Ондулярный бор и уединенные волны
advertisement
Ондулярный бор и уединенные волны В. И. Букреев доктор физико-математических наук Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН E-mail: Bukreev@hydro.nsc.ru В рукописи дан обзор научной информации из двух самостоятельных разделов волновой гидродинамики, посвященных волнам типа бора и уединенным волнам. Целесообразность совместного рассмотрения этих волн обоснована тем, что на практике уединенные волны чаше всего образуются в процессе вырождения свободных ондулярных волн. Литература по каждому направлений необозрима. В рукописи отдано предпочтение публикациям с наиболее фундаментальной теоретической информацией и работам с результатами экспериментальной проверки такой информации. Новосибирск, 2015 1 1. Возможные формы бора Термин «бор» используется в гидродинамике для движущегося гидравлического прыжка [1, 2]. Термином «ондуляции» характеризуются колебания свободной поверхности, как правило, нелинейные, за передним фронтом гидравлического прыжка и бора [3, 4]. Бор образуется при входе высокой приливной волны в реку [5], выходе цунами на мелководье, падении метеорита в водоем или обломка скалы в фиорд [6, 7], оползне берега водоема [8], разрушении плотины [2, 9], быстрой остановке контейнера, частично заполненного жидкостью, например наклонного судоподъемника [10], сильном подводном взрыве. Бор после своего образования часто эволюционирует без подпитки энергией. В этом случае он относится к числу свободных волн. Еще Бидоне (Bidone) [11] выделил несколько разновидностей гидравлического прыжка. В настоящее время выделяется пять разновидностей в 2 зависимости от значения числа Фруда Fr u1 gh1 , где u1 и h1 – скорость и глубина потока жидкости перед прыжком, g – ускорение свободного падения [1]. Для четырех из пяти разновидностей характерно наличие ондуляций. Наиболее четко они выражены в гладком ондулярном (волнистом) прыжке, существующем в диапазоне 1 Fr 1,7 [1]. Все формы гидравлического прыжка характерны и для бора. В случае интенсивных возмущений образуется бор с обрушивающимся передним фронтом. При обрушении рассеивается много механической энергии. Со временем, распространяющийся по нижнему бьефу бор с обрушивающимся фронтом трансформируется в гладкий ондулярный бор, в котором скорость потерь энергии намного меньше. В прямоугольном канале с горизонтальным дном гладкий бор постепенно распадается на уединенные волны, которые в свою очередь трансформируются в линейные волны. Фотоснимок натурного бора содержится в [2]. Фотоснимки бора в лабораторных условиях приведены на рис. 1 [12]. На фотоснимке 1,а 2 зарегистрирована волна, которая распространяется (слева направо) в нижнем бьефе после удаления щита, с помощью которого создавался начальный перепад уровня свободной поверхности воды в прямоугольном канале с горизонтальным дном. В гидродинамике соответствующая модельная задача называется задачей о разрушении плотины [1, 9, 13]. Наиболее существенная особенность примера, приведенного на рис 1,а, состоит в том, что щит располагался не над ровным дном, а над уступом – резким понижением дна вниз по потоку. В такой постановке задачи возможно образование не одного, а двух движущихся друг за другом гидравлических прыжков, как на рис. 1,а. Прыжки распространяются вправо. Левая граница снимка соответствует положению уступа. Задний прыжок непрерывно отстает от переднего. а б в Рис. 1. Примеры волн типа бора На рис. 1,б приведен фотоснимок гладкого ондулярного бора (распространяется вправо) в момент времени, когда началось обрушение его первого гребня. Существенно, что в таком критическом состоянии скорость 3 распространения бора равнялась предельной скорости распространения уединенных волн. На рис. 1,в приведен снимок бора на встречном течении [14] (распространяется влево). Бор находится на стадии перехода от его разновидности с обрушивающимся фронтом к разновидности с гладким фронтом. Такой переход также завершается при скорости распространения бора, равной предельной скорости распространения уединенных волн. 2. Уединенные волны и солитоны Уединенные волн открыл Джон Скотт Расел [15]. Строго, используемый в настоящее время термин «уединенная волна» относится к определенным частным решениям дифференциальных уравнений (см. ниже). Главная особенность таких решений заключается в том, что они соответствуют балансу нелинейности. Если дисперсия преобладает, по теории должны существовать либо линейные волны, либо гладкий ондулярный бор. Если преобладает нелинейность, формируются различные разновидности бора с обрушивающимся передним фронтом. Частные решения нескольких уравнений удовлетворяют отмеченному общему признаку, так что термин «уединенная волна» имеет широкий смысле. На «докомпьютерном» этапе стремились получить аналитические решения на основе приближенных уравнений, учитывающих дисперсию. Ряд таких уравнений получен в конце XIX в. [16–21]. Уравнения Буссинеска [16] и Кортевега–де Вриза [20] стали классическими. В настоящее время число уравнений, имеющих решения типа уединенной волны, возросло [21–25 и др.]. Состояние теории уединенных волн на 1953 г. отражено в статье [26], на 1980 г. – в обзоре [27]. Многие приближенные уравнения, учитывающие дисперсию, могут быть получены из полной модели безвихревого движения жидкости способом разложения по малым параметрам [28, 29]. Основным малым параметром 4 считается отношение глубины жидкости к длине волны. Для получения аналитических решений необходимо использовать в теории еще один малый параметр, например, отношение высоты волны к глубине жидкости, и дополнительно задавать отношение двух малых параметров. При выводе такого отношения разные авторы использовали различные соображения. Поэтому имеется несколько приближенных решений, соответствующих уединенным волнам. Способ получения стационарных решений приближенных уравнений методом обратной задачи теории рассеяния описан в [30]. Оригинальные способы предложены в [31–33]. Получены уравнения, имеющие решения, соответствующие пространственным уединенным волнам [34, 35], а также уравнения, учитывающие начальную завихренность [36, 37]. С развитием вычислительной техники появилась возможность выполнять расчеты на основе полных уравнений потенциального движения [38–44] и уравнений Навье–Стокса [45], а при разложении по малым параметрам учитывать члены высокого порядка малости [46]. Следует отметить, что вязкость, фигурирующая в уравнениях Навье–Стокса, добавляется к балансу нелинейности и дисперсии, что существенно расширяет смысл термина «уединенная волна». Это относится и к работам, в которых вязкость