методические указания к контрольным работам

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО РЫБОЛОВСТВУ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ
БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ
УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
"МУРМАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ"
Составитель – Комарова Светлана Николаевна, старший преподаватель кафедры информационных систем и прикладной математики Мурманского государственного технического университета;
Кафедра информационных
систем и прикладной математики
Методические указания рассмотрены и одобрены кафедрой информационных систем и
прикладной математики 18 апреля 2013 г.,
протокол № 8
Математика
Методические указания и контрольные задания для студентов заочной формы обучения по
направлению 040400.62 «Социальная работа»
Мурманск
2013
Рецензент Авдеева Елена Николаевна, доцент
кафедры информационных систем и прикладной математики Мурманского государственного технического университета
Электронное издание подготовлено в авторской редакции
Мурманский государственный технический
университет
183010, Мурманск, ул. Спортивная д. 13 тел.
(8152) 25-40-72
Уч.-изд. л. 1,15 Заказ
 Мурманский государственный
технический университет, 2013
1
ОГЛАВЛЕНИЕ
ОБЩИЕ ОРГАНИЗАЦИОННО-МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ....................................... 3
ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН ............................................................................................................. 4
СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ ..................................................................... 6
СОДЕРЖАНИЕ И МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ИЗУЧЕНИЮ ТЕМ
ДИСЦИПЛИНЫ .............................................................................................................................. 7
МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ...................................... 15
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К КОНТРОЛЬНЫМ РАБОТАМ .................................... 29
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА 1 ....................................................................................................... 29
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА 2 ....................................................................................................... 30
ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ .......................................................................................................... 32
2
ОБЩИЕ ОРГАНИЗАЦИОННО-МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
Настоящие методические указания составлены на основе ФГОС ВПО по
направлению 040400.62 «Социальная работа», утвержденного 8 декабря 2009
г. и рабочего учебного плана данного направления.
Целью дисциплины «Математика» является подготовка в соответствии с
квалификационной характеристикой бакалавра и рабочим учебным планом
направления подготовки 040400.62 Социальная работа.
Задачи изложения и изучения дисциплины – дать необходимые знания по
основам математики для решения задач в профессиональной деятельности.
Процесс изучения дисциплины «Математика» направлен на формирование
элементов следующих компетенций в соответствии с ФГОС ВПО по направлению подготовки 040400.62 Социальная работа. Профиль: социальная защита и социальное обслуживание семей и детей:
а) общекультурных (ОК):
– владеть культурой мышления, способен к обобщению, анализу, восприятию информации, постановке цели и выбору путей ее достижения (ОК-1);
– уметь логически верно, аргументировано и ясно строить устную и письменную речь (ОК-2);
– использовать в профессиональной деятельности основные законы естественнонаучных дисциплин, в том числе медицины, применять методы математического анализа и моделирования, теоретического и экспериментального
исследования (ОК-10).
В результате изучения дисциплины студент должен:
Знать основы аналитической геометрии, линейной алгебры, дифференциальных и интегральных исчислений;
Уметь использовать математические модели явлений и процессов в социальной работе;
Владеть математическими методами исследования в социальной работе.
Для изучения данной дисциплины студентам необходимо усвоение математики в объеме курса общеобразовательного учреждения. Усвоение других
дисциплин не требуется.
3
ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН
Общая трудоемкость дисциплины составляет
5 зачетных единиц, 180 часов.
№
п\п
Содержание разделов (модулей), тем
дисциплины
1
2
1 семестр
Линейная алгебра с элементами аналитической геометрии.
Вектор в декартовых координатах. Операции над векторами, свойства операций. Матрицы. Основные операции над
матрицами. Определители и их свойства.
Вычисление определителей. Решение
систем линейных алгебраических уравнений.
Прямая на плоскости. Кривые второго
порядка. Уравнение плоскости и прямой
в пространстве.
Функции. Предел и непрерывность.
Понятие множества и функции.
Предел функции. Бесконечно большие и
бесконечно малые функции. Теоремы о
пределах. Замечательные пределы.
Непрерывность функции в точке и на
множестве. Точки разрыва и их классификация.
Дифференциальное исчисление.
Производная и ее геометрический
смысл. Таблица производных основных
элементарных функций. Правила дифференцирования. Производная сложной
функции. Производные высших порядков. Касательная и нормаль к плоской
кривой. Понятие дифференциала и его
геометрический смысл.
Исследование функций и построение
графиков с помощью производной.
Первообразная и интеграл
Первообразная и неопределенный интеграл, основные свойства. Таблица интегралов. Методы интегрирования.
Определенный интеграл и его свойства.
Геометрический смысл интеграла. Формула Ньютона-Лейбница.
Приложения определенного интеграла.
1
2
3
4
Количество часов, выделяемых на виды учебной подготовки
Лекции
3
ПР
4
СР
5
2
2
36
1
1
20
1
1
26
1
1
1
1
20
20
0,5
0,5
0,5
0,5
8
14
1,5
1
1,5
1
31
17
0,5
0,5
14
4
5
6
7
Функции нескольких переменных.
Частные производные ФНП. Градиент и
производная по направлению. Формула
Тейлора для функции двух переменных.
Экстремумы функций нескольких переменных. Необходимые и достаточные
условия.
Дифференциальные уравнения.
Дифференциальные уравнения первого
порядка. Частное и общее решения. Задача Коши. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.
Однородные дифференциальные уравнения первого порядка. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнения Бернулли.
Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.
Характеристическое уравнение. Общее
решение.
Ряды.
Числовые ряды. Необходимый признак
сходимости ряда. Знакопостоянные ряды, признаки сходимости. Знакочередующиеся ряды, их абсолютная и условная
сходимости.
Степенные ряды. Центр и радиус сходимости степенного ряда. Ряды Тейлора и
Маклорена. Разложение основных элементарных функций.
Всего в 1-м семестре:
Итого:
0,5
0,5
0,5
0,5
14
14
1,5
1
1,5
1
27
17
0,5
0,5
10
1
0,5
1
0,5
22
12
0,5
0,5
10
8
8
8
8
164
164
5
СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Основная
