умения решать
неравенства каждого вида, развивая тем самым общие тригонометрические
представления.
Цель исследования: разработать методику, направленную на формирование у учащихся умений решать тригонометрические неравенства и их системы.
Объект исследования: процесс обучения математике.
Предмет исследования: методика формирования у учащихся умений
решать тригонометрические неравенства и их системы.
Гипотеза исследования: если выделить основные умения, необходимые
при решении тригонометрических неравенств, их систем и разработать методику их формирования, то это будет способствовать качественному форми4
рованию умений у учащихся решать тригонометрические неравенства и их
системы.
Под осознанным и качественным изучением тригонометрии мы понимаем процесс обучения, осуществляемый с учетом идей личностно ориентированного обучения, при реализации которого не допускается формальной
передачи знаний и схоластической отработки умений, т. е. изучение тригонометрии должно опираться как на логическую, так и на образную составляющие мышления, при этом учащимся должны быть предоставлены возможности для дифференциации и индивидуализации.
В процессе исследования и проверке достоверности гипотезы необходимо было решить следующие задачи:
1. Провести анализ психолого-педагогической, учебной и методической литературы по проблеме исследования.
2. Выявить роль тригонометрических неравенств и их систем в обучении математики.
3. Выделить основы формирования умений необходимых для решения
тригонометрических неравенств, систем тригонометрических неравенств.
4. Классифицировать методы решения тригонометрических неравенств.
5. Разработать методику формирования умений и навыков решать тригонометрические неравенства и их системы.
5
Методика формирования умений решать
тригонометрические неравенства и их системы
Тригонометрические неравенства – один из сложных разделов школьного курса математики. А если учесть, что на его изучение отведено крайне
мало времени, то становится ясно, что учащиеся, как правило, этот раздел
усваивают недостаточно хорошо. Однако навыки решения тригонометрических неравенств и систем полезны (или просто необходимы) для решения
других задач. Например, решение комбинированных уравнений, содержащих
тригонометрические выражения под знаком логарифма или корня с четным
показателем, приводит к ограничениям в виде систем тригонометрических
неравенств, а проверять, являются ли бесконечные серии корней решениями,
весьма затруднительно для большинства учеников.
В процессе формирования у школьников умений решать тригонометрические неравенства можно выделить 4 этапа.
1.
Подготовительный.
2.
Формирование умений решать простейшие тригонометрические
неравенства.
3.
Введение тригонометрических неравенств других видов.
4.
Формирование умений решать системы тригонометрических не-
равенств.
Цель подготовительного этапа состоит в том, что необходимо сформировать у школьников умения использовать тригонометрический круг или
график для решения неравенств, а именно:
- умения решать простейшие неравенства вида
sin x > 1, sin x < –1 , cos x > 1, cos x < –1
с помощью свойств функций синуса и косинуса;
- умения составлять двойные неравенства для дуг числовой окружности
или для дуг графиков функций;
- умения выполнять различные преобразования тригонометрических
выражений.
6
Реализовать этот этап рекомендуется в процессе систематизации знаний школьников о свойствах тригонометрических функций. Основным средством могут служить задания, предлагаемые учащимся и выполняемые либо
под руководством учителя, либо самостоятельно, а так же навыки наработанные при решении тригонометрических уравнений.
Приведем примеры таких заданий:
1. Отметьте на единичной окружности точку P , если


3
5
  ,   ,  ,  2 ,  .
6
2
2
4
2. В какой четверти координатной плоскости расположена точка P ,
если  равно:
3 2 7
17
, , ,2,3 ,
.
8
5 4
5
3. Отметьте на тригонометрической окружности точки P , если:
1
;
2
1
sin    ;
2
cos 
tg  1;
1
tg  .
2
sin  
3
;
2
cos  1;
4. Приведите выражение к тригонометрическим функциям I четверти.
cos
7
4
9
; sin
; cos .
3
5
4
5. Дана дуга МР, М – середина I четверти, Р – середина II четверти.
Ограничить значение переменной t (составить двойное неравенство)
для:
а) дуги МР; б) дуги РМ.
6. Записать двойное неравенство для выделенных участков графика:
7
7. Решите неравенства sin x > 1, sin x < –1 , cos x > 1, cos x < –1.
8. Преобразовать выражение sin 5x  cos 4 x  cos5x  sin 4 x .
Обратим внимание на задания 5 и 6. Естественно, именно они лежат в
основе решения простейшего тригонометрического неравенства.
Неравенства, характеризующие дугу, мы предлагаем составлять в 2 шага. На первом шаге составляем «ядро» записи неравенства (это, собственно
говоря, главное к чему следует научить школьников); для заданной дуги МР
получим

