КОНЦЕПЦИЯ ДЕМОГРАФИЧЕСКОГО ПОТЕНЦИАЛА И ЕЕ
advertisement
На правах рукописи Эдиев Далхат Мурадинович ТЕОРИЯ И ПРИЛОЖЕНИЯ ДЕМОГРАФИЧЕСКИХ ПОТЕНЦИАЛОВ 05.13.18. - «математическое моделирование, численные методы и комплексы программ» Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук Москва-2008 Работа выполнена на кафедре математики Карачаево-Черкесской государственной технологической академии Научный консультант доктор физико-математических наук, академик РАН Петров Александр Александрович Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Васин Александр Алексеевич доктор физико-математических наук, профессор Нахушев Адам Маремович доктор экономических наук, профессор Ермаков Сергей Петрович Ведущая организация: Кафедра народонаселения, экономический факультет Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова Защита состоится «____» _________________ 2008 г. в _____ часов на заседании диссертационного совета Д 002.017.04 в Вычислительном Центре им. А.А. Дородницына РАН (119333, г. Москва, ул. Вавилова, д.40). С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Вычислительного Центра им. А.А. Дородницына РАН. Автореферат разослан «____» ______________ 2008 г. Ученый секретарь диссертационного совета д.ф.-м.н. Новикова Н.М. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ При исследовании систем со сложной структурой плодотворно изучение скрытых возможностей, заложенного в их внутренней структуре потенциала (от греч. чистая возможность, скрытая сила). Ярким примером тому является потенциальная энергия механической системы, скрытая в ее пространственной структуре. Плодотворным оказывается такой подход и при исследовании биологических, социальных и экономических систем1, которые сложны по своей структуре2,3. Не случайно термин «потенциал» в различных трактовках получил широкое распространение в моделях биологических, социальных и экономических наук. Начиная с середины XIX - начала XX веков, в научный оборот были введены различные «потенциалы», отражающие разные аспекты демографической системы. Несмотря на множество работ, концепции потенциальной демографии (капитализированная стоимость У. Фарра, репродуктивный потенциал Р. Фишера, потенциал роста П. Венсана, популяционная инерция Н. Кейфитца, жизненный потенциал и трудовой потенциал Л. Херша и др.) не были обобщены на случай меняющихся во времени показателей рождаемости и смертности. Известные попытки обобщения репродуктивного потенциала (П. Самуэльсон, Я. Ким, Ш. Тулджапуркар и др.) опирались на модели специального вида, не были адекватны классической интерпретации концепции или содержали ошибки. Обобщение потенциала роста (популяционной инерции) на общий случай не было предложено, а известные оценки для специального случая асимптотически стационарного населения оказались ошибочны в условиях изменения среднего возраста деторождения. Не была так же решена проблема разработки единого подхода к понятиям потенциальной демографии, выдвинутая уже давно4. Это обуславливает актуальность настоящей работы по разработке общего подхода к понятиям потенциальной демографии, обобщения их на случай популяционной модели общего вида; актуальность работы так же обусловлена большим интересом к разработке новых методов демографического анализа и моделирования. Этот интерес особенно велик в связи с последним развитием демографической ситуации в России и большим интересом к проблемам народонаселения в мире. Целью работы является разработка теории демографических потенциалов, отражающих вклад человека в демографические, экономические, экологические и прочие процессы, с учётом последействия, Петров А.А., Шананин А.А. Математическая модель для оценки эффективности одного сценария экономического роста // Математическое моделирование. – 2002. – Т. 14, № 7. – С. 27–52. 2 Петров А.А., И.Г.Поспелов, Шананин А.А. Опыт математического моделирования экономики. – М. : Энергоатомиздат, 1996. –544 с. 3 Иванилов Ю.П. Математические модели в экономике / Ю.П. Иванилов, А.В. Лотов ; под ред. Н.Н. Моисеева – М. : Наука, 1979. – 304 с. 4 Пирожков С.И. Демографические процессы и возрастная структура населения. – М. : Статистика, 1976. – 136 с. 1 3 реализующегося через его потомков, для динамических популяционных моделей общего вида и приложений к задачам теоретической и прикладной математической демографии, тесно связанным с проблематикой потенциальной демографии. Для решения поставленной цели решаются следующие задачи: 1) разработка, исследование свойств и областей приложения демографических потенциалов на основе вклада в отдалённое потомство в рамках традиционной популяционной модели, с переменным, вообще говоря, режимом воспроизводства; 2) обобщение понятия репродуктивного потенциала (Р.А. Фишер) на случай произвольной динамики показателей воспроизводства; 3) разработка единого аксиоматического подхода к различным понятиям потенциальной демографии (демографический потенциал, репродуктивный потенциал, жизненный потенциал и др.); 4) разработка концепции демографического потенциала для модели неоднородного населения с учетом миграции; 5) разработка концепции демографического потенциала для популяционной модели с переменными, отличными от возраста; 6) разработка операторной популяционной модели общего вида и концепции демографического потенциала и исследование их свойств с учетом возможной сезонности показателей воспроизводства и без ограничения неотрицательности показателей фертильности; 7) обобщение и разработка понятия потенциала роста (П. Венсан, Н. Кейфитц) на основе понятия демографического потенциала на случай популяционной модели общего вида; 8) разработка, обобщение и исследование свойств понятий потенциальной демографии в узком смысле (капитализированная стоимость будущих доходов, жизненный потенциал, трудовой потенциал; У. Фарр, Л Херш) на основе единого аксиоматического подхода: - разработка, исследование свойств и областей приложения приведенного жизненного потенциала на основе вклада в формирование человеко-лет, которые будут прожиты изучаемым населением, - разработка, исследование свойств и областей приложения конъюнктурных потенциалов на основе вклада в формирование доходов компаний, - разработка, исследование свойств и областей приложения ресурсных потенциалов на основе вклада в расходование дефицитного ресурса, - разработка, исследование свойств и областей приложения экологических потенциалов на основе вклада в истощение и загрязнение окружающей среды, - разработка, исследование свойств и областей приложения трудовых потенциалов на основе вклада в формирование трудовых ресурсов общества, - разработка, исследование свойств и областей приложения экономических 4 потенциалов на основе вклада в превышение производства над потреблением общества; 9) разработка приложений к спектральной теории дискретных и непрерывных популяционных моделей; 10)разработка теории монотонной сходимости возрастных структур населения и теории монотонных показателей инстабильности, обобщение известных результатов на случай популяционной модели общего вида; 11)разработка приложений аппарата демографических потенциалов к задачам математической и прикладной демографии; 12)разработка приложений к составлению индексов для мониторинга демографических и миграционных процессов; 13)разработка приложений к демографическому прогнозированию; 14)разработка приложений к ретроспективному демографическому оцениванию; 15)разработка агрегированных популяционных моделей на основе результатов теории демографических потенциалов; 16)апробация разработанных моделей и методов на примере анализа реальных демографических процессов. Объектом исследования является народонаселение. Предметом исследования являются математические модели популяционной динамики. Научная новизна работы заключается в том, что: 1) предложена и разработана для дискретных и непрерывных популяционных моделей общего вида концепция демографического потенциала, отражающего относительный вклад в отдаленное потомство населения; 2) предложен аксиоматический подход к разработке различных понятий потенциальной демографии; 3) разработана концепция демографического потенциала для неоднородных нестабильных и открытых населений, для операторной популяционной модели общего вида, с учетом динамики, в т.ч. сезонной, показателей воспроизводства, а также для популяционной модели с переменными, отличными от возраста; 4) исследованы вопросы устойчивости демографических потенциалов; исследовано свойство эргодичности как применительно к предложенной автором популяционной модели общего вида в операторной форме (без традиционных ограничений типа постоянства и неотрицательности показателей воспроизводства), так и применительно к модели динамики демографических потенциалов; установлено важное свойство эквивалентности между эргодичностью популяционной модели и модели динамики демографических потенциалов; 5) исследованы свойства демографических потенциалов, включая устойчивость к отклонениям реальных показателей воспроизводства населения от модельных; 5 6) предложена концепция генеалогической диаграммы, указана связь между числом генеалогических линий и величиной демографического потенциала населения; 7) дано обобщение репродуктивного потенциала (Р.А. Фишер) на общий случай популяционной модели; 8) получены важные обобщения результата Фишера относительно динамики репродуктивного потенциала популяции, связывающие эту динамику с мальтузианским параметром (коэффициентом Лотки) популяции; 9) дано обобщение потенциала роста (П.Венсан, Н.Кейфитц) на общий случай популяционной модели, предложены новые методы оценивания потенциала роста; 10) опровергнуто выдвинутое в литературе предположение об уникальности монотонного показателя инстабильности возрастной структуры населения, предложенного в работах американских исследователей (Ш. Тулджапуркар, Р. Шоен, Я. Ким); показаны существование и нерасширяемость широкого класса подобных показателей, включающего как частные случаи показатели, предложенные в указанных американских работах и в работах отечественных демографов (А.М. Рубинов, Н.