Квантовая механика: гармония, на которой держится мир
advertisement
Департамент образования города Москвы Некоммерческая организация «Ассоциация московских вузов» Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Московский государственный институт электронной техники (технический университет) Полное название вуза Научно-образовательный материал Мультимедийные научно-образовательные занятия «Квантовая механика. Гармония, на которой держится мир» Москва 2009 г. 1 Лекция 1. Три кита, на которых держится мир квантовых явлений Согласно Антону Цайлингеру [1–3], авторитетному специалисту в области квантовой физики, можно выделить три основных методологических принципа, лежащих в основе квантовой теории. Это объективная случайность (objective randomness), принцип дополнительности Нильса Бора (complementarity principle) и явление квантовой запутанности (entanglement). Современное изложение рассматриваемых принципов призвано развить и дополнить традиционную копенгагенскую инте рпретацию квантовой механики, данную Бором и Гейзенбергом в 1927 году, с учётом новейших достижений в области теории квантовой информации [4–7]. Согласно Копенгагенской интерпретации, состояние физической системы, задаваемое волновой функцией или матрицей плотности, есть «полный каталог знаний» (a complete catalogue of knowledge), позволяющий правильно рассчитать вероятности исходов любых будущих измерений. Таким образом, статистический аспект квантовой теории оказывается в самой её сердцевине. Индивидуальные результаты наблюдений должны быть объективно случайными. Квантовые случайные события происходят самопроизвольно, т.е. не определяются какими- либо явными или скрытыми причинами, в отличие от классических случайных событий, которые связаны с субъективными случайностями. Действительно, результаты классических испытаний, таких как бросание монеты или игральной кости, только выглядят как случайные из-за нашего незнания точных начальных условий (заметим попутно, что для того, кто оснащён измерительной аппаратурой, скоростной видеосёмкой и т.п., ничего случайного в рассматриваемых явлениях нет; такой наблюдатель вполне может предсказать результат испытания «на лету» и даже может управлять этим результатом, вовремя подхватив, например, брошенную монету). Отдельные свойства квантовой статистической системы могут быть взаимнодополнительными. Это означает, что случайные испытания какого-либо отдельного типа дают только часть информации, содержащейся в «полном каталоге знаний». Весь «каталог», определяемый вектором состояния или матрицей плотности квантовой системы, может быть изучен только посредством совокупности различных взаимно-дополнительных 2 испытаний. Примеры таких взаимно-дополнительных испытаний дают измерения координаты и импульса микрочастицы, связанные известным соотношением неопределенности Гейзенберга, измерения проекций спина на различные направления в пространстве и т.п. Взаимно-дополнительные измерения отвечают некоммутирующим наблюдаемым, поэтому, в известном смысле, исключают друг друга, поскольку не существует такого квантового состояния, в котором эти наблюдаемые имели бы одновременно определенные значения. Измерение одной из таких наблюдаемых приводит к изменению (редукции) квантового состояния подвергшегося измерению представителя квантового статистического ансамбля. В силу редукции состояния, однажды измеренный представитель квантового статистического ансамбля оказывается бесполезным для измерения другой наблюдаемой, не коммутирующей с первой. Таким образом, для восстановления квантового состояния нам необходимо приготовить большое числе представителей, которые подвергались бы различным взаимно- дополнительным квантовым измерениям. Такая процедура называется квантовой томографией. Чем большее число представителей подвергнется различным взаимно- дополнительным измерениям, тем больше информации будет получено о квантовой системе и тем точнее будет восстановлен «полный каталог знаний» Третье по счёту, но не по важности, фундаментальное свойство квантовых систем — это запутанность. Квантовые объекты, образуя систему, могут терять свои индивидуальные свойства, преобретая определённые совместные характеристики. Так, состояние регистра из нескольких квантовых битов (кубитов) не сводится к совокупности состояний отдельных кубитов. В квантовом состоянии системы, состоящей из нескольких запутанных подсистем, невозможно точно определить состояния отдельных частей. Это контрастирует с ситуацией в классической статистической механике, где состояние всей системы задается просто состояниями отдельных частиц посредством их координат и импульсов. Оказывается, что явление квантовой запутанности приводит к колосальному росту числа возможных состояний физической системы и является основным ресурсом квантовых информационных технологий. Вместе с тем явление запутанности приводит к некоторым любопытным парадоксам при переходе от субатомных систем к макроскопическим. Самым