4

4
 2k  t 
t 
3
.
4
На
втором
шаге
составляем
общую
запись:
3
 2k , k  Z .
4
Если же речь идёт о дуге РМ, то при записи «ядра» нужно учесть, что
точка А(0) лежит внутри дуги, а потому к началу дуги нам приходиться двигаться по первой отрицательной окружности. Значит, ядро аналитической записи дуги РМ имеет вид 
5

 t  , а общая запись имеет вид:
4
4

5

 2k  t   2k , k  Z .
4
4
При решении задания 7, следует особо обратить внимание на значимость свойств тригонометрических функций.
На втором этапе обучения решению тригонометрических неравенств
8
можно предложить следующие рекомендации, связанные с методикой организации деятельности учащихся. При этом будем ориентироваться на уже
имеющиеся у учащихся умения работать с тригонометрической окружностью
или графиком, сформированные во время решения простейших тригонометрических уравнений.
Во-первых, мотивировать целесообразность получения общего приема
решения простейших тригонометрических неравенств можно, обратившись,
например, к неравенству вида sin 5 x cos 4 x  cos5 x sin 4 x 
3
. Используя
2
знания и умения, приобретенные на подготовительном этапе, учащиеся приведут предложенное неравенство к виду: sin x 
3
, но могут затрудниться в
2
нахождении множества решений полученного неравенства, т. к. только лишь
используя свойства функции синус решить его невозможно. Этого затруднения можно избежать, если обратиться к соответствующей иллюстрации (решение уравнения графически, с помощью тригонометрического круга или
обобщенным методом интервалов).
Во-вторых, учитель должен обратить внимание учащихся на различные
способы выполнения задания, дать соответствующий образец решения неравенства и графическим способом, и с помощью тригонометрического круга,
и обобщенным методом интервалов.
На первом занятии по решению тригонометрических неравенств предложим учащимся подробный алгоритм решения, который в пошаговом представлении отражает все основные умения, необходимые для решения неравенства.
В-третьих, факт о множестве корней соответствующего тригонометрического неравенства очень наглядно подтверждается при решении его графическим способом. Например, изобразим графически множество решений неравенства cos x  0,5 :
9
Необходимо продемонстрировать учащимся, что виток, который является решением неравенства, повторяется через один и тот же промежуток,
равный периоду тригонометрической функции. Также можно рассмотреть
аналогичную иллюстрацию для графика функции синус.
В-четвертых, целесообразно провести работу по актуализации у учащихся приемов преобразования суммы (разности) тригонометрических
функций в произведение, обратить внимание школьников на роль этих приемов при решении тригонометрических неравенств.
Организовать такую работу можно через самостоятельное выполнение
учащимися предложенных учителем заданий, среди которых выделим следующие:
4
15 ;
tgx  15
 4
1  tg tg
15 15
tg

 tg
sin 3x cos2x  cos3x sin 2x  1;
cos5x cos3x  sin 5x sin 3x  0;
sin x  sin
5


5
cos  sin cos .
12
12
12
12
В-пятых, от учащихся необходимо требовать обязательной иллюстрации решения каждого простейшего тригонометрического неравенства с помощью графика или тригонометрического круга. Обязательно следует обратить внимание на ее целесообразность, в особенности на применение круга,
10
так как при решении тригонометрических неравенств соответствующая иллюстрация служит очень удобным средством фиксации множества решений
данного неравенства
В связи с реализацией третьего этапа процесса формирования у
школьников умений решать тригонометрические неравенства сделаем лишь
два замечания:
1.
Знакомство учащихся с приемами решения тригонометрических
неравенств, не являющихся простейшими, целесообразно осуществлять по
следующей схеме: обращение к конкретному тригонометрическому неравенству  обращение к соответствующему тригонометрическому уравнению
 совместный поиск (учитель – учащиеся) приема решения  самостоятель-
ный перенос найденного приема на другие неравенства этого же вида.
2.
Чтобы систематизировать знания учащихся о тригонометрии, ре-
комендуем специально подобрать такие неравенства решение которых требует различных преобразований, которые могут быть реализованы в процессе
его решения, акцентировать внимание учащихся на их особенностях.
В качестве таких продуктивных неравенств можно предложить, например, следующие:
cos2 x  cos x   sin 2 x;


tg  3x    3;
3

5  7 sin x  3 cos2 x .
При реализации четвертого этапа процесса формирования у школьников умений решать тригонометрические неравенства и их системы необходимо вспомнить два момента:
1) алгоритм решения систем рациональных неравенств, чтобы на его
основе ввести алгоритм решения систем тригонометрических неравенств;
2) тему «Множества и операции над ними», чтобы ученики вспомнили
связь знаков системы и совокупности с пересечением и объединением множеств.
11
В заключение приведем примеры тригонометрических неравенств, которые рекомендуем предложить учащимся для самостоятельного решения:
2 
1