Е. Чистякова); теория монотонных показателей сближения возрастных структур развита на случай нескольких реальных населений, а также на случай переменного режима воспроизводства; 11) предложены агрегированные индексы для демографического мониторинга на основе демографических потенциалов; 12) разработаны агрегированные популяционные модели, адекватные роли изменения возрастной структуры реального населения; предложенные популяционные модели апробированы в задачах демографического прогнозирования и ретроспективного оценивания; 13) получены новые результаты по спектральной теории дискретных и непрерывных популяционных моделей, указывающие на связь спектра модели со структурой демографических потенциалов; 14) развита теория экономико-демографических и иных приведенных потенциалов, обобщающих и улучшающих известные результаты по теории экономической стоимости человеко-лет получателя дохода (У. Фарр) и жизненного потенциала (Л. Херш); введены понятия приведённого жизненного потенциала, экономико-демографических потенциалов (конъюнктурный, трудовой, экономический), ресурсных потенциалов (в т.ч. экологического); 15)проведён анализ демографических процессов и перспектив демографической политики в РФ с использованием разработанных моделей; 16)дана ретроспективная оценка по косвенным данным миграции в США на основе разработанных моделей. 6 Практическая значимость заключается в том, что полученные результаты могут быть использованы при исследовании режимов воспроизводства, мониторинге реальных населений, демографическом прогнозировании, косвенном и ретроспективном демографическом оценивании, разработке и контроле демографической политики, анализе смертности, миграции, старения населения, экономическом анализе и принятии маркетинговых решений, проведении экономической политики. Результаты, касающиеся свойств полученных в работе потенциалов, полезны в теоретическом плане и позволяют обосновывать пригодность этих величин для прикладных исследований. Для решения поставленной научной проблемы используются методы математического моделирования, математической демографии, математического анализа, линейной алгебры, функционального анализа и теории матриц. Разработанные методы апробированы на данных по населению России, США, Швеции, Японии, Франции и ряда других стран. Достоверность полученных результатов обеспечивается: 1) всесторонним обсуждением содержательной стороны разрабатываемых величин, их адекватности изучаемым явлениям; 2) широким использованием математического аппарата и математикодемографического моделирования при разработке предлагаемых концепций, строгостью математических выкладок; 3) глубоким исследованием и обсуждением свойств полученных величин и следствий полученных теоретических результатов; 4) соответствием и непротиворечивостью получаемых результатов имеющимся выводам относительно демографических процессов в РФ, а также в других рассмотренных примерах. Апробация работы. обсуждались: Основные результаты работы докладывались и 1) трижды – на научном семинаре отдела «Математическое моделирование экономических систем» ВЦ РАН (Москва, 2004, 2004, 2005); 2) на демографической секции Центрального Дома Ученых РАН (Москва, 2004); 3) на научном семинаре «Моделирование популяционных процессов» Института проблем управления РАН (Москва, 2005); 4) трижды – на научном семинаре Венского института демографии Австрийской Академии Наук (Вена, 2005, 2006, 2007); 5) на международном научном семинаре «Postponement of Childbearing in Europe» Венского Института Демографии Австрийской Академии Наук. (Вена, 2005); 6) на международном научном семинаре «Demographic-macroeconomic modeling» института Макса Планка демографических исследований (Росток, Германия, 2000); 7) на международном научном семинаре “Mortality in countries of the former USSR. Fifteen years after break-up: change or continuity?”, Киев, Институт демографии и социальных исследований НАН Украины (Киев, 2006); 7 8) на межвузовском научном семинаре НИИ Прикладной математики и автоматизации КБНЦ РАН, Карачаево-Черкесской государственной технологической академии и Адыгейского государственного университета (Черкесск, 2002); 9) неоднократно - в департаменте анализа переписной информации Университета Штата Айова (Эймс, США, 2000); 10)дважды - на научном семинаре НИИ прикладной математики и автоматизации Кабардино-Балкарского научного центра РАН (Нальчик, 1999, 2004); 11)многократно - на научных семинарах кафедр Математики и Прикладной математики и информатики Карачаево-Черкесской государственной технологической академии (Черкесск, 1997-2008 гг.); 12)на научном семинаре в НПО “МедСоцЭконИнформ” Минздрава РФ (Москва, 1997); 13)дважды - на научном семинаре кафедры Математических методов анализа экономики экономического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова (Москва, 1998, 1999); 14)в отделении демографии НИИ проблем социально-экономической статистики Госкомстата РФ (Москва, 1997); 15)трижды - на научных семинарах в МФТИ, кафедры МОУ ФУПМ, биофизики ФФХБ (Долгопрудный, 1996, 1997); 16)на международной конференции «Миграция и развитие» (Пятые Валентеевские чтения), Москва, МГУ им. М.В. Ломоносова, 2007; 17)на международной конференции ORM2007, Москва, ВЦ РАН, МГУ им. М.В. Ломоносова, 2007; 18)на междунар. конфер. IV Валентеевские чтения «Политика народонаселения: настоящее и будущее», Москва, МГУ им. М.В. Ломоносова, 2005; 19)на 50-й научно-технической конференции Таганрогского государственного радиотехнического университета, Таганрог, 2004; 20)на международной конференции «Миграция, социальные и межкультурные аспекты устойчивого развития», государственный университет управления, ЮНЕСКО, УВКБ ООН, Международная организация по миграции, Федеральная миграционная служба МВД Российской Федерации, Москва, 2004; 21)на российско-казахском симпозиуме «Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики», Нальчик-Эльбрус, 2004; 22)на III Всероссийских Межвузовских чтениях "Математические и статистические методы в экономике и естествознании", Ростовский государственный экономический университет "РИНХ", Ростов-на-Дону, 2001; 23)на II Всероссийском симпозиуме «Математическое моделирование и компьютерные технологии», секция «Экономико-математическое моделирование», Кисловодский институт экономики и права, Кисловодск, 1998; 24)на региональной научно-практической конференции «Северный Кавказ на пороге XXI века», Институт экономики и управления, Пятигорск, 1998; 25)на международной конференции “Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики”, КабардиноБалкарский Научный Центр РАН, НИИ Прикладной Математики и Автоматизации, Нальчик, 1996; 8 26)на международном научном симпозиуме “Экономика и право - стратегии 3000”, секция “Математическое моделирование и компьютерные технологии”, Кисловодский институт экономики и права, Кисловодск, 1996; 27)на XXXIX Юбилейной научной конференции Московского физикотехнического института “Современные проблемы фундаментальной и прикладной физики и математики”, секция управления организационными и техническими системами, МФТИ, Москва, 1996. По теме диссертации выполнялась научно-исследовательская работа, поддержанная грантами: 1) стажировка в университете штата Айова США по гранту Бюро образовательных и культурных программ США по теме: «Исследование демографической истории США на основе метода демографических потенциалов» (2000 г.); 2) госбюджетная НИР Министерства образования РФ по теме: «Разработка модели демографического потенциала и ее приложений» (2002-2003 гг.); 3) грант фонда Мак-Артуров № 02-73284 по теме: «Демографические потери депортированных народов СССР» (2002-2003 гг.); 4) руководитель гранта РФФИ № 05-06-80432 по теме: «Разработка математических моделей и методов оценивания показателей воспроизводства малочисленного населения», соисполнитель – ст.преп. КЧГТА Тебуев Дж.Б. (2005-2006 гг.); 5) поддержка Российского консорциума экономических исследований – финансирование доступа к базе данных западных научных публикаций JSTOR (2000-2007 гг.); 6) поддержка фонда Организации Объединенных Наций в области народонаселения – финансирование членства в Международном Союзе по Научному Изучению Народонаселения, IUSSP (2005-2009 гг.). Положения, выносимые на защиту: 1. Концепция демографического потенциала предложена и разработана для модели однородного населения с произвольной динамикой возрастных показателей рождаемости и смертности. 2. Разработан единый аксиоматический подход к понятиям потенциальной демографии. 3. Разработана концепция демографического потенциала для модели неоднородного населения с учетом миграции. 4. Разработана концепция демографического потенциала для популяционной модели с переменными, отличными от возраста. 5. Разработаны операторная популяционная модель общего вида и концепция демографического потенциала с учетом возможной сезонности показателей воспроизводства и без ограничения неотрицательности показателей фертильности. 6. Исследованы свойства демографических потенциалов. 7. Обобщена концепция репродуктивного потенциала (Р. Фишер) на случай 9 популяционной модели с произвольной динамикой возрастных показателей рождаемости и смертности. 8. Обобщен результат Р.А. Фишера относительно динамики репродуктивного потенциала. 9. Обобщено понятие потенциала роста (П. Венсан, Н. Кейфитц), разработаны методы его оценивания. 10.Получены общие результаты по эргодическому свойству линейных популяционных моделей, а также по спектральным свойствам популяционных моделей. 11.Дано исчерпывающее решение проблемы разработки монотонных показателей сходимости возрастных структур. Исправлены, улучшены и обобщены известные результаты. 12.Предложены и разработаны приведенные демографические потенциалы в развитие и обобщение капитализированной стоимости У. Фарра и потенциала Л. Херша. 13.Рассмотрены приложения к оцениванию параметров, сравнительному анализу воспроизводства населения, моделированию демографического перехода и динамики численности и иных линейных показателей населения. 14.Предложена и разработана агрегированная популяционная модель, апробированная на реальных данных. 15.На основе построенных моделей проведен анализ истории и перспектив воспроизводства населения России. Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 45 работах, в т.