известным из них является мысленный эксперимент над котом Шредингера. Суть эксперимента заключается в следующем. В закрытый ящик помещён кот (см. рисунок 1). В ящике имеется механизм, 3 содержащий радиоактивное ядро и ёмкость с ядовитым газом. Параметры эксперимента подобраны так, что вероятность того, что ядро распадётся за 1 час, составляет 50 %. Если ядро распадается, оно приводит механизм в действие, он открывает ёмкость с газом, и кот умирает. Согласно квантовой механике, если над ядром не производится наблюдения, то его состояние описывается суперпозицией (смешением) двух состояний — распавшегося ядра и нераспавшегося ядра, следовательно, кот, сидящий в ящике, и жив, и мёртв одновременно. Если же ящик открыть, то экспериментатор обязан увидеть только какоенибудь одно конкретное состояние — «ядро распалось, кот мёртв» или «ядро не распалось, кот жив». Рисунок 1. Есть-ли жизнь в коробке? Вопрос стоит так: когда система перестаёт существовать как смешение двух состояний и выбирает одно конкретное? Цель эксперимента — показать, что квантовая механика неполна без некоторых правил, которые указывают, при каких условиях происходит коллапс волновой функции и кот либо становится мёртвым, либо остаётся живым, но перестаёт быть смешением того и другого. Вопреки расхожим представлениям, сам Шрёдингер придумал этот опыт вовсе не потому, что он верил, будто «мёртвоживые» коты существуют; наоборот, он считал квантовую механику неполной и не до конца описывающей реальность в данном случае. Поскольку ясно, что кот обязательно должен быть либо живым, либо мёртвым (не 4 существует состояния, промежуточного между жизнью и смертью), то означает, что это верно и для атомного ядра. Оно обязано быть либо распавшимся, либо нераспавшимся. Вспомогательная литература для самостоятельной работы 1. Zeilinger A. The message of the quantum // Nature. 2005.08 December. V.438. P. 743. 2. Zeilinger A. A Foundational Principle for Quantum Mechanics// Foundations of Physics. 1999. V.29. N4. P. 631-643. 3. Kofler J., Zeilinger A. The Information Interpretation of Quantum Mechanics and the Schrödinger Cat Paradox // Article in Sciences et Avenir Hors -Série. Le paradoxe du chat de Schrödinger. No. 148. October/November 2006. 4. Валиев К.А., Кокин А.А. Квантовые компьютеры: надежда и реальность. Ижевск. РХД. 2001. 352с. 5. Нильсен М, Чанг И. Квантовые вычисления и квантовая информация: Пер. с англ. под ред. М.Н. Вялого и П.М. Островского с предисловием К.А. Валиева. М. Мир. 2006. 824 с. 6. Холево А.С. Введение в квантовую теорию информации. М. МЦНМО. 2002. 128с. 7. Физика квантовой информации. Квантовая криптография. Квантовая телепортация. Квантовые вычисления // Под. ред. Д.Боумейстера, А.Экерта, А.Цайлингера; Пер. с англ. под ред. С.П.Кулика и Т.А.Шмаонова. М. Постмаркет. 2002. 376с. 8. Гейзенберг В. Физика и философия. М.: Наука, 1989. Лекция 2. Объективная случайность Простейший и одновременно фундаментальный объект квантовой теории - это спиновое состояние частицы со спином ½ (например, электрона). Измерение спина может быть выполнено в эксперименте типа Штерна-Герлаха. Заметим, что оригинальный эксперимент рассчитан не на измерение спина свободных электронов, а на измерение спинов атомов. Первоначально в эксперименте Штерна-Герлаха измерялись атомы серебра, которые также имеют спин ½, связанный с нескомпенсированным спином электрона на внешней электронной оболочке. Спин ½ может быть измерен в любом 5 направлении и всегда результатом будет только одно из двух возможных значений, а именно вдоль выбранного направления и против («спин вверх» или «спин вниз» соответственно). В результате измерения, исходный пучок частиц расщепляется на две компоненты, отклоняющиеся в противоположных направлениях. Если пучок, отвечающий одной из компонент, снова подвергнуть измерению, то он не расщепляется при измерении в том же направлении; если провести измерение в некотором другом направлении, то пучок снова расщепится, что отвечает случайному результату («спин вверх» или «спин вниз»). Отклонения «вверх» и «вниз» будут равновероятны при измерении вдоль направления, ортогонального к первоначальному (в этом случае частица полностью «забывает» об исходном направлении спина). Измерения вдоль различных направлений являются взаимно-дополнительными. Рисунок 2. Эксперимент Штерна-Герлаха Пусть последовательно измеряются наблюдаемые z и x, задаваемые соответствующими матрицами Паули и связанные с проекциями момента импульса частицы на оси z и x соответственно. После первого измерения, отберем частицы, отклонившиеся в установке Штерна- Герлаха вверх (что соответствует z 1 ). Далее, отобранный пучок частиц с z 1 подвергнем измерению наблюдаемой x (с помощью магнита Штерна – Герлаха, ориентированного вдоль x ). Выделим теперь пучок с x 1 . Находясь на позициях классической математической статистики, мы должны были бы быть уверены, что в результате двух измерений мы отобрали пучок, в котором 6 