Математическая логика и теория алгоритмов (БИС)x

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ВЛАДИВОСТОКСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ЭКОНОМИКИ И СЕРВИСА
КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ И МОДЕЛИРОВАНИЯ
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА И
ТЕОРИЯ АЛГОРИТМОВ
Рабочая программа дисциплины
по направлению подготовки
09.03.02 Информационные системы и технологии
тип ООП прикладной бакалавриат
Владивосток 2015
Рабочая программа дисциплины Математическая логика и теория алгоритмов
составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВО по направлению подготовки 09.03.02
Информационные системы и технологии и Порядком организации и осуществления
образовательной деятельности по образовательным программам высшего образования –
программам бакалавриата, программам специалитета, программам магистратуры (утв.
приказом Минобрнауки России от 19 декабря 2013 г. N 1367)
Составитель:
Первухин Михаил Александрович, канд. физ.-мат. наук, mihail.pervuhin@vvsu.ru
Утверждена на заседании кафедры математики и моделирования от 24.06.2015 г., протокол
№ 11
Заведующий кафедрой (разработчика) _____________________
подпись
«____»_______________20__г.
__________________
фамилия, инициалы
Заведующий кафедрой (выпускающей) _____________________
подпись
«____»_______________20__г.
_________________
фамилия, инициалы
1 Цель и задачи освоения дисциплины (модуля)
Целью освоения дисциплины Математическая логика и теория алгоритмов является
формирование представления об основах математической логики и развитие способности
применять полученные теоретические знания к решению актуальных практических задач.
формированию логического мышления, развитию абстрактного мышления, освоение
аппарата математической логики. Изучая математическую логику, студенты, по сути,
знакомятся с современным математическим языком, являющимся, как известно, языком
любой науки.
Задачи освоения дисциплины Математическая логика и теория алгоритмов заключаются в
формировании логического мышления, развитии абстрактного и алгоритмического
мышления, освоении аппарата математической логики и теории алгоритмов.
2 Перечень планируемых результатов обучения по дисциплине
(модулю), соотнесенных с планируемыми результатами освоения
образовательной программы
Планируемыми результатами обучения по дисциплине, являются знания, умения,
владения и/или опыт деятельности, характеризующие этапы/уровни формирования
компетенций и обеспечивающие достижение планируемых результатов освоения
образовательной программы в целом. Перечень компетенций, формируемых в результате
изучения дисциплины, приведен в таблице 1.
Таблица 1 – Формируемые компетенции
Название ООП
ВО (сокращенное
название)
Компетенции
ОПК-2
09.03.02
Информационные
системы и
технологии
ПК-25
Название
компетенции
Способность
использовать
основные законы
естественнонаучных
дисциплин в
профессиональной
деятельности,
применять методы
математического
анализа и
моделирования,
теоретического и
экспериментального
исследования
Способность
использовать
математические
методы обработки,
анализа и синтеза
результатов
профессиональных
исследований
Составляющие компетенции
Знания:
Умения:
Владения:
Знания:
Умения:
Владения:
основных понятий и
методов математической
логики
решать типовые задачи
по основным разделам
курса
методами построения
математических моделей
профессиональных задач
и содержательной
интерпретации
полученных результатов
методов теории
алгоритмов
применять методы
теории множеств,
математической логики,
алгебры высказываний,
теории графов, теории
автоматов, теории
алгоритмов при решении
профессиональных задач
навыками моделирования
прикладных задач
3 Место дисциплины (модуля) в структуре основной образовательной
программы
Дисциплина «Математическая логика и теория алгоритмов» относится к вариативной
части для направления «Информационные системы и технологии».
Данная дисциплина базируется на компетенциях, полученных при изучении
дисциплин «Алгебра и геометрия», «Дискретная математика».
Освоение данной дисциплины необходимо обучающемуся для успешного освоения
следующих дисциплин (модулей) ООП для направления подготовки «Информационные
системы и технологии»: «Интеллектуальные информационные системы», «Теория принятия
решений».
4. Объем дисциплины (модуля)
Объем дисциплины (модуля) в зачетных единицах с указанием количества
академических часов, выделенных на контактную работу с обучающимися (по видам
учебных занятий) и на самостоятельную работу по всем формам обучения, приведен в
таблице 2.