ч. в двух монографиях, семи статьях в реферируемых российских журналах из списка ВАК, четырех статьях в зарубежных реферируемых журналах, пяти статьях в других зарубежных изданиях. Структура работы. Работа состоит из введения, двух частей, пятнадцати глав, списка литературы из двухсот восьмидесяти девяти наименований и двух приложений. Объем работы – 318 страниц без списка литературы и приложений, в т.ч. 19 таблиц и 58 рисунков. ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Введение дает обоснование актуальности темы, дает общее представление о концепции демографического потенциала, формулирует объект, предмет, цели и задачи исследования, характеризует новизну и дает краткий обзор работы, содержит благодарности. На микроуровне потенциал определяется как нечто присущее отдельному человеку. Для разработки демографического потенциала как меры вклада в демографические процессы, предлагается определение: Пусть N a t – численность потомства особи/популяции ‘a’ к моменту времени t. Тогда демографические потенциалы ca определяются так, что 10 ca N t lim a . cb t N b t (1) Обоснование корректности определению дается на основе т.н. свойства эргодичности. Учет возможностей, потенциально заложенных в ожидаемом потомстве важен и в ряде экономических, экологических, военнополитических и др. задач. Эти задачи так же предлагается решать на основе разработки специальных показателей, отражающих вклад людей с учетом, как их собственной роли, так и роли их ожидаемого в будущем потомства. На макроуровне разработку демографического потенциала предлагается проводить на основе исследования агрегированных показателей, динамика которых удовлетворяет некоторым наперед заданным аксиоматическим требованиям в отсутствие внешних воздействий, нарушающих режим воспроизводства населения. В такой постановке концепция демографического потенциала родственна концепции энергии в физике: если нет процессов, не учтенных в модели динамики системы, если она замкнута, ее общая энергия должна быть постоянной. Демографический потенциал тоже можно подобрать так, чтобы он был постоянен, если воспроизводство населения идет согласно построенной модели. Оба подхода – основанные как на моделях микроуровня, так и на аксиоматических требованиях на макроуровне – приводят к одним и тем же показателям. Первая часть посвящена литературному обзору, разработке теоретических основ концепции демографических потенциалов и исследованию их свойств. Первая глава содержит краткое введение в традиционные однополые математико-демографические модели воспроизводства популяции, дает обзор научной литературы и анализ результатов, предшествовавших настоящей работе. При постоянных коэффициентах рождаемости и дожития традиционная дискретная однополая популяционная модель имеет вид: nt 1 Ln t , (2) где компоненты вектора n t есть численности отдельных возрастных групп, а L – матрица Лесли, содержащая показатели рождаемости и вероятности дожития к концу элементарного интервала времени. При обычных на практике условиях, модель (1) обладает эргодическим свойством, возрастная структура асимптотически стабилизируется, а динамика численности населения асимптотически экспоненциальная с коэффициентом прироста за год (коэффициент Лотки, мальтузианский параметр), таким, что: (3) x P0 Fx x1 1 , x где x , x P0 , Fx - индекс возраста, вероятность дожить с рождения до возраста x и коэффициент рождаемости в возрасте x . В непрерывной модели используют функцию плотности численности населения от возраста x , nx, t x nx; t , в момент времени t . Здесь и далее 11 будем придерживаться соглашения, что вторая переменная, как правило, – это переменная времени; если она отделена от первой переменной (возраста) запятой, то она соответствует моменту рождения человека, а при отделении точкой с запятой – текущему моменту времени. Соответственно, вместо дискретных наборов показателей смертности и рождаемости используют функции дожития l x и рождаемости f x . Первая функция соответствует вероятности дожития с рождения до возраста x , а функция рождаемости задает интенсивность рождения детей в возрасте x . Коэффициент Лотки непрерывной модели, связанный с дискретным коэффициентом прироста соотношением e , удовлетворяет уравнению Эйлера-Лотки: x (4) l x f x e dx 1 . x Понятие стабильного населения и экспоненциальная асимптотика популяционной динамики осмыслены только в контексте постоянных по времени показателей смертности и рождаемости. Для моделей с переменными показателями воспроизводства имеет место т.н. слабое свойство эргодичности, заключающееся в том, что всякие два населения, независимо от начальных условий, асимптотически сходятся по своей структуре, если следуют одному и тому же режиму воспроизводства. Репродуктивный потенциал (Р. Фишер) Понятие репродуктивного потенциала (reproductive value), введенное известным генетиком и статистиком Р.А. Фишером5,6, является наиболее ранней попыткой разработать специальную величину, адекватную демографическим возможностям, скрытым в возрастной структуре населения. Лотка пришел к сходной концепции, хотя и не предлагал математического ее выражения. Опираясь на финансовые аналогии, в качестве репродуктивного потенциала человека возраста x Фишер ввел суммарную текущую стоимость его будущих «выплат по долгу» (рождений), используя в качестве дисконтирующего фактора коэффициент Лотки (4): v x e x l y f y e y dy , l x (5) x где vx – репродуктивный потенциал человека возраста x . Фишер показал важное свойство репродуктивного потенциала: d V t , V dt где V t nx; t vx dx (6) - суммарный репродуктивный потенциал населения в 0 момент времени t . Ввиду связи между репродуктивным потенциалом и асимптотикой популяционной модели, это понятие получило широкое Fisher R.A. The genetical theory of natural selection. – New-York : Dover Publications, 1930. Fisher R.A. The actuarial treatment of official birth records // Eugenics Review. – 1927. – Vol. 19. – P. 103–108. 5 6 12 применение в эволюционных теориях. В то же время, на основе (6) не были построены приемлемые агрегированные модели популяционной динамики, поскольку соответствующие модели оказались неадекватными в краткосрочном и среднесрочном плане. Дискретная теория репродуктивного потенциала была развита П. Лесли. Ряд работ был посвящен исследованию зависимости репродуктивного потенциала от возраста, от уровней рождаемости и смертности, обобщению концепции на модели, в которых популяция подразделяется на подклассы не обязательно по возрасту, но и, возможно, по другим характеристикам. Серьезным фактором, ограничивающим применение репродуктивного потенциала, явилось то, что концепция разработана только в рамках модели с постоянным режимом воспроизводства. В общем случае экспоненциальной асимптотики нет, и финансовые аналогии Фишера теряют смысл. Интересные попытки обобщения концепции были предложены известным экономистом П.А. Самуэльсоном. Он рассмотрел неклассические модели двуполой популяции7,8, а также модели с внешним ограничением на размер эволюционной ниши, занимаемой популяцией9. В первом случае обобщение оказалось чересчур формально, поскольку использованное предположение об отсутствии возраста, как и предложенная двуполая модель не адекватны реальным процессам воспроизводства. Во втором случае, когда асимптотическая численность не зависит от начальных условий, Самуэльсон предложил две модельные ситуации. Когда начальная численность популяции гораздо меньше емкости среды, а темп прироста популяции достаточно мал, он предлагает выражение для «начального» (incipient) репродуктивного потенциала населения: V n00 , n10 ,..., n X0 n0 n0 n0 e T N T ; T0 , 1T ,..., TX e e e , lim T T (7) здесь нижний индекс соответствует номеру возрастной группы, верхний индекс «0» применяется к начальным условиям, – асимптотический коэффициент роста населения при фиксированных исходных значениях показателей воспроизводства, а N T ; - общая численность населения в момент времени T. Обобщение (7) совпадает с потенциалом Фишера, рассчитанным в предположении постоянства исходных показателей воспроизводства. Когда предположение о малости исходного масштаба Samuelson P.A. Generalizing Fisher’s ‘reproductive value’: Linear differential and difference equations of ‘dilute’ biological systems // Proceedings of National Academy of Sciences of USA. – 1977. – Vol. 74, № 11. – P. 5189–5192. 8 Samuelson P.A. Generalizing Fisher’s “reproductive value”: Nonlinear, homogeneous, biparental systems // Proceedings of National Academy of Sciences of USA.– 1977.– Vol.74, №12. – P.5772-5775. 9 Samuelson P.A. Generalizing Fisher’s “reproductive value”: “Incipient” and “penultimate” reproductive–value functions when environment limits growth; linear approximations for nonlinear Mendelian mating models // Proceedings of National Academy of Sciences of USA. – 1978. – Vol. 75, № 12 – P. 6327–6331. 7 13 населения неверно, Самуэльсон предложил ввести «пред-асимптотические» (penultimate) репродуктивные потенциалы: N T ; n00 , n10 ,..., n X0 ni0 . T N T ; n 0 , n 0 ,..., n 0 n00 0 1 X i n00 , n10 ,..., n X0 lim i T ; n00 , n10 ,..., n X0 lim T (8) Модель Самуэльсона представляет только частный случай популяционной динамики, а демографический смысл, вкладываемый в соотношения (8), не согласуется с демографической интерпретацией репродуктивных потенциалов Фишера. Обобщения Самуэльсона опираются на относительную роль начальных условий в устойчивости асимптотической динамики, а не в структуре асимптотической численности. Помимо неадекватности классической интерпретации, обобщения, предложенные Самуэльсоном, в явном виде опираются на абсолютные показатели численности популяции в бесконечно далеком будущем. Неопределенность, присущая знаниям о будущей популяционной динамике, исключает такой подход на практике. Другое обобщение, совпадающее, с точностью до множителя, с обобщением, излагаемым в настоящей работе, было предложено американскими исследователями Тулджапуркаром и Ли10,11 независимо от автора настоящей работы, но несколько позднее. Они изучали дискретную модель, в которой матрицы Лесли испытывают малые стохастические возмущения относительно математических ожиданий, не зависящих от времени, и рассмотрели динамику числа потомков: W t , i W t 1, j X ij t 1 , (9) j где W t , i - численность потомства [в бесконечно далеком будущем – Д.