Всего – 87 часов
advertisement
Западно-Казахстанский государственный университет
им. М. Утемисова
«Утверждаю»
Директор института
___________________
_____________ Ф.И.О
«__»_______ 2009г.
Институт экономики и управления
Кафедра менеджмента и предпринимательства
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС
ДИСЦИПЛИНЫ
«Математика для экономистов»
по кредитной технологии обучения
для студентов специальности
– ГМУ – Менеджмент - Экономика
Финасны – Учет и аудит-Основы экономики и права
Курс – 1
Семестр – 1
Количество кредитов - 3
Лекции – 30 часов
Практические занятия – 15 часов
СРСП – 21 часов
СРС – 21 часов
Экзамен – в 1-м семестре
Всего – 87 часов
Уральск
2009 г.
2
Рабочая программа разработана на основании Государственного общеобязательного
стандарта специальностей Финансы, Учет и аудит, Экономика, Менеджмент,
Государственное и местное управление
Астана 2001 и типовой учебной программы «Математика» для экономических
специальностей и направлений по высшему профессиональному образованию,
утвержденной Министерством образования и науки Республики Казахстан, Астана 2002г.
Учебно-методический комплекс дисциплины (УМКД) составлен
ст. преподавателем Садыковой Г.А.
Утвержден на заседании кафедры менеджмента и предпринимательства.
Протокол № ___ от «___»__________ 2009 г.
Зав. кафедрой ______________ ___________________
(подпись)
(Ф.И.О.)
Утвержден на заседании учебно-методического совета
________________________
Протокол № ___ от «___»__________ 200 г.
Председатель УМС ______________
(подпись)
(Ф.И.О.)
3
Западно-Казахстанский государственный университет
им. М. Утемисова
«Утверждаю»
Директор института
___________________
_____________ Ф.И.О
«__»_______ 2009г.
Институт экономики и управления
Кафедра менеджмента и предпринимательства
ПРОГРАММА КУРСА (SILLABUS)
«Математика для экономистов»
по кредитной технологии обучения
для студентов специальности
Курс – 1
Семестр – 1
Количество кредитов - 3
Лекции – 30 часов
Практические занятия – 15 часов
СРСП – 21 часов
СРС – 21 часов
Экзамен – в 1-м семестре
Всего – 87 часов
Уральск
2009г.
4
Рабочая программа разработана на основании Государственного общеобязательного
стандарта специальностей Финансы, Учет и аудит, Экономика, Менеджмент,
Государственное и местное управление
Астана 2001 и типовой учебной программы «Математика» для экономических
специальностей и направлений по высшему профессиональному образованию,
утвержденной Министерством образования и науки Республики Казахстан, Астана 2002г.
Учебно-методический комплекс дисциплины (УМКД) составлен
ст. преподавателем Садыковой Г.А.
Утвержден на заседании кафедры менеджмента и предпринимательства.
Протокол № ___ от «___»__________ 2009 г.
Зав. кафедрой ______________ ___________________
(подпись)
(Ф.И.О.)
Утвержден на заседании учебно-методического совета
________________________
Протокол № ___ от «___»__________ 200 г.
Председатель УМС ______________
(подпись)
(Ф.И.О.)
5
Дополнения и изменения в программу курса (Sillabus)
на 200_ / 200_ учебный год
Программа курса вносится следующие изменения (дополнения):
______________________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
Программа курса пересмотрена и одобрена на заседании кафедры менеджмента и
предпринимательства.
Протокол № ____ от «___»___________ 2009г.
Заведующий кафедрой ______________ ___________________
(подпись)
(Ф.И.О.)
Утвержден на заседании учебно-методического совета института
___________________ Протокол № ___ от «___»__________ 2009 г.
Председатель УМС института ______________ ___________________
(подпись)
(Ф.И.О.)
6
1.1 Данные о преподавателе
Садыкова Г.А. – ст. преподаватель
Офис: кафедра менеджмента и предпринимательства
1.2 Данные о дисциплине
Математика для экономистов
Семестр состоит из 15 учебных недель и 2 недель сессии.
В неделю проводится 3 кредит-часа. Каждый кредит-час состоит из одного контактного
часа (лекция, практика) и двух часов самостоятельной работы обучаемых (СРО) под
руководством преподавателя (СРСП) и без него (СРС).
Распределение кредитов на наделю:
Время
Занятия
проведения
Контактный час
1
50 мин.
(лекция 1)
Контактный час
2
50 мин.
(лекция 2)
Контактный час
3
50 мин.
(практика)
Занятия
СРО
Время
Проведения
СРСП, СРС
50 + 50 мин.
СРСП, СРС
50 + 50 мин.
СРСП, СРС
50 + 50 мин.
Количество кредитов – 3
Место проведения: корпус № 2 по расписанию
Выписка из учебного плана:
Курс Семестр
Кредиты Лекции
1
1
3
30
Практич
занятия
15
СРСП
СРС
Всего
21
21
87
Форма
контроля
экзамен
1.3 Введение
Данный курс предназначен для подготовки студентов экономических
специальностей университета с целью овладения ими математического аппарата и
дальнейшего его применения для решения прикладных экономических задач. Курс
охватывает следующие разделы математики: элементы линейной алгебры и
аналитической геометрии, дифференциальное и интегральное исчисление функций одной
переменной, дифференциальное исчисление функций многих переменных, числовые и
степенные ряды, дифференциальные уравнения, элементы теории вероятностей и
математической статистики.
Цель курса:
1. Формирование прочной системы знаний по математике.
2. Математическое моделирование некоторых экономических задач.
3. Применение математического аппарата для решения прикладных задач экономики.
4. Развитие логического и алгоритмического мышления.
5. Умение самостоятельно расширять и углублять математические знания
Задачи курса:
7
Приобретение навыков решения математических задач с доведением решения до
практического результата, и развить на этой базе логическое мышление.
Пререквизиты:
Обязательное знание школьного курса математики. Необходимо знать понятие множества
действительных чисел, понятие функции, непрерывности функции, свойств
непрерывности, знать функции одной и нескольких переменных, уметь исследовать
функции методами дифференциального исчисления.
Постреквизиты:
- Иметь понятие о множествах.
- Иметь понятие о первообразной функции.
- Уметь применять различные методы интегрирования функции при вычислении
интегралов;
- Уметь решать задачи, связанные с интегральным исчислением;
- Уметь решать дифференциальные уравнения;
- Знать основные признаки сходимости ряда;
- Знать классическое, статистическое определение вероятности, уметь вычислить
вероятность любого события;
- Уметь применять теоремы сложения и умножения вероятностей;
Иметь понятие об условной вероятности;
Методология обучения:
Обучение проводится в основном в виде лекций и СРСП, на которых отражается
содержание основного учебного материала и закрепляются практические навыки по
решению задач. Контроль знаний студентов будет осуществляться в виде устных
микроэкзаменов, письменных контрольных работ, индивидуальных семестровых заданий
и проверки домашних работ.
2. Программа обучения по дисциплине - SYLLABUS
Неделя 1
Кредит час 1
Лекция №1
Тема: Матрицы и операции над ними.
Содержание лекции. Основные сведения о матрицах. Сложение матриц. Умножение
матриц на число. Произведение матриц. Возведение матрицы в степень.
Транспонированная матрица.
Литература [1] стр. 203-211, 212-213
Литература [2] стр. 45-49, 54-56
Содержание СРСП. Задачи №№ 394-397,406,413,414 четные Литература [7] 1 часть
Содержание СРС. Задачи №№ 394-397,406,413,414 четные Литература [7] 1 часть
Кредит час 2
Лекция № 2
Тема: Определители и его свойства.
8
Содержание лекции. Определители. Определители 2 порядка и 3 порядков. Свойства
определителей. Миноры и алгебраические дополнения. Разложение определителя по
строке и по столбцу.
Литература [1] стр. 214-219
Литература [2] стр. 49-54
Содержание СРСП. Задачи №№ 217,222-224 Литература [7] 1 часть
Содержание СРС. Задачи №№ 387,388 Литература [7] 1 часть
Кредит час 3
Практическое занятие№ 1
Тема: Определители и матрицы.
Содержание практического занятия. Действия над матрицами. Транспонированная
матрица. Определители 2 и 3 порядков. Миноры и алгебраические дополнения.
Разложение определителя по строке и по столбцу.
Содержание СРСП. Задачи №№ 223, 394-397,406 Литература [7] 1 часть
Содержание СРС. Задачи №№ 394-397,406,413,414 нечетные Литература [7] 1 часть
Неделя 2
Кредит час 1
Лекция №3
Тема: Обратная матрица. Ранг матрицы.
Содержание лекции. Определение обратной матрицы. Способы нахождения обратной
матрицы. Ранг матрицы, метод окаймляющих миноров.
Литература [13] стр.67-77, 121-130
Содержание СРСП. Задачи Литература [13] стр. 77
Содержание СРС. Задачи Литература [13] стр. 130
Кредит час 2
Лекция № 4
Тема: Решение систем линейных алгебраических уравнений
Содержание лекции.
1. Системы линейных уравнений.
2. Условия разрешимости системы.
3. Методы Крамера, Гаусса, обратной матрицы.
Литература [1] стр.222-243
Литература [2] стр. 58-62
Содержание СРСП. Задачи №№ 6.1-9.10 нечетные Литература [1]
Содержание СРС. Задачи №№ 6.1-9.10 четные Литература [1]
Кредит час 3
Практическое занятие№ 2
Тема: Решение систем линейных алгебраических уравнений
Содержание практического занятия. Системы линейных уравнений.
разрешимости системы. Методы Гаусса, Крамера, обратной матрицы.
Содержание СРСП. Задачи №№ 6.1-9.10 Литература [1]
Содержание СРС. Решение систем линейных уравнений
Неделя 3
Условия
9
Кредит час 1
Лекция №5
Тема: Векторы операции над ними. Скалярное произведение векторов.
Содержание лекции.
1. Векторы, координаты вектора, длина, сложение векторов и умножение вектора на
число.
2. Скалярное произведение векторов и его свойства.
3. Векторное произведение.
Литература [1] стр.193-202
Литература [2] стр. 21-45
Содержание СРСП. Задачи №№ 1(стр. 609) Литература [1]
Содержание СРС. Задачи №№ 1-10 (стр. 44) Литература [2]
Кредит час 2
Лекция № 6
Тема: Координаты точки на прямой и на плоскости. Деление отрезка в данном отношении.
Разложение вектора по координатным осям.
Содержание лекции.
1. Метод координат.
2. Прямоугольная система координат.
3. Расстояние между двумя точками.
4. Деление отрезка в данном отношении.
5. Координаты середины отрезка.
6. Площадь треугольника и многоугольника.
7. Разложение вектора по координатным осям.
Литература [1] стр.196-202
Литература [2] стр. 4-21
Содержание СРСП. Задачи №№ 1-25 нечетные Литература [7]- 1 часть
Содержание СРС. Задачи №№ 1-25 четные Литература [7]- 1 часть
Кредит час 3
Практическое занятие№ 3
Тема: Уравнение прямой на плоскости.
Содержание практического занятия. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.
Уравнение прямой в данном направлении. Уравнение прямой, проходящей через две
данные точки. Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и
перпендикулярности прямых. Общее уравнение прямой. Уравнение прямой в отрезках.
Нормальное уравнение прямой. Расстояние от точки до прямой.
Литература [2] стр. 63-68
Содержание СРСП.
Содержание СРС. Задачи №№ 1-10 (четные, стр 79) Литература [2]
Неделя 4
Кредит час 1
Лекция №7
Тема: Прямые и плоскости в пространстве Линии 2 порядка.
Содержание лекции.
1. Уравнения плоскости, проходящие через заданную точку.
2. Общее уравнение плоскости.
3. Канонические, параметрические, общие уравнения прямых в пространстве.
4. Окружность, эллипс, гипербола, парабола и их канонические уравнения
Литература [2] стр. 72-79
10
Содержание СРСП. Задачи №№ 1-10 (нечетные, стр 79) Литература [2]
И/з Тема: Решение систем линейных алгебраических уравнений
Содержание СРС. Задачи №№ 1-10 (четные, стр 79) Литература [2]
Кредит час 2
Лекция № 8
Тема: Функция, предел функции. Бесконечно большие и малые величины.
Содержание лекции.
1. Функции и способы их задания.
2. Постоянные и переменные величины.
3. Понятие о пределе.
4. Предел функции.
5. Последовательность.
6. Бесконечно большие и ограничение величины.
7. Бесконечно малая и ее основные свойства.
8. Основные теоремы о пределах.
Литература [1] стр. 34-48
Литература [2] стр. 87-105
Содержание СРСП. Задачи №№ 4.1-4.30(нечетные, стр.598) (1)
Содержание СРС. Задачи №№ 4.1-4.30 (четные, стр.598) (1)
Кредит час 3
Практическое занятие№ 4
Тема: Функция, предел функции.
Содержание практического занятия. Функции и способы их задания. Предел функции.
Последовательность. Бесконечно большие и ограничение величины.
Содержание СРСП. Задачи №№ 3.1-3.20 (нечетные, стр.598) (1)
Содержание СРС. Задачи №№ 3.1-3.20 (четные, стр.598) (1)
Неделя 5
Кредит час 1
Лекция №9
Тема: Замечательные пределы.
Содержание лекции.
1. Первый и второй замечательные пределы.
2. Число е. Натуральные логарифмы.
3. Показательный закон роста.
Литература [1] стр. 46-48
Литература [2] стр. 110-120
Содержание СРСП. Задачи № 2.1-2.20 (нечетные,стр.597) (1)
К / р по теме «Элементы аналитической геометрии»
Содержание СРС. Задачи №№ 2.1-2.20 (четные, стр.597) (1)
Кредит час 2
Лекция №10
Тема: Непрерывность функции.
Содержание лекции.
1. Непрерывность функции в точке. Свойства непрерывных функций.
2. Классификация точек разрыва. Непрерывность функции на отрезке. Свойства
непрерывных функций. Теорема об устойчивости знака непрерывной функции.
11
3. Первая и вторая теорема Больцано – Коши. Первая и вторая теорема Вейерштрасса.
Равномерная непрерывность функции. Теорема Кантора.
Литература [1] стр. 49-53
Литература [2] стр. 115-120
Содержание СРСП. Задачи №№ 5.1-5.10 (нечетные, стр.598)(1)
Содержание СРС. Задачи №№ 5.1-5.10 (четные, стр.598)(1)
Кредит час 3
Практическое занятие№ 5
Тема: Предел и непрерывность функции.
Содержание практического занятия. Первый и второй замечательные пределы.
Непрерывность функции в точке. Свойства непрерывных функций. Классификация точек
разрыва.
Содержание СРСП. Задачи №№ 5.1-5.10 (нечетные, стр.598)(1)
Содержание СРС. Задачи №№ 5.1-5.10 (четные, стр.598)(1)
Неделя 6
Кредит час 1
Лекция №11
Тема: Производная и дифференциал функции одной переменной.
Содержание лекции.
1. Производная функции. Производная основных элементарных функций.
2. Геометрический, физический, экономический смысл производной.
3. Дифференцируемость функции. Эластичность.
4. Основные правила дифференцирования.
5. Дифференцируемость сложной функции; функции, заданной в параметрической
форме; функции, заданной неявно.
Литература [1] стр. 61-71
Литература [2] стр. 129-141
Содержание СРСП. Задачи №№ 6.1-6.30 (нечетные, стр.599) (1)
К / р по теме «Предел функции»
Содержание СРС. Задачи №№ 6.1-6.30 (четные, стр.599) (1)
Кредит час 2
Лекция №12
Тема: Основные теоремы дифференциального исчисления.
Содержание лекции.
1. Основные теоремы дифференциального исчисления (Ферма, Ролля, Лагранжа).
2. Правила Лопиталя.
3. Приложения производной и исследование функций.
Литература [1] стр. 65-68
Литература [2] стр. 144-147
Содержание СРСП. Задачи №№ 9.1-9.12 (нечетные, стр.600) (1)
Содержание СРС. Задачи №№ 9.1-9.12 (нечетные, стр.600) (1)
Кредит час 3
Практическое занятие№ 6
Тема: Производная и дифференциал функции одной переменной.
Содержание практического занятия.
1. Производная функции.
2. Геометрический, физический, экономический смысл производной.
3. Основные правила дифференцирования.
12
4. Дифференцируемость сложной функции
Содержание СРСП. Задачи №№ 9.1-10.20 (нечетные, стр.600-601) (1)
Содержание СРС. Задачи №№ 9.1-10.20 (нечетные, стр.600-601) (1)
Неделя 7
Кредит час 1
Лекция №13
Тема: Применения производной. Исследование функций.
Содержание лекции.
1. Признаки монотонности, постоянства функции.
2. Экстремум функции.
3. Направления выпуклости графика функции. Точка перегиба.
4. Асимптоты, общая схема исследования функции и построение графиков.
Литература [1] стр. 73-96
Литература [2] стр. 148-155
Содержание СРСП. Задачи №№ 10.1-10.20 (нечетные, стр. 601) (1)
Содержание СРС. И/з по теме «Исследование функции с помощью производной»
Кредит час 2
Лекция №14
Тема: Дифференциальное исчисление функций многих переменных.
Содержание лекции.
1. Функции двух (многих) переменных. Основные определения.
2. Предел, непрерывность.
3. Понятие частичной производной
4. Применение частных производных в экономике. Полезность.
5. Частные производные и дифференциал высших порядков. Экстремум функции
двух переменных.
Литература [1] стр. 133-148
Содержание СРСП. Задачи №№ 1.1-6.10 (нечетные, стр.605-606) (1)
Содержание СРС. Задачи №№ 1.1-6.10 (нечетные, стр.605-606) (1)
Кредит час 3
Практическое занятие№ 7
Тема: Производные и дифференциалы высших порядков.
Содержание практического занятия. Частные производные и дифференциал высших
порядков. Экстремум функции двух переменных.
Содержание СРСП. Задачи №№ 5.1-6.10 (нечетные, стр. 606) (1)
Содержание СРС. Задачи №№ 5.1-6.10 (нечетные, стр. 606) (1)
Микроэкзамен №1 по темам 1-7 недели.
Неделя 8
Кредит час 1
Лекция №15
Тема: Неопределенный интеграл и его свойства. Замена переменных в неопределенном
интеграле, интегрирование по частям.
Содержание лекции.
1. Первообразная. Неопределенный интеграл. Свойства неопределенных интегралов.
2. Таблица основных интегралов.
3. Интегрирование разложением.
4. Метод подстановки в неопределенном интеграле.
13
5. Формула интегрирования по частям.
Литература [1] стр. 99-110, Литература [2] стр. 163-165
Содержание СРСП. Задачи №№ 11.1-11.60 (нечетные, стр.601-602) (1)
Содержание СРС. Задачи №№ 11.1-11.60 (нечетные, стр.601-602) (1)
Кредит час 2
Лекция №16
Тема: Интегрирование рациональных и тригонометрических функций.
Содержание лекции.
1. Разложение рациональной функции на элементарные дроби.
2. Метод неопределённых коэффициентов.
3. Интеграл от чётных и нечётных степеней синуса и косинуса.
Литература [1] стр. 103-110
Литература [2] стр. 166-171
Содержание СРСП. Задачи №№ 44-52(нечетные, стр.213) (2)
Содержание СРС Задачи №№ 44-52(четные, стр.213) (2)
Кредит час 3
Практическое занятие№ 8
Тема: Неопределенный интеграл и его свойства. Методы интегрирования.
Содержание практического занятия. Неопределенный интеграл. Свойства неопределенных
интегралов. Метод подстановки в неопределенном интеграле. Формула интегрирования по
частям.
Содержание СРСП. Задачи №№ 11.1-11.60 (нечетные, стр.601-602) (1)
Содержание СРС. Задачи №№ 11.1-11.60 (нечетные, стр.601-602) (1)
Неделя 9
Кредит час 1
Лекция №17
Тема: Интегрирование некоторых иррациональных и трансцендентных функций.
Содержание лекции.
1. Приведение интегралов от иррациональных и трансцендентных функций к
интегралам от рациональных функций с помощью подставок.
2. Подстановки Эйлера.
Литература [1] стр. 103-110
Литература [2] стр. 171-173
Содержание СРСП. Задачи №№ 53-58(нечетные, стр.214) (2)
Содержание СРС. Задачи №№ 53-58(четные, стр.214) (2)
Кредит час 2
Лекция №18
Тема: Определенный интеграл и его свойства. Некоторые геометрические приложения
определенного интеграла.
Содержание лекции.
1. Условие существования определенного интеграла.
2. Интегрируемость непрерывных и некоторых разрывных функций.
3. Основные свойства определенного интеграла.
4. Интеграл с переменным верхним пределом.
5. Формула Ньютона-Лейбница. Площадь криволинейной трапеции. Длина дуги.
Объем тела вращения. Площадь поверхности вращения.
Литература [1] стр. 111-119
Литература [2] стр. 175-190
14
Содержание СРСП. К / р по теме «Интегральное исчисление»
Содержание СРС. Задачи №№ 12.1-12.20 (нечетные, стр.603) (1)
Кредит час 3
Практическое занятие№ 9
Тема: Определенный интеграл и его свойства. Приложение определенного интеграла к
решению задач.
Содержание практического занятия. Основные свойства определенного интеграла.
Интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница. Площадь
криволинейной трапеции. Длина дуги. Объем тела вращения.
Содержание СРС. Задачи №№ 12.21-12.50 (нечетные, стр.603-605) (1)
Содержание СРС. Задачи №№ 12.21-12.50 (четные, стр.603-605) (1)
Неделя 10
Кредит час 1
Лекция №19
Тема: Числовые ряды.
Содержание лекции.
1. Ряды. Сходимость ряда. Свойства сходящихся рядов.
2. Необходимый признак. Признаки сходимости (признак сравнения, признак
Даламбера, интегральный признак, признак Лейбница).
3. Ряды с неотрицательными членами.
4. Знакопеременные
ряды.
Абсолютная
и
условная
сходимость
ряда.
Знакочередующиеся ряды.
Литература [2] стр.218-232
Содержание СРСП. Задачи №№ 1-13(нечетные, стр.276) (2)
Содержание СРС. Задачи №№ 1-13(четные, стр.276) (2)
Кредит час 2
Лекция №20
Тема : Степенные ряды.
Содержание лекции.
1. Степенной ряд. Радиус сходимости, область сходимости.
2. Разложение функции в степенные ряды.
3. Дифференцирование и интегрирование степенных рядов.
4. Ряды Тейлора и Маклорена, применение к приближенным вычислениям.
Литература [2] стр.232-241
Содержание СРСП. Задачи №№ 14-26(нечетные, стр.276) (2)
Содержание СРС. Задачи №№ 14-26(четные, стр.276) (2)
Кредит час 3
Практическое занятие№ 10
Тема: Числовые и степенные ряды.
Содержание практического занятия. Ряды. Сходимость ряда. Признаки сходимости ряда.
Степенной ряд. Радиус сходимости. Ряды Тейлора и Маклорена к приближенным
вычислениям.
Содержание СРСП. Задачи №№ 1-26(нечетные, стр.276) (2)
Содержание СРС. . И / з по теме «Числовые и степенные ряды»
Неделя 11
Кредит час 1
Лекция №21
15
Тема: Дифференциальные уравнения первого порядка.
Содержание лекции.
1. Дифференциальные уравнения.
2. Порядок дифференциального уравнения. Решение уравнения. Задача Коши.
3. Общее и частные решения уравнения.
4. Уравнения с разделяющимися переменными.
Литература [1] стр. 157-166
Литература [2] стр. 311-320
Содержание СРС. Задачи №№ 1.1-3.10 (нечетные, стр.607) (1)
Содержание СРС. Задачи №№ 1.1-3.10 (четные, стр.607) (1)
Кредит час 2
Лекция № 22
Тема: Однородные уравнения. Дифференциальные уравнения высших порядков.
Содержание лекции.
1. Экономические применения дифференциальных уравнений.
2. Основные понятия.
3. Уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка.
4. Дифференциальные уравнения высших порядков.
Литература [1] стр. 167-177
Литература [2] стр. 311-332
Содержание СРС. Задачи №№ 5.1-7.10 (нечетные, стр.608) (1)
Содержание СРС. Задачи №№ 5.1-7.10 (четные, стр.608) (1)
Кредит час 3
Практическое занятие№ 11
Тема: Дифференциальные уравнения.
Содержание практического занятия. Дифференциальные уравнения. Уравнения с
разделяющимися переменными. Однородное дифференциальное уравнение. Линейное
дифференциальное уравнение. Уравнение Бернулли. Уравнения в полных
дифференциалах.
Содержание СРСП. Задачи №№ 1.1-7.10 (нечетные, стр.607-608) (1)
Содержание СРСП. Задачи №№ 1.1-7.10 (четные, стр.607-608) (1)
Неделя 12
Кредит час 1
Лекция №23
Тема: Линейные однородные и неоднородные уравнения второго порядка.
Содержание лекции.
1. Линейные однородные и неоднородные уравнения второго порядка.
2. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго
постоянными коэффициентами.
Литература [1] стр. 164-166
Литература [2] стр. 334-339
Содержание СРСП. Задачи №№ 1.1-7.10 (нечетные, стр.607-608) (1)
Содержание СРСП. Задачи №№ 1.1-7.10 (четные, стр.607-608) (1)
Кредит час 2
Лекция №24
Тема: Линейные однородные и неоднородные уравнения второго порядка.
Содержание лекции.
порядка
с
16
1. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с
постоянными коэффициентами.
2. Экономическое применение.
Литература [1] стр. 164-166
Литература [2] стр. 334-339
Содержание СРСП. Задачи №№ 1.1-7.10 (нечетные, стр.607-608) (1)
Содержание СРСП. Задачи №№ 1.1-7.10 (четные, стр.607-608) (1)
Кредит час 3
Практическое занятие№ 12
Тема: Линейные однородные и неоднородные уравнения второго порядка.
Содержание практического занятия. Линейные однородные и неоднородные уравнения
второго порядка. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с
постоянными коэффициентами. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения
второго порядка с постоянными коэффициентами. Экономическое применение.
Содержание СРСП. К / р по теме «Линейные дифференциальные уравнения I и II
порядка»
Содержание СРСП. Задачи №№ 1.1-7.10 (четные, стр.607-608) (1)
Неделя 13
Кредит час 1
Лекция №25
Тема: Случайные события. Вероятность.
Содержание лекции.
1. Поле событий. Классическое, геометрическое и статистическое определение
вероятности.
2. Аксиоматическое построение теории вероятностей.
3. Свойства вероятностей.
Литература [1] стр. 264-268
Литература [5] стр. 556-562.
Литература [9] стр. 31-55.
Содержание СРСП. Задачи №№ 1.1-1.20 (нечетные, стр.612-614) (1)
Содержание СРС. Задачи №№ 1.1-1.20 (четные, стр.612-614) (1)
Кредит час 2
Лекция №26
Тема: Теорема сложения и умножение вероятностей. Формула полной вероятности.
Формула Бейеса.
Содержание лекции.
1. Теорема сложения вероятностей.
2. Теорема умножения вероятностей.
3. Формула полной вероятности.
4. Формула Бейеса.
Литература [1] стр. 269-282
Литература [5] стр. 564-569.
Литература [9] стр. 31-55.
Содержание СРСП. Задачи №№ 1.1-1.20 (нечетные, стр.612-614) (1)
Содержание СРС. Задачи №№ 1.1-1.20 (четные, стр.612-614) (1)
Кредит час 3
Практическое занятие№ 13
17
Тема: Теорема сложения и умножение вероятностей. Формула полной вероятности.
Формула Бейеса.
Содержание практического занятия. Теорема сложения вероятностей. Теорема умножения
вероятностей. Формула полной вероятности. Формула Бейеса.
Содержание СРСП. Задачи №№ 1.1-1.20 (нечетные, стр.612-614) (1)
И/з по теме «Теорема сложения и умножение вероятностей. Формула полной вероятности.
Формула Бейеса»
Содержание СРС. Задачи №№ 1.1-1.20 (четные, стр.612-614) (1)
Неделя 14
Кредит час 1
Лекция №27
Тема: Формула Бернулли. Предельные теоремы Лапласа.
Содержание лекции.
1. Последовательности независимых испытаний.
2. Формула Бернулли. Невероятнейшее число появления события.
3. Локальная предельная теорема. Теорема Пуассона.
Литература [1] стр. 282-288
Литература [5] стр. 573-580.
Литература [9] стр. 55-62
Содержание СРСП. Задачи №№ 110-113, 121, 126, 127 Литература [10]
Содержание СРС. Задачи №№ 114-118, 122, 128, 130 Литература [10]
Кредит час 2
Лекция №28
Тема: Случайные величины и их числовые характеристики.
Содержание лекции.
1. Случайные величины.
2. Непрерывные и дискретные распределения.
3. Математическое ожидание.
4. Дисперсия. Теорема о математическом ожидании и дисперсии.
Литература [1] стр. 291-303
Литература [5] стр. 581-590
Литература [8] стр. 116-135.
Содержание СРСП. Задачи №№ 2.1-2.20 (нечетные, стр.615-617) (1)
Содержание СРС. Задачи №№ 2.1-2.20 (четные, стр.615-617) (1)
Кредит час 3
Практическое занятие№ 14
Тема: Формула Бернулли. Предельные теоремы Лапласа.
Содержание практического занятия. Последовательности независимых испытаний.
Формула Бернулли. Невероятнейшее число появления события. Локальная предельная
теорема. Теорема Пуассона.
Содержание СРСП. Задачи №№ 110-113, 121, 126, 127 Литература [10]
Содержание СРС. Задачи №№ 114-118, 122, 128, 130 Литература [10]
Неделя 15
Кредит час 1
Лекция №29
Тема: Теоретические моменты. Закон больших чисел.
Содержание лекции.
1. Моменты. Равномерное, нормальное, биноминальное и Пуассона распределения.
18
2. Массовые явления и закон больших чисел.
3. Неравенство Чебышева. Закон больших чисел в форме Чебышева и его следствие.
Теорема Маркова.
Литература [5] стр. 597-601.
Литература [8] стр. 158-180. 184-191.
Литература [9] стр. 101-119.
Содержание СРСП. Задачи №№ 228, 253, 272, 279, 298, 314, 332 Литература [10]
Содержание СРС. Задачи №№ 229, 254, 273, 306, 316, 333, 354 Литература [10]
Кредит час 2
Лекция №30
Тема: Выборочный метод. Числовые характеристики выборки. Статистические оценки
параметров распределения. Элементы теории корреляции.
Содержание лекции.
1. Генеральная и выборочная совокупности. Повторение и бесповторная выборки.
Статистические распределения выборки.
2. Эмпирическая функция распределения. Полигон и гистограмма. Точечные и
интервальные оценки параметров распределения.
3. Корреляционная зависимость. Уравнения линейной регрессии. Уравнения
криволинейной регрессии.
Литература [5] стр. 187-223. 253-276.
Содержание СРСП. Задачи №№ 439, 444, 447, 451, 456, 472, 481 Литература [10]
Содержание СРС. Задачи №№ 440, 445, 449, 454, 4593 473, 474 Литература [10]
Кредит час 3
Практическое занятие № 15
Тема: Проверка статистических гипотез.
Содержание практического занятия. Статистическая гипотеза. Нулевая и конкурирующая,
простая и сложная гипотезы. Ошибки первого и второго рода. Статистический критерий
проверки статистических гипотез. Наблюдаемое сравнение гипотез. Критическая область.
Мощность критерия. Сравнение исправленной и выборочной дисперсии с гипотетической
генеральной дисперсией нормальной совокупности. Сравнение двух средних произвольно
распределенных генеральных совокупностей (большие независимые выборки).
Литература [5] стр. 281-288, 293-297, 303-305.,
Содержание СРСП. Задачи №№ 522, 524, 527, 529 Литература [10]
Содержание СРС. Задачи №№ 525, 526, 528 Литература [10]
Микроэкзамен 2 по темам 8 – 15 недели.
3. График выполнения и сдачи заданий по дисциплине
Математика для экономистов
№
п/п
Вид
работ
Цель и
содержание
задания
1
Контрол
ьные
работы
( всего
Развитие
аналитическ
их
способносте
Рекоменду
емая
литератур
а
1-12
Продолжительность
Ба
выполнения и дата
лл
(неделя)
ы
представления работы
по
На 5 ,6,9,12неделях
2,5
%
Форма контроля
Проверка
письменной
работы
19
2
3
4
4работ)
Выполне
ние
индивиду
альных
заданий
(всего 4
заданий)
Микроэк
замен
(2
контрол
я)
й
Развитие
аналитическ
их и
познаватель
ных
способносте
й
Проверка
способности
логически
мыслить
Экзамен
Комплексная
проверка
знаний
1-12
на 4,7,10,13 неделях
Первая
работа
согласно
темам 1 –
7неделей
Вторая
работа
согласно
темам 815неделей
7 и 15 недели
по
4
%
Проверка
выполнения
задания,
способность
ответа на
вопросы
по
5
%
Проверка
письменной
работы
40
%
Тест
4. Карта учебно-методической обеспеченности дисциплины
Кафедра менеджмента и информационных технологий
тьютор Даулеталиева Г.Г.