Таблица 2 – Общая трудоемкость дисциплины
Объем контактной работы (час)
Название
ООП
Б-ИС
Форма
обучения
ОФО
Индекс
Семест
р
курс
Б.2.В.02
Трудоемкость
(З.Е.)
3
4
Аудиторная
Внеаудиторная
СРС
Форма
аттестации
120
Экзамен
Всего
180
лек
прак
34
17
лаб
ПА
КСР
9
5 Структура и содержание дисциплины
5.1 Структура дисциплины
Тематический план, отражающий содержание дисциплины (перечень разделов и тем),
структурированное по видам учебных занятий с указанием их объемов в соответствии с
учебным планом, приведен в таблице 3.
Таблица 3 – Структура дисциплины
№
1
Название темы
Совершенные дизъюнктивные
нормальные формы (СДНФ) и
совершенные конъюнктивные
нормальные формы (СКНФ) в
алгебре высказываний (АВ)
2
Исчисление высказываний
(ИВ). Доказуемые формулы ИВ
3
Теорема о дедукции в ИВ
4
Эквивалентные формулы ИВ
5
6
7
Вид занятия
Лекция
Объем
час
Кол-во часов в
интерактивной и
электронной
форме
СРС
2
8
Практическое занятие
1
Лекция
2
Практическое занятие
2
Лекция
2
2
8
Практическое занятие
Лекция
3
Практическое занятие
2
Дизъюнктивная и
конъюнктивная нормальные
формы (ДНФ и КНФ)
Лекция
2
Логика предикатов (ЛП).
Алгебраические системы.
Подсистемы
Формулы ЛП. Истинность
формул ЛП в алгебраической
системе. Эквивалентные
формулы ЛП
Лекция
3
Практическое занятие
1
Лекция
3
Практическое занятие
2
8
2
8
8
Практическое занятие
8
8
2
Пренексная нормальная форма
(ПНФ) для формул ЛП
Лекция
2
Практическое занятие
2
9
Исчисление предикатов (ИП).
Доказуемые формулы ИП
Лекция
2
Практическое занятие
2
Теорема о дедукции в ИП
Лекция
2
10
11
Эквивалентные формулы ИП
8
12
Пренексная нормальная форма
для формул ИП
13
Машины Тьюринга
14
15
8
2
8
8
Практическое занятие
Лекция
3
Практическое занятие
2
Лекция
2
8
8
Практическое занятие
Лекция
2
Практическое занятие
1
Примитивно рекурсивные
функции
Лекция
2
Практическое занятие
1
Частично рекурсивные
функции
Лекция
2
Практическое занятие
1
8
1
8
8
5.2 Содержание дисциплины (модуля)
Темы лекций
Тема 1. «Совершенные дизъюнктивные нормальные формы (СДНФ) и
совершенные конъюнктивные нормальные формы (СКНФ) в алгебре высказываний
(АВ)» (2 час.).
Формулы АВ. Эквивалентность формул АВ. Понятия дизъюнктивной нормальной
формы (ДНФ), конъюнктивной нормальной формы (КНФ), СДНФ, СКНФ.
Тема 2. «Исчисление высказываний (ИВ). Доказуемые формулы ИВ» (2 час.).
Понятие исчисления. Язык ИВ. Определение формулы ИВ. Аксиомы и правила вывода
ИВ. Доказуемые и выводимые формулы ИВ. Примеры доказуемых и выводимых формул ИВ.
Тема 3. «Теорема о дедукции в ИВ» (2 час.).
Формулировка и доказательство теоремы о дедукции. Следствия из данной теоремы.
Тема 4. «Эквивалентные формулы ИВ» (3 час.).
Понятие эквивалентных формул ИВ. Формулировка и доказательство основных законов
ИВ: законы идемпотентности, коммутативности, ассоциативности, дистрибутивности, де
Моргана, двойного отрицания.
Тема 5. «Дизъюнктивная и конъюнктивная нормальные формы (ДНФ и КНФ)»
(2 час.).
Определения элементарной конъюнкции, элементарной дизъюнкции, ДНФ, КНФ.
Теорема о существовании для любой формулы ИВ эквивалентной ей ДНФ (КНФ).
Тема 6. «Логика предикатов (ЛП). Алгебраические системы. Подсистемы» (3 час.).