1.
В.С.Щипачев. Задачник по высшей математике: Учеб. Пособие для вузов. - М., Высшая школа, 2002. – 304с.: ил.
2.
Общий курс высшей математики для экономистов. Учеб.
пособие под ред. В.И.Ермакова - М.: Инфра,2006-33с
3.
Сборник задач по высшей математике для экономистов:
Учеб. пособие под ред. В.И.Ермакова - М.: Инфра,2006-516с
Дополнительная
4.
Кремер Н.Ш. и др. Высшая математика для экономистов /
Кремер Н.Ш., Путко Б.А., Тришин И.М., Фридман М.Н.- М.: Банки и
биржи, 2000.- 439 с.
5.
Лунгу К.Н., Норин В.П., Письменный Д.Т., Шевченко Ю.А.
Сборник задач по высшей математике. В 2 ч. / под ред. С.Н. Фетина. М.: Айрис-пресс, 2006. – 592 с.
6.
Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике:
полный курс. - М.: Айрис-пресс, 2006. – 592 с.
6
СОДЕРЖАНИЕ И МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ИЗУЧЕНИЮ
ТЕМ ДИСЦИПЛИНЫ
Тема: Линейная алгебра
Вектор в декартовых координатах. Операции над векторами, свойства операций. Линейная зависимость и независимость векторов.
Матрицы, виды матриц. Основные операции над матрицами. Ранг матрицы. Обратная матрица. Определители и их свойства. Миноры и алгебраические дополнения. Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).
Формулы Крамера. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.
Матричный способ решения систем линейных уравнений.
Цель: освоить основные понятия: вектора, матрицы и определителя; закрепить навыки выполнения операций над матрицами и векторами; закрепить
навыки вычисления определителей и систем линейных алгебраических уравнений.
Методические рекомендации по изучению темы: используйте образцы решения примеров, приведенных в учебной литературе, а также решите задачи
№ 1, №2, №3 из контрольной №1; при вычислении определителей используйте их свойства; при решении вопроса о наличии решения СЛАУ удобнее
находить ранг матрицы.
Рекомендуемая литература:
Основная: [1]-[3].
Дополнительная: [4] – [6]
Вопросы и задания для самопроверки:
1. Приведите определение матрицы, определителя и вектора.
2. Сформулируйте основные операции над матрицами.
3. Перечислите свойства определителей.
4. Что называется минором, алгебраическим дополнением элемента матрицы?
5. Приведите методы вычисления определителей второго и третьего порядка.
6. Сформулируйте алгоритм нахождения обратной матрицы.
7. Дать определение СЛАУ.
8. Сформулируйте основные методы решения СЛАУ.
Тема: Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве
7
Прямая на плоскости. Виды уравнений прямой на плоскости. Условия параллельности и перпендикулярности. Угол между прямыми. Кривые второго
порядка: окружность, эллипс, гипербола, парабола. Уравнение плоскости и
прямой в пространстве. Взаимное расположение прямых и плоскостей.
Цель: освоить основные понятия аналитической геометрии на плоскости и
в пространстве; закрепить навыки построения прямых на плоскости и кривых
второго порядка.
Методические рекомендации по изучению темы: используйте образцы решения примеров, приведенных в учебной литературе, а также решите задачу
№ 4 из контрольной №1; при построении кривых второго порядка рекомендуется приводить их уравнения к каноническому виду.
Рекомендуемая литература:
Основная: [1]-[3].
Дополнительная: [4] – [6]
Вопросы для самопроверки:
1. Сформулируйте основные понятия системы координат на плоскости.
2. Как осуществляется решение основных задач на плоскости: нахождение расстояния между двумя точками, деление отрезка в заданном отношении.
3. Приведите различные виды уравнения прямой на плоскости.
4. Запишите формулы для нахождения угла между двумя прямыми, признаки параллельности и перпендикулярности прямых, расстояние от точки
до прямой.
5. Запишите канонические уравнения кривых второго порядка: окружность, эллипс, гипербола, парабола.
6. Основные виды уравнений плоскости в пространстве: общее, проходящей через три точки, проходящей через точку, перпендикулярно заданному
вектору, в отрезках, нормальное уравнение.
7. Как найти угол между двумя плоскостями и расстояние от точки до
плоскости?
Тема: Функция. Предел и непрерывность функции.
Понятие множества. Основные операции над множествами. Функция. Основные свойства функций. Элементарные функции и их графики. Предел последовательности и его свойства. Предел функции. Бесконечно большие и
бесконечно малые функции. Теоремы о пределах. Замечательные пределы.
8
Непрерывность функции в точке и на промежутке. Точки разрыва и их классификация. Теоремы о непрерывных функциях. Свойства функций, непрерывных на отрезке.
Цель: освоить основные понятия теории пределов, теории множеств; закрепить навыки вычисления пределов и определения непрерывности функции.
Методические рекомендации по изучению темы: используйте образцы решения примеров, приведенных в учебной литературе; при вычислении пределов помните о свойствах бесконечно больших и бесконечно малых величин.
Рекомендуемая литература:
Основная: [1]-[3].
Дополнительная: [4] – [6]
Вопросы и задания для самопроверки:
1.
Дайте определение функции.
2.
Перечислите способы задания функции.
3.
Сформулируйте характеристики функции: область определения,
множество значений, четность, периодичность, монотонность, промежутки
знакопостоянства, точки экстремума.
4.
Сформулируйте определение предела функции в точке, односторонних пределов, предела функции на бесконечности.
5.
Дайте определение бесконечно малых и бесконечно больших функций и перечислите их свойства.
6.
Сформулируйте основные теоремы о пределах.
7.
Запишите первый и второй замечательные пределы и их следствия.
8.
Перечислите основные способы вычисления пределов.
9.
Дать определение непрерывности функции в точке, на интервале, на
отрезке.
10.
Как классифицируются точки разрыва функции?
Тема: Дифференциальное исчисление.
Производная и ее геометрический смысл. Таблица производных элементарных функций. Правила дифференцирования. Теоремы о производных.
Производная сложной функции. Производные высших порядков. Касательная и нормаль к плоской кривой. Понятие дифференциала и его геометриче9
ский смысл. Применение дифференциала для приближенных вычислений.
Исследование функций и построение графиков с помощью производной.
Цель: освоить основные понятия дифференциального исчисления; закрепить навыки нахождения производных и применение производных и дифференциалов.
Методические рекомендации по изучению темы: используйте образцы решения примеров, приведенных в учебной литературе, а также решите задачи
№5, №6, №7, №8 из контрольной №1; при нахождении производных и дифференциалов необходимо использовать таблицу производных и правила
дифференцирования. Исследование функций необходимо проводить в соответствии с планом исследования.
Рекомендуемая литература:
Основная: [1]-[3].
Дополнительная: [4] – [6]
Вопросы и задания для самопроверки:
1. Дать определение производной.
2. Сформулировать правила вычисления производной.
3. Сформулируйте основные теоремы дифференцирования.
4. Сформулируйте определения и теоремы об основных характеристиках
функции: возрастание и убывание, максимум и минимум, наибольшее и
наименьшее значение, выпуклость и вогнутость.
5. Как найти асимптоты графика функции?