учитывается в приближенных уравнениях [47–49]. Более ста лет после открытия уединенных волн активно обсуждался вопрос: могут ли на свободной поверхности однородной по плотности жидкости существовать уединенные волны в виде впадины? Строгое теоретическое обоснование того, что такие волны существовать не могут, дано в [50, 51]. Еще более продолжительна история решения вопроса о предельной амплитуде уединенной волны, поскольку аналитические решения давали разные результаты. Впервые предельная амплитуда и предельная скорость распространения уединенной волны достаточно точно вычислены в [38] на основе полных уравнений потенциального движения. Обсуждаемый вопрос 5 дискутировался и позже [39, 42], поскольку ответ на него получается при определенных допущениях о форме уединенной волны, находящейся в предельном состоянии. В соответствии с [38], в случае распространения по покоящейся жидкости постоянной глубины амплитуда уединенной h максимально возможная am 0,827h , волны а предельная скорость распространения c** 1,294 gh . Доказательство теорем существования решений в форме уединенной волны в случае полных уравнений потенциального движения дано в [52] с использованием метода анализа волн, разработанного А. И. Некрасовым. Обзор других работ по этому вопросу содержится в [53]. Соответствующие решения полных уравнений потенциального движения жидкости можно отождествить с уединенными волнами в наиболее узком смысле этого термина. Эти решения удовлетворяют наибольшему числу строго определенных признаков уединенной волны [52, 54]. В [38] обнаружена неединственность решения типа уеденной волны. Неединственность проявляется в том, что предельная амплитуда не соответствует предельной скорости распространения, так что в некоторой окрестности c** одному и тому же значению скорости распространения соответствуют два значения амплитуды (см. ниже рис. 3 линия 9). Строгое обоснование неединственности решения типа уединенной волны в полной модели потенциального движения жидкости дано в [55]. Метод получения различных решений предложен в [56]. Численная реализация этого метода выполнена в [57]. Много научных исследований, начиная с [58, 59], посвящено внутренним уединенным волнам в устойчиво стратифицированной по плотности жидкости. В отличие от поверхностных уединенных волн их экспериментальная реализация [60, 61] осуществлена позже теоретического предсказания. 6 Внутренние уединенные волны обладают рядом особенностей. В частности, они могут существовать как в форме бугра, так и в форме впадины. К числу наиболее интересных результатов исследований внутренних уединенных волн можно отнести то, что в предельном состоянии уединенная внутренняя волна трансформируется в ранее неизвестную разновидность стационарных волн, а именно: в плавный бор [62–69]. Его характерная особенность – монотонный переход уровня равной плотности с одного постоянного значения на другое постоянное значение. Теоретический анализ предсказывает также существование стационарных «уединенных волн» с ондуляциями на переднем и заднем фронте [70], а также гладких стационарных волн с плоской вершиной [71]. На рис. 2 приведены фотоснимки внутренних уединенных волн и плавного бора. Фотоснимки 2,а–в получены в опытах с двухслойной первоначально покоящейся жидкостью: водой (нижний слой) и керосином (верхний слой). Волны свободные. Их характеристики хорошо описываются вторым приближением теории мелкой воды [29, 60, 61]. Уединенная волна на рис. 2,а имеет форму ямы, а на рис. 2,б – форму бугра. На рис. 2,б можно видеть траектории движения взвешенных частиц алюминиевой пудры микронных размеров. Граница раздела воды и керосина на этом снимке выглядит размытой вследствие большой выдержки при фотосъемке. Плавный бор на рис. 2,в свободный [67], а на рис. 2,г вынужденный [68]. Вынужденный бор образовался, в строго определенных условиях, при стационарном движении сегмента цилиндра в двухслойной жидкости. Прозрачный верхний слой – вода, окрашенный чернилами нижний слой – слабый раствор глицерина в воде. Разность плотностей равна 0,02 г/см 3 . Толщина переходного слоя от воды к раствору равна 0,8 см. 7 а б в г Рис. 2. Внутренние уединенные волны и плавный бор После публикации обзора [27], содержащего список литературы из 180 наименований, число работ, посвященных поверхностным и внутренним уединенным волнам, стало трудно обозримым. На основе приближенных и точных уравнений потенциального движения выполнены численные расчеты отражения уединенной волны от стенки [72 – 74], взаимодействия друг с другом [75], трансформации на наклонном дне [76] и различных препятствиях [43, 44, 77–79]. В [80] экспериментально продемонстрирован распад ондулярного бора на уединенные волны. В [81] наряду с кинематическими характеристиками течения рассмотрено также силовое воздействие уединенной волны на препятствие. Работы [82 – 85] отражают состояние исследований устойчивости и обрушения уединенных волн, работы [86–88] – влияния поверхностного натяжения. В [89] наряду с обстоятельными опытами выполнены расчеты на 8 основе уравнений Навье–Стокса. В [90] теоретически обосновано существование своеобразных «уединенных волн» с несколькими максимумами. В [91] предложена и экспериментально проверена математическая модель, учитывающая амплитудную и частотную дисперсию. В [92] экспериментально реализована вынужденная уединенная волна, образующаяся при движении погруженного тела. Большой всплеск публикаций связан с тем, что решения, в которых нелинейность и дисперсия находятся в балансе, были получены для уравнений из других разделов физики. Эти решения названы солитонами [93–96]. Термин «солитон» имеет более широкий смысл, чем термин «уединенная волна». Для солитона достаточно двух признаков: стационарности и убывания к постоянным величинам справа и слева на бесконечности. Особо сложный вид имеет солитон Шредингера [97]. В упомянутом выше наиболее узком смысле, уединенная волна, кроме двух указанных признаков, должна быть симметричной относительно вершины, в частности стремиться к одинаковым постоянным значениям справа и слева на бесконечности, убывать монотонно и обладать строго определенными соотношениями между массой, количеством движения, энергией и циркуляцией (по незамкнутому контуру) [52, 54]. Детальная экспериментальная проверка теории уединенных волн на поверхности однородной жидкости по состоянию на 1953 г. выполнена в [26], более поздних расчетно-теоретических результатов – в [98]. Строго, свободные экспериментальные уединенные волны не удовлетворяют ни одному из перечисленных признаков теоретических уединенных волн из-за влияния вязкости. Они нестационарны, немного несимметричны, могут иметь слабые ондуляции на заднем фронте и асимптотически стремятся к немного отличающимся постоянным значениям справа и слева от вершины. Тем не менее, в некотором диапазоне высот и скоростей распространения достаточно хорошие результаты дает следующий 9 принцип. Если учесть влияние вязкости на какой-нибудь один параметр уединенной волны, например, на ее амплитуду, при расчете других параметров можно использовать теоретические зависимости для волн в идеальной жидкости. Рис. 3. Зависимость скорости распространения уединенной волны от ее амплитуды. 