одновременно z 1 и x 1 . Эксперимент опровергает такой вывод. После второго измерения, когда был отобран пучок с x 1 , оказывается, что, если снова измерить z , то половина частиц приобретает значение z 1 , хотя исходно в пучке присутствовали только частицы с z 1 . Таким образом, второе измерение разрушает результаты первого. Чтобы лучше понять удивительное своеобразие квантовых явлений, представим себе следующий классический эксперимент. Имеется поток геометрических тел из детского конструктора, которые отличаются формой (шарики и кубики), а также цветом (зелёные и красные). Используем два сепаратора на лазерных датчиках, первый из которых разделяет тела по форме, а второй — по цвету. На выходе первого сепаратора выделим шарики, которые направим на второй сепаратор, на выходе которого выделим только тела зелёного цвета. В результате рассматриваемых двух селекций мы получим, очевидно, поток зелёных шариков. Каково же будет наше удивление, если, направив поток зелёных шариков снова на сепаратор по форме, мы обнаружим, что половина из шариков превратилась в кубики? Но именно такого рода явления и происходят с микрочастицами. Дело здесь в том, что макроскопические наблюдаемые (форма и цвет) вполне совместимы между собой (могут быть одновременно приписаны одному и тому же объекту). А вот относительно проекций спина на оси x и z этого сказать никак нельзя (определённое значение наблюдаемой x исключает однозначное определение наблюдаемой z и наоборот). По меткому замечанию фон Неймана, атомные явления лежат на краю (на границе) физического мира ([5], с. 228). Современная квантовая информатика уточняет, что крайние (граничные) свойства квантовых явлений следует понимать в смысле информационного квантовыми ресурса, состояниями ограниченности связанного с микрообъектов. Другими словами, у кубита весьма «короткая память», поскольку с ним может быть связан только один бит информации (только одно ДА или НЕТ). Вот почему, при измерении на ось x , электрон «забывает» какой ответ он давал ранее при Рисунок 3. Джон фон Нейман 7 измерении на ось z . Если бы спин ½ обладал большей памятью, то в его состояние можно было бы записать не один бит информации, а, скажем, весь роман «Война и мир» Льва Толстого. Тот факт, что информационный ресурс физических систем может быть ограничен, довольно трудно воспринимать психологически, поскольку мы привыкли жить в мире макроскопических объектов, обладающих практически неограниченным информационным ресурсом. Такого рода представления о неограниченном информационном многообразии в шуточной форме описаны в отрывке из стихотворения «Рапсодия» Джонотана Свифта, дополненном математиком Августом де Морганом Блох больших Блошек И нет кусают тех - блошки, малютки-крошки, конца тем паразитам, Как говорят, ad infinitum1. Блоха большая, Кусает ту, в на свой ком черёд, живёт, Та – блох потолще, шире в талии, И нет конца им, и так далее... Развитие квантовой механики показало, что подобного рода «дурной бесконечности» в Природе не существует, поскольку элементарные структурные «кирпичики», представленные микроскопическими квантовыми объектами, обладают ограниченным информационным ресурсом. Подобные ограничения, однако, являются благом, посколько обеспечивают существование и устойчивость систем организованной сложности. Именно благодаря своему ограниченному информационному ресурсу, соответствующие объекты оказываются естественным образом стандартизованы самой Природой. Легко, например, представить себе, что современные механизмы и машины были бы невозможны, если бы в сборочном цехе шестерёнки, болты, гайки и др. детали не были бы стандартизованы, а изготавливались бы по произволу механика. Подобным же образом, в классической механике атом оказывается нестандартизованым, число 1 ad infinitum – до бесконечности (лат.) 8 возможных траекторий для электронов оказывается практически неограниченным и такого рода атомы оказываются неспособными к проявлению простых регулярных свойств при взаимодействии с электромагнитным полем и между собой. Напротив, квантование атомных состояний и электромагнитного поля делает такого рода объекты информационно определёнными и согласованными между собой, что и даёт возможность для возникновения сложноорганизованных гармоничных структур. Спиновое состояние вдоль любого направления всегда можно рассматривать как суперпозицию состояний «спин вверх» и «спин вниз» вдоль любого другого выбранного направления (чаще всего выбирают направление z ). с0 0 с1 1 (1) Для определённости, можно положить, например, 0 , 1 (состоянию «ноль» отвечает спин «вверх», а состоянию «единица» - спин «вниз»). Комплексные числа с0 и с1 задают амплитуды вероятностей соответствующих состояний, тогда с0 2 — 2 вероятность состояния «ноль», а с1 — вероятность состояния «единица». Выражение (1) описывает когерентную суперпозицию базисных состояний. Когерентную суперпозицию следует отличать от некогерентной смеси. Например, при измерениях на ось z , когерентное состояние включающая 50% состояний 0 1 0 1 и смесь состояний, 2 и 50% состояний 1 , ведут себя одинаково. Однако, при измерении на ось x , в первом (когерентном) случае, все частицы отклонятся в положительном направлении (все наблюдения отвечают x 1 ), а во втором (некогерентном) случае пучок снова будет расщепляться на две равновероятные комноненты (наблюдения x 1 и x 1 вероятностями). 