реферат - Исследование Операций. Теория и практика
advertisement
Содержание Игровые задачи исследования операций Введение ................................................................................................................ 3 1 Предмет теории игр .................................................................................... 4 2 Классификация игр............................................................................................ 6 3 Неформальное описание игры ......................................................................... 7 4 Стратегии. Нормальная форма игры ........................................................... 9 5 Ситуации равновесия ..................................................................................... 10 6 Антагонистические игры. Игры с нулевой суммой .................................... 11 7 Нормальная форма ......................................................................................... 12 8 Смешанные стратегии .................................................................................. 13 9 Теорема о минимаксе ...................................................................................... 15 10 Вычисление оптимальных стратегий ........................................................ 16 11 Игры с ограничениями .................................................................................. 19 12 Бесконечные игры ......................................................................................... 20 13 Игры на квадрате ........................................................................................ 21 14 Игры с непрерывным ядром ........................................................................ 22 15 Вогнуто-выпуклые игры .............................................................................. 22 Литература ........................................................................................................ 23 Введение Жить в обществе и быть свободным от общества нельзя! Живя в обществе, мы неизбежно сталкиваемся с другими людьми, и интересы различных людей практически никогда не совпадают между собой. В обществе неизбежны столкновения интересов различных людей, противоречия между этими интересами. В художественной литературе этому столкновению интересов уделялось не меньше внимания, чем любви и Богу. Это столкновение интересов является предметом целого ряда наук - психологии, социологии, политологии. Даже экономическая наука по большому счету изучает столкновение интересов, так как конкуренция является именно таким столкновением. Но лишь в 40-е годы двадцатого века это столкновение интересов стало предметом математического исследования, прежде всего в области экономики. Первая значительная книга по теории игр - книга Дж. фон Неймана и С. Моргенштерна, изданная в 1944 году так и называлась “Теория игр и экономическое поведение”. Предмет оказался чрезвычайно сложным, даже для математики. И сейчас, 60 лет спустя, успехи теории игр довольно ограничены. Тем не менее, она нашла своё применение особенно в военном деле, так как война - это столкновение интересов практически в чистом виде. Организация тыла, поиски подводных лодок, противовоздушная оборона, дуэль двух противников - всё это приложение теории игр в настоящее время. В экономике теория игр также находит своё применение. От той теории, которая существует в настоящее время, не следует ждать чудодейственных рецептов. Она не предписывает поведение, ведущее к выигрышу. Она лишь указывает, чего может добиться игрок в наихудшей для него ситуации и как он должен действовать, чтобы в этой наихудшей ситуации добиться минимального проигрыша (или максимального выигрыша). Но и это, безусловно, полезно. А рекомендации по выигрышу дело будущей теории игр. 3 1 Предмет теории игр Теория игр - теория математических моделей принятия решений в условиях неопределенности, в условиях столкновения, конфликтных ситуациях, когда принимающий решение субъект (игрок), располагает информацией лишь о множестве возможных ситуаций, в одной из которых он в действительности находится, о множестве решений, которые он может принять, и о количественной мере того выигрыша, который он мог бы получить, выбрав в данной ситуации данную стратегию. Теория игр пытается математически объяснить явления, возникающие в конфликтных ситуациях, в условиях столкновения сторон. Такие ситуации изучаются