Методика расчёта оценки возможных потерь

Проект: МЕТОДИКА РАСЧЁТА ОЦЕНКИ ВОЗМОЖНЫХ ПОТЕРЬ
(Value at Risk, VaR) ИЗ-ЗА ФАКТОРА РИСКА ИЗМЕНЕНИЯ
ВАЛЮТНЫХ КУРСОВ ПО ОТКРЫТЫМ ВАЛЮТНЫМ ПОЗИЦИЯМ В
БАНКЕ
A. ЦЕЛИ И ПРИНЦИПЫ VaR
Настоящая методика оценки возможных потерь (Value at Risk, VaR)
предназначена для измерения валютных рыночных рисков отрицательной
переоценки открытых валютных позиций в банке (в условиях отсутствия
глобальных стрессов на валютном рынке) и может использоваться при
управлении рыночными валютными рисками.
В результате применения методики руководство может ежедневно
получать и использовать оценки возможных с вероятностью 95% потерь (в
российских рублях) в связи с изменениями валютных курсов по позициям в
каждой валюте и в целом по общей открытой валютной позиции в Главной
конторе банка.
Используемая в расчётах методология базируется на общих принципах
техники оценки рыночных рисков RiskMetrics, созданной специалистами JP
Morgan и широко применяемой в западных финансовых институтах.
В методике предполагается допущение о близости к нормальному
распределению случайных величин, характеризующих интенсивность роста
валютных курсов (логарифмов темпов роста курсов валют) и применяется
инструментарий математической статистики для оценки возможных потерь
путём расчёта соответствующих параметров. Обоснование выбора данной
методологии VaR в условиях российского рынка приводится в приложении.
Методика адаптирована к российскому валютному рынку путём введения
базовой валюты - российского рубля, группировки иностранных валют и
корректировки
прогнозов
на
основе
анализа
динамики
параметров
изменчивости и взаимосвязи их курсов по отношению к российскому рублю,
что должно позволить эффективно применять её в банке.
B. ОСНОВНЫЕ ЭТАПЫ РАСЧЁТА VaR
1
I. Подготовка и первичная обработка исходных данных.
1. Ряды динамики ежедневных курсов валют к российскому рублю.
Для расчётов необходимо располагать ежедневными данными о курсах
валют к российскому рублю (Банка России или иных, используемых в Банке для
переоценки валютных позиций) за период.
В данной методике предполагается глубина периода - 61 измерение (61
рабочий день, т.е. около двух месяцев на дату расчёта).
Из данных о динамике курсов исключаются все некорректные измерения
(измерения, на дату которых отсутствуют сведения о курсах тех или иных
валют, например, нерабочие дни). Затем все измерения нумеруются подряд,
начиная с нуля (0,1,2.....,T-2,T-1,T), общее число измерений равно T+1 по каждой
i-ой валюте из общего числа n валют.
Например, в данной методике T=60, n=22; оцениваются позиции по
следующим валютам:
ЭКЮ (XEU), Марка ФРГ (DEM), Австрийский шиллинг (ATS), Испанские
песеты (ESP), Датская крона (DKK), Итальянская лира (ITL), Французский
франк (FRF), Финляндская марка (FIM), Бельгийский франк (BEF), Голландский
гульден (NLG), Норвежская крона (NOK), Шведская крона (SEK), Японская
йена (JPY), Швейцарский франк (CHF), Сингапурский доллар (SGD), Доллар
США (USD), Канадский доллар (CAD), Австралийский доллар (AUD),
Английский фунт (GBP), Казахский тенге (KZT), Украинская гривна (UAH),
Белорусский рубль (BYB).
В расчёт не принимаются неполные данные о курсах индийских рупий
(INR), рублей по клиринговым расчётам с Финляндией (RUF) и прочих
валютных курсах.
Представление данных удобно организовать в виде электронной таблицы
в Excel с указанием даты измерения и курсов валют в российских рублях за
единицу (для всех валют, в т.ч. для японской йены, итальянской лиры).
Например, фрагмент таблицы с курсами валют (в неденоминированных
рублях за единицу валюты) выглядит так:
Буквенный
код валюты
/
Дата
измерения
ATS
AUD
BEF
BYB
2
CAD
CHF
DEM
1/7/97
2/7/97
3/7/97
473.00 4308.75
470.20 4352.69
471.19 4363.10
161.45
160.41
160.68
0.18 4192.59
0.18 4189.55
0.18 4188.03
3980.72 3330.07
3947.57 3307.59
3952.15 3315.37
2. Открытые валютные позиции в Главной конторе Банка на дату расчёта.
Те же принципы первичной обработки данных, применяемые для
информации о курсах валют, следует применять и к данным об открытых
валютных позициях в единицах валюты. При этом величины коротких и
длинных
позиций
принимаются
как
отрицательные
и
положительные
соответственно.
Например, фрагмент таблицы с позициями валют (в тысячах единиц
валют) выглядит так:
Буквенный
код валюты
/
Дата
измерения
ATS
AUD
BEF
BYB
1/7/97 -4580.76 3.72 -3830.68 11271.05
2/7/97 -4022.02 3.72 -3830.68
999.09
3/7/97 -3289.43 3.72 -3898.71 10999.09
CAD
CHF
DEM
96.69 -306.72 5480.04
96.71 -318.37 5975.87
95.38 -318.47 5448.89
II. Расчёт логарифмов ежедневных темпов роста курсов валют.
На основе данных о курсах валют производится расчёт логарифмов
ежедневных темпов роста (начиная с первого, а не с нулевого измерения!).
Удобный вид соответствующей электронной таблицы такой же, что и для
представления данных о курсах и позициях. При этом вычисление логарифма
можно организовать с помощью стандартной функции электронных таблиц
Excel.
Логарифм темпа роста курса i-ой валюты в момент t измерения
рассчитывается по формуле:
i

