Основные теоретические сведения 1. Геометрия прямоугольного треугольника Определения синуса, косинуса и тангенса острого угла прямоугольного треугольника ABC , C 900 1) A B 900 BC AC 2) sin A sin B AB AB AC BC cos A cos B AB AB BC AC tg A tg B AC BC Из данных определений получаем следующие соотношения между углами и сторонами прямоугольного треугольника: если α – острый угол прямоугольного треугольника , то катет, противолежащий углу α , равен произведению гипотенузы на sin α; катет, прилежащий к углу α , равен произведению гипотенузы на cos α; катет, противолежащий углу α , равен произведению второго катета на tg α. Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике ABC , C 900 , ÑÍ âûñîòà 1) ÑÍ ÀÍ ÂÍ ÀÑ ÂÑ ÑÍ À 2) ÀÑ ÀÍ À ÂÑ ÂÍ À Теореме Пифагора ÀÂ2 ÀÑ 2 ÂÑ 2 2. Равнобедренный треугольник ABC , AC BC 1) A B 2) CH âûñîòà, ïðîâåä¸ííà ÿ ê îñíîâàíèþ AH HB , ACH BCH 3. Четырёхугольники Параллелограмм ABCD ïàðàëëåëîã ðàìì 1) À CD, AD ÂÑ 2) À Ñ ,  D 3) ÀÎ ÎÑ , ÂÎ ÎD 4) À  1800 , À D 1800 Трапеция ABCD ð / á òðàïåöèÿ 1) AD ÂÑ 2) À Â, Ñ D 3) ÀÑ BD 4) C  1800 , À D 1800 4. Тригонометрия Основное тригонометрическое тождество sin 2 A cos 2 A 1 Следствия из основного тождества sin A 1 cos 2 A cos A 1 sin 2 A 1 1 1 tg 2 A , 1 ctg 2 A 2 cos A sin 2 A Формулы приведения cos(90 A) sin A, cos(180 A) cos A sin( 90 A) cos A, sin( 180 A) sin A Основные методы решения задач типа В4 открытого банка заданий ЕГЭ по математике В С А 1. В треугольнике АВС угол С равен 90, АВ = 25, АС = 20. Найдите sinА. Решение: 1) по теореме Пифагора 2) Ответ: 0,6 2. В треугольнике АВС угол С равен 90, АС = 4,8, sinА = . Найдите АВ. Решение: 1 способ 1) sinА = ВС = 7х, АВ = 25х sinА = по теореме Пифагора 25 х 7 х 4,8 2 2 2 625 х 2 49 х 2 23,04 579 х 2 23,04 х 2 0,04 х 0,2 2) АВ = 25 0,2 = 5 2 способ 1) По основному тригонометрическому тождеству 49 24 625 25 AC AC 4,8 25 AB 5 2) cos A AB cos A 24 cos A 1 sin 2 A 1 5 Ответ: 3. Âòðåóãîëüíè êå ÀÂÑ óãîë Ñ ðàâåí 900 , À 4 5 , ÀÑ 8. Íàéäèòå tgA. Решение: 1) по теореме Пифагора 2) tgA Ответ: BC 4 0,5 AC 8 0,5 В Н С 4. А  òðåóãîëüíè êå ÀÂÑ óãîë Ñ ðàâåí 900 , CÍ âûñîòà , À 8, cos À 0,5. Íàéäèòå ÀÍ . Решение: 1) cos A AC AC AB cos A 8 0,5 4 AB 2) из пропорциональности отрезков АС 2 16 АС АВ АН АН 2 АВ 8 2 Ответ: 2 5.  òðåóãîëüíè êå ÀÂÑ óãîë Ñ ðàâåí 900 , CÍ âûñîòà , BC 3, cos À Íàéäèòå ÀÍ . Решение: 1 способ 1) по основному тригонометрическому тождеству 35 . 