Расчет электрических емкостей многожильного кабеля

НАУКА И ТЕХНИКА
РАСЧЕТ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЕМКОСТЕЙ
МНОГОЖИЛЬНОГО КАБЕЛЯ
С КОМБИНИРОВАННОЙ ИЗОЛЯЦИЕЙ
К.К. Абрамов, канд. техн. наук,
ведущий научный сотрудник ОАО «ВНИИКП»
Электрические емкости, емкостные связи, асимметрия
жил относятся к основным из нормируемых параметров
кабелей связи. Расчеты и измерения их проводят при разработке, производстве и эксплуатации кабелей с целью оценок
соответствия кабеля техническим требованиям, стабильности технологического процесса и состояния кабелей при
хранении, монтаже и эксплуатации.
Конструктивно изоляцию кабелей связи обычно выполняют комбинированной: она может состоять из одного материала (однослойная) и из разных материалов (многослойная).
Пространство между жилами в сердечнике заполнено воздухом
или некоторым изолирующим материалом. Поскольку значения диэлектрических проницаемостей ε изоляционных материалов разные, то их отличия по разному влияют на параметры емкости и эти особенности должны учитываться в методах
расчета. В целях упрощения расчета в инженерных формулах
вводят эквивалентное значение ε = εэкв, относящееся ко всей
изоляции кабеля. Так хорошо известна приближенная формула
, (1)
в ней кроме εэкв введен коэффициент ψ, учитывающий
роль других жил кабеля, окружающих расчетную пару. В
рамках принятой идеализации (1) можно задать, как точные,
d – диаметр токопроводящих жил и a – расстояние между
центрами жил пары. Величины εэкв , ψ – вводят как приближенные. Значение εэкв вычисляют отдельно от конструкции
рассматриваемого кабеля, усредняя по некоторому правилу
значения ε всех сред изоляции. При этом существующие
особенности распределения электрического поля в изоляции кабеля теряются, что ведет к ошибкам расчета.
Для расчета рабочих емкостей симметричных кабелей
с комбинированной изоляцией, содержащих одну пару,
четверку или пять четверок, имеются формулы [1]. В них
для изоляции жил и для среды-заполнения между жилам
введены разные ε, поэтому они точнее отражают конструкцию
изоляции, но формулы остаются частными, как предназначенные только для рабочих емкостей симметричных цепей
кабелей и ограниченные введенной идеальной симметрии
жил. Они исключают учет поясной изоляции, как отдельного
элемента конструкции. Идеализация размеров и расположения жил упрощает расчет, но исключает все причины
образования емкостной асимметрии и их оценки. Погрешность расчета рабочей емкости по [1] имеет порядок 6 %.
Современные компьютеры открыли принципиально
новые возможности проведения расчетов кабелей и позволяют вместо инженерных формул применять общие методы,
№3
5 (312),
(316), 2008
2009
полные и точные, которые получены на основе единой
постановки задачи и с возможностью отражать большинство
реальных особенностей структуры и конструкции кабеля,
свойств всех материалов его изоляции. Ниже в постановке
[2] предложен метод расчета емкостей рабочих и других
цепей кабеля с вычислением матриц потенциальных коэффициентов и частичных емкостей на основе модели обобщенного кабеля.
Частичные емкости связаны с емкостными коэффициентами кабеля уравнениями
ci,k = – βi,k > 0 – частичная взаимная емкость i-й и k-й жил,
ck,0 > 0 – частичная емкость k-й жилы по отношению к экрану,
ck,k = ck,0 + ck,2 + .. + ck,0 + ..ck,m = βk,k > 0 – емкость k-й жилы
по отношению к экрану и остальным жилам, соединенным
с экраном и землей.
Матрица коэффициентов (βi,k), является обратной матрице потенциальных коэффициентов αi,k, то есть (βi,k) = (αi,k)–1,
которые непосредственно зависят от параметров конструкции кабеля. Зависимости αi,k от конструкции следуют из
решения краевой электростатической задачи. Для этого
ее решение следует привести к форме
(uk) = (αki) · (qi), (2)
где (uk) – вектор (матрица-колонка) напряжений (потенциалов жил) простых цепей), (qi) – вектор (матрица-колонка)
зарядов простых цепей (жил кабеля).