Ку
р
с
t 
i
x t  ln 
 , t  1,2,3...T , i  1,2,... n ,
 Ку рс i t 1 
где
Курсit - значение курса i-ой валюты в t измерении;
Курсit-1 - значение курса i-ой валюты в t-1 измерении;
T - общее число измерений логарифмов темпов роста курсов;
i- индекс, обозначающий валюту;
3
xit
n - число валют;
ln()- символ функции натурального логарифма.
Логарифм темпа роста курса валюты характеризует интенсивность
изменения валютного курса и является случайной величиной, распределение
которой в данной методике предполагается близким к нормальному.
Например, фрагмент таблицы с логарифмами темпов роста валют
выглядит так:
Буквенный
код валюты
/ Дата
измерения
ATS
1/7/97
2/7/97 -0.006
3/7/97 0.002
AUD
BEF
BYB
CAD
CHF
-0.001
0.000
-0.008
0.001
0.010 -0.006 0.000
0.002 0.002 0.000
DEM
-0.007
0.002
III. Расчёт ковариационной и корреляционной матриц для случайных
i
величин X (логарифмов темпов роста i-ой валюты), i=1,2,...,n, анализ
корреляции, динамики и прогнозирование волатильностей.
1. Расчёт ковариационной матрицы и волатильностей.
Необходимым элементом расчёта VaR является оценка ковариаций и
последующий
расчёт
волатильностей
и
коэффициентов
корреляции
интересующих случайных величин (логарифмов темпов роста курсов валют).
Экспоненциально взвешенная ковариация
Xj
Cij случайных величин X i и
(логарифмов темпов роста i-ой и j-ой валют) рассчитывается по формуле:


T
Cij  1    t 1   x i t 

t 1


 
x it  

t 1
   x jt 
T  
 
 
T
T
x
t 1
T
j
t


 , i  1,2,.. n, j  1,2,.. n ,



где  =0.94.
Возможно, эта формула будет применяться (в случае её эффективности)
после выбора оптимального для российского рынка значения
Упрощённый расчёт ковариации
можно провести по формуле:
4
Cij случайных
.
величин
Xiи X j