Понятия сигнатуры, алгебраической системы данной сигнатуры, подсистемы, подсистемы,
порожденной множеством. Примеры. Понятия терма данной сигнатуры, значение терма на
кортеже в алгебраической системе. Теорема о подсистеме, порожденной множеством.
Тема 7. «Формулы ЛП. Истинность формул ЛП в алгебраической системе.
Эквивалентные формулы ЛП» (3 час.).
Понятие формулы данной сигнатуры. Определение истинности формулы ЛП на кортеже
элементов в алгебраической системе. Примеры.
Тема 8. «Пренексная нормальная форма (ПНФ) для формул ЛП» (2 час.).
Понятия ДНФ и ПНФ для формул ЛП. Теорема о существовании для любой формулы
ЛП эквивалентной ей ПНФ.
Тема 9. «Исчисление предикатов (ИП). Доказуемые формулы ИП» (2 час.).
Язык ИП. Определение формулы ИП. Аксиомы и правила вывода ИП. Доказуемые и
выводимые формулы ИП. Примеры доказуемых и выводимых формул ИП. Тавтологии.
Связь между тавтологией и доказуемой формулой.
Тема 10. «Теорема о дедукции в ИП» (2 час.).
Формулировка и доказательство теоремы о дедукции. Следствия из данной теоремы.
Тема 11. «Эквивалентные формулы ИП» (3 час.).
Понятия эквивалентных формул ИП, пропозиционально эквивалентных формул ИП.
Связь между этими понятиями. Формулировка и доказательство основных эквивалентностей
ИП.
Тема 12. «Пренексная нормальная форма для формул ИП» (2 час.).
Понятия ДНФ и ПНФ для формул ИП. Теорема о существовании для любой формулы
ИП эквивалентной ей ПНФ.
Тема 13. «Машины Тьюринга» (2 час.).
Определение машины Тьюринга. Понятие функций, вычислимых по Тьюрингу.
Примеры таких функций.
Тема 14. «Примитивно рекурсивные функции» (2 час.).
Понятия базисных функций, операторов суперпозиции, примитивной рекурсии,
примитивно рекурсивных функций. Примеры.
Тема 15. «Частично рекурсивные функции» (2 час.).
Понятия оператора минимизации, частично рекурсивных функций. Примеры.
Эквивалентность классов функций, вычислимых по Тьюрингу с классом частично
рекурсивных функций.
Перечень тем практических/лабораторных занятий
Тема 1. «Совершенные дизъюнктивные нормальные формы (СДНФ) и
совершенные конъюнктивные нормальные формы (СКНФ) в алгебре высказываний
(АВ)» (1 час.).
Построение ДНФ, КНФ, СДНФ, СКНФ, эквивалентных данным формулам алгебры
высказываний.
Тема 2. «Исчисление высказываний (ИВ). Доказуемые формулы ИВ» (2 часа,
«снежный ком»).
Построение выводов и доказательств формул ИВ.
Тема 3. «Эквивалентные формулы ИВ» (2 часа, «снежный ком»).
Доказательство эквивалентности формул ИВ.
Тема 4. «Логика предикатов (ЛП). Алгебраические системы. Подсистемы» (1 час.).
Построение подсистем, порожденных множеством.
Тема 5. «Формулы ЛП. Истинность формул ЛП в алгебраической системе» (2 часа,
метод «мозгового штурма»).
Построение формул ЛП, истинных на кортеже элементов в алгебраической системе.
Тема 6. «Пренексная нормальная форма (ПНФ) для формул ЛП» (2 час.).
Построение ПНФ для формул ЛП.
Тема 7. «Исчисление предикатов (ИП). Доказуемые формулы ИП» (2 часа,
«снежный ком»).
Построение выводов и доказательств формул ИП.
Тема 8. «Эквивалентные формулы ИП» (2 часа).
Доказательство эквивалентности формул ИП.
Тема 9. «Машины Тьюринга» (1 час.).
Построение машин Тьюринга для вычислимых функций.
Тема 10. «Примитивно рекурсивные функции» (1 час, метод «мозгового штурма»).
Доказательство примитивной рекурсивности функций.
Тема 11. «Частично рекурсивные функции» (1 час.).
Доказательство рекурсивности для вычислимых функций.
