Планиметрическая задача

Пла​ни​мет​ри​че​ская задача
Ответами к заданиям являются слово, словосочетание, число или последовательность слов, чисел. Запишите
ответ без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
1
Биссектриса тупого угла А трапеции ABCD пересекает сторону ВС трапеции в точке Т, а продолжение стороны
CD в точке К так, что ABTD — параллелограмм и КС : CD = 2 : 3.
а) Докажите, что АТ
BD.
б) Найдите периметр трапеции ABCD, если её боковая сторона АВ равна 15, а угол В трапеции равен 45°.
2
Биссектриса острого угла А трапеции ABCD пересекает сторону трапеции в точке Т, а продолжение основания
трапеции ВС в точке К так, что ABKD — параллелограмм и TD : ТС = 4.
а) Докажите, что АК
DB.
б) Найдите периметр трапеции ABCD, если её сторона АВ = 8 и ∠B= 120°.
3
В выпуклом пятиугольнике ABCDE диагонали BE и СЕ являются биссектрисами неравных углов при вершинах В
и С соответственно.
а) Докажите, что точка Е есть центр вписанной или вневписанной окружности треугольника ОСВ, где О —
точка пересечения прямых CD и АВ.
б) Найдите площадь пятиугольника ABCDE, если ∠А = 37°, ∠D = 143°, а площадь треугольника ВСЕ равна 13.
4
Прямая пересекает стороны АВ и ВС треугольника АВС в точках М и N соответственно, а продолжение стороны
АС эта прямая пересекает в точке Р.
а) Докажите, что
б) Найдите, в каком отношении точка М делит сторону АВ, если ВС : BN = 7 : 5 и АС : СР = 8 : 3.
5
Радиусы двух окружностей с центрами О1 и О2, касающихся внешним образом в точке А, равны 6 и 3
соответственно. Их общая секущая, проведённая через точку А, пересекает первую окружность в точке В,
вторую — в точке С.
а) Докажите, что
б) Найдите длину касательной, проведённой из точки В ко второй окружности, если дополнительно известно,
что АВ = 4.
6
Радиусы двух окружностей с центрами О1 и О2, касающихся внутренним образом в точке А, равны 5 и 4
соответственно. Их общая секущая, проведённая через точку А, пересекает первую окружность в точке В,
вторую — в точке С.
а) Докажите, что
б) Найдите длину касательной, проведённой из точки В ко второй окружности, если дополнительно известно,
что АВ = 1.
7
В равнобедренную трапецию вписана окружность.
а) Докажите, что диаметр окружности есть среднее пропорциональное между параллельными сторонами.
б) Найдите радиус этой окружности, если площадь трапеции равна 52, а параллельные стороны относятся как 3
: 5.
ID_9769
1/3
neznaika.pro
8
К окружности с центром О проведены три касательные ,две из которых АС и BD-параллельны А и В -точки
касания. Третья касательная пересекает их в точках C и D соответственно, а также касается окружности в точке
F.
а) Докажите ,что произведение отрезков касательных ,отсекаемых третьей касательной на двух параллельных
касательных ,равно квадрату радиуса т.е. AC ∗ BD = AO2
б) Найдите площадь четырехугольника ABCD, если BD=12, ∠BDF=120°
9
В выпуклом четырёхугольнике ABCD на сторонах AD и CD взяты точки М и N, такие, что каждая из прямых СМ
и AN делит ABCD на две фигуры равных площадей.
а) Докажите, что АС параллельно MN.
б) Найдите отношение площадей четырёхугольников ABCD и АВСО, где О — точка пересечения BD и MN.
10
Две окружности с центрами О и О1 радиусы которых 2 и 6, касаются внешним образом, АС — их общая
внешняя касательная.
а) Докажите, что угол СО1О равен 60°, где О1С — радиус, проведённый в точку касания.
б) Найдите периметр фигуры, образованной внешними касательными и внешними дугами окружностей.
ID_9769
2/3
neznaika.pro
Ответы
1
2
22 + 2√13
3
26
4
5
2√6
6
7
8
576√3
9
2:1
10
Обо всех неточностях пишите на почту (с указанием темы и формулировки задания): dasha@neznaika.pro
Источник: http://neznaika.pro/test/math/p/504
ID_9769
3/3
neznaika.pro