Дисциплина _Математика для экономистов
Количество кредитов_________3_______
№
п/
п
Наименование
литературы
1
1
2
Красс М.С. Основы
высшей математики
и ее приложения в
экономическом
образовании:
Учебник 3-е
издание, М: Дело,
2002
2
Баврин И.Н.,
Матросов В.Л.:
Высшая
математика:
Наличие
В
на
библиот кафедре
еке
3
4
5
обеспеченнос Электрон
ти студентов ная
(%)
версия
5
6
0,31
-
2
Примечани
я
-
0,12
-
-
7
20
3
4
5
6
7
8
9
учебник М: Владос,
2002г.
Карасёв А.И.,
Аксютина З.М.,
Савельева Т.И.
Курс высшей
математики для
экономических
вузов. М.: Высшая
школа,1982.
Щипачев
В.С.
Высшая
математика:
учебник
для
математических
специальностей
вузов. М.: Высшая
школа, 1990.
Кудрявцев
В.А.,
Демидович
Б.П.
Краткий
курс
высшей
математики:
учебное
пособие
для
вузов.
М.:
Наука, 1989.
Минорский
В.П.
Сборник задач по
высшей
математике:
учебное
пособие
для
вузов
М.:
Наука 1987.
Данко П.Е., Попов
А.Г, Кожевникова
Т.
Я.
Высшая
математика
в
упражнениях
и
задачах:
учебное
пособие
для
студентов втузов.
М.: Высшая школа,
1974.,в 2-х частях.
Гнеденко Б.В. Курс
теории
вероятностей. М.:
Наука, 1988.
Гмурман
В.Е.
Теория
вероятностей
и
математическая
статистика.
М.:
3
0,19
-
3
-
0,19
-
2
-
0,12
-
3
-
0,19
-
2
-
0,12
-
1
-
0,06
-
1
0,31
-
-
21
Высшая
1977.
10
школа,
Гмурман В.Е.
1
Руководство к
решению задач по
теории
вероятностей и
математической
статистике: учебное
пособие для вузов.
М.: Высшая школа,
1975.
0,31
-
-
1. Лекционный комплекс:
ЛЕКЦИЯ №№ 1-3
Лекция №1.
Тема: «Определители 2,3 порядков. Системы линейных уравнений.
Метод Крамера».
Определение: Определителем второго порядка называется число,
обозначаемое символом
а1
в1
а2
в2
а1в2 а2 в1
(1)
Итак, для того чтобы найти определитель второго порядка нужно из
произведения элементов главной диагонали вычесть произведение элементов
по второй диагонали.
Пример:
3 4
3 1 - (-2) 4 3 8 11
2 1
1 2
4-40
2 4
Определение: Определитель третьего порядка есть число, полученное по
определенному правилу
а1
в1
с1
а2
а3
в2
в3
с2 а1в2 с3 а3в1с2 а2 в3с1 а3в2 с1 а2 в1с3 а1в3с2 (2)
с3
22
Запомнить эту формулу трудно, однако существует простое правило,
называемое правилом треугольников, обозначая элементы определителя
точками, соединим отрезками прямой те из них, которые дают члены
определителя.
.
+
.
.
.
.
.
.
.
.
.
-
.
.
.
.
.
.
.
.
Пример:
Вычислить, пользуясь правилом треугольника, получим
0
1 2
1 2
2 3
3
4
0 1 2
1 2 3 0 * 2 * 4 1 * 3 * 2 (-2) * (-1) * 3 (-2) * 2 * 2 - 1 * (-1) * 4 0 * 3 * 3 24
2 3 4
Свойства определителей 3-го порядка
1.
Значение определителя не изменится, если в нем строки и
столбцы поменять местами, т.е.
а1
в1
с1
а1
а2
а3
а2
а3
в2
в3
с2
с3
в1
с1
в2
с2
в3
с3
2.
Следовательно, строки и столбцы в определителе равноправны, и
если выполняется некоторое свойство относительно строк, то такое же
свойство существует и для столбцов.
3.
Если в определителе поменять местами какие-нибудь две строки
или столбцы, то определитель изменит лишь знак.
а1
в1
с1
а2
в2
с2
а2
а3
в2
в3
с2
с3
а1
а3
в1
в3
с1
с3
4.
Общий множитель элементов строки (столбца) можно вынести
за знак определителя.
23
а1
в1
с1
а1
в1
с1
а 2 в 2 с 2 * а 2 в 2 с 2
а3
в3
с3
а3
в3
с3
5.
Если все элементы какой-нибудь строки (столбца) равны нулю,
то определитель равен нулю.
6.
Определитель равен нулю, если элементы каких-нибудь 2-х его
строк (столбцов) пропорциональны.
7.
Определитель равен нулю, если элементы каких-нибудь 2-х его
строк (столбцов) равны.
8.
Если все элементы некоторой строки (столбца) состоят из 2-х
слагаемых, то определитель равен сумме 2-х определителей, в одном из
которых элементами этой строки (столбца) являются первые слагаемые, во
втором – вторые, а остальные элементы такие же, как и в данном
определителе, т.е.
а1
в1
а а
а3
,
2
,,
2
в в
в3
,
2
с1
,,
2
с с
с3
,
2
,,
2
а1
в1
с1
а1
в1
с1
а
а3
в
в3
с
с3
а
а3
в
в3
с 2,,
с3
,
2
,
2
,
2
,,
2
,,
2
9.
Определитель не изменится, если к элементам какой-нибудь
строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки
(столбца), умноженное на любое число λ, т.е
а1
в1
с1
а2
а3
в2
в3
с2
с3
а1
в1
с1
а 2 а1
а3
в 2 в1
в3
с 2 с1
с3
Свойства определителей 3-его порядка применимы и для определителей
высших порядков.
Системы линейных уравнений.
Рассмотрим систему, состоящую из n линейных уравнений с n
неизвестными:
а11 х1 а12 х 2 ... а1п х п в1
а х а х ...а х в
21 1
22 2
2п п
2
...............................................
а п1 х1 а п 2 х 2 ...а пп х п в п
Правило Крамера.
Рассмотрим систему трех уравнений с тремя неизвестными :
а11 х1 а12 х2 а13 х3 в1
а 21 х1 а 22 х 2 а 23 х3 в 2
а х а х а х в
32 2
33 3
3
31 1
24
Составим определитель ∆ = A из коэффициентов при неизвестных:
а11
∆ = а 21
а12
а 22
а13
а 23 ,
а31
а32
а33
заменив в ∆ первый столбец на столбец из свободных членов (остальные
без изменения), получим ∆1:
в1
а12
а13
1 в 2
в3
а 22
а32
а 23
а33
Соответственно:
а11
в1
а13
а11
а12
в1
2 а 21 в 2
а31 в3
а 23
а33
3 а 21
а31
а 22
а32
в2
в3
Можно доказать, что
х1 * 1 ; х1
1
х3 * 3 х3
х1
х2 * 2 х2
2
;
3
1
; х 2 2 ; х3 3
Формула (8) называется формулой Крамера, по аналогии их можно
применить и для решения систем n уравнений с n неизвестными.
При ∆ ≠ 0 система имеет единственное решение, при ∆ = 0, ∆1 = ∆2 = ∆3
= 0, система имеет множество решений и если ∆ = 0, а хотя бы один из ∆i ≠ 0
(i = 1, 2, 3..), то система не имеет решения.
Миноры и алгебраические дополнения
Рассмотрим определитель третьего порядка, применив новую систему
обозначений элементов с помощью двойных индексов. Первый индекс в
обозначении элемента условимся считать номером строки, а второй –
номером столбца, на пересечении которых находится данный элемент.
25
а11 а12
а21 а22
а13
а23
а31
а33
а32
Введем понятие минора и алгебраического дополнения элемента
определителя.
Определение:
Минором элемента определителя 3-его порядка
называется определитель 2-го порядка, полученный из данного
вычеркиванием той строки и того столбца, на пересечении которых
находится данный элемент.
Так, например, минором элемента а 32 определителя 3-его порядка будет
определитель 2-го порядка.
а11
а12
а13
а
а13
;
а23 ; M 32 11
а21 а23 32
а33
а21 а22
а31 а32
Обозначается М 32
Определение: Алгебраическим дополнением элемента называется
минор, взятый со знаком «+», если сумма номеров вычеркиваемых строк и
столбцов есть четное число и со знаком «-», если эта сумма – нечетное
число.
А32 (1) 3 2 М 32 М 32
А33 (1) 33 М 33 М 33
Определители высших порядков, их вычисление.
Определителем
n-го
порядка
называется
определитель
вида:
a 11 a 12 ... a 1 n
a 21 a 22 ... a 2 n
... ... ... ...
a n 1 a n 2 ... a n n
, который вычисляется путем разложения по элементам
любой строки (столбца).
Теорема о разложении определителя
Теорема: Сумма произведений элементов какой-либо строки (или
столбца) на соответствующие алгебраические дополнения элементов той же
строки равна величине определителя.
26
a 11 a 12 ... a 1 n
a 21 a 22 ... a 2 n
... ... ... ...
a n 1 a n 2 ... a n n
а11 А11 а12 А12 а13 А13 а1n A1n
По аналогии можно вычислить определитель n-го порядка, разложив его
по элементам какой-либо строки или столбца, и его вычисление сводится к
вычислению определителей 3-его порядка.
Вычисление определителей n-го порядка сводится к выполнению
определителей (n – 1) порядка.
Лекция №2.
Тема: «Матрицы, матричный метод решения СЛУ».
Матрицей размера mn называется совокупность mn чисел,
расположенных в виде прямоугольной таблицы, содержащей m строк и n
столбцов. Мы будем записывать матрицу в виде
a 11 a 12 ... a 1 n
a 21 a 22 ... a 2 n
A=
... ... ... ...
a m 1 a m 2 ... a m n
или сокращенно в виде A = (ai j) (i = 1, m ; j = 1,n ). Числа ai j, составляющие
данную матрицу, называются ее элементами; первый индекс указывает на
номер строки, второй – на номер столбца. Две матрицы A = (ai j) и B = (bi j)
одинакового размера называются равными, если попарно равны их
элементы, стоящие на одинаковых местах, то есть A = B, если ai j = bi j.
Эту таблицу обычно заключают в круглые скобки. Например, матрица
1 0 1
1
2
0
2
, 2 , 4
,
3
2
0
3
может иметь вид:
1 1 1.5 3 1 3
2 2
3 3
3 1 1 1
Для краткости матрицу можно обозначать одной заглавной буквой,
например, А или В.
Виды матриц.
27
Матрица, состоящая из одной строки или одного столбца, называется
соответственно вектор-строкой или вектор-столбцом. Вектор-столбцы и
вектор-строки называют просто векторами.
Матрица, состоящая из одного числа, отождествляется с этим числом.
Матрица размера mn, все элементы которой равны нулю, называются
нулевой матрицей и обозначается через 0.
Элементы матрицы с одинаковыми индексами называют элементами
главной диагонали.
Если число строк матрицы равно числу столбцов, то есть m = n, то
матрицу называют квадратной порядка n.
Квадратные матрицы, у которых отличны от нуля лишь элементы
главной диагонали, называются диагональными матрицами и
записываются так:
a11 0 ... 0
0 a 22 ... 0
... ... ... ... .
0 0 ... a n n
Если все элементы ai i диагональной матрицы равны 1, то матрица
называется единичной и обозначается буквой Е:
1
0
E =
...
0
0 ... 0
1 ... 0
.
... ...
0 ... 1
Квадратная матрица называется треугольной, если все элементы,
стоящие выше (или ниже) главной диагонали, равны нулю.
Транспонированием называется такое преобразование матрицы, при
котором строки и столбцы меняются местами с сохранением их номеров.
Обозначается транспонирование значком Т наверху.
Пусть дана матрица (4.1). Переставим строки со столбцами. Получим
матрицу
a 11
T a 12
A =
...
a1 n
a 21 ... a m 1
a 22 ... a m 2
,
... ... ...
a 2 n ... a m n
которая будет транспонированной по отношению к матрице А. В
частности, при транспонировании вектора-столбца получается вектор-строка
и наоборот.
Действие над матрицами.
28
Произведением матрицы А на число называется матрица, элементы
которой получаются из соответствующих элементов матрицы А умножением
на число : A = ( ai j).
Т.е. для того чтобы умножить матрицу A на число нужно каждый
элемент матрицы A умножить на это число.
Суммой двух матриц А = (ai j) и B = (bi j) одного размера называется
матрица C = (ci j) того же размера, элементы которой определяются по
формуле ci j = ai j + bi j.
Т.е. чтобы сложить матрицы A и B нужно к элементам матрицы A
прибавить элементы матрицы B, стоящие на тех же местах.
Или:
a11 a12 a13
A B
a21 a22 a23
b11 b12 b13 a11 b11 a12 b12 a13 b13
=
b21 b22 b23 a21 b21 a22 b12 a23 b13
Произведение АВ матрицы А на матрицу В определяется в
предположении, что число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы
В.
Произведением двух матриц А = (ai j) и B = (bj k), где i = 1,n , j= 1, m , k= 1, p ,
заданных в определенном порядке АВ, называется матрица С = (c i k),
элементы которой определяются по следующему правилу:
m
c i k = ai 1 b1 k + ai 2 b2 k +… + ai m bm k = ai s bs k.
s=1
Иначе говоря, элементы матрицы-произведения определяются
следующим образом: элемент i-й строки и k-го столбца матрицы С равен
сумме произведений элементов i-й строки матрицы А на соответствующие
элементы k-го столбца матрицы В.
Т.е. перемножать можно только те матрицы, у которых число столбцов
первой матрицы совпадает с числом строк второй матрицы.
Обратная матрица.
Квадратная матрица А называется невырожденной, или неособенной,
если ее определитель отличен от нуля, и вырожденной, или особенной, если
= 0.
29
Понятие обратной матрицы вводится только для квадратных матриц.
Если A – квадратная матрица, то обратной для неё матрицей называется
матрица, обозначаемая A-1 и удовлетворяющая условию A A1 A1 A E .
Справедлива следующая теорема:
Теорема. Для того чтобы квадратная матрица A имела обратную,
необходимо и достаточно, чтобы её определитель был отличен от нуля.
a 11 a 12 a 13
A a 21 a 22 a 23
a a a
31 32 33
находится следующим образом
A11 A 21 A 31
1
A
A12 A 22 A 32
A
A13 A 23 A 33
1
,
где Aij – алгебраические дополнения элементов aij данной матрицы A.
Итак, чтобы найти обратную матрицу нужно:
1.
Найти определитель матрицы A.
2.
Найти алгебраические дополнения Aij всех элементов матрицы A
и составить матрицу, элементами которой являются числа Aij.
3.
Найти матрицу, транспонированную полученной матрице А, и
умножить её на
1
– это и будет обратная матрица.
A
Аналогично для матриц второго порядка, обратной будет следующая
матрица A1
1 A11 A 21
A A12 A 22
.
Матричный метод решения СЛУ
Рассмотрим систему, состоящую из n линейных уравнений с n
неизвестными:
30
а11 х1 а12 х 2 ... а1п х п в1
а х а х ...а х в
21 1
22 2
2п п
2
...............................................
а п1 х1 а п 2 х 2 ...а пп х п в п
Вводя матрицу коэффициентов перед неизвестными А, матрицу-столбец
неизвестных Х и матрицу-столбец свободных членов В, систему можно
переписать в матричной форме:
а11
a
А * Х В, где А 21
...
a
n1
а12
a 22
...
an2
...
...
...
...
а1n
a2n
,
...
a nn
х1
в1
х2
в
Х , В 2
...
...
х
в
п
п
Предположим, что матрица А - неособенная, т.е. А ≠ 0. Решим
матричное уравнение, а следовательно и систему (4) с помощью обратной
матрицы А,
где, А =
Х А 1 * В
X=
1
* Ặ =>
А11
х1
х 2 1 А21
... ...
х
Ап1
п
1
* Ặ =>
А12 ... А1п
А22
...
А2 п
...
Ап 2
.... ....
... Апп
Для системы трех уравнений с тремя неизвестными:
а11 х1 а12 х 2 а13 х3 в1
а 21 х1 а 22 х 2 а 23 х3 в 2
а х а х а х в
32 2
33 3
3
31 1
а11
где А а 21
а
31
а12
а 22
а32
а13
х1
в1
а 23 , Х х 2 , В в 2
х
в
а33
3
3
решение запишется в виде:
31
А11
1
Х А12
А13
А21
А22
А23
А31 в1
А32 * в 2
А33 в3
Лекция №3.
Тема: «Ранг матрицы. Метод Гаусса. Система m уравнений с n
неизвестными».
Рассмотрим прямоугольную матрицу. Если в этой матрице выделить
произвольно k строк и k столбцов, то элементы, стоящие на пересечении
выделенных строк и столбцов, образуют квадратную матрицу k-го порядка.
Определитель этой матрицы называется минором k-го порядка матрицы А.
Среди всех отличных от нуля миноров матрицы А найдется по крайней
мере один минор, порядок которого будет наибольшим.
Наибольший из порядков миноров данной матрицы, отличных от нуля,
называется рангом матрицы. Если ранг матрицы А равен r, то это означает,
что в матрице А имеется отличный от нуля минор порядка r, но всякий минор
порядка, большего чем r, равен нулю. Ранг матрицы А обозначается через
r(A).
Ранг матрицы находится либо методом окаймления миноров, либо
методом элементарных преобразований. При вычислении ранга матрицы
первым способом следует переходить от миноров низших порядков к
минорам более высокого порядка. Если уже найден минор D k-го порядка
матрицы А, отличный от нуля, то требуют вычисления лишь миноры (k+1)-го
порядка, окаймляющие минор D, т.е. содержащие его в качестве минора.
Если все они равны нулю, то ранг матрицы равен k.
Элементарными называются следующие преобразования матрицы:
1) перестановка двух любых строк (или столбцов),
2) умножение строки (или столбца) на отличное от нуля число,
3) прибавление к одной строке (или столбцу) другой строки (или
столбца), умноженной на некоторое число.
Две матрицы называются эквивалентными, если одна из них
получается из другой с помощью конечного множества элементарных
преобразований.
Эквивалентные матрицы не являются, вообще говоря, равными, но их
ранги равны. Если матрицы А и В эквивалентны, то это записывается так: A
B.
Системы линейных уравнений.
32
Исторически первым, наиболее распространенным методом решения
систем линейных уравнений является метод Гаусса, или метод
последовательного исключения неизвестных.
Сущность этого метода состоит в том, что посредством
последовательных исключений неизвестных данная система превращается в
ступенчатую (в частности, треугольную) систему, равносильную данной.
При практическом решении системы линейных уравнений методом
Гаусса удобнее приводить к ступенчатому виду не саму систему уравнений, а
расширенную
матрицу
этой
системы,
выполняя
элементарные
преобразования над ее строками. Последовательно получающиеся в ходе
преобразования матрицы обычно соединяют знаком эквивалентности.
Рассмотрим
систему
трех
уравнений
с
тремя
неизвестными
а11 х1 а12 х2 а13 х3 в1
а 21 х1 а 22 х 2 а 23 х3 в 2
а х а х а х в
32 2
33 3
3
31 1
Решить систему уравнений методом Гаусса:
x + y – 3z = 2,
3x – 2y + z = - 1,
2x + y – 2z = 0.
Решение.
Выпишем расширенную матрицу данной системы
1 1 - 3 2
3 - 2 1 - 1
2 1 - 2 0
и произведем следующие элементарные преобразования над ее
строками:
а) из ее второй и третьей строк вычтем первую, умноженную
соответственно на 3 и 2:
1 1 - 3 2
1 1 - 3 2
3 - 2 1 - 1 ~ 0 - 5 10 - 7 ;
2 1 - 2 0
2 1 4 - 4
б) третью строку умножим на (-5) и прибавим к ней вторую:
1 1 - 3 2
0 - 5 10 - 7 .
0 0 - 10 13
В результате всех этих преобразований данная система приводится к
треугольному виду:
33
x + y – 3z = 2,
-5y + 10z = -7,
- 10z = 13.
Из последнего уравнения находим z = -1,3.
Подставляя это значение во второе уравнение, имеем y = -1,2.
Далее из первого уравнения получим x = - 0,7.
Ответ: (-0,7; -1,2; -1,3)
Системы m линейных уравнений с n неизвестными
Система линейных уравнений имеет вид:
a11 x1 + a12 x2 +… + a1n xn = b1,
a21 x1 + a22 x2 +… + a2n xn = b2,
… … … …
am1 x1 + am1 x2 +… + amn xn = bm.
Здесь аi j и bi (i = 1, m ; j = 1,n ) – заданные, а xj – неизвестные
действительные числа. Используя понятие произведения матриц, можно
переписать систему (5.1) в виде:
AX = B,
(5.2)
где A = (аi j) – матрица, состоящая из коэффициентов при неизвестных
системы (5.1), которая называется матрицей системы, X = (x1, x2,…, xn)T,
B = (b1, b2,…, bm)T – векторы-столбцы, составленные соответственно из
неизвестных xj и из свободных членов bi.
Упорядоченная совокупность n вещественных чисел (c1, c2,…, cn)
называется решением системы (5.1), если в результате подстановки этих
чисел вместо соответствующих переменных x1, x2,…, xn каждое уравнение
системы обратится в арифметическое тождество; другими словами, если
существует вектор C= (c1, c2,…, cn)T такой, что AC B.
Система (5.1) называется совместной, или разрешимой, если она имеет
по крайней мере одно решение. Система называется несовместной, или
неразрешимой, если она не имеет решений.
Матрица
a 11 a 12 ... a 1 n b1
a 21 a 22 ... a 2 n b 2
A =
,
... ... ... ...
a m 1 a m 2 ... a m n b m
образованная путем приписывания справа к матрице A столбца
свободных членов, называется расширенной матрицей системы.
34
Критерий совместности и единственности решения СЛУ.
Теорема Кронекера-Капелли.
Вопрос о совместности системы решается следующей теоремой.
Теорема Кронекера-Капелли. Система линейных уравнений совместна
тогда и только тогда, когда ранги матриц A иA совпадают, т.е. r(A) = r(A) =
r.
Для множества М решений системы имеются три возможности:
1) M = (в этом случае система несовместна);
2) M состоит из одного элемента, т.е. система имеет единственное
решение (в этом случае система называется определенной);
3) M состоит более чем из одного элемента (тогда система называется
неопределенной). В третьем случае система имеет бесчисленное множество
решений.
Система имеет единственное решение только в том случае, когда
r(A) = n. При этом число уравнений – не меньше числа неизвестных (mn);
если m>n, то m-n уравнений являются следствиями остальных. Если 0<r<n,
то система является неопределенной.
ЛЕКЦИЯ №№ 4-7
Векторы, линейные операции над векторами. Линии первого порядка на плоскости.
4.1. Векторы. Основные понятия и простейшие действия над векторами. Базис
и координаты.
Определение: Вектором называется направленный отрезок на плоскости или в
пространстве.
Обозначается а, АВ.
а
А
В
Длина отрезка АВ называется длиной вектора или его модулем, обозначается
│АВ│, а. Точка А-начальная точка вектора, точка В-конечная точка вектора.
35
К линейным операциям над векторами относятся операции сложения и умножения
вектора на число.
Пусть даны два вектора а и в. Суммой (а+в) векторов а и в называется вектор,
который идет из начала вектора а в конец вектора в, при условии, что вектор в
приложен к концу вектора а.
Правило сложения векторов, которое содержится в этом определении, называется
“правилом треугольника”.
в
а
а+в
Если же два вектора а и в отложить из одной точки и достроить их до
параллелограмма, то сумма а+в совпадает с большой диогональю параллелограмма, а
разность а-в с меньшей диогональю. Это правило называют правилом
параллелограмма.
а
в
Пусть заданы произвольный вектор а и некоторое число λ. Произведением вектора
а на число λ называется новый вектор, удовлетворяющий следующим условиям׃
Если λ>0, то направление нового вектора совпадает с направлением данного
вектора. Если λ<0, то направление нового вектора противоложно направлению
данного вектора.
2) Длина нового вектора равна │λ│ │а│. Если а=0 или λ=0, то результатом этого
действия является ноль-вектор.
1)
Векторы лежащие на одной прямой или на параллельных прямых, называются
коллинеарными.
Три вектора, лежащие в одной плоскости или в параллельных плоскостях,
называются компланарными.
Условие коллинеарности: вектор а коллинеарен ненулевому вектору в тогда и
только тогда, когда существует и причем единственное число λ, что имеет место
равенство а =λ·в.
Пусть даны векторы а1, а2,...аn. Любой вектор вида: α1a1+α2a2+,...αnan , где α1,α2,...αn–
некоторые действительные числа, называется линейной комбинацией векторов
а1,а2,...аn. Числа α1,α2,...αn называются коэффициентами линейной комбинации. Если
а=α1a1+α2a2+,...αnan ,то говорят, что вектор а разложен по векторам а1,а2,...аn.
Любая пара неколлинеарных векторов плоскости, взятых в определенном порядке,
называется базисом на плоскости.
Справедливо утверждение: любой вектор а на плоскости может быть разложен по
векторам ℓ1 и ℓ2 базиса этой плоскости. Причем это разложение единственно.
Другими словами, или на плоскости выбран базис ℓ1, ℓ2 и записывается в скобках а
порядке следования а={α1,α 2}.
Базисом в пространстве называется любая тройка некомпланарных векторов,
взятых в определенном порядке.
36
Справедливо утверждение: любой вектор а в пространстве может быть разложен по
векторам ℓ1, ℓ2, ℓ3 базиса пространства , причем это разложение единственно.
а=α1ℓ1+α2ℓ2+,...α3ℓ3.
Пусть в базисе (ℓ1, ℓ2, ℓ3) даны векторы а={α1,α 2 α 3 } и в={β1,β2,β3}. Справедливы
следующие правила:
1)
Каждая координата суммы двух (или более) векторов равна сумме
соответствующих координат слагаемых векторов,т.е.
а+в={ α1+ β1 ;α2+ β2 ;α3+ β3}
2)
Каждая координата разности двух векторов равна разности соответствующих
координат этих векторов, т.е.
а-в={ α1 -β1 ;α2 - β2 ;α3 - β3}
3)
Каждая координата произведения вектора на число равна произведению
соответствующей координаты данного вектора на это число, т.е.
λа={ λα1 ; λα2 ; λα3}.
Базис (ℓ1, ℓ2, ℓ3) называется прямоугольным, если векторы попарно
перпендикулярны и имеют единичную длину. В этом случае приняты обозначения ℓ 1
=i, ℓ2, =j ,ℓ3=k. (i¸j¸k-орты)
Декартовой системой координат в пространстве называется множество, состоящее
из точки О и базиса (ℓ1, ℓ2, ℓ3). Точка О называется началом координат; прямые
ОХ,ОУ,ОZ, проходящие через начало координат в направлении базисных векторов,
называются осями координат; первая- осью абсцисс, вторая-осью ординат, третьяосью аппликат. Плоскости, проходящие через пару координатных осей, называются
координатными плоскостями. Декартова система координат на плоскости
опредедяется как множество , состоящее из точки О и базиса (ℓ1, ℓ2, ).
Декартова система координат называется прямоугольной, если базис еёпрямоугольный.
Пусть А(x1 ;y1 ;z1) и B(x1 ;y1 ;z1) –две произвольные точки пространства, то
координаты вектора АВ равны х =x2-x1 , у=у2 -у1 , z= z2 - z1 ,т.е.
АВ={x2-x1;у2-у1;z2-z1}
(1)
Расстояния между двумя точками А(x1 ;y1 ;z1) и B(x1 ;y1 ;z1) вычисляется по
формуле
АВ ( х 2 х1 ) 2 ( у 2 у1 ) 2 ( 2 1 ) 2
(2)
В частности , если точка М делит отрезок АВ пополам, то формулы для
определения координат точки М записывается следующим образом:
х=(х1+х2)/2 ; у=(у1 +у2 )/2; z= (z1 + z2)/2
(3)
37
Определение. Скалярным произведением двух ненулевых векторов а и в
называется число (скаляр), равное произведению длин этих векторов на косинус угла
между ними и обозначается а∙в или (а∙в), т.е.
а∙в=|а|∙|в|∙cosφ
где φ=(а,в), o≤φ≤π.
(4)
Если из двух векторов хотя бы один нулевой, то скалярное произведения их
принимается равным нулю.
4.2. Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов. Свойства
скалярного произведения.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Два ненулевых вектора а и в перпендикулярны тогда и только тогда, когда их
скалярное произведение равна нулю, т.е. а∙в=o
Два ненулевых вектора а и в только тогда, когда их скалярное произведение
положительно (отрицательно) т.е. аo∙в<o).
а∙в=в∙а (переместительный закон).
(λа)∙в=λ(а-в) (сочетательный закон по отношению к умножению вектора на
число).
а∙(в∙c)=а∙в+а∙c (распределительный закон по отношению к сумме векторов).
а * а а2 ,
а2 а а а2
2
Выражение а∙а называют скалярным квадратом и обозначают а2 .
7. Если два вектора а и в определены своими координатами
а={x1 ;y1 ;z1}, в={x1 ;y1 ;z1}, то скалярное произведение этих векторов равно сумме
попарных произведений их соответствующих координат, т.е.
а∙в=х1х2+у1у2+z1z2
(5)
а х 2 у 2 2
Длина вектора а=(x1 ;y1 ;z1) вычисляется по формуле
Угол между векторами а={x1 ;y1 ;z1} и в={x2;y2 ;z2} определяется по формуле
cos
х1 х 2 у1 у 2 1 2
х12 у12 12 х 22 у 22 22
(6)
Пусть а={x1 ;y1 ;z1} –ненулевой вектор, α,β,γ-углы между этим вектором и ортами i,
j, k соответственно. Тогда cosα, cosβ, cosγ называются направляющими косинусами
вектора а.
Направляющие косинусы вектора а={x1 ;y1 ;z1} находится по формулам:
cos
х
х2 у 2 2
; cos
у
х2 у 2 2
; соs
х2 у 2 2
;
(7)
Они удовлетворяют тождеству cos2α+ cos2β+ cos2γ=1 и являются координатами
единичного вектора, сонаправленного с векторами а.
38
Определения. Векторным произведением ненулевых векторов а и в называется
вектор с, удовлетворяющий следующим условиям:
1. длина вектора с равна произведению длин векторов а и в на синус угла между
ними, т.е. │c│=│a│∙│в│∙sin(a,в);
2. вектор с перпендикулярен каждому из векторов а, в;
3. вектор с направлен так, что тройка векторов а, в, с является правой (т.е.
подчиняются правилу “правой” руки).
Обозначается векторное произведение а*в или [а*в].
Свойства векторного произведения
Модуль (длина) векторного произведения численно равна площади S
параллелограмма, построенного на векторах а,в приведенных к общему началу
(геометрический смысл векторного произведения).
2. а*в =-в*а (антипереместительности).
3. (λа)*в=λ(а*в) (сочетательный закон по отношению к числовому относителю).
4. а+в*с= а*с+в*с (распределительный закон).
5. а*а=0
6. Если векторы а и в заданы своими координатами:
а={x1 ;y1 ;z1} и в={x1 ;y1 ;z1}, то их векторные произведение выражается следующей
формулой:
1.
i
j
a в x1
x2
y1
y2
k
y
z1 1
y2
z2
z1
z2
i
x1
z1
x2
z2
j
x1
y1
x2
y2
k
(8)
Опредедение. Смешанным произведением упорядоченной тройки ненулевых
векторов а,в,с, называется число, равное скалярному произведению вектора а*в на
вектор с.
Обозначается смешанное произведение а∙в∙c. Если хотя бы один из трех векторов
а,в,с нулевой, то их смешанное произведение считается равным нулю.
Смешанное произведение некомпланарных векторов а,в,с, равно обьему
паралеллепипеда, построенного на приведенных к общему началу векторах а,в,с
взятому со знаком плюс, если тройка а,в,с правая, и со знаком минус, если тройка а,в,с
– левая (геометрический смысл смешанного произведения).
Необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов а,в,с
является равенство нулю их смешанного произведения.
Свойства смешанного произведения
1. (а*в)∙c=a(в*c) (сочетательный закон).
2. (а*в)∙c=-(в*а)∙c (закон круговой переместительности).
(в*с)∙а=-(с*в)∙a
(с*а)∙а=-(а*с)∙в
3. (а1+,а2)в∙с=a1∙в∙c+ a2∙в∙c
4. (λа)∙в∙c=a.(λв)∙c=a∙в.(λс)=λ∙(a∙в∙c) (распределительный относительно числового
множителя закон).
39
Если векторы а.в.с заданы своими прямоугольными координатами а={x 1; y1; z1} ,
в={x1; y1; z1}, с={x1; y1; z1}, то их смешанное произведение вычисляется следующим
образом:
х1
авс х 2
х3
у1
у2
у3
1
2
3
(9)
4.3. Понятие об уравнении линии. Различные уравнения прямой.
Пусть дано уравнение
у=ƒ(x),
(10)
а в системе ОХУ дана линия Z .
Определение. Если координаты любой точки линии удовлетворяют уравнению
у=ƒ(x), а координаты точек, не лежащих на линии , не удовлетворяют данному
уравнению, то уравнение (1) называется уравнением линии.
Уравнение вида (10) называется уравнением в явном виде, в неявном виде его вид
F(x;y)=o.
Например:у=5/6х –уравнение линии в явном виде, 5х-6у=o-неявный вид этого же
уравнения.