психологией, политологией, социологией, экономикой. Теория игр представляет собой математическую теорию конфликтных ситуаций. Ее цель — выработка рекомендаций по разумному поведению участников конфликта. Каждая непосредственно взятая из практики конфликтная ситуация очень сложна, и ее анализ затруднен наличием привходящих, несущественных факторов. Чтобы сделать возможным математический анализ конфликта, строится его математическая модель, Такую модель называют игрой. От реального конфликта игра отличается тем, что ведется по определенным правилам. Эти правила указывают «права и обязанности» участников, а также исход игры — выигрыш или проигрыш каждого участника в зависимости от сложившейся обстановки. Человечество издавна пользуется такими формализованными моделями конфликтов — «играми» в буквальном смысле слова (шашки, шахматы, карточные игры и т. п). Отсюда и название «теории игр», и ее терминология: конфликтующие стороны условно называются «игроками», одно осуществление игры — «партией», исход игры — «выигрышем» или «проигрышем». Мы будем считать, что выигрыши (проигрыши) участников имеют количественное выражение (если это не так, то всегда можно им его приписать, например, в шахматах считать «выигрыш» за единицу, «проигрыш» — за минус единицу, «ничью» — за нуль). В игре могут сталкиваться интересы двух или более участников; в первом случае игра называется «парной», во втором — «множественной». Участники множественной игры могут образовывать коалиции (постоянные или временные). Одна из задач теории игр — выявление разумных коалиций во множественной игре и правил обмена информацией между участниками. Множественная игра с двумя постоянными коалициями, естественно, обращается в парную. Развитие игры во времени можно представлять как ряд последовательных «ходов» участников. Ходом называется выбор игроком одного из предусмотренных правилами игры действий и его осуществление. Ходы бывают личные и случайные. При личном ходе игрок сознательно выбирает и осуществляет тот или другой вариант действий (пример — любой 4 ход в шахматах). При случайном ходе выбор осуществляется не волей игрока, а каким-то механизмом случайного выбора (бросание монеты, игральной кости, вынимание карты из колоды и т. п.). Некоторые игры (так называемые «чисто азартные») состоят только из случайных ходов — ими теория игр не занимается. Ее цель — оптимизация поведения игрока в игре, где (может быть, наряду со случайными) есть личные ходы. Такие игры называются стратегическими. Стратегией игрока называется совокупность правил, определяющих выбор варианта действий при каждом личном ходе в зависимости от сложившейся ситуации. Обычно, участвуя в игре, игрок не следует каким-либо жестким, «железным» правилам: выбор (решение) принимается им в ходе игры, когда он непосредственно наблюдает ситуацию. Однако теоретически дело не изменится, если предположить, что все эти решения приняты игроком заранее («если сложится такая-то ситуация, я поступлю так-то»). Это будет значить, что игрок выбрал определенную стратегию. Теперь он может и не участвовать в игре лично, а передать список правил незаинтересованному лицу (судье). Стратегия также может быть задана машине-автомату в виде программы (именно так играют в шахматы ЭВМ). В зависимости от числа стратегий игры делятся на «конечные» и «бесконечные». Игра называется конечной, если у каждого игрока имеется в распоряжении только конечное число стратегий (в противном случае игра называется бесконечной). Бывают игры (например, шахматы), где в принципе число стратегий конечно, но так велико, что полный их перебор практически невозможен. Оптимальной стратегией игрока называется такая, которая обеспечивает ему наилучшее положение в данной игре, т. е. максимальный выигрыш. Если игра повторяется неоднократно и содержит, кроме личных, еще и случайные ходы, оптимальная стратегия обеспечивает максимальный средний выигрыш. Задача теории игр — выявление оптимальных стратегий игроков. Основное предположение, исходя из которого находятся оптимальные стратегии, состоит в том, что противник (в общем случае — противники) по меньшей мере так же разумен, как и сам игрок, и делает все для того, чтобы добиться своей цели. Расчет на разумного противника — лишь одна из возможных позиций в конфликте, но в теории игр именно она кладется в основу. Игра называется игрой с нулевой суммой, если сумма выигрышей всех игроков равна нулю (т. е. каждый игрок выигрывает только за счет других). Самый простой случай — парная игра с нулевой суммой — называется антагонистической (или игрой со строгим соперничеством). Теория антагонистических игр — наиболее развитый раздел теории игр, с четкими рекомендациями. Ниже мы познакомимся с некоторыми ее понятиями и приемами. 