5.3 Формы и методы проведения занятий по теме, применяемые образовательные
технологии
При проведении практических занятиях применяются следующие интерактивные методы
обучения:
- метод «мозгового штурма»: метод представляет собой разновидность групповой
дискуссии, которая характеризуется сбором всех вариантов решений, гипотез и
предложений, рожденных в процессе осмысления какой-либо проблемы, их последующим
анализом с точки зрения перспективы дальнейшего использования или реализации на
практике;
- «снежный ком»: цель наработка и согласование мнений всех членов группы. При
использовании этой техники в активное обсуждение включаются практически все студенты.
5.4 Форма текущего контроля
Для студентов в качестве самостоятельной работы предполагается выполнения
индивидуальных домашних заданий и контрольных работ:
1. Контрольная работа «Приведение формулы АВ к СДНФ, СКНФ».
2. Контрольная работа «Исчисление высказываний».
3. Контрольная работа «Формулы ЛП».
4. Индивидуальное домашнее задание «Алгебраические системы».
5. Индивидуальное домашнее задание «Пренексная нормальная форма (ПНФ) для
формул ЛП».
6. Индивидуальное домашнее задание «Исчисление предикатов (ИП). Доказуемые
формулы ИП».
7. Индивидуальное домашнее задание «Машины Тьюринга».
8. Индивидуальное домашнее задание «Примитивно рекурсивные функции».
9. Индивидуальное домашнее задание «Частично рекурсивные функции».
6. Методические указания для обучающихся по освоению дисциплины
Для обеспечения систематической и регулярной работы по изучению дисциплины и
успешного прохождения текущих и промежуточных контрольных испытаний студенту
рекомендуется придерживаться следующего порядка обучения:
- самостоятельно определить объем времени, необходимого для проработки каждой
темы;
- регулярно изучать каждую тему дисциплины, используя различные формы
индивидуальной работы;
- согласовывать с преподавателем виды работы по изучению дисциплины.
По завершении отдельных тем сдавать выполненные работы (ИДЗ) преподавателю.
При выполнении индивидуальных домашних заданий необходимо использовать
теоретический материал, делать ссылки на соответствующие теоремы, свойства, формулы и
др. Решение ИДЗ выполняется подробно и должно содержать необходимые пояснительные
ссылки.
Самостоятельность в учебной работе способствует развитию заинтересованности
студента в изучаемом материале, вырабатывает у него умение и потребность самостоятельно
получать знания, что весьма важно для специалиста с высшим образованием.
Целью самостоятельной работы студентов является овладение фундаментальными
знаниями, профессиональными умениями и навыками деятельности по профилю, опытом
творческой, исследовательской деятельности.
Самостоятельная работа студента включает следующие виды, выполняемые в
соответствии с федеральным государственным образовательным стандартом высшего
образования и рабочим учебным планом:
- аудиторная самостоятельная работа студента под руководством и контролем
преподавателя на лекции и практическом занятии;
- внеаудиторная самостоятельная работа студента под руководством и контролем
преподавателя: изучение теоретического материала, подготовка к аудиторным занятиям
(лекция, практическое занятие, коллоквиум, контрольная работа, тестирование, устный
опрос), дополнительные занятия, текущие консультации по дисциплинам.
В процессе изучения дисциплины «Математическая логика и теория алгоритмов»,
помимо теоретического материала, предоставленного преподавателем во время лекционных
занятий, может возникнуть необходимость изучения учебной литературы.
Наиболее подробно и просто теория большинства тем изложена в учебнике Игошин
В.И. Математическая логика.
В качестве пособия для формирования практических навыков решения задач по
математической статистике наилучшим образом подходит учебное пособие Степанова А.А.
Математическая логика и теория алгоритмов: практикум / А. А. Степанова, Т. Ю. Плешкова,
Е. Г. Гусев. Этот учебник содержит практические задачи, часть из которых приведена с
решениями, и краткую теорию, необходимую для их решения.
7. Перечень учебно-методического обеспечения для самостоятельной
работы
Для обеспечения самостоятельной работы студентов разработаны
комплекты
индивидуальных домашних заданий с решением типовых задач. Условия для
индивидуальных домашних заданий студенты берут из учебно-методического пособия:
Степанова А.А. Математическая логика и теория алгоритмов: практикум / А. А.
Степанова, Т. Ю. Плешкова, Е. Г. Гусев.
8. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации
В соответствии с требованиями ФГОС ВО для аттестации обучающихся на
соответствие их персональных достижений планируемым результатам обучения по
дисциплине созданы фонды оценочных средств (Приложение 1).