Э.] организма типа i в момент времени t, X ij t 1 - число организмов типа j, производимых к моменту времени t+1 организмом типа i в момент времени t. Заметим, что выражение (9) некорректно, поскольку численность потомства будет бесконечна, если только не рассматривается модель асимптотически сокращающегося или стационарного населения; причем, в последнем случае – в рамках модели Тулджапуркара-Ли – асимптотическое значение численности потомства всякого конечного населения равна нулю вследствие случайного вымирания населения с вероятностью 1. Кроме того, попытка моделирования абсолютного значения численности потомства в бесконечно далеком будущем должна быть признана несостоятельной. Выражение (9) было использовано для обобщения понятия репродуктивного потенциала: V t W t X T t 1V t 1 T , W t X t 1V t 1 (10) где элементами векторов Vt , Wt и матрицы Xt являются репродуктивные потенциалы, «численности» потомств и показатели воспроизводства в 10 Tuljapurkar S., Lee R. Demographic Uncertainty and the Stable Equivalent Population // Mathematical and Computer Modelling. – 1997. – Vol. 26, № 6. – C. 39–56. 11 Tuljapurkar Sh., Caswell H. Structured–population Models in Marine, Terrestrial and Freshwater Systems. – New York: Springer, Chapman and Hall, 1997. – 656 p. 14 зависимости от типа организма. Несмотря на некорректность (9), выражение (10) корректно и, с точностью до множителя, совпадает с обобщением концепции Фишера, предлагаемым в диссертации на основе понятия демографического потенциала. Недостатком обобщения является то, что оно применимо только к дискретной популяционной модели. Ким и Сайкс12 эмпирически исследовали свойство эргодичности и так же подошли к обобщению репродуктивного потенциала. Ким13 аналитически исследовала модель (2) с переменной матрицей L и изучала произведения: (11) M , t Lt Lt 1...L 1L , t . При этом, (12) M , t M 1, t L . Элементы первого столбца w 0 , t матрицы (11) даются уравнением: X w 0 , t j j w 0 j 1, t , (13) j 0 где j j P0 P1 1...Pj 1 j 1Pj j F j j - ожидаемое число рождений в возрасте j у человека из младшей возрастной группы в момент времени . Выражение (13) не применимо для t X , и Ким предлагает специальные начальные условия, гарантирующие (13) для всех t . К сожалению, демографическое содержание этих условий искусственно: смертность у всех доживающих до момента t равняется нулю, равно как и рождаемость у всех когорт, родившихся после этого момента. При таких начальных условиях обобщение репродуктивного потенциала теряет смысл, поскольку все потомства равны нулю после момента времени t X . Далее Ким вводит показатели роста g , t w 0 , t w 0 1, t , делает вывод (нуждающийся g , t g 0 для некоторой функции в обосновании) о существовании lim g , не зависящей от t и предлагает декомпозицию произведения (11): t M , t g k h 0 t f T , k (14) X j j 1 f . P0 P1 1...Pi 1 i 1 j i g g 1...g j 1 (15) где f - вектор обобщенных (по Ким) репродуктивных потенциалов: Однако, декомпозиция (14) и обобщение (15) неправомерны даже в рассмотренном классе дискретных моделей со специальными начальными условиями, поскольку в (14) игнорирована зависимость g , t от t, в т.ч. при близких к t (см. верхний предел индекса произведения в (14)). 12 Kim Y.I., Sykes Z. An experimental study of weak ergodicity in human populations // Theoretical Population Biology. – 1978. – № 10. – P. 150–172. 13 Kim Y.I. Dynamics of populations with changing vital rates: Generalizations of the stable population theory // Theoretical Population Biology. – 1987. – № 31. – P. 306–322. 15 Потенциал роста, популяционная инерция (П. Венсан, Н. Кейфитц) Потенциал роста был предложен французским демографом П. Венсаном14, хотя идея концепции прослеживается в работах Дублина, Лотки и Фишера. Потенциалом роста называется аккумулированное за период стабилизации отклонение динамики численности населения с постоянным режимом воспроизводства от динамики стабильного населения. Случай стационарной асимптотики был исследован Ж. Буржуа-Пиша, который предложил ряд зависимостей, в т.ч.: t e0 0 nx, t Gx dx , N t l x (16) Gx l y f y dy x l y f y dydz , e0 l x dx - ожидаемая продолжительность жизни при 0 0 z рождении. Он рассмотрел важный случай стабильного исходного населения, согласованного не с асимптотическим, а с иным режимом воспроизводства: e0 b e x Gx dx , (17) 0 b - общий коэф. рождаемости (число рождений за единицу времени, деленное на численность населения), - коэф. Лотки до изменения режима воспроизводства. Кейфитц15, опираясь на связь репродуктивного потенциала и популяционной асимптотики, вывел выражение для популяционной инерции: t e0 nx, t vx dx , N t (18) 0 - асимптотический средний возраст деторождения. С учетом (5), это выражение преобразуется в (16). Для случая, когда рождаемость мгновенно сокращается до уровня простого воспроизводства, без смены возрастной структуры рождаемости, Кейфитц получил упрощенную формулу: e0 b R0 1 , R0 (19) где все показатели, кроме , характеризуют население до изменения рождаемости; R0 l x f x dx . Ряд работ был посвящен обобщению x результатов Кейфитца. Андреев и Пирожков16, исследуя потенциал роста, использовали потенциалы Фишера и предложили величину, которая может быть сведена к Vincent P. Potentiel d’accroissement d’une population stable // Journal de la Societe de Statistique de Paris. – 1945. – № 86.– P. 16–29. 15 Keyfitz N. On the momentum of Population Growth // Demography. – 1971. – № 8. – P. 71–80. 16 Андреев Е.М., Пирожков С.И. О потенциале демографического роста // Население и окружающая среда. – М., 1975. 14 16 стабильному эквиваленту Кейфитца Q. Для случая стабильной, но не обязательно стационарной асимптотики, они предложили обобщение, эквивалентное предложенному французской и американской школами: T rt T lim e t 1 T , (20) где rt - темп прироста численности населения в году t 1,2,... . В рамках теории демографических потенциалов удается обобщить понятие потенциала роста, в т.ч. на не нашедший отражения в литературе случай с переменным режимом воспроизводства. В одном важном случае полученные обобщения позволяют исправить ошибку, допущенную в предшествующих исследованиях. А именно, вопреки устоявшемуся мнению о том, что изменение среднего возраста деторождения не приводит к популяционной инерции17, с.260, инерция в этом случае так же наблюдается. Капитализированная стоимость доходов (У. Фарр), жизненный потенциал (Л. Херш) По-видимому, первым, кто исследовал проблему экономического оценивания жизни человека, был У. Фарр, который предложил концепцию капитализированной стоимости способности получать доход как ожидаемую текущую стоимость будущих доходов человека18: l y r y x e w y dy , l x x cvx (21) r - темп дисконтирования, а w y - интенсивность получения дохода в возрасте y лет. Другой способ был предложен. Л. Хершем19 и привлек большое внимание в отечественной литературе. Он ввел понятие жизненного потенциала как ожидаемое число лет, которое человек проживет до смерти, ly dy , l x x h x (22) или в составе определённой группы (скажем, от a x до b a лет): ly dy . l x a b h x (23) Включая в расчет трудоспособные возрасты, получают трудовой потенциал. С учетом различной ценности возрастов с точки зрения проводимого анализа, годы жизни в (22) и (23) взвешивают специальной функцией: ly p y dy , l x x hx (24) 17 Li N., Tuljapurkar Sh. Population Momentum for Gradual Demographic Transitions // Population Studies. – 1999. – Vol. 53, № 2.– P. 255–262. 18 Vital statistics, a memorial volume of selections from the reports and writings of William Farr / N. Humphreys (ed.) – London: Sanitary Institute, 1885. 19 Hersch L. De la demographie actuelle a la demographie potentielle. – Geneva, 1944. 17 где p y - весовая функция, отражающая степень участия в экономической или иной деятельности. Сходные подходы применялись в медикодемографических исследованиях при разработке индексов DALY, отражающих ожидаемое число человеко-лет жизни с учетом дожития и качества жизни в различных возрастах. Два недостатка описанных показателей приводят к некорректности выводов, получаемых для населения в целом. Во-первых, в жизненный потенциал с одинаковым весом включаются годы жизни, относящиеся к разным моментам времени, что недопустимо, если эффект от одного и того же явления, относящегося к различным моментам времени, различен. Этот недостаток устранен в индексе DALY и капитализированной стоимости за счет дисконтирования. Во-вторых, в капитализированной стоимости и в жизненном потенциале не берутся в расчет годы жизни детей, которые родятся в будущем. Для устранения этих недостатков, в диссертации предложен класс приведенных потенциалов. При этом решена проблема разработки единого подхода к понятиям потенциальной демографии, выдвинутая давно4. Удалось так же выявить существование ранее не исследованных смешанных потенциалов, которые, обладая свойствами приведенных потенциалов, отражают еще и вклад в асимптотическую численность. Теории показателей инстабильности и монотонной сходимости К традиционной потенциальной демографии примыкает тематика показателей инстабильности (в отечественной литературе) и монотонной сходимости (в американской литературе). Тулджапуркар20 ввел монотонную меру сходимости возрастной структуры населения к структуре стабильного населения на основе расстояния Куллбака-Лейблера: * (25) K t p x t ln p x t p x , x v N t где p x t x x - доли возрастных групп в репродуктивном потенциале V t населения, звездочкой здесь и далее помечены показатели стабильного эквивалентного населения. Позже это расстояние было исследовано Шоеном и Ким21, которые рассмотрели так же непрерывную постановку и высказали ошибочное предположение об уникальности этого показателя как монотонной меры сходимости к стабильному населению. В отечественной литературе сходная тематика развивалась независимо, в рамках теории показателей инстабильности. Модифицировав показатель Пирожкова, Рубинов и Чистякова22 ввели показатель 20 Tuljapurkar S.D. Why use population entropy? It determines the rate of convergence // Journal of Mathematical Biology. – 1982. – № 13. – P. 325–337. 