Сбойчаков А.М., Гончарук В.А., Кухаренко Ю.А. Москва, Россия

ОБРАЗОВАНИЕ МАГИСТРАЛЬНОЙ ТРЕЩИНЫ В МИКРОНЕОДНОРОДНОЙ
СРЕДЕ
Сбойчаков А.М., Гончарук В.А., Кухаренко Ю.А.
Москва, Россия
В ряде работ (см., напр., [1]) для описания процесса кластеризации трещин используется
уравнение Смолуховского:


1
n(t , m)   dmA(m  m, m)n(t , m  m)n(t , m) 
t
20

(1)
  dmA(m, m)n(t , m)n(t , m),
0
где n(t , m) – число трещин в единице объема и в единичном интервале размеров,
A(m, m)  A(m, m)  0 - вероятность образования кластера из двух трещин с размерами m и m .
По размерам трещины мы понимаем проекцию ее размера на произвольно заданное направление.
Уравнение Смолуховского строго применимо лишь в термодинамическом пределе, когда
полное число частиц N в объеме V достаточно велико, так что микроскопичекое число трещин
очень велико:

n(t )  N
V
  dmn(t , m)  0.
(2)
0
Несмотря на то, что в процессе объединения кластеров величина n(t ) становится сколь
угодно малой, уравнение Смолуховского формально применяется при любых значениях n(t ) . Такая экстраполяция приводит, однако, к трудностям, которые проще всего проиллюстрировать на
поведении моментов функции распределения n(t , m) :

M k (t )   dmm k n(t , m), k  0,1, 2,...
(3)
0
В частности, n(t ) стремится к 0, M1  const , M 2   при t   (все высшие моменты
также расходятся). Таким образом, стационарное решение n (m) уравнения (1) и концентрация
кластеров (2) равны 0, первый момент сохраняется, а все моменты распределения, начиная со второго, расходятся.
В настоящей работе предложен выход из создавшейся противоречивой ситуации, основанный на обобщении уравнения (1). Вместо уравнения Смолуховского (1) мы будем рассматривать
уравнение


1
n(t , m)   dmA(m  m, m) f12 (t , m  m, m)n(t , m) 
t
20

(4)
  dmA(m, m) f12 (t , m, m),
0
где f12 (t , m, m) - парная корреляционная функция, определенная как среднее число пар
трещин с размерами m и m , и нормированная условием


1

0 dm0 dm f12 (t , m, m)  n(t ) n(t )  V 
(5)
Введем также плотность вероятности 1 (t , m) найти трещину с размером m в момент t в единице объема и плотность вероятности 12 (t , m, m) найти пару трещин с размерами m и m , определенные соотношениями:
n(t , m)  n(t ) 1 (t , m),
1

f12 (t , m, m)  n(t )  n(t )   12 (t , m, m).
V

(6)
Предполагая статистическую независимость распределения трещин по размерам:
12 (t , m, m)  1 (t , m) 2 (t , m),
(7)
получаем

1 
f12 (t , m, m)  n(t , m)n(t , m) 1 
.
 n(t )V 
(8)
В результате уравнение (4) записывается в виде:



1
1 
n(t , m)   dmA(m  m, m) 1 
 n(t , m  m) n(t , m) 
t
20
 n(t )V 


1 
  dmA(m, m) 1 
 n(t , m) n(t , m)
 n(t )V 
0
(9)
Таким образом, обобщение уравнения Смолуховского сводится к перенормировке ядра, обусловленной корреляцией плотностей трещин вследствие учета конечности объема системы.
Существенно, что эта перенормировка сама определяется искомым решением. В термодинамическом пределе V  , n  0 она исчезает, и уравнение (9) переходит в уравнение Смолуховского (1)
В отличие от A(m, m) перенормированное ядро не является положительно определенным
и уравнение (9) имеет ненулевое стационарное решение n (m)  1 , соответствующее макси-
V
мальному кластеру – магистральной трещине. Релаксация к этому решению происходит по экспоненциальному закону, что позволяет ввести не зависящее от спектра n(t , m) - время релаксации.
Продемонстрируем эти свойства уравнения (9) на аналитически решаемых примерах ядер:
A(m, m)  a и A(m, m)  b  m  m , где a , b - положительные константы.
1. A(m, m)  a .
Из (9) находим уравнение для концентрации:
d
a
1

n(t )   n(t )  n(t )  
dt
2
V

(10)
Его решение имеет вид
1
1


n(t )  n0 Vn0  V (n0  ) exp( a t  , n0  n(t  0)
2
V
V


При
a
t
2V
1 , решение (11) переводит в
(11)
n(t )  n0 1  n0 a(t ) 
2 

1
(12)
2V
) концентрация релаксирует по известному
a
2V
) - по экспогиперболическому закону (12), а на последующей флуктуационной стадии (t 
a
1
ненциальному закону (11) к стационарной величине n  , соответствующей магистральной
V
Таким образом, на термодинамической стадии (t 
трещине.
2. A(m, m)  b  m  m  .
Из (9) получаем уравнение для концентрации:
d
1

n(t )  bM 1  n(t )  
dt
V

(13)
Его решение
n(t ) 
1
1
 n0   exp(bM 1t ) (14)
V
V
стремится при t   к стационарному значению n 
1
.
V
Таким образом, предложенное нами обобщенное уравнение Смолуховского описывает не
только термодинамическую стадию релаксации, но и флуктуационную стадию, когда число кластеров мало, и позволяет найти правильное стационарное решение (магистральную трещину) и
характерное время ее образования – время релаксации.
Литература:
1. Zeifman M.I., Ingman D. A percolation model for lifetime variability in polymeric materials under creep conditions // J. App. Phys. 2000, Vol. 88, No. 1, P. 76-87.