Определение. Всякий вектор, перпендикулярный данной прямой, называется
нормальным вектором.
n
ℓ
Нормальный вектор обозначается через n, каждая прямая имеет бесчисленное
множество нормальных векторов.
Пусть задан нормальный вектор n={A;B} и точка М0(x0;y0) некоторой прямой а на
координатной плоскости ОХУ.
40
У
а
n
М0
М
Х
Требуется составить уравнение прямой по этим данным. Выберем произвольную
точку М(x;y) прямой а.Составим вектор М0 М ={x-x0; y- y0 }, n перпендикуляр М0 М,
т.к. вектор n нормальный вектор прямой а, то он перпендикулярен любому вектору на
прямой а. Отсюда следует, что скалярное произведение n∙М0 М=o, т.е. в координатной
форме:
А(x-x0 )+В(y- y0) =0
(11)
Получили уравнение прямой, проходящее через данную точку, перпендикулярно
вектору n.
Раскроем скобки в (11):
Ах+Ву-Ах0-Ву0=0, обозначим – Ах0-Ву0=С
Ах+Ву+С=0 (11)- это общее уравнение прямой.
Частные случаи общего уравнения прямой
1. При С=0 уравнение Ах+Ву=0 определяет прямую, проходящую через начало
координат
2. При А=0 уравнение Ву+С=0 определяет прямую, параллельную оси Ох.
При В=0 уравнение Ах+С=0 определяет прямую, параллельную оси Оу.
3. При А=С=0 уравнение Ву=0 определяет ось Ох.
При В=С=0 уравнение Ах=0 определяет ось Оу.
Без вывода запишем уравнение прямой, проходящей через две точки М1 (x1;y1) и М2
(x2;y2);
(х -x1)/( x2-x1) =(у -у1)/( у2-у1).
Определение. Всякий вектор параллельный
направляющим вектором этой прямой.
данной
прямой,
называется
Пусть задан направляющий вектор прямой а={ℓ;m} и точка М0(x0;y0). Тогда
каноническое уравнение прямой записывается следующим образом.
(х –x0)/ ℓ= (у -у 0 )/ m
(12)
41
Определение. Углом наклона прямой а к оси ОХ называется угол между
положительным направлением оси ОХ и направляющим вектором прямой а.
у
а
а
а
φ
х
φ-угол наклона.
Определение. Угловым коэффициентом прямой называется тангенс угла наклона
этой прямой к оси ОХ.
Обозначается k=tgφ.
Тогда уравнение прямой с угловым коэффициентом k и проходящее через данную
точку М0(x0;y0) следующее: y- y0= k (х –x0). (13)
Угол между двумя прямыми на плоскости
Условия параллельности и перпендикулярности прямых
l1 : А1 х В1 у С 0
l 2 : А2 х В2 у С 0
n1 ( A1 ; В1 )
n2 ( А2 ; В2 )
cos
A1 A2 B1 B2
A B12 A22 B22
2
1
Условие параллельности прямых l1 и l 2 :
A1 B1
A2 B2
Условие перпендикулярности прямых l1 и l 2 :
42
A1 A2 B1 B2 0
Расстояние от точки до прямой
Т/н: расстояние d от точки М 0 ( х0 ; у 0 ) до прямой l , заданной общим уравнением
Ах Ву С 0
d
Ax0 By 0 C
A2 B 2
Деление отрезка в данном отношении .
x
x1 x2
y y 2
;y 1
1
1
2.4. Плоскость. Различные виды уравнении плоскости. Прямая в
пространстве. Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку.
М 0 ( х0 ; у0 ; z 0 ) n A; B; C M ( x; y; z )
M 0 M x x0 ; y y 0 ; z z 0
Ax x0 B y y 0 C z z 0 0
(1)
- уравнение плоскости, проходящей через заданную точку М 0 ( х0 ; у0 ; z 0 ) и
перпендикулярной вектору n A; B; C .
Общее уравнение плоскости
Ax x0 B y y0 C z z 0 0
Раскрыв скобки, и обозначив - Ax0 By 0 Cz 0 D ,
Получаем
Ax By Cz D 0 - общее уравнение плоскости.
Уравнение плоскости, проходящей через три точки
M 1 x1 ; y1 ; z1 ; M 2 x 2 ; y 2 ; z 2 ; M 3 x3 ; y 3 ; z 3
x x1
y y1
z z1
x 2 x1
x3 x1
y 2 y1
y 3 y1
z 2 z1 0
z 3 z1
43
Угол между двумя плоскостями.
Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей
А1 х В1 у С1 z D 0
А2 х В2 у С 2 z D 0
n1 A1 ; B1 ; C1
n2 A2 ; B2 ; C 2
cos
A1 A2 B1 B2 C1C 2
A B12 C12 A22 B22 C 22
2
1
Условие параллельности плоскостей
А1 В1 С1
А2 В2 С 2
Условие перпендикулярности плоскостей
A1 A2 B1 B2 C1C2 0
Расстояние от точки до плоскости
Т/н: расстояние
уравнением
d от точки М 0 ( х0 ; у0 ; z 0 ) до плоскости, заданной общим
Ах Ву Сz D 0
d
Ax0 By 0 Cz 0 D
A2 B 2 C 2
Прямая в пространстве
Прямая может быть задана уравнениями двух плоскостей.
А1 х В1 у С1 z D1 0
А2 х В2 у С2 z D2 0
пересекающихся по этой прямой.
M x2 ; y 2 ; z 2
Уравнения прямой, проходящей через две точки M x1 ; y1 ; z1 и
x x1
y y1
z z1
x2 x1 y 2 y1 z 2 z1
44
Канонические уравнения прямой.
М 0 x 0; y 0 ; z 0 s m; p; q M x; y; z
M 0 M x x0 ; y y 0 ; z z 0
x x0 y y 0 z z 0
m
p
q
Параметрические уравнения прямой в пространстве
x
y
z
x0 mt
y0
z0
pt
qt
Угол между прямыми.
cos
m1 m2 p1 p 2 q1 q 2
m12 p12 q12 m22 p 22 q 22
2.5. Простейшие кривые второго порядка.
Определение. Кривыми второго порядка на плоскости называются линии, которые
аналитически определяются уравнениями второй степени относительно переменных
координат Х и У.
Общее уравнение линии второго порядка имеет вид :
Ах2+2Вху+Су2+2Dх+2Еу+F=0.
К ним относятся окружность, эллипс, гипербола, парабола.
Определение. Окружностью радиуса R c центром в т. М называют множество всех
точек плоскости, равноудаленных от точки М.
Пусть центр окружности задан в точке О1(x1;y1), радиус равен R. Тогда уравнение
окружности принимает вид:
(х –x1) 2+ (у –у1)2= R2
у
у1
х1
х
45
Определение. Эллипсом называется множество точек плоскости, для каждой из
которых сумма расстояний от двух заданных точек, называемых “фокусами”, есть
величина постоянная и равная 2а.
( x c ) 2 y 2 ( x c ) 2 y 2 2a
a2 c b2
2
x2 y2
1
a2 b2
– каноническое уравнение
b
m
F2Z2
-a
-c
a
F1
-b
(х2 /а2 )+(у2 /в2 )=1 –
каноническое уравнение эллипса.
а –большая полуось
в –малая полуось
F1 (-с; о), F2 (с; о)-фокусы.
Определение. Гиперболой называется множество точек плоскости, для каждой из
которых разность расстояний до двух данных точек плоскости постоянна и равна 2а.
Данные точки называются фокусами параболы.
(х2 /а2)-(у2 /в2 )=1-каноническое уравнение гиперболы.
( х с) 2 у 2 ( х с) 2 у 2 2
b
F1
-C -a
C
-b
46
Прямые у=±(в/а)х называются асимптотами гиперболы.
Определение. Параболой называется множество точек плоскости, для каждой из
которых расстояние до заданной точки равна расстоянию до заданной прямой, не
проходящей через данную точку. Данная точка называется фокусом параболы, данная
прямая называется директрисой. Расстояние от фокуса до директрисы называется
фокальным параметром параболы и обозначается р. Канонические уравнение
параболы имеют следующий вид:
у2 =2рх (парабола симметрична относительно оси ОХ)
х2 =2ру (парабола симметрична относительно оси ОУ)
d
P
2
y2=2px
M
Фокус
P
2
Практические занятия к теме 2.
Задача 1.
Даны координаты точек А(1;2;3), В(2;-1;2). Найти вектор АВ и его длину.
Решение:
Подставим
координаты
точек
А
и
В
АВ х2 х1 ; ( у2 у1 ); ( 2 1 ) АВ {2 - 1,-1- 2,2 - 3} {1,-3,-1}
в
формулу
АВ х 2 у 2 2 12 (3) 2 (1) 2 1 9 1 11
Задача 2.
В треугольнике с вершинами А(5;4),В(-1;2), С(5;1)
Проведена медиана АД. Найти ее длину.
Решение:
Точка Д делит отрезок ВС пополам, поэтому ее координаты находятся по
следующим
формулам:
47
х1 х 2
у у2
1 5
2 1 3
2; у 1
2
2
2
2
2;
3
Д(2; 2 ).
Тогда длина медианы АД равна:
х
3
5
25
61
61
АД ( х2 х1 ) 2 ( у 2 у1 ) 2 (2 5) 2 ( 4) 2 (3) 2 ( ) 2 9
2
2
4
4
2
Задача 3.
2
;
3
Векторы а и в образуют угол
зная, что |а|=3; в|=4, вычислить:
а) а. в,
б) а²
в) (а+в)²
Решение:
2
1
а * в а в cos ; 3 * 4( ) 6
3
2
А) По определению
Б) По свойству 4 получим, что а²=|а|²=3²=9
В) Применяя последовательно свойства 3,1,4, получим:
(а+в)²=(а+в)(а+в)=а²+ва+ав+в²= а²+2ав+ в²=9-12+16=13
Задача 4
Даны векторы а={4;-2;-4}и в={6;-3;2}. Вычислить а в
Решение:
а * в х1 х2 у1 у 2 4 * 6 2 * (3) 4 * 2 22
1 2
Задача 5.
3
В пространстве даны векторы а={1;5;1}и в={1;-5;2}, с=={2;1; 2 }. Вычислить их
попарные скалярные произведения и по этим произведениям указать, образуют ли они
острый, прямой или другой угол.
Решение:
Вычислим скалярное произведение векторов через их координаты:
3
1
ав х1 х 2 у1 у 2 1 25 2 22; ас 2 5 8
1 2
2
2
в с=2-5+3=0
Это означает, что векторы а и в образуют тупой угол, а и с – острый угол, а в и с
образуют прямой угол
Задача 6
Определить координаты и длину вектора а в, если а=j; в=2 i-j+ 3k
Решение:
Координаты векторов а и в можно записать в следующем виде:
48
а={0;1;0} и в={2;-1;3}. По формуле векторного произведения в прямоугольных
координатах запишем:
i
j
k
1 0
0 0
0 1
ав 0 1 0
i
j
k 3i 2k
1 3
2 3
2 1
2 1 3
а в 3;0;2
а в 3 2 (2) 2 13
Задача 7
Пользуясь векторным произведением, вычислить площадь треугольника АВС с
вершинами в точках А (2;1;0), В(-3;-6;4),С(-2;4;1).
Решение:
Рассмотрим векторы АВ={-5;7;4} и АС=={-4;3;1} (необходимо, чтобы они
исходили из одной точки).
i
j
k
АВ АС 5 7 4 19i 11 j 43k ;
4 3 1
АВ×АС=={-19;-11;-43}.
Площадь треугольника АВС равна по величине половине площади
параллелограмма, построенного на векторах АВ и АС. Согласно геометрическому
смыслу векторного произведения
S =
1
1
1
| АВ * АС |=
(19) 2 (11) 2 (43) 2
2331
2
2
2
Задача 8
Найти смешанное произведение векторов и определить ориентацию тройки
векторов
а={-2;-3;1}, в={1;1;2}, с={3;1;-1}.
Решение:
По формуле
х1
у1
авс х2
х3
у2
у3
1
2
3
49
2 3
авс 1
3
1
1
1
2 29
1
Имеем
Векторы а,в,с образуют левую тройку
Задача 9
Даны две точки А(-2;3) и В(4;6). Требуется составить уравнение прямой,
проходящие через две данные точки.
Решение:
х х1
у у1
Уравнение прямой, проходящей через две данные точки х2 х1 у 2 у1 .
х (2) у 3
;
Подставим координаты точек А и В: 4 (2) 6 3
3(х+2)=6(у-3)
х+2=2(у-3)
х2 у 3
;
6
3
х-2у+8=0.
Полученное уравнение запишем в общем виде Ах+Ву+С=0, где А=1, В=-2координаты нормального вектора n={А;В}.
Задача 10.
Найти угол, образованный прямыми 3х+у-6=0, 2х-у+5=0.
n 3;1 n2 2;1
Выпишем 1
, это нормальные вектора прямых. Тогда, чтобы
найти угол между прямыми, достаточно найти угол между их параллельными
векторами
cos
Х 1 Х 2 У1У 2
х12 у12 х22 у 22
3 2 1 (1)
9 1 4 1
5
50
5
5 2
2
2
45
Задача 11
Заданы прямая 2х-у+1=0 и точка М(-1;2). Требуется написать уравнение прямой,
проходящей через точку М:
А) параллельно данной прямой;
Б) перпендикулярно данной прямой.
Решение:
А
2 (к )
В
Выпишем угловой коэффициент данной прямой, он равен
50
Используем уравнение прямой с угловым коэффициентом к и точкой, через
которую проходит искомая прямая: у-у 0 = у у1 ( х х1 ) .
А) В случае параллельности двух прямых к1 к 2 2 и уравнение искомой прямой
Следующее: у - 2 2( х 1) 2 х у 4 0
1
Б) В случае перпендикулярности двух прямых 1 = 2 =- 2 .
1
у 2 ( х 1) 2 у 4 х 1 х 2 у 3 0.
2
И уравнение искомой прямой:
1
Задача 12.
Составить каноническое уравнение эллипса, фокусы которого лежат на их
абсциссе, симметрично относительно начала координат, зная, что его полуоси равны 5
и 2, построить эллипс.
Решение:
х2 у2
2 1.
2
в
По условию а=5,в=2. Каноническое уравнение эллипса а
х 2 у2
1.
Подставим данные 5 и 2 в уравнение: 25 4
Для построения сначала строим вспомогательный прямоугольник со сторонами 2а
и 2в. Затем вписываем туда эллипс.
Контрольные вопросы и задания к теме 2.
1. Определение вектора.
2. Линейные операции над векторами.
3. Координаты вектора, длина вектора.
4. Базис на плоскости, в пространстве.
5. Коллинеарные векторы (определение)
6. Компланарные векторы (определение)
7. Декартова прямоугольная система координат в пространстве.
8. Скалярное произведение векторов.
9. Выражение скалярного произведения в координатной форме.
10. Векторное произведение векторов.
11. Векторное произведение векторов в координатной форме.
12. Геометрический смысл векторного произведения.
13. Смешанное произведение векторов.
14. Смешанное произведение векторов в координатной форме.
15. Геометрический смысл смешанного произведения.
16. Уравнение линии на плоскости.
17. Общее уравнение прямой.
18. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки.
19. Определение окружности.
20. Эллипс, определение и каноническое уравнение.
21. Гипербола. Каноническое уравнение параболы.
51
Задачи к теме 2
1.
а 2;3;1, в 0;1;4, с 1;0;3. Определить координаты
следующих векторов: а) р1 2а в 2с, б) р2 а в 3с.
Даны векторы:
2. Даны три вершины параллелограмма: А(2; 5; 4), В(0; 1; 0), С(4; 1; 3). Найти
координаты четвертой вершины.
3. Доказать, что четырехугольник, вершины которого находятся в точках А(7; 2; 4),
В(4; -2; 2), С(6; -7; 8), Д(9, -1, 10) является квадратом.
4. Вычислить, какую работу производит сила f={3;-5;2}, когда ее точка приложения
перемещается из начала в конец вектора S= {2;-5;}, (Работа = f S ).
5. Определить косинус угла между векторами, заданными в пространстве:
а1 2;2;1, в1 3;0;4
а 2 0;1;5, в 2 7;5;1
6. Пользуясь векторным произведением, вычислить площадь треугольника АВС в
каждом из случаев:
А(4;2;3), В(5;7;0), С(2;8;-1)
А(6;5;-1), В(12;1;0), С(1;4;-5).
7. Установить, компланарны ли векторы а 2;3;1, в 1;1;3, с 1;9;11.
8. Найти объем тетраэдра, построенного на векторах
АВ 2;0;0, АС 3;4;2;, АД 3;4;2;
9. Составить уравнение сторон треугольника, зная его вершины А(3; 5), В(6;1), С(-2;3).
2
2
По заданному уравнению 16 х 9 у 144 гиперболы найти ее полуоси, координаты
фокусов, уравнение
ЛЕКЦИЯ №№ 11-14
Тема: «Производная функции в точке. Таблица производных,
правила дифференцирования. Дифференциал функции».
Механический, геометрический, экономический смысл
производной.
Рассмотрим 3 задачи, приводящие к понятию производной.
Задача 1.
Вычисление мгновенной скорости неравномерного движения.
52
Материальная точка движется прямолинейно из начального положения
О. Закон ее движения описывается функцией f , выражающей зависимость
пути S от времени t.
S=f(t).
Пусть f(t) – путь. Пройденный точкой к моменту времени t ,
F(t+∆t) –путь, пройденный его к моменту времени t+∆t. Ясно, что за
отрезок времени ∆t точка прошла расстояние, равное
∆S=f(t+∆t)-f(t)
(1)
F(t)
f(t+∆t)
Разделив ∆S на ∆ t , получим величину средней скорости, с которой
двигалась точка в течение указанного времени:
ср
S f (t t ) f (t )
t
t
(2)
Скорость движения в каждый конкретный момент времени может
существенным образом отличаться от средней скорости. Однако, чем короче
отрезок времени t , тем меньше различие между этими скоростями. Поэтому
для получения такой характеристики скорости в момент времени t найдем
предел отношения
S
t
при условии что
t 0 ( т. Е. t t t отрезок
стягивается в точку). Если указанный предел существует, то он дает
величину скорости в момент времени t:
t m
t 0
S
f t t f t
m
t
0
t
t
(3)
Задача 2
Угловой коэффициент касательной к графику функции.
Прежде всего, дадим определения секущей и касательной
Определение Прямая, проходящая через точку M1 x1 , f x1 и M 2 x2 , f x2
называется секущей для кривой y f x .
53
Пусть теперь т . М2 вдоль по кривой движется в направлении точки М1.
При этом секущая М1 М2 вращается округ точки М1. В момент совпадения
М2 с М1 она примет некоторое положение М1 Т. Прямую М1 Т и будем
называть касательной к графику функции y f x в точке М1.
Определение: Касательная к графику функции y f x в точке М1
называется предельное положение М1 Т секущей М1 М2 при условии, что т.
М2 вдоль по кривой стремится к М1.
Вспомним также, что угловой коэффициент прямой равен тангенсу угла
наклона этой прямой к положительному направлению оси абсцисс.
Наша задача заключить в отыскании углового коэффициента
касательной.
Когда т. М2 двигаясь по кривой приближается к точке М1 , угол
наклона секущей М1 М2 к положительному направлению оси ОХ стремится к
углу наклона касательной к этому направлению. При этом в силу
непрерывности тангенса tg будет стремиться к tg . Из прямоугольного
треугольника М1 М2 N следует, что
tg
y f x1 x f x1
x
x
тогда
кас tg m
x 0
f x1 x f x1
x
(4)
Задача 3
Предельные издержки производства.
Обозначим через хо объем производства некоторой продукции, а через
К – суммарные затраты или издержки производства . Производственная
функции (функции затрат) описывает зависимость издержек производства К
от объема Х выпускаемой продукции:
54
K= f(x)
Если объем производства увеличится на x единицу, то затраты
возрастут на
K f x x f x единицу.
Средне приращение издержек выражает:
k
.
x
Под предельными издержками производства понимают предел среднего
приращения издержек при безграничном уменьшении x , т.е.
k
f ( x x) f ( x)
lim
x 0 x
x 0
x
lim
(5)
Предел (5) выражает дополнительные затраты по производству
продукции при увеличении объема производства на малую единицу, если
исходный объем производства составляет х единицу. Что же объединяет эти
3 совершенно разные по содержанию задачи?
Обратимся к равенствам (3), (4), (5). Как видно, решение каждой из задач
приводит к необходимости нахождения предела отношение приращению
аргумента, когда последнее стремиться к нулю.
В общем виде схема решения всех рассмотренных выше задач может
быть представлена в виде следующих четырех логических шагов:
1. аргумент получает приращения x
2. это приводит к изменению значения функции y f ( x x) f ( x)
3. вычисляется среднее приращение функции
4. находить lim
x 0
y
x
y
f ( x x) f ( x)
lim
x x0
x
По такой же схеме решаются задачи на отыскание плотности тела в
данной точке, скорости протекания химической реакции в данный момент
времени, скорости изменения спроса на товар при данной цене и т.д.
Определение:
Предел
отношения
приращения
функции
к
соответствующему приращению аргумента при условии, что последнее
стремиться к нулю, и если указанный предел существует и конечно, он
называется производной функции в данной точке.
Обозначается: f ( x) lim
x 0
y
f ( x x) f ( x )
dy df
lim
y x ;
;
;
.
x x0
x
dx dx
Из определения производной и трех рассмотренных задач вытекает:
55
1. механический смысл производной в данной точке – мгновенная
скорость прямолинейного движения в данный момент;
2. геометрический смысл производной в данной точке – угловой
коэффициент касательной к графику функции в данной его точке;
3. экономический смысл производной в данной точке – предельные
издержки производиться при данном его объеме,
Определение:
Функции,
имеющие
производные,
называется
дифференцируемыми,
а
процесс
нахождения
производных
–
дифференцированием.
Из истории: Первые попытки в создании дифференциальных исчислений
были сделаны французским математиком и философом Рене Декартом (15961650), французским математиком и юристом Пьером Ферма (1601-1665) и
другими ученными XVII в. Оформление дифференцируемого исчисления как
самостоятельного раздела математики связано с именами английского
физика и математика Исаака Ньютона (1643-1727) и немецкого ученого,
физика, математика, юриста, историка Готфрида Лейбница (1646-1716).
(Тейлор, Маклорен, Леонард Эйлер, Коши, Карл Гаусс).
Свое завершение классическое дифференциальное исчисление получило
в трудах немецкого математика Карла Вейерштрасса (1815-1897).
Основные правила дифференцирования.
1. Если функции U(x) и (x) дифференцируемы на некотором интервале,
то на этом интервале (U ( x) ( x)) U ( x) ( x) , т.е. производная суммы
(разности) функций равна сумме (разности) производных этих функций.
2. Если функций U(x) и (х) диффференцируемы на некотором
интервале, то на этом интервале (U ( x) ( x)) U ( x) ( x) U ( x) ( x) или короче
(U ) U U
3. Пусть функции U ( x) и ( x) диференцируемы на интервале (a;b). Если
( x) 0,то (
U
U U
U ( x)
U ( x) ( x) U ( x) ( x)
или короче ( )
.
)
2
2
( x)
( x)
4. y=CU(x), y C U ( x) постоянная коэффициента можно вынести за знак
производной.
Таблица производных
56
у = сonst; y’=0
у
х ; у1
1
2 х
y=sinx; y’=cosx
y=tgx; y’=
1
соs 2 x
y=a x ; y’ = a x lna
y=log a x ;
y’=
1
1 х2
y=arctgx;
y’=
у
1
1
; у1 2
х
х
y=cosx; y’= -sinx;
y=ctgx; y’= 1
sin 2 x
y=e x ; y’= e x
y=lnx, y’=
1
х ln a
y=arcsinx;
y’=
y= x n ; y’= * х а 1
1
1 х2
y=arccosx;
у1
1
х
-
1
1 х2
y=arcctgx;
у1
1
1 х2
Производные высших порядков
Пусть функция y f x дифференцируема отрезке [ a, b ] значения
производной y `( x ) , вообще говоря, зависит от х, т. Е. производная
y `( x ) представляет собой тоже новую функцию от х.
Дифференцируя эту функцию, мы получаем так называемую вторую
производную 2-го порядка или второй производной от первоначальной
функции, и обозначается символом y или y (х): y ( y) f ( x)
Пример:
y x5 то
y 5 x 4 , y 20 x3
Производная от второй производной называется производной 3-го
порядка или 3-й производной от функции обозначается через y или y( x)
Вообще, производной n-го порядка от функции f(x) называется
производная от производной (n-1)-го порядка и обозначается символом
y ( n ) или f ( n ) ( x) .
Производная 4,5 и высших порядков обозначаются также
IV
y , yV , yVI (римские цифры)
Пример:
y e Rx ( R const )
57
у Re Rx
y R 2 e Rx
y R 3 e Rx
...............
y n R n e Rx
Пример:
у sin x
y ' cos x
y ' ' sin x
y ' ' ' cos x
...............
Дифференциал.
Пусть функция y=f(x) дифференцируема на [a,b]. Производная этой
функции в некоторой точке х отрезка [a,b] определяется равенством:
y
f ( x)
x 0 x
lim
Отношение
y
при
x
x 0
стремиться к определенному числу f ( x ) и
следовательно, отличается от производной f ( x ) на величину бесконечно
малую:
y
= f ( x) , где
x
a 0
при
x 0
Умножая последовательно равенство на x1 получим:
y f ( x) x a x
1)
т.к. в общем случае f ( x ) 0, то при постоянном х и переменном
x 0 произведение
f ( x) x есть бесконечно малая величина первого порядка
относительно x . Произведение же a x есть бесконечно малая величина
высшего порядка относительно x , т.к.
lim
x 0
a x
lim a 0
x 0
x
58
Таким образом, приращение y функции состоит из 2-х слагаемых, из
которых первое слагаемое есть так называемое главная часть приращения,
линейная относительно x произведение f ( x) x называют дифференциалом
функции и обозначают через dy или df(x).
Таким образом, если функция y=f(x) имеет производную f ( x ) на
приращение x аргумента называется дифференциалом функции и
обозначается символом dy
dy f ( x) x
(2)
Найдем дифференциал функции y=x, в этом случае
y x 1 ,
и следовательно, dy = dx = x или dx = x . Таким образом,
дифференциал dx независимого переменного х совпадает с его приращением
x . Равенство dx = x можно было бы рассматривать также как определение
дифференциала независимого переменного, и тогда рассмотренный пример
показал бы, что это не противоречит определению дифференциала функций.
В любом случае формулу (2) можем записать так:
dy f ( x) dx
Но из этого соотношения следует, что f ( x)
dy
dx
Следовательно, производную f ( x ) можно рассматривать как отношение
дифференциала функции к дифференциалу независимого переменного.
Вернемся к выражению (1), которое с учетом (2) перепишем так:
y dy ax
(3)
Таким образом, приращение функции отличается от дифференциала
функции на величину бесконечно малую высшего порядка относительно x .
Если f ( x) 0 , то ax является бесконечно малой высшего порядка и
относительно dy и
y
ax
a
1 lim
1 lim
1
x 0 dy
x 0 f ( y ) x
x 0 f ( x)
lim
Поэтому в приближенных
приближенное равенство:
вычислениях
иногда
используют
59
y dy
(4)
или в развернутом виде
f ( x x) f ( x) f ( x) x
(5)
f ( x x) f ( x) f ( x) x
(6)
что значительно сокращает вычисления.
Пример:
Найти дифференциал dy и приращение y функции y x 2
1) при произвольных значениях х и x
2) при х=20, x =0
Решение:
1) y ( x x)2 x2 2 xx x2
dy=(x2)’ x =2x x
2)если х=20, x =0,1
y =2*20*0,1+0,12=4,01
dy = 2*20*0,1=4
Погрешность при замене y на dy равна 0.01 (можно считать очень
малой по сравнению с 4.01 и пренебречь).
Пример:
f(x)= x , то формула (6)
дает: f ( x x) f ( x) f ( x)x
x dx x
1
2 x
x
если: х=1, x = a , то
1
1 1
2
Задача нахождения дифференциала функций равносильна нахождению
производной, поэтому основные теоремы и формулы сохраняют свою силу и
для дифференциалов.
60
1. Дифференциал суммы двух дифференцируемых функций U и равен
сумме дифференциалов этих функций: d (U ) du d
2. Дифференциал произведения 2-х дифференцируемых функций U и
определяется формулой:
d (uv) udv vdu
3. Дифференциал частного 2-х дифференцируемых функций U и ,
причем 0 , определяется формулой: y
U
U
U U
2
, то
( dy
)
4. d(cu)=cdu
Пример:
1) y tg 2 x
dy 2tgx
1
dx
cos 2 x
2) y 1 ln x
dy
1
1
dx
2 1 ln x x
3) y sin x , найти dy
Представим данную функцию как сложную
у = sin U, U= x
dy cos U
1
2 x
dx , но т.к.
1
2 x
dx du то dy cos U du или dy cos( x )d ( x )
Из примера 3) можно записать важное свойство дифференциала,
называемое инвариантностью формы дифференциала: форма дифференциала
не зависит от того, является аргумент функции независимой переменной или
функцией другого аргумента.
Геометрический смысл дифференциала.
Рассмотрим функцию у=f(x) и
соответствующей ей кривую.
Возьмем на кривой у = f(x)
произвольную точку М (х;y), проведем
61
касательную к кривой в этой точке и обозначим через угол, который
касательная образует с положительным направлением оси ОХ. Дадим
независимому переменному приращение x , тогда функция получит
приращение y NM1 . Значениям x x , y y на кривой y f ( x) будет
соответствовать точка M1 ( x x, y y) . Из MNT находим: NT MN tg , т.к.
tg f ( x), MN x , то NT f ( x) x , но согласно определению дифференциала
f ( x) x dy , таким образом NT dy .
Последнее равенство означает, что дифференциал функции f ( x) ,
соответствующий данным значением х и x , равен приращению ординаты
касательной к кривой y f ( x) в данной точке х.
( x 3 1)
1.
sin 3 x
б ) y x 4 tg (ln x)
a) y
2. Найти приближенные значения функции f ( x) 5 10 x 2 при x 3,16
исходя из ее точного значения при x 3 .
Лекция №8.
Тема: «Исследование функции с помощью производной».
Экстремум функции.
Определение: Функция f (x) называется возрастающей в точке x 0 , если в
некоторой окрестности этой точки f ( x0 h) f ( x0 ) f ( x0 h) , при любом
положительном h
Определение: Функция f (x) называется возрастающей на отрезке a; b ,
если для любых x1 и x 2 на этом отрезке f ( x1 ) f ( x2 ) , когда x1 x2
Определение: Функция f (x) называется убывающей на отрезке a; b ,
если для любых x1 и x 2 на этом отрезке f ( x1 ) f ( x2 ) , когда x1 x2
Достаточные признаки возрастания и убывания функции.
y f (x) (в точке и на отрезке):
если y ' 0 , то функция возрастает;
если y ' 0 , то функция убывает
62
Функция f (x) имеет минимум в точке x 0 , если существует такая
окрестность точки x 0 , что для всех 0 из этой окрестности выполняется
неравенство f ( x0 ) f ( x0 x)
Функция f (x) имеет максимум в точке x 0 , если существует такая
окрестность точки x 0 , что для всех 0 из этой окрестности выполняется
неравенство f ( x0 ) f ( x0 x) .
Точки максимума и минимума называют точками экстремума, а
значения функции в этих точках называются экстремумами функции.
Необходимое и достаточное условие существования экстремума.
Необходимое условие экстремума. Функция y f (x) может иметь
экстремум только в точках, где y ' 0 или не существует. Такие точки
называются критическими.
Достаточные условия экстремума.
1) Если функция f (x) непрерывна в точке x 0 и имеет в некоторой
окрестности x 0 , кроме, быть может, точки x 0 , конечную производную и
если при переходе через x 0 :
y ' меняет знак с «+» на «-« , то f ( x0 ) y max ,
y ' меняет знак с – на +, то f ( x0 ) = ymin ,
y ' не меняет знака, то экстремума нет.
2) Если функция f (x) дважды дифференцируема и в точке x 0 выполняются
условия f ' ( x0 ) 0 , f ' ' ( x0 ) 0 , то в этой точке функция имеет экстремум,
причем максимум, если f ' ' ( x0 ) 0 , и минимум, если f ' ' ( x0 ) 0 .
Выпуклость. Вогнутость.
Определения: График дифференцируемой функции называется
выпуклым в интервале, если в этом интервале он расположен ниже любой
своей касательной.
График дифференцируемой функции называется вогнутым в интервале
a; b , если в этом интервале он расположен выше любой своей касательной.
Теорема 1 (достаточный признак вогнутости и выпуклости
графика). Если для функции f (x) во всех точках интервала a; b f ' ' ( x0 ) 0 ,то
кривая y f (x) вогнута в этом интервале; если же f ' ' ( x0 ) 0 во всех точках
интервала a; b , то кривая выпукла в этом интервале.
63
Определение: Точка графика непрерывной функции, в которой
изменяется выпуклость на вогнутость или наоборот, называется точкой
перегиба.
Теорема 2 (достаточный признак существования точки перегиба).
