А.А. ЗЕНКИН О НЕДОКАЗУЕМОСТИ НЕКОТОРЫХ МЕТАМАТЕМАТИЧЕСКИХ ОЧЕВИДНОСТЕЙ

УДК 004.896(06) Интеллектуальные системы и технологии
А.А. ЗЕНКИН
Вычислительный центр им. А.А. Дородницына РАН, Москва
О НЕДОКАЗУЕМОСТИ НЕКОТОРЫХ
МЕТАМАТЕМАТИЧЕСКИХ ОЧЕВИДНОСТЕЙ
В
работе
рассматриваются
некоторые
новые
«правдоподобных» метаматематических «рассуждений»,
системах автоматического доказательства теорем.
аспекты
логики
используемых в
Обозначения: X=[0,1], N={1,2,3,…}, д.ч. – действительное число, АДд.ч. = Анти-Диагональное д.ч., RAA = Reductio ad Absurdum, АТМ =
Аксиоматическая Теория Множеств, ДМК = Диагональный Метод
Кантора.
ТЕОРЕМА КАНТОРА [1-3]. X - несчетно.
RAA-ДОКАЗАТЕЛЬСТВО (1890). Допустим, что X - счетно, т.е., X
эквивалентно N. Тогда, в силу канторовского определения понятия
эквивалентности множеств, существует 1-1-соответствие между
элементами эквивалентных множеств X и N, т.е., существует список
x1, x2, x3, . . . ,
(1)
содержащий все д.ч. из X. Применение знаменитого ДМК к списку (1),
порождает новое АД-д.ч. y1 из Х, не принадлежащее этому списку (1).
Противоречие. Ч.Т.Д.
В работах [4,7,8] доказано, что знаменитый диагональный метод
Кантора (ДМК) представляет собой очень специфическую версию
обычного метода контр-примера, что существенно меняет саму семантику
канторовского доказательства. С точки зрения научной этики, ситуация –
беспрецедентная: более ста лет признанные АТМ-адепты бурбакизма
убеждают каждое новое поколение студентов и, в целом, математическое
сообщество в том, что «канторовское RAA-доказательство несчетности
континуума Х – безупречно» [3], но при этом, как выясняется, не имеют
малейшего представления об истинной логической природе знаменитого
ДМК. После такого «патологического казуса в истории математики»
(Брауэр), нет ничего удивительного и в том, что эти АТМ-«адепты»
проглядели следующее, довольно нетривиальное следствие того же
канторовского ДМК-доказательства несчетности континуума.
ТЕОРЕМА 1. Если множества X и N эквивалентны, т.е. |X| = |N|, то не
существует правила (алгоритма), устанавливающего фактическое 1-1соответствие между элементами множеств X и N.
ISBN 5-7262-0555-3. НАУЧНАЯ СЕССИЯ МИФИ-2005. Том 3
99
УДК 004.896(06) Интеллектуальные системы и технологии
RAA-ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Допустим, что |X| = |N|, но существует
правило
(алгоритм),
устанавливающее
1-1-соответствие
между
элементами множеств X и N, т.е., существует список (1), содержащий все
д.ч. из X. Применяя знаменитый ДМК к списку (1), мы получаем новое
АД-д.ч. y1 из Х, не принадлежащее этому списку (1). Противоречие.
Ч.Т.Д.
А теперь попытаемся доказать Теорему Кантора еще раз [5-8].
ТЕОРЕМА КАНТОРА. X - несчетно.
RAA-ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Допустим, что X - счетно, т.е., |X| = |N|.
Тогда, в силу Теоремы 1, не существует правила (алгоритма),
устанавливающего 1-1-соответствие между элементами эквивалентных
множеств X и N, т.е., не существует списка (1) всех д.ч. из X.
Следовательно, не существует объекта, к которому можно применить
знаменитый ДМК для получения вожделенного противоречия с
допущением «Х - счетно». Поэтому второй раз Теорема Кантора
становится просто недоказуемой, т.е. ДМК-доказательство является
методом «одноразового» использования.
В классической логике и математике подобного рода «патологических
казусов» пока не наблюдалось [7, 8].
Список литературы
1. Г.Кантор, Труды по теории множеств. - М.: Наука, 1985.
2. П.С.Александров, Введение в общую теорию множеств и функций. - МоскваЛенинград: Гостехиздат, 1948.
3. W.Hodges, An Editor Recalls Some Hopeless Papers. - The Bulletin of Symbolic Logic,
1998, Vol. 4, No 1, 1-17.
4. А.А. Зенкин, О логике «правдоподобных» мета-математических заблуждений. –
“Научная сессия МИФИ-2004”. Сборник научных трудов, том 3 “Интеллектуальные системы
и технологии”, стр. 182 - 183
5. А.А.Зенкин, "Infinitum Actu Non Datur". - Вопросы философии, 2001, No. 9, 157-169.
6. A.A.Zenkin, Scientific Intuition Of Genii Against Mytho-"Logic" Of Transfinite Cantor's
Paradise. International Symposium - Philosophical Insights into Logic and Mathematics, 2002,
Nancy, France. Proceedings, pp. 141-148.
7. А.А.Зенкин, Диагональный метод Кантора: «мухи – отдельно, котлеты - отдельно». –
VIII Общероссийская научная конференция «Современная логика: проблемы теории,
истории и применения в науке», Секция «Символическая логика». Труды Конференции, издво Санкт-Петербургского государственного Университета, 2004. Стр . 487 – 491.
8. А.А.Зенкин, О некоторых семантических дефектах в логике интеллектуальных
систем. – Девятая национальная конференция по искусственному интеллекту (КИИ-2004), г.
Тверь, Россия. Труды конференции, Том 1, стр. 272 – 281.
ISBN 5-7262-0555-3. НАУЧНАЯ СЕССИЯ МИФИ-2005. Том 3
100