21 Schoen R., Kim Y.J. Movement toward stability as a fundamental principle of population dynamics // Demography. – 1991. – № 28. – P. 455–466. 22 Рубинов А.М., Чистякова Н.Е. Возрастная структура и потенциал роста населения // Демографические процессы и их закономерности / Ред. А.Г. Волков. – М.: Мысль, 1986.– С. 38-52. 18 N x t N x t * I t v x x V t p x t p x , * (26) x отметив монотонность как его отличительную черту. Таким образом, теория монотонных показателей инстабильности получила (независимое) фрагментарное развитие в американской и отечественной традициях, в рамках каждой из которых было предложено по одному (предположительно, уникальному) показателю. В обоих случаях рассматривались только модели с постоянными показателями воспроизводства. Недостатком показателя (25), не получившим отражения в литературе, является его чувствительность к вариации оценок параметров модели. Наконец, логически вытекающая из постановки проблемы задача разработки монотонных показателей близости возрастных структур реальных населений не была решена. Попытка такого решения была неудачно предпринята Шоеном и Ким, отметившими, что куллбаковское расстояние между реальными населениями свойством монотонности не обладает21. Разработка теории демографических потенциалов показала, что предложенные ранее показатели являются частными случаями обширного класса, который состоит из сумм (интегралов) функций уклонений от стабильности в отдельных возрастах, взвешенных демографическими потенциалами. Это указывает на то, что близость концепций потенциальной демографии и теории монотонной сходимости теснее, чем предполагалось ранее. Упомянутый класс – при обычных на практике условиях – не может быть расширен. В рамках этого класса удается выделить монотонные (в т.ч. робастные) показатели сближения возрастных структур двух и более реальных популяций, в т.ч. в случае переменного режима воспроизводства. В то время, как демографические потенциалы являются аналогами энергии (см. выше), показатели инстабильности – аналоги физической энтропии, динамика которой указывает на степень неравновесности системы. Во второй главе рассматривается концепция демографического потенциала в рамках традиционной однородной однополой модели замкнутого (в отношении миграции) населения. Сначала рассматривается дискретная модель Лесли воспроизводства населения. Можно выделить следующие три важнейших свойства, которые можно положить в основу при аксиоматической разработке концепции демографического потенциала: 10. Непрерывность. Демографический потенциал является непрерывной функцией возраста человека. Для дискретных моделей это условие излишне. 20. Аддитивность. Потенциал группы, состоящей из подгрупп с непересекающимися потомствами, равен сумме потенциалов этих подгрупп. 30. Преемственность. Это условие касается динамики суммарного потенциала замкнутого населения и зависит от особенностей модели и целей анализа. В качестве общего требования можно положить независимость динамики суммарного потенциала от текущей структуры населения: 19 Ct; n0 t , n2 t ,..., n X t Ct 1 gCt 1 , (27) где Ct; n0 t , n2 t ,..., n X t Ct 1 - общий потенциал в момент времени t при заданном значении потенциала в предшествующий момент времени, а g некоторая функция, вид которой определяет тип потенциала. Из условия аддитивности следует, что для линейной популяционной модели функция g должна быть однородной первого порядка, т.е., (27) можно уточнить: (28) Ct; n0 t , n2 t ,..., n X t Ct 1 K Ct 1 , с коэффициентом K, не зависящим от начальных условий. В рамках классической дискретной популяционной модели (2) с постоянными показателями воспроизводства. асимптотика популяционной динамики экспоненциальная, и демографический потенциал можно искать в форме аддитивного индекса с экспоненциальной динамикой: V t v T nt (29) (30) V t V t 1, где V t - потенциал населения в момент времени t ; v - вектор возрастных коэффициентов потенциала; - коэффициент Лотки, равный Перронову собственному значению матрицы Лесли, см. (3). Из (2), (29), (30) имеем для произвольного вектора nt : v T nt V t V t 1 v T nt 1 v T Ln t . Тогда вектор повозрастных потенциалов есть левый собственный вектор матрицы Лесли, соответствующий коэффициенту Лотки, LT v v , он с точностью до множителя совпадает с вектором репродуктивных потенциалов, при этом: v x v0 x X Lx Fx y1 . Lx y x (31) Для модели с переменными показателями рождаемости и смертности: nt 1 Lt nt , (32) когда экспоненциальная асимптотика, финансовые аналогии Фишера и условие (30) теряют смысл, рассмотрено наиболее простое условие преемственности – постоянство демографического потенциала, – и показано: ct Lt T ct 1 , (33) Можно показать: def c x t Fx t c0 t 1 Px t c x 1 t 1, x 0, X ; c x t 0, x X , (34) т.е., потенциал человека есть сумма потенциала его детей, которые родятся в течение предстоящего периода и его же потенциала к концу периода. В рамках непрерывной модели воспроизводства общего вида показана эквивалентность аксиоматического подхода к разработке демографического потенциала и подхода на микроуровне, на основе вклада в отдаленное потомство. В условиях постоянных во времени рождаемости и смертности, на основе конструктивного определения (1), имеем: cx, t l x cx , t c0, t x f x o , l x (35) где cx, t - потенциал человека возраста x, родившегося в момент t. Отсюда: 20 Из cx , t ln l x cx , t c0, t x f x . x x (36), с учетом требования lim cx,t 0 , x c x , t (36) имеем: 1 c0,t l y f y c0,t y dy l y f y e y dy . l x l x x (37) x Из (37) видно, что возрастная структура потенциала не зависит от времени: def c x ,t 1 (38) sx ,t l y f y e y dy . c0,t l x x Для структуры потенциала по возрастам для людей-современников имеем: def c x , t x e rx (39) v x; t l y f y e y dy . c0, t l x x Потенциал (39) идентичен репродуктивному потенциалу Фишера, ср. (5). Выражения (37) и (38) эквивалентны следующему: ly f y c0, t y dy , l x x cx, t (40) т.е., потенциал всякого человека есть сумма потенциалов его ожидаемых в будущем детей. Соотношение (39) можно переписать как: ly (41) v x , t f y v0e y x dy , l x x что также отражает то, что репродуктивный потенциал родителя есть сумма (дисконтированных) потенциалов его будущих детей. Относительно устойчива структура ожидаемого будущего демографического потенциала def младенца u x, t sx, t l x, t . Для случая постоянного режима воспроизводства: u x, t l y f y e y dy . (42) x Учитывая (31), легко получить дискретные аналоги (38) и (42): sx ux vx v 0 x 1 X L x Fx y 1 , Lx y x (43) 1 X Lx Fx y1 . L0 y x (44) В общем случае переменных показателей рождаемости и смертности l x ,t c x , t cx , t c0, t x f x , t o , l x , t Из cx ,t ln l x ,t cx ,t c0,t x f x ,t . x x (46) с учетом условия lim cx,t 0 получим: (45) (46) x c x , t l y ,t l x ,t f y ,t c0,t y dy , (47) x 21 Выписав (47) для младенцев, получим аналог уравнения Лотки: c0, t l y , t f y , t c0, t y dy . (48) 0 Далее рассмотрен аксиоматический подход с условием преемственности в виде постоянства потенциала применительно к общему случаю модели с переменными показателями воспроизводства и показано, что аксиоматическим требованиям удовлетворяет только потенциал (47). Для модели простого режима воспроизводства демографический потенциал с точностью до постоянного множителя равняется числу генеалогических линий населения, определенных особым образом. Аппарат количества генеалогических линий обсуждается в контексте теории демографического потенциала во второй главе. В заключение второй главы даются обобщения понятий репродуктивного потенциала Фишера и потенциала роста ВенсанаКейфитца. В качестве обобщения потенциала Фишера предлагается отношение потенциалов (47) к потенциалу младенца-современника (48): def cx , t x . (49) v x ; t c0,t Интерпретация репродуктивных потенциалов, данная Фишером может быть заменена аналогичной общей интерпретацией для (49). Имеем из (49), (47): l y ,t x c0, t y x (50) v x; t f y ,t x dy , l x , t x c0,t x здесь суммируются ожидаемые в будущем числа рождений, дисконтированные пропорционально изменению потенциала младенца. В работе показано, что в общем случае результат Фишера (6) является хорошей аппроксимацией, а в одном классе моделей может быть обобщен как точный: темп прироста обобщенного репродуктивного потенциала равен коэффициенту Лотки реальных когорт, если последний постоянен, т.е. если l x ,t f x ,t e x dx 1 (51) 0 при некотором . Это условие не предполагает постоянства коэффициента Лотки синтетических когорт, удовлетворяющего уравнению l x ,t x f x ,t x e t x dx 1 для момента времени t. Рассмотренный случай 0 является важным, поскольку показатели синтетических когорт весьма изменчивы, а показатели реальных когорт, напротив, более постоянны. Для обобщения потенциала роста (инерции) населения использовано то, что средний потенциал стабильного населения не зависит от времени, а суммарные потенциалы реального и эквивалентного ему стабильного населений равны. Показано, что в классическом случае постоянного режима воспроизводства потенциал роста равен 22 t l x e x 0 x dx n x ; t N t vx dx . 0 (52) Для асимптотически стационарного населения (52) сводится к результату Буржуа-Пиша и Кейфитца. Можно получить так же обобщение потенциала роста на случай произвольного режима воспроизводства: ct t , (53) c* t где c* t - средний потенциал асимптотически эквивалентного населения, принятого в качестве стандарта. Соотношение (53) указывает на важную роль изменения среднего возраста деторождения для потенциала роста, поскольку средний демографический потенциал населения обратно пропорционален среднему возрасту деторождения. Эта роль оказалась неучтенной в известных работах по теории потенциала роста, поскольку они игнорировали связи между численностями различных поколений. В то же время, эти связи отражены в демографических потенциалах, поскольку, например, суммарные потенциалы поколения родителей и их детей равны. Ограничения однородности и замкнутости снимаются в третьей главе. В случае открытого неоднородного населения сначала рассматривается население из k групп, которые не перемешиваются, но дети представителей одних групп могут относиться к другим группам. При этом: ci 0, t k l y, t f y, t c 0, t y dy , i 1,k , i ij (54) j j 1 0 где f ij y, t - интенсивность рождения детей группы j у родителей группы i. Для асимптотически стабильного населения доказана разрешимость системы интегральных уравнений (54), в условиях, когда матрица неттокоэффициентов воспроизводства R n 0 li ( y ) f ij ( y )dy 0 неразложима (в противном случае отдельные подгруппы населения будут перемешиваться только между собой, изолируясь от остальной части населения). Рассмотрены так же специальные случаи, когда решение (54) может быть упрощено. В диссертации та же рассмотрен случай перемешивающихся групп, когда люди могут переходить из одной группы в другую (это удобная модель при включении в анализ брачного состояния, числа уже рожденных детей, уровня доходов и т.