5 Теория игр, как и всякая математическая модель, имеет свои ограничения. Одним из них является предположение о полной («идеальной») разумности противника (противников). В реальном конфликте зачастую оптимальная стратегия состоит в том, чтобы угадать, в чем противник «глуп», и воспользоваться этой глупостью в свою пользу. Схемы теории игр не включают элементов риска, неизбежно сопровождающего разумные решения в реальных конфликтах. В теории игр выявляется наиболее осторожное, «перестраховочное» поведение участников конфликта. Сознавая эти ограничения и поэтому, не придерживаясь слепо рекомендаций, полученных игровыми методами, можно все же разумно использовать аппарат теории игр как «совещательный» при выборе решения (подобно тому, как молодой, энергичный полководец может прислушаться к мнению умудренного опытом, осторожного старца). 2 Классификация игр Существуют различные способы классификации игр по следующим критериям. По выигрышу: • Антагонистические игры; • Игры с нулевой суммой. По характеру получения информации: • Игры в нормальной форме (игроки получают всю информацию до начала игры); • Динамические игры (информация поступает в процессе игры). По количеству стратегий: • Конечные игры; • Бесконечные игры. По составу игроков: • Бескоалиционные игры; • Коалиционные игры. 6 3 Неформальное описание игры Всякая игра предполагает следующее: 1) Наличие некоторого числа n участвующих в ней лиц (игроков). Могут быть игры с одним игроком (пасьянс), двумя игроками (шахматы, муж с женой, две конкурирующие фирмы), тремя игроками (преферанс, три фирмы на рынке) и т.д. По числу игроков и идёт классификация игр - игры двух лиц, трёх лиц и т.д.; 2) Конечный выигрыш (или проигрыш) каждого игрока. Когда игра кончается, каждый игрок получает доход (если - значит, игрок проиграл), зависящий от его поведения и поведения других игроков. 3) Всякая игра состоит из партий, которые начинаются и заканчиваются, после чего игрокам выплачиваются их выигрыши. В свою очередь, каждая партия состоит из ходов, которые одновременно или последовательно делают игроки. Описание игры как последовательности ходов носит название позиционной формы игры. Теория игр в позиционной форме разработана очень слабо и ещё ждёт своих Эйлеров и Гауссов. Основное содержание современной теории игр - это так называемая матричная форма игры. В этом случае считается, что каждый игрок делает всего лишь один ход, причем все ходы делаются одновременно. После этого каждому игроку выплачивается выигрыш (или берётся проигрыш) в зависимости от того, какие ходы были сделаны им и другими игроками. Вообще говоря, игра в позиционной форме может быть сведена к игре в матричной форме, однако для реальных игр это сведение настолько сложно, что практически невыполнимо даже для современных ЭВМ. Однако вполне возможно, что в будущем такое сведение будет иметь и практический смысл. Теория игр есть теория моделей принятия решений, она не занимается этими решениями как психологическими, волевыми актами. Не занимается она и вопросами их практической реализации. В рамках теории игр принимаемые решения выступают как достаточно упрощенные и идеализированные схемы реальных явлений. Наши представления об играх связаны с карточными или .салонными. играми, шахматами, шашками. Такие игры начинаются из некоторого данного положения и состоят из последовательности личных ходов, при каждом из которых один из игроков совершает выбор среди нескольких возможностей. Некоторые ходы могут, кроме того, быть случайными. В шахматах, например, характер ходов определяется, в основном, искусством, а в рулетке – случайностью. В шахматной игре каждый игрок знает любой ход, который был сделан до этого момента, а в бридже – это знание у игрока обычно весьма неполно. На практике это означает, что в момент хода игрок не знает точной позиции и должен делать ход с учетом того, что имеется несколько возможных позиций. 7 В конце игры игроки получают какой-либо выигрыш, который зависит от протекания игры и окончательной позиции. Это примеры позиционных игр. Таким образом, наше представление об игре определяется наличием 3-х элементов: 1) Чередованием ходов, которые могут быть как личными, так и случайными. 