ИнтеракМодельСДУ_09_02_14

D:\446993752.doc
УДК 539.3
Построение интерактивной обучающей модели метода решения
нормальной однородной системы дифференциальных уравнений n -ого
порядка
Титов Константин Викторович (kvtito@mail.ru)
Будилович Михаил Владимирович (budilovich.misha@yandex.ru)
Дубограй Ирина Валерьевна (irina.dubograi@yandex.ru)
Аннотация. Статья посвящена разработке компьютерных технологий в образовании. В
этой связи важным является преобразование известных методов решения задач к виду удобному
для написания учебных программ в одной из систем компьютерной математики, например,
Mathcad или Maple. В этом случае такая постановка процесса обучения может считаться замкнутой
на конечную цель - получение всего спектра знаний от теории до практического результата. А
имеющийся электронный ресурс по этой теме и ссылка www.bmstu.ru/ps/~kvtitov на него позволяет получать многовариантные решения в интерактивном режиме и, в этом смысле, делает статью
мобильной и оригинальной в части использования информационных и телекоммуникационных
технологий в Internet-пространстве. Решение задачи сопровождается графической иллюстрацией,
имеющей возможность анимирования. Исходные данные в интерактивном режиме можно изменять и вновь получать решения и, таким образом, вести экспериментальные исследования.
Abstract. Article is devoted to development of computer technologies in education. In this regard
transformation of known methods of the solution of tasks to a look convenient for writing of training programs in one of systems of computer mathematics, for example, Mathcad or Maple is important. In this
case such statement of process of training can be considered closed on an ultimate goal - receiving all
range of knowledge from the theory to practical result. And an available electronic resource on this subject and the link www.bmstu.ru/ps/~kvtitov to it allows to receive multiple decisions in an interactive
mode and, in this sense, does article mobile and original regarding use of information and telecommunication technologies in Internet-space.
Ключевые слова: дифференциальные уравнения, компьютерные технологии, Internet, системы компьютерной математики, образование.
Keywords: differential equations, computer technologies, Internet, systems of computer mathematics, education.
Введение. В статье рассматривается метод решения однородной системы дифференциальных уравнений n -го порядка с постоянными коэффициентами, записанной в нормальной форме, и
построение интерактивной обучающей модели. Предлагаемая интерактивная обучающая модель
наилучшим образом раскрывает методы и принципы того, как работает математический аппарат,
Константин Титов
стр. 1
1/18/2016
D:\446993752.doc
подчеркивая высокий "интеллект" систем символьной математики, объединяющийся с хорошими
средствами математического численного моделирования и возможностями графической визуализации решений. Всё это способствует повышению фундаментальности математического образования, и отвечает современным европейским стандартам.
Постановка задачи и её решение. Для отыскания фундаментальной системы решений
X k  t  , k  1, 2,..., n , соответствующих системе однородных дифференциальных уравнений n-го порядка с постоянными коэффициентами, записанной в нормальной форме
d
X  t   A  X  t  , где
dt
 x1  t  
 a11a12 ...a1n 


 a a ...a 
 x2  t  
X t   
, A   21 22 2 n 

................ 
........




 xn  t  
 an1an 2 ...ann 
(1),
могут быть использованы методы линейной алгебры. Можно показать [1], что решением системы
(1) в случае простого корня k может быть вектор-столбец чисел yT=(y1,y2,…,yn)
умноженный на e kt . Действительно, подставляя это решение в (1), получим
kekt y   Ay  ekt .
Сокращая на множитель e kt , приходим к уравнению
(2)
 A  kE  y  0
где Е- единичная матрица. Таким образом, из (2) следует, что
(3)
ye kt
является решением (1), если det  A  kE   0 . Из характеристического уравнения
det  A  kE   0
(4)
находятся различные корни k j , j  1, 2,..., J , имеющие кратность r j . При этом
J
r
j 1
j
n.
Для всякого корня k j определяется соответствующее ему частное решение
вида (3). А общее решение системы (1) будет определяться как линейная комбинация частных решений, образующих фундаментальную систему решений.
Таким образом, мы получаем для определения k многочлен степени n , корни которого при
n  4 находятся только численно, и, следовательно, аналитическое решение в общем виде в этом
случае получить невозможно [5]. Если же решение СДУ искать в виде ряда [2], то возможность получения аналитического решения сохраняется.
Случай простых корней. Рассмотрим случай, когда все корни характеристического урав-
Константин Титов
стр. 2
1/18/2016
D:\446993752.doc
нения (4) простые.
По матрице A и вектору решений X запишем саму систему дифференциальных
уравнений
evalm  Diff  X , t   A &*X  и проведем построение решения.
1. Определяем характеристическую матрицу: charmat  A, k  [3] и собственные числа
k матрицы A с помощью оператора eigenvals  A .
2. Вычисляем собственные векторы, в состав которых входят собственные числа k , используя опцию eigenvects  A .
Укажем структуру eigenvects  A (также может быть запись [ eigenvectors  A ]). Последняя
определяется как вектор