Если в точке x 0 функция f (x) имеет первую производную f ' ( x0 ) , а вторая
производная f ' ' ( x0 ) в этой точке равна нулю или не существует и, кроме того,
при переходе через x0 меняет знак, то ( x0 ; f ( x0 )) ; является точкой перегиба
графика функции y f (x) .
Определение: Прямая А называется асимптотой кривой, если расстояние
от переменной точки до этой прямой при удалении точки в
бесконечность стремится к нулю.
Различают три вида асимптот: вертикальные, горизонтальные и
наклонные.
Вертикальные асимптоты. Прямая а является вертикальной
асимптотой графика функции f (x) , если выполняется хотя бы одно из
f ( x) или lim f ( x) (при этом функция f (x ) может быть
условий: xlim
xa 0
a 0
вообще не определена соответственно при x a и x a ).
Горизонтальные
асимптоты.
Если
lim f ( x) b ,
x
то
y b-
горизонтальная асимптота кривой y f (x) ( правая при x , левая при
x и двусторонняя, если пределы при x равны).
Наклонные асимптоты.
Теорема: Для того чтобы кривая y f (x) имела асимптоту y kx b ,
необходимо и достаточно, чтобы существовали конечные пределы
k lim
x
f ( x)
; b lim f ( x) kx
x
x
или
k lim
x
f ( x)
; b lim f ( x) kx
x
x
Полное исследование функции.
Определить область существования функции.
Выяснить, является данная функция четной или нечетной.
Найти точки, подозрительные на экстремум и выяснить характер
экстремумов с помощью первой или второй производной, а также вычислить
y min и y max .
1.
2.
3.
4.
5.
Определить интервалы возрастания и убывания функции.
Найти интервалы выпуклости и вогнутости функции.
64
Найти точки перегиба.
Найти асимптоты графика функции.
Вычислить значение функции в некоторых контрольных точках
(например, значение функции в начале координат), точки пересечения с
координатными осями.
9.
Нарисовать график функции.
6.
7.
8.
Очевидно, что порядок следования пунктов может быть изменен при
решении каждой конкретной задачи.
Пример 1.
Построить график функции y
2x3
x2 4
Функция определена и непрерывна при всех R , кроме точек x 2.
1. Область значения функции - y R .
2. Функция нечетна, т.к. y(-x) - y(x) , график функции симметричен
относительно начала координат, поэтому достаточно провести исследование
в интервале 0, .
3.
Прямая 2 является вертикальной асимптотой, т.к. lim
x 2
2x3
.
x2 4
Найдем наклонную асимптоту:
k lim
x
2x2
2,
x2 4
b lim ( y 2 x) lim
x
x
8x
0,
x 4
2
то есть данная кривая
имеет наклонную асимптоту y 2x .
4.
Для нахождения промежутков возрастания и убывания найдем
первую производную y
6 x 2 ( x 2 4) 4 x 4 2 x 2 ( x 2 12)
.
( x 2 4) 2
( x 2 4) 2
В промежутке [0,∞) функция обращается в нуль в точках x 0, x 2 3 , и
обращается в бесконечность в точке x 2 .
65
(X
;2 3 )
2 3 (2 3,2)
>0
вып.
<0
5.
<0
Ma
x
вып.
<0
-2
(2;0)
<0
вог
н.
>0
0
(0,2
)
<0
2
вып
.
<0
-
(2,2 3 )
2 3
<0
вогн
.
>0
(2 3 , )
>0
Min
вогн.
>0
Для нахождения промежутков выпуклости и точек перегиба, найдем
вторую производную y
16 x( x 2 12)
.
( x 2 4)3
y'' обращается в нуль в точке x = 0 и в бесконечность в точке x = 2. Ясно,
что в интервале (0,2) y'' меньше нуля и поэтому функция выпукла вверх, а в
интервале (2,2 3) и (2 3,) , y''>0 и функция вогнута вниз. Кроме того, точка
x = 0 является точкой перегиба, т.к. вторая производная меняет знак при
переходе через эту точку.
6.
y min (2 3 ) 3 3 ,
y (0) = 0.
Используя результаты исследования и учитывая нечетность функции,
получим график
66
2x3
График функции y 2 .
x 4
Задания к теме 5.
Вариант №1, 11
1.
2.
3.
4.
5.
6.
y arctg ln x
y 3 sin( 3x 5)
y ln sin x
y e x cos x
y 73 x 1
y ( x 2 x )3
1
7. y arcsin 2
x
8. y (1 3x 5x 2 )4
9. y 1 x 2
10. y ( x 2 2 x 2) e x
11. y (arcsin x arccos x)n
12. y ln x
13.Вычислить f (2 ) : f ( x) x tgx
f ( x) arctgx
14.Вычислить f (0) :
15.Вычислить f (1) :
f ( x) x 2 e x
16. y ln tg
2x 1
4
67
1
3
2
5
4tgx 1 2 tgx
1
7
17. y sin 3 x sin 5 x sin 7 x
18. y ln
4tgx 1 2 tgx
x
19. y arctg
a2 x2
9 x2
20. y arccos
9 x2
21. y 1 e sin
2
3x
cos 2 3x
1 sin x
1 sin x
22. y ln
2
sin x
23. y
1 cos x
sin x
24. y arcsin
2
1 sin x
1
x
x
1
x
25. y tg 4 ctg 4 tg 2 ctg 2
64
2
2 8
2
x 3
x
ln tg
2 8
2
Вариант №2, 12
1
1. y arcsin 2
x
2. y x arcsin x
3. y x n ln x
cos x
ex
5. y x 7e x
4. y
6.
7.
8.
9.
y xe x
y sin(sin x)
y esin x
y tgx ctgx
2
10. y 3 a bx3
11. y 1 2tgx
cos x
ex
13. y x 7e x
12. y
14.Вычислить f (2 ) :
f ( x) x tgx
15.Вычислить f :
f ( x) x ctgx
2
16. y ln
1 sin x
1 sin x
17. y ln( 3x 2 9 x 4 1)
68
x
2
18. y ctg 2 2 ln sin
x
2
1 1 x2
x
20. y e x sin e x cos e x
19. y arctg
1 x
1 x
2
22. y x sin x 2 x cos x 2 sin x
21. y arctg
23. y x arcsin x 1 x
24. y
sin x
1 ln sin x
25. y m x 2 2x (n m ) ln( x x 2 2x )
Вариант №3, 13
x
3
2. y 1 2tgx
1. y a cos
3. y ln tgx
4. y e x
5. y
6. y
arcsin x
3
1
2
5x
3
7. y x 3 x
4
8. y ln sin x
9. y e x cos x
10. y 1 3x 2
11. y Ln( x 1)2
12. y
11
4
2
2( x 2)
x2
13. y ( x 2 x )3
14.Вычислить f (8) :
f ( x) 3 x 2
15.Вычислить f :
f ( x) sin 2 x
4
2
3
1
5
16. y tg 2 x tg 3 2 x tg 5 2 x ;
17. y
x
a2
x
a2 x2
arcsin
2
2
a
18. y arctg 4 x 2 1
19. y ln tg
2x 1
4
69
1 sin x
1 sin x
sin x
21. y arcsin
2
1 sin x
20. y ln
22. y arccos 1 2 x
23. y sec x(1 ln cos x) ;
24. y e x 1 e 2 x arcsin e x
25. y ( xtgx ln cos x) tg ( xtgx ln cos x) ln cos x( xtgx ln cos x)
Вариант №4, 14
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
y cos x
2
y (arcsin x arccos x)n
y e x cos x
y x7e x
y xe x
y sin(sin x)
y (1 3x 5x 2 )4
y tgx ctgx
y
2 3
4 5
x x
x
7
11
x
2 7
x
15
x
10. y xex
11. y Ln( x 1)2
12. y ln sin x
13. y x n ln x
14.Вычислить f (1) :
f ( x) x 2 e x
15.Вычислить f :
f ( x) e x (sin x cos x)
2
2
3
1
5
16. y tg 2 x tg 3 2 x tg 5 2 x
1
3
2
5
1
7
17. y sin 3 x sin 5 x sin 7 x
18. y ln( 3x 2 9 x 4 1)
x
a2
x
a2 x2
arcsin
2
2
a
4tgx 1 2 tgx
20. y ln
4tgx 1 2 tgx
19. y
sin x
1 ln sin x
22. y ln sin xtg x x
21. y
70
2 cos
23. y
x
2
x
x
3 cos
2
2
24. y ln ln x(ln ln ln x 1)
sin
25. y m x 2 2x (m n) arcsin
x
Вариант №5, 15
1. y e
2. y
3.
4.
5.
6.
7.
x
arcsin x
3
y esin x
y ( x 2 2 x 2)e x
2
y 1 x2
y x 2 sin x 2 x cos x 2 sin x
y Ln(cos 2 x)
x
8. y cos 3
3
x
9. y x arccos 4 x 2
2
x
x
10. y sin cos
2
2
2
11. y (arcsin x arccos x)n
12. y ln 3 (sin x)
13.Вычислить f :
2
14.Вычислить f (0) :
f ( x) arctgx
15.Вычислить f :
2
x
2
16. y ctg 2 2 ln sin
x
2
17. y arctg 4 x 2 1
18. y arctg
x
a2 x2
1 1 x2
x
9 x2
20. y arccos
9 x2
19. y arctg
21. y 1 e sin 3 x cos 2 3x
22. y ln( 3x 2 9 x 4 1)
2
f ( x) x ctgx
f ( x) e x (sin x cos x)
71
4tgx 1 2 tgx
23. y ln
4tgx 1 2 tgx
2
1
sin
x
24. y arcsin
sin x
25. y m x 2 2x (m n) arcsin
x
Вариант №6, 16.
1
1. y 2
x 3
arcsin x
2. y
3
3. y esin x
4. y ( x 2 2 x 2)e x
2
5. y 3 a bx3
3
4
6. y x 3 x
7. y 1 3x 2
23x
32 x
9. y Ln(cos 2 x)
x
10. y cos 3
3
3 3
11. y x x
4
12. y ( x 2 2 x 2)e x
8. y
13. y
2 3
4 5
x x
x
7
11
14.Вычислить f :
2
15.Вычислить f (0) :
x
x
16. y e sin e cos e
x
2 7
x
15
f ( x) x ctgx
f ( x) arctgx
x
1 x
1 x
2
1
18. y tg 2 x tg 3 2 x tg 5 2 x
3
5
2x 1
19. y ln tg
4
1
2
1
20. y sin 3 x sin 5 x sin 7 x
3
5
7
sin x
21. y arcsin
2
1 sin x
17. y arctg
x
72
sin x
1 ln sin x
2 ln 2 sin x 3
23. y ln
2 ln 2 sin x 3
24. y ln sin xtg x x
22. y
25. y m x 2 2x (n m ) ln( x x 2 2x )
Вариант №7, 17.
1
1. y arcsin 2
x
2. y 3 sin( 3x 5)
3. y ln sin x
cos x
ex
5. y arcsin 3x
4. y
6. y e x cos 2 x
7. y
1
arctgx
8. y tgx ctgx
9. y 1 x 2
10. y xex
x
2
11. y x arccos 4 x 2
12. y e x cos 2 x
13. y arctg ln x
14.Вычислить f :
2
15.Вычислить f (1) :
16. y ln
f ( x) x ctgx
f ( x) x 2 e x
1 sin x
1 sin x
x
a2
x
a2 x2
arcsin
2
2
a
x
x
18. y ctg 2 2 ln sin
2
2
17. y
19. y arctg 4 x 2 1
20. y arctg
x
a2 x2
2
1
21. y tg 2 x tg 3 2 x tg 5 2 x
3
5
2
sin x
22. y
1 cos x
23. y ctgx cos ecx ln( ctgx cos ecx)
73
24. y ln ln x(ln ln ln x 1)
25. y m x 2 2x (m n) arcsin
x
Вариант №8, 18.
1
x2
x
2. y a cos
3
3. y 3 sin( 3x 5)
1. y arcsin
4. y x arcsin x
5. y 1 2tgx
6. y 2 x
arcsin x
3
2
8. y ( x 2 x 2)e x
7. y
9. y 1 3x 2
10. y Ln(cos 2 x)
x
3
12. y (1 3x 5x 2 )4
11. y cos 3
13. y esin x
14.Вычислить f (2 ) :
15.Вычислить f (0) :
16. y ln( 3x 2 9 x 4 1)
2
1
3
2
5
f ( x) x tgx
f ( x) arctgx
1
7
17. y sin 3 x sin 5 x sin 7 x
2x 1
4
1 sin x
19. y ln
1 sin x
18. y ln tg
1 1 x2
x
sin2 3 x
21. y 1 e
cos 2 3x
20. y arctg
2
1 sin x
sin x
23. y
1 ln sin x
24. y ln sin xtg x x ;
22. y arcsin
sin x
25. y m x 2 2x (n m ) ln( x x 2 2x )
;
74
Вариант №9, 19.
1.
2.
3.
4.
5.
y x arcsin x
y 2x
y x7e x
y sin x cos x
y esin x
7
6. y 3 ;
x
7. y x 2 sin x 2 x cos x 2 sin x
8. y Ln(cos 2 x)
x
9. y cos 3
3
x
10. y x arccos 4 x 2
2
2
x
x
11. y sin cos
2
2
12. y (arcsin x arccos x)n
cos x
13. y x
e
2
14.Вычислить f (1) : f ( x) e x
15.Вычислить f : f ( x) e x (sin x cos x)
2
2
16. y ln( 3x 2 9 x 4 1)
9 x2
17. y arccos
9 x2
x
18. y e sin e x cos e x
19. y arctg
1 x
1 x
20. y 1 e sin
2
21. y ln
3x
cos 2 3x
4tgx 1 2 tgx
4tgx 1 2 tgx
22. y x(ln 3 x 3 ln 2 x 6 ln x 6)
2 cos
23. y
x
2
x
x
3 cos
2
2
24. y ln ln x(ln ln ln x 1)
sin
25. y m x 2 2x (n m ) ln( x x 2 2x )
Вариант №10, 20.
1. y 3 sin( 3x 5)
75
2. y ln tgx
1
x 3
4. y sin x cos x
1
5. y
arctgx
3. y
6.
y
2
2 3
4 5
x x
x
7
11
x
2 7
x
15
x
11
4
2
2( x 2)
x2
x
8. y x arccos 4 x 2
2
7. y
x
x
9. y sin cos
2
2
2
3
10. y ( x x )
2
sin 2 3x
3
12. y (arcsin x arccos x)n
f ( x) x sin 2 x
13.Вычислить f (0) :
14.Вычислить f : f ( x) x ctgx
2
15.Вычислить f : f ( x) e x (sin x cos x)
2
2
1
16. y tg 2 x tg 3 2 x tg 5 2 x
3
5
2
x
a
x
17. y a 2 x 2 arcsin
2
2
a
x
x
18. y ctg 2 2 ln sin
2
2
11. y
19. y arctg 4 x 2 1
1 1 x2
x
2
2 ln sin x 3
21. y ln
2 ln 2 sin x 3
sin x
22. y
1 ln sin x
23. y ln ln x(ln ln ln x 1)
1
24. y tg 2 sin x ln cos sin x
2
25. y ( xtgx ln cos x) tg ( xtgx ln cos x) ln cos x( xtgx ln cos x)
20. y arctg
ЛЕКЦИЯ №№ 15-17
Неопределенный интеграл.
76
7.1. Первообразная и неопределенный интеграл. Основные свойства.
Таблица неопределенных интегралов.
Определение: Функция F(x) называется первообразной от функции f(x) на отрезке
[a,b], если во всех точках этого отрезка выполняется равенство F’(x)=f(x).
Например, найти первообразную от
первообразной следует, что
x
x3
F x
F x
3
3 , т.к.
'
3
функции f(x) = х2. Из определения
'
3x 2
x2
3
.
Легко видеть, что если для данной функции f(x) существует первообразная, то она не
является единственной. Так в предыдущем примере можно взять в качестве
первообразных следующие функции:
F x
x3
x3
1; F x
7
3
3
или вообще
F x
x3
C
3
;
(C – произвольная постоянная), т.к.
x3
C x 2
3
.
С другой стороны, можно доказать, что функциями вида
все первообразные от функции х2 .
x3
C
3
исчерпываются
Определение: Если функция F(x) является первообразной для f(x), то совокупность
всех первообразных F(x) + C называется неопределенным интегралом от функции f(x) и
обозначается символами ∫f(x)dx.
77
Таким образом, по определению ∫f(x)dx = F(x) + C, если F’(x)=f(x).
При этом функцию f(x) называют подинтегральной функцией, f(x)dx –
подинтегральным выражением, знак ∫- знаком интеграла.
Неопределенный интеграл представляет собой семейство функций
y = F(x) + C.
С геометрической точки зрения неопределенный интеграл представляет
совокупность (семейство) кривых, каждая из которых получается путем сдвига одной из
кривых параллельно самой себе вверх или вниз, т.е. вдоль оси Оу.
Возникает вопрос: для всякой ли функции f(x) существуют первообразные (а значит
и неопределенный интеграл)?
На этот вопрос отвечает следующая
Теорема: Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то для этой функции
существуют первообразная (а значит и неопределенный интеграл).
Нахождение первообразной и отыскание неопределенного интеграла для функции
f(x) называется интегрированием функции f(x).
Из определения неопределенного интеграла следуют следующие свойства:
1. Производная от неопределенного интеграла равна подинтегральной функции, т.е.
(∫f(x)dx)’ = (F(x)+c)’=f(x)
2. Дифференциал от
выражению d(∫f(x)dx) = f(x)dx
неопределенного
интеграла
равен
подынтегральному
3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой
функции плюс произвольная постоянная ∫dF(x) = F(x)+C.
4. Неопределенный интеграл от производной равен самой функции плюс
произвольная постоянная С F’(x)dx=F(x)+C.
5. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы двух или нескольких функций
равен алгебраической сумме их интегралов (если каждый из них существует)
f1 x f 2 x dx f1 x dx f 2 x dx
6. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла ∫аf(x)dx = а ∫f(x)dx.
78
1
f ax dx a F ax C
7. Если ∫f(x)dx = F(x)+C, то
8. Если ∫f(x)dx = F(x)+C, то ∫f(x+b)dx = F(x+b)+C.
1
f ax b dx a F ax b C .
9. Если ∫f(x)dx = F(x)+C, то
Непосредственно из определения интеграла и таблицы производных вытекает
таблица интегралов.
Таблица интегралов.
1.
3.
5.
7.
9.
dx x C
m
x dx
x m1
C
m 1
dx
ln x C
x
e
e
x
dx e C
x
dx
2.
sin
4.
cos
dx e C
x
11.
15.
x
6.
8.
cos xdxsin x С
Рассмотрим примеры:
2
2
x
ctgx C
tgx C
dx
1
xa
ln
C , a 0;
2
2a x a
a
dx
x a
2
ln x x 2 a C , a 0
10.
12.
ax
C , a 1, a 1
ln a
sin xdx - cos x C
13.
14.
x
a dx
x
dx
x
2
dx
ln x x 2 a C , a 0
x a
tgxdx ln cos x C
2
ctgxdx ln sin x C
79
1.
x4dx
преобразуем к табличному
dx виду, применяя свойства
4
3
x5
C
5
(по формуле 1);
x2
степеней, формула 1
2
3
4 x dx 4
x
2
1
3
2
1
3
C 4
1
3
x
C
1
3
1
3
3
2. 12 x C 12 x C
1
sin 5 xdx 5 cos 5 x C
3.
(свойство 7);
1
cos3x 1dx 3 sin 3x 1 C
4.
(свойство 9);
Таблица интегралов записана для переменной интегрирования х, однако она также
справедлива, если заменить х на другую переменную, которая может быть и некоторой
функцией.
Например
cos5 x
соs x d cos x 5 C ;
5.
4
d ex
ln e x C
x
e
6.
;
Методы интегрирования
Интегрирование функций сводится к применению табличных интегралов. (Решить
интеграл – значит свести его к табличному виду). Умение интегрировать состоит в том,
чтобы с помощью свойств неопределенных интегралов преобразовать подинтегральное
выражение к «табличному», или хотя бы сначала упростить. Для этого применяют
различные методы интегрирования. Непосредственным методом мы уже прорешали
несколько примеров. Один из наиболее применяемых методов – метод подстановки или
метод замены переменной.
80
7.2. Метод замены переменной.
Метод замены переменной при нахождении неопределенного интеграла ∫f(x)dx
состоит в применении формулы:
x=(t),dx=φ'(t)dt = >∫f(x)dx=∫f[φ(t)]φ’(t)dt,
(1)
где х=φ(t) – дифференцируемая функция.
1.
Формула (1) означает, что нахождение ∫f(x)dx сводится к нахождению другого
интеграла, в котором подынтегральное выражение зависит от переменной t. Он
получается заменой переменной по формуле х=φ(t). Однако общего правила выбора
функции φ(t) нет.
При удачном выборе этой функции может оказаться, что новый интеграл проще и
даже является табличным. В последнем случае выполняют интегрирование и находят
первообразную как функцию переменной t. После замены этой переменной ее
выражением через х получается искомый интеграл.
Покажем применение формулы (1) на примере:
Пример
обозначим x 4 7 t
x dx
4 x 3dx dt
4
7
dt
x 3dx
4
x
7.
3
1 dt
4 t
?
1
1
ln t C ln x 4 7 C
4
4
;
7.3. Метод интегрирования по частям.
В дифференциальном исчислении была получена формула дифференциала
произведения двух функций:
d(uv) = udv+vdu
udv = d(uv)-vdu
81
Проинтегрируем обе части
∫udv=uv-∫vdu
(2)
формула интегрирования по частям, где u=u(x), v=v(x) - функции, зависящие от х. Смысл
формулы (2) состоит в том, чтобы в результате ее применения новый интеграл оказался
табличным или хотя бы стал проще. Для применения формулы интегрирования по частям,
подинтегральное выражение следует разбить на два множителя. Один из них обозначается
u, а остальная часть обозначается через dv. Затем дифференцированием находится du, а
интегрированием – функция v. При этом за u следует брать такую часть подинтегральной
функции, которая при дифференцировании сильно не усложняется, а за dv – такую часть
подинтегрального выражения, которая легко интегрируется.
Пример:
положим u x и dv e x dx
x e dx
x
тогда du dx, v e x dx e x
C полагаем равным 0
8.
x e x e x dx xex e x C
Иногда этот метод приходится применять несколько раз, дополняя другие способы
интегрирования.
x
2
9.
sin xdx
u x 2 , dv sin xdx
du 2 xdx, v sin xdx cos x
еще раз применяем формулу 2
x cos x 2 x cos xdx u x, dv cos xdx
2
du dx, v cos xdx sin x
= -x2cosx + 2(xsinx-sinxdx) =
= -x2cosx + 2xsinx - 2sinxdx = -x2cosx + 2xsinx + 2cosx + C;
82
u arcsin x, dv dx
arcsin xdx du dx , v dx x
1 x2
10.
ко второму интегралу применим
метод замены переменной
x arcsin x
1 x2 t 2 , t 1 x2
xdx
2 xdx 2tdt, xdx tdt
1 x2
xdx
tdt
1 x2 t
dt t C 1 x 2 C
x arcsin x 1 x 2 C ;
e cos xdx
2x
11.
u e2x
dv cos xdx
du 2e 2 x dx
v cos xdx sin x
еще раз применим формулу 2 , положим
1 2x
e sin x e sin 2 xdx u e 2 x
,
2
2x
du 2e dx
2x
dv sin xdx
v sin xdx cos x
e 2x sinx 2e cos x 4 e 2 x cos xdx
2x
;
Получим
e
2x
cos xdx e 2 x sin x 2e 2 x cos x 4 e 2 x cos xdx
Решим полученное уравнение относительно интеграла
83
e
2x
cos xdx
:
5 e 2 x cos xdx e 2 x sin x 2e 2 x cos x
e
2x
cos xdx
;
1 2x
e sin x 2 cos x C
5
e2x
sin x 2 cos x C
5
.
Метод интегрирования по частям применяется при нахождении неопределенных
интегралов вида:
1. ∫P(x) eαx dx, ∫P(x)sinmxdx, ∫P(x)cosmxdx
2. ∫P(x)lnxdx, ∫P(x)arcsinxdx, ∫P(x)arccosxdx, ∫P(x)arctgxdx, ∫P(x)arcctgxdx,
где P(x) означает многочлен n-й степени.
Применяя формулу (2) к интегралам первой группы, за u следует принять многочлен
P(x), а за dv – остальную часть подынтегрального выражения. В интегралах второй
группы за u принимается lnx, arcsinx, arccosx, arctgx, arcctgx, а за dv – выражение P(x)dx.
Рассмотренные общие методы интегрирования применяются нешаблонно. Кроме
того, часто бывают необходимы предварительные алгебраические преобразования
подинтегральной функции. Каждый интеграл требует индивидуального подхода,
необходимы определенные навыки в интегрировании, а часто и сообразительность.
Однако имеются и типовые приемы преобразований определенных видов или классов
подинтегральных функций для приведения их к табличным интегралам или для
последующего применения общих методов интегрирования. Рассмотрим интегрирование
некоторых видов таких функций: простейших рациональных дробей, простейших
иррациональностей и тригонометрических функций.
7.4. Интегрирование рациональных дробей.
Px
Рациональной дробью называется дробь Q x ,
где Р(х) и Q(x) – многочлены.
Рациональные дроби называются неправильными, если степень многочлена в
числителе не меньше степени многочлена в знаменателе, и правильными, если степень
многочлена в числителе меньше степени многочлена в знаменателе. Любую
84
неправильную рациональную дробь можно представить в виде суммы ее целой части и
некоторой правильной дроби.
x3 3x 4
неправ. х 2 2 х 1 6
x2
х2;
1.
4x4 4x 5
12 x 7
4 x 2 8 x 12 2
2
x 2x 1
2. x 2 x 1
Интегрировать целую часть уже умеем, поэтому ограничимся интегрированием
лишь правильных рациональных дробей, знаменателями которых являются многочлены
1-ой и 2-ой степени. В общем виде интегралы от таких дробей записываются следующим
образом:
dx
1
ax b a ln ax b C
(3)
и
ax
mx n
dx
bx c ,
2
(4)
a 0;
Любой интеграл вида (4) сводится к нахождению одного или двух интегралов
следующего вида:
dx
x
2
г.
xdx
a2
xdx
( x a) 2
е.
x
2
а.
xa
б.
в.
dx
( x a) 2
д.
x
xdx
a2
2
dx
a2
Поэтому сначала рассмотрим эти интегралы. Интегралы а), б), е) являются
табличными.
85
dx
Интеграл г)
x a
Интеграл д)
x a
2
решается заменой переменной t x a , dt=dx.
xdx
xaa
x a
2
2
dx
dx
x a dx a
x a
2
dx
x a a x a
2
xaa
x a
2
dx
dx
x a dx a
2
dx
2
x
dx
x a
2
ln x a
x a
x a a x a
Интеграл е)
dt
xdx
2 .
преобразуем:
a
C
xa
dx
x a
ln x a
2
a
C
xa
.
xdx
a 2 решается также заменой переменной t x 2 a 2 , dt=2xdx,
2
Отсюда:
x
xdx
1 dt 1
1
ln t C ln x 2 a 2 C
2
a
2 t
2
2
.
2
mx n
dx
bx c
Для того, чтобы интегралы вида
привести к одному из интегралов
группы (5), в знаменателе подинтегральной функции выделяют полный квадрат.
ax
Рассмотрим на примерах.
2
86
выделим в знаменателе дроби
dx
2
x 2 2 x 3 полный квадрат х 2 х 3
2
х 2 2 х 1 1 3 х 1 4
заменим
x 12 4
dt
1 t2
1 x 1 2
ln
C ln
C
4 x 1 2
t 4 4 t2
12.
dx
x 1 t, x t 1
dx dt
2
1 x 1
ln
C.
4 x3
x 2 3x 1
x
2
5x 1
3
9 9
dx x 2 2 x 1
2
4 4
3x 1
2
3 13
x
2
4
3
3
t, x t
dx
2
2
2
3 13
dx dt
x
2
4
15
5t 1
t
17
dt
2
dt 5
dt
13
13
2 2 13
2
2
t
t
t
4
4
4
13.
5x 1
x
интегралы типа д), б) из группы интегралов (5)
x
5
13 17
ln x 2
2
4
2
1
13
2
2
ln
13
2
C
13
x
2
2 x 13
5
13 17 13
ln x 2
ln
C
2
4
26
2 x 13
7.5. Метод неопределенных коэффициентов в интегрировании рациональных
дробей.
87
Qx
,
f
x
Пусть требуется вычислить интеграл от рациональной дроби
т.е. интеграл
Qx
f x dx
.
Если данная дробь неправильная, то мы представляем ее в виде суммы многочлена
F x
М(х) и правильной рациональной дроби f x . Последнюю же представим в виде суммы
простейших дробей, согласно следующей теореме:
F ( x)
Теорема: Если: F(x) = (x-a)α....(x-b)β (x2+px+q)μ....(x2+lx+s)ν, то дробь f ( x ) может
быть представлена в виде:
A
A1
F ( x)
A
... 1
1
f ( x) ( x a)
( x a)
xa
B
B1
B
... 1
1
( x b)
( x b)
xb
M 1 x N 1
M x N1
Mx N
2
2 1
...
1
( x px q )
( x px q )
x 2 px q
P x Q 1
P x Q1
Px Q
2
2 1
... 21
1
( x lx s )
( x lx s )
x lx s.
(5)
Коэффициенты А, А1,…..В,В1 можно определить из следующих соображений.
Написанное равенство есть тождество, поэтому, приведя дроби к общему знаменателю,
получим тождественные многочлены в числителях справа и слева. Приравнивая
коэффициенты при одинаковых степенях х, получим систему уравнений для определения
неизвестных коэффициентов А, А1, В, В1, Этот метод нахождения коэффициентов
называется методом неопределенных коэффициентов.
Наряду с этим для определения коэффициентов можно воспользоваться следующим
замечанием: так как многочлены, получившиеся в правой и левой частях равенства после
приведения к общему знаменателю должны быть тождественно равны, то их значения
равны при любых частных значениях х. Придавая х частные значения, получим уравнение
для определения коэффициентов.
Из результатов формулы (5) следует, что вид простейших дробей определяется
корнями знаменателя f(x).Возможны следующие случаи:
1 случай.
88
Корни знаменателя действительны и различны, т.е.
f(x) = (x-a)(x-b)....(x-d)
F ( x)
В этом случае дробь f ( x ) разлагается на простейшие дроби I типа
F ( x)
A
B
D
, тогда
f ( x) x a x b
xd
F ( x)
A
B
D
f ( x) dx x a dx x b dx x d dx
A ln x a B ln x b D ln x d C.
2 случай.
Корни знаменателя действительные, причем некоторые из них кратные:
f(x) = (x-a)α(x-b)β....(x-d)δ
F ( x)
В этом случае дробь f ( x ) разлагается на простейшие дроби I и II типов из (5).
Пример:
A
dx
B
C
dx
2
2
( x 1) ( x 2) x 1 ( x 1) x 2
Приведем к общему знаменателю дроби в правой части и приравняем:
Ax 1 x 2 B x 2 C x 12
dx;
x 12 x 2
x 12 x 2
dx
89
Методом неопределенных коэффициентов найдем:
1=A(x-1)(x+2)+B(x+2)+C(x-1)2
1=Ax2+2Ax-Ax-2A+Bx+2B+Cx2-2Cx+C
1=(A+C)x2+(A+B-2C)x+(-2A+2B+C);
x2
0=A+C
(приравняли коэффициенты)
x1
0=A+B-2C
(при одинаковых степенях х).
x0
1=-2A+2B+C
A B 2A 0
3 A B 0
C A
2 A 2 B A 1
3 A 2 B 1
3B=1;
B=1/3;
3A
1
1
0;3A 3
3;
1
1
A - ; C A; C
9
9;
1
1
dx
Y
1
9x 1 3x 12
9x 2
1 dx 1
dx
1 dx
1
ln x 1
2
9 x 1 3 x 1
9 x2
9
1
1
1
1 x 2
ln x 2 C
ln
C
x 1 9
x 1 9 x 1
90
3 случай. Среди корней знаменателя есть комплексные неповторяющиеся т.е.
различные:
f(x)=(x2+px+q)....(x2+ls+s)(x-a)α....(x-b)β
В этом случае дробь
F(X )
f ( x) разлагается на простейшие дроби I,II,III типов.
Пример:
2 x 2 3x 3
dx, x 2 2 x 5
2
( x 1)( x 2 x 5)
не имеет действительных корней, так как Д<0.
Подинтегральную функцию разложим на простейшие дроби вида I,III из (5).
2 x 2 3x 3
A
Bx C
2
2
( x 1)( x 2 x 5) x 1 x 2 x 5
2 x 2 3x 3
A( x 2 2 x 5) ( Bx C )( x 1)
( x 1)( x 2 2 x 5)
( x 1)( x 2 2 x 5).