6 sin A 1 cos 2 A 1 2) sin A 35 1 36 6 BC BC AB 3 6 18 AB sin A 3) из пропорциональности отрезков BC 2 9 BC AB BH BH 0,5 AB 18 AH AB BH 18 0,5 17,5 2 2 способ 1) cos A AC AB cos A 35 6 АС = 35 х , АВ = 6х по теореме Пифагора 6 х 2 2 35 х 32 36 х 2 35 х 2 9 х2 9 х 3 2) АС = 3 35 АСН : cos A Ответ: AH 35 35 AH AC cos A 3 35 17,5 AC 6 2 17,5 6. Âòðåóãîëüíè êå ÀÂÑ óãîë Ñ ðàâåí 900 , âûñîòà CH 20, BC 25. Íàéäèòå sin A. Решение: 1 способ 1) СВН: по теореме Пифагора ВС 2 ВН 2 СН 2 ВН ВС 2 СН 2 625 400 15 2) из пропорциональности отрезков BC 2 625 125 BC AB BH АB ВН 15 3 2 3) sin A BC 125 25 3 25 : 0,6 AB 3 125 2 способ 1) CBH : sin B CH 20 0,8 BC 25 2) по основному тригонометрическому тождеству cos B 1 sin 2 B 1 0,64 0,6 3) т.к. в АВС угол С равен 90, то А + В = 90 sinА = sin(90 B) = cosB = 0,6 Ответ: 0,6 7.  òðåóãîëüíè êå ÀÂÑ óãîë Ñ ðàâåí 90 0 , cos À 4 . Íàéäèòå tgA. 17 Решение: 1 способ 1) по основному тригонометрическому тождеству sin A 1 cos 2 A 1 2) tgA 16 1 17 17 sin A 1 4 1 : 0,25 cos A 17 17 4 2 способ 1 tg 2 A Ответ: 1 1 17 1 tgA 1 1 0,25 2 2 16 4 cos A cos A 0,25 В С А 8. В треугольнике АВС угол С равен 90, АВ = 25, АС = 20. Найдите синус внешнего угла при вершине А. Решение: 1) cos A AC 20 0,8 AB 25 по основному тригонометрическому тождеству sin A 1 cos 2 A 1 0,64 0,6 2) пусть угол А1 – внешний угол при вершине А sin A1 sin( 180 A) sin A 0,6 Ответ: 0,6 9. В треугольнике АВС угол С равен 90, cos A 7 . Найдите косинус 25 внешнего угла при вершине В. Решение: 1 способ 1) по основному тригонометрическому тождеству sin A 1 cos 2 A 1 2) sin A BC AB cos B BC AB sin A 49 24 625 25 24 24 cos B 25 25 3) пусть В1 – внешний угол при вершине В cos B1 cos(180 B) cos B 24 0,96 25 2 способ 1) cos A cos A AC AB АС = 7, АВ = 25 7 25 по теореме Пифагора 25 7 BC 2 2 2 BC 2 576 BC 24 2) cos B BC 24 AB 25 пусть В1 – внешний угол при вершине В cos B1 cos(180 B) cos B Ответ: 24 0,96 25 0,96 10. В треугольнике АВС угол С равен 90, tg A 24 . Найдите косинус 7 внешнего угла при вершине А. 2 Решение: 1) 1 tg A 1 1 49 7 cosA 2 2 49 576 25 cos A 1 tg A 2) пусть угол А1 – внешний угол при вершине А cos A1 cos(180 A) cos A Ответ: 7 0,28 25 0,28 С А 11. Н В В треугольни ке АВС АС ВС , АВ 4, sin А высоту СН . Решение: 1 способ 1) АВС, АС = ВС, АВ = 4 АН = 2 17 . Найдите 17 2) sin A sin A 17 1 17 17 СН = х, АС = CH AC по теореме Пифагора 17 х 17 x x 2 2 22 17 x 2 x 2 4 x2 1 x 0,5 4 3) СН = 0,5 2 способ 1) АВС, АС = ВС, АВ = 4 АН = 2 2) 1 ctg 2 A 3) ctgA Ответ: 1 1 ctgA 1 17 1 4 2 sin A sin 2 A AH AH 2 CH 0,5 CH ctgA 4 0,5 12.  