9. Перечень основной и дополнительной
необходимой для освоения дисциплины (модуля)
учебной
литературы,
а) основная литература
1. Игошин В.И. Математическая логика: учеб. пособие для студентов вузов / В. И.
Игошин. - М.: ИНФРА-М, 2012. - 399 с.
2. Гринченков Д. В. Математическая логика и теория алгоритмов для программистов:
учеб. пособие для студентов вузов / Д. В. Гринченков, С. И. Потоцкий. - М. : КНОРУС, 2013.
б) дополнительная литература
1. Степанова А.А. Математическая логика и теория алгоритмов: практикум / А. А.
Степанова, Т. Ю. Плешкова, Е. Г. Гусев; Владивосток. гос. ун-т экономики и сервиса. Владивосток: Изд-во ВГУЭС, 2010. - 48 с.
2. Коэн Пол Джозеф. Теория множеств и континуум-гипотеза = Set Theory and the
Continuum Hypothesis : [монография] / П. Д. Коэн ; пер. с англ. и закл. ст. А. С. ЕсенинаВольпина. - 2-е изд. - М. : ЛИБРОКОМ, 2010.
10. Перечень ресурсов информационно - телекоммуникационной сети
«Интернет»
а) полнотекстовые базы данных
1. Гринченков Д.В., Потоцкий С.И. Математическая логика и теория алгоритмов для
программистов: учебное пособие http://www.book.ru/book/251601
2. Игошин В. И. Математическая логика: Учебное пособие
http://znanium.com/catalog.php?bookinfo=242738
б) интернет-ресурсы
11. Перечень информационных технологий (при необходимости)
нет
12. Электронная поддержка дисциплины (модуля) (при необходимости)
нет
13. Материально-техническое обеспечение дисциплины (модуля)
Для качественного проведения лекционных занятий по данной дисциплине используются
аудитории, оснащенные мультимедийным оборудованием.
14. Словарь основных терминов
Алгебраической системой сигнатуры Σ называется пара 𝔄 =⟨А; Σ⟩, где А – непустое
множество и каждому n-местному предикатному (функциональному) символу из Σ поставлен
в соответствие n-местный предикат (соответственно операция) на А.
Вывод формулы φ исчисления высказываний из формул φ1,…,φm исчисления
высказываний – это последовательность формул ψ1,…,ψk,φ, в которой любая формула либо
является аксиомой, либо принадлежит множеству формул {φ1,…,φm}, либо получается из
предыдущих по правилу вывода.
Дизъюнктивной нормальной формой формулы A называется равносильная ей
формула, представляющая собой дизъюнкцию элементарных конъюнкций.
Конъюнктивной нормальной формой (КНФ) формулы A называется равносильная ей
формула, представляющая собой конъюнкцию элементарных дизъюнкций.
Математическая логика вторая, после традиционной логики, ступень в развитии
формальной логики, применяющая математические методы и специальный аппарат символов
и исследующая мышление с помощью исчислений (формализованных языков).
Непротиворечивость аксиоматической теории означает, что из данной системы
аксиом нельзя логическим путем вывести два противоречащих друг другу утверждения.
Одноместным предикатом Р(х) называется произвольная функция переменного х,
определенная на множестве М и принимающая значения из множества {1,0}.
Формулу A называют выполнимой, если она принимает значение «истина» хотя бы на
одном наборе значений входящих в нее переменных и не является тождественно истинной.
Эквивалентные формулы сигнатуры Σ – это формулы φ и ψ сигнатуры Σ исчисления
высказываний такие, что формулы φ→ψ и ψ→φ истины в любой алгебраической системе
сигнатуры Σ на любом кортеже элементов их носителя этой системы.
Эквивалентные формулы исчисления высказываний – это формулы φ и ψ
исчисления высказываний такие, что формулы φ→ψ и ψ→φ выводимы из пустого
множества формул.
Лист изменений и согласований
Дополнения и изменения в учебной программе на 201 __/201__ учебный год.
В
рабочую
программу
вносятся
следующие
изменения:
_______________________________________________________________________
Редакция _________г. утверждена на заседании кафедры математики и моделирования от
__.__.__.___г., протокол № __
Заведующий кафедрой (разработчика) _____________________ ___________________
подпись
«____»_______________20__г.
фамилия, инициалы