8) cos 3x 
 ;
3 
2

1) 2 cos x  3  0 ;
2) sin 2 x  6 sin x  0 ;
9) 2 sin x  3  0 ;
 1

3) sin  2 x    ;
6 2

1
4) sin x   ;
2
5) cos x  
2 cos x  1  0 ;
10)
1
11) sin x  ;
2
1
12) cos 2 x   ;
2
2
;
2

1

13) sin  x     ;
3
2

6) tgx  3 ;

3

7) sin  x   
;
3 2

14) tgx  2 ;


15) 2 sin  x    2 .
4

Решение неравенства с помощью
тригонометрического круга
Решение тригонометрических неравенств сводится, как правило, к решению простейших тригонометрических неравенств, т. е. неравенств вида
sin x  a , cos x  a и т. д., а также к решению совокупностей, систем или со-
вокупностей систем простейших тригонометрических неравенств. Для решения простейших тригонометрических неравенств во многих случаях удобно
пользоваться единичной окружностью, на которой множество значений переменной, удовлетворяющих заданному простейшему неравенству, изображается в виде одной или нескольких дуг.
Аналогично тому, как с помощью неравенств задаются промежутки на
числовой прямой, можно записывать и множество точек, принадлежащих той
или иной дуге окружности Σ.
12
Условимся символом  АВ обозначать дугу, для которой точка А –
начальная точка (в обозначении дуги она записывается первой), В – конечная
точка пути, описываемого текущей точкой по окружности Σ в положительном направлении (против часовой стрелки).
Решим тригонометрическое неравенство sin x 
3
.
2
Шаг 1. По определению, sin x – это ордината точки t окружности Σ, соответствующей числу x. Начертим единичную окружность Σ, отметим на оси
ординат точку
3
(так как неравенство нестрогое, закрасим эту точку) и
2
проведем через нее прямую, параллельную оси абсцисс. Эта прямая пересечет единичную окружность в двух точках М и Р (которые, соответственно,
тоже будут закрашены). Каждая из этих точек изображает числа, синус которых равен
3
.
2
y
М
P
3
2
x
Шаг 2. Эта прямая разделила окружность на две дуги. Выделим ту из
них, точки которой изображают числа, имеющие синус больший, чем
(точки, ординаты которых больше
3
2
3
). Естественно, эта дуга расположена
2
выше проведенной прямой. Эту дугу (МР) естественно называть геометрическим решением нашего неравенства.
13
y
М
P
3
2
x
Шаг 3.Выберем один из концов отмеченной дуги (например, точку М).
Запишем одно из чисел, которое изображается этой точкой единичной
окружности

. Соединим точку М с началом координат отрезком.
3
Шаг 4. Для того чтобы выбрать число, соответствующее второму концу выделенной дуги, "пройдем" по этой дуге из названного конца к другому.
При этом напомним, что при движении против часовой стрелки числа, которые мы будем проходить, увеличиваются (при движении в противоположном
направлении числа уменьшались бы). Запишем число, которое изображается
на единичной окружности вторым концом отмеченной дуги (точка Р)
Соединим точку Р с началом координат отрезком.
 2 
P 
 3 
y
 
М 
3
3
2
x
14
2
.
3
Таким образом, мы видим, что неравенству sin x 
числа, для которых справедливо неравенство
3
удовлетворяют
2

2
x
. Мы решили нера3
3
венство для чисел, расположенных на одном периоде функции синус. Поэтому все решения неравенства могут быть записаны в виде

3
 2n  x 
2
 2n, n  Z .
3
Внимательно рассмотрим рисунок и можем сказать, что все решения
неравенства sin x 
3
могут быть записаны в виде
2