1–5 – опыты [98] при различных способах генерации, 6 – опыты [26], 7 – вынужденная волна [99], 8 – теории [16] и [17], 9 – численный расчет [38], 10–12 – теории [52, 100, 19] На рис. 3 приведены результаты экспериментальной теоретических зависимостей скорости распространения c 0 проверки от амплитуды a 0 волны на поверхности первоначально покоящейся жидкости постоянной глубины h [98]. Амплитуда нормирована на h , скорость распространения – на gh . Ниже линии c 0 1 и справа от линии 10 на рис. 3 уединенные волны не существуют [52]. Область их существования представлена множеством точек различных теоретических кривых. По сравнению с множеством всех точек 0 0 «фазовой» плоскости ( a , c ) эта область бесконечно мала. Однако опыты показывают, что кривая 9 «притягивает» к себе фазовые траектории волн, в частности, волн типа бора и уединенных волн. Этим можно объяснить, что уединенные волны были обнаружены сначала в натурных условиях [15], а не в теории. 10 Лучше всего согласуется с опытом соответствующее решение полных уравнений потенциального движения [38]. Абсциссы точек пересечения кривых 8, 9, 11, 12 с кривой 10 на рис. 3 соответствуют предельной амплитуде уединенной волны в различных теориях. По приближенным теориям ординаты точек пересечения соответствуют предельным скоростям распространения уединенных волн в различных теориях. По расчетам [38] максимум кривой 9 расположен левее такой точки пересечения вследствие неединственности решения. На рис. 4 приведены два примера экспериментальных «фазовых траекторий» волн типа ондулярного бора [98]. Эволюция волн в опытах 0 начиналась из состояния покоя. Траектория 4 вышла за линию c** 1,294, ограничивающую сверху область существования уединенных волн. При пересечении траекторией этой линии снизу передний фронт бора начал обрушиваться. При меньшей скорости распространения бор был гладким. 0 0 Рис. 4. Траектории волн типа бора на фазовой плоскости ( a , c ) [98]. 1, 3 – вынужденные гладкие волны, 2, 4 – свободные гладкие волны, 5 – свободные обрушивающиеся волны, 6 – по [16, 17], 7 – по [38], 8 – по [52] Из-за диссипации энергии траектория 4 вернулась в область существования гладкого ондулярного бора. Обрушение переднего фронта 11 волны прекратилось, когда соответствующая точка фазовой траектории 0 обсуждаемого процесса сместилась немного ниже линии c** 1,294. Затем процесс перешел в область существования гладких уединенных волн, долго оставался в этой области и ушел в область существования линейных волн 0 ( c 1 ). Траектория 2 на рис. 4 не вышла за линию c*0* 1,294. Соответствующая волна все время оставалась гладкой. На рис. 5 приведены три примера отклонений уровня свободной поверхности от состояния покоя в точках траектории A, B, C , показанных на 0 рис. 4, как функций продольной координаты x1 . Использована подвижная система координат, связанная с первым максимумом . Продольная координата x10 и отклонения нормированы на h . Условно, для функции будет использоваться термин волна. Во всех трех приведенных примерах волны были гладкими. Однако передний фронт волны B находился в критическом состоянии в смысле его обрушения. Профиль C соответствует положению траектории на «притягивающей кривой». В этой точке начался распад гладкого ондулярного бора на уединенные волны. Рис. 5. Распад сложного начального возмущения на уединенные волны. Положения точек A, B, C на фазовых траекториях показаны на рис. 4 Отметим два факта. Во-первых, в классе свободных волн в опытах не удается получить уединенную волну с амплитудой, превышающей 75% от 12 теоретически предельной амплитуды. Лишь при постоянной подпитке энергии волны движущимся крылом получена [99] устойчивая вынужденная «уединенная» волна, амплитуда которой меньше предельной всего на 7% (экспериментальная точка 7 на рис. 3). Во-вторых, при амплитудах меньше примерно 20% от теоретически предельного значения фазовые траектории в опытах отходят от «притягивающей кривой» в область существования линейных волн, причем профиль экспериментальной волны также существенно отличается от теоретического профиля уединенной волны, полученного без учета вязкости. Профиль вынужденной уединенной волны предельной амплитуды приведен на рис. 6. На этом рисунке система координат связана с передней кромкой крыла, движущегося с постоянной скоростью U ; величина продольная координата, нормированная на h ; поверхности от положения равновесия, 1 – 1 – отклонение свободной также нормированное на h; вертикальный масштаб значительно больше горизонтального. Рис.6. Вынужденная уединенная волна предельной амплитуды [99]. Начало координат расположено на невозмущенной свободной поверхности, 1 – крыло, 2 – дно канала 13 3. Поверхностные волны типа бора Много теоретической информации о поверхностных волнах типа бора получено при решении задачи о разрушении плотины. Получены, в частности, автомодельные решения первого приближения теории мелкой воды, сначала для случая ровного горизонтального дна [2, 13, 101, 102], а затем в канале с неровным дном [103–106]. Для нижнего бьефа эти решения имеют вид прерывных волн, моделирующих движущиеся гидравлические прыжки. Экспериментальная проверка автомодельных решений выполнена в [12, 107– 111]. Рис. 7. Сравнение расчетных (сплошные линии) и экспериментальных (точки) данных для волны прорыва за уступом дна канала [108]; H 1 b 2 ,08 , H 2 b 0,44 : 1 – x H 2 15,6 ; 2 – x H 2 21,9 ; 3 – x H 2 26 ,6 На рис. 7 приведен пример эволюции во времени волны прорыва за уступом дна канала с двумя гидравлическими прыжками (см. также рис. 1,а). Величина 0 на рис. 7 – время от начала быстрого (за 0,03 с) удаления щита, создающего начальный перепад уровня свободной поверхности; x – продольная координата, отсчитываемая вниз по потоку от уступа; h – высота волны в нижнем бьефе; H 1 и H 2 – начальные глубины верхнего и нижнего 14 бьефов; b – высота уступа. Время нормировано на H 2 g . Волномер не различал направления распространения волн. На записях его сигнала передний