РЕШЕНИЕ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ
Пространственную функцию электрического потенциала в любой точке любого слоя изоляции или заполнения
кабеля, реальную величину, представим в форме разложения ее в комплексный ряд Фурье по экспонентам einφ
, (3)
где С0, D0, Сv, Dv – постоянные интегрирования; ρ, φ – полярные координаты рассматриваемой точки изоляции в поперечном сечении кабеля, r – внутренний радиус слоя изоляции жилы, если ρ ≥ r, или внешний радиус слоя поясной
изоляции, если ρ ≤ r, χ = ρ/r
.
Напряженности электрического поля в точке ρ, φ вычислим как составляющие градиента U(ρ, φ) по формулам:
,
.
(4)
3
НАУКА И ТЕХНИКА
В любом из слоев изоляции k–й жилы для одного v
,
(5а)
переходе от решения (9) к (3) выполнены преобразования
координат по правилу сложения комплексных чисел. Если
и в любом из слоев поясной изоляции для одного v
,
ri – радиусы изолированных жил, корделей (значения
i, k = 1, 2, ... m относятся к жилам, значения m + 1, ...m + mk – к
корделям, индекс i = 0 соответствует поясной изоляции).
и
– комплексные величины, сопряженные с Cvk и Dvk. При
. (5б)
Заряды рассматриваются как источники электрического
поля, при этом D0,k для любого слоя изоляции k-й жилы
и заряд qk, связаны уравнением:
.
(6)
Поскольку cvk и Dvk с электрическими зарядами qi связаны
линейно, то
(7а)
(7б)
(7в)
. (7г)
w = x + iy = ρ · eiφ,
,
li,k = – lk,i, то
(10)
или
wi = lik + wk, w0 = l0k + wk,
где ai,k – расстояние между центрами i – й и k – й жилами;
ψi,k – угол относительно оси x, под которым точка k видна
из точки i.
После преобразований и замен постоянных по (7а)–(7г)
получаем
, (11)
Постоянные cvk ∂vk зависят только от геометрических
размеров и диэлектрической проницаемости сред кабеля
и имеют смысл параметров его конструкции.
Величинам ε` можно давать реальные (ε` = ε) или, чтобы
учитывать диэлектрические потери в кабеле – комплексные
значения (ε` = ε – jtgδ, или ε` = jωε + σ). Применяя комплексные значения ε` нужно учитывать, что введены два мнимых
числа i и j. Их следует рассматривать как разные, независимые величины, произведение которых i ∙ j ≠ –1. На поверхности токопроводящей жилы (ρk = rk) потенциал U(rk ,φk)
постоянен, не зависит от φk, поэтому
, (12)
,
(13)
. (14)
, (8а)
а величины, стоящие при uk и qi – это искомые потенциальные коэффициенты
Постоянные cvk, ∂vk и сопряженные с ними
связаны уравнениями,
(v ≥ 1)
,
(8б)
,
,
Функцию потенциала в заполнении можно представлять
не только суммой (3), но и равноценной ей суммой (9). Поле
в (9) представлено совокупностью полей всех источников,
существующих на поверхностях изолированных жил и на
поверхностях изолирующих корделей кабеля
,
,
,
, (9)
где ρi , φi – локальные координаты точки; их центры совпадают с центрами соответствующих жил или корделей, χi = ρi /ri;
4
(15)
где pvk,
– коэффициенты реакции и сопряженные им значения на поверхности k-й изолированной жилы, полученные после
выполнения граничных условий «внешняя поверхность изоляции жилы – заполнение» для составляющих поля εEρvk и Eφvk.