òðåóãîëüíè êå ÀÂÑ ÀÑ ÂÑ 8, À 8. Íàéäèòå cos A. Решение: 1) АВС, АС = ВС = АВ = 8 А = 60 2) Ответ: 13. cos A cos 60 1 0,5 2 0,5 В треугольни ке АВС АС ВС , AH высота, АВ 25, ВН 20. Найдите sin BAC . Решение: 1) АВН, АН ВН по теореме Пифагора AB2 AH 2 BH 2 AH 625 400 15 2) sin B AH 15 0,6 AB 25 3) АВС, АС = ВС В = ВАС sinB = sinBAC = 0,6 0,6 Ответ: 14. В тупоугольном треугольнике АВС АС = ВС = 25, высота АН равна 20. Найдите cosACB. Решение: Н С А В 1) АНС, АН НС по теореме Пифагора АС2 =АН2 + НС2 НС = 15 2) AHC , cos C HC 15 0,6 AC 25 3) угол АСВ – внешний угол угла С треугольника АНС cosACB = cos(180 C) = cosC = 0,6 Ответ: 0,6 15. В параллелограмме АВСD высота, опущенная на сторону АВ, равна 4, AD = 8. Найдите синус угла В. Решение: С D А 1 способ H В 1) ADH, DH AH sin A DH 4 0,5 AD 8 2) ABCD – параллелограмм A + B = 180 sinB = sin(180 A) = sinA = 0,5 2 способ 1) ADH, DH AH, AD = 8, DH = 4 A = 30 2) ABCD – параллелограмм A + B = 180 B = 150 sinB = sin 150 = sin(180 30) = sin 30 = 0,5 Ответ: 0,5 16. Основания равнобедренной трапеции равны 51 и 65. Боковые стороны равны 25. Найдите синус острого угла трапеции. Решение: D А С H K В 1) ABCD – равнобедренная трапеция, АВ и CD – основания, DH и СK – высоты трапеции АН = КВ = (АВ – CD) : 2 = 7 2) ADH, по теореме Пифагора AD2 = AH2 + DH2 DH = 24 3) Ответ: sin A 0,96 DH 24 0,96 AD 25 Приложение Задача 1. В треугольнике ABC . Найдите высоту CH. , Ответ: 4,8 Задача 2. В треугольнике ABC , высота CH равна 4, . Найдите . Ответ: 0,5 Задача 3. В треугольнике ABC угол C равен , . Найдите , . Ответ: 0,6 Задача 4. В треугольнике ABC угол C равен , . Найдите AB. , Ответ: 5 Задача 5. В треугольнике ABC угол C равен , . Найдите BC. , Ответ: 4,8 Задача 6. В треугольнике ABC угол C равен Ответ: 0,5 , , . Найдите . Задача 7. В треугольнике ABC угол C равен , . Найдите BC. , Ответ: 0,5 Задача 8. В треугольнике ABC , . Найдите высоту CH. , Ответ: 2 Задача 9. В треугольнике ABC угол C равен , . Найдите , . Ответ: 0,6 Задача 10. В треугольнике ABC угол C равен , , . Найдите AB. Ответ: 5 Задача 11. В треугольнике ABC угол C равен , CH — высота, , . Найдите AH. , CH — высота, , . Найдите BH. Ответ: 4 Задача 12. В треугольнике ABC угол C равен Ответ: 4 Задача 13. В треугольнике ABC угол C равен , CH — высота, , . Найдите AH. , CH — высота, , . Найдите BH. Ответ: 12 Задача 14. В треугольнике ABC угол C равен Ответ: 12 Задача 15. В треугольнике ABC угол C равен AH. , CH — высота, , , CH — высота, , . Найдите Ответ: 17,5 Задача 16. В треугольнике ABC угол C равен . Найдите BH. Ответ: 17,5 Задача 17. В треугольнике ABC , . Найдите высоту CH. , Ответ: 0,5 Задача 18. В треугольнике ABC угол C равен при вершине A. , , . Найдите синус внешнего угла , , . Найдите косинус внешнего Ответ: 0,6 Задача 19. В треугольнике ABC угол C равен угла при вершине A. Ответ: - 0,6 Задача 20. В треугольнике ABC угол C равен угла при вершине A. , , . Найдите тангенс внешнего Ответ: - 0,5 Задача 21. В треугольнике ABC угол C равен , , . Найдите AB. Ответ: 7 Задача 22. Ответ: 5 В треугольнике ABC , , . Найдите AC.