T 
1
Cij    x i t 
T t 1 


 
x it  

t 1
   x jt 
T  
 
 
T
T
x
j
t
t 1
T


 , i  1,2,.. n, j  1,2,.. n



Вычисление ковариаций по упрощённой формуле удобно организовать с
помощью стандартной функции электронных таблиц Excel.
Квадратная матрица размерностью n X n , в которой на пересечении i-ой
строки
и
j-го
столбца
расположен
элемент,
равный
Cij ,
является
ковариационной матрицей.
Например,
фрагмент
ковариационной
матрицы
на
24.09.1997,
рассчитанной по упрощённой формуле по 60-дневным данным о логарифмах
темпов роста курсов валют за период с 02.07.1997 по 23.09.1997 выглядит так:
Буквенный
код валюты
ATS
AUD
BEF
BYB
CAD
CHF
DEM
ATS
AUD
BEF
BYB
CAD
CHF
DEM
0.000051
0.000003
0.000051
-0.000020
0.000000
0.000040
0.000051
0.000003
0.000024
0.000003
-0.000021
-0.000001
-0.000001
0.000003
0.000051
0.000003
0.000052
-0.000019
0.000000
0.000041
0.000052
-0.000020
-0.000021
-0.000019
0.000343
-0.000001
-0.000001
-0.000019
0.000000
-0.000001
0.000000
-0.000001
0.000004
0.000001
0.000000
0.000040
-0.000001
0.000041
-0.000001
0.000001
0.000044
0.000041
0.000051
0.000003
0.000052
-0.000019
0.000000
0.000041
0.000052
Волатильность i-ой валюты рассчитывается по формуле:
 i  Cii , i  1,2,..., n .
Элементы главной диагонали ковариационной матрицы (находящиеся на
пересечении строк и столбцов с одинаковыми номерами) представляют собой
дисперсии (квадраты волатильностей).
На примере в фрагменте ковариационной матрицы (см. выше) дисперсии
выделены полужирным шрифтом.
Дисперсия характеризует степень разброса, отклонения случайной
величины от её ожидаемого значения: чем она выше, тем значительнее это
отклонение. Поэтому волатильность (изменчивость) часто принимается в
качестве одного из измерителей риска.
Динамика 60-дневных волатильностей для каждой валюты за период с
24.09.1997 по 01.01.1998 (70 ежедневных измерений) представлена на графиках
5
с указанием уравнения и оценки аппроксимации линейного тренда и таблицах в
приложении.
2. Расчёт коэффициентов корреляции.
Коэффициент
корреляции
K ij
случайных
Xiи
величин
Xj
(логарифмов темпов роста i-ой и j-ой валют) рассчитывается по формуле:
K ij 
Cij
 i j
, i  1,2,... n, j  1,2,... n .
Вычисление ковариаций по упрощённой формуле позволяет удобно
организовать
вычисление
коэффициентов
корреляции
с
помощью
соответствующей стандартной функции электронных таблиц Excel.
Квадратная матрица размерностью n х n , в которой на пересечении i-ой
строки
и
j-го
столбца
расположен
элемент,
равный
K ij ,
является
корреляционной матрицей. Элементы главной диагонали корреляционной
матрицы
равны
1.
Эта
матрица
симметричная:
K ij  K ji , i  1,2,.. n, j  1,2,.. n .
Например,
фрагмент
корреляционной
матрицы
на
24.09.1997,
рассчитанной по упрощённой формуле для ковариаций по 60-дневным данным
о логарифмах темпов роста курсов валют за период с 02.07.1997 по 23.09.1997
выглядит так:
Буквенный
код валюты
ATS
ATS
AUD
BEF
BYB
CAD
CHF
DEM
1.000 0.099 0.995
0.099 1.000 0.084
0.995 0.084 1.000
-0.154 -0.227 -0.140
0.002 -0.151 0.010
0.854 -0.039 0.858
0.997 0.078 0.997
AUD
BEF
6
BYB
CAD
CHF
-0.154
-0.227
-0.140
1.000
-0.036
-0.004
-0.141
0.002
-0.151
0.010
-0.036
1.000
0.099
0.006
0.854
-0.039
0.858
-0.004
0.099
1.000
0.862
DEM
0.997
0.078
0.997
-0.141
0.006
0.862
1.000
Коэффицент корреляции характеризует силу и характер взаимосвязи