Значения εEρvk и Eφvk на внутренней и внешней поверхностях внутри каждого слоя изоляции k-й жилы (не выходя
за его пределы) связаны уравнениями
, (16)
где Э(rb, ra) – матрица второго порядка, а э11, э12, э21, э22 – ее
элементы, назовем ее матрицей перехода через слой от
поверхности ra к поверхности rb (χ = rb/ra), равна
НАУКА И ТЕХНИКА
 χ v + χ −v

2χ
Э (rb , ra ) = 
v
 i ( χ − χ −v )
 ε `⋅2 χ

− iε `( χ v − χ − v ) 

2χ
,
χ v + χ −v


2χ

(17)
где ε – относительная диэлектрическая проницаемость
среды данного слоя. На границе раздела j-го и j + 1 слоев
(ρ = rj) имеет место равенство
,
поэтому переходу через два и более слоя соответствует
произведение матриц Э(rj+1, rj)
Э(rb, ra) = Э(rs+1, rs) · Э(rs, rs–1) · .... · Э(r2, r1),
(18)
где, rb = rs+1 , ra = r1 – внешний и внутренний радиусы многослойной изоляции жилы.
Поверхность каждой токопроводящей жилы эквипотенциальная, поэтому на ней и на примыкающей к ней внутренней поверхности изоляции жилы Eφ(ra) = 0, а на внешней
поверхности согласно (18)
. (19)
Граничные условия «наружный слой изоляции жилы –
заполнение» или «внутренний слой поясной изоляции –
заполнение» приводят к уравнениям для pvk, pv0. На поверхности изолированной жилы (χ > 1)
,
(20)
откуда
.
чить или непосредственно, обращением ее матрицы, или
методом последовательных приближений. При разных N
будем получать разную точность решения и для достижения
требуемой точности нужно подобрать подходящее N = N`.
Метод последовательных приближений позволяет сравнивать методы разных авторов с результатами данного
метода и оценивать их точность.
ПОДГОТОВКА ИСХОДНЫХ ДАННЫХ
Для выполнения расчета должна быть задана структура кабеля, а также:
– количество проводящих элементов m;
– количество корделей из изолирующего материала mk;
– координаты центра каждого проводящего элемента
(xk, yk; k = 1, 2, …m) и каждого корделя (ρk, φk или xk, yk;
k = m + 1, m + 2, …m + mk);
– максимальное количество слоев изоляции жил и поясной изоляции кабеля s. Если количество слоев изоляции
некоторого элемента менее s, то толщины «лишних» из его
слоев следует принять равными нулю;
– внешний радиус каждого проводящего элемента rk,1
и радиусы по внешней поверхности каждого изолирующего его слоя rk,j;
– внутренний радиус экрана r0,1 и каждый радиус по
внутренней поверхности слоя поясной изоляции r0,j (экрану
присвоен нулевой номер k = 0);
– диэлектрические проницаемости материалов, послойно,
изолирующих слоев и корделей εk,j, (k = 0, 1, ..., m + mk,
j = 0, 1, ...S); j = 0 соответствует корделю или жиле. Для
выделения из множества элементов кабеля токопроводящих жил принято εk,0 = 0.
ПОРЯДОК РЕШЕНИЯ МЕТОДОМ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ
Расчет начинают с вычисления коэффициентов реакции изоляции жил pvk и поясной изоляции pv0. Затем вычисляют векторы расстояний между центрами разных жил ljk
и между центром экрана и центрами жил l0k.
Далее задают первые приближения параметров
,
(21)
,
и
На внутренней поверхности поясной изоляции (χ < 1)
.
Так как
, то
(22)
.
(23)
Выражения (11)–(15) вместе образуют неоднородную
линейную систему уравнений с бесконечным количеством
неизвестных. Приближенные решения ее можно получать
при ограничении числа неизвестных и числа уравнений, некоторым значением N < ∞. Поскольку определитель системы
отличен от нуля, то решение в численном виде можно полу-
№3
5 (312),
(316), 2008
2009
.
и вычисляют
,
cv(0i ) = − p v 0 ∂ (vi0) .
По формулам (11)–(15) определяют второе приближение
для
,
, затем третье приближение и т.д. пока не
будет достигнута необходимая точность, то есть разности
значений, полученные на n-м и (n–1)-м шагах вычислительного процесса по абсолютной величине не будут отличаться
более, чем на величину заданной максимальной ошибки.