4

 2n  x   2n, n  Z ,
3
3
т. к. чертеж в этом случае имеет вид:
 4 
M 

 3 
y
 
P 
3
3
2
x
Необходимо обратить внимание учащихся на то, что при решении тригонометрических неравенств, содержащих косинус, прямую проводим параллельно оси ординат.
Для решения неравенств с тангенсом и котангенсом полезно понятие о
линии тангенсов и котангенсов. Таковыми являются прямые x=1 и y=1 соответственно, касающиеся тригонометрической окружности.
Легко заметить, что если построить луч, выходящий из начала
координат, составляющий угол  с положительным направлением оси
15
абсцисс, то длина отрезка от точки (1;0) до точки пересечения этого луча с
линией тангенсов в точности равна тангенсу угла, который составляет этот
луч с осью абсцисс. При том при  

2
 n, n  Z луч будет паралелен оси
тангенсов, то есть не будет ее пересекать ни в какой точке, что соответствует


тому, что tg   n , n  Z не существует. Аналогичное наблюдение имеет
2

место и для котангенса, при чем луч будет параллелен оси котангенсов при
  n, n  Z , что соответствует тому, что ctg n , n  Z не существует, см.
рис.:
y

x

Ось тангенсов
O

2
y
Ось котангенсов


O
16
0
x
Графический способ решения неравенства
Заметим, что если f ( x ) – периодическая функция, то для решения
неравенства f ( x ) > a ( f ( x ) < а) необходимо найти его решения на
отрезке, длина которого равна периоду функции
f ( x ) . Все решения
исходного неравенства будут состоять из найденных значений x , а также
всех x , отличающихся от найденных на любое целое число периодов
функции f ( x ) .
Рассмотрим решение неравенства sin х > а ( a  R ).
Поскольку | sin x | 1, то при a  1 неравенство решений не имеет. Если
a < 1, то множество решений неравенства sin х > а – множество всех
действительных чисел.
Пусть  1  a < 1. Функция синус имеет наименьший положительный
период 2 , поэтому неравенство sin x > a можно решить сначала на отрезке
  3 
длиной 2 , например, на отрезке  ;  . Строим графики функций
 2 2
y = sin x и y = a (  1  a < 1).
x1
x2
  
На отрезке  ;  функция синус возрастает, и уравнение sin x = a ,
 2 2
17
  3 
где | a | 1 , имеет один корень x1 = arcsin a . На отрезке  ;  функция
2 2 
синус убывает, и уравнение sin х = а имеет корень x2 =   arcsin a . На
числовом промежутке ( x1 ; x2 ) график функции y = sin x расположен выше
графика
функции
y = a.
Поэтому
для
всех
из
x
промежутка
(arcsin a;   arcsin a ) неравенство sin x > a выполняется, если  1  a < 1. В
силу
периодичности
функции
синус
все
решения
неравенства
sin x > a(1  a < 1) задаются неравенствами вида:
arcsin a  2n < x <   arcsin a  2n .
Аналогично решаются неравенства sin x < a , cos x > a , и т. п.
Пример 1. Решить тригонометрическое неравенство sin x 
Решение. Строим графики
y  sin x
и
y
3
, учитывая, что
2
3
 1.
2
1 
y
Затем
x1 
3
.
2

3
, x2 
записываем
2
,
3
уравнение
найденное
sin x 
с
18
3
2
3
2
и
помощью
его
решение
формул
x1  arcsin a, x2    arcsin a .
Значения x1 , x2 являются двумя последовательными абсциссами точек
пересечения графиков y  sin x и y 
3
. Очевидно, что всегда на интервале
2
( x1 ; x2 ) выполняется неравенство sin x 
3
. Тогда, добавив к концам этого
2
промежутка число, кратное периоду синуса, получим решение неравенства
sin x 
3
в виде:
2

 2n  x  
3

3
 2n, n  Z ;
y
Ответ:

3
 2n  x  

3
3
2
 2n, n  Z .
Подведём итог. Чтобы решить неравенство sin x 
3
, надо составить
2
соответствующее уравнение и решить его. Из полученной формулы найти
корни х1 и х 2 , и записать ответ неравенства в виде:
х1  2n  x  x 2 2n, n  Z .
19
Метод интервалов на единичной окружности
Многолетний опыт учителей математики убеждает, что учащиеся,
успешно решающие тригонометрические уравнения, часто испытывают серьезные затруднения при решении тригонометрических неравенств, допуская
много ошибок в окончательном отборе решений, после того как выполнена
основная часть работы. Ошибки появляются из-за невнимательности или в
силу того, что учащиеся не поняли каких-то специфических особенностей
неравенства. Не помогает и проверка. Она не всегда достаточна, для того
чтобы обнаружить ошибку. К тому же при наличии в ответе одного-двух интервалов проверка утомительна, а при большем количестве интервалов техническая сложность проверки многократно возрастает.
В связи с этим разработан особый методический подход к заключительному этапу решения тригонометрического неравенства, который удобно
разъяснять учащимся с помощью специально составленного алгоритмического предписания.
1.
Привести неравенство к такому виду, чтобы в одной его части
(например, в правой) стоял ноль.
2.
Найти область определения функции, стоящей в левой части не-
равенства.
3.
Определить нули функции, стоящей в левой части неравенства.
4.
Расставить на единичной окружности точки, являющиеся пред-
ставителями всех найденных чисел (критические точки).
5.
Определение знаков левой части неравенства на полученных
промежутках (интервалах):
 выбрать произвольное число  из определенного промежутка (значение аргумента функции, стоящей в левой части неравенства), не совпадающее ни с одним из ранее полученных чисел;
 подставить число  в левую часть неравенства и определить знак
получившегося выражения.
20
6.
Выяснить принадлежность критических точек множеству реше-
ний неравенства.
7.
Выбрать промежутки на которых знаки соответствуют неравен-
ству. Для этого:
 если выражение, стоящее в левой части неравенства, больше нуля, то выбрать участки со знаком «+».
 иначе – выбрать участки со знаком «–».
8.
Записать ответ.
Проиллюстрируем данный метод интервалов решения тригонометрических неравенств.
Пример 2. Решите неравенство cos3x  cos x  0 .
Решение. Область определения функции y  cos3x  cos x – все множество действительных чисел.
Приведём левую часть неравенства к виду 2 cos 2 x  cos x и рассмотрим
уравнение 2 cos 2 x  cos x  0 , которое равносильно совокупности уравнений:
cos 2 x  0
cos x  0 .

Первое из уравнений этой совокупности даёт I серию значений х:
xI 
 n
 .
4 2
Второе из уравнений совокупности приводит ко II серии xII 

2
 n .
Далее заполним тригонометрическую окружность соответствующими
точками. Для I серии достаточно взять n  0, 1, 2, 3. Тогда значения x I соответственно равны

4
,
3 5 7
,
,
. (при остальных значениях n точки будут
4
4
4
повторяться). Значения из серии x II на единичной окружности можно представить точками

2
и
3
, которые получены при n=0 и n=1.
2
21

3
4

2
4
7
4
5
4
3
2
Определение знаков левой части неравенства на полученных промежутках (интервалах):
  0 , тогда cos3  0  cos0  2  0 ;



1
 
, тогда cos 3    cos  1   0 ;
3
2
3
 3

2
2
1
 2 
, тогда cos 3    cos  1   0 ;
3
2
3
 3 
   , тогда cos3     cos  2  0 ;

4
4
1
 4 
, тогда cos 3    cos  1   0 ;
3
2
3
 3 

5
5
1
 5 
, тогда cos 3    cos  1   0 .
3
2
3
 3 
3
4


2

4


5
4


3
2
22

7
4
Решению исходного неравенства соответствуют дуги единичной
окружности в тех областях, которые отмечены на рисунке знаком « + ». Итак,
окончательное решение можно записать в виде совокупности промежутков:

3
5
3
7
9
x  (  2n;  2n) (  2n;  2n) (  2n;  2n) , nZ.
2
4
4
2
4
4

3
5
3
7
9
Ответ: x  (  2n;  2n) (  2n;  2n) (  2n;  2n) , nZ.
2
4
4
2
4
4
23
Практическая часть
Задача 1. Решите неравенство cos(2 x)  cos x  1  0 .
Решение.
1. Найдем область допустимых значений.
ОДЗ: x  R .
2. Рассмотрим функцию: y  cos(2 x)  cos x  1 .
Найдем нули функции:
cos(2 x)  cos x  1  0 ,
cos2 x  sin 2 x  cos x  1  0 ,
2 cos2 x  1  cos x  1  0 ,
2 cos2 x  cos x  0 ,
cos x(2 cos x  1)  0 ,
 cos x  0, (1)
2 cos x  1  0; (2)

Решим уравнение (1):
cos x  0 ,
x

2
 n, n  Z .
Решим уравнение (2):
2 cos x  1  0 ,
2 cos x  1 ,
1
cos x   ,
2
x
2
 2k , k  Z .
3
3. Нанесем критические точки неравенства на числовую окружность,
выясним принадлежность критических точек множеству решений неравенства:
24

