Фрактальный анализ курса белорусского рубля

Банкаўскi веснiк, ЧЭРВЕНЬ 2012
çÄìóçõÖ èìÅãàäÄñàà
Фрактальный анализ
курса белорусского рубля*
Ç·‰ËÏË èÖäìç
менной были нормально распределены, однако большинство рыночных курсов акций и валют не подвержены нормальному распределению [2, с. 30].
Подобная ситуация не укладывается в рамки западной традиционной теории рынка капитала, в
основе которой лежит гипотеза эффективного рынка. Суть данной
гипотезы в общем виде заключается в том, что будущие изменения
цен на рынке капиталов не зависят от прошлых. Движение цен подобно броуновскому движению. В
этом плане наиболее распространенной является модель с условной авторегрессионной гетероскедастичностью остатков (ARCH-модель), введенная Р. Энглом в
1982 г. Волатильность в данном
случае оценивается по следующей
формуле:
ÄÒÔË‡ÌÚ 1-„Ó ÍÛÒ‡
˝ÍÓÌÓÏ˘ÂÒÍÓ„Ó Ù‡ÍÛθÚÂÚ‡
ìé “èÓÎÂÒÒÍËÈ
„ÓÒÛ‰‡ÒÚ‚ÂÌÌ˚È ÛÌË‚ÂÒËÚÂÚ”
q
σ 2 = ω +∑αi ×ε2t-i.
Одной из проблем экономет-
(1)
i=1
рического анализа является время. Некоторые эконометрические
модели временных рядов игнорируют его или рассматривают как
переменную наравне с другими переменными модели. “Рынки и экономика при таком подходе не обладают памятью о прошлом или
имеют очень ограниченную память” [1, с. 20]. Отсюда следует,
что любое изменение курса акций
или валют в настоящем независимо от предыдущих изменений. С
этого предположения и начинается стандартный статистический
анализ, который подразумевает,
что процесс, создавший временной
ряд, имеет множество степеней
свободы, а детерминистическое
объяснение данного процесса невозможно. Такой процесс описывается с помощью вероятностей.
Как правило, статистический анализ требует, чтобы значения пере-
Суть данной модели заключается в определении периодов кластеризации волатильности финансовых рынков. Одним из свойств
ARCH-процессов является то, что
их безусловное распределение имеет более высокий пик и “толстые
хвосты”, чем нормальное распределение, что хорошо соответствует
распределению финансовых временных рядов. Однако при применении моделей ARCH к реальным
данным было замечено, что данные модели не дают достаточно
продолжительных кластеров волатильности, а только порождают
большое количество выбросов.
Для корректного описания данных необходима большая величина лага, что, в свою очередь, приводит к частому нарушению условия неотрицательности оценок коэффициентов модели. В связи с
этим необходимо вводить дополни-
тельные параметры, что снижает
привлекательность использования
модели.
Т. Боллерслевом в 1986 г. была
предложена обобщенная модель
ARCH (GARCH-модель), которая
является альтернативной модификацией модели ARCH и позволяет
получить более длительные периоды кластеризации при меньшем
числе параметров. В этом случае
расчет волатильности осуществляется по следующей формуле:
q
i=1
(2)
j=1
На практике модель GARCH,
как правило, дополняют какойлибо другой моделью, которая
описывает поведение условного и
безусловного среднего наблюдаемого временного ряда. Вместе с
тем более простая структура модели ограничивает динамику временного ряда. Как правило, выделяют следующие основные недостатки данной модели:
● применительно к процессам типа GARCH различные определения стационарности не согласованы (строго стационарный
GARCH-процесс не всегда слабо стационарен);
● ограничения области допустимых значений параметров α и β
создают трудности при оценивании GARCH-модели.
Д. Нельсоном в 1991 г. была
предложена экспоненциальная
GARCH-модель, которая имеет
следующий вид:
ξt = NID(0,1),
εt = ξtσt,
p
q
j=1
j=1
lnσt2 = ω +∑δj lnσt-j2 +∑αj g(ξt-j),
g(ξt) = Θξt + γ (|ξt| - E|ξt|).