6. Приведите схему полного исследования функции.
7. Как применяется формула Тейлора?
Тема: Неопределенный интеграл.
Первообразная и неопределенный интеграл, основные свойства. Таблица
интегралов. Методы интегрирования: непосредственное интегрирование; замена переменной; интегрирование по частям; тригонометрические подстановки. Интегрирование дробно-рациональных функций.
Цель: освоить основные понятия интегрального исчисления; закрепить
навыки вычисления неопределенных интегралов.
Методические рекомендации по изучению темы: используйте образцы решения примеров, приведенных в учебной литературе, а также решите задачу
№ 9 из контрольной №1; при вычислении неопределенного интеграла необходимо использовать таблицу первообразных и свойства интегралов, а также
10
помнить, что при замене переменной необходимо после вычисления интеграла вернуться к исходной переменной.
Рекомендуемая литература:
Основная: [1]-[3].
Дополнительная: [4] – [6]
Вопросы и задания для самопроверки:
1.
Сформулируйте определение неопределенного интеграла.
2.
В чем заключается метод непосредственного интегрирования?
3.
Как осуществляется метод интегрирования заменой переменной?
4.
Приведите формулу интегрирования по частям.
Тема: Определенный интеграл.
Понятие интегральной суммы. Определенный интеграл и его свойства.
Геометрический смысл интеграла. Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле. Понятие
несобственного интеграла. Приложения определенного интеграла: вычисление площадей фигур.
Цель: освоить основные понятия интегрального исчисления; закрепить
навыки вычисления определенных интегралов и приложения к нахождению
площади криволинейной трапеции, объемов тел вращения и длины дуги кривой.
Методические рекомендации по изучению темы: используйте образцы решения примеров, приведенных в учебной литературе, а также решите задачу
1 из контрольной работы №2; при вычислении определенного интеграла
необходимо использовать таблицу первообразных и свойства интегралов
также как и при вычислении неопределенных интегралов. При использовании метода интегрирования – замена переменной, достаточно перейти к новым пределам интегрирования и тогда после нахождения интеграла возвращаться к исходным переменным не требуется.
Рекомендуемая литература:
Основная: [1]-[3].
Дополнительная: [4] – [6]
Вопросы и задания для самопроверки:
1.
Показать, что определенный интеграл есть предел интегральной
суммы.
11
2.
Пояснить геометрический и физический смысл определенного интеграла.
3.
Сформулируйте формулу Ньютона-Лейбница и основные свойства
определенного интеграла.
4.
Какие методы интегрирования определенного интеграла и в чем отличие от таких же методов для неопределенного интеграла?
5.
Как применяются определенные интегралы?
Тема: Функции нескольких переменных.
Функции нескольких переменных (ФНП). Способы задания. Линии уровня.
Частные производные ФНП. Частные дифференциалы и полный дифференциал ФНП. Частные производные высших порядков. Градиент и производная по направлению. Формула Тейлора для функции двух переменных.
Экстремумы функций нескольких переменных. Необходимые и достаточные
условия экстремума.
Цель: освоить основные понятия функции многих переменных; закрепить
навыки нахождения производных и дифференциалов.
Методические рекомендации по изучению темы: используйте образцы решения примеров, приведенных в учебной литературе, а также решите задачи
№2, №3, №4 из контрольной работы №2; при нахождении частных производных следует помнить, что если по одной переменной функцию дифференцируем, то остальные переменные этой функции считаются постоянными.
Рекомендуемая литература:
Основная: [1]-[3].
Дополнительная: [4] – [6]
Вопросы и задания для самопроверки:
1.
Дать основные понятия ФНП.
2.
Сформулировать определение предела функции и непрерывности
функции двух переменных
3.
Как находятся частные производные первого и второго порядка?
4.
Что такое полный дифференциал?
5.
Сформулируйте необходимое и достаточное условия экстремума.
Тема: Ряды.
Числовые ряды. Основные понятия и определения. Необходимый признак
сходимости числового ряда. Знакопостоянные ряды и их признаки сходимо12
сти: Даламбера, интегральный признак Коши, сравнения. Знакочередующиеся ряды, их абсолютная и условная сходимости. Степенные ряды. Интервал и
радиус сходимости степенного ряда. Разложение функций в степенные ряды
Тейлора и Маклорена.
Цель: освоить основные понятия темы ряды; закрепить навыки исследования рядов на сходимость.
Методические рекомендации по изучению темы: используйте образцы решения примеров, приведенных в учебной литературе; составьте краткий конспект изучаемой темы.
Рекомендуемая литература:
Основная: [1]-[3].
Дополнительная: [4] – [6]
Вопросы и задания для самопроверки:
1.
Что называется числовым рядом?
2.
Сформулируйте необходимый признак сходимости числового ряда.
3.
Какие достаточные признаки сходимости числовых рядов вы знаете?
4.
Какие числовые ряды называются абсолютно и условно сходящимися?
5.
Как найти интервал и радиус сходимости степенного ряда?
Тема: Дифференциальные уравнения.
Дифференциальные уравнения первого порядка. Частное и общее решения.
Задача Коши. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с
постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Нахождение
частных решений неоднородных уравнений с постоянными коэффициентами.
Цель: освоить основные понятия темы дифференциальные уравнения; закрепить навыки решения основных видов дифференциальных уравнений.
Методические рекомендации по изучению темы: используйте образцы решения примеров, приведенных в учебной литературе, а также решите задачи
№5, №6, №7 и №8 из контрольной работы №2; при решении дифференциальных уравнений первого порядка с разделяющимися переменными необходимо следить за появлением особых решений, так как возможна их потеря в
результате преобразования уравнений.
Рекомендуемая литература:
13
Основная: [1]-[3].
Дополнительная: [4] – [6]
Вопросы и задания для самопроверки:
1.
Дать определение дифференциального уравнения.
2.
Что значит решить задачу Коши?
3.
Как решаются дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными?
4.
Что такое характеристическое уравнение?
5.
Как найти общее и частное решение линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами?
14
МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ.
Задача 1
Даны векторы a и b . Найти вектор c = a + b , скалярное произведение
( a · b ) и модуль вектора a , где a = (1; 4; -1; -5), b = (5; -1; 5; 2).
Решение:
Вектор с находится как сумма двух векторов a и b . Для того чтобы найти
сумму двух векторов заданных координатами необходимо сложить их соответствующие координаты.
с = a + b = (1; 4; -1; -5) + (5; -1; 5; 2) = (6; 3; 4; -3).
Скалярное произведение векторов – это число, полученное как сумма произведений соответствующих координат векторов.
a · b = 1·5 + 4·(-1) + (-1)·5 + (-5)·2 = -14
Длина вектора находится по формуле:
a  a12  a22  a32  a42 , где a = (a1 , a2 , a3 , a4 ) .
Тогда: a  12  42  (1)2  (5)2  43
Задача 2
Найти значение матрицы D = A · B – C2 и вычислить ее определитель, если
даны матрицы:
1 0