9 будут представлены с равными Рисунок 4. Сфера Блоха, описывающая все возможные состояния кубита. Удобное представление для состояний спина-кубита можно получить на сфере Блоха, которая определяется посредством сферических углов и cos exp i 2 2 sin exp i 2 2 (2) Любой точке на сфере Блоха соответствует некоторое квантовое состояние кубита и наоборот — любому (чистому) квантовому состоянию кубита можно сопоставить некоторую точку на сфере Блоха. В роли кубита могут выступать самые разные физические системы. Кроме спина, можно назвать поляризационные состояния фотона, состояния двухуровневого атома, состояния квантовых точек в твёрдом теле, зарядовые и потоковые состояния сверхпроводниковых структур и т.д. Замечательно, что математически описание любого кубита, независимо от его физической природы, сводится к заданию квантового состояния частицы со спином ½. Вспомогательная литература для самостоятельной работы 1. Валиев К.А., Кокин А.А. Квантовые компьютеры: надежда и реальность. Ижевск. РХД. 2001. 352с. 10 2. Нильсен М, Чанг И. Квантовые вычисления и квантовая информация: Пер. с англ. под ред. М.Н. Вялого и П.М. Островского с предисловием К.А. Валиева. М. Мир. 2006. 824 с. 3. Холево А.С. Введение в квантовую теорию информации. М. МЦНМО. 2002. 128с. 4. Физика квантовой информации. Квантовая криптография. Квантовая телепортация. Квантовые вычисления // Под. ред. Д.Боумейстера, А.Экерта, А.Цайлингера; Пер. с англ. под ред. С.П.Кулика и Т.А.Шмаонова. М. Постмаркет. 2002. 376с. 5. Von Neumann J. Mathematische Grudlagen der Quantenmechanik. Berlin. Springer. 1932. См. перевод Фон Нейман И. Математические основы квантовой механики. М. Наука. 1964. 368с. Лекция 3. Принцип дополнительности Исторически, своеобразие квантовой механики проявилось в трудностях, с которыми встретилась теория в попытках непротиворечивого описания квантовых явлений. На заре развития квантовой механики казалось, что различные квантовые процессы (например, корпускулярные и волновые), в которых могут участвовать частицы вещества и свет, не допускают единого непротиворечивого описания. Правильный подход к решению проблемы был найден Н. Бором в рамках выдвинутой им концепции дополнительности [4]. Согласно принципу дополнительности Н. Бора «данные, получаемые при разных условиях опыта, не могут быть охвачены однойединственной картиной; эти данные должны скорее рассматриваться как дополнительные в том смысле, что только совокупность разных явлений может дать более полное представление о свойствах объекта» [5]. Со статистической точки зрения, согласно принципу дополнительности, для того, чтобы экспериментальное изучение квантового ансамбля было полным, необходимо, чтобы данные, полученные при изучении ансамбля, например, в координатном пространстве, были дополнены изучением того же квантового ансамбля в канонически сопряженном (импульсном) пространстве (аналогично, при измерениях спинаРисунок 11 5. Инь и янь – принцип дополнительности по версии древних китайцев кубита измерения на ось z должны быть дополнены, например, измерениями на оси x и y ). Важно, что такого рода измерения не могут быть реализованы одновременно в одной и той же экспериментальной установке (т.е. являются взаимно- дополнительными). Принцип дополнительности приводит к нарушению известной аксиомы о составных случайных величинах классической теории вероятностей [6]. Следуя Г. Крамеру [7] можно сформулировать эту аксиому в виде: «Если 1 ,..., n случайные соответственно величины k1 ,..., k n , — размерностей то каждая составная величина 1 ,..., n также является случайной величиной (размерности k1 ... k n )». Указанная аксиома, однако, не выполняется в квантовой механике, поскольку объект, составленный из взаимно дополнительных случайных величин, не является случайной величиной, уже а соответствует более общему понятию квантового состояния. Квантовое состояние можно рассматривать как естественное обобщение понятия статистического распределения. Согласно сказанному выше, квантовое состояние не может быть сведено к одномуединственному статистическому распределению, а описывает одновременно совокупность различных взаимно- дополнительных распределений. Свидетельство Г. Крамера, одного из самых авторитетных специалистов по математической статистике, является важным. В своем изложении Крамер никак не опирался на квантовую теорию. Просто, в логической структуре классической теории вероятностей реально существуют положения, которые могут быть уточнены экспериментом и развитием науки в целом (что и происходит в действительности). Вероятность обнаружить квантовую систему в состоянии при условии, что она была приготовлена в состоянии , может быть записана в дираковских обозначениях: P 2 (3) Рассматриваемая формула представляет собой фундаментальный результат Борна и фон Неймана. 