* Статья отмечена дипломом Национального банка на конкурсе научных работ журнала “Банкаўскi веснiк”.
38
p
σ 2 = ω +∑αi ×ε2t-i +∑βj ×σ 2t-j.
(3)
Банкаўскi веснiк, ЧЭРВЕНЬ 2012
çÄìóçõÖ èìÅãàäÄñàà
В модели EGARCH дисперсия
зависит не только от величины, но
и от знака лагов ξt и εt. Использование модели EGARCH позволяет
ограничиться небольшим набором
значений параметров p и q. Данная
модель также позволяет учесть
“эффект рычага”, когда неожиданное падение цены увеличивает волатильность в большей степени,
чем аналогичный неожиданный
рост цены [3, c. 17].
Как рассмотренные нелинейные модели финансовых временных рядов, так и их различные модификации с определенной степенью точности позволяют спрогнозировать возможное движение цены на финансовых рынках. Преимущество нелинейных моделей
перед линейными заключается в
большем соответствии экспериментальным данным, в то время
как последние более просты в описании.
Сегодня большинство финансовых моделей основано на перечисленных выше математических моделях и их модификациях [4,
с. 226]. Однако в рамках западной
экономической науки начинает
развиваться новая фрактальная
теория рынка капиталов, основу
которой составляет утверждение о
том, что движение цен на рынке
капиталов не независимо, рынки
имеют память. Здоровая экономика и рынки не стремятся к равновесию, они стремятся к развитию
подобно организму, который, чтобы выжить, должен эволюционировать, развиваться и находиться
далеко от равновесия [5, с. 19].
Следовательно, необходимы новые, отличные от стандартного
статистического анализа, методы
изучения фондовых и финансовых
рынков. При этом в данной статье
вовсе не преследуется цель опровергнуть уже существующие эконометрические модели временных
рядов фондовых рынков, скорее —
ознакомить с новым методом их
изучения: фрактальным анализом
финансовых рынков.
Родоначальником теории
фракталов применительно к фондовым и финансовым рынкам является Б. Мандельброт, который и
ввел в употребление термин
“фрактал” в своем труде “Фрактальная геометрия природы”.
Фрактал есть самоподобие, а
фрактальные временные ряды
проявляют самоподобие во време-
ни. Позднее ученый развил свои
идеи применительно к финансовым рынкам, основываясь на идеях британского гидролога Г. Херста. Следует подчеркнуть, что
Б. Мандельброт развивал этот метод анализа, основываясь на данных западных фондовых и финансовых рынков, которые отличаются от белорусского валютного рынка механизмом свободного ценообразования на акции и валюту на
основе соответствия между спросом и предложением. В последнее
время Национальный банк Республики Беларусь предпринял ряд
мер в данном направлении в политике образования обменного курса
белорусского рубля по отношению
к другим валютам, что, в свою
очередь, является неплохой предпосылкой для изучения и проведения фрактального анализа.
Как уже отмечалось, предпосылкой развития фрактального
анализа послужил труд Г. Херста
“Долговременное накопление: экспериментальное исследование”, в
котором он подробно описал открытый им метод нормированного
размаха (R/S-метод), который и
положен в основу фрактального
анализа финансовых рынков.
Г. Херст разработал данный метод
во время работы над проектом по
строительству плотины Нила.
Стандартный статистический анализ данных о разливах Нила не
выявил значимых взаимосвязей
между наблюдениями, поэтому
Г. Херст решил проверить разливы Нила на случайность, основываясь на работе А. Эйнштейна о
броуновском движении. Согласно
данному исследованию расстояние, которое проходит случайная
частица, увеличивается пропорционально квадратному корню из
времени, используемому для его
измерения [2, с. 63]:
R = T0,5,
(4)
где R — пройденное расстояние;
Т — показатель времени.