2
2
3
4
3
3
2
4. Определим знаки левой части неравенства на полученных промежутках:
x  0  1  1  1  0 ,
x  100  cos 200  cos100  1  2 cos2 100  1  cos100  1 
1
1


 2 cos100 cos100    2 cos(90  10) cos(90  10)   
2
2


1
1


 2 sin 10  sin 10    2 sin 10 sin 10    0 ,
2
2


x 
 111  0 ,
x  100   cos( 200)  cos( 100)  1  cos 200   cos100   1  0 .
2
3


2


4
3

3
2
5. Выбор промежутков на которых знаки соответствуют неравенству:
25
2
3


2


4
3

3
2

4
 
  2

 2n, n  Z .
Ответ: x    2n;  2n    2n;
2
3
 2
  3

Задача 2. Решите неравенство sin x  cos(2 x)  0 .
Решение.
1. Найдем область допустимых значений.
ОДЗ: x  R .
2. Рассмотрим функцию: y  sin x  cos(2 x) .
Найдем нули функции:
sin x  cos(2 x)  0 ,
sin x  cos2 x  sin 2 x  0 ,
 2 sin 2 x  sin x  1  0 ,
Пусть sin x  t , тогда получим
 2t 2  t  1  0 ,
По теореме обратной теореме Виета (частный случай):
1
t1  1, t 2   .
2
Произведем обратную замену:
26
 sin x  1,

1
sin x   2 ;


 x  2  2n, n  Z ,


  x    2n, n  Z ,
6

5
  x     2n, n  Z .
 
6
3. Нанесем критические точки неравенства на числовую окружность,
выясним принадлежность критических точек множеству решений неравенства:

2

5
6


6
4. Определим знаки левой части неравенства на полученных промежутках:
x  0  0 1  0 ,
x 
x
3
2
 0 1  0,
 11  0 .
27

2



5
6


6

5. Выбор промежутков на которых знаки соответствуют неравенству:

2



5
6


6


 5
 

 2n;  2n    2n, n  Z .
Ответ: x  
6
 6
 2

Задача 3. Решите неравенство (tgx  1)(sin( 2 x)  3 sin x)  0 .
Решение.
1. Найдем область допустимых значений.
ОДЗ: x 

2
 n, n  Z .
2. Рассмотрим функцию: y  (tgx  1)(sin( 2 x)  3 sin x) .
Найдем нули функции:
tgx  1  0,
(1)

sin( 2 x)  3 sin x  0; (2)

28
Решим уравнение (1):
tgx  1  0 ,
tgx  1 ,
x
3
 n, n  Z .
4
Решим уравнение (2):
sin( 2 x)  3sin x  0 ,
2 sin x cos x  3 sin x  0 ,
sin x(2 cos x  3)  0 ,
 sin x  0,
2 cos x  3  0;

 x  k , k  Z ,

3
 cos x  ;

2
 x  k , k  Z ,

x
;

x  k , k  Z .
3. Нанесем критические точки неравенства на числовую окружность,
выясним принадлежность критических точек множеству решений неравенства:
3
4

2

0

29

2


4
4. Определим знаки левой части неравенства на полученных промежутках:
x


4

1  11  3


2
  0,
2 
1 3 3
  0 ,
3  1  
2
2



x
2
3

x
5
6
 1
 3 3 
 
 1

 0,
3  2 2 

x
3
4

1  1  1  3


x
x

3

6


2
 0,
2 

3 3 3
  0 ,
3  1  

2
2



3 3
 1

 
 1 
   0,
3

 2 2 
3
4


2



0



2




4
5. Выбор промежутков на которых знаки соответствуют неравенству:
30

2

3
4



0






2

4



  3
  

Ответ: x  2n;  2n     2n;   2n     2n;  2n;, n  Z .
2
4

 4
  2

Задача 4. Решим неравенство sin x > 0 .
Решение. Рассмотрим график функции y = sin x
и выберем из промежутка [0;2 ] на оси Ox значения аргумента x , которым
соответствуют точки графика, лежащие выше оси Ox . Таким промежутком
является интервал (0;  ) . Учитывая периодичность функции y = sin x все
решения неравенства sin x > 0 можно записать так:
 (2k ;   2k ) .
kZ
Ответ:
 (2k ;   2k ) .
kZ
31
1
Задача 5. Решите неравенство sin x  .
2
Решение. Нарисуем тригонометрическую окружность и отметим на
ней точки, для которых ордината превосходит
1
.
2
y
 5 
P