д.) Пусть wij x ,t - интенсивность перехода из i-й группы в j-ю в возрасте x для когорты родившихся в момент времени t. Прежде всего, следует учесть эти переходы в функциях дожития, домножив функции x wij y ,t dy дожития i-й группы на e 0 j i (ниже предполагается, что это уже сделано). При этом расчет потенциалов сводится к решению аналога (54): 23 k 0 j 1 ci 0,t li y ,t f ij y ,t c j 0,t y wij y ,t c j y ,t dy , i 1, k . (55) Для модели с учетом порядка рождения расчеты можно вести по формулам: vx ,i 1 Fx ,i Px f x ,i vx 1,i 1 1 f x ,i vx 1,i , i 1,2,... , (56) где vx ,i - аналог потенциала Фишера в модели неоднородного населения для человека x -й возрастной группы, у которого уже родилось i детей (обоих полов); - асимптотический коэффициент роста населения, подбираемый так, чтобы потенциал v0,0 был равен единице; f x ,i - возрастные коэффициенты рождаемости с учетом порядка рождения; Fx ,i - то же самое, но с поправкой на младенческую смертность и долю девочек среди новорожденных. В работе приводится пример расчета для населения США. В математической биологии получили распространение модели воспроизводства, в которых вместо/помимо возраста используются иные переменные (рост, масса тела, стадия развития организма и проч.) Применение концепции демографического потенциала в рамках таких моделей проиллюстрировано на примере стадийной модели Левковича. В заключение главы формулируется непрерывная популяционная модель общего вида. Модель строится в операторной форме, на основе введения оператора L , ставящего в соответствие плотности численности населения nt x , x 0, , в момент времени t плотность численности nt x в момент времени t : nt Lnt . (57) Здесь и далее переменную возраста x будем опускать, если это не вызовет разночтений. Функции плотности численности населения будем считать элементами пространства L2 0, . Вводится оператор передвижки: l x nx , x ,l x 0 (58) Pnx l x 0, x или l x 0 Оператор передвижки линеен и ограничен, его норма не превышает единицы. Он не является компактным. Если функция дожития непрерывна при x 0 , то оператор передвижки непрерывен. Если функция дожития еще и финитна, то k : P k k P 0 . (59) Если функция дожития не является финитной, но lim l x 0 , то x lim k P k lim k k P 0, (60) Вводится так же оператор рождаемости F такой, что: (61) L F P . На основе анализа примеров, положено, что оператор рождаемости линеен, ограничен, и компактен, отсюда, он так же и непрерывен. Как у линейного ограниченного оператора в гильбертовом пространстве, у L существует сопряженный линейный ограниченный 24 такой, что для любых n , c L2 0, выполняется равенство: Ln, с n, L* с . (62) Отсюда получается уравнение динамики функции потенциала cx на основе аксиомы о постоянстве суммарного демографического потенциала: C t nt , сt Lnt , сt nt , L* сt C t nt , сt (63) для любых t , nt . Отсюда, верно уравнение динамики вектора потенциала: сt L* сt . (64) * L может быть представлен так же, как и оператор воспроизводства: * * * (65) L F P , где справа стоят операторы, сопряженные к операторам рождаемости и передвижки, обладающие такими же свойствами. О п р е д е л е н и е . Модель (57) обладает эргодическим свойством, если существует такая функция n s , такая, что для всякого начального населения n оператор lim k * L 1 r k Lk n n s (66) при некотором конечном действительном ; r – спектральный радиус L . Показан ряд результатов, которые завершаются теоремами: Т е о р е м а . Популяционная модель (57) обладает эргодическим свойством тогда и только тогда, когда максимальным по модулю собственным значением оператора L является положительное действительное число, и ему соответствует только одна (с точностью до множителя) собственная функция, которая не ортогональна ни одной собственной функции сопряженного оператора, соответствующей тому же самому собственному значению. Причем, в (66) n, c n , c s s (67) s Т е о р е м а . Модель (57) обладает эргодическим свойством тогда и только тогда, когда этим свойством обладает модель (64). Оценка (67) отражает фундаментальное свойство потенциала – пропорциональность асимптотической численности населения. Для классической популяционной модели условие неортогональности n s и c s верно всегда, из-за чего, ранее к этому условию не обращались. Это условие равносильно существованию нетривиального демографического потенциала. В четвертой главе рассматриваются приведенные потенциалы, которые отражают не отдаленные перспективы воспроизводства, а вклад ныне живущего населения и его потомства в экономические, экологические и иные исследуемые процессы. В частности, приведённый жизненный потенциал рассчитывается как общее число будущих человеко-лет, приведённых (методом дисконтирования) к текущему или иному моменту времени. Если норма дисконта больше коэффициента Лотки, либо равна ему, приведенные потенциалы сводятся к чисто демографическому потенциалу, что подчёркивает его «фундаментальность». Для приведенного жизненного 25 потенциала аксиому преемственности можно сформулировать так: 30. Приведенный жизненный потенциал замкнутой группы удовлетворяет: t2 H t 2 H t1 N t e r t t0 dt , (68) t1 H t - суммарный приведенный жизненный потенциал, а N t - численность населения в момент времени t ; r - сила дисконта, предполагаемая больше коэффициента Лотки. Может представлять также интерес приведение не к фиксированному начальному, а к текущему моменту времени: H t 2 e rt2 H t1 e rt1 t2 N t e rt dt , (69) t1 или, что равносильно, t2 H t 2 H t1 e r t1 t2 N t e r t t2 dt . t1 Аналогия между демографическим потенциалом и физической энергией уместна и для приведенных потенциалов, но с поправкой на то, что население не может считаться замкнутым с точки зрения его недемографической роли. Выражения справа в (68) и (69), аналогичны работе физической системы, уменьшающей ее энергию. Разработка аксиоматического подхода указала на существование смешанных демографических потенциалов, которые являются линейной комбинацией приведённого и чисто демографического потенциалов. Поскольку суммарный демографический потенциал замкнутого населения (в абсолютных единицах) неизменен, то сумма приведенного потенциала (68) и демографического потенциала с произвольным весом будет удовлетворять той же аксиоме преемственности, что и приведенный демографический потенциал. Эти же соображения указывают, что необходимо еще одно условие для однозначного определения приведенных потенциалов: 40. (Условие исчерпаемости). Приведенный жизненный потенциал (68) всякой замкнутой группы асимптотически равен нулю, lim H t 0 , (70) t Для потенциала (69) условие исчерпаемости имеет вид: lim H t e rt 0 . t (71) Физическая аналогия аксиомы: асимптотически, демографическая система расходует весь свой потенциал на «совершение работы». Потенциалы (68) однополого, однородного, замкнутого населения равны: x x l y ,t r t y l y ,t h x , t e dy f y ,t h0,t y dy l x ,t l x ,t (72) Для потенциалов (69) соотношение (72) следует заменить на следующее: x x l y ,t r y x l y ,t h x , t e dy f y ,t h0,t y e r y x dy l x ,t l x ,t 26 (73) В случае асимптотически стабильного населения потенциалы не зависят от времени и могут быть получены в явной форме: h0 l y e 0 ry dy 1 l y f y e dy . (74) ry 0 l y r y x ly hx, t e dy h0 f y e r y x dy . l x l x x x (75) В диссертации получены выражения для потенциалов двуполого населения, приведенные потенциалы разработаны для неоднородного открытого населения, исследованы условия разрешимости соответствующих систем, дается обзор областей приложения приведенных потенциалов, вводится понятие половозрастной потенциальной пирамиды. В пятой главе рассмотрены свойства потенциалов. Сначала рассматриваются общие свойства демографического потенциала. Дается обобщение классического результата (6), который равносилен следующему: (76) c0, t c0,t e t . Для населения с переменным режимом воспроизводства соотношение (76) неверно, но потенциал младенца «колеблется» около аналога (76): (77) c0, t ct e t g t , , a, , где g t, - некоторая функция, принимающая и неотрицательные, неположительные значения. Если динамика демографических показателей слабая, то g t, можно считать небольшим по модулю. Причем, при любом режиме воспроизводства равенство (76) точное, по крайней мере, для одного значения a, . Для населения с постоянными показателями V t 2 V t1 e t t , а для населения с показателями воспроизводства 2 воспроизводства, близкими к 1 постоянным, V t 2 e t2 t1 , V t1 где - эффективный истинный коэффициент естественного прироста населения за некоторый период, включающий t1 ,t 2 . Можно использовать в качестве характеристики воспроизводства населения на отрезке t1 ,t 2 величину V t ln 2 V t r t1 ; t 2 1 , t 2 t1 (77) что есть обобщение коэффициента Лотки на случай переменного режима воспроизводства, которое может оказаться эффективнее применения уравнения Эйлера-Лотки (4), поскольку его решения неустойчивы. В диссертации так же даются оценки сверху и снизу для потенциалов, исследуются другие вопросы динамики потенциалов, рассмотрены потенциалы стабильного населения. 