Таким образом, размах между
самым высоким разливом Нила и
самым низким должен возрастать
пропорционально квадратному
корню из времени. Но в действительности такой размах увеличивался быстрее. Следовательно,
разливы Нила не случайны.
Г. Херста заинтересовала данная ситуация, и он решил исследо-
вать другие подобные явления
природы. Для их сравнения ученый нормировал размах путем деления на стандартное отклонение.
Нормирование позволило Г. Херсту не только сравнить различные
явления, но и периоды времени,
которые разделяют годы. В частности, нормирование свело к минимуму проблему инфляции, затрудняющей сравнение цен на
рынках капитала при анализе длительных периодов времени [2,
с. 65]. Это и является одним из
главных достоинств фрактального
анализа финансовых временных
рядов — возможность сравнивать
данные, которые могут быть разделены значительными промежутками времени, причем нет необходимости вводить дополнительные параметры в эконометрические модели, что упрощает математическое
описание. Вместе с тем фрактальный анализ имеет и ряд недостатков, которые будут еще рассмотрены в этой статье.
По результатам исследования
Г. Херст вывел более общую формулу:
(R/S)n = c × nН,
(5)
где R/S — нормированный размах;
c — константа;
n — показатель времени;
Н — показатель Г. Херста.
Таким образом, значение R/S
изменяет масштаб по мере увеличения показателя времени согласно значению степенной зависимости H.
Прологарифмировав обе части
уравнения 5, получим:
Log((R/S)n) =
= Log(c) + H × Log(n).
(6)
Отсюда значение Н можно определить посредством регрессии
методом наименьших квадратов.
Применив данный метод к исследованию финансовых рынков,
Б. Мандельброт определил, что
для большинства акций и курсов
валют значение показателя Н значительно отличается от 0,5. Заменив степенной показатель Н = 0,5
для любой случайной величины
X(t) на любое действительное число из интервала 0 < H < 1, Б. Мандельброт ввел понятие “обобщенное броуновское движение”. Таким
образом, ученый показал, что дви-
39
Банкаўскi веснiк, ЧЭРВЕНЬ 2012
çÄìóçõÖ èìÅãàäÄñàà
жение цены может описываться
при помощи броуновского движения, но при этом для функции цены, соответствующей нормальному распределению, показатель
Н = 0,5, а для функции цены, распределение которой имеет высокий пик и “толстые хвосты”, Н не
равен 0,5 и находится в пределах
от 0 до 1. Значение данного показателя также позволяет судить о
наличии у цены свойства персистентности (сохранения тенденции)
либо антиперсистентности.
Собственно, это и является одной из задач фрактального анализа. Процессы, для которых
Н > 0,5, характеризуются свойством персистентности. Для таких
процессов тенденция к увеличению в прошлом означает тенденцию к увеличению в будущем, и
это справедливо для произвольно
больших значений времени. И наоборот, тенденция к уменьшению
в прошлом означает продолжение
уменьшения в будущем. Процессы, когда Н < 0,5, характеризуются свойством антиперсистентности. В этом случае рост в прошлом
означает уменьшение в будущем, а
тенденция к уменьшению в прошлом делает вероятным увеличение в будущем. Процессы, для которых Н = 0,5, являются случайными [7, с. 182].
Э. Петерс в своих работах [1, 2]
показал разницу между нормальным распределением и распределением курсов акций и валют, для
которого характерен более высокий пик в среднем значении и более “толстые хвосты”. Данная ситуация характерна также и для
ежедневного обменного курса доллар США/белорусский рубль (рисунок 1).
Согласно Э. Петерсу, такое распределение свидетельствует о процессах с долговременной памятью,
однако данное предположение еще
следует подтвердить, определив
значение показателя Г. Херста для
данного временного ряда.
Методика фрактального анализа состоит из следующих шагов.
1. Временной ряд наблюдений
длины М преобразуется во временной ряд длины N = М - 1 из логарифмических отношений:
Ni = Log(
Мi+1
),
Мi
где i = 1, 2, ...,(М- 1).