 6 
 
M 
6
1
2
x
O
 5 
Для x [0;2 ] решением данного неравенства будут x   ;  . Ясно
6 6 
также, что если некоторое число x будет отличаться от какого-нибудь числа
из указанного интервала на 2n , то sin x также будет не меньше
1
.
2
Следовательно, к концам найденного отрезка решения нужно просто
добавить
2n .
Окончательно,
получаем,
что
решениями
исходного

5
 2n] .
неравенства будут все x [  2n;
6
6

5
 2n] .
Ответ: x [  2n;
6
6
1
Задача 6. Решим неравенство cos x  .
3
Решение. По определению, cos x – это абсцисса точки t   , соответствующей числу x . Отметим на окружности  точки, имеющие абсциссу,
равную
1
(точки М и Р на рисунке).
3
32
y
1
1
1

M  arccos 
3

x
1
1
3
O

1

P  arccos 
1 
3
Тогда геометрическим решением нашего неравенства будет открытая
дуга МР (каждая ее точка имеет абсциссу, меньшую
1
). Составим аналити3
ческую запись открытой дуги МР:
1
1
arccos  2k  x  2  arccos  2k ,
3
3
1
1
Ответ: arccos  2k  x  2  arccos  2k ,
3
3
k Z .
k Z
1
Задача 7. Решим неравенство tgx   .
2
Решение. tgx не определен при x 

2
 k . Этим числам соответству-
ют точки 1 и  3 окружности  .
1 y
1
P
1
1
O
M

1
3
33

1
2
x
Отметим на полуокружности  3 1 точку M  M (x) такую, что
1
tgx   . Так как на дуге  3 1 (а точнее, на каждом из интервалов числовой
2
прямой R , отображающихся на дугу  3 1 ) функция y  tgx возрастает, то
неравенство tgx  
1
будет выполняться для всех точек дуги  3 1 , лежащих
2
от точки M в отрицательном направлении, т. е. на полуоткрытой дуге  3 M .
Так как, далее, основной период тангенса равен  , то наше неравенство будет выполняться и для всех точек дуги 1 P , отличающейся от дуги
 3 M на половину окружности.
Итак, геометрическим решением неравенства является объединение
двух полуоткрытых дуг  3 M и 1 P . Составим аналитические записи указанных дуг. Для дуги  3 M имеем:

а для дуги 1 P :

1
 2k  x  arctg  2k ,
2
2

1
 2k  x    arctg  2k ,
2
2
k Z ,
k Z .
Впрочем, решение неравенства можно записать короче:

Ответ: 

1
 n  x  arctg  n,
2
2

1
 n  x  arctg  n,
2
2
Задача 8. Решим неравенство ctgx 
nZ .
nZ .
3
.
3
Решение. ctgx не определен при x  k . Этим числам соответствуют
точки  0 и  2 окружности  .
34
y
1
3
3

M
1
2
1
0 x
O

P
1
Отметим на полуокружности  0  2 точку M  M (x) такую, что
ctgx 
3
,
3
arcctg
3 
 . Так как на дуге  0  2 (а точнее, на каждом из интервалов
3
3
для
этого
отложим
дугу
0 M ,
длина
которой
равна
числовой прямой R , отображающихся на дугу  0  2 ) функция y  ctgx убы3
будет выполняться для всех точек дуги  0  2 ,
3
вает, то неравенство ctgx 
лежащих от точки M в положительном направлении, т. е. на открытой дуге
M2 (при решении неравенства ctgx 
3
пришлось бы взять дугу  0 M ).
3
Учитывая, что основной период котангенса равен  , отметим еще дугу P0 ,
на которой будет выполняться наше неравенство (она получается из дуги
M2 поворотом вокруг точки O на 180  ).
Итак, геометрическим решением неравенства является объединение
двух открытых дуг M2 и P0 . Составим аналитические записи указанных
дуг. Для дуги M2 имеем:

3
а для дуги P0 :
 2k  x    2k ,
4
 2k  x  2  2k ,
3
k Z ,
k Z .
Впрочем, решение неравенства можно записать короче:
35

3
Ответ:

3
 n  x    n,
 n  x    n,
nZ .
nZ .
Задача 9. Решим систему неравенств

3
,
 sin x 
2

cos x   2 .