A = 0 1 , B =
 0 0


 2 1  2

, C =
1 
0 1
 0  2 0


 1 0 1  .
1
3 0 

Решение:
Для того чтобы найти значение матрицы D, необходимо в первую очередь
найти произведение матриц А и В. Операция умножения двух матриц возможна только в случае, если число столбцов первой матрицы равно числу
строк второй матрицы, тогда A32  B23  K33 . Произведением матрицы
Amn  (aij ) на матрицу Bn p  (b jk ) называется матрица Cm p  (cik ) такая, что
cik  ai1  b1k  ai 2  b2 k  ...  ain  bnk , где i = 1,..m; k = 1,...p, то есть элемент i-й строки
и k-го столбца матрицы произведения C равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы A на соответствующие элементы k-го столбца матрицы B. Тогда произведение двух матриц A и B:
15
1 0
 1 2  0  0 1 (1)  0 1 1 (2)  0 1 
 2 1  2

  2 1  2 




   0  2  1 0 0  (1)  11 0  (2)  11    0 1
1 
 0 1   
1  23 
 0 0  0 1


0 

32
 0  2  0  0 0  (1)  0 1 0  (2)  0 133  0 0
Аналогично находим С2 , как произведение матрицы С на саму себя, то
есть:
0  2
 0  2 0  0  2 0  2






С 2  C  C   1 0 1    1 0 1    1
5
0 
1
3 0   1
3 0    3  2 3 

Для того, чтобы найти разность двух матриц необходимо найти разность
соответствующих элементов этих матриц:
0  2  0 1 0 
 2 1  2  2

 
 

D  A B  C  0 1
1  1
5
0    1  4 1 
0 0
0    3  2 3   3
2  3 

2
Вычислим определитель матрицы D разложением по первой строке, так
как первая строка содержит больше всего нулей:
0
1
0
4 1
1 1
1  4
D   1  4 1  (1)11  0 
 (1)12  (1) 
 (1)13  0 
 1 (3  3)  0
2 3
3 3
3
2
3
2 3
Задача 3
Решить систему из трех уравнений
 x  2 y  3z  10

 2 x  y  5 z  9
 x  y  6z  7

a) по формулам Крамера;
b) методом Гаусса.
Решение:
a) При решении системы с использованием формул Крамера необходимо
составить определители. Обозначим ∆ - главный определитель системы (составляется из коэффициентов при переменных), а ∆i - дополнительные определители (составляются из главного путем замены i-того столбца коэффициентов на столбец свободных членов). Формулы: xi 
i
, где i = 1,...n называ
ются формулами Крамера.
Составим определители и вычислим их:
16
1
  2
2
1
1
1
1
3
10
 5  18, 1   9
2
6
7
2
1
1
3
1 10 3
 5  54,  2   2  9  5  36,
6
1
7
6
10
54
36
18
 3 , x2 
 2 , x3 
1.
 3   2 1  9  18. Значит, x1 
18
18
18
1 1 7
b) Процесс решения по методу Гаусса состоит из двух этапов. На первом
этапе система приводится к ступенчатому виду с помощью элементарных
преобразований расширенной матрицы системы. На втором этапе идет последовательное определение неизвестных из полученной ступенчатой системы.
Для решения данной системы уравнений составим расширенную матрицу
системы из коэффициентов при переменных и столбца свободных членов. С
помощью элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду:
2
3 10   1 2 3 10   1 2 3 10 
 1

 
 

  2 1  5  9    0 5 1 11    0 5 1 11
 1 1 6
7   0  3 3  3   0 0 18 18 

В результате исходная система преобразовалась к ступенчатой (восстано x  2 y  3z  10,
вим запись системы из полученной ступенчатой матрицы ):  5 y  z  11,

18 z  18.

Решение данной системы: x = 3, y = 2, z = 1.
Задача 4
a) Найти точку пересечения прямых y   x  2 и y  x  1
b) Найти уравнение прямой, проходящей через точку (1; 2) перпендикулярно к прямой y  2 x  1
c) Найти уравнение прямой, параллельной к прямой y  2 x  1 и проходящей через точку (2; 1)
d) Какая кривая описывается уравнением 3x 2  5 y 2  4 ? Написать каноническое уравнение этой кривой.
Решение:
a) Задача о нахождении точки пересечения двух прямых сводится к отысканию точки, координаты которой являются решением системы двух уравне y   x  2,
 y  x  1.
ний с двумя неизвестными: 
17
1 3
Таким образом точка пересечения имеет координаты:  ; 
2 2
c) Уравнение прямой, проходящей через точку (x0; y0) имеет вид:
y –y0 = k (x – x0).
Для нахождения углового коэффициента k воспользуемся условием
перпендикулярности двух прямых: k1  k2  1 . Тогда искомое уравнение
прямой:
k2  
де:
y2
1
x  1 ,
2
где
угловой
коэффициент
прямой:
1
1
1

 . Запишем полученное уравнение прямой в общем виk1
2 2
1
3
x  y   0 или x - 2y + 3 = 0.
2
2
c) В данной задаче воспользуемся условием параллельности двух прямых:
k1 = k2. Тогда уравнение искомой прямой: y 1  2x  2 , где угловой коэффициент прямой: k1 = k2 =2. Запишем полученное уравнение прямой в общем
виде: 2x – y – 3 = 0.
d) Данная кривая является эллипсом. Каноническое уравнение эллипса:
x2 y2

 1.
a2 b2
Приведем
уравнение
3x 2  5 y 2  4
к
каноническому
виду:
3x 2 5 y 2
x2
y2

 1. Тогда:

 1.
4
4
4/3 4/5
Задача 5
Найти производные функций:
а) y = 2x-3/2
b) y = x2·cos (5x+1) +
cos(3x)
ln( 4 x)
c) y = ln(sin(5x+1))
Решение:
Для нахождения производных функций необходимо воспользоваться таблицей производных и правилами дифференцирования.
а) Найдем производную функции y = 2x-3/2 . Для этого вынесем постоянный
множитель за знак производной и воспользуемся формулой из таблицы производных: ( x n )  n  x n1 . Получим: y  2( x 3 / 2 )  2(3 / 2) x 3 / 21  3x 5 / 2
b) Найдем производную функции y = x2·cos (5x+1) +
воспользуемся
правилами
дифференцирования:
cos(3x)
. Для этого
ln( 4 x)
(u  v)  u  v ;
18
(u  v)  u  v  u  v ; (u / v) 
u   v  u  v
и формулами из таблицы производных:
v2
(cos x)   sin x , (ln x)  1 / x . Функция cos(5x+1) является сложной функцией,
где cos(5x+1) = cos(u), u = 5x+1. Тогда по правилу дифференцирования
сложной функции (cos(5 x  1))  (cos u )  u   sin u  (5 x  1)  5 sin( 5 x  1) . Аналогично находится производная функций cos(3x) и ln(4x). Полу(cos 3x) ln 4 x  cos 3x(ln 4 x)
ln 2 4 x
 3 sin 3x  ln 4 x  cos 3 x  4 / 4 x
2 x  cos(5 x  1)  5 x 2  sin( 5 x  1) 
ln 2 4 x
чим: y  ( x 2 ) cos(5 x  1)  x 2 (cos(5 x  1)) 
=
c) Найдем производную функции y = ln(sin(5x+1)). Данная функция является сложной, где y = ln(z), z = sin(u), u = 5x+1. По правилу дифференцирования
сложной
функции
получим
Тогда:
y  (ln z )z zu ux .
1
1
y      cos(u )  5 
 cos(5 x  1)  5  5ctg (5 x  1)
sin( 5 x  1)
z
Задача 6
Найти вторую производную функции: у = e 2 x cos 3x .
Решение:
По определению: y  ( y) .
Найдем производную первого порядка используя правила дифференцирования и формулу (e x )  e x . Получим:
y  (e2 x ) cos 3x  e2 x (cos 3x) = 2e 2 x cos 3x  3e 2 x sin 3x .
Тогда: y  (2e 2 x cos 3x  3e 2 x sin 3x) =
2(e2 x ) cos 3x  2e2 x (cos 3x)  3(e2 x ) sin 3x  3e2 x (sin 3x) =
4e 2 x cos 3x  6e 2 x sin 3x  6e 2 x sin 3x  9e 2 x cos 3x =  5e 2 x cos 3x  12e 2 x sin 3x .
Задача 7
Разложить по формуле Тейлора в окрестности точки х = 0 до членов порядка х2 функцию y  cos(2 x)  ln( 1  x) и найти ее приближенное значение при
х = 0,1.
Решение:
Формула Тейлора в окрестности точки х = 0 имеет вид:
f ( x)  f (0) 
f (0)
f (0) 2
f ( n ) (0) n
x
x  ... 
x  Rn ( x) ,
1!
2!
n!
где n! = 1·2·3·4·….·n.
19
Для того, чтобы разложить заданную функцию до членов порядка х2, необходимо
найти
f ( x)  4 cos 2 x 
f (0) , f (0) , f (0) .
f ( x)  2 sin 2 x 
Найдем:
1
;
1 x
1
. Тогда: f (0)  1 , f (0)  1 , f (0)  5 . Получим следующее
(1  x) 2
разложение: f ( x)  1  x  5 / 2 x 2 . Найдем приближенное значение функции при
х = 0,1: f (0.1)  1  0.1  5 / 2  0.12  1.075
Задача 8
Исследовать функцию и построить ее график: y 
2
x 1
2
Решение:
Исследовать функцию и построить ее график: y 
2
x 1
2
Решение:
Схема исследования функции:
1) Область определения функции, точки разрыва.
2) Интервалы возрастания и убывания функции.
3) Найти точки экстремума.
4) Интервалы выпуклости и вогнутости функции.
5) Найти точки перегиба.
6) Асимптоты графика функции.
На основании проведенного исследования строится график функции.
Область определения функции y 
2
– вся числовая ось, то есть
x 1
2
D( f )  (;) . Значит, точек разрыва нет.
Найдем интервалы монотонности и экстремумы функции, исследуя

2 
 4x

первую производную: y   2   2 2 . Производная обращается в нуль
 x  1  ( x  1)
при х = 0. При х < 0 производная положительная, а при x > 0 производная отрицательная. Это означает, что функция возрастает на  ;0 и убывает на
0; . В точке х = 0 функция имеет максимум.
Чтобы определить интервалы выпуклости и точки перегиба, вычислим

  4 x  12 x 2  4
вторую производную функции: y   2 2   2 3 . Вторая производная
 ( x  1)  ( x  1)
обращается в нуль при 12 x 2  4  0 . Тогда x1  1 / 3 и x2  1 / 3 . Вторая произ-



водная положительна на интервалах:  ;1 / 3 ; 1 / 3; , следовательно
20
на этих интервалах функция вогнута. Вторая производная отрицательна на
 1/ 3;1/ 3 , тогда функция на этом интервале выпукла. Точки x1  1 / 3 и
x2  1 / 3 - это точки перегиба функции.
Найдем асимптоты графика функции. Вертикальных асимптот нет, так как
область определения D( f )  (;) . Найдем наклонную асимптоту y  kx  b .
Для этого найдем предел: k  lim
x 
f ( x)
2
2
 lim

 0 . Следовательно,
x  x( x 2  1)
x

наклонной асимптоты нет. Горизонтальная асимптота y  b , где
2
2

 0 . Тогда y = 0.
x 
x  x 2  1

Для построения графика вычислим значения функции в найденных точках:
f (0)  2 , f (1 / 3 )  f (1 / 3 )  3 / 2 .
Построим график функции:
b  lim ( f ( x)  kx)  lim
2.0
1.5
1.0
0.5
4
2
0
2
4
Задача 9
Найти неопределенные интегралы:
3
a)
 
b)
 1 2x
c)
x
xdx
x
2
2
1 
dx ;
x 
;
xdx
;
 4x  3
d)  3x  sin 2 xdx
Решение:
a) Для нахождения интеграла можно использовать свойства интегралов:
интеграл от разности функций равен разности интегралов; постоянный множитель можно вынести за знак интеграла, а также формулу  x n dx 
x n 1
C.
n 1
1 
x1 / 31
x 1 / 21
3 4/3
3
1/ 3
1 / 2
1/ 2
  x  x dx   x dx   x dx  1/ 3  1   1/ 2  1  C  4 x  2 x  C
.
21
b) Данный интеграл не является табличным, поэтому для его нахождения
можно применить замену переменной. Заменим 1+2x2 на t, то есть t =
1+2x2 . Тогда по правилу вычисления дифференциала dt  (1  2 x 2 )dx  4 xdx ,
следовательно xdx 
dt
.
4
xdx
dt 1 dt 1
1
=



ln
t

C
ln(1  2 x 2 )  C
 1  2 x 2  4t 4  t 4
4
c) При вычислении интеграла от дробно-рациональной функции вида
( x  a ) dx
можно в знаменателе подынтегральной функции выделить
2
 bx  c
x
полный квадрат и сделать замену переменной.
Например, для
x
2
xdx
преобразуем знаменатель подынтегральной
 4x  3
функции x 2  4 x  3  ( x 2  4 x  4)  4  3  ( x  2)2  1 . Сделаем замену переменной t = x-2. Тогда х = t+2, dx = dt.
x
2
xdx
xdx
(t  2)dt
tdt
dt
.