2 x 2 3 x 3 ( A B) x 2 (2 A B C ) x 5 A C
Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях x:
x2 2 A B
A B 2
A B 2
x 3 2 A B C 3 2 B 4 B C 3B C 7
3 5B 10 C
5B C 13
x0 3 5A C
3B C 7 2 B 6 A 3 2 1
B 3 C 7 3B 7 9 16
5B C 13
A 1
B 3
C 16
91
Таким образом,
2 x 2 3x 3
3x 16
dx
3x 16
1
( x 1)( x 2 2 x 5) dx x 1 x 2 2 x 5 dx x 1 x 2 2 x 5 dx
3x 16
ln x 1 2
dx
x 2x 5
Второй интеграл преобразуем, выделив полный квадрат из знаменателя:
(x
2
3x 16
3x 16
dx
dx
2 x 1) 1 5
( x 1) 2 4
x 1 t
3t 3 16
t
dt
x t 1 2
dt 3 2
19 2
t 4
t 4
t 4
dx dt
3
19
t
3
19
x 1
ln t 2 4 arctg C ln x 2 2 x 5 arctg
C.
2
2
2
2
2
2
Тогда:
2 x 2 3x 3
3
2
( x 1)( x 2 2 5) dx ln x 1 2 ln x 2 x 5
19
x 1
19
x 1
arctg
C ln( x 1)( x 2 2 x 5) 2 arctg
C.
2
2
2
2
3
4 случай. Среди корней знаменателя есть комплексные кратные
f x x 2 px q ... x 2 lx s ...x a
F x
В этом случае дроби f x будут содержать и простейшие дроби IV типа.
Пример
x
2
dx
x x x 1
2
2
dx
xx 1 x 2 x 1
2
92
1
A
B
Cx D
Mx N
2
2
2
x x 1 x x 1 x x 1 2
x x x x 1
2
1
x x x2 x 1
A x 1x
2
2
x 1
2
Bx x 2 x 1 Cx D x 2 x 1 x x 1 Mx N x x 1
x2 x x2 x 1
2
Ax 1 x 2 x 1 Bx x 2 x 1 Cx D x 2 x 1 xx 1 Mx N xx 1
x2 x x2 x 1
2
2
Пусть х=0, тогда 1= - А;
х=1, тогда 1=В;
х=2, тогда 1=9А+18В+6(2С+D)+(2M+N)2
7.6. Интегрирование некоторых тригонометрических выражении.
Интегралы вида
sin x cos xdx, sin x sin xdx, cosx cos xdx
вычисляются с применением формул
1
sin x cos x (sin( ) x sin( ) x)
2
1
sin x sin x (cos( ) x cos( ) x)
2
1
cos x cos x (cos( ) x cos( ) x)
2
Пример
1
1
1
1
sin 5x cos 3xdx 2 sin 8xdx 2 sin 2 xdx 16 cos 8x 4 cos 2 x C.
2. Интегралы вида
помощью замен:
sin
n
x cos m xdx
, где n и m – целые числа, интегрируются с
93
№ условия на m, n
подстановка
1 m,
n
–
четные
1 cos 2
sin 2
положительные числа
2
cos 2
2
одно из чисел m, n –
нечетное и
положительное,
1 cos 2
2
1
sin cos sin 2
2
от нечетной степени
отделяем множитель
sinx (или cosx) ,
вносим его под
дифференциал, и
далее подстановка
t = sinx (или t = cos
x)
3
4
m, n – четные числа, и
одно из них
t tg x; или t ctg t
отрицательное
m, n – четные числа, и в числителе
оба отрицательные
положить
1 (sin 2 x cos 2 x) k ,
где k=1,2,3…
Пример 1.
4
4
sin 3x cos 3xdx
1
(2 sin 3 x cos 3 x) 4 dx
4
2
= [тип 1] =
1
1
sin 4 6 xdx
(1 cos 12 x) 2 dx
16
64
1
1
1
dx cos12 xdx
cos 2 12 xdx
64
32
64
x
1
1
sin 12 x
(1 cos 24 x)dx
64 384
128
x
1
x
1
sin 12 x
sin 24 x C.
64 384
128 3072
Пример 2.
sin
4
x cos 3 xdx тип 2 sin 4 x cos 2 x cos xdx sin 4 x(1 sin 2 x)d sin x
t 4 (1 t 2 )dt
t5 t7
sin 5 x sin 7 x
C
C.
5 7
5
7
94
Пример 3.
Интеграл типа (2):
cos 2 x
cos 2 x
cos 2 x
t2
sin 3 x dx sin 4 x sin xdx (1 cos 2 x) 2 d cos x (1 t ) 2 (1 t ) 2 dt
1
1
1
1
dt
2
2
1 1 t (1 t ) 1 t (1 t )
4
1
1
1
ln | 1 t |
ln | 1 t |
C
4
1 t
1 t
1
1
1
ln | 1 t |
ln | 1 t |
C
4
1 t
1 t
1
1
1
1 cos x
ln
C.
4 1 cos x 1 cos x
1 cos x
Пример 4. Интеграл типа (3):
sin 2 x
sin 2 x 1
dx
dx
cos 8 x
cos 2 x cos 4 x cos 2 x
tg x(1 tg x) dtgx (t
2
2
2
2
2t 4 t 6 )dt
t 3 2t 5 t 7
C
3
5
7
1 3
2 5
1
tg x tg x tg 7 x C.
3
5
7
Пример 5. Интеграл типа (4):
(sin 2 x cos 2 x) 2
dx
sin 4 x cos 2 x sin 4 x cos 2 x dx
dx
cos
2
x
2
dx
dx
ctg 2 x 2
2
sin x
sin x
ctg 3 x
tg x 2ctg x
C.
3
95
Интегралы вида
№
1
2
R(sin x, cos x)dx,
дополнительные
условия
функция нечетна
относительно sinx
R( sin x, cos x)
R(sin x, cos x)
функция нечетна
относительно сosx
3
R (sin x, cos x)
R (sin x, cos x)
функция четна
относительно sinx и
cosx
4
R( sin x, cos x)
R(sin x, cos x)
функцию можно
привести к виду,
зависящему только от
5
tg x
функция общего вида
где R – рациональная функция.
подстановка
t cos x
t sin x
t tg x;
sin 2 x
t tg x;
dx
dt
;
1 t2
t2
t2
2
;
cos
x
.
1 t2
1 t2
dx
dt
.
1 t2
универсальная
тригонометрическая
подстановка
x
t tg ;
2
x 2arctg t ;
2t
1 t2
sin x
; cos x
;
1 t2
1 t2
dx
2t
dt.
1 t2
Если есть возможность, то рекомендуется использовать подстановки (1-3), так как
универсальная тригонометрическая подстановка приводит к громоздким вычислениям.
96
Пример 6.
sin 3 x
dx
Вычислить интеграл 2 cos x .
Решение:
Это интеграл типа (1): t cos x;
sin xdx dt ; и имеем:
sin 3 x
sin 2 x(sin x)dx
dx
2 cos x = 2 cos x
(1 t 2 )
t 2 1
(dt )
dt
t2
= 2t
=
3
t2
t 2
dt 2t 3 ln( t 2) C
t 2
2
cos 2 x
2 cos x 3 ln(cos x 2) C.
= 2
Пример 7.
1
Вычислить интеграл 2 sin
2
x
dx
.
Решение:
Это интеграл типа (3):
t tg x; dx
1
2 sin
2
x
dt
t2
2
;
sin
x
;
1 t2
1 t 2 и имеем:
dx
dt
t
2
1 t2
2
(1 t 2 )
dt
2 t2
97
1
2
t
arctg
2
C
tg x
arctg
C.
2
2
1
Пример 8 (на тип (3)):
sin
2
1
1
dt
dx 2
2
x 4 cos x
t
4 1 t2
1 t2 1 t2
1
1 1
1
dt
dt
4 t 2 t 2
t 4
2
1
ln | t 2 | ln | t 2 | C 1 ln tgx 2 C.
4
4 tgx 2
Пример 9.
3tg 2 x 1
dx
2
Вычислить интеграл tg x 5
.
Решение:
Это интеграл типа (4):
tg x t ;
dx
dt
;
1 t 2
3tg 2 x 1
3t 2 1 1
dx 2
dt.
tg 2 x 5
t 5 1 t2
3tg 2 x 1
3t 2 1 1
4
1
dx
tg 2 x 5
t 2 5 1 t 2 dt t 2 1 5 t 2 dt
arctgt
4
5
arctg
t
5
C x
tgx
arctg
C.
5
5
4
Пример 10.
(универсальная тригонометрическая подстановка):
98
1
dt
2t
2
(1 t )
1
2
1 t
1 sin x dx 2
2
dt
2
C
2
1 t
(1 t )
2
C.
x
1 tg
2
Пример 11. Интеграл типа (5):
dx
9 8 cos x sin x
2t
1 t 2
2t
x
t
tg
;
sin
x
;
cos
x
; dx
dt
2
2
2
1 t
1 t
1 t
2
2dt
8(1 t 2 )
2t
(1 t ) 9
2
2
1
t
1
t
2dt
d (t 1)
t 2 2t 17 2 (t 1) 2 16
2
x
tg 1
t 1
1
1 1
2
3A - arctg
C arctg C.
3 2
4
2
4
Пример12:
Еще один пример на универсальную тригонометрическую подстановку:
2t
sin x
2
sin x
1 t 2
dx
dx
dt
2 sin x
2 sin x
2t 1 t 2
2
1 t 2
=
2t
2t
dt 2
dt
2
(t t 1)(t 1) (t t 1)(t 2 1)
2
2arctgt
4
3
arctg
2t 1
3
C x
4
3
2tg
arctg
x
1
2
C.
3
7.7. Интегрирование некоторых видов иррациональностей.
99
m
r
n
s
R
x
,
x
,....,
x
dx
где R - рациональная функция от своих
Рассмотрим интеграл
аргументов.
m
r
,...,
s.
Пусть R- общий заменитель дробей n
k
k 1
Сделаем подстановку: x t , dx rt dt
Тогда каждая дробная степень х выразиться через целую степень t и, следовательно,
подинтегральная функция преобразуется в рациональную функцию от t.
Пример 1.
1 3
,
2 4
есть 4, поэтому делаем подстановку
общий знаменатель дробей
x
4
x3 1
4
dx х t 4 , dx 4t 3 dt , t 4 x
2
t2 3
t5
t2
t
dt
4
dt
4
t
t 3 1
t 3 1 dt
t 3 1
4 t 2 dt 4
t 2 dt 4t 3 4 3
ln t 1 C
t 3 1 3 3
44 3 4
x ln
3
3
4
x 3 1 C.
m
r
n
s
ax
b
ax
b
R x, cx d ,.... cx d dx
Интегралы вида
Этот интеграл сводится к интегралу от рациональной функции с помощью
подстановки
ax b
tR,
cx d
m
r
,....,
s
где R- общий знаменатель дробей n
Пример 2.
100
1 x
t2
1 x
1 x t2 t2x
1 x dx
t2x x 1 t2
1 x 1 x
x 1 t2 1 t2
x
4
t tdt
1 t2
(1 t 2 ) 2 1
2
1 t
1 t2
4tdt
; dx
2
2
1 t
1 t2
t2
t 2 11
dt
2
1 t 2 dt
2(1 t 2 )
1
2 1
dt 2(t arctg t ) C
2
1 t
1 x
1 x
C.
2
arctg
1
x
1
x
Интегралы вида
Mx N
ax 2 bx c
dx
можно решить следующим образом.
Например:
3
3x 4
7 6x x 2
tdt
16 t 2
13
3x 4
3x 4
dx
( x 2 6 x 9 9 7)
dt
16 t 2
dx
x 3 t , x t 3,
dx dt
16 ( x 3) 2
3t 9 4
3t 13
dt
dt
16 t 2
16 t 2
tdt
dt
3
13
2
16 t
16 t 2
dx
101
16 t 2 z
3 dz
t
2tdt dz
13arc sin C
2
4
z
dz
tdt
2
1
3
t
z 2 2 13 arcsin C
2
4
t
x3
3 z 13 arcsin C 3 7 6 x x 2 13 arcsin
C
4
4
Практические занятия к теме 8.
1.
x
2.
dx
dx
2
5
x 5
5 x
2
3
2
1
x
arctg
C
5
5
;
8
dx
sin x dx 5 x 3dx 8 sin xdx
x
x
5x 4
8 ln x cos x C
4
; применено свойство 5;
1
1
5 x 5
5
C
5 xdx 5 x d 5 x 1
1
5
5
3.
6
5 x 5
6
5
C
1
55
5 x 6 C
6
;
dx
ln x 3 C
4. x 3
.
5.
e x dx
1 e
2x
ex t
e dx dt
x
dt
1 t
2
arcsin t C arcsin e x C
.
102
x2 3 t
2
x x 3dx
6.
t3
x2 3 t 2
t tdt t 2 dt C
3
2 xdx 2tdt
xdx tdt
x2 3 2
x 3 C
3
7.
x
ln x t
3 ln x
dx dx
x
dt
x
2
3
3
3
C
3 t dt
1
3
1
3 t 2
3 t 2
3 t dt
C
1
3
1
2
2
1
C
2
2 3 t
23 t 3 t
C
C
3
3
2
3 ln x 3 ln x C
3
3
2x 1 t
2 x 1
e
et tdt
2x 1 t 2
dx
t
2x 1
2dx 2tdt
dx tdt
8.
et dt et C e
2 x 1
C
;
sin 4 xdx
2 sin 2 x cos 2 xdx
4
2x 4
cos 4 2 x 4
9. cos
x2 3 2
x 3 C
3
;
103
cos 2 2 x t
2 cos 2 x sin 2 xdx dt
dt
t 4
2
1
t
1
cos 2 2 x
arctg C arctg
C
2
2
2
2
10.
11.
16
16
( x 1) dx ( x 1) d ( x 1)
( x 1)17
C.
17
2
2
2
sin t cos tdt sin t (sin t )dt sin t d (sin t )
sin 3 t
C.
3
1
d (x5 )
x dx
1 d ( x 5 1) 1
5
ln x 5 1 C.
5
5
5
5
x 1 5
x 1
12. x 1
4
d ( x 2 9) 2 x
3x 1
dx
3
2
x 9
(3 x 1) (2 x) 1
2
3 d ( x 2 9)
1
2
dx
2
2
x 9
x 9
13.
3
1
x
ln x 2 9 arctg C.
2
3
3
dx
14.
sin xdx
d (cos x)
1 1 cos x
ln
C.
2
2
2 1 cos x
x
1 cos x
sin x sin
x
2d ( )
dx
4 2 tg x C.
1 sin x
x
4 2
1 cos( x)
2 cos 2 ( )
2
4 2
15.
d ( x)
2
3x
16.
4x 3
1
4x 3
dx
dx
2x 1
3 x2 2 x 1
3
3
2
104
выделим полный квадрат из
знаменателя
2
1
1
1
1
4x 3
x2 x x2 2 x
dx
2
3
3
3
9
3
1 2
x
2
1 1
1 2
3 9
x
9 3
3 9
1
обозначим ( x ) t
3
4
4t 3
1
1
3
xt
dt
2
3
3
2
t
dx dt
9
4
3
t
1 5
dt
dt
2
3 3 2 2
2
t
t
9
9
4
2 5 1
t
ln t 2
arctg
C
3 2
9 9 2
2
3
3
2
2 5 2
3t
ln t 2
arctg
C
3
9
6
2
1
3 x
2
1
2 5 2
3
ln x
arctg
C
3
3
9
6
2
2
3x 1 2 C
2
2
1 5 2
ln x 2 x
arctg
3
3
3
6
2
17. Вычислить
x(
3
x dx
x 3 x) .
Решение:
6
Это интеграл типа 1. НОК чисел 3 и 2 равно 6, поэтому делаем подстановку x t .
105
x t 6 ,
x( x 3 x ) x t 3 ,
3
dx 6t 5 dt
3
x t 2
x dx
t 2 6t 5 dt
dt
6
6 3
2
t (t 1)
t (t t )
dt
dt
6
6 ln t ln t 1
t 1
t
t
6 ln
C 6 ln
t 1
18. Вычислить
6
6
x
x 1
C.
x x2
dx
3
x2
.
Решение:
3
1
Так как
1
x 2 ( x 2) 2 ( x 2) 6 , а
3
2
x 2 ( x 2) 3 ( x 2) 6 ,
1
6
5
6
выберем подстановку (1) t ( x 2) , откуда x t 2, dx 6t dt .
x x2
3
x2
dx
(t 6 2 t 3 )6t 5 dt
t2
3
6
6 (t 9 t 6 2t 3 )dt t 10 t 7 3t 4 C
5
7
5
7
2
3
6
( x 2) 3 ( x 2) 6 3( x 2) 3 C.
5
7
19. Найти неопределенный интеграл
(
4 2 x 2 x
dx
x 2 4 2 x )( x 2) 2
.
Решение:
106
Чтобы сделать подстановку, приводящую к интегралу от рациональной функции,
нужно преобразовать подинтегральную функцию так, чтобы она содержала корни любой
ax b
степени, но из одной и той же дроби cx d .
Поэтому преобразуем подинтегральное выражение, выделяя
2 x
2 x .
Имеем:
2 x
1
4 2 x 2 x
2 x
dx
dx
( x 2 4 2 x )( x 2) 2
2 x
1 4
( x 2) 2
2
x
4
Применяем подстановку
t
2 x
4
8t
:x 2
2, dx 2
dt.
2 x
t 1
(t 1) 2
Делая замену переменной в неопределенном интеграле, получаем:
2 x
1
4t 1 (t 2 1) 2
2 x
dx
4t 1 16
2 x
2
1 4
( x 2)
2 x
4
1 t (4t 1)
1 1
1
dt
dt t dt
2 4t 1
2 2
2 4t 1
1 2 1
1
t t ln | 4t 1 | C
4
4 16
1 2 x
2 x 1 2x
ln 4
1 C
4 2 x
2 x 4 2 x
20. Вычислить
Решение:
x
dx
4
x2 9 .
8t
2
2
(t 1)
dt
107
Применим подстановку x 3 tg t , тогда
dx 3sec 2 tdt,
x 2 9 3sec t.
Тогда
x
dx
4
x2 9
3 sec 2 t dt
1 cos 3 t
dt
34 tg 4 t 3 sec t 34 sin 4 t
(1 sin 2 t )d (sin t )
sin 4 t
1
34
1 d (sin t )
d (sin t ) 1
1
1
4
C.
4
4
2
3
3 sin t
sin t 3 3 sin t sin t
Делаем обратную подстановку, выражая sin t через x. Для этого в прямоугольном
треугольнике один из острых углов обозначим через t.
sin t
x
dx
4
x2 9
1
3x 3
4
243 x
3
2
( x 9)
35 x 4
2
x2 9
C
34 x
x
x2 9
=
x 2 9 3 ( x 2 9) 2 C .
Контрольные вопросы и задания к теме 8.
108
1. Первообразная и неопределенный интеграл.
2. Основные свойства.
3. Таблица неопределенных интегралов.
4. Методы интегрирования:
2.1) Метод замены переменной.
2.2) Интегрирование по частям.
2.3) Интегрирование рациональных функции
2.4) Метод неопределенных коэффициентов в интегрировании рациональных дробей.
2.5) Интегрирование некоторых классов тригонометрических функции.
2.6) Интегрирование некоторых видов иррациональностей.
Задания к теме 7.
Вычислить интегралы:
1.
3x 1
2 x 3 dx
5.
8 2 x dx
2.
x 2 1
6.
cos(1 2 x)dx
9.
3.
dx
2x 1
7.
e
x dx
10.
x
4.
8.
dx
11.
14.
x 3 dx
x 8 1
15.
e x dx
(7 e x ) 2
17.
sin xd sin x
18.
19.
10
21.
x sin 3x dx
22.
x3
23.
arccos x dx
26.
x
27.
ln
(8 5 x) dx
7
x 1 2 x dx
dx
13.
25.
x ln
2
x
3
dx
(1 4 x)
3
2
4
5 3 x dx
2
x
dx
e x dx
x
3
12.
dx
x
dx
6
3x
d cos 3x
20.
cos
dx
xdx
x2 4 x
16.
24.
2
x 2 dx
x 3 1
28.
sin xdx
2
x
ln x
dx
x3
arctqxdx
109
ln( x
1)dx
2
29.
x arctqx dx
30.
2
x cos x dx
33.
arcsin x dx
34.
e
37.
41.
2
x
2x
dx
38.
2
x
( x 2 x 5) e dx
42.
46.
1 4 x dx
3x 5 x 6
xdx
dx
2
x 2 2x 3
66.
dx
73.
4
x
dx
2
3x 2
dx
4x 6
75.
79.
x
3
78.
81.
3 x
(4 3x)e dx
82.
arctg 4 x 1dx
83.
3x
(3x 4)e dx
85.
(4 16 x) sin 4 xdx
86.
3x
(5 x 2)e dx
87.
90.
3
x
x 1
2
x 3 1 x 2 dx
91.
2
xdx
3x 2
2 5x
4x 2 9x 1
2
dx
dx
7 х 13
xdx
68.
sin xdx
1 sin x dx
cos
72.
4
xdx
76.
dx
х 3 х 4 х
dx
80.
x2 1
sin
ln( x
dx
64.
2
cos x cos 3xdx
1 sin x
dx
x
60.
sin 2 x cos 3xdx
1 sin x dx
1
x (1 x ) dx
89.
(2 4 x) sin 2 xdx
х
sin
1 x5
3
56.
71.
3
55.
dx
dx
44.
2
x
40.
cos(ln x)dx
52.
dx
1 tqx
x
x 2
3x 1
4 x 2 4 x 17 dx
67.
74.
1 cos x
1 cos x dx
36.
2x
dx
dx
dx
77.
1
3 3
2 x 3x 1
2
3 2 sin x cos x
70.
1 sin x
4x 3
2 sin x
69.
dx
sin x cos x
cos
32.
xe
48.
59.
1 cos x
sin x dx
63.
sin 3x cos 7 x dx
65.
2x
dx
3
1 x
dx
x
58.
sin 2 x cos x
1 sin 2 x dx
62.
x
3
x
( x 1)( x 3)
sin 3 cos
x cos xdx
sin 2 x
( x 1)(2 x 1)
61.
dx
x
ln x dx
51.
5
54.
9x 6x 2
57.
xdx
(2 x 3)
50.
53.
dx
2
dx
dx
2
x 3x 5
43.
47.
6x 5
49.
39.
1 x2
dx
x2
1
35.
1 x
x 4 dx
45.
3
31.
xtq xdx
2
x cos xdx
4
dx
x cos 4 x
84.
(4 x 2) cos 2 xdx
2
4)dx
1 ln x
dx
x
88.
2
ln( 4 x 1)dx
92.
x
dx
x 2 1
110
93.
x 2 ln x 2
x dx
94.
xdx
97.
tgx ln cos xdx
95.
(arccos x) 3 1
1 x 2 dx
99.
1 cos x
( x sin x) 2 dx
x 4 x 2 1
98.
(x
3
2
x
dx
1) 2
ЛЕКЦИЯ №№ 19-20
96.
tg( x 1)
cos
2
( x 1)
100.
dx
x3 1
dx
x2 x
Ряды.
Числовой ряд. Сходимость и сумма числового ряда. Необходимое условие
сходимости числового ряда.
Рассмотрим произвольную последовательность u1 , u2 ,..., un ,... и формально образуем
из ее элементов бесконечную сумму вида
n
u1 u2 ...uk ... uk
k 1
(1)
Формально составленную сумму (1) принято называть числовым рядом.
Определение:
Числовой
ряд
(1)
называется
сходящимся,
если
сходится
n
S n u1 u2 ...uk ... uk
k 1
последовательность S n частичных сумм
этого ряда. При
S lim S n
n
этом предел
последовательности частичных сумм S n называется суммой ряда
(1).
Если
lim S n
n
не существует, этот ряд называется расходящимся.
Критерий Коши. Для сходимости ряда (1) необходимо и достаточно, чтобы для
любого 0 существовало число N N такое, что при n N и p>0 было выполнено
неравенство:
S n p S n
n p
u
k n1
k
.
В частности, если ряд
Ïðîâîäíèê (2).lnk
u
k 1
сходимости).
k
сходится, то
lim uk 0
k
(необходимый признак
111
Достаточные признаки сходимости: признаки Даламбера, Коши и другие.
Признаки сходимости знакоположительных рядов.
10 Признак Даламбера.
Если uk 0(k 1,2,...)
im
k
u k 1
q,
uk
то а) при q<1 ряд (1) сходится
б) при q>1 ряд (1) расходится.
20 Интегральный признак Коши.
Если f ( x)( x 0) -неотрицательная, не возрастающая функция,
то
ряд
f (n)
n 1
сходится
или
f ( x ) dx.
1
3о. Признак Коши.
Если
uk 0k 1,2,...
и
im n uk q
k
то: а) при q<1 ряд (1) сходится
б) иди q>1 ряд (1) расходится.
4о. Признак сравнения.
расходится
одновременно
с
интегралом
112
Пусть кроме ряда u1 u2 ... un ...
(1)
имеем ряд v1 v2 ... vn ...
(2)
Если при n>no выполнено равенство 0 un vn ,то:
1) из сходимости ряда (2) следует сходимость ряда (1);
2) из расходимости ряда (1) следует расходимость ряда (2).
Пример 1.
Исследовать на сходимость ряд
1 3
5
2n 1
2 2 .
...
2 2
2
2n
(1)
Решение:
un
un 1
2n 1
2n ;
1
2n 1
1
n 1
2n 1
un 1
1
2n 1 1
n 1 lim
lim 2
lim
n u
n 2n 1
2
2 n 1 1
2
n
n
2
2n
ряд (1) сходится.
Признак сходимости знакопеременных рядов. Теорема Лейбница:
Если для знакочередующегося ряда
u1 u2 u3 u4 ..
выполнены условия:
un 0
(2)
113
1) u1 u2 ...
2)
lim un 0
n
, то ряд (2) сходится
Пример:
1
1 1 1
...(1) n 1 ...
2 3 4
n
- сходится, так как выполнены условия Лейбница. Этот
ряд сходится условно (неабсолютно), так как ряд
1
1
1 1 1
1
... ...
2 3 4
n
(гармонический ряд) – расходится.
Функциональные ряды.
Формально сумму
u ( x) u ( x) u ( x) ... u ( x) ...
n 1
n
1
2
n
(2)
бесконечного числа слагаемых будем называть функциональным рядом.
Множество x, на котором определены эти функции u (x) будем называть областью
определения этого ряда.
Совокупность
X x
тех значений х , для которых сходится ряд (2)-называется
областью сходимости этого ряда, а функция
u
S ( x) im uk ( x)
n
k 1
x X -его
суммой.
В конкретных случаях область сходимости может совпадать с областью определения,
являться подмножеством области определения или вообще быть пустым множеством.
114
Степенным рядом называется функциональный ряд вида
a0 an x n a0 a1 x a2 x 2 ... an x n ...
n 1
где
(3)
a0 , a1 ,..., an ... постоянные
вещественные
числа,
называемые
коэффициентами ряда (3).
В общем случае
c0 c1 ( x a) c2 ( x a) 2 ... cn ( x a) n ...
(4)
Для каждого степенного ряда (3), (4) существует интервал сходимости:
внутри которого данный ряд сходится, а вне расходится.
R-радиус сходимости может быть вычислен по формуле:
an
n a
n 1
R im
R
1
im n cn
n
, если этой предел существует или по формуле Коши.
;
Пример:
x 3 ( x 3) 2
( x 3) 3
( x 3) n
...
...
1 2
2 22
3 23
n 2n
Найти область сходимости ряда:
( x 3) n
u n ( x)
n 2n ;
( x 3) n1
un1 ( x)
(n 1) 2 n1
x R
,
115
На основании признака Даламбера
x3
un 1 ( x)
( x 3)n 1 n 2n
lim
n
n
n u ( x)
n (n 1) 2 ( x 3)
2
n
lim
;
x3
x3
1 1
1
2
2
Ряд сходится, если
2 x 3 2 5 x 1 ряд сходится при x ( 5,1) , расходится при
x3
1
2
т.е при x . 5 , ( 1. )
расх
сход
-5
расход
х
-1
При x 5
2 (2) 2 (2) 3 (2) 4
(2) n
...
...
1 2 2 2 2 3 23 4 2 4
n 2n
1 1 1
1
1 ...(1) n ...
2 3 4
n
получаем знакочередующийся ряд Лейбница следовательно в т. x 5 ряд сходится.
При х = -1
2
22
(2) 3 (2) 4
2n
...
...
1 2 2 2 2 3 23 4 2 4
n 2n
1 1
1
1
1 ... ...
2 3
n
n 1 n
-гармонический ряд, который расходится.
116
( x 3) n
n
Итак, ряд n1 n 2
- сходится при
5 x 1 , расходится при x ,5 1, .
Степенной ряд. Разложение функции в ряд Тейлора-Маклорена.
xa R
Если функция f (x) допускает в некоторой окрестности
точки а раз
положение в степенной ряд по степеням x a , то этот ряд (ряд Тейлора) имеет вид:
f ( x) f (a )
f (a)
f (a)
f n (a) ( x a) n
( x a)
( x a) 2 ...
...
1!
2!
n!
(1)
При a 0 ряд Тейлора называют рядом Маклорена:
f ( x) f (0)
f (0)
f (0)
f ( n ) (0) n
x
x ...
x ...
1!
2!
n!
Равенство (1) справедливо, если остаточный член ряда Тейлора
n
f ( k ) (a)
Rn ( x) f ( x) f (a)
( x a) k 0
k!
k 1
k
Для оценки остаточного члена можно пользоваться формулой Лагранжа:
Rn ( x)
f ( n 1) (a 1 ( x a))
(n 1)!
( x a) n 1
; 0 1
Необходимо знать следующие пять основных разложений:
x 2 x3
x4
e 1 x
.
...
2! 3!
n!
I.
x
sin x x
II.
x
x3 x5
(1) n 1 x 2 n 1
...
...
3! 5!
(2n 1)!
x2 x4
(1) n x 2 n
cos x 1 ...
2! 4!
(2n)!
III.
…
( x )
x
117
1 x m 1 mx m(m 1) x 2 ... m(m 1)...(m n 1) x n ...
2!
IV.
n!
n
x 2 x3
n 1 x
u (1 x) x ...(1) ...
2
3
n
V.
(1 x 1)
(1 x 1)
Пример:
Вычислить с точностью до 0.0002 интеграл
1
2
dx
x4
1
путем предварительного разложения подинтегральной функции в
степенной ряд и почленного интегрирования.
0
1
n
Разложим подынтегральную функцию 1 x в ряд, используя формулу
1
1 t t 2 ... t 4 ...
1 t
t (1;1)
1
1
1 x 4 x 8 x12 ...
4
1 x
1 ( x 4 )
1
2
1
2
dx
1 x 4 x 8 x12 ... dx
4
0 1 x
0
1
2 1 1 1 1 1
x 5 x 9 x13
x
... ...
5
9 13
0 2 2 5 2 9
5
9
Ошибка (точность вычисления) не превосходит первого выкидываемого члена
полученного ряда, т.е.
1
9
2
dx
1 1
0,0002.
4
2 9
0 1 x
5
1 1 1
2 2 5 0,4938
Ряд Фурье. Разложение функции в тригонометрический ряд Фурье.
118
Если f ( x) L( , ), т.е.
ak
( f x dx)
1
f ( x) cos kxdx
вk
;
1
; то существуют числа
f ( x) sin kxdx
, называемые коэффициентами Фурье
функции f (x) ;
a0
(ak cos kx вk sin kx)
2 k 1
S ( x)
ряд
(1)
называется рядом Фурье функции f (x) .
Члены ряда (1) можно записать в вида гармоник:
2
2
ak cos kx вл sin kx Ak cos(kx k ) , где Ak ak вk - амплитуда,
частота k k , фаза
k arctq
вл
ak .
f ( x) L( , )
2 2 , то коэффициенты Фурье записываются в виде:
Если же
ak
2
l
S ( x)
l
2
f ( x) cos
l
2
2
2 2
2
xdx вk f ( x) sin
xdx
l l
l
l
2
;
, а ряд Фурье- в виде:
a0
2x
2x
ak cos
вk sin
.
2 k 1
l
l
Пример:
Разложить в ряд Фурье функцию
f ( x) x
х
на ( x )
119
π
-
3π
-
f (x) четная
2π
в n 0 a0
2
π
xdx
0
2 x2
2
0
2π
u x, du dx
0
dv cos nxdx, v cos nxdx
a n 2 x cos nxdx
;
sin nxdx
n
2 sin nx sin nx
x
dx
0
0
n
n
0
0
u v
2 cos nx
2
0 2 cos n 1
2
n
n
=
π
-
a1
vdu
4
a2 0 ;
;
a3
3;
a4 0 ;
a5
4
52 n ,
1
1
cos 3x 2 cos 5 x
2
2
3
5
1
4 cos( 2n 1) x
cos( 2n 1) x ...
2
2 n 1 (2n 1) 2 ;
(2n 1)
f ( x) x
При x 0
2
8
1
4
4
2
(cos x
0
2
4
(1
1
1
2 ...)
2
3
5
1 1
1
1
2 2 ...
...
2
3 5 9
(2n 1) 2
Практические занятия к теме 11.
Пример 1.
Исследовать сходимость ряда.
3π
у
120
1 2 3 4
...
2 5 8 11
n
1
1
lim u n lim
lim
n
n 3n 1
n
1 3
3
n
lim u n 0
n
, то ряд расходится (не выполняется необходимое условие).
Пример 2.
x
Разложить в ряд функцию:
x
x
sin x
0 x dx 0
x
sin x
dx.
x
0
x3 x5
x 2 n 1
...(1) n 1
...