двух случайных величин: чем ближе он к единице по абсолютной величине, тем
сильнее взаимосвязь, чем ближе к нулю - тем слабее взаимосвязь.
Положительный коэффицент корреляции свидетельствует, что при росте
(падении) одной величины другая, коррелирующая с ней, величина также растёт
(падает), а отрицательный коэффициент корреляции свидетельствует о том, что
при росте (падении) одной величины другая, отрицательно коррелирующая с
ней, падает (растёт).
Динамика 60-дневных корреляций между логарифмами темпов роста
курсов доллара США и каждой из 21 других валют за период с 24.09.1997 по
01.01.1998 (70 ежедневных измерений) представлена на графиках и таблицах в
приложении.
3. Анализ корреляции, динамики и прогнозирование волатильностей.
С целью повышения точности расчётов оценок VaR по валютным
позициям следует провести технический анализ динамики волатильности
курсов двадцати двух валют к российскому рублю за второе полугодие 1997г.
(см. графики и таблицы в приложении)
Во-первых, следует отметить, что величина волатильности курса доллара
США к российскому рублю на порядок ниже, а величина волатильности курса
белорусского рубля к российскому рублю на порядок выше величин
волатильностей курсов всех остальных валют к российскому рублю.
Во-вторых,
по
особенностям
величин
корреляции
и
динамики
волатильности можно выделить три группы валют:
Первая
группа
валют
(группа
A)
включает
ЭКЮ
и
девять
западноевропейских валют, характеризующихся сильным понижательным
линейным
трендом
волатильности
и
очень
сильно
положительно
коррелирующие между собой (корреляция больше 0.9).
Группа валют A.
ЭКЮ (XEU), Марка ФРГ (DEM), Австрийский шиллинг (ATS),
Испанские песеты (ESP), Датская крона (DKK), Итальянская лира (ITL),
Французский франк (FRF), Финляндская марка (FIM),
7
Бельгийский франк (BEF), Голландский гульден (NLG)
Для валют группы A прогноз волатильности по её последнему (перед
датой, на которую делается расчёт) значению (и соответствующие оценки VaR
отдельно по позициям в каждой валюте) существенно завышен..
Вторая
группа
валют
(группа
B)
включает
незначительно
коррелирующие (с какой бы то ни было другой из рассматриваемых 22 валют)
пять валют.
Группа валют B.
Норвежская крона (NOK), Шведская крона (SEK), Японская йена (JPY),
Швейцарский франк (CHF), Сингапурский доллар (SGD)
Для валют группы B прогноз волатильности по её последнему (перед
датой, на которую делается расчёт) значению (и соответствующие оценки VaR
отдельно по позициям в каждой валюте) более или менее адекватен.
Третья
группа
характеризующихся
валют
сильным
(группа
C)
включает
повышательным
трендом
семь
валют,
волатильности
(фактически, ситуация стресса) и/или независимостью (корреляция очень
слабая).
Группа валют C.
Доллар США (USD), Канадский доллар (CAD),
Австралийский доллар (AUD), Английский фунт (GBP),
Казахский тенге (KZT), Украинская гривна (UAH),
Белорусский рубль (BYB)
Для валют группы C прогноз волатильности по её последнему (перед
датой, на которую делается расчёт) значению (и, соответственно, VaR)
существенно занижен.
Совокупная величина VaR в целом по общей валютной позиции без
соответствующей
корректировки
прогнозных
значений
волатильностей
оказывается заниженной.
В
связи
с
вышеизложенным,
представляется
необходимым