фронт волны всегда расположен слева, хотя сама волна могла распространяться вправо. Автомодельные решения имеют ограниченную область применимость во времени и пространстве. При конкретных расчетах паводков, волн прорыва при разрушении плотины и волновых процессов в судоходных сооружениях широко применялись уравнения Сен–Венана [9, 10, 112–117]. В них, как и в первом приближении теории мелкой воды, используется предположение о гидростатическом законе распределения давления по глубине и не учитывается дисперсия волн. В них нет решений типа кноидальных и уединенных волн. Однако эти уравнения удобны при решении прикладных задач. Для них наиболее полно разработаны методы учета (на эмпирической основе) уклона дна, сложной геометрии русла, боковой приточности, потерь энергии на трение и местных гидравлических сопротивлениях. Расчеты методом конечного контрольного объема выполнены в [118]. Расчеты двумерных (плановых) течений выполнены в [116, 117, 119). Результаты численных расчетов начальной стадии процессов после разрушения плотины на основе уравнений Эйлера и Навье–Стокса приведены в [120]. Численные расчеты волн типа бора на основе уравнения Кортевега-де Вриза и других приближенных уравнений, учитывающих дисперсию, выполнены в [121–125]. В [123, 124, 126] описан процесс обрушения волн расчетами на основе уравнений Эйлера и Навье–Стокса. В экспериментальных исследованиях поверхностного бора получена информация о влиянии уклона дна, шероховатости и формы поперечного сечения канала [3, 127–129], процесса отражения волн от вертикальной стенки [125, 130], трансформации волн на встречном течении [14, 131, 132]. Особо 15 можно выделить опыты Фавра [3], привлекшие внимание к ондуляциям. Внутренний ондулярный бор в океане описан в [133]. Эксперименты неизменно показывали, что обрушение гладкого ондулярного бора начинается не при числе Фруда, равном единице, как это следует из линейной теории и из первого приближения теории мелкой воды, а при большем значении этого числа [3, 127–129, 134]. В работах [135–139] установлено, что, как отмечалось выше, при достаточно медленной эволюции бора его обрушение начинается, когда скорость распространения его переднего фронта в эксперименте равна предельной скорости распространения уединенных волн, вычисленной в [38] (см. также рис. 4). Следует отметить, что в работах по гидравлике открытых русел и в волновой гидродинамике могут использоваться разное определения числа Фруда. Возможно, по этой причине не сразу было замечено, что количественное значение предельной скорости распространения уединенных волн может эффективно использоваться в гидравлике при классификации установившихся движений [140, 141]. Гидравлическое определение Fr приведено в начале обзора. В нем фигурирует квадрат характерной скорости. В волновой гидродинамике используется число Фруда Fr1 c распространения волны, gh , где c – скорость h – глубина жидкости. В этом определении фигурирует первая степень скорости распространения возмущения. В [140, 141] показано, что если в гидравлике использовать число Фруда Fr2 Fr , в окрестности Fr2 =1,292 также происходят качественные изменения в картине установившихся течений. Это критическое значение Fr2 хорошо согласуется со значением Fr1 =1,292, соответствующим предельной скорости распространения уединенных волн, а также с критической скоростью распространения бора, при которой происходит его обрушение. На рис. 8 приведен пример смены картины течения при переходе от поверхностного режима сопряжения бьефов за водосливом с широким порогом 16 к придонному режиму при установившемся движении [141]. В поверхностном режиме (рис. 8,а) зона отрыва потока за порогом намного длиннее, чем в придонном режиме (рис. 8,б). Смена режимов происходит, когда для течения над задней кромкой порога F2 1,292 (рис. 8,в). Обтекание порога бурным потоком изучалось в [142], волны в открытом канале за ступенькой дна – в [143]. Рис. 8. Поверхностный, придонный и переходный режимы сопряжения бьефов за водосливом с широким порогом [141] 4. Математическая модель с учетом турбулентного перемешивания В прикладных проблемах часто приходится иметь дело с волнами, передний фронт которых обрушивается, и движение жидкости, порождаемое волнами, является турбулентным. Для расчета таких волн перспективна двухслойная математическая модель c учетом перемешивания между слоями [29, 144–147]. В ней течение однородной по плотности жидкости условно разделяется на два слоя, движущихся с разными скоростями. Учитывается обмен массой, количеством движения и энергией между слоями, а также 17 отклонение от гидростатического закона распределения давления. Учет в модели нового физического механизма позволяет получить принципиально новые результаты. Например, при Fr2 1,3 классическая теория гидравлического прыжка дает хорошие результаты для сопряженных глубин, однако реальную форму свободной поверхности не описывает. Обсуждаемая модель устраняет этот недостаток. На рис. 9 приведен результат проверки рассматриваемой модели на примере волны с двумя движущимися гидравлическими прыжками [147] (см. также рис. 1,а). Модель хорошо описывает не только высоту и скорость распространения прыжков, но и их форму. . Рис. 9. Проверка модели с учетом перемешивания на примере волновой конфигурации с двумя турбулентными борами [147]. 1, 2 – свободная поверхность, 3, 4 – граница турбулентного слоя; сплошные линии – точное, штриховая – приближенное решения На рис. 10 приведены результаты сравнения расчета по модели [144] и эксперимента [135] на примере ондулярного бора, образующегося при кратковременном смещении торцевой стенки бассейна. Такая конфигурация волны с гидравлическим прыжком на переднем фронте характерна для возмущений, обусловленных оползнем берега или резкой остановкой контейнера, частично заполненного жидкостью. Обсуждаемая модель получила подтверждение в этом опыте, а также в опытах [148, 149]. 18 Рис. 10. Эволюция волны после кратковременного смещения торцевой стенки бассейна. Сплошные линии – расчет [144], штриховые – эксперимент [135] Отметим одну проблему математического моделирования обрушивающихся волн на примере волны цунами при ее выходе на мелководье: проблему задания в модели энергии, поступающей в волны. Основная часть энергии возмущения, породившего цунами, рассеивается вблизи источника, и только небольшая ее часть переноситься волнами на большие расстояния. Работы, посвященные цунами, заслуживают самостоятельного обзора. Отметим здесь только сборники статей [150–152] и монографии [153–155], в которых дан обстоятельный анализ других работ, а также обзоры [156, 157]. 