3
5
(2n 1)!
dx
x
x
x2 x4
x3
x5
1
... dx x
...
3! 5!
3!3 5!5
0
Этот ряд не сходится ни к какой элементарной функции; он является аналитически
заданием новой функции, но посредством не конечного, а бесконечного числа операций.
Пример 3.
Исследовать сходимость ряда.
k 1
2k
( x 2)
k 1 2 k 1
k
1
R
lim
k
2k
k 1
2k 1
k
lim
k
2k 1
2
k 1
1
k 1 k
x 2 2,
2 1
2k 1
k 1 2k 1
k 1
k
k
k
1 k
lim 1
2 e 0
k
2k 1
При x 2 2
ряд расходится
121
x2 2
То же самое будет и при
Итак, область сходимости данного ряда 2 2 x 2 2
Пример 4:
x .
f ( x) x
Разложить в ряд Фурье.
f (x ) -нечетная.
у
π
- 3π
-π
- 2π
an 0
вn
2
π
2π
3π
,
x sin nxdx
0
2 x cos nx
n
0
cos nx
dx
n
0
2 cos n sin nx
2 cos n
;
0
2
n
n
n
2
2
2
2
в1 2; в 2
; в3 ; в 4
; в ;...
2
3
4
5
1
1
1
x 2(sin x sin 2 x sin 3 x sin 4 x )
2
3
4
sin
nx
n 1
x 2 1
; x ; x сумма ряда равна нулю
n
n 1
Пример 5.
x
122
n2
1 1
1 ,
n
Исследовать сходимость ряда n1 2 n
1
un n
2
n2
n
1 1
1 n
1 , u n
1 ,
2 n
n
n
1
1
1
C lim u n lim 1 e.
n
n
2
2
n
n
т.к. C 1 , то ряд расходится.
Контрольные вопросы и задания к теме 11.
1. Определение числового ряда.
2. Сходящийся ряд
3. Расходящийся ряд.
4. Необходимое и достаточное условия сходимости ряда.
5. Теоремы сравнения.
6. Признак Даламбера.
7. Интегральный признак Коши.
8. Абсолютно и условно сходящиеся числовые ряды.
9. Знакочередующие ряды.
10. Теорема Лейбница.
11. Функциональные ряды.
12. Область сходимости ряда.
13. Ряд Тейлора.
14. Необходимое условие разложения функции в ряд Тейлора.
15. Достаточное условие разложения функции в ряд Тейлора.
16. Степенной ряд.
17. Теорема Абеля.
Задания к теме 11.
1. Исследовать на сходимость по признакам Даламбера, Коши.
1.
n
2
n 1
n
2.
n2
n
n 1 3
3.
n 1!
n 1
4.
n
n 1!
2
n 1
n
n!
123
n2 5
2n
n 1
5.
n
6.
n!
7.
e 2 n 1
n 1 n!
8.
3n n!
n
n 1 n
n 1
9.
n100
n
n 1 2
7n
10. n 1 n 7
n!
11.
2
n
3 35
3 5..2n 1
..
...
1 4...3n 2
12. 1 1 4
2
13.
25 258
2 5 8...3n 1
...
1 5 1 5 9
1 5 9...4n 3
1 1 3
1 3...2n 1
.
3n n!
14. 3 3 6
15.
1
3
5
2n 1
.
...
n
2 2 2 2
2
16.
1
n5
n 1
n 1
3n
2
17. n 1 n
18.
1
nnn
n 2
124
19.
1
nn 1n 3
n 1
2n
n
20. n 1 n 2
2. Исследовать на сходимость по признаку Лейбница.
1.
2.
1n 1
2n 1
n 1
1n 1
n 1
n2
3.
1
n
n2
4.
1
5.
n 1
1n n
n3
6.
1
n
1
n
1
n
n 1
9.
3
n 1
8.
3
n 1
7.
5
n2
n
n 1
1
n
n 1
1
10. n 1
nn
n
n
1
n
1
n2
1
n5
n
n 3
2
1
nn 1
3. Найти интервалы сходимости и определить тип сходимости на концах интервала.
125
1.
x
n
n 0
xn
n
2. n 1 n 2
x 2 n 1
3. n 1 2n 1
1n 1 x n
n
4. n 1
5.
n! x
n
n 0
n x
6. n 1 n 1 2
x n 1
n 3
n
n
nn
( x 1)2 n
n
8. n 1 n 9
( x 3) n
n
9. n 1 n 5
( x 2) n
n
10. n 1 (2n 1) 2
( x 3) n
n
11. n 1 n
( x 5)2 n 1
n
12. n 1 2n 4
xn
13. n 1 n!
7.
n2
2n
x 2
1
14.
15.
n 1
2n
n 1
10
n
xu
n 1
xn
n 1
16. n 1 n 10
xn
17. n 1 nn 1
nn 1 n 1
x
n
1
n
1
18.
n
n 1 x 5
1
n 3n
19. n 1
x 32n
n 1 n 1nn 1
126
ЛЕКЦИЯ №№ 21-24
Дифференциальные уравнения.
Дифференциальные уравнения. Основные понятий, определения и уравнения с
разделяющими переменными.
Рассмотрим задачу, приводящую к нахождению функции, являющейся решением
дифференциального уравнения.
Задача. Найти кривую, проходящую через точку M 0 (0,1) и обладающую тем
свойством, что в каждой ее точке угловой коэффициент касательной равен удвоенной
абсциссе точки касания.
Решение.
Пусть y y (x) есть уравнение кривой, обладающей в каждой своей точке
M ( x, y ) указанным в задаче свойством. Обозначим через угол, образованный
касательной MT с положительным направлением оси Ox . Как известно, угловой
коэффициент касательной MT есть tg , и он равен производной от y по x , так что
tg y
(1).
С другой стороны, по условию задачи имеем
2
tg 2 x
y 2x
3
В уравнении (3) неизвестная функция стоит под знаком производной или, что одно и
то же, уравнение (3) содержит производную от неизвестной функции. Уравнение такого
типа, которые содержат производные искомой функции, называются дифференциальными
уравнениями.
Решением дифференциального уравнения (3) является первообразная для функции
2
2x . Например, решением будет y x (4).
Как известно из интегрального исчисления, все первообразные для функции 2x и,
2
следующие все решения дифференциального уравнения (3) даются формулой y x C ,
где C - произвольная постоянная.
127
Получим бесконечное множество решений дифференциального уравнения (3), т.к.
каждому конкретному значению C соответствует свое решение. В частности, при
2
C 0 получаем решение y x .
Определение: Уравнение содержащее независимую переменную Х, искомую
функцию У (Х) и её производную У’, У’’, У”’- называется дифференциальным
уравнением.
Искомая кривая y y (x) является графиком
уравнения, она называется интегральной кривой.
решения
дифференциального
2
Таким образом, интегральными кривыми уравнения (3) будут парабола y x и вне
параболы, получающиеся из нее сдвигом по оси Oy на C единиц.
Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее
независимую переменную x , неизвестную функцию этой переменной y и ее производные
различных порядков.
F ( x, y, y , y ,..., y ( n ) ) 0
(1)
Определение: Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей
производной, содержащейся в нем.
Приведем примеры:
1)
y y x 0
Уравнение 4-го порядка
3-го порядка
2)
x 2 y ( x 1) y x 3 0
3)
y 2 y 3 y x 2 1
2-го порядка
4)
y 2 y 3 y 0
2-го порядка
5)
y 3x 2 0
1-го порядка
128
В дифференциальных уравнениях не обязательно должны явно содержаться
переменные, функция и производные всех порядков. Примеры это иллюстрируют.
Решением дифференциального уравнения (1) называется всякая функция y f (x) ,
при подстановке которой в уравнение оно обращается в тождество.
Процесс нахождения решения дифференциального уравнения называется его
интегрированием, а график решения дифференциального уравнения - интегральной
кривой.
Пример1:
2
Найти решение уравнения y 3x 0
Решение:
y 3x 2 y x 3 C - это и есть решение дифференциального уравнения. Меняя C ,
будем получать различные значения.
Общим решением дифференциального уравнения n -го порядка называется его
общее решение, выраженное явно относительно неизвестной функции и содержащее
n независимых произвольных постоянных, т.е.
y ( x, c1 , c 2 ,..., c n )
(2)
Общим интегралом дифференциального уравнения n - го порядка называется его
общее решение, выраженное в виде неявной функции.
Частным решением дифференциального уравнения называется такое решение, в
котором произвольным постоянным приданы конкретные числовые значения.
3
В примере 1, пусть C 5 y x 5 - частное решение.
Дифференциальные уравнения первого порядка.
Дифференциальные уравнения первого порядка имеют вид
F ( x, y, y ) 0 .
Если это уравнение можно разрешить относительно y , то его можно записать
y f ( x, y ) . В этом случае мы говорим, что дифференциальное уравнение разрешено
129
относительно производной. Для такого уравнения справедлива следующая теорема,
которая называется теоремой о существовании и единственности решения
дифференциального уравнения.
Теорема. Если в уравнении y f ( x, y ) функция f ( x, y ) и ее частная производная
f
y по y непрерывны в некоторой области D на плоскости xOy , содержащей некоторую
точку ( x 0 , y 0 ) , то существует единственное решение этого уравнения y (x) ,
удовлетворяющее условию: y y 0 при x x 0 .
Геометрический смысл теоремы заключается в том, что существует и при том
единственная функция y (x) , график которой проходит через точку ( x 0 , y 0 ) .
x x0
y должна равняться заданному числу
y / x x0 y 0
называется начальным условием. Оно записывается в виде
.
Условие, что при
функция
y0
,
Дадим геометрическую интерпретацию дифференциального уравнения первого
порядка.
Пусть дано дифференциальное уравнение, разрешенное относительно производной
dy
f ( x, y)
dx
(*) и пусть y (x) - есть общее решение данного уравнения. Это общее
решение определяет семейство интегральных кривых на плоскости xOy .
Уравнение (*) для каждой точки M с координатами x и y определяет значение
dy
производной dx , т.е. угловой коэффициент касательной к интегральной кривой,
проходящей через эту точку. Таким образом, дифференциальное уравнение (*) дает
совокупность направлений или, как говорят, определяет поле направлений на плоскости
xOy .
Следующая,
с
геометрической
точки
зрения
задача
интегрирования
дифференциального уравнения заключается в нахождении кривых, направление
касательных к которым совпадает с направлением поля в соответствующих точках.
Для дифференциального уравнения (*) геометрическое место точек, в которых
dy
k const
dx
выполняется
соотношение
,
называется
изоклиной
данного
дифференциального уравнения.
Дано: у = f(Х;У)- обыкновенное дифференциальное уравнение 1- ого порядка
f(х ;у ) = у(х) = tg - угол наклона
130
(х;у) = (2;1) f(х;у) = 1= tg 45°
(х;у)= (3;2) f(х;у) = -1= tg 135°
(х;у) = (5;7) f(х;у) = √3 = tg60°
Задано дифференциальное уравнение 1-го порядка - означает, что поле векторов
касательно к искомой кривой.
Найти решение обыкновенного дифференциального уравнения 1-го порядка означает
восстановить или найти кривую по данному полю векторов.
Решение дифференциальных уравнений
удовлетворяющих следующим требованиям:
-
это
класс,
семейство
кривых
1. При любом С (Х/С) будет решением дифференциального уравнения.
2. Для данного начального условия (Хо;Уо) Fс=Co ф(Х;Со) удовлетворяет
данному начальному условию, т.е. f (х;Со): F(Хо;Со) = Уо
Семейство кривых У = f(Х;С) называется общим решением уравнения, если она
удовлетворяет условия 1 и 2.
Определение: Частное решение –решение, которое удовлетворяет данному
начальному условию (геометрически)-частное решение- это интегральная кривая из
семейства проходящее через данную точку.
Особые применения
131
Общее решение
Определение:
Решение
называется
особым,
если:
дифференциального уравнения 2. Оно не входит в общее решение.
1.
это
решение
Особое решение- это такое частное решение, которое не входит в общее решение.
Решение дифференциальных уравнений 1-го порядка.
Уравнения с разделяющимися переменными.
Дифференциальное уравнение
переменными, если оно имеет вид:
называется
уравнением
f 1 ( x) 2 ( y)dx f 2 ( x) 1 ( y)dy 0
с
разделяющимися
(3)
где f 1 ( x), f 2 ( x) - функции только переменной x ,
1 ( y), 2 ( y) - функции только переменной y .
Поделив члены уравнения (3) на произведение f 2 ( x) 2 ( x) ,
f 1 ( x)
( x)
dx 1
2 ( x)
получим f 2 ( x)
(4)
Левая часть уравнения (4) зависит только от x , а правая часть - только от y , т.е.
переменные разделены (поэтому и название уравнения соответствующее). Левую часть
можно рассматривать как дифференциал функции F (x) переменной x , т.е. F (x) -
f 1 ( x)
первообразная для f 2 ( x) .
Следовательно,
F ( x)
f 1 ( x)
dx
f 2 ( x) .
1 ( x)
dy
(
x
)
2
Точно также
. Равенство дифференциалов означает, что они
C
отличаются на постоянную величину .
( y )
f 1 ( x)
( x)
dx 1
dy C
f 2 ( x)
2 ( x)
132
это общий интеграл уравнения (3). Его нахождение свелось к почленному
интегрированию уравнения (4) (при решении не обязательно переносить один из членов в
правую часть).
Пример2:
x(1 y 2 )dx y(1 x 2 )dy 0
Решение:
2
2
Делим уравнение на (1 y )(1 x ) .
y
x
dx
dy 0
2
1 x
1 y 2
.
xdx
Интегрируем:
1 x
2
ydy
C
1 y 2
1
1
ln 1 x 2 ln 1 y 2 C ; ln (1 x 2 )(1 y 2 ) C
2
2
- общий интеграл.
(1 x 2 )(1 y 2 ) e c ;
y
1 y 2
?
e 2c
;
1 x 2
y
e 2c
1
1 x 2
Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.
f ( x, y ) называется
Предварительно введем следующие понятия. Функция
однородной функцией k -ой степени, если для любого t выполняется равенство:
f (tx, ty) t k f ( x, y) .
Например
f ( x, y) x 2 y 3xy 2 y 3 ;
f (tx, ty) t 2 x 2 ty 3tx t 2 y 2 t 3 y 3 t 3 ( x 2 y 3xy 2 y 3 )
-однородное
дифференциальное уравнение 3-ей степени.
Отношение двух однородных функций одинаковых степеней также есть однородная
функция, но нулевой степени.
Дифференциальные уравнения первого порядка.
133
M ( x, y )dx N ( x, y )dy 0
(5)
называется однородным, если M ( x, y ) и N ( x, y ) - однородные функции одной и той же
степени.
Решение однородного дифференциального уравнения сводится к решению уравнения
с разделяющимися переменными. Для этого уравнение (5) преобразуем к виду
dy
M ( x, y)
dx
N ( x, y)
(6)
dy
f ( x, y)
или же dx
, где f ( x, y ) - однородная функция нулевой степени, как отношение
однородных функций одинаковых степеней.
dy
dy
y
u x u y
dx подставив в уравнение (6), получим
x или dx
Введем замену
,
уравнение с разделяющимися переменными: u x u f ( x, ux) .
u
Пример 3:
( xy y 2 )dx x 2 dy 0
Решение:
x 2 dy ( xy y 2 )dx
2
dy xy y
dx
x2 .
Производим замену:
u
y
; y ux; y u x u
x
.
Тогда
ux 2 u 2 x 2
du
u u 2 . u
u x u 2 ;
2
dx
x
du
du dx 1
x u2;
; ln x C ;
dx
x u
u2
x
x
ln x C ; y
y
ln xC
u x u
134
Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.
Общий вид такого уравнения:
y P( x) y Q( x)
(7)
где P( x), Q( x) - непрерывные функции от (x ) .
Интегрирование уравнения (7) можно свести к интегрированию двух
дифференциальных уравнений первого порядка с разделяющимися переменными.
Представим искомую функцию y u v ,
y
dy
du
dv
u v v u
v u
dx
dx
dx .
тогда:
du
dv
v u P( x) uv Q( x)
dx
dx
,
v
du
dv
u P( x) v Q( x)
dx
dx
Подставляем
в
уравнение
(7):
(8)
dv
P( x) v 0
Выберем функцию v так, чтобы выражение dx
, т.е. в качестве функции
v беспорядочно из частных решений дифференциального уравнения с разделяющимися
переменными. Вычислив функцию v , подставим ее в (8), получим:
v
du
f (x)
dx
.
Для нахождения « u » также получили дифференциальное уравнение I порядка с
разделяющимися переменными. Решение исходного уравнения равно произведению этих
y uv
функций
.
Пример 4:
y
y x 1
x
x
Решение:
135
y u v
y u v uv
uv x 1
x
x
v x 1
()
u v u v
x
x
dv dx
dv v
v
,
,
v 0,
x
v
dx x
x
ln v ln x, v x (*)
u v uv
x 1 du x 1
2
,
dx
x
x
1 1
x 1
du 2 dx, u 2
x x
x
1
y u v x(ln x C )
x
u x
1
dx ln x C
x
Уравнение Бернулли.
Рассмотрим уравнение вида
y P ( x ) y Q( x ) y n
(1)
где P( x), Q( x) - непрерывные функции от x (или постоянные), n 1, n 0 . Это уравнение
называется уравнением Бернулли, сводится к линейному следующим преобразованием.
n
Разделим (1) на y :
y n y P( x) y n1 Q( x)
n 1
Сделаем замену z y
z (n 1) y n y
y n y
z
n 1
z
P( x) z Q( x)
n 1
z (n 1) P( x) z (n 1) Q( x)
(2)
136
n 1
Вычислив его общий интеграл, и подставив вместо z выражение y
, получим
общий интеграл уравнения Бернулли.
Пример5:
y xy x 3 y 3
/: y
3
y 3 y xy 2 x 3
Обозначим
z y 2 ; z 2 y 3 y ; y 3 y
z
2
z
xz x 3 ; z 2 xz 2 x 3
2
z uv; z u v v u
u v v u 2 xuv 2 x 3
u v u (v 2 xv) 2 x 3 ; v 2 xv 0;
dv
2 xdx
v
ln v x 2
v ex
2
u e x 2 x 3 ; du 2 x 3 e x dx
2
2
Интегрируя по частям, получим:
u x 2 e x e x C; z uv e x ( x 2 e x e x C)
2
2
2
2
2
z y 2 ; y 2 e x ( x 2 e x e x C) - общий интеграл.
2
2
2
Линейные дифференциальные уравнения второго порядка.
Частные случаи линейных дифференциальных уравнений II порядка,
их решение. Общие свойства решений линейных
дифференциальных уравнений II порядка.
Дифференциальное уравнение ІІ порядка называется линейным, если оно первой
степени относительно совокупности искомой функции y и ее производных y , y .
137
1. Простейшее дифференциальное уравнение II порядка имеет вид:
y f (x)
(1)
Правая часть уравнения- непрерывная функция одной переменной x . Уравнений (1)
показывает, что искомая функция продифференцирована два раза. Общее решение
уравнения найдем двукратным интегрированием функции f (x) .
Обозначим y p .
p f ( x)dx C1 ;
y
f ( x)dx C dx C
1
2
.
Пример 6:
y
x2
1
2
x2
x3
p ( y )
1dx
x C1
2
6
x3
x4 x2
y x C1 dx
C1 x C 2
24 2
6
Пример 7:
1
cos 2 x
y p, y p
y
dp
1
1
;
2
cos x dx cos 2 x
dx
dp
cos 2 x
dy
p tgx C1 ;
tgx C1
dx
p
dy (tgx C1 )dx
y ln cos x C1 x C 2
2. Решение дифференциальных уравнений вида
y f ( x, y )
(2)
138
не содержит в явном виде неизвестной функции y . Понизим порядок уравнения, введя
замену y p, y p . Выполним замену в уравнении (2), в результате получим
дифференциальное уравнение I порядка p f ( x, p) .
Пример8:
xy y x 2
y p, y p, xp p x 2
p
p
x
x
- линейное уравнение.
p uv; p u v v u; u v v u
uv
x
x
v
u v u v x
x
v
dv
v
v 0,
x
dx
x
ln v ln x , v x
u x x, u 1, u x C1
p x ( x C1 ), y x ( x C1 )
x 2 C1
x3
y ( x xC1 ) dx
C2
3
2
2
Линейное дифференциальное уравнение называется однородным (или без правой
части), если его свободный член тождественно равен нулю, в противном случае неоднородным (или с правой частью).
Линейное однородное дифференциальное уравнение с теми же коэффициентами, что
и линейное неоднородное того же порядка, называется однородным уравнением,
соответствующим данному неоднородному.
Линейное неоднородное дифференциальное уравнение II порядка в общем виде
записывается так:
y p( x) y q( x) y f ( x)
(3)
где коэффициенты p ( x), q ( x) и правая часть
соответствующее ему однородное уравнение:
f (x ) - непрерывные функции, а
139
y p( x) y q( x) y 0
(4)
Теорема 1: Если y1 есть решение дифференциального однородного уравнения II
порядка (4) и C - постоянная, то Cy1 также есть решение уравнения (4).
Теорема 2: Если y1 и y 2 - какие-нибудь два линейно независимых частных решения
линейного однородного дифференциального уравнения II порядка, то его общим
решением служит функция
y C1 y1 C2 y2
(5)
где C1 , C2 - произвольные постоянные.
Можно доказать, что если y1 и y 2 - линейно независимые частные решения
уравнения (4), то все его решения исчерпываются формулой (5).
Интегрирование линейного неоднородного дифференциального уравнения тесно
связано с интегрированием соответствующего ему однородного уравнения.
Теорема 3: Общее решение линейного неоднородного дифференциального
уравнения есть сумма его частного решения и общего решения соответствующего ему
*
линейного однородного дифференциального уравнения: y y y .
В дальнейшем ограничимся рассмотрением лишь линейных дифференциальных
уравнений II порядка с постоянными коэффициентами, т.е. коэффициенты - постоянные
величины.
Линейные однородные дифференциальные уравненияс постоянными
коэффициентами.
Пусть требуется решить линейное однородное дифференциальное уравнение ІІ
порядка
y py qy 0
(6)
в котором p и q - постоянные величины. Как следует из теоремы 2, для получения
общего решения этого уравнения достаточно найти два его линейно независимых частных
решения.
kx
Будем искать их в виде y e
140
kx
2 kx
Тогда y ke ; y k e Подставив выражения y , y , y в (6), имеем:
k 2 e kx pkekx qe kx 0
e kx (k 2 pk q) 0 , т.к. e kx 0 k 2 pk q 0
(7)
Квадратное уравнение (7) называется характеристическим уравнением линейного
однородного дифференциального уравнения II порядка с постоянными коэффициентами.
kx
Таким образом, функция y e является частным решение уравнения (6), если k - корень
характеристического уравнения.
Характеристическое уравнение (7) имеет два корня. В зависимости от D этого
2
уравнения, который равен D p 4q , корни могут быть:
1) D 0 : действительные и различные
2) D 0 : действительные и равные
3) D 0 : комплексные (обязательно сопряженные)
Рассмотрим их.
1. ( D 0 ) - корни характеристического уравнения действительные и различные,
k1 k 2 . Тогда функции y1 e k1x и y 2 e k2 x - частные решения уравнения (6), причем
k1 x
k2 x
линейно независимые. В силу теоремы (2), функция y C1e C 2 e служит общим
решением дифференциального уравнения (6).
2. ( D 0 ) - корни характеристического уравнения равные, k1 k 2 . Поэтому
kx
получаем только одно частное решение уравнения (6), им служит функция y Ce .
kx
Покажем, что другим частным решением уравнения (6) является функция y xe ,
т.к. при D 0 :
k
p
y xe
2
px
2
. Найдем y , y .
px
2
y xe
3. ( D 0 ) – корни характеристического уравнения комплексные, их можно
представить в виде x1 i, x2 i . В этом случае частными решениями
x
x
уравнения (6) являются функции y1 e sin x, y 2 e cos x . Точно так же
проверяется.
x
Общее решение уравнения (6) равно: y e C1 sin x C2 cos x .
141
Случай, когда корни характеристического уравнения - чисто мнимые. Это имеет
место тогда, когда p 0 и уравнение имеет вид: y qy 0 . Характеристическое
2
уравнение имеет вид: k q 0, q 0 .
Корни
k1, 2 i q i 0
.
Решение будет следующим: y C1 cos x C2 sin x .
Пример 9:
y 9 y 0 .
Найти частное решение при
x 0, y 0, y 3
k2 9 0
k1 3i, k 2 3i
y C1 cos 3x C 2 sin 3x
0 C1
C 0
1
3 0 3C 2
C 2 1
y sin 3x
.
Пример10:
y 7 y 8 y 0
D 81, k1 1, k 2 8
y C1e x C 2 e 8 x
Пример11:
y 8 y 16 y 0
D 0, k1, 2 4
y e 4 x (C1 C 2 x)
Пример12:
y 2 y 10 y 0
D 36, k1, 2 1 3i
1, 3
y e x (C1 sin 3x C 2 cos 3x)
142
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения II порядка
с постоянными коэффициентами.
Из теоремы 2 следует, что для решения линейного неоднородного
дифференциального уравнения II порядка необходимо найти какое-нибудь его частное
*
решение и общее решение соответствующего ему однородного уравнения: y y y .
В предыдущей теме мы рассматривали, как находится общее решение однородного
уравнения, т.е. y . Следовательно, теперь будем находить какое-нибудь частное решение
неоднородного уравнения
y py qy f (x)
(1)
Покажем, как подбирается частное решение этого уравнения в зависимости от вида
функции f (x) в тех случаях, когда она представляет собой многочлен, показательную или
тригонометрическую функцию.
1.Пусть правая часть уравнения (1) – многочлен второй степени
f ( x) ax 2 bx c (a 0) . Будем искать частное решение уравнения (1) также в виде
*
2
многочлена второй степени y Ax Bx C . Задача состоит в определении
*
коэффициентов A, B, C . Для этого находим первую и вторую производные функции y ,
затем подставляем в уравнение (1).
y 2 Ax B; y 2 A
*
*
2 A p(2 Ax B) q( Ax 2 Bx C ) ax 2 bx c
Aqx 2 (2 Ap Bq ) x 2 A pB qC ax 2 bx c
Aq a
A, B, C
2 Ap Bq b
2 A Bp Cq c
y * Ax 2 Bx C при q 0
y y* y .
При q 0 частное решение следует искать в виде
y * x( Ax 2 Bx C ) Ax3 Bx 2 Cx .
143
*
*
Опять вычисляем y , y .
y 3 Ax
*
2
2 Bx C ;
y 6 Ax 2B
*
6 Ax 2 B p (3 Ax 2 2 Bx C ) ax 2 bx c
3 Apx 2 (6 A 2 Bp ) x 2 B pC ax 2 bx c
3 Ap a
*
3
2
6 A 2 Bp b y Ax Bx Cx
2 B pC c
2
Если же p 0, q 0, то уравнение имеет вид: y ax bx c . Это уравнение
решается непосредственным интегрированием.
Пример13:
y 2 y 8 y x 2
q0
k 2k 8 0
2
D 36, k1 4, k 2 2
y C1e 4 x C 2 e 2 x ; y * Ax 2 Bx C
y * 2 Ax B; y * 2 A
2 A 4 Ax 2 B 8 Ax 2 8 Bx 8C x 2
8 A 1
1
1
3
A ,B ,C
4 A 8 B 0
8
16
64
2 A 2 B 8C 0
1
1
3
y* x 2 x
8
16
64
1
1
3
y C1e 4 x C 2 e 2 x x 2 x
8
16
64
Пример14:
y 2 y x 3
k 2 2k 0; k1 0, k 2 2
y C1 C 2 e 2 x
144
т..q 0 y * x( Ax B) Ax 2 Bx
( y * ) ( Ax 2 Bx ) 2 Ax B
( y * ) 2 A
2 A 4 Ax 2 B x 3
1
A
4
A
1
4
2 A 2 B 3 B 7
4
1
7
y* x2 B
4
4
1
7
y C1 C 2 e 2 x x 2 B
4
4
bx
2. Пусть правая часть уравнения (1)- показательная функция, т.е. f ( x) ae . Тогда и
y * Aebx .
частное решение будем искать в виде показательной функции
( y * ) Abe bx ; ( y * ) Ab 2 e bx
Ab 2 e bx pAbe bx qAe bx ae bx
bx
2
т.к. e 0, A(b pb q) a ,
если b bp q 0 , то
2
A
a
b bp a .
2
2
Если же b - однократный корень характеристического уравнения, т.е. b bp q 0 ,
*
bx
то частное решение уравнения (1) следует искать в виде y Axe .
( y * ) Ae bx Abxebx Ae bx (1 bx)
( y * ) Abe bx Abe bx Ab 2 xebx
Ae bx (b b b 2 x) Ae bx (2b b 2 x)
Ae bx (2b b 2 x) pAebx (1 bx) qAxebx ae bx /делим на e bx
A(2b p) x(b
A 2b b 2 x p pbx qx a
2
b 2 pb q 0 A
т.к.
pb q) a
a
p
;b
2b p
2.
145
p
2 (это означает, что
b является двукратным корнем
Если же
характеристического уравнения), то означает решение уравнения (1) ищем в виде
y * Ax 2 e bx .
b
Системы обыкновенных дифференциальных уравнений.
При
решении
многих
задач
требуется
найти
функции
y1 y1 ( x), y2 y2 ( x),..., yn yn ( x) , которые удовлетворяют системе дифференциальных
уравнений, содержащих аргумент, искомые функции у1 , у2 ,..., уn и их производные.
Рассмотрим систему уравнений первого порядка:
dy1
dy f1 ( x, y1 , y 2 ,..., y n )
dy 2
f 2 ( x, y1 , y 2 ,..., y n )
dx
.. .. .. .. .. .. ..
dy n
dx f n ( x, y1 , y 2 ,..., y n )
(1)
где у1 , у2 ,..., уn - искомые функции, х - аргумент.
Такая система, когда в левой части уравнений стоят производные первого порядка, а
правые части не содержат производных, называется нормальной.
Проинтегрировать систему- это значит определить функции у1 , у2 ,..., уn ,
удовлетворяющие системе уравнений (1) и данным начальным условиям. Рассмотрим на
примере.
Пример 15:
Проинтегрировать систему при заданных начальных условиях
y0 ( x0 0) 1, z0 ( x0 0) 0
dy
dx y z x
dz 4 y 3z 2 x
dx
(а)
(б):
146
d 2 y dy dz
1
2
dx dx . Подставим из
Дифференцируя по x первое уравнение, получим: dx
d2y
dy
dz
y z x 4 y 3z 2 x 1
2
(а) dx и dx , тогда dx
d2y
3 y 2 z 3x 1
dx 2
(в).
Из первого уравнения системы (а) найдем
z
dy
yx
dx
(г) и подставим в (в):
d2y
dy
3 y 2 2 y 2 x 3 x 1
2
dx
dx
2
d y
dy
2 y 5x 1
2
dx
dx
y 2 y y 5 x 1
k 2 2k 1 0 D 0, k1, 2 1
y (C1 C 2 x)e x
y * Ax B
y * 5x 9
y (C1 C 2 x)e x 5 x 9
dy
(C1 C 2 x)e x e x (C 2 ) 5
dx
e x (C1 C 2 C 2 x) 5
dy
yx
dx
z e x (C1 C 2 C 2 x C1 C 2 x) 5 5 x 9 x
z
e x (2C1 C 2 2C 2 x) 6 x 14
C1 10, C 2 6
Пример 16:
dy
dx 2 y 4 z 0
dz y 3 z 3 x 2
dx
Дифференцируем первое уравнение по x :
147
d2y
dy
dz
2 4 0
2
dx
dx
dx
Из первого и второго уравнения
dy
dz
2 4 z
y 3z 3x 2
dx
dx
и
d2y
2(2 y 4 z ) 4( y 3z 3x 2 ) 0
2
dx
d2y
4 y 8 z 4 y 12 z 12 x 2 0
dx 2
d2y
4 z 12 x 2 0
2
dx
Из первого уравнения
4z
dy
2y
dx
d 2 y dy
2 y 12 x 2
dx 2 dx
y y 2 y 12 x 2
k2 k 2 0
D 9 k1 1, k 2 2
y C1e x C 2 e 2 x
y * 6 x 2 6 x 9
y y * y , y =?
Из второго уравнения
z
y 2 y 1
C1e x C 2 e 2 x 3x 2 3
4
4
Практические занятия к теме 10.
Пример 1:
148
y ' tgxtgy
dy
tgxdx
tgy
ln sin y ln cos x ln c
C cos x sin y
Пример 2:
( xy y 2 )dx x 2 dy 0
x 2 dy ( xy y 2 )dx
dy xy y
dx
x2
2
Производим замену:
u x u
u
ux 2 u 2 x 2
u u2.
2
x
du
u x u 2 ;
dx
du
du dx
x u2;
;
dx
x
u2
1
x
ln x C ; ln x C ;
u
y
x
y
ln xC
u
Тогда
y
; y ux; y u x u
x
.