2
Решение. Найдем геометрическое решение неравенства sin x 
3
2
(дуга MP окружности  отмечена на рисунке внутренней штриховкой).
M
K
1 y
P
3
2
0
2

2
2
x
E
3
На той же окружности найдем геометрическое решение неравенства
cos x  
2
(соответствующая дуга EK отмечена на рисунке внешней
2
штриховкой). Тогда геометрическим решением системы будет пересечение
дуг MP и EK , т. е. объединение дуг MK и EP . осталось лишь составить
аналитическую запись каждой из этих дуг. Для дуги
2
3
 2n  x 
 2n,
3
4
nZ
36
MK
имеем:
Для дуги EP имеем: 
3

 2n  x   2n,
4
3
nZ .

3
 3
  2

 2n;  2n   
 2n;
 2n 
Ответ: x   
3
4
 4
  3

37
nZ .
Заключение
В результате проделанной работы были проанализированы различные
подходы к изучению тригонометрических неравенств и их систем в школьном курсе математики, разработана методика изучения данной темы, наиболее полно, пошагово описаны возможные способы решения тригонометрических неравенств, по выведенным схемам было разобрано несколько типовых
задач.
На основании этого в теме «Тригонометрические неравенства» мы
предлагаем изучать только то, что даст возможность школьникам почувствовать именно специфику тригонометрических неравенств.
Проработав соответствующую психолого-педагогическую и методическую литературу по данному вопросу, очевидно, сделать вывод о том, что
умение и навыки решать тригонометрических уравнения и неравенства в
школьном курсе алгебры и начал анализа являются очень важными, развитие
которых требует значительных усилий со стороны учителя математики.
Таким образом, учитель сам обязан в достаточной мере владеть методиками формирования умений и навыков решать тригонометрические уравнения и неравенства. С учётом того, что существует несколько способов решения тригонометрических неравенств, то соответственно и методика для
каждого способа различна.
Бесспорно, достичь поставленной цели с помощью только средств и
методов предложенными авторами современных учебников, практически невозможно. Это связано с индивидуальными особенностями учащихся. Ведь в
зависимости от уровня их базовых знаний по тригонометрии выстраивается
линия возможностей изучения различных видов уравнений и неравенств на
разных уровнях.
Наиболее целесообразно при изучении данной темы остановиться на
трех способах решения тригонометрических неравенств:
 решение неравенства с помощью тригонометрического круга;
 графический способ решения неравенства;
38
 метод интервалов на единичной окружности.
Притом нельзя уделять больше внимания какому-либо одному из методов, необходимо в равной мере научить учащихся применять каждый метод.
Ибо каждый метод имеет свои плюсы и минусы. Графический метод наглядно показывает, что решением неравенства является не один промежуток, а
несколько, повторяющихся с определенной частотой. Работа с тригонометрическим кругом экономит время на построение графиков. Метод интервалов
– самый рациональный способ для решения сложных неравенств, которые не
приводятся к простейшим.
Тригонометрические уравнения и неравенства занимают достойное место в процессе обучения математики и развитии личности в целом. И не стоит недооценивать их значение.
39
Список использованной литературы:
1.
Литвиненко, В. Н., Мордкович А. Г. Практикум по элементарной математике. Алгебра. Тригонометрия. / В. Н. Литвиненко,
А. Г. Мордкович. – Москва : «ABF», 1995. – 352 с.
2.
Бородуля, И. Т. Тригонометрические уравнения и неравенства:
Кн. для учителя. / И. Т. Бородуля. – Москва : «Просвещение»,
1989. – 239 с.
3.
http://www.school.mipt.ru/?Root=235 (Федеральная заочная физико-техническая школа (ФЗФТШ) при Московском физикотехническом институте (государственном университете)
(МФТИ))
4.
Водинчар, М. И. и др. Метод концентрических окружностей
для систем тригонометрических неравенств / Математика в
школе. – 1999. – № 4. – С. 73-77.
5.
Калинкин, А. К. О решении тригонометрических неравенств. /
Математика. Приложение к газете «Первое сентября». – 1991. –
№ 6. – С. 10-12.
6.
Клещев, В. А. Обобщение метода интервалов на тригонометрической окружности / Математика в школе. – 1992. – № 6. –
С. 17-18.
7.
Токарева, А. П. Тригонометрические неравенства. / Математика. Приложение к газете «Первое сентября». – 2002. – № 44. –
С. 18-20.
40