скорректировать оценки прогнозируемых волатильностей при расчёте VaR с
помощью эмпирических коэффициентов с целью уточнения как совокупной
величины VaR в целом по общей валютной позиции, так и оценок VaR отдельно
по позициям в каждой валюте.
8
Предлагаемые
эмпирические
правила
корректировки
выглядят
следующим образом:
a) Для валют группы A прогнозируемая волатильность оценивается как
последнее (перед датой, на которую делается расчёт) значение
волатильности, умноженное на 0.80:
 АПРОГНОЗ  0.80
b) Волатильности валют группы B не корректируются и оцениваются
как последнее (перед датой, на которую делается расчёт) значение
волатильности (корректировочный коэффициент 1.00).
 BПРОГНОЗ  
c) Для валют группы C в прогнозируемая волатильность оценивается
как последнее (перед датой, на которую делается расчёт) значение
волатильности, умноженное на 2.05. Эта корректировка фактически
аналогична стресс-тестингу, что вполне адекватно конъюнктуре
валют данной группы:
CПРОГНОЗ  2.05
Применение данной методики предполагает постоянное проведение
анализа динамики корреляции и волатильности и, при необходимости,
изменение состава групп валют, введение дополнительных групп валют,
пересмотр значений корректировочных коэффициентов. Особенно важно
прослеживать моменты резкого роста волатильности, говорящие о возможных
стрессах и необходимости применения высоких коэффициентов (например,
удвоения величины волатильности).
IV. Определение экономической стоимости открытых валютных позиций.
В связи с тем, что значительная часть открытых валютных позиций
сформирована денежной наличностью (cash), в данной методике делается
сильное допущение, состоящее в том, что экономическая стоимость открытых
валютных позиций совпадает с их величиной на счетах.
Величина экономической стоимости открытой валютной позиции
определяется из исходных данных по каждой валюте как произведение позиции
9
в единицах соответствующей валюты и курса в рублях за единицу данной
валюты:
Vi  Позицияi  Ку рс i , i=1,2,...n
Например, фрагмент таблицы с величинами экономической стоимости
открытых валютных позиций выглядит так:
Буквенный
ATS
AUD
BEF
BYB
CAD
CHF
DEM
код валюты
1/7/97 -2166699.48 16028.55 -618463.29 2028.79 405381.53 -1220966.44 18248916.80
2/7/97 -1891153.80 16192.01 -614479.38
179.84 405171.38 -1256787.86 19765727.85
3/7/97 -1549946.52 16230.73 -626444.72 1979.84 399454.30 -1258641.21 18065086.44
V. Расчёт оценок VaR
1. Расчёт оценки возможных потерь по открытой валютной позиции в данной
валюте VaRi
Оценка (в российских рублях) возможных потерь с вероятностью 0.95 в
течение ближайшего рабочего дня из-за колебания курса каждой i-ой валюты по
открытой валютной позиции в данной валюте VaRi находится как произведение
прогнозируемого
экономической
значения
стоимости
волатильности
данной
соответствующей
валюты,
открытой
величины
позиции
и
коэффициента, равного 1.65:
VaRi  165
.  п р огноз iVi , i  1,2,... n
При рассмотрении оценки VaRi позиции данной валюты как таковой, без
связи с оценками позиций в других валютах, знак плюс или минус не имеет
существенного значения, и сообщает только о том, короткая или длинная
позиция.
Например, фрагмент вектора-строки оценок возможных потерь по
открытым валютным позициям в каждой валюте VaRi на 24.09.1997 так:
Буквенный
ATS
AUD
BEF
BYB
CAD
CHF