(7)
2. Временной ряд N делится на
А смежных подпериодов длины n,
так что: А ×n = N. Каждый из подпериодов отмечается как Ia (где
а = 1, 2, ..., А). Каждый элемент Ia
отмечается как Nk (где k =
= 1, 2, ..., n). Далее для каждого
èÓˆÂÌÚ Ì‡·Î˛‰ÂÌËÈ
Распределение ежедневного обменного курса
доллар США/белорусский рубль
64
59
55
50
45
41
36
32
27
23
18
14
9
5
0
É‡ÙËÍ ÌÓχθÌÓ„Ó
‡ÒÔ‰ÂÎÂÌËfl
-1000
0
1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10 000
êÛ·ÎÂÈ
Примечание. Разработка автора на основе данных источника —
официальный сайт Национального банка Республики Беларусь:
http://www.nbrb.by/
êËÒÛÌÓÍ 1
40
подпериода Iа длины n определяется среднее значение еа:
еа =
1 n
×∑N .
n k=1 k,a
(8)
3. Определяется временной ряд
накопленных отклонений Хk,a от
среднего значения для каждого Ia:
k
Хk,а = ∑(Ni,a - еа).
(9)
i=1
4. Диапазон RIa определяется
как разница между максимальным и минимальным значениями
в пределах каждого подпериода Ia:
RIa = max(Хk,а) - min(Хk,а).
(10)
5. Для каждого подпериода Ia
определяется выборочное стандартное отклонение SIa:
SIa =
1 n
×∑(N - е )2.
n k=1 k,a а
(11)
6. Каждый диапазон RIa нормализуется путем деления на соответствующее стандартное отклонение
SIa, поэтому нормированный размах каждого подпериода Ia равен
RIa/SIa. Затем среднее значение R/S
для длины n определяется как:
(R/S)n =
1 A
×∑(R /S ).
A a=1 Ia Ia
(12)
7. Длина n увеличивается до
следующего более высокого значения так, чтобы (М - 1)/n являлось
целочисленным значением. Затем
шаги 2—6 повторяются. Такая
процедура повторяется до
n = (М - 1)/2 [2, с. 70].
Перед тем как проводить анализ, необходимо отметить несколько нюансов, которые достаточно важны и могут повлиять на
его результаты. Так, Е. Федер отмечает, что показатель Г. Херста
можно оценить точно, анализируя
хорошо определенные наборы данных, состоящие примерно из 2500
измерений. Э. Петерс рекомендует
разбивать временной ряд, начиная
с длины подпериодов n ≥ 10, а также количество самих подпериодов
A должно быть не меньше 5. При
этом временной ряд следует подбирать таким образом, чтобы получить максимальное количество
значений R/S. Для этого лучше
использовать такой временной
ряд, для которого после его преобразования, в соответствии с первым шагом, найдется наибольшее
число подпериодов А = N/n, где
n = 10, 11, 12, ..., N/2.
Банкаўскi веснiк, ЧЭРВЕНЬ 2012
çÄìóçõÖ èìÅãàäÄñàà
Для проведения фрактального
анализа белорусского рубля использовался временной ряд, состоящий из значений ежедневного обменного курса доллар США/белорусский рубль с 1 января 2000 г.
по 18 января 2012 г. Данный ряд
состоит из 4401 наблюдения.
Таким образом, после преобразования ряда в соответствии с шагом 1 проведения фрактального
анализа количество наблюдений
уменьшится до 4400. Для данного
значения можно подобрать наибольшее количество подпериодов
А согласно равенству А = N/n, где
n = 10, 11, 12, ..., N/2. Однако на
протяжении 2006 и 2007 гг. имелись значительные периоды времени, когда курс доллар США/белорусский рубль оставался постоянным. Следовательно, для n < 80
будут присутствовать такие подпериоды А, для которых RIa и SIa будут равны 0, что не позволит провести анализ должным образом.