 ,... ,
r  r 
r 
..., k , rk , 11 ,  21 ,...,  n1  , 1 2 ,  2 2 ,...,  n 2  ,..., 1 j ,  2 j ,...,  n j 




где во внешних квадратных скобках стоит j -й компонент вектора eigenvects  A .
Здесь k - значение корня (собственного числа); rk - кратность корня k;
11 ,  21 ,...,  n1  , 1 2 ,  2 2 ,... n 2  ,..., 1 rj  ,  2 rj  ,...,  n rj   - собственные векторы, соответствующие

 



корню k , число которых равно rk .
Таким образом, запись компоненты j (корня k j ) может быть следующей:
p[ j ]
[i ]
[ s]

 номер



 собст.
3
1, 2 ,
 вектора
 k rk собст.  1...rk
вектор 



[ m]
,
m-я компонента
собств.
вектора
s и m могут появиться в структуре только при i  3.
Например, значение k корня (собственного числа) определяется так:
k  p  j 1 ,
его кратность rk  p  j  2 ,
m – я компонента собственного вектора с номером s
am s   p  j 3 s  m.
Дадим словесное описание структуры eigenvects  A .
Если корень один (пусть кратный), то реквизиты квадратной скобки eigenvects  A следую-
Константин Титов
стр. 3
1/18/2016
D:\446993752.doc
щие: корень p  j 1 ; его кратность p  j  2 ; собственный вектор p  j 31 , которых может быть
столько, какова кратность корня; компоненты собственного вектора p  j 311 .
Структура eigenvects  A меняется в зависимости от числа корней (различных) как показано выше.
Если их несколько, то в eigenvects  A будет столько же квадратных скобок. Тогда в первой скобке
p
 ...  будет указываться номер набора реквизитов соответствующего собственного вектора.
После чего иерархическая структура p 
 ...  строится аналогично тому, как это было показано
выше.
Теперь можно записать решение СДУ следующим образом:

X i : add Ci e
 p j1t 

col  P, j i , j  1...n .
Случай кратных корней. Теперь рассмотрим случай, когда среди корней уравнения (1)
могут быть кратные корни.
Систему дифференциальных уравнений (СДУ) n -го порядка с постоянными коэффициентами, записанную в нормальной форме, всегда можно свести к одному дифференциальному уравнению порядка n и наоборот. Причем собственные числа матрицы A
и корни характеристического уравнения будут одними и теми же [5]. Поэтому выводы, имеющие отношение к одному дифференциальному уравнению порядка n и его характеристическому уравнению, будут справедливы и для СДУ n -го порядка. Итак, пусть характеристическое уравнение
n
P  k    an  m k m  an  an 1k  an  2 k 2  ...  a0 k n , где
m0
a0  1,
(5)
имеет корень k 1 кратности r 1  1 . Тогда справедлива следующая формула
dr
dt r
r 1
n

m
mr 
(6)
a
k

a
 0, r  1,..., r1.


nm
 nm   m  i  k 
m0
mr 
i 0
 k k1
Для доказательства (6) надо в многочлене P(k) выделить отдельным множителем
n
корень k 1
P  k    k  k1 
r1
n  r1
a
i 0
n  r1 i
ki ,
(7)
а затем провести  r 1  1 раз дифференцирование многочлена (7), всякий раз убеждаясь в спра-
Константин Титов
стр. 4
1/18/2016
D:\446993752.doc
ведливости равенства (6) . Напомним, что характеристическое уравнение (5) соответствует
дифференциальному уравнению
dm
x t   0 .
dt m
m 0
На основании формулы (6) можно показать, что решениями (8) будут
n
 anm
(8)
(9)
x0  t   ek1t , x1  t   tek1t ,..., xr1 1  t   t r1 1ek1t .
Действительно, подставляя каждое из этих решений (9) в (8), начиная с первого,
получим
n
a
m0
k m  0,
nm 1
так как k 1 является корнем характеристического уравнения по условию. Подстановка
решения x 1  t   t *exp  k 1 t  в (8), очевидно, даст
n
 n