5. Критические условия по групповой скорости распространения возмущений Критические условия в смысле потери устойчивости существуют как по фазовой, так и по групповой скорости распространения возмущений. При анализе механизмов и условий потери устойчивости важные результаты дает линейная теория [158]. В линейной теории фазовая скорость распространения волн характеризует скорость переноса информации о том, что в систему 19 внесено возмущение, а групповая скорость – скорость переноса энергии возмущения. В жидкости эти скорости, как правило, не совпадают. В случае стратифицированной по плотности жидкости число критических условий по групповой скорости больше, чем по фазовой скорости. Например, в сдвиговом потоке двухслойной жидкости существует пять критических ситуаций по групповой скорости, две – по фазовой скорости и одна по обеим скоростям одновременно [159]. На рис. 11 приведены фотоснимки возмущений границы раздела двухслойной жидкости, полученные в опытах [159]. Вода в верхнем слое движется влево. Нижний слой (слабый раствор глицерина в воде) покоится. Возмущения вносятся цилиндром, движущимся с постоянной скоростью. На рис. 11,а приведен пример, в котором скорость движения цилиндра такая, что не создаются критические условия ни по фазовой, ни по групповой скорости. За цилиндром образуются гладкая медленно затухающая почти синусоидальная волна. На рис. 11,б (цилиндр движется влево) групповая скорость распространения возмущения совпадает со скоростью движения воды в верхнем слое. На рис. 11,в цилиндр движется в нижнем слое, а групповая скорость распространения возмущения совпадает со скоростью движения воды в верхнем слое. В этих критических ситуациях энергия возмущения рассеивается на небольших расстояниях за цилиндром, возмущения слабые и бесформенные. Интересный режим генерации волн наблюдается при совместном поступательном и колебательном движении цилиндра в двухслойной жидкости. Линейная теория предсказывает, а эксперимент подтверждает, что в этом случае в определенных условиях по групповой скорости распространения возмущения формируется ограниченный в пространстве стационарной цуг волн с огибающей, похожей на солитон. Это происходит в теоретическом резонансном режиме генерации волн [159, 160]. 20 Рис. 11. Устойчивые (а) и неустойчивые (б, в) возмущения. На снимках (а) и (б) цилиндр движется влево, на снимке (в) – вправо Результаты сравнения экспериментальных и расчетных данных в резонансном режиме приведены на рис. 12. Цилиндр диаметром 1 см двигался в верхнем слое на расстоянии 3 см от границы раздела воды и керосина. Амплитуда его колебаний равнялась 0,5 см. Неподвижным волномером, расположенным на расстоянии 150 см от точки старта цилиндра, измерялось отклонение границы раздела от положения равновесия t как функция времени t (время отсчитывается от начала движения цилиндра). Ось проведена через такое значение t , при котором ось цилиндра проходила точно над волномером. Поэтому на приведенных графиках колебаниям границы раздела слева от оси соответствуют возмущениям впереди цилиндра, а справа – возмущениям за цилиндром. В резонансном режиме в окрестности цилиндра формируется стационарный волновой пакет. Непосредственно под цилиндром период колебаний существенно изменяется. В эксперименте в этом режиме имело место многократное, но не безграничное, увеличение амплитуды волн по сравнению 21 со случаями чисто поступательного ( 0 ) или чисто колебательного (U 0 ) движений цилиндра с теми же количественными значениями параметров U или . Стационарность этого пакета и конечное значение амплитуды волн в эксперименте обеспечивается стабилизирующим влиянием вязкости. Рис. 12. Резонансный режим. 1 –эксперимент, 2 – расчет; U 8,44 см/c, 2 =0,51 Гц По теории идеальной жидкости в этом примере должен происходить неограниченный рост волн. Учет в теории вязкости жидкости приводит к хорошему совпадению расчета и эксперимента. Более полная информация о таком необычном режиме генерации волн содержится в [160]. 22 Литература 1. Ven Te Chow. Open-Channel Hydraulics. N.Y.: McGraw Hill Book Co., 1959. 680 р. 2. Стокер Дж. Дж. Волны на воде. Математическая теория и приложения. М.: Изд-во иностр. лит., 1959. 617 с. 3. Favre H. Ondes de translation dans les canaux decoverts. Paris: Dunod, 1935. 215 p. 4. Peregrine D. H. Calculation of the development of an undular bore //.J. Fluid Mech. 1966. V 25, pt. 2. P. 321-330. 5. Tsuji J., Januma T., Murata I. Tsunami acceding in rivers as an undular bore // Natur. Hazards. 1991. V.4, No. 2/3. P. 257. 6. Johnson J. W., Bermel K. J. Impulsive waves in shallow water as generated by falling weight // Trans. Amer. Geophys. Union. 1949. V. 30, No. 2. P. 223-230. 7. Букреев В. И., Гусев А. В. Гравитационные волны при падении тела на мелкую воду // ПМТФ. 1996. Т.37, №2. С.90-98. 8. Wiegel R. L., Noda E. L., Kuba E. M., Gee D. M., Tornberg G. F. Water waves generated by landslides in reservoirs // J. Waterways and Harbors Div. Proc. ASCE. 1970. V.96. No.2. P. 307-333. 9. Васильев О. Ф., Лятхер В. М. Гидравлика / Сб.: Механика в СССР за 50 лет. Т. 2. Механика жидкости и газа. М.: Наука, 1970. С. 709-790. 10. Атавин А. А., Васильев О. Ф., Яненко А. П. Гидродинамические процессы в судопропускных сооружениях. Новосибирск: Наука, 1993. 100 с. 11. Bidone Georgio. Experienses sur le remous et la propagation des ondes // Memorie della Reale Accademia delle Scienze di Torin. 1820. V. 25. P. 21-112. 12. Букреев В. И., Гусев А. В. Гравитационные волны при распаде разрыва над уступом дна открытого канала // ПМТФ. 2003. Т. 44, № 4. С. 64-75. 13. Христианович С. А. Неустановившееся движение в каналах и реках / Сб.: Некоторые новые вопросы механики сплошной среды. М.;Л.: Изд-во АН СССР, 1938. С. 15-154. 23 14. Букреев В. И. Ондулярный бор на встречном течении // ДАН. 2000. Т.373, №6. С. 759-761. 15. Russel J. S. Report of the Committee on Waves / 7th Rep. Meet. Brit. Assoc. Adv. Sci., Liverpool (1837). London: John Murrey, 1838. P. 417-496. 16. Boussinesq J. Theorie de l΄intumescence liquide, applee onde solitaire on de translation, se propagant dans un canal rectangulaire // Comptes Rendus Acad. Sci. Paris. 1871. V. 72. P. 755-759. 17. Ryleigh, Lord. On waves // Phil. Mag. 1876. V.1, no.5. P.257-279. 18. Stokes G. G. Note on the theory of the solitary wave // Phil. Mag. 1891. V. 31. P. 314-316. 19. McCowan J. On the solitary waves // Phil. Mag. 1891. V.32, no.5. P. 45-48. 20. Korteweg D. J., de Vries G. On the change of form of long waves advancing in a rectangular channel, and new type of long stationary waves // Phil. Mag. 1895. V. 39, No. 5. P. 422-443. 