2) Возможной недостаточностью информации. 3) Наличием функция выигрыша. С позиционной игрой связывают понятие топологического дерева или дерева игры, представляющего собой конечную совокупность узлов, называемых вершинами, соединенных ребрами, притом так, что получается связанная фигура, не содержащая простых замкнутых фигур. А – начальная вершина (позиция) В,С – промежуточные вершины (позиции) Х - окончательная Определение. Под позиционной игрой n лиц понимают следующее: 1) топологическое дерево Г с выделенной вершиной А, называемой начальной позицией игры; 2) функция выигрыша, которая ставит в соответствие каждый окончательной позиции дерева некоторый n-мерный вектор (для n игроков); 3) разбиение множества всех неокончательных вершин (позиций) дерева Г на n+1 множество S0, S1, …, Sn, которые называют множествами очередности. Множество S0 соответствует началу (может быть связано со случайностью), S1– множество очередности для 1-го игрока и т.д; 4) вероятное распределение для каждой позиции из S 0 на множестве непосредственно следующих за ней позиций (т.е. из каждой позиции S0 следуют варианты позиций с некоторой вероятностью); 8 5) разбиение множества Si для каждого i =1,n на подмножества Sij, называемые информационными множествами; при этом позиции из одного и того же информационного множества имеют одинаковое число непосредственно следующих за ними позиций (альтернатив), и никакая позиция не может следовать за другой позицией из того же самого информационного множества; 6) для каждого информационного множества Sij задано множество индексов Iij, взаимно однозначно отображающее множество альтернатив (возможных ходов) для каждой позиции из Sij Условие (1) устанавливает, что имеется начальная позиция. Условие (2) задает функцию выигрыша. Условие (3) разделяет множество неокончательных позиций на позиции с ходом случая ( S0) и личные позиции, соответствующие каждому из n игроков ( S1, …, Sn). Условие (4) задает схему рандомизации в каждой позиции случая. Условие (5) разбивает позиции каждого игрока на информационные множества (игрок знает лишь, в каком информационном множестве он находится, но не знает, в какой именно позиции этого множества). Определение. Игра называется парной, если количество сторон (игроков) равно 2. Определение. Игра называется игрой с нулевой суммой, если проигрыш одного игрока равен выигрышу другого. В противном случае она называется игрой с ненулевой суммой. Определение. Игра называется игрой с полной информацией, если результаты случайных ходов и предыдущих личных ходов полностью известны каждому игроку. Например, шахматы, шашки – это игры с полной информацией, а карты – с неполной. 4 Стратегии. Нормальная форма игры В интуитивном понимании стратегия есть некоторый план развертывания игры. Можно считать, что игрок говорит себе: .Если случится то-то и то-то, то я буду действовать так-то и так-то.. Вообще говоря, игрок принимает решение о своем ходе в игре обычно в тот момент, когда надо делать этот ход. Однако с чисто теоретической точки зрения можно абстрагироваться от такого практического ограничения и предполагать, что уже до начала игры каждый игрок решил, что он будет 9 делать в каждом случае. Т.е. предполагаем, что каждый игрок выбрал некоторую стратегию уже до начала игры. Поскольку это так, то остается лишь произвести случайные ходы. Более того, все случайные ходы можно объединить в один ход, результат которого вместе с выбранными стратегиями определяет исход игры. Нас, как и игроков, интересует, какие из стратегий являются наилучшими с точки зрения максимизации доли каждого игрока в выигрыше: i-й игрок стремится максимизировать i-ю компоненту функции выигрыша. Так как результаты случайных ходов известны только в вероятностном смысле, то естественно рассматривать математическое ожидание функции выигрыша, определенное в случае, когда игроки используют данный n-набор стратегий, т.е данную ситуацию. Поэтому для описания математического ожидания функции выигрыша при условии, что i-й игрок применяет стратегию , можно использовать следующее обозначение: элементами которой являются пары вещественных чисел. Такая n-мерная таблица называется нормальной формой игры. Определение. Игра называется конечной, если число стратегий всех игроков является конечным. Или. Игра называется конечной, если ее дерево содержит только конечное число вершин. 