По этой причине преобразованный
временной ряд следует разбивать
на подпериоды А начиная с
n = 80. В таблице 1 представлены
данные относительно длины подпериодов А и их количества на
каждом этапе анализа.
Таким образом, анализ осуществляется в одиннадцать этапов, и
на каждом из них получаем значе-
ние R/S, соответствующее показателю времени n.
Прологарифмировав значения
R/S и n, получим результаты,
представленные в таблице 2.
Применив регрессию к
Log(R/S) как зависимой переменной и к Log(n) как независимой переменной и использовав уравнение
6, определим значение показателя
Г. Херста для ежедневного обменного курса доллар США/белорусский рубль (результаты представлены на рисунке 2).
Таким образом, при помощи
фрактального анализа определено
значение показателя Г. Херста для
ежедневного курса доллар
США/белорусский рубль, которое
составляет 0,84. Данное значение
превышает 0,5, что свидетельствует о персистентности данного временного ряда. Иными словами,
тенденции, наблюдавшиеся на
протяжении прошлого десятилетия, сохранятся и в будущем.
Определив направление изменения курса, можно установить и
퇷Îˈ‡ 2
Поэтапные результаты
фрактального анализа ежедневного обменного курса
доллар США/белорусский рубль
ùÚ‡Ô
á̇˜ÂÌË R/S
á̇˜ÂÌË n
Log(R/S)
Log(n)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
11,7852
12,5854
13,8409
14,8764
20,4254
22,2297
23,8197
28,2767
44,4508
46,6793
64,5077
80
88
100
110
176
200
220
275
400
440
550
1,0713
1,0999
1,1412
1,1725
1,3102
1,3469
1,3769
1,4514
1,6479
1,6691
1,8096
1,9031
1,9445
2,0000
2,0414
2,2455
2,3010
2,3424
2,4393
2,6021
2,6435
2,7404
Примечание. Разработка автора.
퇷Îˈ‡ 1
Этапы
фрактального анализа
ежедневного обменного курса
доллар США/белорусский рубль
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
ÑÎË̇
ÔÓ‰ÔÂËÓ‰‡
(n)
äÓ΢ÂÒÚ‚Ó
ÔÓ‰ÔÂËÓ‰Ó‚
(Ä)
80
88
100
110
176
200
220
275
400
440
550
55
50
44
40
25
22
20
16
11
10
8
Примечание. Разработка автора.
(январь 2000 г. — январь 2012 г.)
1,9
1,8
1,7
ãËÌÂÈ̇fl ‡ÔÔÓÍÒËχˆËfl
1,6
Log(R/S)
ùÚ‡Ô
Результаты фрактального анализа
ежедневного курса доллар США/белорусский рубль
1,5
1,4
1,3
1,2
1,1
1,0
1,8
1,9
2,0
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
Log(n)
Примечание. Разработка автора.
êËÒÛÌÓÍ 2
41
Банкаўскi веснiк, ЧЭРВЕНЬ 2012
çÄìóçõÖ èìÅãàäÄñàà
пределы данного изменения. Для
этого вернемся к уравнению 4, которое применяется в финансовой
экономике для того, чтобы пересчитать волатильность или стандартное отклонение на год [2,
c. 63]. Но указанное соотношение
верно для случайных значений, а
как определили мы, временной
ряд курса доллар США/белорусский рубль обладает свойством
долговременной памяти, увеличение курса в прошлом приводит к
более вероятному его росту в будущем.
Следовательно, уравнение 4
для данного временного ряда можно записать в виде:
R/S = T0,84,
(13)
где R — диапазон изменения курса;
S — стандартное отклонение
курса;
T — прогнозируемый период
времени.