21. Peregrine D. H. Long waves on a beach // J. Fluid Mech. 1967. V. 27, pt. 4. P. 815-827. 22. Benjamin T. B. Internal waves of finite amplitude and permanent form // J. Fluid Mech. 1966. V. 25, pt. 2. P. 241-270. 23. Ono H. J. Algebraic solitary waves in stratified fluids. J. Phis. Soc. Japan. 1975. V 39, No. 4. P. 1082-1091. 24. Кадомцев Б. Б., Петвиашвили В. И. Об устойчивости уединенных волн в слабо диспергирующей среде // Докл. АН СССР. 1970. Т. 192, № 4. С. 753-756. 25. Joseph R. J. Solitary waves in a finite depth fluid // J. Phys. A. Math. Gen. 1977. V. 10. P. L225- L227. 26. Daily J. W., Stephan S. C. Jr. The solitary wave. Its celerity, profile, internal velocities and amplitude attenuation in a horizontal smooth channel. Proc. 3rd Conf. Coastial Eng. Berkley: Univ. of California, 1952. P. 13-30. 27. Miles J. W. Solitary waves // Ann. Rev. Fluid Mech. 1980. V. 12. P 11-43. 24 28. Овсянников Л. В. Обоснование теории мелкой воды. Тр. Всес. конф. по уравнениям с частными производными. М.: Изд-во МГУ, 1978. С. 185-188. 29. Овсянников Л. В., Макаренко Н. И., Налимов В. И. и др. Нелинейные проблемы теории поверхностных и внутренних волн. Новосибирск: Наука, 1985. 318 с. 30. Захаров В. Е. Метод обратной задачи теории рассеяния. В кн.: Солитоны: Пер. с англ. / Под ред. С. П. Новикова. М.: Мир, 1983. С. 270-309. 31. Пелиновский Е. Н. «Дифференциальная» модель волн на воде // Докл. АН СССР. 1988. Т. 300, № 5. С. 1231-1234. 32. Хабахпашев Г. А. Дифференциальный метод моделирования слабонелинейных волн на воде переменной глубины. Изв. РАН. ФАО. 1996. Т. 32, № 6. 841-847. 33. Франк А. М. Дискретные модели несжимаемой жидкости. М.: Физматлит, 2001. 206 с. 34. Satsuma J. N-soliton solution of the two-dimensional Korteweg-de Vries equation // J. Phys. Soc. Japan. 1976. V. 40. P. 286-290. 35. Ko K., Kuehl H. H. Cylindrical and spherical KdV solitary waves // Phys. Fluids. 1979. V. 22, No. 7. P.1343-1348. 36. Тешуков. В. М. Длинные волны в завихренной баротропной жидкости // ПМТФ. 1994. Т. 35, № 6. С. 17-26. 37. Чесноков А. А. Распространение длинноволновых возмущений в двухслойной завихренной жидкости со свободной поверхностью // ПМТФ. 2004. Т. 45, № 2. С. 99-110. 38. Longuet-Higgins M. S., Fenton J. D. On the mass, momentum, energy and circulation of a solitary wave. II // Proc. Roy. Soc. London. 1974. V. A340. P. 471493. 39. Byatt-Smith J. G. B. On the speed and profile of steep solitary waves // Proc. Roy. Soc. London. 1976. Ser. A. V. 350. P. 175-189. 25 40. Protopopov B.E. Numerical investigation of soliton generation by a moving region of surface pressure // Intern. Schrift. Numer. Math. 1991. V. 99. P. 347-355. 41. Карабут Е. А. К задаче об уединенной волне на поверхности жидкости // Докл. АН. 1994. Т. 337, № 3. С. 339-341. 42. Karabut E. A. Asymptotic expansions in the problem of a solitary wave // J. Fluid Mech. 1996. V. 319. P. 109-123. 43. Хажоян М. Г., Хакимзянов Г. С. Численное моделирование взаимодействия поверхностных волн с подводными препятствиями // Вычисл. технологии. 2003. Т. 8, № 4. С. 108-123. 44. Рузиев Р. А., Хакимзянов Г. С. Численное моделирование трансформации уединенной волны над подводным уступом // Вычисл. технологии. 1992. Т. 1, № 1. С. 5-22. 45. Liseau Fabrice, Micheau Pierre. Validation of numerical program on two dimensional free surface flows: Simulation of solitary wave evolution. Comput. Fluid Dynamic-96. Proc. 3rd Comput. Fluid Dyn. Conf. Paris, 1996. P. 1000-1006. 46. Zang Hong-ming, Dai Shi-qiang. Higher-order solutions for interfacial solitary waves in a two-fluid system. Int. Conf. Hydrodyn.,Wuxi, 30th Oct. –3rd Nov. 1994: ICHD΄94, Beijing. 1994. P. 691-695. 47. Keulegan G. H. Gradual damping of solitary waves // J. of Research. Nat. Bur. Stand. 1948. V.40. P. 487. 48. Leone C., Segur H., Hammack J. L. Viscous decay of long internal solitary waves // Phys. Fluids. 1982. V. 25, No. 6. P. 942-944. 49. Maurer J., Hutter K., Diebels S. Viscous effects in internal waves of two-layer fluids with variable depth // Eur. J. Mech. B. 1996. V. 15, No. 4. P. 445-470. 50 Лаврентьев М. А. До теорi довгих хвиль. Сб. науч. тр. / АН УССР, Ин-т Математики. Киев: 1946. № 8. С. 13-69. 51. Friderichs K. O., Hyers D. Y. The existence of solitary waves // Comm. Pure Appl. Math. 1954. V. 7. P 517-550. 26 52. Amick C. J., Toland J. F. On solitary water-waves of finite amplitude // Arch. Rat. Mech. Anal. 1981. V.76, no.1. P. 9-95. 53. Моисеев Н. Н. Некоторые вопросы гидродинамики поверхностных волн. / Сб.: Механика в СССР за 50 лет. Т. 2. Механика жидкости и газа. М.: Наука, 1970. С. 55-78. 54. Longuet-Higgins M. S. On the mass, momentum, energy and circulation of a solitary wave // Proc. Roy. Soc. London. 1974. V. A337. P. 1-13. 55. Плотников П. И. Неединственность решений задачи об уединенных волнах и бифуркации критических точек гладких функционалов // Изв. АН СССР. Сер. математич. 1991. Т.55, №2. С.339-366. 56. Овсянников Л. В. Об асимптотическом представлении уединенных волн // Докл. АН СССР. 1991. Т.318, №3. С. 556-559. 57. Карабут Е. А. Численный анализ асимптотического представления уединенных волн // ПМТФ. 1994. Т.35, №5. С. 52-58. 58. Keulegan G. H. Characteristics of internal solitary waves // J. Res. Nat. Bur. Stand. 1953. V. 51, No. 3. P. 133-140. 59. Long R. R. Solitary waves in one and two-fluid system // Tellus. 1956. V. 8, No. 4. P. 460-471. 60. Букреев В. И., Гаврилов Н. В. Экспериментальное исследование уединенных внутренних волн в двухслойной жидкости // ПМТФ. 1983. № 5. С. 51-56. 61. Гаврилов Н. В. Уединенные внутренние волны большой амплитуды в двухслойной жидкости // ПМТФ. 1986. Т. 37, № 5. С. 49-54. 62. Miles J. W. On internal solitary waves // Tellus. 1979. V. 31. P. 456-462 63. Kakutani T., Yamasaki N. Solitary waves on a two-layer fluid // J. Phys. Soc. Japan. 1978. V. 45, No. 2. P. 674-679. 64. Овсянников Л. В. Модели двухслойной мелкой воды // ПМТФ. 1979. №2. С. 3-14. 65. Baines P. G. A unified description of two-layer flow over topography // J. Fluid Mech. 1984. V. 146. P. 127-167. 27 66. Агеев В. А., Букреев В. И., Гаврилов Н. В. Новый тип плоских стационарных волн в двухслойной жидкости. // Изв. АН СССР. МЖГ. 1986. №5. С.187-190. 67. Гаврилов Н. В. Плавные боры в двухслойной жидкости со сдвигом скорости между слоями // ПМТФ. 1997. Т. 38, № 3. С. 45-49. 68. Букреев В. И., Гусев А. В. Вынужденный плавный бор в непрерывно стратифицированной жидкости // ДАН. 1998. Т.363, №3. С. 327-329. 69. Макаренко Н. И. Сопряженные течения и плавные боры в слабо стратифицированной жидкости // ПМТФ. 1999. Т. 40, № 2. С. 69-78. 