5 Ситуации равновесия 10 Другими словами – ситуация равновесна, если не один игрок не имеет никаких разумных оснований для изменения своей стратегии при условии, что все остальные игроки собираются придерживаться своих стратегий. В этом случае, если каждый игрок знает, как будут играть остальные, он имеет основания придерживаться той стратегии, которая соответствует этой ситуации равновесия. Тем самым игра становится весьма устойчивой. Вообще говоря, если игра не имеет ситуаций равновесия, то обычно некоторые игроки пытаются отгадать стратегии остальных игроков, сохраняя собственные стратегии в тайне. Это наводит на мысль, что в играх с полной информацией ситуации равновесия существуют (в конечных играх). Действительно, справедлива следующая теорема: Теорема: Любая конечная игра n лиц с полной информацией имеет ситуацию равновесия. 6 Антагонистические игры. Игры с нулевой суммой Вообще говоря, игра с нулевой суммой представляет собой замкнутую систему: все то, что кто-нибудь выиграл, должно быть кем-то проиграно. Игры двух лиц с нулевой суммой называются антагонистическими,или строго конкурентными. В случаях антагонистической игры можно просто задавать первую компоненту вектора выигрышей, тогда вторая компонента равна первой с противоположным знаком. Т.е. первая компонента называется просто выигрышем, это означает, что второй игрок отдает эту сумму первому. 11 В антагонистических играх нет никаких оснований для переговоров между игроками, так как если один выигрывает, то другой проигрывает. Этим антагонистические игры отличаются ото всех остальных. 7 Нормальная форма 12 То есть, если игра с седловой точкой, то е. нахождение уже есть решение игры, так как 1-й если игрок выберет эту стратегию, то неважно,знает ли это 2-й игрок. 8 Смешанные стратегии Легко доказывается, что если имеет место равенство, то получаем седловую точку. Если равенство не имеет места, то получаем игру без седловой точки. Для такой игры не определено, что же в действительности произойдет. Можно ли утверждать, что (при разумном поведении) первый игрок не должен выиграть меньше, чем , а второй не должен проиграть больше, чем ? 13 Если в игре без седловой точки, мы раскроем противнику свою стратегию, то максимум, на что можем рассчитывать, это – нижний выигрыш, если поставим себя на место 1-го игрока, или – верхний проигрыш, если – на место 2-го игрока. Если же мы стремимся добиться большего, то нельзя раскрывать свои стратегии. Это трудно осуществить, т.к. если мы выбираем свою стратегию на основании каких-то рассуждений, то ничто не мешает противнику воспроизвести наши рассуждения. Отсюда напрашивается вывод, стратегия должна (может) выбираться случайно (с использованием элементов случайности), не на основании какихто разумных соображений. Но сама схема рандомизации (ввода случайности) должна выбираться разумно. В этом и состоит идея использования смешанных стратегий. Определение. Смешанная стратегия игрока есть вероятностное распределение на множестве его чистых стратегий. Обозначим множество всех смешанных стратегий игрока 1 через X , а множество всех смешанных стратегий игрока 2 – через Y. Предполагаем, что игроки участвуют в игре с матрицей А. Если 1-й игрок выбирает смешанную стратегию , а 2-й –, то ожидаемый выигрыш будет равен 14 Такая стратегия называется максиминной стратегией игрока 1. 9 Теорема о минимаксе Эта важнейшая теорема доказана многими способами. Таким образом, мы видим, что при использовании смешанных стратегий нижний выигрыш игрока 1 в точности равен верхнему проигрышу игрока 2. Общая величина этих двух чисел называется значением игры. 15 10 Вычисление оптимальных стратегий Теорема о минимаксе гарантирует, что каждая антагонистическая игра имеет оптимальные стратегии. Она дает существование, но не определяет, как искать эти оптимальные стратегии 1. Простейшим является тот случай, когда существует седловая точка, т.е. когда существует элемент аij, являющийся максимальным в своем столбце и минимальным в своей строке. Тогда чистые стратегии i и j (или, что равносильно, смешанные стратегии x и y, для которых х i=1и yi=1, а все остальные компоненты равны нулю) будут оптимальными стратегиями для игроков 1 и 2 соответственно. Короче говоря, одна чистая стратегия (представленная своей строкой или столбцом) доминирует другую чистую стратегию, если выбор первой (доминирующей) стратегии, по крайней мере, не хуже выбора второй (доминируемой) стратегии, а в некоторых случаях и лучше. Отсюда следует, что игрок всегда может обойтись без доминируемых стратегий и использовать только недоминируемые стратегии. 