СОБСТВЕННЫЕ И ВЗАИМНЫЕ ЕМКОСТИ
РАБОЧИХ ЦЕПЕЙ КАБЕЛЯ
Выше кабель рассматривался как совокупность простых
несимметричных цепей, образованных из одной жилы
5
НАУКА И ТЕХНИКА
и экрана кабеля. Электрические емкости рабочих и более
сложных комбинированных цепей определяют по известным правилам, например [3], пользуясь линейными зависимостями между напряжениями uk (или между зарядами
qk) простых и UK (или QK) – рабочих и других комбинированных цепей, образуемых подключением к ним нагрузок.
В матричной форме это
откуда находим емкости комбинированных цепей
(CK,I) = (MqK,k)(ck,j)(MuJ,j)–1.
Расчетные формулы для собственных и взаимных емкостей цепей четверки или отдельных двух пар приведены
в табл. 1.
(UK) = (Mu) · (uk), (QK) = (Mq) · (qk).
Любая симметричная цепь состоит из прямого провода
(одно- или многожильного) и обратного провода (одно- или
многожильного). Количество жил прямого и обратного проводов могут быть или одинаковыми, или разными. Напряжение симметричной цепи вводят как разность между средним напряжением жил прямого провода и средним потенциалом жил обратного провода. Заряд симметричной цепи
равен полуразности суммы зарядов жил прямого провода
и суммы зарядов жил обратного провода.
Любая несимметричная цепь состоит из прямого провода
(одно- или многожильного) и обратного провода–экрана
кабеля. Напряжение несимметричной цепи – это среднее
значение напряжений, а заряд равен сумме зарядов входящих в нее простых цепей.
В качестве примера ниже приведены значения Mu и Mq
для кабеля 1 × 4 × 1,2.
,
.
Связи между напряжениями и зарядами простых цепей
определены уравнением (2), поэтому
(QK) = (MqK,k)(ck,j)(MuJ,j)–1(UJ)
где
ПРИМЕРЫ РАСЧЕТОВ ЕМКОСТИ
ЦЕПЕЙ РАЗНЫХ КАБЕЛЕЙ
1. Анализ пределов изменения рабочей емкости кабеля
1 × 4 × 1,2 с полиэтиленовой изоляцией при прохождении
влаги в его сердечник при повреждениях оболочки или
через концы строительных длин. Рассмотрены варианты:
а) сердечник внутри сухой, между жилами воздух, б) на
поверхностях жил, центрирующего корделя и на внутренней поверхности поясной изоляции образовался конденсат
влаги, в) сердечник между жилами заполнен водой. Результаты расчетов приведены в табл. 2.
2. LAN-кабель UTP 4 × 2 × 0,52 с пленко-пористой
изоляцией. Диаметр изолированных жил – 1,0 мм, заполнение сердечника – воздушное, наружная оболочка – из
ПВХ-пластиката.
2.1. Зависимость рабочей емкости цепей кабеля от
диэлектрической проницаемости изоляции жил εжил. показана на рис. 1. Изменение εжил от 1,20 до 2,30 увеличивает
рабочую емкость в 1,50 раза.
2.2. Зависимость рабочей емкости цепей кабеля от
толщины оболочки из ПВХ-пластиката, показана на рис. 2а.
Увеличение толщины оболочки от 0,30 мм до 0,90 мм увеличивает емкость на 2,6 %.
2.3. Зависимость рабочей емкости цепей кабеля от плотности прилегания оболочки из ПВХ-пластиката к сердечнику
кабеля, рис. 2б. Плотность прилегания при этом характеризуется толщиной воздушного зазора между сердечником
и оболочкой кабеля. При изменении толщины зазора от
нуля до 0,30 мм емкость уменьшилась на 3,7 %.