70. Benjamin T. Brooke. A new kind of solitary wave // J. Fluid Mech. 1992. V. 245. P. 401-411. 71. Turner R. E. L., Wanden-Broeck J.-M. Broadening of interfacial solitary waves // Phis. Fluids. 1988. V. 31. No. 9. P. 2186-2190 72. Byatt-Smith J. G. B. The reflection of a solitary wave by a vertical wall // J. Fluid Mech. 1988. V. 197. P. 503-521. 73. Seabra–Santos F. J., Temperville A., Renouard D. On the weak interaction of two solitary waves // Eur. J. Mech. B. 1989. V. 8, No. 2. P. 103-115. 74. Протопопов Б. Е. Численный анализ трансформации уединенной волны при отражении от вертикальной преграды // Изв. АН СССР. МЖГ. 1990. № 5. С. 115-123. 75. Su C.H., Mirie R.M. On head-on collisions between two solitary waves // J. Fluid Mech. 1980. V.98. Pt. 3. P.509-525. 76. Camfield F. E., Street R. L. Shoaling of solitary waves on small slopes // J. Waterway Harbor Div., Proc. ASCE.1969. V. 95. P. 1-22. 77. Seabra-Santos F. J., Renouard D. R., Temperville A. M. Numerical and experimental study of the transformation of a solitary wave over a shelf or isolated obstacle // J. Fluid Mech. 1987. V.176. P. 117-134. 28 78. Cooker M. J., Peregrine D. H., Vidal C., Dold J. W. The interaction between a solitary wave and a submerged semicircular cylinder // J. Fluid Mech. 1990. V. 215. P. 1-22. 79. Chain C., Ertekin R. C. Diffraction of solitary waves by submerged horizontal cylinders // Wave Motion. 1992. V. 15, No. 2. P. 121-142. 80. Losada M. A., Vidal C., Medina R. Experimental stugy of the evolution of a solitary wave at abruht junction // J. Geophis. Res. C. 1989. V. 94, No. 10. P. 14.55714. 566. РЖ 90.9Б81. 81. Афанасьев К. Е., Березин Е. Н. Анализ динамических характеристик при взаимодействии уединенных волн с препятствием // Вычисл. технологии. 2004. Т. 9, № 3. С. 22-38. 82. Benjamin T. B. The stability of solitary waves // Proc. Roy. Soc. London. 1972. Ser. A, v. 328. 1972. P. 153-158. 83. Tanaka M. The stability of solitary waves // Phys. Fluids. 1986. V. 29, No. 3. P. 650-655. 84. Tanaka M., Dold J. W., Lewy M., Peregrin D. H. Instability and breaking of a solitary wave // J. Fluid Mech. 1987. V. 185. P. 235-248. 85. Nishumura Hitoshi, Takewaka Satoshi. Experimental and numerical study on solitary wave breaking. 22nd Coastal Conf.: Proc. Int. Conf. Delft, July 2-6, 1990. Vol. 1. N.Y.: 1990. P. 1033-1045. 86. Amick C. J., Kirchgassner K. Solitary water-waves in the presence of surface tension. Dyn. Probl. Continuum Phys. N.Y. 1987. P. 1-22. 87. Longuet-Higgins M. S. Capillary-gravity waves of solitary type on deep water // J. Fluid Mech. 1989. V. 200. P. 451. 88. Longuet-Higgins M., Zhang X. Experiments on capillary-gravity waves of solitary type on deep water // Phys. Fluids. 1997. V. 9, No 7. P. 1963-1968. 89. Sakagushi T., Ozawa M., Takahashi R., Shiomi Y. Liquid velocity measurement of solitary wave by LDV // Mem. Fac. Kobe Univ. 1986. №33. P. 33-66. 29 90. Benjamin T. B. Solitary and periodic waves of a new kind // Phil. Trans. Roy. Soc. London A. 1996. V. 354, No. 1713. P. 1775-1806. 91. Арсеньев С. А., Вахрушев М. М., Шелковников Н. К. Новый тип уединенных волн на воде // Вестн. МГУ. Сер.3. 1996. № 4. С. 81-87. 92. Zhang D., Chwang A.T. On solitary waves forced by underwater moving objects // J. Fluid Mech. 1999. V.389. P. 119-135. 93. Скотт Э., Чжу Ф., Маклафлин Д. Солитон – новое понятие в прикладных науках // ТИИЭР. 1973. Т. 61, № 10. С. 79-123. 94. Solitons / Edited by R. K. Bullough and P. J. Caudrey. Berlin-Heidelberg-New York: Springer, 1980. Русск. перевод: Солитоны. М.: Мир, 1983. 408 с. 95. Лэм. Дж. Л. Введение в теорию солитонов. М.: Мир, 1983. 294 с. 96. Додд Р., Эйлбек Дж., Гиббон Дж., Моррис Х. Солитоны и нелинейные волновые уравнения. М.: Мир, 1988. 694 с. 97. Grimshaw R. Slowly varying solitary waves. I. Korteweg-de Vties equation. II. Nonlinear Schrödinger equation // Proc. Roy. Soc. London. 1979. V. A368, No. 1734. P. 359-388. 98. Букреев В. И. О корреляции между теоретическими и экспериментальными уединенными волнами // ПМТФ. 1999. Т.40, №3. С. 44-52. 99. Букреев В. И., Гусев А. В. Волны впереди подводного крыла. Эксперимент // Изв. АН. МЖГ. 2001. №4. С. 72-80. 100. de St.Venant B. Theorie du mouvement non permanent des eaux, avec application aux cures rivieres et a l’introduction des marees dans leur lit // Compres Rendus. 1871. V.73. P. 147. 101. Васильев О. Ф., Гладышев М. Т. О расчете прерывных волн в открытых руслах // Изв. АН СССР. МЖГ. 1966. № 6. С. 184-189. 102. Атавин А. А., Гладышев М. Т., Шугрин С. М. О разрывных течениях в открытых руслах // Динамика сплошной среды. Новосибирск: Ин-т гидродинамики СО АН СССР, 1975. Вып. 22. С. 37-64. 30 103. Alcrudo F., Benkhaldon F. Exact solutions to the Rieman problem of shallow water equations with bottom step // Comp. Fluids. 2001. V. 30. P. 643-671. 104. Атавин А. А., Васильев О. Ф. Оценка возможных последствий аварий на судоходном шлюзе, связанных с разрушением затворов его камер // Междувед. симпoз. «Гидравлические и гидрологические аспекты надежности и безопасности гидротехнических сооружений». СПб.: ВНИИГ, 2002. С. 121. 105. Остапенко В. В. Течения, возникающие при разрушении плотины над ступенькой дна // ПМТФ. 2002. Т. 43. № 6. С. 62-74. 106. Остапенко В. В. О разрывных решениях уравнений «мелкой воды» над уступом дна // ПМТФ. 2003. Т. 44. № 6. С. 107-122. 107. Dressler R. F. Comparison of theories and experiments for the hydraulic dambreak wave // Int. Assoc. Sci. Hydrology. 1954. № 38. P. 319-328. 108. Букреев В. И., Гусев А. В., Остапенко В. В. Распад разрыва свободной поверхности над уступом дна канала. Изв. РАН. МЖГ. 2003. № 6. С. 72-82. 109. Букреев В. И., Гусев А. В., Остапенко В. В. Волны в открытом канале, образующиеся при удалении щита перед неровным дном типа шельфа // Водн. ресурсы. 2004. Т. 31, № 5. С. 540-545. 110. Гусев А. В. Глубина над уступом дна канала после распада разрыва уровня свободной поверхности // ПМТФ. 2004. Т. 45, № 6. С. 53-57. 111. Букреев В. И., Гусев А. В., Малышева А. А., Малышева И. А. Экспериментальная проверка газогидравлической аналогии на примере задачи о разрушении плотины // Изв. РАН. МЖГ. 2004. № 5. С. 143-152. 112. Воеводин А. Ф., Шугрин С. М. Численные методы расчета одномерных систем. Новосибирск: Наука, 1981. 208 с. 113. Атавин А. А., Васильев О. Ф., Воеводин А. Ф., Шугрин С. М. Численные методы решения одномерных задач гидравлики // Водн. ресурсы. 1983. № 4. С. 38-47. 