12 Согласно принципу дополнительности, различные проекционные измерения образуют совокупность взаимно- дополнительных измерений. Рассматриваемая совокупность, в свою очередь, образует протокол квантовых измерений. Вся совокупность квантовых измерений протокола может быть Рисунок 6. Нильс Бор компактно представлена в матричном виде: M j X jl cl j 1,2,..., m (4) По повторяющемуся индексу l в формуле (4) предполагается суммирование. Протокол описывает m проекций квантового состояния (поэтому имеет m строк). M j есть амплитуда вероятности j -ой квантовой проекции. Вероятности соответствующих измерений задаются квадратами модулей амплитуд: Pj M j 2 (5) Комплексные числа cl образуют столбец из компонент вектора состояния. В гильбертовом пространстве размерности s соответствующий столбец есть c0 c1 c : : c s 1 (6) Гильбертово пространство размерности s 2 соответствует однокубитовому состоянию (1.1). Матрица с компонентами X jl , имеющая m строк и s столбцов задаёт так называемую аппаратную матрицу протокола квантовых измерений. Именно эта матрица описывает формально математически всю совокупность взаимно- дополнительных измерений ( j -ая строка матрицы X задаёт бра- вектор j соответствующего проекционного измерения в формуле (3)). Приведем простейший пример протокола квантовых измерений. Рассмотрим следующую аппаратную матрицу, состоящую из шести строк и двух столбцов. 13 X 1 0 1 2 1 2 1 2 1 2 0 1 1 2 1 2 i 2 i 2 (7) Рассматриваемый протокол описывает измерение однокубитового состояния. Первые две строки аппаратной матрицы отвечают измерение на ось z ( z 1 ), следующие две строки описывают измерение на ось x ( x 1 ), наконец последние две строки соответствуют измерению на ось y ( y 1 ). Заметим, что скалярные произведения строк, отвечающих измерениям на различные оси, не равны нулю. Такие неортогональные измерения отвечают несовместимым наблюдаемым (соответствующие операторы не коммутируют). Нетрудно проверить, что в рассматриваемом протоколе, произведение сопряженной аппаратной матрицы на исходную X X пропорционально единичной матрице. Про такие протоколы говорят, что соответствующие измерения образуют неортогональные разложения единицы. В практической деятельности далеко не всегда измерения сводятся к разложению единицы. Но если соответствующее условие выполняется, то теоретический анализ протокола квантовых измерений упрощается. Для восстановления произвольного квантового состояния (его «полного каталога знаний») не достаточно провести измерения только на одну из осей или только на две из трёх осей, поскольку в этом случае информация о квантовом состоянии будет заведомо неполной. Вспомогательная литература для самостоятельной работы 1. Холево А.С. Введение в квантовую теорию информации. М. МЦНМО. 2002. 128с. 14 2. Физика квантовой информации. Квантовая криптография. Квантовая телепортация. Квантовые вычисления // Под. ред. Д.Боумейстера, А.Экерта, А.Цайлингера; Пер. с англ. под ред. С.П.Кулика и Т.А.Шмаонова. М. Постмаркет. 2002. 376с. 3. Von Neumann J. Mathematische Grudlagen der Quantenmechanik. Berlin. Springer. 1932. См. перевод Фон Нейман И. Математические основы квантовой механики. М. Наука. 1964. 368с. 4. Бор Н. Избранные научные труды в двух томах. Т.2. М. Наука. 1971. 675 с. 5. Bohr N. Discussion with Einstein on epistemological problems in atomic physics // in Schilp P.A. (editor), Albert Einstein, Philosopher-Scientist (Library of Living Philosophers, Evanston, Illinois, 1949), P.200-241. Перевод на русский язык: Бор Н. Дискуссия с Эйнштейном по проблемам теории познания в атомной физике. Избранные научные труды в 2-х томах. Т.2. С. 399-433. М. Наука. 1971. 6. Богданов Ю.И. Многопараметрические статистические модели в задачах квантовой информатики // Труды ФТИАН. М. Наука. 2005. Т.18. с.91-118 7. Крамер Г. Математические методы статистики. М. Мир. 1975. с. 648 Лекция 4 . Анализ эксперимента Штерна-Герлаха. Свойства спина и квантовый бит (кубит). Проведём более подробный анализ эксперимента Штерна-Герлаха по сравнению с тем, который был экспериментальных представлен данных, во второй связанных с лекции. измерением Мы увидим, спина, что приведёт анализ нас к необходимости введения комплексных чисел. Это интересный в методическом плане результат. Хорошо известно, что введение комплексных чисел весьма удобно в задачах теории колебаний и волн. Однако, там использование комплексных чисел только удобно, а здесь (в квантовой механике и квантовой информатике) это совершенно необходимо. Спин — то квантовая степень свободы, приводящая к расщеплению квантового статистического ансамбля на несколько компонент в условиях, когда на квантовую систему оказывается физическое воздействие, характеризующееся некоторым направлением. В роли такого воздействия часто выступает магнитное поле, результатом такого воздействия может быть, например, расщепление энергетического уровня атома на несколько компонент (так называемое зеемановское расщепление). 