(10)
ek1t t  an m k1m   an m mk1m1   0.
m 1
 m 0

И в этом случае на основании формулы (6) для r  2 также получаем ноль. Можно пока-
зать, что справедлива формула дифференцирования
m
m s
s 1
r


dm r
r d
r s d


t
x
t

t
x
t

bk
s
,
r
m

i
t
x t  ,











m 
m
m s

dt
dt
dt
s 1 
i 0

r!
где bk  s, r  
, 2  r  n, m  1,..., n. .
s ! r  s !
(11)
Теперь в общем случае надо подставить в (8) выражение
x  t   t r ek1t , 2  r  r1  n
и убедиться в том, что оно является решением. Сделаем эту подстановку

k1m s  , (13)
m0
i 0

где s, r1  s  r  r1  1. Первая сумма в (13) по-прежнему равна нулю. А вторая
n
 anm
n
r
n
d m r k1t
k1t  r
m
r s


t
e

e
t
a
k

bk
s
,
r
t
  nm 1     anm

dt m 
s 1
m s
 m0
(12)
s 1
m  i 
равна нулю на основании формулы (6) для всех s, r . Таким образом, высказанное ранее
утверждение относительно решений (9) доказано и справедливо для СДУ, в том числе и для комплексных корней.
Анализ результатов. Формулу (11) легко проверить численно, если сравнивать результаты
непосредственного дифференцирования (см. ниже (а)) с тем, что дает эта формула (см. (б)).
Константин Титов
стр. 5
1/18/2016
D:\446993752.doc
rr !
s ! rr  s !
bk :  s, rr  
(а).
m : 7 : r : 5:
d7 5
d7 5
t
x
t




 dt 7  t x  t  
dt 7
4
 d2

 d3


d7 5
2 d
t x  t    2520  2 x  t    4200t  3 x  t    2100t  4 x  t   
7 
dt
 dt

 dt

 dt

 d5

 d6

 d7

420t 3  5 x  t    35t 4  6 x  t    t 5  7 x  t  
 dt

 dt

 dt

ms
 dm
  r  s 1


r s  d
du :  m, r   t  m x  t         m  i   bk  s, r  t
 m s x  t   

 dt
  s 1  i 0
 dt

(б).
r
du  7,5 ;
 d2

 d3

 d4

 d5

 d6

2520  2 x  t    4200t  3 x  t    2100t 2  4 x  t    420t 3  5 x  t    35t 4  6 x  t   
 dt

 dt

 dt

 dt

 dt

 d7

t 5  7 x  t   .
 dt

Что и требовалось показать.
Рассмотрим пример. В этом примере акцент сделан на возможности читателя самостоятельно задать параметры решаемой СДУ и написать программу [4].
Определим или зададим кратность r корня k  j  , порядок СДУ,число J разных корней. Если
J  n , то имеются кратные корни.
Рассмотрим корень k  j  кратности r  1 . Соответствующее этому корню решение СДУ (1)
ищется в виде вектора-столбца Q , умноженного на exp  k  j  * t  . Введем вектор Q
Q : vector  n, 
 .
Чтобы задать компоненты вектора Q , введем матрицу b
b : matrix  n, r , 
Тогда
for i
 ;
from 1 to n do
r
Qi :  bi ,mt  m 1
m 1
od:
Компоненты b i, m определяются после подстановки
Константин Титов
стр. 6
1/18/2016
D:\446993752.doc
 r

(14)
Qekt   bi ,mt m1  ekt
 m1

в исходную СДУ (1) из системы линейных уравнений, получающейся приравниванием
коэффициентов при степенях t к нулю.
Примечание. Здесь и дальше вектор, например Q , когда это удобно, будем обозначать через
его компоненты, взятые в фигурные скобки.
 r
 r
m  2  kt
m 1 
kt
kt
  bi ,m  m  1 t  e   bi ,mt  ke  AQe .
m2

 m1

Подставляем (14) в (1) и, сокращая на exp  kt  , получаем
 A  kE  Q  Q
0
r 1


где Q  bi ,1   bi ,u 1t u  ,
u 1


r 2


Q  bi ,2   bi ,u  2  u  1 t u  .
u 1


(15)
(16)
Выражение (15), используя обозначения (16), представим в виде многочлена от t
r 1
r 2

u 
u
 A  kE  bi ,1   A  kE   bi ,u 1t   bi ,2    u  1 bi ,u  2t   0.
u 1
u 1

 