Для того чтобы воспользоваться данной формулой, необходимо
стандартное отклонение ежемесячного обменного курса доллар
США/белорусский рубль умножить на двенадцать в степени
Н=0,84. Однако валютный кризис
2011 г. не позволяет использовать
данные о ежемесячном обменном
курсе, так как это приведет к искажению результатов. Поэтому
для расчета стандартного отклонения использовались данные о еженедельном обменном курсе с 30 октября 2011 г. по 14 января
2012 г., когда значение курса несколько стабилизировалось. Рас-
считанное стандартное отклонение
составило 152.
Зная стандартное отклонение
еженедельного курса, воспользуемся уравнением 13 для определения величины диапазона изменения курса в 2012 г. (то есть за 52
недели):
R = 152 × 52
0,84
≈ 4200.
(14)
Учитывая средний уровень
курса за период с 30 октября
2011 г. по 14 января 2012 г. (8560
бел. руб. за 1 доллар США), определим максимальное значение
курса в 2012 г. — 12 760 бел. руб.
за 1 доллар США.
Таким образом, динамика обменного курса доллар США/белорусский рубль в 2012 г. будет находиться в названных пределах.
При этом максимальное значение
курса не превысит 12 760 бел. руб.
за 1 доллар США.
В заключение следует сказать о
тесте фрактального анализа, который основывается на исторических данных. При этом необходимо
отметить, что при определении величины изменения обменного курса в 2011 г. можно основываться
уже на ежемесячных данных. Но
поскольку при прогнозировании
динамики курса на 2012 г. мы исходили из еженедельных данных,
воспользуемся ими и в этом случае. Так, при помощи проведенного анализа было спрогнозировано
максимальное значение обменного
курса на 2011 г., которое составило 4270 бел. руб. за 1 доллар
США. Данное значение было превышено лишь 24 мая 2011 г., ког-
да в Республике Беларусь начали
проявляться последствия валютного кризиса. Такая ситуация не
позволила оценить возможность
прогноза обменного курса, вследствие чего результаты фрактального анализа были применены для
прогноза значения курса доллар
США/белорусский рубль в 2010 г.
Прогнозное значение курса, равное 4630 бел. руб., так и не было
превышено. Максимальное значение курса доллар США/белорусский рубль в 2010 г. составило
3040 бел. руб., что на 1590 бел.
руб. ниже прогнозируемого, что
является довольно значительным
превышением. Однако при прогнозировании использовалась наиболее общая формула, степень точности которой может быть повышена
при помощи более сложных фрактальных моделей с учетом особенностей функционирования белорусского валютного рынка. Что
касается показателя Г. Херста, его
значение в обоих случаях составило 0,86.
Таким образом, фрактальный
анализ временного ряда курса доллар США/белорусский рубль подтвердил, что данный ряд обладает
свойством долговременной памяти, и позволил определить границы изменения обменного курса на
протяжении 2012 г. Кроме того,
применение фрактального анализа
не ограничивается лишь определением показателя Г. Херста.
***
Материал поступил 23.02.2012.
Источники:
1. Петерс, Э. Хаос и порядок на рынках капитала. Новый аналитический взгляд на циклы, цены и изменчивость рынка: Пер. с англ. — М.:
Мир, 2000. — 333 с.
2. Петерс, Э. Фрактальный анализ финансовых рынков: Применение теории хаоса в инвестициях и экономике. — М.: Интернет-трейдинг, 2004. — 304 с.
3. Росси, Э. Одномерные GARCH-модели: обзор //Квантиль, 2010, № 8. — С. 1—67.
4. Мандельброт, Б. (Не)послушные рынки: фрактальная революция в финансах / Б. Мандельброт, Р. Л. Хадсон: Пер. с англ. — М.: Издательский дом “Вильямс”, 2006. — 400 с.
5. Алмазов, А. Фрактальная теория: Как поменять взгляд на финансовые рынки. — М.: Admiral Markets, 2006. — 209 с.
6. Мандельброт, Б. Фрактальная геометрия природы. — Москва: Институт компьютерных исследований, 2002. — 656 с.
7. Федер, Е. Фракталы: Пер. с англ. — М.: Мир, 1991. — 254 с.
42