Пример 3:
y ' '5 y '6 y 0
k 2 5k 6 0
k1 2;
k2 3
y c1e 2 x c 2 e 3 x
Пример 4:
y ' '25 y 0
k 2 25 0
y c1 cos 5 x c2 sin 5 x
Пример 5:
149
y 3 y 10 y 9e 4 x
k 2 3k 10 0
D 9 4(10) 49
37
37
5; k 2
2
2
2
y C1e 5 x C 2 e 2 x
k1
y * Ae 4 x ; ( y * ) 4 Ae 4 x ; ( y * ) 16 Ae 4 x
16 Ae 4 x 12 Ae 4 x 10 Ae 4 x 9e 4 x
1
48 A 9 A
2
1
y* e4x
2
1
y C1e 5 x C 2 e 2 x e 4 x
2
Пример 6:
y 3 y 10 y 14e 2 x
y C1e 5 x C 2 e 2 x
2 является корнем характеристического уравнения
k 2 3k 10 0 , поэтому частное решение ищем
*
2x
в виде y Axe .
( y * ) Ae 2 x 2 Axe2 x Ae 2 x (1 2 x)
( y * ) 2 Ae 2 x 2 Ae 2 x 4 Axe2 x
4 Ae 2 x 4 Axe2 x 4 Ae 2 x (1 x)
4 Ae 2 x (1 x) 3 Ae 2 x (1 2 x) 10 Axe2 x
14e 2 x Ae 2 x (4 4 x 3 6 x 10 x) 14e 2 x
7 A 14 A 2
y * 2 xe2 x
y C1e 5 x C 2 e 2 x 2 xe2 x
3. Пусть правая часть уравнения (1)- тригонометрическая функция
f ( x) a sin x b cos x, 0 . Тогда и частное решение следует искать в виде
вида
150
y * A sin x B cos x, y e 2 x (C1 sin x C 2 cos x)
( y * ) A cos x B sin x
( y * ) 2 A sin x 2 B cos x
2 A sin x 2 B cos x pA cos x pB sin x
qA sin x Bq cos x a sin x b cos x
sin x( 2 A Bp Aq) cos x( 2 B pA Bq)
a sin x b cos x
2
2
A Bp Aq a
A(q ) Bp a
2
2
B Ap Bq b
Ap B (q ) b
A(q 2 ) 2 Ap 2 2 a (q 2 ) bp
A
a (q 2 ) bp
;
( q ) 2 p 2 2
Пример 7:
B
b(q 2 ) ap
( q 2 ) 2 p 2 2
/ ( q 2 )
/ p
.
151
y 12 y 20 y sin 2 x
k 2 12k 20 0
D 64 k1 10, k 2 2
y C1e 10 x C 2 e 2 x ;
y * A sin 2 x B cos 2 x
( y * ) 2 A cos 2 x 2 B sin 2 x;
( y * ) 4 A sin 2 x 4 B cos 2 x
4 A sin 2 x 4 B cos 2 x 24 A cos 2 x
24 B sin 2 x 20 A sin 2 x 20 B cos 2 x sin 2 x
sin 2 x(4 A 24 B 20 A) cos 2 x(4 B 24 A 20 B ) sin 2 x
1
16 A 24 B 1 A 52
24 A 16 B 0 B 11
360
10 x
2 x
y C1e
C2e ;
y * A sin 2 x B cos 2 x
( y * ) 2 A cos 2 x 2 B sin 2 x;
( y * ) 4 A sin 2 x 4 B cos 2 x
4 A sin 2 x 4 B cos 2 x 24 A cos 2 x
24 B sin 2 x 20 A sin 2 x 20 B cos 2 x sin 2 x
sin 2 x(4 A 24 B 20 A) cos 2 x(4 B 24 A 20 B ) sin 2 x
1
16
A
24
B
1
A
52
24 A 16 B 0 B 11
360
1
11
y * sin 2 x
cos 2 x
16
360
y y* y
Пример 8:
2
Если же p 0 и q , то решение находится
*
в виде y x( Asin x B cos x) , y y cos x .
2
Здесь p 0, 1, q .
152
k 2 1 0, k1, 2 i, 0, 1
y C1 sin x C 2 cos x
y * x( A sin x B cos x) xAsin x xB cos x
( y * ) A sin x xA cos x B cos x xB sin x
( y * ) A cos x A cos x xAsin x B sin x
B sin x xB cos x 2 A cos x 2 B sin x xAsin x xB cos x
sin x( xA 2 B xA) cos x(2 A xB xB) cos x
2 B 0 B 0
1
2 A 1 A 2
1
y * x sin x
2
y C1 sin x C 2 cos x
1
x sin x
2
Если правая часть уравнения (1) представляет сумму рассмотренных типов функций,
f ( x) Pn ( x) Aebx A1 sin x B1 cos x
т.е.
, то частное решение этого уравнения равно
сумме частных решений, полученных отдельно для каждого слагаемого.
Пример 9:
( y * ) A(e x xex ) Ae x (1 x )
( y * ) A(e x e x xex ) Ae x ( 2 x )
Ae x ( 2 x ) 6 Ae x (1 x ) 7 Ae x e x
2 A Ax 6 A 6 Ax 7 Ax 1
1
1
; y1* xex
8
8
*
2
y Ax Bx C
8A 1 A
( y * ) 2 Ax B;
y 6 y 7 y
( y * ) 2 A
1 2
x x
2
k 2 6k 7 0
D 64
k1 7, k 2 1
y C1e 7 x C 2 e x
Теперь
по
y 6 y 7 y e x .
отдельности:
характеристического уравнения, то y Axe .
*
x
т.к.
b 1 является
корнем
153
2 A 12 Ax 6 B 7 Ax 2 7 Bx 7C
1 2
x x
2
1
1
A
14
7 A 2
13
12 A 7 B 1B 7C 0 B
49
2 A
85
C 343
1
12
85
y 2* x 2
x
14
49
343
*
*
y y y1 y 2
Пример 10:
y 9 y ( x 2 1)e 3 x
k 2 9 0; k1, 2 3i
y C1 cos 3 x C 2 sin 3x
2
3x
Правая часть f ( x) ( x 1)e ,
*
2
3x
3x
т.е. f ( x) P( x)e или y ( Ax Bx C )e
( y * ) (2 Ax B)e 3 x 3( Ax 2 Bx C )e 3 x
( y * ) 2 Ae 3 x 3(2 Ax B)e 3 x
3(2 Ax B)e 3 x 9( Ax 2 Bx C )е 3 x
e 3 x (2 A 6 Ax 3B 6 Ax 3B
18( Ax 2 Bx C )) ( x 2 1)e 3 x
18 Ax 2 (12 A 18 B) x 2 A 6 B 18C ( x 2 1)
1
18 A 1
A
18
12 A 18 B 0
2 A 6 B 18C 1 B 1 ; C 5
27
81
1
5
1
y* x2
x e3x
27
81
18
y y* y
Пример 11:
154
y y 3e 2 x cos x
f ( x) e 2 x ( M cos x N sin x); M 3, N 0
k 2 1 0; k1, 2 1
y C1e x C 2 e x
2, 1 i 2 i
- не является корнем характеристического уравнения,
*
2x
то y e ( A cos x B sin x) .
( y * ) 2e 2 x ( A cos x B sin x) e 2 x ( A sin x B cos x)
( y * ) 4e 2 x ( A cos x B sin x) 2e 2 x ( A sin x B cos x)
2e 2 x ( A sin x B cos x) e 2 x ( A cos x B sin x)
e 2 x (4 A cos x 4 B sin x 2 A sin x 2 B cos x 2 A sin x
2 B cos x a cos x B sin x) 3e 2 x cos x
sin x(2 A 4 B 2 A B ) cos x(4 A 2 B 2 B A) 3 cos x
3
A
4 A 3B 0
10
3 A 4 B 0
B 3
5
3
3
y * e 2 x cos x sin x
5
10
Контрольные вопросы и задания к теме 10.
1.
Дать определение дифференциального уравнения.
2.
Что называется интегральной кривой.
3.
Дать определение обыкновенного дифференциального уравнения.
4.
Что называется порядком дифференциального уравнения.
5.
Общее решение дифференциального уравнения n-го порядка.
6.
Частное решение дифференциального уравнения.
7.
Общий вид дифференциального уравнения первого порядка.
155
8.
9.
Теорема о существования и единственности решения дифференциального
уравнения.
Уравнение Бернулли.
10. Линейные дифференциального уравнения второго порядка.
11. Общий вид линейного неоднородного дифференциального уравнения.
12. Характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального
уравнения II-го порядка с постоянными коэффициентами.
Задания к теме 10.
1. Решить дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.
2. Решить однородное дифференциальное уравнение.
3. Решить линейное дифференциальное уравнение.
4. Решить дифференциальное уравнение, допускающее понижение порядка.
5. Решить дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами.
Вариант №1.
2
2
1. tgx sin ydx cos x ctgydy 0
y
2.
y
1
x
y y tgx
3.
1
; y0
cos x
при x 0 .
2
4. 2 y ( y 6 x) y 0,
5. y 5 y 6 y 0
Вариант №2.
y 0, y 2 при x 2 .
156
3
1. x y y y
y
2.
x y
x
1
y y x
x
3.
4. ( x 1) y ( x 2) y x 2 0
5. y 4 y 13 y 0
Вариант №3.
x
x
1. 1 e yy e ,
y
2 xy
x2 y2
y
2
y x
x
y
1
y 2 xy
4
2.
3.
4.
5. y ky 0
y(0) 1
k 0
Вариант №4.
y sin x y ln y,
1.
y
y e x
2.
y 1
2
y
x
2
3. x y 2 xy ln x
2
3
4. yy y y ,
y 1, y 1 при x 0 .
157
5. y 2 y 0,
y 1, y 2 при x 0 .
Вариант №5.
1. y tgx y
y
2.
y
y
tg
x
x
x
3. e y y 1
2
4. 1 x y 2 xy 0
2
5. y y 0,
y 0 при x 0, y 0 при x 1.
6. Планы семинарских (практических) занятий,
планы занятий в рамках СРСП и СРС
Тема: Определители 2,3 порядков.
Свойства определителей СЛУ, правило Крамера.
Вопросы семинара:
1. Определители 2, 3 порядков.
2. Свойства определителей
3. СЛУ с 2-мя, 3-мя неизвестными
4. Правило Крамера.
5. Определитель 4-го порядка, способы вычисления.
6. Определение минора, алгебраическое дополнение.
Задание: Вычислить определители 2, 3 порядков, вычислить миноры и
алгебраическое дополнение. Дидактический материал имеется в наличии, вариант 1.
Литература: 1, 5, 2.
Методические рекомендации:
Обратить особое внимание на правило вычисления
определителей 2, 3 порядков, т. к. эта тема является ключевой при решении СЛУ
правилом Крамера. Необходимо уметь использовать свойства определителей при их
вычислении, правильно находить знак алгебраического дополнения.
СРСП 1.
Задание: решить данную систему уравнений методом Крамера.
Задания прилагаются.
Формы проведения: решение задач под руководством преподавателя.
Методические рекомендации:
выбранную систему уравнений решить у доски, с разъяснением
всех возможных частных случаев для главного определителя
Рекомендуемая литература: 1, 5, 2, 4.
158
СРС-1
Задание: 1.решить индивидуальное задание №1 (методом Крамера)
2.Рассмотреть систему m уравнений с n неизвестными.
Методические рекомендации к выполнению: прочитать внимательно лекции,
разобрать примеры решенные на СРСП и приступить к своему варианту.
Рекомендуемая литература: 1, 5, 2, 4.
Семинар 2
Тема: Матрицы, матричный метод решения СЛУ. Метод Гаусса.
Вопросы семинара:
1. Определение матрицы
2. Виды матрицы
3. Действия над матрицами.
4. Понятие обратной матрицы .
5. Матричный метод решения СЛУ.
6. Метод Гаусса.
Задания:
1. Вычислить матрицу А –1, обратную к матрице А.
2.Проверить равенство А А –1 =Е.
3. Записать решение СЛУ в виде матричного уравнения,
4. Рассказать об основных преобразованиях в методе Гаусса.
Литература:
1 , 5 , 2 .
Методические рекомендации: уяснить разницу между определителем и матрицей,
научиться выполнять основные действия над матрицами, уметь записать СЛУ в виде
матричного уравнения и наоборот.
СРСП-2:
Задание: Решить СЛУ матричным методом, методом Гаусса (желательно те, которые
решались на первом занятии).
Форма проведения: Решение задач под руководством преподавателя.
Методические рекомендации: к выполнению сначала составить матрицы А, В,
Х.,
–1
затем найти А . Необходимо проверить правильность нахождения обратной матрицы,
проверить ответы, полученные при решении этой же системы методами Крамера, Гаусса.
Литература:
1 , 5 , 2 ,4
СРС-2:
Задание: Решить индивидуально задание № 2 (матричным методом и методом Гаусса)
Методические рекомендации: прочитать внимательно лекции, разобрать примеры,
решенные на СРСП и приступить к своему варианту.
Литература:
Семинар- 3
1 , 5 , 2 ,4
Тема: « Векторы, линейные операции над векторами. Линии 1- го
порядка на плоскости».
Вопросы:
1. Вектора, длина вектора, направление, коллинеарность, действие
над векторами.
2. Линейная зависимость векторов, базис, разложение векторов по
базису.
3. Скалярное произведение векторов, угол между векторами.
4. Векторное произведение векторов, площадь параллелограмма.
5. Смешанное произведение векторов, объем параллелепипеда,
компланарность векторов.
159
6. Прямая на плоскости.
Задания:
→
→
1. Найти по данным точкам А и В вектор АВ, длину |АВ|.
→ → →
2. Найти координаты вектора с =2а + 3в, если
→
→
а= {х1; у1; z1}, в= {х2; у2;z2}.
3. Найти координаты середины отрезка АВ
→ →
4. Вычислить скалярное, векторное произведение векторов а и в
→→→
5. Вычислить смешанное произведение векторов а в, с.
Литература: 2, 5, 4, 4. из дополнительно
Методические рекомендации: обратить внимание на нахождение координат вектора АВ,
если известны координаты точек А и В, т. к. Большинство задач аналитической геометрии
решается с помощью векторов, также следует научиться находить скалярное, векторное,
смешанное произведение векторов, выучить условие перпендикулярности 2- х векторов.
СРСП-3.
Задание: Решить контрольную работу №1. На тему: “Векторы, прямая и плоскость в
пространстве”.
Форма проведения: Самостоятельная работа студентов под руководством
преподавателя..
Методические рекомендации к выполнению:
1. повторить определение базиса на плоскости, в пространстве.
2. достаточно аккуратно и точно построить координат ХОУ, параллелепипед.
3. Рассмотреть различные виды уравнения плоскости.
4. В случае затруднения обратиться к пособию 4 из дополнительной литературы.
Рекомендуемая литература: 1 , 5 , 2 , из дополнительной 4 .
СРС-3:
Задание: 1. Законспектировать тему “плоскость”, “ Кривые на плоскости”,
подготовиться к отчету по данной теме.
2. Методические рекомендации к выполнению: взять курс лекций, выписать основные
формулы и теоремы, непонятные вопросы подготовить к СРСП.
Семинар 4 . Тема: Функция. Предел числовой последовательности. Предел функции.
Вопросы: 1. Определение функций, способы задания.
2. Основные элементарные функции.
3. Свойства функций.
4. Бесконечные числовые последовательности.
5. Предел последовательности и предел функции..
6. Замечательные пределы.
Задания: Указать основные свойства и построить графики основных элементарных
функций.
1. у == ах+в 2. У = х2; 3. У = х 3; 4. У = x ; 5. У = 1/х ; 6. У =sin x;
7. у = cos x; 8. У = tg x ; 9. У = ctg x; 10. У = е х; 11. У = а х; 12. У = log а х.
Литература: 1 , 5 ,8
160
Методические рекомендации: при рассмотрении задач к данной теме обратить особое
внимание на нахождение области определения функций, т. к. это необходимо знать и
применять в последующей теме. Особое внимание при построении графиков обратить на
непрерывность, точки разрыва функций.
СРСП-4.
Задания: 1. Вычислить пределы вида:
2x2 4x 1
a) lim 3
x 5 x 7 x 3
5x4 1
b) lim 2
x 3 x 7 x 2
5x2 7 x4 2
c) lim
x 2 x 4 3x 1
x2 4
d) lim 2
x x 5 x 6
x 1
e)
lim
x 1
x 1
Формы проведения: Решение задач с объяснением у доски.
Методические рекомендации: Обратить внимание на понятие: «бесконечно малые» и
«бесконечно большие величины», их свойства, их соотношения. Что означает
«неопределенность вида 0/0 и ∞/∞», способы их решения.
Литература: 1 , 5 , 8 .
СРС-4:
Задание: Рассмотреть и законспектировать задачу о непрерывном начислении процентов
Методические указания: Данная задача связана со свойством непрерывности функции,
на ее решение основаны задачи финансовой математики. Сначала надо рассмотреть
вариант начисления простых процентов, затем сложных процентов от
первоначальной суммы.
Литература: 1 , 5 , 8 . м
Семинар 5. Тема: Производная функция в точке. Правила дифференцирования.
Вопросы:
1. Определение производной.
2. Таблица производной, правила дифференцирования.
3. Дифференцирования сложной функции.
4. Производные высших порядков.
5. Производные функции.
Задания: Найти производные функций.
а) у =
2х2 7
х2 2
б) у = 2
х 1
в) у =loga(x3-7x+2);
Литература: 1 , 5 , 8
161
Методические рекомендации: Умении находить производную от функции имеет
большое методологическое значение, так как интегрирование функций является обратной
операцией к дифференцированию. Также рассмотрение производственных функций
связано с их изучением в экономической теории.
СРСП-5.
Задания: 1. Исследовать с помощью производной и построить график
1) у=
х
х2
2) у= e x
3) у=
х
ln x
Формы проведения СРСП-5: Решение задач с доски.
Методические рекомендации: Сначала повторить схему иссле
дования функции, затем приступить к выполнению. Обратить
внимание на нахождение ОДЗ, асимптот функции. Повторить
определение критических точек, точек max, min и точек переги
ба.
Литература: 1 , 5 , 8 .
СРС-5:
Задание: 1)Законспектировать тему «Дифференциал функции».
2) Выполнить ИЗ
Методические рекомендации:
Разобрать, что называется «главной линейной
частью» приращения функции, что значит; найти производную функции f(х).
Литература: 1 , 5 , 8 .
Семинар-6 (1 ч)
Тема: Функции нескольких переменных.
Вопросы:
Задания:
1. Определение частных производных.
2. Полный дифференциал функции.
3. Необходимое условие существования экстре
мума функции 2-х переменных.
4. достаточное условие существования экстре
мума функции2-х переменных.
Вычислить производные
Z’x, Z’y, Z”xy, Z”yy от функции Z=xy , Z=x2+3xy+y3
Z=sin (x2+y2)
Литература: 1 , 5 , 10
Методические рекомендации: Необходимо сначала различать частные приращения
функции по х и
по у, затем частные производные первого и второго порядков. Уметь находить смешанные
производные. Обратить внимание на нахождение области определения функции 2-х
переменных.
СРСП-6.
Задания:
1. Найти экстремум функций 2-х переменных
1) у=2ху – 4х – 2у
2) Z=(y – x)2+(y+2)3
2. Найти производную функции по направлению.
162
3. Вычислить градиент вектора в точке
Формы проведения СРСП-6: Решение задач с объяснением у доски.
Методические рекомендации: Обратить внимание на определение и н
хождение критических точек функции, выполнение достаточного условия существования
экстремума 2-х переменных.
Литература: 1 , 5 , 8 .
СРС-6:
Задание:
1) Решить КР на тему: «Функции нескольких переменных»
2) Законспектировать тему «Эластичность спроса и предложения»
Методические рекомендации: Уметь ориентироваться в решении примеров на
«Функции нескольких переменных»: нахождение частных производных, экстремума
функции двух переменных, градиента. Уметь связать производную функции с понятиями
эластичности спроса и предложения.
.
Литература: 1 , 5 , 8 .
Семинар 7 Тема: Интегральное исчисление. Неопределенный интеграл.
Вопросы:
1. Неопределенный интеграл, таблица интегралов.
2. Замена переменной в неопределенном интеграле.
3. Интегрирование по частям.
4. Интегрирование дробно-рациональных функций.
Задания: Согласно вариантам решать ИЗ на тему “Интеграл”. (Прилагается).
Литература: 1, 8, 10, доп. 7
Методические рекомендации: Главное в изучении этой темы - освоить, что решить
интеграл – значит свести его к табличному виду. При этом надо уметь пользоваться
методами интегрирования.
СРСП-7.
Задания: Решать ИЗ на тему “Интеграл”
Формы проведения СРСП-7: Самостоятельная работа под руководством преподавателя.
Методические рекомендации: Начинать с непосредственного интегрирования, затем
перейти к методам интегрирования соответственно по темам ИЗ.
Литература: 1, 8, 10.
СРС-7:
Задание: Решать ИЗ на тему «Интеграл».
Методические рекомендации: При решении ИЗ могут встретиться примеры, которые
нельзя решить сразу. Можно вернуться к ним попозже и подойти к преподавателю.
Желательно воспользоваться литературой 7 дополнительно.
Литература: 1, 8, 10, доп. 7 .
Семинар 8 Тема: Интегральное исчисление. Определенный интеграл.
Вопросы:
1. Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница.
163
2. Замена переменной в определенном интеграле.
3. Интегрирование по частям в определенном интеграле.
4.Приложения определенного интеграла.
5.Несобственный интеграл.
Задания: Согласно вариантам решать ИЗ на тему “Интеграл”. (Прилагается).
Литература: 1, 8, 10, доп. 7
Методические рекомендации: Главное в изучении этой темы - освоить, что решить
интеграл – значит свести его к табличному виду. При этом надо уметь пользоваться
методами интегрирования. Уметь применять свойства определенного интеграла,
вычислять площади фигур, длины дуги, объем тела, и т.д.
СРСП-8.
Задания: Решать ИЗ на тему “Интеграл”
Формы проведения СРСП-8: Самостоятельная работа под руководством преподавателя.
Методические рекомендации:
Литература: 1, 8, 10.
СРС-8:
Задание: 1) Решать ИЗ на тему «Интеграл».
2) Найти S, V (задачи прилагаются)
Методические рекомендации: При решении ИЗ могут встретиться примеры, которые
нельзя решить сразу. Можно вернуться к ним попозже и подойти к преподавателю.
Желательно воспользоваться литературой 7 дополнительно.
Литература: 1, 8, 10, доп. 7 .
Семинар 9. Тема: Дифференциальные уравнения.
Вопросы:
1. Уравнения с разделяющими переменными.
2. Однородные дифференциальные уравнения I порядка.
3. Линейные дифференциальные уравнения I порядка.
4. Линейные дифференциальные уравнения II порядка.
Задания: Решить примеры из КР на тему “Дифференциальные уравнения”.
Литература: 1, 8, 10.
Методические рекомендации: Многие задачи математики, биологии, медицины,
экономики решаются с помощью дифференциальных уравнений, поэтому научиться
решать дифференциальные уравнения – одна из основных задач этой темы. Для этого
требуется повторить тему «Неопределенный интеграл», метода интегрирования.
СРСП-9.
Задания: Решать примеры из КР.
Формы проведения СРСП-9: Решение задач с объяснением у доски.
Методические рекомендации: Необходимо различать виды дифференциальных
уравнений, способы их решения. Также уметь находить решения дифференциальных
уравнений, находить решения однородных и неоднородных линейных уравнений II
порядка.
Литература: 1 , 8 , 10 .
СРС-9:
Задание : 1) Решать задачи КР.
164
Методические рекомендации: При решении контрольной работы опираться на материал
лекции на данную тему, а также на решенные примеры на семинаре и СРСП.
Литература: 1 , 8 , 4 .
Семинар 10. Тема: Ряды.
Вопросы:
Задания:
1.
2.
3.
4.
Необходимый признак сходимости ряда.
Признак Даламбера.
Признак Коши.
Знакочередующие ряды.
1. Найти сходимость ряда по определению.
2. Рассмотреть сходимость гармонического ряда.
3. Решить примеры на достаточные признаки.
Литература: 1 , 4 , 8 , 10 .
Методические рекомендации: Задать ряды – это значит указать правило, закон
образования его членов, по которому можно найти любой его член. Поэтому необходимо
уметь по заданным членам ряда составить формулу его общего члена и наоборот. Ряды
широко применяются для приближенного вычисления значений функции, определенных
интегралов.
СРСП-10.
Задания:
1) Исследовать сходимость ряда с общим членом аn
1
n(n 1)
2)Законспектировать теорему Лейбница, понятия об условно и абсолютно сходящихся
рядах.
Формы проведения СРСП-10: Решение задач.
Методические рекомендации: В основном мы рассматриваем ряды, члены которых
имели одинаковые знаки, а для определенности считались положительными. Теперь
будем считать, что члены ряда могут иметь различные знаки. Такие ряды называются
знакопеременными, среди знакопеременных рядов выделим их частный случай –
знакочередующиеся ряды. Их сходимость определяется теоремой Лейбница.
Литература: 1, 4, 8, 10.
СРС-10:
Задание: 1) Конспект темы «Степенные ряды», «Ряды Маклорена; разложение функций
в степенные ряды».
2) Выучить разложение функций y= ex, y= sin x, y= cos x
Методические рекомендации: Степенные ряды можно почленно дифференцировать и
интегрировать, это имеет большое практическое применение. Через разложение функций
в ряды Маклорена, можно приближенно посчитать значения многих выражений.
Литература: 1 , 4 , 8 , 10 .
Темы для самостоятельного изучения по дисциплине
«Математика для экономистов»
№
ТЕМА
Кол-во
часов
1. Элементы линейной алгебры.
7
Форма
контроля
Письменная
165
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Элементы векторной алгебры и аналитической
геометрии.
Система линейных однородных уравнений
Кривые на плоскости
Логарифмическое дифференцирование.
Производные функции заданных в
параметрическом виде.
Предел и непрерывность. Классификация точек
разрыва
Элементарные функции
Предел и непрерывность
Дифференциал функции. Приложения
производной. Функции двух переменных
Методы интегрирования
Приближенное вычисление определенного
интеграла
Двойной интеграл
Неберущиеся интегралы. Приложения
определенного интеграла.
Т
Дифференциальные
уравнения. Уравнение
Е
Бернулли
М
Ряды. Ряды Тейлора и Маклорена
А
Теория вероятности. Случайные события.
Случайные величины.
Математическая статистика
ИТОГО
работа
7
Научноисследование
работа
7
Реферат
6
Письменная
работа
6
Тест
6
Индивидуальны
е задания
6
Тесты
45
7. Методические указания по изучению дисциплины
Методические указания для практических (семинарских) занятий
При выполнении практических заданий надо строго придерживаться указанных ниже
правил. Работа, выполненная без соблюдения этих правил, не зачитывается и возвращается
студенту для переработки
1. практические задания следует выполнять в тетради чернилами синего или черного
цвета, оставляя поля для замечаний рецензента
2. решения задач следует располагать в порядке номеров, указанных в заданиях
3.перед решением каждой задачи надо полностью вписать ее условие. В том случае, когда
несколько задач имеют общую формулировку, следует, переписывая условие задачи,
заменить общие данные конкретными из соответствующего номера.
4.решение задач нужно излагать подробно и аккуратно, объявляя все действия.
5. после получения прорецензированной работы ( как зачтенной, так и не зачтенной)
студент должен исправить в ней все отмеченные рецензентом ошибки и недочеты.
Презентация – это (представление) официальное представление вновь созданного вопроса,
оценка и анализ определенной темы, который дается на рассмотрение студентам для
обсуждения, споров, проведения круглых столов, диспутов. В презентации ставиться главная
цель – отстоять и защитить эту тему, показать правильность выбора.
Кейсы составляются по определенным темам, где обсуждаются задачки и ситуации,
отраженные в кейсах. Кейсы можно составить индивидуально или группой. После обсуждается
и выносится на обзор.
166
Деловая игра – это целенаправленная игра, основная цель деловой игры является
формирование у студентов профессиональных умений и навыков по управлению персоналом
при приеме на работу. Деловая игра базируется на активизации познавательной деятельности,
обучаемых в учебном процессе.
Тест – это выбор вариантов. Каждый участник данную задачу должен решить самостоятельно.
Он поставлен в определенную ситуацию, и ему нужно принять много решений. При этом
обстоятельства являются неблагоприятными, и все происходит в жестких временных рамках.
Для данного теста участнику отводится один час, и все свои решения он должен обосновать
письменно. После оценки результатов упражнения каждому участнику должна быть
предоставлена возможность послетестовой беседы, чтобы выяснить и уточнить принятые им
решения. Преподавателю также предоставляется возможность определить, как быстро можно
заставить участника поменять свою позицию или до каких пор он отстаивает свое решение.
Контрольная работа – это самостоятельная работа студентов на СРСП. Она выполняется
письменно. Вопросы можно представить в виде тестов, вопросов по вариантам или каждому
индивидуально. Контрольная работа выполняется по пройденным темам. Здесь определяется,
насколько студент самостоятельно готовился к определенной теме. Ответы должны быть
четкими и краткими, с определенными примерами и оценивается по пятибалльной шкале.
Методические указания по проведения СРСП
С) самостоятельная работа студентов с преподавателями (СРСП)
СРСП выполняет две функции: консультативную и контролирующую. СРСП – это совместная
работа студента и преподавателя, поскольку учебные занятия проводятся в диалоговом режиме,
например тренинг, дискуссия, деловая и дидактические игры, презентация, составление кейса,
разработка индивидуального, группового проектов и т.п.
К каждому СРСП должны быть подготовлены материалы (кейсы, ролевые игры, тесты,
кроссворды и т.д.), которые позволяют детализировать какие-либо вопросы, расширять их,
отрабатывать навыки анализа тех или иных ситуаций, решать задачи и др.
9. Материалы для самостоятельной работы обучающегося:
- наборы текстов домашних заданий,
- материалы самоконтроля по каждой теме,
- задания по выполнению текущих видов работ, рефератов и других домашних заданий с
указанием трудоемкости и литературы
- кейсы
- кроссворды
- решение задач
- упражнения
10. Методические указания по прохождению учебной, производственной и
преддипломных практик, формы отчетной документации (если требует специфика
дисциплины)
11. Материалы по контролю и оценке учебных достижений обучающихся
- схема оценки знаний
- письменные контрольные задания
- тестовые задания
- перечень вопросов для самоподготовки
- экзаменационные билеты
Политика выставления оценки:
167
Схема оценки знаний по дисциплине «Математика для экономистов»
№ Критерии оценки
Оценка вида
Неделя
%
за
%
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
работу
всего
1
Домашнее задание
0,6
9
+ + + + + + + + + + + +
2
Активность
на
1
15
+ + + + + + + + + + + +
практических
занятиях
3 Контрольная
2,5
10
+ +
+
+
работа
4 Индивидуальное
4
16
+
+
+
задание
5
Микроэкзамен
5
10
+
6 Экзамен
40
Итого
100
13
14
15
+
+
+
+
+
+
+
В течение семестра проводится два рубежных контроля на 8 неделе и на 15
неделе. Максимальный показатель успеваемости студента по рубежным контролям
составляет 60%.
В конце каждого семестра проводится промежуточная аттестация по учебной
дисциплине в виде экзамена.
Максимальный показатель успеваемости по промежуточной аттестации (ПА),
т.е. экзамену составляет 40%.
Итоговая экзаменационная оценка по дисциплине определяется как сумма
максимальных показателей успеваемости по рубежным контролям (max. 60%) и
промежуточной аттестации, т.е. экзамену (max. 40%) составляет 100%.
Итоговый экзамен будет проходить в форме тестирования по 30 вопросам 5
вариантов охватывающих основное содержание теоретического и практического
материала курса.
Знания, умения и навыки студентов оцениваются следующим образом:
Оценка
по буквенной
в баллах
в %-ном содержании
по традиционной
системе
системе
А
4,0
95 – 100
Отлично
А3,67
90 – 94
В+
3,33
85 – 89
Хорошо
В
3,0
80 – 84
В2,67
75 – 79
С+
2,33
70 – 74
С
2,0
65 – 69
Удовлетворительно
С1,67
60 – 64
Д+
1,33
55 – 59
Д
1,0
50 – 54
F
0
0 - 49
Неудовлетворительно
Требования к студентам:
+
168
Получение хорошего балла по курсу невозможно без постоянной работы. Это
предполагает, что оценка по курсу формируется в течение всего семестра. Вы
заинтересованы принимать активное участие в работе во время занятий. Максимальная
оценка за все виды работ ставится, если был дан правильный, четкий ответ на
поставленные вопросы работа выполнена аккуратно в полном объеме. Каждый студент
должен вести учет набранных баллов по кредит-часам (согласно вышеуказанной схеме
оценки знаний по дисциплине).
1. Посещение
Посещение должно быть обязательным. Пропуски занятий отрабатываются в полном
объеме занятия, отраженном в учебно-методическом комплексе. Пропуски занятий без
уважительной причины в объеме превышающем треть курса ведет к исключению с
курса.
2. Поведение в аудитории
Студент обязан не опаздывать на занятия, не разговаривать во время занятий, не читать
газеты и журналы, отключить сотовый телефон, активно участвовать в учебном
процессе.