16 17 Теорема. Значение симметричной игры равно нулю. Кроме того, если x есть оптимальная стратегия для игрока 1, то есть также оптимальная стратегия для игрока 2. С другой стороны, 2-й игрок стремится минимизировать значение игры: Причем обе эти задачи представляют собой пару двойственных задач линейного программирования: Таким образом, решив одну из двойственных задач, мы определим оптимальные стратегии 1-го и 2-го игроков и значение игры. 18 11 Игры с ограничениями Рассмотрим игру, в которой допускаются не все смешанные стратегии. Обычно для этого имеются определенные практические основания. Предположим, что смешанные стратегии х и y соответственно должны выбираться из некоторых выпуклых многогранников. В выражении (1) величина в скобках, очевидно, является функцией х.Точнее она является значением задачи линейного программирования, целевая функция которой имеет коэффициенты, зависящие от х . По теоремам двойственности, если эта задача допустима и ограничена, то две задачи и двойственная к ней 19 будут иметь одно и то же значение целевой функции. Значит, задача игрока 1 сводится просто к задаче максимизации Аналогично, можно показать, что задача (2) игрока 2 сводится к задаче минимизации: Задачи (5) и (6) являются двойственными друг к другу. Если эти задачи допустимы, то выражения (1) и (2) будут равны и, таким образом, игра с ограничениями будет иметь решение в смешанных стратегиях. 12 Бесконечные игры Рассмотрим в первую очередь игры со счетным множеством стратегий. Пусть, как и в конечных играх аij– выигрыш, получаемый 1-м игроком, при условии, что он выбирает i-ю чистую стратегию, а 2-й игрок, j-ю чистую стратегию. Смешанной стратегией игрока 1 будет последовательность (x1,x2,…), для которой Смешанная стратегия игрока 2 - (y1,y2,…). Функция выигрыша при смешанных стратегиях (x,y) 20 при условии, что ряд абсолютно сходится. Игры со счетным множеством стратегий обладают рядом нежелательных cвойств, которых нет у конечных игр. Во-первых, ряд (3) не обязательно сходится и может случиться, что существуют, но различны. Во-вторых, множества смешанных стратегий не компактны и, таким образом, максимумы и минимумы не будут существовать. 13 Игры на квадрате В таких играх каждый игрок имеет континуум чистых стратегий, обычно представляемых точками интервала [0,1]. Тогда чистая стратегия каждого игрока – число из этого интервала, а функция выигрыша A(x,y)определена на единичном квадрате. Смешанная стратегия представляет собой вероятностное распределение на множестве чистых стратегий. Оно может быть представлено функцией распределения: Если игрок 1 использует чистую стратегию x, а игрок 2 – смешанную сттратегию F, то ожидаемый выигрыш равен интегралу Стильтьеса: Если же игрок 2 использует чистую стратегию y, а игрок 1 смешанную тратегию F, то ожидаемый выигрыш 21 Наконец, если игрок 1 использует F, а игрок 2 использует G, то имеем В каждом случае считаем, что интегралы существуют. Таким образом, хотя бесконечная игра определена не столь хорошо,как конечные игры, она обладает известной устойчивостью. 14 Игры с непрерывным ядром Для игр с непрерывным ядром оптимальные стратегии существуют. Теорема 1. Если ядро А(х, y)– непрерывная функция, то sup inf и sup inf могут быть заменены на min max и max min соответственно. Теорема 2. Если ядро А(х, y)– непрерывно, то υ1=υ2. Из доказательств этой теоремы следует, что, во-первых И, во-вторых, что стратегии Fn аппроксимируют оптимальную стратегию cколь угодно точно. В этом смысле матричные игры аппроксимируют непрерывную игру А(х, y). Если ядро очень гладкое, то может оказаться, что уже при очень небольшом n аппроксимация будет достаточно хорошей. С другой стороны, если ядро слишком нерегулярно, то для хорошей аппроксимации требуются большие значения n. 15 Вогнуто-выпуклые игры Определение. Говорят, что игра на квадрате вогнуто-выпукла, если ее ядро А(х, y) вогнуто по x при каждом значении y и выпукло по y при каждом значении x. Вогнуто-выпуклая игра должна иметь седлообразное ядро, и, повидимому, седловую точку в чистых стратегиях. Теорема. Пусть вогнуто-выпуклая игра А(х, y)непрерывна. Тогда она имеет оптимальные чистые стратегии. 22 Литература 23