 2
 2
 2 2
2
 4x  3
( x  2)  1
t 1
t 1
t 1
Получили сумму из двух интегралов. Второй интеграл табличный
dx
1
xa

ln
 x 2  a 2 2a x  a  C , где а = 1, а в первом интеграле сделаем замену переменной u = t2 – 1, тогда tdt = du/2.
1 du
1 t 1 1
t 1 1
t 1 3
1
 2  ln
 ln u  ln
 ln t 2  1  ln
 ln t  1  ln t  1  C
2 u
2 t 1 2
t 1 2
t 1 2
2

d) Данный интеграл находится методом интегрирования по частям:
 udv  uv   vdu .
du  (3x)dx  3dx

 . Тогда по формуле интегри1
dv  sin( 2 x)dx v  sin 2 x dx   cos2 x 
2



Пусть 
u  3x

рования по частям:
 3x  sin 2 x dx   2 x cos2 x   2  cos2 x dx   2 x cos2 x   2  2 sin 2 x   C 
3
3
3
3 1
3
3
  x cos( 2 x)  sin( 2 x)  C
2
4
Задача 10
Найти определенные интегралы:
1
a)  ( x  x)dx ;
0
22
 4
b)
 sin
2
(2 x)  cos( 2 x)dx ;
0
с) найти площадь фигуры ограниченной кривой y  2 x  x 2 и осью абсцисс.
Решение:
a) Для вычисления интеграла используем метод непосредственного интегрирования. В результате получим:
1
1
 x1 / 2 1
x11 
2 1 1
 2 3/ 2 1 2 

(
x

x
)
dx


0
 1 / 2  1 1  1    3 x  2 x   3  2  6
0

0 
1
b) Для вычисления данного интеграла воспользуемся методом замены переменной. Пусть t = sin(2x), тогда dt = (sin2x)´dx = 2·cos(2x)dx. Следовательно cos(2x)dx = dt/2. Также необходимо заменить пределы интегрирования,
так как произошла замена исходной переменной:
t  sin( 2  0)  sin 0  0 
 x0
 x   / 4 t  sin( 2   / 4)  sin(  / 2)  1 .


 4
1
1
1 2
1 t3
1
sin
(
2
x
)

cos(
2
x
)
dx

t
dt



0

20
2 30 6
2
с) Площадь фигуры, ограниченной сверху кривой y = f(x), снизу осью OХ,
слева прямой x = a и справа прямой y = b можно вычислить по формуле
b
 f ( x)dx  F ( x)
Ньютона–Лейбница:
b
a
 F (b)  F (a) , где F(x) – первообразная для
a
функции f(x).
Фигура ограничена сверху графиком кривой y  2 x  x 2 , снизу осью ОХ.
Эта площадь находится как интеграл от функции f(x), а пределы интегрирования – координаты точек пересечения параболы с осью OX. Найдем эти
точки, решив уравнение 2 x  x2  0 . Корнями данного уравнения являются
числа: x1  0 и x2  2 . Поэтому нижний предел интегрирования равен 0, а
верхний равен 2. Тогда:
2
2
2 x 2 x3
1
4
S   (2 x  x )dx  (
 )  2 2  23 
2
3 0
3
3
0
2
Задача 11
Найти первые частные производные функций.
a) z  (e3 x y  2 x  y) ;
b) u  (2 x  3 y  4 z)2 .
Решение:
23
Частные производные функции двух и более переменных определяется по
тем же формулам и правилам, что и функция от одной переменной. Следует
помнить одно правило: если по одной переменной дифференцируем функцию, то остальные переменные считаются постоянными в этой функции.
a) Имеем функцию от двух переменных х и у: z  (e3 x y  2 x  y) . Тогда частные производные:
zx  e3 xy 3 y ( x)  2 y ( x)  3 ye3 xy  2 y , zy  e3 xy 3x( y)  2 x( y)  3xe3 xy  2 x
b) Данная функция является функцией от трех переменных x, y, z:
u  (2 x  3 y  4 z )2 . Тогда частные производные:
ux  2  (2 x  3 y  4 z )  (2 x)  4  (2 x  3 y  4 z )  8x  12 y  16 z ;
uy  2  (2 x  3 y  4 z )  (3 y )  6  (2 x  3 y  4 z )  12 x  18 y  24 z ;
uz  2  (2x  3 y  4z)  (4z)  8  (2x  3 y  4z)  16x  24 y  32z .
Задача 12
Найти градиент функции z(x;y) в точке (хо, уо), если z= cos(2x + 11y), x0 =
y0 = π/2
Решение:
Градиентом функции z(x;y) называется вектор с координатами (z´x , z´y ).
Имеем: zx   sin( 2 x  11y)  (2 x)  2 sin( 2 x  11y) ,
zy   sin( 2 x  11y )  (11y )  11sin( 2 x  11y ) . Найдем значения частных производ-
ных в точке x0 = y0 = π/2:
 2 11 
z x ( / 2;  / 2)  2 sin 

  2 sin( 13 / 2)  2  1  2
2 
 2
 2 11
z y ( / 2;  / 2)  11 sin 

2
 2

  11 sin( 13 / 2)  11  1  11

Градиент функции z в точке (π/2; π/2): grad z  (2;11)
Задача 13
Исследовать на экстремум функцию z = х2 - ху + (у + 1)2 .
Решение:
Найдем
первые
частные
производные
функции:
zx  2 x  y ;
zy   x  2( y  1)  2 y  x  2 . Точки, в которых частные производные не суще-
ствуют, отсутствуют. Найдем критическую точку, решая систему уравнений:
 2x  y  0
. Отсюда получаем точку М(-2/3; -4/3). Найдем частные произ
2 y  x  2  0
24
водные второго порядка данной функции: zxx  2 , zyy  1 , zxy  1 . Найдем значение D  zxx  zyy  ( zxy )2  2 1  (1)2  1 > 0, при этом zxx  2 > 0. Следовательно
функция имеет минимум в точке М(-2/3; -4/3).
Задача 14
Найти общее решение дифференциальных уравнений и проверить правильность найденных решений дифференцированием:
a) y  e2 x ;
b) y  x  9 .
Решение:
Данное дифференциальное уравнение относится к виду y ( n)  f ( x) , допускающему понижение порядка до тех пор, пока не получим решение уравнения.
Для этого необходимо проинтегрировать правую и левую часть уравнения. Полученное уравнение имеет порядок на единицу ниже, чем исходное, то есть:
y ( n 1)   f ( x)dx  F ( x)  c1 .
a) Решим дифференциальное уравнение первого порядка y  e2 x . Получим:
y   e 2 x dx 
1 2x
e c.
2
Для того чтобы проверить правильность найденного решения, необходимо
найти
производную
найденной
функции:

1
 1 2x
 1 2x
y   e  c   (e )  (c)   2e2 x  e2 x . Получим исходное дифференциальное
2
2
 2
уравнение. Следовательно найденное решение верно.
b) Решим дифференциальное уравнение второго порядка с помощью двукратного
y  (
интегрирования
y  x  9 .
Тогда:
y   ( x  9)dx 
x2
 9 x  c1 ,
2
x2
x3
x2
 9 x  c1 )dx   9  c1 x  c2 .
2
6
2
Проверим правильность найденного решения. Для этого найдем первую и
вторую
производную
найденной
функции.
1
9
1
1
y  ( x 3  x 2  c1 x  c2 )  x 2  9 x  c1 , y  ( x 2  9 x  c1 )  x  9 .
6
2
2
2
Получим исходное дифференциальное уравнение. Следовательно найденное
решение верно.
Задача 15
25
Найти решения дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными :
a) (1  y)dx  (1  x)dy  0
b) y  xy2
Решение:
Уравнения вида: P( x)dx  Q( y)dy  0 называется дифференциальным уравнением первого порядка с разделяющими переменными. В нем одно слагаемое
зависит только от х, а другое – от у. Проинтегрировав почленно это уравнение, получаем:  P( x)dx   Q( y )dy  0 - это общий интеграл.
a) Разделим обе части уравнения (1  y)dx  (1  x)dy  0 на (1  y )(1  x)  0 :
dx
dy

0.
1 x 1 y
Проинтегрируем
 ln 1  x  ln 1  y  ln C
обе
части
уравнения
и
получим:
(произвольную постоянную здесь удобно записать
именно так), где С > 0. Тогда (1  x)(1  y )  C - общий интеграл исходного
уравнения. При делении на (1  y )(1  x) мы могли потерять решение y = -1 и x =
1. Так как С > 0, то оно не содержится в общем интеграле. Таким образом
данное уравнение имеет особые решения: y = -1 и x = 1.
b) Уравнение вида y  f1 ( x)  f 2 ( y) также сводится к уравнению с разделяющимися переменными.
Решим уравнение: y  xy2 . Поскольку y 
менные:
dy
 xdx .
y2
Проинтегрировав
обе
dy
dy
 xy2 . Разделим пере, то
dx
dx
части
уравнения
получим:
2
1 x2
. Это общее решение дифференциального
   c . Выразим у: y   2
x c
y 2
уравнения.
При разделении переменных произошло деление на y 2 , поэтому мы могли
потерять решение y = 0. Оно не содержится в общем решении. Таким образом данное уравнение имеет особое решение y = 0.
Задача 16
Найти решение линейного однородного уравнения с постоянными коэффициентами: у" -2у' + 10у = 0 с условиями у = 0, у' = 1 при х = 0.
Решение:
Уравнения вида y  py  qy  0 , где p и q постоянные, называется линейным
однородным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициента26
ми. Для решения необходимо составить характеристическое уравнение
k 2  pk  q  0 , заменив у, y, y на k 2 , k ,1 соответственно. При решении характеристического уравнения возможны следующие три случая:
1. корни уравнения k1 , k2 - действительные и различные, тогда общее
решение дифференциального уравнения имеет вид: y  C1ek1x  C2ek2 x
корни уравнения k1 , k2 - действительные и равные, тогда общее реше-
2.
ние дифференциального уравнения имеет вид: y  ekx (C1  C2 x)
корни уравнения k1 , k2 - комплексно-сопряженные, то есть k1, 2    i ,
3.
тогда общее решение дифференциального уравнения имеет вид:
y  ex (C1 cos x  C2 sin x)
Решим уравнение y  2 y  10 y  0 . Составим характеристическое уравнение: k 2  2k  10  0 . Корни уравнения k1, 2  1  3i . В этом случае общее решение уравнения имеет вид: y  e x (C1 cos 3x  C2 sin 3x) .



y  e x (C1 cos 3x  C2 sin 3x)  e x (C1 cos 3x  C2 sin 3x)  e x (3C1 sin 3x  3C2 cos 3x) .
Подставляя начальные условия у = 0, у' = 1 при х = 0 в полученное общее
решение и его производную, получаем систему уравнений относительно С1
и С2 :
 y(0)  C1  0

 y(0)  C1  3C2  1
 C1  0

C2  1 / 3
Найденные константы подставляем в общее решение. Получаем искомое
частное решение уравнения, удовлетворяющее начальным условиям:
1
y  e x sin 3 x
3
Задача 17
Найти решение линейного неоднородного уравнения с постоянными коэффициентами в виде суммы общего решения однородного уравнения и произвольного частного решения неоднородного уравнения:
у" - 2 10 у' + у = 5.
Решение:
Общее решение данного уравнения представим в виде: y  yoo  yчн , где yoo общее решение однородного уравнения, а учн - частное решение неоднородного уравнения.
27
Найдем общее решение однородного уравнения y  2 10 y  y  0 . При решении характеристического уравнения
k1, 2  10  3 . Тогда y00  C1e(
10 3) x
 C2e(
k 2  2 10k  1  0
получим корни
10 3) x
Частное решение для линейного уравнения, в правой части которого стоит
константа, ищется в виде учн  А , где А – константа. Подставив это решение в
исходное уравнение и учитывая что производная от константы равна нулю,
получим А = 5, следовательно учн  5 .
Общее решение неоднородного уравнения y  C1e(
10  3) x
 C2e(
10 3) x
 5.
28
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К КОНТРОЛЬНЫМ РАБОТАМ
При изучении дисциплины «Математика» необходимо выполнить две контрольные работы №1 и №2. Вариант каждой задачи выбирается по двум последним цифрам номера студенческого билета. Предпоследняя цифра обозначается буквой M, последняя буквой N. Например, для студенческого билета номер 147 M = 4, N = 7.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА 1
Задача 1
Даны векторы a и b . Найти вектор c = a + b , скалярное произведение ( a
· b ) и модули этих векторов, где a = (1, М + 4, -1, N – 5), b = (-М + 5, -1, 5 N, 2).
Задача 2
Найти значение матрицы D = A · B – C2 и вычислить ее определитель, если
даны матрицы:
1

A = N
0

0

1 , B =
M 
N 
M 2


 2 1  2

 , C =   1 0
1 .
1 
0 1
1
3 M  N 

Задача 3
Пользуясь формулами Крамера и методом Гаусса решить систему из трех
уравнений:
x  2 y  3z  10