15 Рисунок 7. Спин электрона Если спин частицы равен ансамбль, равно s 2 j 1. j , то число компонент, на которое расщепляется Соответствующие компоненты обычно нумеруют так называемым магнитным квантовым числом m : m j , j 1,..., j 1, j . ы рассмотрим 1 2 подробнее случай j . Таким спином обладают электрон, протон, нейтрон, другие элементарные частицы, многие ядра и атомы (например атомы серебра, первоначально изучавшиеся в эксперименте Штерна-Герлаха). В эксперименте Штерна-Герлаха используется неоднородное магнитное поле, в котором пучок частиц со спином j 1 2 расщепляется на две компоненты. С информационной точки зрения можно считать, что рассматриваемым двум возможностям отвечают состояния логического нуля 0 и логической единицы 1 . Рассмотрим вначале ситуацию, отвечающую поляризации прибора Штерна-Герлаха вдоль оси z . Состояния частиц, которые отклонились в направлении z , будем обозначать z . Аналогично, z обозначает состояние частиц, отклонившихся в отрицательном направлении оси z . 16 Рассмотрим теперь ситуацию, отвечающую поляризации прибора Штерна-Герлаха в плоскости ( z, x ). Пусть — угол между осью прибора Штерта-Герлаха и осью z . Пусть n — оответствующий единичный вектор, задающий рассматриваемое направление ориентации прибора. Обозначим состояние частиц, отклонившихся в положительном направлении оси n . Рассмотрим теперь двойную селекцию пучка частиц. Частицы в состоянии , полученные прибором, ориентированным под углом в плоскости ( z, x ), направим на прибор, ориентированный вдоль оси z . В результате эксперимента получим, что доля частиц, отклонившихся в направлении z , равна cos 2 направлении z , равна sin 2 2 2 , а доля частиц, отклонившихся в . Состояние, которое правильно задаёт рассматриваемые вероятности, очевидно, есть: cos 2 0 sin 2 Здесь 0 0 z z , 0x 1 1z z . При имеем состояние 0 x x : 2 1 0 1 2 Аналогично, при 1x (8) 1 (9) 2 имеем состояние 1x x : 1 0 1 2 (10) Заметим, что плоскость ( z, y ) совершенно аналогична плоскости ( z, x ). Попробуем построить состояния 0 y y и 1y y . Пусть 0 y с0 0 с1 1 , где коэффициенты с0 и с1 — числа, которые нужно найти по экспериментальным данным. Основной результат экспериментов со спином, как было сказано выше, следующий. Если спин приготовлен вдоль положительного направления оси n1 , а измеряется вдоль направления n2 , то вероятность отклонения частицы вдоль положительного направления n2 есть cos 2 , а вдоль отрицательного направления n2 равна соответственно sin 2 , где 2 2 17 — угол между осями n1 и n2 . Угол между осями y и z равен 1 2 2 , поэтому c0 c1 . 2 2 Отсюда следует, что состояние 0 y можно представить в виде: 0y 1 a 0 b 1 , 2 (11) где a 1, b 1 С другой стороны: 0x 0 y 1 0 1 1 a 0 b 1 1 a b 2 2 2 Угол между осями y и x также равен 0x 0 y 2 , поэтому 2 1 1 2 ab 4 2 Таким образом: a b 2 при a 1, b 1 2 (12) Полученный набор равенств не может быть выполнен ни для каких действительных чисел a и b . Таким образом, измерение спина диктует нам необходимость выхода в область комплексных чисел. Правильное представление получится при a 1 , b i . Таким образом, 0y 1 0 i1 2 (13) Аналогичные рассуждения показывают, что 1y 1 0 i 1 2 (14) Все возможные экспериментальные данные, связанные с измерением спина, будут описываться верно, если состояние спина задавать представленной выше формулой (2). Заметим, что вектор состояния (2) определён с точностью до произвольного фазового множителя. Другими словами, квантовое состояние не меняется, если вектор состояния умножить на exp i cos i sin , где — произвольное действительное число. Рассматриваемое свойство называется глобальной калибровочной инвариантностью. 18 Вспомогательная литература для самостоятельной работы 1. Блохинцев Д. И. Основы квантовой механики. / Д. И. Блохинцев. - М.: Наука, 1976. – 664 c. 2. Мандельштам Л. Д. Лекции по оптике, теории относительности и квантовой механике. - М.: Наука, 1972 3. Менский М. Б. Квантовая механика: новые эксперименты, новые приложения и новые формулировки старых вопросов. / М. Б. Менский. – УФН – 2000 –т. 170. – c. 631-648 4. Дирак П. А. М. Принципы квантовой механики. М., 1960. Лекция 5. Квантовая запутанность Однокубитовое состояние (1) имеет в своей основе два базисных состояния ( 0 и 1 ). У системы из двух кубитов таких базисных состояний уже четыре: 00 , 01 , 10 , 11 . Например, запись 01 означает, что первый кубит находится в состоянии «ноль», а второй — в состоянии «единица» и т. д. Система из двух кубитов может находиться не только в каждом из четырех базисных состояний, но и в состояниях, представляющих собой суперпозиции базисных: с00 00 с01 01 с10 10 с11 11 (15) Неожиданным с точки зрения обычной интуиции является то, что состояние системы не всегда описывается в терминах состояния отдельных ее частей. Например, такое состояние из двух кубитов как 00 11 не может быть разложено отдельно на состояния каждого из двух кубитов. Другими словами, мы не можем найти такие комплексные числа a1 , b1, a2 , b2 , которые обеспечивали бы выполнение следующего равенства: a 1 0 b1 1 a2 0 b2 1 00 11 (16) 19 Рисунок 8. Эксперименты по исследованию квантовой запутанности Действительно: a 1 0 b1 1 a2 0 b2 1 a1a2 00 a1b2 01 b1a2 10 b1b2 11 (17) Отсюда следует, что a1b2 0 , поэтому либо a1a2 0 , либо b1b2 0 , что невозможно. Состояния системы, которые не могут быть представлены в виде произведения состояний ее частей, называются запутанными (entangled) состояниями. 