114. Васильев О. Ф. Математическое моделирование гидравлических и гидрологических процессов в водоемах и водотоках (обзор работ, выполненных 31 в Сибирском отделении Российской академии наук) // Водн. ресурсы. 1999. Т. 26. № 5. С. 600-611. 115. Беликов В. В., Милитеев А. Н. Двухслойная математическая модель катастрофических паводков // Вычислит. технологии. 1992. Т. 1, № 3. С. 167174. 116. Беликов В. В., Зайцев А. А. Милитеев А. Н. Численное моделирование кинематики потока на участке неразмываемого русла // Водн. ресурсы. 2001. Т. 28, № 6. С. 701-710. 117. Беликов В. В., Зайцев А. А. Милитеев А. Н. Математическое моделирование сложных участков русел крупных рек // Водн. ресурсы. 2002. Т. 29, № 6. С. 698-705. 118. Прокофьев В. А. Современные численные схемы на базе метода контрольного объема для моделирования бурных потоков и волн прорыва // Гидротехн. стр-во. 2002. № 7. С. 22-29. 119. Хакимзянов Г. С., Шокина Н. Ю. Расчет обтекания острова с использованием адаптивных сеток // Вычисл. технологии. 2003. Т. 8, № 2. С. 102-111. 120. Colicchio G., Colagrossi A., Greco M., Landrini M. Free-surface flow after a dam break: a comparative study // Shiffstechnik. 2002. Bd. 49, N 3. P. 95-104. 121. Chan R. K.-C., Street R. L. A computer study of finite amplitude water waves // J. Computer Phys. 1970. V.6. P. 68-94. 122. Hammack J. L., Segur H. The Korteveg–de Vries equation and water waves. Pt 2. Comparison with experiments // J. Fluid Mech. 1974. V. 65. Pt 2. P. 289-314. 123. Marche C., Beauchemin P., El Kaylobi A. Etude numerique et experimentale des ondes secondaires de Favre consecutives à la rupture d`un barrage // Can. J. Civ. Engng. 1995. V. 22, N 4. P. 793-801. 124. Lemos C. M. Higher-order schemes for free surface flows with arbitrary configurations // Intern. J. Numer. Methods Fluids. 1996. V. 23, N6. P. 545-566. 32 125. Барахнин В. Б., Краснощекова Т. В., Потапов И. Н. Отражение волны прорыва от вертикальной стенки. Численное моделирование и эксперимент // ПМТФ. 2001. Т. 42, № 2. С. 96-102. 126. Chen Miao-fu, Zhao Yao-nan. Propagation and breaking of waves on sloping beach // J. Hydrodyn. B. 1993. V. 5, No. 1. P. 1-9. 127. Егиазаров И. В. Неустановившееся движение в нижних бьефах Изв. ВНИИГидротехники. 1937. Т. 21. 128. Nougaro J. Recharshes dans les canaux decouverts // C. r. Acad. sci. 1956. V. 242. No. 16. 129. Мишуев А. В., Сладкевич М. С., Чумаков О. А. Пространственная форма прерывной волны в трапецеидальном канале. Тр. МИСИ. Гидравлические исследования и расчеты трубопроводных систем, каналов и портовых сооружений. М.: МИСИ. 1987. С. 5-14. 130. Букреев В. И. Заплеск воды на вертикальную стенку при распаде разрыва над уступом // ПМТФ. 2003. Т. 44, № 1. С. 71-76. 131. Букреев В. И., Костомаха В. А. Внезапное перекрытие докритического потока в канале // ПМТФ. 2001. Т.42, №1. С. 40-47. 132. Букреев В. И., Гусев А. В. Внезапное перекрытие сверхкритического потока в открытом канале // ПМТФ. 2004. Т. 45, № 4. С. 58-63. 133. Иванов В. А., Коняев К. Б. Бор на термоклине // Изв. АН СССР. Физ. атмосф. океана. 1976. № 4. С. 416-423. 134. Sander J., Hutter K. Evolution of weakly non-linear shallow-water waves generated by moving boundary. ACTA Mechanica 1992. V. 91. P. 119-155. 135. Букреев В. И., Туранов Н. П. Эксперименты с волнами на мелкой воде, генерируемыми движением торцевой стенки бассейна // ПМТФ. 1996. Т.37, № 6. С.44-50. 136. Букреев В. И. О критических скоростях распространения гравитационных волн в однородной и двухслойной жидкостях // Вычислит. технологии. 1997. Т.2, №5. С. 3-11. 33 137. Букреев В. И., Романов Е. М., Туранов Н. П. Обрушение гравитационных волн в окрестности второй критической скорости их распространения // ПМТФ. 1998. Т.39, №2. С. 52-58. 138. Букреев В. И. Обрушение гравитационных волн при движении вертикальной пластины в двухслойной жидкости // ПМТФ. 1998. Т.39, №5. С.11-18. 139. Букреев В. И., Гусев А. В. Волны в канале впереди вертикальной пластины // Изв. АН. МЖГ. 1999. №1. С. 82-90. 140. Букреев В. И. О критических скоростях и глубинах при неравномерном установившемся течении в открытом канале // Водн. ресурсы. 2004. Т. 31, № 1. С. 40-45. 141. Букреев В. И. Ондулярный прыжок при обтекании открытым потоком порога в канале // ПМТФ.2001. Т.42, №4. С.40-47. 142. Букреев В. И. Обтекание порога бурным потоком в открытом канале // ПМТФ. 2002. Т. 43, № 6. С. 54-61. 143. Букреев В. И., Гусев А. В. Волны за ступенькой в открытом канале // ПМТФ. 2003. Т. 44, № 1. С. 62-70. 144. Ляпидевский В. Ю. Уравнения мелкой воды с дисперсией. Гиперболическая модель // ПМТФ. 1998. Т.39. №2. С. 40-46. 145. Ляпидевский В. Ю. Структура турбулентного бора в однородной жидкости // ПМТФ. 1999. Т. 40, № 2. С. 56-58. 146. Ляпидевский В. Ю., Тешуков В. М. Математические модели распространения длинных волн в неоднородной жидкости. Новосибирск: Издво СО РАН, 2000. 420 с. 147. Гусев А. В., Ляпидевский В. Ю. Турбулентный бор в сверхкритическом потоке над неровным дном // Изв. РАН. МЖГ. 2005. № 1. С 62-70. 148. Гаврилов Н. В., Ляпидевский В. Ю. Аномальные режимы течения двухслойной жидкости над препятствием // ПМТФ. 1996. Т.37. № 4. С. 81-88. 34 149. Букреев В. И., Гусев А. В., Ляпидевский В. Ю. Транскритическое течение над порогом в открытом канале // Изв. РАН. МЖГ. 2002. № 6. С. 55-62. 150. Волны цунами. Тр. Сахалинск. комплексн. НИИ ДВЦ АН СССР, вып. 29. Южно-Сахалинск: СахКНИИ ДВЦ АН СССР, 1972. 317 с. 151. Распространение и набегание на берег волн цунами. М.: Наука, 1981. 196 с. 152. Накат цунами на берег: Сб. науч. тр. / АН СССР, Ин-т прикладной физики. Горький: 1985. 215 с. 153. Пелиновский Е. Н. Нелинейная динамика волн цунами / АН СССР, Ин-т прикладной физики. Горький: 1982. 226 с. 154. Марчук Ан. Г., Шокин Ю. И., Чубаров Л. Б. Численное моделирование волн цунами. Новосибирск: Наука, Сиб. отд-ние, 1983. 175 с. 155. Шокин Ю. И., Чубаров Л. Б., Марчук Ан. Г., Симонов К. В. Вычислительный эксперимент в проблемах цунами. Новосибирск: Наука, Сиб. отд-ние, 1989. 163 с. 156. Войт С. С. Обзор работ по теории волн цунами, выполненных в СССР // Изв. АН СССР. Физ. атмосф. океана. 1967. Т. 3, № 11. С. 1158-1165. 157. Voit S. S. Tsunamis // Ann. Rev. Fluid Mech. 1987. V. 19. P. 217-236. 158. Степанянц Ю. А., Фабрикант А. Л. Распространение волн в сдвиговых течениях. М.: Наука-Физматлит, 1996. 240 с. 159. Букреев В. И. О критических условиях по групповой скорости распространения внутренних гравитационных волн // ПМТФ. 2000. Т.41, №4. С. 12-20. 160. Букреев В. И., Гусев А. В., Стурова И. В. Генерация внутренних волн при совместном поступательном и колебательном движении цилиндра в двухслойной жидкости // ПМТФ. 1986. №3. С.63-70. 35