3. Домашнее задание
Домашняя работа обязательно для выполнения и должна сдаваться в оговоренное
преподавателем время. У опоздавших вовремя сдать домашнюю работу, последняя
приниматься не будет. На основе ваших десяти лучших работ будет выведена оценка,
которая повлияет на вашу итоговую оценку.
4. Индивидуальные задания
Индивидуальные семестровые задания являются обязательными. В случае правильного
выполнения эти задания защищаются студентом, а в случае наличия в них ошибок они
возвращаются студенту на доработку. Каждое из этих заданий оценивается отдельно и
влияет на итоговую оценку.
5. Контрольная работа
Выполняется на занятии, сдаётся в конце пары, после занятия не принимаются и не
оцениваются.
6. Микроэкзамен
Микроэкзамены должны сдаваться строго по расписанию для каждой группы
отдельно, пересдача не допускается
Вопросы для проведения контроля знаний студентов
по темам и экзамена
Вопросы для проведения микроэкзамена по материалам 1 – 7 недели:
1. Определители. Свойства определителя.
2. Вычисление определителей I, II, III и n-го порядка.
3. Миноры и алгебраические дополнения
4. Матрица. Основные определения.
5. Действия над матрицами.
6. Обратная матрица.
7. Системы линейных уравнений.
8. Методы решения системы линейных уравнений.
9. Матричный метод решения системы линейных уравнений
10. Формулы Крамера.
11. Метод Гаусса решения системы линейных уравнений.
169
12. Векторы. Основные понятия и простейшие действия над ними
13. Базис на прямой, на плоскости и в пространстве
14. Координаты вектора, длина вектора
15. Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов
16. Понятие об уравнении линии. Различные уравнения прямой
17. Понятие об уравнении кривой. Простейшие кривые второго порядка
18. Общее уравнение плоскости.
19. Различные уравнения плоскости и прямой в пространстве
20. Понятия множества, числовые множества
21. Функции. Свойства функции
22. Способы задания функции.
23. Предел последовательности. Предел функции
24. Основные теоремы о пределах
25. Замечательные пределы
26. Непрерывность функции
27. Производная функция в точке, свойства производных
28. Основные правила дифференцирования. Таблица производных
29. Производная сложной функции.
30. Дифференцирование сложных функций
31. Производные высших порядков
32. Дифференциал функции
33. Возрастание и убывание функции
34. Экстремумы функций
35. Выпуклость и вогнутость функции. Точки перегиба
36. Асимптоты
37. Исследование функций и построение графиков
Вопросы для проведения микроэкзамена по материалам 8 – 15 недели:
1. Функция нескольких переменных. Основные понятия.
2. Первообразная функция и неопределённый интеграл
3. Частные производные различных порядков для функции нескольких переменных.
4. Свойства неопределённого интеграла. Таблица основных неопределённых интегралов
5. Методы интегрирования.
6. Метод замены переменной
7. Метод интегрирования по частям
8. Интегрирование некоторых тригонометрических функций
9. Понятие определённого интеграла
10. Формула Ньютона-Лейбница
11. Свойства определённого интеграла
12. Замена переменной и формула интегрирования по частям в определённом интеграле
13. Геометрические приложения определённого интеграла
14. Комплексные числа
15. Ряды, признаки сходимости ряда
16. Степенные ряды
17. Разложение функции в степенной ряд.
18. Дифференциальные уравнения первого порядка
19. Дифференциальные уравнения второго порядка
20. Основные элементы теории вероятности
21. Случайные величины.
22. Закон больших чисел. Неравенство и теорема Чебышева
Тестовые вопросы для подготовки к экзамену
170
1. Матрицы и операции над ними
2. Определители 2 и 3 порядков, их свойства.
3. Решение систем алгебраических уравнений методом гаусса, крамера, обратной
матрицы.
4. Элементы векторной алгебры. Скалярное произведение векторов.
5. Прямая на плоскости. Различные задачи , связанные с прямой на плоскости.
6. Кривые второго порядка и их канонические уравнения.
7. Прямая и плоскость в пространстве. Различные задачи, связанные с прямыми и
плоскостями в пространстве.
8. Пределы последовательности и функции
9. Непрерывность функции в точке и на отрезке.
10. Производная и дифференциал функции одной переменной.
11. Производная и дифференциал высших порядков.
12. Основные теоремы дифференциального исчисления.
13. Исследование функции средствами дифференциального исчисления.
14. Первообразная и неопределенный интеграл.
15. Основные методы интегрирования.
16. Определенный интеграл и его свойства. Формула ньютона – Лейбница.
17. Приложение определенного интеграла к различным прикладным задачам.
18. Несобственный интеграл.
19. Понятие дифференциального уравнения. Порядок дифференциального уравнения.
Понятие решения дифференциального уравнения. Задача коши.
20. дифференциальные уравнения первого порядка: уравнение с разделенными и
разделяющимися переменными. Однородное уравнение, уравнение Бернулли,
уравнение в полных дифференциалах.
21. Дифференциальные уравнения второго порядка. Понижение порядка.
22. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка
с постоянными
коэффициентами.
23. Случайное событие. Определение вероятности (классическое, статистическое,
геометрическое). Аксиоматическое построение теории вероятностей.
24. формулы сложения и умножения вероятностей.
Тематика письменных работ по курсу
Рефераты на темы:
1.Приближенные методы вычисления определенных интегралов
2.Несобственные интегралы
3. Криволинейные интегралы
4.Системы линейных уравнений
5.Числовые характеристики непрерывных случайных величин
6. Кривые второго порядка и их канонические уравнения
Типовые задания индивидуальных работ
x2 4
1. Найти lim 2
x2 x x 6
n 5
n 2
lim
2. Найти предел
x n 3
ln 1 3 x
3. Найти предел lim
x
x
4. Найти производную функции у cos x
5. Найти производную функции y x ln x
2
171
6. С помощью приема подведения функции под знак дифференциала вычислить
х
интеграл:
2
х3 5dx
7. Методом интегрирования по частям найти интеграл
8. Найти предел
x sin xdx
x2 9
x 3 x 2 3x
lim
2x 3
9. Найти предел lim
x 2 x 1
sin x
10. Найти предел lim x
x 0 2 1
x 1
3
x 1
2
2
12. Найти производную функции у ln x
11. Найти производную функции
у tg
13. С помощью приема подведения функции под знак дифференциала вычислить
2 x 3
интеграл:
x 2 3x 8 dx
14. Методом интегрирования по частям найти интеграл x ln xdx
15. Найти предел
16. Найти предел
x2 5x 6
x 3
x2 9
x2
3x 1
lim
x 3x 5
lim
1 2x 1
ln 1 x
18. Найти производную функции
3
17. Найти предел lim
x 0
у cos3 4 x
x
19. Найти производную функции у x
4
20. С помощью приема подведения функции под знак дифференциала вычислить
интеграл:
x3 1 x 2 dx
21. Методом интегрирования по частям найти интеграл
22. вычислить несобственный интеграл
dx
x
2
1
x 5
lim
23. Найти предел
x x 3
ln 1 mx
24. Найти предел lim
x
x
3 x 1
25. Найти производную функции у а cos
х
3
x e dx
x
172
26. Найти производную функции
y 10 2 x 3
27. С помощью приема подведения функции под знак дифференциала вычислить
dx
интеграл:
x ln x
28. Методом интегрирования по частям найти интеграл x cos xdx
ln( 1 x)
x 1
у
29. Найти область определения функции
1 у x cos x
30. Указать четные функции
2 у x x 1
1
3 у lg x 2
2
2
x х2
lim 2
x 1 x 2 x 3
2
31. Найти предел
ч3
2x 1
32. Найти предел lim
x 5 x 2
3
1 2х 1
33. Найти предел lim
x 0 lg( 1 x )
34. Найти производную функции
у sin 1 / x
1
35. Найти производную функции у x
3
36. Найти критические точки и экстремальные значения функции у хе2 х
37. С помощью приема подведения функции под знак дифференциала вычислить
1 х
2 1/ 2
интеграл:
38. Методом интегрирования по частям найти интеграл
39. вычислить несобственный интеграл
хdх
xе
х2
dx
dx
3
x
40. Найдите множество значений функции y = │x+7│+6
1
41. найдите тангенс угла наклона касательной к графику функции f(x) = tgx в точке
П
х0=
.
4
42. Найти угол между касательной к графику функции f(x) = ln(3x+1) в точке с
абсциссой х0=2 и осью ОХ
2x
. Найдите f(׳1).
x 1
44. Найдите значение производной функции у(х)= cosx при х=-π.
43. Задана функция f(x) =
x2 3 +
173
4
45. Вычислите интеграл
dx
2x 1
0
46. Найдите уравнение касательной к графику функции f(x) = х3 – 2х2 + 1 в точке с
абсциссой 2.
f (b) F (a )
47. . Формула F(׳x) =
называется
ba
48. Выберите верное утверждение:
А) график чётной функции симметричен относительно оси ординат.
В) график нечётной функции симметричен относительно оси ординат
С) график нечётной функции симметричен относительно начала координат
Д) к графику нечётной функции не применимо понятие симметрии.
x
2
50 Областью определения логарифмической функции у=loga x является…
49. Исследуйте функцию на чётность и нечётность: f(x) = х5∙sin
51. Графики показательной и логарифмической функций, имеющих одинаковое основание,
симметричны относительно:
П
52. Вычислите интеграл
sin xdx
0
53. Найдите область определения функции f(x) =
9x x 3
54. Найдите область определения функции f(x) = 16 x x 3
8
x
27
56. Найдите область определения функции f(x) = 1 3
x
55. Найдите область определения функции f(x) =
x2
1
x2
58. Найдите общий вид первообразной для функции f(x) = 3sin2x
57. Найдите общий вид первообразной для функции f(x) = х32
59. Вычислите интеграл
x
4
dx
1
П/2
60.. Вычислите интеграл
cos xdx
0
2
61. Вычислите интеграл
(x
3
1)dx
0
1
62. Вычислите интеграл
(1 x)dx
0
63. Найдите область определения функции у = logП(10-5x)
64. Найдите область определения функции у = log3(х-4)
65.. Найдите область определения выражения у = log5(9-x2)
Типовые задания для контрольных работ:
174
1. построить график функции y lg
10
x
x2 5
2. найти предел функции lim 2
x 2 x 3
x 2 2x 1
3. найти предел функции lim
x 1
x3 x
4. Найдите область определения функции f(x) =
x2
27
x
П
5. Вычислите интеграл
cos xdx
0
1
6. Вычислите интеграл
(1 2 x)dx
0
x
2
8. найдите тангенс угла наклона касательной к графику функции f(x) = сtgx в точке
П
х0=
.
4
9. Найти производную функции у сos1 / x
2 3
10. вычислить определитель
1 4
7. Исследуйте функцию на чётность и нечётность: f(x) = х3∙sin
11. вычислить определитель
2 1
1 2
3 1 1 1
1 3 1 1
12. вычислить определитель
1 1 3 1
1 1 1 3
13. решить систему уравнений 2 x1 x2 x3 4
3x1 4 x2 2 x3 11
3x1 2 x2 4 x3 11
2 1 1 1
14. Умножить матрицы
3 2 1 1
3 5 2 1
15. Умножить матрицы
6 1 3 2
16. три баскетболиста должны произвести по одному броску мяча. Вероятности
попадания мяча в корзину первым, вторым, третьим баскетболистами соответственно
равны 0,9; 0,8; 0,7;. Найти вероятность того, что удачно произведет бросок только
один баскетболист.
17. для поражения цели достаточно попадания хотя бы одного снаряда. Произведено по
одному выстрелу из трех орудий с вероятностями попадания соответственно равными
0,7;0,6; 0,5. найти вероятность поражения цели.
18. На складе ,имеется 15 кинескопов, причем 10 из них изготовлены Львовским заводом.
Найти вероятность того, что среди 5 взятых наудачу кинескопов окажутся три
кинескопа Львовского завода.
19 . Даны вершины пирамиды : A (2;-3;1), B (6;1;-1), C (4;8;-9), D (2;-1;2).
175
а) Записать векторы AB , AC , AD в виде разложения по ортам , найти их длины.
б) Вычислить угол между векторами AB и AC
в) Найти проекцию вектора AD на вектор AB
г) Вычислить S грани ABC
д) Вычислить V пирамиды АВСД
е) Написать уравнение AC
ж) Написать уравнение грани АВС
и) Построить чертёж
20. Даны координаты вершин треугольника АВС
А(-8;-3), В(4;-12),С(8;10)
Найти:
1) Длину стороны АВ
2) Уравнения сторон АВ и ВС и их угловые коэффициенты
3) Угол (в радианах с точностью до двух знаков)
4) Уравнение высоты СД и её длину
5) Уравнение медианы АЕ и координаты точки К, пересечения этой медианы с
высотой СД
6) Уравнения прямой, проходящей через точку К параллельно стороне АВ
7) Координаты точки М, расположенной симметрично точке А относительно
прямой СД
Примерный перечень тестовых вопросов для промежуточного и итогового контроля.
cos sin
1.Вычислить определитель 2-го порядка:
sin cos
1 3 1
2. Вычислить определитель 3-го порядка: 2 0
2
4 5 1
3.Вычислить определитель 3-го порядка, использовав его свойства:
1 3 1
2 0 2
4 0 4
4.Применить теорему о расположении определителя по элементам какой-либо строки,
1 3 1
вычислить: 2 0 2
4 5 1
5.Указать минор М23
а1 b1
определителя. a2 b2
a3
6.Найти Х из уравнения:
x2 3 2
x 1 1 =0
0 1 4
b3
c1
c2
c3
176
1
7.Упростить и вычислить: 3
2
4
5
7
3 6 15
8.Решить с помощью определителей систему уравнений:
3x 2 y 7
4 x 5 y 40
9.Указать матрицу размерности (2х3):
a1 b1 c1 а1 b1
a ) a 2 b2 c 2 ; б ) a 2 b2
;
a b
3
3
a1
в ) a 2
a
3
b1
b2
b3
c1
c2
c 3
2 1
3 0
;
10.Найти сумму матриц А+В:
4 2
2 1
2 3
1 4
;
11.Вычислить А*В, если
4 0
1 2
12.Указать единичную матрицу из следующих:
4 0 0 4 1 0
; б )
; в)
а)
0 4 4 0 0 1
1 1 1 0
; д)
г )
1 1 1 0
2 3 4
1 0 0
5 2 1 ; В 0 1 0 ;
1 2 3
0 0 1
13.Выяснить, какая из матриц является вырожденной:
0 1 2
С 3 4 2
6 8 4
14.Записать формулу обратной матрицы:
6 2
15.Найти матрицу, обратную матрице А:
8 1
16.Как геометрически интерпретируется решение системы 3-х линейных уравнений с 3мя неизвестными?
17.Определить координаты вектора ĀВ, если А(2; 3; 1) и В(-2; 0; 1):
18.Определить длину вектора АВ , если А(2; 3; 1) и В(-2; 0; 1):
19.Найти направляющие косинусы вектора а = {3; 4; 0}
20.Найти координаты вектора с = ā + b, если
ā ={2; 3} и в{-4; 5}
177
21.Вычислить координаты вектора с = 2 ā + b, если ā = {1; 0} и b ={3; 4}
22.Вычислить |с| = 2 ā + b, если ā = {1; 0}, b = { 3; 4}
23.Какие из данных векторов параллельны между собой:
ā = {1; 4}, b = {0; 4}, с = {1; 0}, d = {2; 8}
24.Какие из данных векторов перпендикулярны между собой:
ā = {1; 4}, b = {0; 4}, с = {-4; 1},
d = {4; 6}
25.Определить угол между векторами а ={1;1;0} b ={1;2;2}
26.Найти скалярнoе произведениe векторов a·b, a ={-1;1;0},
b ={1;-2;2}
27.Найти координаты вектора, противоположного вектору
a ={1;-3;5}
28.Определить периметр треугольника с вершинами А(-4;2), B(0;-1),C(3;3)
29.Найти координаты точки М, делящей отрезок АВ пополам,
А(-2; 1) и В(3; 6).
30.Определить координаты вектора с = a b , если ā = {3; 0; 0},
b = {0; 0; 2}
31.Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах ā = {1; 1; 0}, b = {1;-1;
2}
32.Вычислить объем параллелепипеда, построенного на векторах ā = {1; 0; 0}, b= {0; 1;
1}, с = {0; 0; 1}
33.Найти смешанное произведение векторов ā={3; 4; 0}, b={0;-3; 1}, с = {0; 2; 5}
34.Какие из векторов между собой компланарны ā = {-1; 3; 2},
b = {2; -3; -4}, с = {-3;9; 6} d= {4; 0; 0}
35.Какие два вектора из данных не образуют базис на плоскости:
ā = {1; 2}, b= {3;
4}, с= {0; 1}
d= {6; 8}
36.Написать уравнение прямой, проходящей через начало координат и составляющей с
осью ОХ угол 45о :
37.Определить параметры k и b для прямой 2х – 3у = 6
38.Какие из точек А(3; 5), В(2; 7),
С(-1; -3), D(-2; -6) лежат на прямой у = 2х – 1
39.Определить угол между прямыми: у = 5х +7 и у = 5х – 1
40.Среди прямых: 1) 3х – 2у + 7 = 0,
2) 6х – 4у – 9 = 0,
3) 6х + 4у –5 = 0,
4) 2х +3у – 6 = 0
указать параллельные
41.Среди прямых: 1) 3х – 2у + 7 = 0,
2) 6х – 7у – 9 = 0,
3) 6х + 4у –5 = 0,
4) 2х +3у – 6 = 0
указать перпендикулярные
42.Написать уравнение прямой, проходящей через точки А(-1; 3) и В(4; -2)
43.Какие из точек А(-1; -1), В(3; 2), О(0; 0), С(1; 1) лежат на окружности (х + 4)2 + (у
– 3)2 = 25
44.Чему равен радиус окружности х2 + у2 + 4у = 0
45.Определить большую и малую полуоси эллипса х2 + 4у2 = 16
46.Определите большую и малую полуоси гиперболы 4х2 – у2 =16
178
47.Найти две точки, принадлежащие параболе у2 = 6х из точек:
(0; 0), (3; 3), (2; 4), (6; 6)
48.Определить длину радиус- вектора точки М(5; -3; 4)
49.Найти длину вектора ā = 2i + 3j + 6k
50.Найти угол между прямыми 2х + 5у – 1 = 0 и 5х –2у +3 = 0
51.Какие функции называются монотонными?
52.Какая функция называется возрастающей?
53.Написать формулу показательной функции.
54.Каким свойством обладает четная функция?
55
.Назовите период функции у = tg x
56.Какие из данных функций являются неявными:
1) y sin x
2) y tgx 1
3) x 2 xy 4 0
1
4) y
x
5) y x 9
57.Какие из данных функций являются сложными:
1) y x 2 1
2) y = sin (2x-1)
3) y = x +5
4) y = cos x
5) y = tg x
58.Дать краткое определение бесконечной числовой последовательности.
59.Какая последовательность называется сходящейся?
1 1 1
60.Указать общий член последовательности 1, , , ,...
2 3 4
sin x
?
x 0 x
61.Чему равно значение «замечательного» предела lim
62. Чему равно значение предела
1
lim 1
n
n
n
63.Найти значение производной в точке х0 = 1 функции у = х5 – 1
64.Найти значение производной в точке х0 = П/2 функции у = sin х
65.Найти значение производной в точке х0 = 0 функции у = ех
66.Найти значение производной в точке х0 = 0,5 функции у=ln x
67.Найти значение производной в точке х0=0 функции у = arcsin x
68.Написать формулу производной произведения 2-х функций u ν
u
69.Написать формулу производной частного двух функций
v
70.Чему равна производная постоянной величины?
71.Найти производную функции у = sin (lnx) в точке х0=1.
x2 x 1
72.Вычислить предел lim
x
2x 5
179
3 2 2 x 1
x
3 4
73.Вычислить предел lim
x 2 5x 6
74.Вычислить lim
x 2 x 2 12 x 20
75.Определить точки разрыва функций
x 1
x( x 2 4)
76.Какое условие является необходимым для того, чтобы дифференцируемая функция у =
f(x) имела в точке x = x0 экстремум?
77.Написать уравнение вертикальной асимптоты.
78.Написать уравнение горизонтальной асимптоты.
79.Написать уравнение наклонной асимптоты.
80.Что называется точкой перегиба?
81.Найти частные производные от функции Ζ=x2+y2
1
82. Вычислить 2
3
1
1
1
2
6
0
1
1
1
83.Вычислить М31 определителя 2 1 6
3 2 0
84.Найти полный дифференциал функции z=xy
85.Найти область определения функции z =4/(x+y)
86.Найти область определения функции z=4/(x²+y²)
87.Написать необходимое условие существования экстремума функции 2-х переменных
88.Что является решением неравенства ax+by>c
89.Что является решением неравенства ax>b
90.Что является решением неравенства ay>b
x2 4
x2 x 2
x2
92.Вычислить lim 2
x2 x 3x 2
tgx
93.Вычислить lim
x 0 sin 2 x
x
94.Вычислить lim
x 0 sin 3 x
1
95.Вычислить lim (1 ) 3n
n
n
96.Найти производную функции y=tgx
91.Вычислить lim
180
97.Найти производную функции y=ctgx
98.Найти производную функции y=ax
99.Найти производную функции y=arctgx
100.Найти производную функции y=arccosx
101.Найти производную функции y=ln(ax+b)
102.Написать формулу производной суммы 2-х функций (u+v)
103.Найти производную функции y=k f(x)
104.Найти производную 2-го порядка от функции y=sin x
105.Написать формулу дифференциала функции y=f(x)
106.Как называется наибольший порядок минора матрицы А, отличного от нуля?
107.Найти ранг матрицы
1 2 3 4
2 4 6 8
3 6 9 12
3 5 7
108.Найти ранг матрицы 1 2 3
1 3 5
4 3 2 2
0 2 1 1
109.Найти ранг матрицы A=
0 0 3 3
110.Найти матрицу 2А+5В, если
3 5
2 3
;
4 1
1 2
111.Найти матрицу А =А*А, если
2
3 2
1
4
5 8
. Какую матрицу В нужно прибавить к матрице А, чтобы
112.Дана матрица А=
3 2
получить единичную матрицу?
5 8 4
113.Дана матрица А= 3 2 5 . Какую матрицу В нужно прибавить
7 6 0
к матрице А, чтобы получить единичную матрицу?
1 0
2 4
и В=
114.Найти произведение матриц А=
2 1
1 1
115.Функция F(x) называется первообразной функции f(x) на некотором множестве, если
на этом множестве выполняется равенство
116.Неопределенным интегралом от функции f(x) по переменной х, если F(x)первообразная функции f(x), называется сумма:
117.Неопределенный интеграл обладает свойством:
118. cos 5 xdx
119. е 5 х dx
120.Неопределенный интеграл обладает свойством:
181
121.Найти интеграл:
dx
F ( x) C
2x 1
Где:
122.Найти интеграл:
123.
dx
3
х
2
1 4 х dx =F(x)+c, где:
F ( x ) C , где :
sin x cos xdx F ( x) C, где :
125. sin xdx F ( x ) C , где :
124.
2
dx
126.
cos (1 5x) F ( x) C, где :
2
dx
F ( x) C , где :
2
127.
sin 4 x
128.. cos3 7 x dx F ( x ) C , где :
129.
dx
4 9x
2
F ( x) C , где :
dx
130.Найти интеграл:
3 x
2 =F(x)+C, где:
dx
F ( x) C , где :
131. 2
x 2x 1
132. ln xdx F ( x ) C , где :
133.Найти интеграл:
134.Найти интеграл:
dx
9 x 2 4 =F(x)+C,
где F(x)=
5 х 6
е
dx F ( x) C , где :
135.Интегральной суммой называется:
136.Определенный интеграл обладает свойством:
137.Определенный интеграл обладает свойством (если k-конечное число):
138.Определенный интеграл обладает свойством:
182
x
3
139. е dx
3
0
140.Определенный интеграл обладает свойством:
2
x dx
2
141.
1
9
142.
x dx
4
4
dx
143.
2x 1
0
1
144. (2 x 1)5 dx
0
1
145. e 2 x dx
0
4
146. sin( 2 x )dx =
4
8
2
147.
2
dx
4 x2
3
dx
148.
9 x2
0
1
149. arcsin xdx
0
1
150.
(х
х)dx
0
151.Площадь плоской фигуры, в данной системе координат О ху и ограниченной
линиями у=х2, у=0, х=3, - равна:
152.Площадь плоской фигуры, данной в системе координат Оху и ограниченной
линиями:
y=sinx, y=0, x=
равна:
2
153.Объем тела, полученного вращением вокруг оси Ох плоской фигуры, ограниченной
первой аркой синусоиды и осью Ох, равен:
154.Объем тела, полученного вращением вокруг оси Ох плоской фигуры, ограниченной
линиями: y=2x, y=0, x=2, равен:
183
155.Несобственный интеграл
dx
x
2
:
1
3
156.Несобственный интеграл
dx
x
:
1
157.Найти производную функции z x 2 y 3 в точке М(-1,1) в направлении вектора l(4,3)
158.Найти производную функции z ln( 4 x 3 y ) в точке М(2,1) в направлении градиента
функции z
159.Найти grad z функции z=cos y в точке М (1,
)
2
160. z x 2 xy 2 . Найти частные производные z x/ z y/ в точке
М(-1,-2)
161. z x 2 xy 2 x sin y . Найти смешанные производныефункции z xy// в точке М(1,0)
162.Найти величину и направление градиента функции u=xyzв точке М(2,1,1)
163.Найти производную функции a 5 x
a0
164.Вычислить определитель
0a
165.Найти интеграл
(x
2
3x)dx
166.Найти производные y=arrcos5x
xdx
167.Найти интеграл
4 x2
168.Найти скалярное произведение векторов a (4,-1), b (2,5)
169.Нйти угол между векторами a (0,1), b (1,0)
x2 2
170.Найти предел lim
x2
4
171.Определить интервал вогнутости функции f(x) = 3x3 – 9x2+5
3 4x
2 5x
5 6x 2
173.Найти горизонтальную асимптоту кривой y =
x 3x 2
3x 5
174.Найти наклонную асимптоту кривой y =
2 x4
175.Найти область определения функции y = 2 x 7
172.Найти вертикальную асимптоту кривой y =
176.Найти область определения функции y =
177.Найти области определения функции y =
1
2x 1
7
x 4
2
;
184
178.Из перечисленных ниже выражений выберите условие параллельности векторов в
пространстве.
x
y
x
y
z
1. 1 1 0 3. 1 1 1
2. x1 ∙ x2 + y1 ∙ y2 + z1 ∙ z2 = 0
4. x1 ∙ y1 ∙ z1
x2 y 2
x2 y 2 z 2
= 0 и x2 ∙ y2 ∙ z2 = 0
если один вектор имеет координаты (x1; y1:z1), а другой вектор (x2 : y2; z2).
179.Из перечисленных ниже выражений выберите условие перпендикулярности векторов
в пространстве.
X 1 Y1 Z1
X
Y
1. x1 ∙ x2 + y1 ∙ y2 + z1 ∙ z2 = 0
3.
2. 1 1 0
X 2 Y2 Z 2
X 2 Y2
4. x1 ∙ y1 ∙ z1 = 0 и x2 ∙ y2 ∙ z2 = 0
если один вектор имеет координаты (x1; y1 ;z1) , а другой вектор (x2; y2; z2).
180.Составьте уравнение прямой, имеющий угловой коэффициент k = 7 и проходящий
через точку M (1; -5).
181.Дана функция у=х 3 -1. Найти f(1).
4
182. e x x 3 dx
183.Дана функция у=х 3 +1. Найти f(1).
2
184.Дано : у=z , z =х+1. Выразить у как функцию х
185.Найти область определения функции у=1-lnх..
186.Найти область определения функции y=arcsin(x-2).
3
187.Вычислить
x dx
3
0
4
188.Вычислить
sin xdx
0
3
189.Вычислить
x
e
dx
0
190.Написать общий вид дифференциального уравнения 1-го порядка
191.Решить уравнение x / 2 y x
192.Решить уравнение y/=2x-y
193.Решить уравнение y/=tgx tgy
194.
Решить уравнение y 2 x
195.Решить уравнение x
dy
y 1
dx
196.Найти общий интеграл у 4 у 4 у 0
197.Что называется порядком дифференциального уравнения?
198.Укажите из данных уравнений дифференциальное
199.Решить уравнение y
x
y
200.Необходимое условие сходимости ряда
201.Решить уравнение y//-x2=0
185
202.Ряд 1+1/2+1/3+1/4+…+1/n +… называется
203.Ряд называется сходящийся, если выполняется условие
х х2
х т 1
204. 1
...
... это разложение в ряд Маклорена функции
1! 2!
(т 1)!
205.Найти общее решение уравнения y``-y`=0
206.Найти общее решение уравнения y``-7y`+6y=0
207.Найти общее решение уравнения y``-y`-2y=0
208.Найти общее решение уравнения y``-2y`=0
209.Найти общее решение уравнения y``-2y`-3y=0
210.Линейное дифференциальное уравнение имеет вид:
А) y/+P(x)y=Q(x).
В) yy/-xy=cosx.
С) Y//=f(x).
Д) Y//=f(y/,y).
Е) Y/=u(x)v(x)
Примерные экзаменационные тестовые задания
Вариант *
1. Решить систему уравнений методами: Гаусса, Крамера и матричным.
x1 3x2 x3 8
2 x1 3x2 x3 7
5 x 2 x 3x 11
2
3
1
2. Вычислить определитель 3-го порядка
1 2 3
3 6 9
2 1
4
3. Найти векторное произведение векторов
a 2;1;3, b 4;5;2
4. Найти скалярное произведение векторов
a 2;1;3, b 4;5;2
5. Найти площадь треугольника с вершинами
A(2;-2;6), B(3;0;1), C(2;-6;2)
6. Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах
a 1;2;3, b 2;4;2, c 2;0;5
7. Определение координат вектора. Длина вектора
8. Написать уравнение прямой, проходящей через точку
A(2;-3)
параллельно прямой
2x+3y -11=0
9. Условия параллельности и перпендикулярности векторов
10. Расстояние от точки до прямой
11. Найти область определения функции
2
; б) y log 2 x 2 1
a) y 2
3x x
12. Исследовать на четность, нечетность функции
186
4х 2
2х 4 1
13. Понятие обратной функции. Сложная функция. Неявная функция.
14. Найти пределы
2 x 5 3x 3 x 7
x 2 4x 3
a) lim
;
б)
lim
2x3 6
x2 1
x
x 1
а) y=2x3+x2+1;
б) y =
15. Два замечательных предела
16. Найти производные функции
x
e2x
а) y=3x2 sin ;
б) y= 3 ln 3
2
x
17. Найти точки экстремума функции
a) y=3x3-16x;
б) y=2x2-1
18. Найти точки перегиба функции
y=2x4+6x3-1
19. Формула Ньютона-Лейбница
20. Вычислить интегралы
2
а) хе3 х dx ;
б) 3x 8 5 dx
x
12. Программное и мультимедийное сопровождение учебных занятий - нет
13. Перечень специализированных аудиторий, кабинетов и лабораторий
Корпус № 2
Список литературы
Основная литература.
1. Красс М.С. Основы высшей математики и ее приложения в экономическом
образовании: Учебник 3-е издание, М: Дело, 2002.
2. Баврин И.Н., Матросов В.Л. : Высшая математика: учебник М: Владос, 2002г.
3. Карасёв А.И., Аксютина З.М., Савельева Т.И. Курс высшей математики для
экономических вузов. М.: Высшая школа,1982.
4. Щипачев В.С. Высшая математика: учебник для математических специальностей
вузов. М.: Высшая школа, 1998.
5. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики: учебное
пособие для вузов. М.: Наука, 1989.
6. Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике: учебное пособие для вузов
М.: Наука 1987.
7. Данко П.Е., Попов А.Г, Кожевникова Т. Я. Высшая математика в упражнениях и
задачах: учебное пособие для студентов втузов. М.: Высшая школа, 1974.,в 2-х
частях.
8. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. М.: Наука, 1988.
9. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Высшая
школа, 1977.
10. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и
математической статистике: учебное пособие для вузов. М.: Высшая школа, 1975.
Дополнительная литература.
11. Коршунова Н.,. Плясунов В. Математика в экономике. М.: Финансы и
статистика,1996.
12. Колесников А.Н. Краткий курс математики для экономистов. М.: финансы и
статистика, 2002.
13. Боревич З.И. Определители и матрицы М.: «Наука», 1988.
188
4. Глоссарий по дисциплине Математика для экономистов
1. Векторная алгебра- раздел математики, в котором изучаются свойства
действий над векторами.
2. Матрица- прямоугольная таблица элементов аik
( чисел математических выражений), состоящая из m строк и n столбцов
3. Определитель (детерминант) – составленное по определенному правилу из n2
чисел математическое выражение, применяемое при решении и исследовании
систем алгебраических уравнений 1 степени, число n называют порядком
определителя.
4. Дифференциальное исчисление - раздел математики, в котором изучаются
производные, дифференциалы и их применение к исследованию функций
5. Интегральное исчисление- раздел математики, в котором изучаются свойства
и способы вычисления интегралов, и их приложения к решению различных
математических и физических задач
6. Теория вероятности - раздел математики, в котором по данным вероятностям
одних случайных событий находят вероятности других событий