1 2 (18) Нетрудно показать, что двухкубитовое состояние (15) будет незапутанным только в том случае, когда выполняется условие: с00с11 с01с10 0 (19) В соответствии информатики полное с постулатами описание отдельности определяется однокубитовыми векторами каждого квантовой кубита в соответствующими состояний, задаваемыми формулой (2). Исходное состояние системы независимо Рисунок 9. Запутанный приготовленных кубитов задается тензорным произведением фотон однокубитовых состояний. При включении взаимодействия между кубитами возникают квантовые корреляции. В результате, совместное состояние регистра кубитов перестает быть сепарабельным, т.е. становится запутанным. 20 Запутанные состояния соответствуют ситуациям, которые не имеют классических аналогов и за которыми не стоит интуиция, подкрепленная наглядными механическими образами. Заметим, что такие состояния как раз и обеспечивают экспоненциальный рост размерности гильбертова пространства состояний в зависимости от числа кубитов. Действительно, в случае системы из трёх кубитов, вектор квантового состояния будет иметь в своей основе 8 комплексных амплитуд вероятности: с000 000 с001 001 с010 010 с011 011 с100 100 с101 101 с110 110 с111 111 (20) Нетрудно видеть, что n -кубитовые состояния будут описываться посредством 2 n комплексных амплитуд вероятности, соответственно такой же будет и размерность гильбертова пространства ( s 2 n ). Каждому комплексному числу соответствует два действительных параметра. Кроме того, нужно учесть, что квантовое состояние определено с точностью до соглашения о нормировке, а также с точностью до произвола в выборе общей фазы (глобальная калибровочная инвариантность), поэтому число независимых параметров уменьшается на два. В результате находим, что число действительных физически значимых параметров для n -кубитового вектора состояния есть: r 2s 2 2 n 1 2 (21) 21 Рисунок 10. Превратим вселенную в компьютер. С другой стороны, если бы в Природе не существовало явления квантовой запутанности, то можно было бы определить отдельно состояние каждого кубита (по два действительных параметра на каждый кубит в соответствии с представлением на сфере Блоха). Таким образом, незапутанное n -кубитовое состояние описывается всего набором из 2n действительных параметров. Пусть имеется регистр из 1000 кубитов ( n 1000 ). Тогда, без учёта явления квантовой запутанности, будем иметь всего 2n 2000 степеней свободы. С учётом же квантовой запутанности получим колосально большое число степеней свободы, равное 2 n 1 2 2.14 10301. Заметим попутно, что для Вселенной, имеющей в своем распоряжении «только» ~ 1078 нуклонов, нет никакой возможности записать подобное состояние детерминированным образом на каком- либо материальном носителе. Рассмотренное явление колосального роста числа базисных состояний в составных квантовых системах определяет ключевой ресурс квантовых информационных технологий. Запутанность 22 является фундаментальным физическим ресурсом, не менее важным, чем энергия или вещество. Вспомогательная литература для самостоятельной работы 1. Валиев К. А. Квантовые компьютеры и квантовые вычисления, УФН 175, 3 (2005). 2. Нильсен М, Чанг И. Квантовые вычисления и квантовая информация: Пер. с англ. под ред. М.Н. Вялого и П.М. Островского с предисловием К.А. Валиева. М. Мир. 2006. 824 с. 3. Холево А.С. Введение в квантовую теорию информации. М. МЦНМО. 2002. 128с. 4. Физика квантовой информации. Квантовая криптография. Квантовая телепортация. Квантовые вычисления // Под. ред. Д.Боумейстера, А.Экерта, А.Цайлингера; Пер. с англ. под ред. С.П.Кулика и Т.А.Шмаонова. М. Постмаркет. 2002. 376с. 5. Богданов Ю.И. Многопараметрические статистические модели в задачах квантовой информатики // Труды ФТИАН. М. Наука. 2005. Т.18. с.91-118 6. Крамер Г. Математические методы статистики. М. Мир. 1975. с. 648 7. Менский М. Б. Квантовые измерения и декогеренция, М.: Физматлит, 2001. 