Левую часть равенства (17) можно записать под знаком одной суммы
r 2
  A  kE  col  b, u  1   u  1 E  col  b, u  2  t
u
 0, r  2.
(17)
(18)
u 0
В последнем выражении слагаемое, содержащее t r 1 опущено, так как коэффициент
 A  kE  col b, r 
при t в степени  r  1 должен быть также равен нулю. А уравнение
 A  kE  col b, r   0 определяет
col(b,r) как собственный вектор.
Приравнивая коэффициенты при всех степенях t в многочлене (18) нулю, получим необходимые
уравнения для определения матрицы b :
 A  kE  col  b,1  E  col  b, 2   0,
 A  kE  col  b, u  1   u  1 E  col  b, u  2   0, u  1,...,  r  2  , r  2.
(19)
Из (19) также следует другая возможность определять столбцы матрицы b через её первый
столбец col  b,1 [4]
col  b, j  
Константин Титов
1
j 1
 A  kE   col b,1 , j  2,..., r.
 j  1!
стр. 7
(20)
1/18/2016
D:\446993752.doc
Вывод. Таким образом, весь необходимый алгоритм решения поставленной задачи сформирован. Остается только записать программу в одной из систем компьютерной математики, что и
было сделано в среде Maple [3,4]. Компьютерная программа решения задачи оригинальна и написана так, чтобы её можно было использовать как обучающую. Такой подход позволяет студенту
лучше понять работу математического аппарата при его изучении. Рассмотренная интерактивная
обучающая модель может быть также встроена в образовательный процесс и расширяет (насыщает) таким образом контент электронного ресурса [4] как инструмента компьютерных технологий в
обучении. Модель имеет также практическое значение при решении конкретных задач, описываемых СЛДУ.
Список литературы.
1. Пискунов Н.C. Дифференциальное и интегральное исчисления, т. 2, М.: Наука, 1985. 560с.
2. Титов К.В. Об одном методе решения системы линейных дифференциальных уравнений// М.:
Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. Спец. Выпуск «Математическое моделирование», 2011.с. 110-113.
3. Дьяконов В.П. Maple 6: учебный курс. СПб.: Питер, 2001. 608 с.
4. www.bmstu.ru/ps/~kvtitov
5. Чарльз Генри Эдвардс , Дэвид Э. Пенни. Дифференциальные уравнения и проблема собственных
значений: моделирование и вычисление с помощью Mathematica, Maple и MATLAB . ( Differential
Equations and Boundary Value Problems: Computing and Modeling) — 3-е изд. — М.: Питер,
2007. 380 с.
И Список литературы на английском
6. Klima R., Sigmon N., Stitzinger E. Applications of Abstract Algebra with Maple. – CRC Press, 2000.
P. 350/
7. Abell M., Braselton J. Maple V by Example, Second Edition. – Academic Press, 1998. P. 320/
8. Abell M., Braselton J. Instructors Resource Manual for Modern Differential Equations: Theory, Applications, Technology. – Saunders College Publishing, 1996. P.210.
9. Yang W.Y., Cao W., Chung T.-S., Morris J. Applied numerical methods using Matlab. A John Wiley
and Sons, Inc., Hoboken. New Jersey, 2005. P. 290.
Константин Титов
стр. 8
1/18/2016
D:\446993752.doc
Abstract. Article is devoted to development of computer technologies in education. In this regard
transformation of known methods of the solution of tasks to a look convenient for writing of training programs in one of systems of computer mathematics, for example, Mathcad or Maple is important. In this
case such statement of process of training can be considered closed on an ultimate goal - receiving all
range of knowledge from the theory to practical result. And an available electronic resource on this subject and the link www.bmstu.ru/ps/~kvtitov to it allows to receive multiple decisions in an interactive
mode and, in this sense, does article mobile and original regarding use of information and telecommunication technologies in Internet-space.
Keywords: differential equations, computer technologies, Internet, systems of computer mathematics, education.
Константин Титов
стр. 9
1/18/2016