DEM
код валюты
/Дата
расчёта
24/9/97 -26912.64 349.34 -6984.86 9339.47 3250.15 3069.75 125033.73
2. Расчёт совокупной оценки возможных потерь в целом по общей открытой
валютной позиции VaR
10
Совокупная оценка (в российских рублях) возможных потерь с
вероятностью 0.95 в течение ближайшего рабочего дня из-за колебания курсов
валют в целом по общей открытой валютной позиции VaR находится как
квадратный корень из произведения вектора-столбца (т.е. транспонированного
вектора-строки) индивидуальных оценок VaRi (с учётом знака), корреляционной
матрицы и вектора-строки индивидуальных оценок VaRi:
VaR1
...
VaR 
1
K12
VaRi  ...
K1,n1
...
K1,n
VaRn
K12
1
...
...
K1,n1
K 2,n1
K1,n
K 2,n
...
K 2,n1
...
...
...
1
...
K n1,n
K 2 ,n
...
K n1,n
1
 VaR1
... VaRi
... VaRn
Транспонирование и умножение матриц (векторов), необходимое при
расчёте
совокупной
оценки
удобно
VaR,
организовать
с
помощью
соответствующих стандартных функций электронных таблиц Excel.
Например, оценка возможных потерь в целом по общей открытой
валютной
позиции
VaR
на
24.09.1997
составила
274,082,688
неденоминированных рублей. Фактически, если бы 24.09.1997 позиция
оставалась такой же, потери от переоценки в связи с изменением валютных
курсов составили бы 206,728,256 неденоминированных рублей.
VI. Регулярность расчётов.
Настоящая методика предполагает обязательное ежедневное (каждый рабочий
день) обновление данных и расчёт логарифмов темпов роста курсов,
ковариационной и корреляционной матриц, волатильностей, всех оценок VaR.
Следует проводить регулярное (например, два раза в месяц) тестирование
точности
оценок
и
при
необходимости
проводить
анализ
динамики
волатильности, и пересматривать корректировочные коэффициенты и состав
групп валют.
VII. Тестирование.
Данная методика была апробирована на ежедневных данных за второе
полугодие 1997г. об официальных курсах двадцати двух валют к российскому
11
рублю Банка России и ежедневных данных об открытых валютных позициях в
Банке в этот период.
Сравнение оценок VaR с потерями от переоценок (при сохранении на
следующий рабочий день тех же открытых позиций) по фактически
реализовавшимся на день расчёта курсам валют на протяжении 69 измерений
показало, что с учётом предложенных корректировочных коэффициентов
прогнозирования волатильности, оценки VaR как в целом по общей открытой
позиции, так и по открытым позициям в каждой данной валюте достаточно
точны (потери не превышали абсолютную величину соответствующих оценок
VaR приблизительно в 95% случаев и превышали в не менее 1.4% случаев для
всех оценок, что также важно, поскольку систематически завышенные оценки
VaR свидетельствуют об их избыточности и неэффективности). Оценка
совокупного VaR была достаточной в 66 случаях из 69 (95,7% случаев).
Результаты тестирования методики для оценок открытой позиции в
каждой данной валюте VaRi приведены в таблицах.
Валюта
ATS AUD BEF BYB CAD CHF DEM DKK ESP FIM FRF
VaR не был достаточен 2.9% 2.9% 4.3% 2.9% 1.4% 4.3% 2.9% 2.9% 4.3% 2.9% 2.9%
VaR был достаточен 97.1% 97.1% 95.7% 97.1% 98.6% 95.7% 97.1% 97.1% 95.7% 97.1% 97.1%
Валюта
GBP
ITL
JPY KZT NLG NOK SEK SGD UAH USD XEU
VaR не был достаточен 1.4% 2.9% 4.3% 2.9% 1.4% 4.3% 4.3% 4.3% 4.3% 4.3% 2.9%
VaR был достаточен 98.6% 97.1% 95.7% 97.1% 98.6% 95.7% 95.7% 95.7% 95.7% 95.7% 97.1%
12