 2 x  y  ( N  5) z  N  9

x  y  6z  7

Задача 4
a) Найти точку пересечения прямых y  ( N  1) x  2 и y  ( M  1) x  N  M
b) Найти уравнение прямой, проходящей через точку (M+1; N+1) и перпендикулярно к прямой y  2 x  1
c) Найти уравнение прямой параллельной к прямой y  ( M  1) x  N  M и
проходящей через точку (M; N)
d) Какая кривая описывается уравнением ( N  1) x 2  (M  1) y 2  4 ? Написать
каноническое уравнение этой кривой.
Задача 5
Найти производные функций:
а) у = (М +N+5) xM+N+2;
29
b) у = ln(x + N) cos(M + 2)x - e(N+1)x tg(M + 2)x;
arctg ( N  2) x
;
ln( 2 x  M  1)
c) y =
d) y = sin[ln(3x + N +2)] - arctg[cos(M +3)x].
Задача 6
Найти вторую производную функции: у = e( N 2) x cos( M  2) x .
Задача 7
Разложить по формуле Тейлора в окрестности точки х = 0 до членов порядка х2 функцию y  cos(
N  2x ) и найти ее приближенное
( M  1) x
)  ln( 1 
3
4
значение при х = 0,1.
Задача 8
Исследовать функции и построить их графики:
( N  2) x 2  x  1
x
M 2
b) y  2
x 1
a) y 
Задача 9
Найти неопределенные интегралы:
2
d)
1


3
M 2
 N  1 x  x  dx ;
e)
 N  3sin M  2xdx ;
xdx
c)
 1  M  2x
d)
x
2
;
M  2xdx
2
 4x  3
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА 2
Задача 1
Найти определенные интегралы:
1
a)  2 N  1x N M 2 dx ;
0
 4
b)
 sin N  2xcosN  2xdx ;
2
0
с) найти площадь верхней полуволны синусоиды у = sin (М + N + 3) х.
Задача 2
Найти первые частные производные функций.
a) z = xN+1(cosy)M+2;
30
b) z = (exy + (N +2)xy)2;
с) z = arctg(xy + M +1);
d) u = [(N+2)x + 2y + (M+3)z]2.
Задача 3
Найти градиент функции в точке (хо,уо) :
a) z = 2xN+2 +3y10-M, x0 = y0 = 1
b) z= cos((M+2)x + (11-N)y), x0 = y0 = π/2
Задача 4
Исследовать на экстремум функцию z = (х - М -1)2 - ху + (у + N +1)2 .
Задача 5
Найти общее решение дифференциальных уравнений и проверить правильность найденных решений дифференцированием:
a) y  10  N ;
b) y  ( N  1) x  10  M ;
c) y  e( M  N 1) x
Задача 6
Найти решения дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными :
a) (y+11-N) dx = (x-M-1) dy
b) (y+10-M) dx + 2xN+1 dy = 0
c) y 
y10 N
1  ( M  1) x 2
Задача 7
Найти решения линейных однородных уравнений с постоянными коэффициентами:
a) (М + 2) у' + (12 - N)y = 0;
b) у" + 2 N  5 у' + (N + 1)у = 0;
c) у" -2 M  1 у' + (М + 10)у = 0 с условиями у = 0, у' = 1 при х = 0 ;
d) y"-2 N  3 y' + (N+3)y = 0.
Задача 8
Найти решения линейных неоднородных уравнений с постоянными коэффициентами в виде суммы общего решения однородного уравнения и произвольного частного решения неоднородного уравнения:
a) y' + (N + 2)y=M+3 ,у = 0 при х = 0;
b) у" - 2 N  10 у' + (N + 1)у = М + 5.
31
ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ
1. Вектор в прямоугольной n-мерной системе координат. Сложение векторов
и умножение вектора на число.
2. Скалярное произведение векторов. Модуль вектора.
3. Матрицы. Виды матриц. Действия над матрицами.
4. Определители второго и третьего порядков. Свойства определителей.
5. Миноры и алгебраические дополнения. Разложение определителя по строке и столбцу. Метод треугольников.
6. Обратная матрица.
7. Система n линейных уравнений с n неизвестными. Запись и решение в матричном виде.
8. Формулы Крамера.
9. Метод Гаусса. Теорема Кронекера – Капелли.
10. Прямоугольная система координат на плоскости.
11. Прямая на плоскости. Угловой коэффициент. Уравнения прямой с заданным угловым коэффициентом, проходящей через две точки, уравнение в отрезках.
12. Угол между прямыми на плоскости. Признаки параллельности и перпендикулярности прямых. Общее уравнение прямой на плоскости, геометрический смысл его коэффициентов.
13. Кривые второго порядка: окружность, эллипс, гипербола, парабола.
14. Окрестности точек. Определение предела функции.
15. Бесконечно малые и бесконечно большие функции и их свойства.
16. Предел суммы, разности, произведения и частного.
17. Первый замечательный предел. Функции, эквивалентные в точке
18. Второй замечательный предел. Функции, эквивалентные в точке
19. Непрерывность функции в точке. Непрерывность суммы, разности, произведения, частного.
20. Односторонняя непрерывность. Классификация точек разрыва функции.
21. Производная, её геометрический смысл. Связь между дифференцируемостью и непрерывностью.
22. Таблица производных. Правила дифференцирования. Уравнение касательной к графику функции.
23. Производные высших порядков. Логарифмическая производная.
24. Дифференциал. Геометрический смысл дифференциала.
25. Применение дифференциала в приближенных вычислениях.
32
26. Признаки монотонности функции.
27. Поиск экстремумов функции.
28. Выпуклость, вогнутость, точки перегиба.
29. Асимптоты графика функции.
30. Формула Тейлора. Остаточный член.
31. Разложение в ряд Тейлора функций еx, sin(x), cos(x), (1 + х)n.
32. Первообразная и неопределенный интеграл. Свойства неопределенного
интеграла.
33. Замена переменной при интегрировании. Интегрирование по частям.
34. Понятие определенного интеграла. Формула Ньютона - Лейбница.
35. Интегрирование по частям и замена переменной в определенном интеграле.
36. Приложения определенного интеграла.
37. Функция многих переменных. Частные производные. Частные производные высших порядков.
38. Линии уровня и градиент функции Производная по направлению.
39. Экстремум функций двух переменных, необходимые и достаточные условия.
40. Понятие дифференциального уравнения. Частное и общее решения.
41. Уравнения первого порядка с разделяющимися переменными.
42. Линейные однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Общее и частное решение.
43. Линейные неоднородные уравнения второго порядка. Отыскание частного
решения по виду правой части уравнения.
44. Числовой ряд, частичная сумма и сумма ряда. Признаки сходимости:
сравнения и Даламбера.
45. Абсолютная и условная сходимость. Признак сходимости Лейбница.
46. Сходимость степенных рядов. Интервал и радиус сходимости степенного
ряда.
33