8. Менский М. Б. Явление декогеренции и теория непрерывных квантовых измерений. УФН 168, 1017 (1998). Лекция 6. Разложение Шмидта Вектор состояния составной системы может быть разложен по векторам, относящимся к отдельным подсистемам. Соответствующее представление называется разложением Шмидта [1, 2]: k k1 k2 (22) k Здесь k - весовые (заведомо неотрицательные) множители, удовлетворяющие условию нормировки k 1 (23) k 23 Мы предполагаем, что слагаемые в разложении (22) представлены в порядке убывания (невозрастания) коэффициентов k . Разложение Шмидта дает наглядный математический аппарат для исследования запутанности. Например, регистрация подсистемы №1 наблюдателем A в состоянии k1 означает, что подсистема №2 с необходимостью будет зарегистрирована (наблюдателем B ) в состоянии k2 (при том же самом k ). Векторы k1 и k2 называются модами Шмидта. Предположим, что каждая из подсистем описывается гильбертовым пространством размерности s . Тогда, каждый из наборов функций k1 и k2 ( k 1,..., s ) будет полным набором, образующим ортонормированный базис. Основная числовая характеристика, связанная с разложением Шмидта есть число Шмидта K , которое характеризует эффективное число мод в разложении: K 1 (24) 2 k k По своему определению, в силу условия нормировки для k , число заведомо не ниже единицы (и равно единице только в том случае, когда в разложении Шмидта имеется единственное ненулевое слагаемое). В случае систем, описываемых конечномерным вектором состояния, число лежит в интервале 1 K s , где s — размерность гильбертова пространства квантовой подсистемы. Наблюдатель A , для которого доступна подсистема №1 и недоступна подсистема №2, не имеет возможности восстановить вектор состояния полной системы. Он вынужден ограничиться описанием подсистемы №1 посредством матрицы плотности: 1 k k1 k1 (25) k Аналогично, наблюдатель B , которому доступна только подсистема №2, имеет дело с матрицей плотности: 2 k k2 k2 (26) k Матрица плотности является инструментом неполного описания квантовых систем. Такое описание может быть искусственно домыслено (дополнено) до описания посредством вектора состояния (так называемая процедура очищения). Например, 24 наблюдатель A , не имея возможности установить действительную систему №2, с которой запутана его система №1, может рассмотреть некоторую другую вспомогательную систему №2’ и соответствующий ей базисный набор k2 . Вместо действительного вектора состояния составной системы , такой наблюдатель будет рассматривать некоторое другое состояние k k1 k2 (27) k Важно отметить, что в отношении описания отдельно взятой системы №1 векторы состояния и эквивалентны. Остановимся особо на случае, когда в качестве изучаемой выступает подсистема №1, а в роли второй подсистемы выступает её окружение. Тогда разложение Шмидта имеет вид s k k S k E (28) k 1 Здесь индексы S и E обозначают соответственно систему и её окружение. Величина, характеризующая степень неслучайности корреляций между системой и её окружением, есть так называемая информация Шмидта. I log 2 K (29) В роли основной информационной характеристики состояния выступает известная энтропия фон Неймана S j log 2 j s (30) j 1 Эта величина характеризует степень неопределенности состояния, которая возникает из-за «ухода» части информации из системы в окружение. Введенные характеристики позволяют осуществить классификацию квантовых состояний в зависимости от степени связи между системой и окружением. Чистое состояние характеризуется условиями: K 1 I S 0 (31) Неопределенность чистого состояния равна нулю, в окружении нет никакой информации о состоянии. Измерения над системой никак не коррелируют с измерениями над окружением. Отсюда следует свойство объективной случайности, рассмотренное во 25 второй лекции, поскольку никакие измерения над окружением не позволяют предсказать результаты измерений над системой. Смешанное состояние характеризуется условиями: K 1, I 0 , S 0 (32) В этом случае неопределенность состояния оказывается строго больше нуля, поэтому часть информации о состоянии смеси содержится в окружении. Рисунок 11. Модель кубитов на атомах рубидия Наконец, состояние смеси, максимально запутанное с окружением, характеризуется условиями: K s I S log 2 s (33) В этом случае вся информация о состоянии «растворена» в окружении, имеется полностью некогерентное состояние «белого шума», матрица плотности оказывается пропорциональной единичной матрице Вспомогательная литература для самостоятельной работы 1. Валиев К.А., Кокин А.А. Квантовые компьютеры: надежда и реальность. Ижевск. РХД. 2001. 352с. 26 2. Нильсен М, Чанг И. Квантовые вычисления и квантовая информация: Пер. с англ. под ред. М.Н. Вялого и П.М. Островского с предисловием К.А. Валиева. М. Мир. 2006. 824 с. 3. Холево А.С. Введение в квантовую теорию информации. М. МЦНМО. 2002. 128с. 4. Физика квантовой информации. Квантовая криптография. Квантовая телепортация. Квантовые вычисления // Под. ред. Д.Боумейстера, А.Экерта, А.Цайлингера; Пер. с англ. под ред. С.П.Кулика и Т.А.Шмаонова. М. Постмаркет. 2002. 376с. 5. Богданов Ю.И. Многопараметрические статистические модели в задачах квантовой информатики // Труды ФТИАН. М. Наука. 2005. Т.18. с.91-118 6. Крамер Г. Математические методы статистики. М. Мир. 1975. с. 648 27