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА К ДРУГИМ ЗАДАЧАМ
,
Расчет сопротивлений изоляции жил. Введение размерного коэффициента 1/(2πε0), как общего множителя для определяемых параметров, позволяет заменять этот множитель
и распространять метод на другие задачи. Для расчета
Расчетные формулы для собственных и взаимных емкостей
Цепи
Емкости комбинированных цепей и частичные емкости кабеля
(первая четверка или первые две пары)*
Основная 1
C11 = 0,25(c11 + c22 + c12 + c21),
e1 = c11 – c22
Основная 2
C22 = 0,25(c22 + c44 + c24 + c42),
e2 = c33 – c44
Фаномная 3
C33 = 0,25(c11 + c22 + c33 + c44) + 0,5 · (– c12 + c34 + c13 + c23 + c14 + c24)
Несимметричная 4
C44 = (c11 + c22 + c33 + c44) – 2(c12 + c34 + c13 + c23 + c14 + c24)
Между цепями 1–2
C12 = 0,25(c13 – c23 – c14 + c24),
Между цепями 1–3
C13 = 0,25 · (– c11 + c22 – c13 + c23 – c14 + c24)
Между цепями 1–4
C14 = 0,5 · (– c11 + c22 + c13 – c23 + c14 – c24)
k1 = (c13 – c23 – c14 + c24)
* Формулы k1, e1, e2 – для коэффициента емкостной связи и емкостной асимметрии цепей.
6
Таблица 1
НАУКА И ТЕХНИКА
Варианты расчетов рабочей емкости кабеля 1 × 4 × 1,2
Поясная изоляция кабеля и заполнение
Трубка с заполнением сердечника воздухом
Трубка с полиэтиленовым заполнением.
По изоляции и корделю имеются воздушные прослойки.
сопротивлений изоляции кабелей с комбинированной изоляцией с разными объемными сопротивлениями (проводимостями) материалов слоев ε0 нужно заменить на некоторое
σ0, а относительные значения диэлектрических проницаемостей – на относительные проводимости σ/σ0.
Расчет индуктивностей. Метод можно применять для
расчетов значений внешних индуктивностей (частичных и цепей) кабелей при неограниченном возрастании частоты или увеличении проводимостей материалов жил и экрана. Индуктивности аналогичны потенциальным коэффициентам. Множитель 1/(2πε 0) при этом
нужно заменить на μ0/(2π), а все относительные диэлектрические проницаемости сред – на их относительные
магнитные проницаемости, если в кабеле есть магнитодиэлектрики, или на μ = 1 , если все материалы изоляции кабеля немагнитные. Свойства проводящих жил
и экрана в расчет не вводятся.
Расчет тепловых сопротивлений. Так как стационарное тепловое поле определяется скалярным потенциалом, который удовлетворяет уравнению Лапласа, а каждая
В заполнении сердечника
под поясной изоляцией
– воздух
– конденсат влаги
– вода
Таблица 2
Рабочая емкость,
нФ/км
32,75
41,90
52,86
– воздух
– конденсат влаги
– полиэтилен
Вариант.
– вода вместо корделя
36,18
44,50
37,77
40,33
Рис. 1. Зависимость рабочей емкости пары LAN-кабеля UTP
4 × 2 × 0,52 от относительной диэлектрической
проницаемости пленко-пористой изоляцией его жил ε.
Максимальные значения с учетом укрутки жил
Рис. 2. Зависимость рабочей емкости пары LAN-кабеля UTP 4 × 2 × 0,52:
а) от толщины ПВХ-оболочки, б) от величины зазора между сердечником и ПВХ-оболочкой, толщиной 0,6 мм.
поверхность проводящего элемента имеет примерно
постоянную температуру, то данным решением можно
пользоваться для расчетов тепловых сопротивлений
кабелей с комбинированной изоляцией, положительными
и отрицательными источниками тепла в кабеле. Значения ε нужно заменить на соответствующие коэффициенты теплопроводности.
№3
5 (312),
(316), 2008
2009
Литература
1. Мирзабекян Ж.М. Определение емкости симметричных кабелей связи // Электросвязь. – 1982. – № 1.
2. Абрамов К.К. Модель конструкции обобщенного кабеля // Кабели и провода. – 2008. – № 2.
3. IEC 61156-1: Multicore and symmetrical pair/quad cables for digital
communications – Part 1: Generic specification, 2002-12.
7