27 В диссертации рассмотрены вопросы устойчивости демографических потенциалов к вариации параметров модели. Показано свойство эргодичности для динамики потенциалов, гарантирующее, что реальная структура потенциалов будет определяться развитием режима воспроизводства только в некотором ближайшем будущем. В случае режима воспроизводства, постоянного при t T приводится несколько лемм и теорема, которые, при обычных на практике условиях, гарантируют существование cx, t x l y lim vx; t lim f y e y x dy , t t c0, t x l x причём, сходимость равномерная по x при x 0, и не хуже экспоненциальной. Расчёты указывают на быструю сходимость потенциалов даже при сильных и нереальных на практике возмущениях потенциалов после T. Причина в том, что для стабилизации потенциалов играет роль выравнивание возрастных структур в фертильных и младших возрастах, что происходит быстрее, чем стабилизация всей возрастной структуры. Компенсаторные процессы, сопровождающие нарушения режима воспроизводства, так же способствуют большей устойчивости потенциалов. В диссертации так же показано, что в случае переменного режима воспроизводства динамике демографических потенциалов присуще свойство, аналогичное свойству слабой эргодичности популяционной модели. В силу (47), рассмотрение динамики потенциалов сводится к исследованию динамики потенциала младенца. Пусть даны два населения, динамика потенциала младенца в которых описывается соотношениями: c 0,t l y,t f y,t c1 0,t y dy , 1 (78) 0 c 2 0,t l y,t f y,t c 2 0,t y dy , (79) 0 верхний индекс нумерует населения. Тогда существует положительный c1 0,t k, t c 2 0 ,t (80) lim что равносильно свойству (слабой) эргодичности для динамики потенциалов. В работе исследованы свойства приведенных демографических потенциалов. Даются результаты по динамике приведенных потенциалов, по их значению для стабильного населения, по устойчивости к вариации параметров модели, исследованы вопросы эргодичности. В шестой главе рассмотрена модель воспроизводства демографического потенциала, основанная на постулированных структуре возрастных коэффициентов и динамике демографического потенциала: (78) Vt 1 Vt . Здесь параметр (коэффициент воспроизводства) является не расчетной величиной, а входным параметром модели. Из (78) можно показать: 28 X v v n 0 t 1 x Px x 1 n x t , v0 v0 x 1 где Px n x 1 t 1 n x t - обычные коэффициенты передвижки. Из (79): (79) vx v x 1 L 0 x 1 (80) Fx Px x v0 v0 Lx def vL где x u x u x 1 , u x x x x ; L x - числа живущих таблицы дожития. Получен v0 L0 общий результат: коэффициент является одним из корней векового уравнения матрицы воспроизводства, а для остальных собственных чисел : X L v x 0 x x x 0. (81) Соотношение (81) позволяет дать содержательное толкование т.н. моделям с внутренней динамикой, в которых все матрицы Лесли имеют один и то же набор репродуктивных потенциалов, и отсутствует смертность. Они привлекли теоретический интерес, но не получили содержательной интерпретации. Между тем, они соответствуют динамике, вытекающей из априорно заданной динамики демографического потенциала с фиксированными возрастными коэффициентами; причем, предположение об отсутствии смертности излишне. Опираясь на (81), также показан результат: Теорема. (О круге инстабильности модели воспроизводства демографического потенциала). Пусть заданы возрастная структура v x , x 0, X демографических потенциалов и числа живущих L x , x 0, X . Тогда существует круг : min такой, что режим воспроизводства обладает свойством эргодичности тогда и только тогда, когда коэффициент воспроизводства не принадлежит этому кругу. Указанный круг будем называть кругом инстабильности, а его радиус - радиусом инстабильности. В диссертации рассмотрены следствия теоремы, показана причина неустойчивости некоторых известных моделей. Удобно переписать (81) через потенциалы u x ux x 0 X v x L x x v 0 L0 : x 0. (82) Теорема. (Об условиях эргодичности в модели воспроизводства демографического потенциала). Структура ожидаемых будущих относительных потенциалов младенца u x , x 0, X , однозначно определяет соотношения между собственными числами матрицы воспроизводства и то, обладает ли модель воспроизводства свойством эргодичности. В диссертации даются явные выражения, связывающие между собой собственные значения и значения демографических потенциалов. В диссертации так же получены непрерывные аналоги (80)-(82) и других выражений, полученных в дискретном случае: 29 n0, t nx; t 0 f x e x d u x dx , lx dx (83) e x d u x v x d lnl x v x . l x dx v 0 dx (84) Спектральные свойства непрерывной модели исследованы в рамках операторной модели (57). Показано, что все собственные значения e оператора воспроизводства, помимо главного, удовлетворяют уравнению: l x v x e x dx 0 , (85) 0 которое является аналогом дискретного соотношения (81). В непрерывном случае верны результаты, аналогичные приведенным выше. Седьмая глава посвящена теории монотонных показателей стабилизации. Имеет место Теорема. Следующее расстояние в рамках дискретной популяционной модели с постоянными показателями монотонно убывает к нулю при t (звездочкой помечены показатели стабильного населения): X Dt x x0 L n t L n * Lx 0 x 0 x v x d t x , t x , L0 Lx Lx (86) L n1 t L n 2 Lx v x d 0t xx , t 0x x L0 λ Lx λ Lx (87) где d b,b* - функция уклонений, выпуклая как функция первого аргумента и равная нулю при равенстве аргументов между собой. Куллбаковское расстояние (25) и показатель Рубинова-Чистяковой (26) могут быть сведены к виду (86), но не исчерпывают множества расстояний вида (86); в работе дается обширный выбор примеров таких расстояний. Расстояние (25) оказывается неустойчивым к ошибкам в параметрах модели. Для практически важного случая двух реальных населений имеет место Теорема. Расстояние между структурами двух асимптотически эквивалентных населений с одинаковым режимом воспроизводства X Dt λ x x 0 монотонно сходится к нулю, если функция уклонений выпукла как функция двух переменных и равна нулю при их равенстве между собой. Функция расстояния (25) не удовлетворяет условию (87), что объясняет неудачную попытку его применения в литературе к реальным населениям. Результаты по монотонным мерам сходимости возрастных структур нескольких населений, имеющих одинаковый режим воспроизводства, можно усилить, включив в рассмотрение более двух таких населений. При этом функция уклонений будет характеризовать разброс, наблюдаемый в анализируемой группе населений, и должна будет удовлетворять условию выпуклости как функция нескольких аргументов. Теория так же развита на случай модели с переменным режимом воспроизводства, характерный для реальных населений. Имеет место Теорема. Пусть функция уклонений выпуклая, однородная и равная нулю при равенстве аргументов между собой. Тогда расстояния вида 30 L0 n1x t L0 n x2 t , (88) D t u x t x d c0 t x , c0 t x L L x 0 x x где индексы 1, 2 нумеруют населения, u x t - ожидаемый демографический X потенциал младенца по достижении возраста x (переменная времени соответствует моменту рождения), монотонно убывают к нулю при t . Как и в случае постоянного режима воспроизводства, результат можно усилить, включив в рассмотрение более двух реальных населений. Примеры расстояний вида (88): X D1 t с x t x 0 где C1 , C 2 n1x t n x2 t 2 , C1 C (89) суммарные потенциалы сравниваемых населений; k X Dk t с x t k x 0 n1x t k n x2 t , C1 C2 (90) где k – некоторое число, не меньше единицы; X n1x t x0 1 C DSK t с x t n x2 t C 2 n1x t 2 ln 1 2 . C C nx t (91) В диссертации теория монотонной сходимости рассмотрена так же в рамках непрерывной популяционной модели, для которой получены аналоги приведенных выше результатов. Так же обсуждаются области практических приложений разработанных показателей, с иллюстрацией на конкретных примерах анализа расово-этнических различий режимов воспроизводства населения США и на примере косвенного оценивания исторических показателей воспроизводства некоторых депортированных народов СССР. В диссертации доказано, что при некоторых, обычных на практике, условиях, построенный класс монотонных показателей не может быть расширен, т.е. полученные результаты дают исчерпывающее решение проблеме разработки обоснованных показателей конвергенции возрастных структур. Во второй части рассматриваются приложения к различным задачам теоретической и прикладной демографии. В восьмой главе обсуждаются приложения к анализу статистики движения населения и демографическому мониторингу. Приложения иллюстрируются на данных по населению России, США, европейских стран, депортированных народов СССР. Девятая глава посвящена обсуждению прогностической значимости демографического потенциала, приложениям к оцениванию потенциала роста. Для среднего репродуктивного потенциала стабильного населения, фигурирующего в оценках потенциала роста, предложена линейная агрегированная модель: v* t d r r t d e e 0 t d 0 , (92) где r t t 1 - коэффициент Лотки (в % годовых); e0 t - ожидаемая 31 продолжительность жизни при рождении; d r , d e , d 0 - параметры модели. Модель апробирована по многолетним рядам данных из базы данных по смертности университета Беркли23. Так же разработана интервальная модель среднего потенциала стабильного населения. На основе моделей девятой главы, в десятой главе приводится метод исследования кризисных аномалий в возрастной структуре смертности. Одиннадцатая глава посвящена методам оценивания мальтузианского параметра по динамике демографического потенциала, апробированным на реальных примерах и в вычислительных экспериментах. В двенадцатой главе разработаны агрегированные популяционные модели. В частности, показана эффективность следующих моделей: t V t V t 0 exp ln1 r d , t0 2 d c( t ) d c( t ) c t c* t , dt 2 dt * c t d r r t d e e 0 t d 0 , V t N t c t (93) t 1 V V t t0 1 r , t0 ct 1 ct a ct c*t b ct ct 1 , * ct d r rt d e e 0 ,t d 0 , V Nt t ct (94) В тринадцатой главе рассмотрены приложения концепции демографического потенциала и модели популяционной динамики (94) к исследованию динамики населения России в 20 веке и перспектив на 21 век. В четырнадцатой главе проведен анализ оптимальных стратегий восстановления демографических потерь на примере России, дан обзор возможностей оценивания результативности демографической политики. В пятнадцатой главе предлагается агрегированная модель популяционной динамики с учетом миграции, а также метод ретроспективных расчетов, использованный для оценивания исторической динамики миграции и нелегальной иммиграции в США. В приложениях к диссертации приведены результаты расчета потенциалов для различных модельных режимов воспроизводства. The Berkeley mortality database. – [Electronic resource] – Electronic data. – University of California, Berkeley, 1998. – Mode access : http://demog.berkeley. edu/wilmoth/mortality. 23 32 ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ОПУБЛИКОВАНЫ В РАБОТАХ: Монографии: 1) Эдиев Д.М. Демографические потенциалы: Теория и приложения. М.: МАКС Пресс, 2007. 348 с. 2) Эдиев Д.М. Демографические потери депортированных народов СССР. Ставрополь: Изд-во СтГАУ «АГРУС»; Ставропольсервисшкола, 2003. – 336 с. Статьи в зарубежных реферируемых изданиях с индексом цитирования: 1) Ediev D.M. On an extension of R.A. Fisher's result on the dynamics of the reproductive value. // Theoretical Population Biology, 72/4(2007): 480-484. 2) Ediev, D.M 2007. Book review: Robert Schoen (ed.): Dynamic Population Models // European Journal of Population. doi: 10.1007/s10680-007-9140-8. 3) Ediev D.M. On monotonic convergence to stability // Demographic Research. 2003. Vol.8, Article 2. P. 31-60. http://www.demographicresearch.org/volumes/vol8/2/8-2.pdf 4) Ediev D.M. Application of the demographic potential concept to understanding the Russian population history and prospects: 1897-2100 // Demographic Research. 2001. Vol.4, Article 9. P. 289-336. http://www.demographicresearch.org/volumes/vol4/9/4-9.pdf Другие статьи в зарубежных изданиях: 1) Ediev D., D. Coleman D., and S. Scherbov. Migration as a Factor of Population Reproduction. Vienna, Vienna Institute of Demography of Austrian Academy of Sciences. European Demographic Research Papers 01/2007. 57pp. 2) Ediev D. M. Long-Term Effects of Childbearing Postponement. Vienna, Vienna Institute of Demography of Austrian Academy of Sciences. Working paper 09/2005. 18 pp. 3) Ediev D. M. Extension of Fisher’s Result on Exponential Dynamics of the Reproductive Value to a Wide Class of Populations. Vienna, Vienna Institute of Demography of Austrian Academy of Sciences. Working paper 10/2005. 10 pp. 4) Ediev D. M. Principles of Aggregate Economic-Demographic Modeling Based on Demographic Potentials’ Technique. Rostock: Max Planck Institute for Demographic Research, 2000. 17 pp. www.demogr.mpg.de/Papers/workshops/ws001011.htm 5) Ediev D.M. Age structure of Russian Mortality: Continuity of Change? Reflection of the crisis mortality structure in the average demographic potential dynamics // Mortality in countries of the former USSR. Fifteen years after breakup: change or continuity? Киев, 2006. С. 55-66. Статьи в российских реферируемых изданиях из списка ВАК: 1) Эдиев Д.М. Концепция демографического потенциала и ее приложения // Математическое моделирование. Т. 15 (2003) № 12. С. 37-74. (Обзорная статья.) 2) Эдиев Д.М. О роли среднего возраста родителя при рождении ребенка в 33 долгосрочной демографической динамике // Вопросы статистики. №11 (2006). С. 23-31. 3) Эдиев Д.М. Об одной модели оценивания стратегий восстановления демографических потерь России // Математическое моделирование. Т. 17, №10 (2005). С. 113-126. 4) Эдиев Д.М. О нерасширияемости одного класса монотонных мер инстабильности возрастной структуры населения // Известия ВУЗов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. №1 (2005). С. 32-33. 5) Эдиев Д.М. О сравнении возрастных структур реальных населений // Вопросы статистики. №10 (2004). С. 16-27. (Обзорная статья.) 6) Эдиев Д.М. Об условиях монотонной сходимости структуры населения к структуре стабильного эквивалентного населения в квадратичной метрике в рамках модели воспроизводства демографического потенциала // Известия ВУЗов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. №4 (2002). С. 3-6. 7) Эдиев Д.М. О монотонных мерах сходимости возрастной структуры населения к структуре асимптотически эквивалентного стабильного населения // Известия ТРТУ, №8, 2004. С. 302-303. Другие статьи в российских изданиях: 1) Эдиев Д.М. Приложение концепции демографического потенциала к анализу роли миграции в воспроизводстве населения // Материалы международной конференции «Миграция и развитие» (5-е Валентеевские чтения). Т. I. М.: МГУ им. М.В. Ломоносова, 2007. С. 282-284. 2) Эдиев Д.М. Лучше больше да раньше // Российская газета. Юг России. № 93 (4059), 4.05.06. С. 10. 3) Эдиев Д.М. Методика мониторинга демографических процессов с использованием результатов теории демографического потенциала // Сб. Демографический кризис как угроза региональному развитию России: пути преодоления. М., 2006. С. 280-283. 4) Эдиев Д.М. Приложение концепции демографического потенциала к оцениванию коэффициента Лотки в системе мониторинга воспроизводства малочисленного населения // Политика народонаселения: настоящее и будущее. 4-е Валентеевские чтения. Сб. докладов (Книга 2). М.: МАКС Пресс, 2005. С. 256-262. 5) Эдиев Д.М. О моделировании оптимальных стратегий преодоления депопуляции России // Политика народонаселения: настоящее и будущее. 4е Валентеевские чтения. Сб. докладов. М.: МАКС Пресс, 2005. С. 46-51. 6) Эдиев Д.М. Об использовании концепции демографического потенциала в разработке многоуровневой системы мониторинга и контроля эффективности демографической политики // Политика народонаселения: настоящее и будущее. 4-е Валентеевские чтения. Сб. докладов. М.: МАКС Пресс, 2005. С. 51-54. 7) Эдиев Д.М. Демографические потери депортированных народов СССР // Население и общество, №79, 2004. С. 1-4. 34 8) Эдиев Д.М. Демографические потери депортированных народов СССР // Демоскоп-уикли. №147-148 (2004). Тема номера. http://demoscope.ru/weekly/2004/0147/tema01.php 9) Эдиев Д.М. Об условиях нерасширимости класса монотонных мер сходимости возрастной структуры населения к структуре стабильного эквивалентного населения // Материалы междунар. российско-казахского симпозиума «Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики». Нальчик-Эльбрус, 2004. С. 311-316. 10) Эдиев Д.М. Международная миграция как фактор преодоления депопуляции России // В.А. Ионцев (гл. ред.) Науч. серия «Международная миграция населения: Россия и современный мир». Вып. 11. Миграция и национальная безопасность. М.: МАКС ПРЕСС, 2003. С. 62-72. 11) Эдиев Д.М. Взаимосвязь между спектральными свойствами матрицы Лесли и возрастной структурой демографического потенциала // Электронный журнал "Исследовано в России", 74, 2002 г. С. 804-814. http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2002/074.pdf 12) Ediev D. M. Interrelations between the spectrum of Leslie matrix and the age pattern of demographic potentials // Электронный журнал "Исследовано в России", 74е, 2002 г. С. 815-823. http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2002/074е.pdf 13) Эдиев Д.М. Об условиях монотонной сходимости структуры населения к структуре стабильного эквивалентного населения в куллбаковской метрике в рамках модели воспроизводства демографического потенциала // Электронный журнал "Исследовано в России", 17, 2002 г. С. 182-190. http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2002/017.pdf 14) Эдиев Д.М. Реконструкция показателей иммиграции в США с использованием модели демографического потенциала // Электронный журнал "Исследовано в России", 140, 2001. С. 1601-1618. http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2001/140.pdf 15) Ediev D. M. Reconstruction of the US immigration history: demographic potential approach // Электронный журнал "Исследовано в России", 140е, 2001. С. 1619-1635. http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2001/140e.pdf 16) Эдиев Д.М. Агрегированное прогнозирование численности населения с использованием техники демографического потенциала // Электронный журнал "Исследовано в России", 38, 2001. С. 382-407. http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2001/038.pdf 17) Ediev D. M. Aggregate population forecasting with the use of demographic potentials technique // Электронный журнал "Исследовано в России", 38е, 2001. С. 408-431. http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2001/038e.pdf 18) Эдиев Д.М. Устойчивость экономико-демографических потенциалов к отклонениям режима воспроизводства населения от модельного // Специальная астрофизическая обсерватория РАН. Нижний Архыз, 1999. Препринт № 135Т. 4 с. 19) Эдиев Д.М. Экономический потенциал региона (экономико35 демографический подход) // Сб. трудов международного научного симпозиума "Экономика и право - стратегии 3000". Т. IV "Математическое моделирование и компьютерные технологии". Кисловодский институт экономики и права. Кисловодск, 1996. С. 18-23. 20) Эдиев Д.М. Экономический анализ демографической динамики // Междуведомственный сборник «Моделирование процессов управления и обработки информации». – Московский физико-технический институт. М., 1996. С. 76-80. Тезисы в материалах всероссийских и международных конференций: 1) Ediev D. M. Demographic losses of deported soviet peoples // European Population: Challenges and Opportunities. Сб. тезисов Европейской конференции по народонаселению, Варшава, 23-27 августа 2003. С. 177. 2) Эдиев Д.М. Динамика демографического потенциала России // Сборник тезисов докладов II Всероссийского симпозиума "Математическое моделирование и компьютерные технологии". T.I "Экономикоматематическое моделирование". Кисловодский институт экономики и права. Кисловодск, 1998. C. 100-101. 3) Эдиев Д.М. Демографический потенциал // Сборник тезисов докладов международной конференции "Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики", Кабардино-Балкарский научный центр РАН, НИИ прикладной математики и автоматизации. Нальчик, 1996. С. 109-110. Другие публикации в материалах конференций: 1) Эдиев Д.М. Экономический потенциал Карачаево-Черкесской Республики // Сборник тезисов докладов региональной научно-практической конференции «Северный Кавказ на пороге XXI Века». Институт экономики и управления, научно-исследовательский центр "Кавказоведения". Пятигорск, 1998. С. 105-106. 2) Эдиев Д.М. Устойчивость экономико-демографических оценок // Сборник тезисов докладов XXXIX Юбилейной научной конференции Московского физико-технического института "Современные проблемы фундаментальной и прикладной физики и математики". - М.: МФТИ, 1996. 36