Shpora_po_Vopr_2010_predvaritelnox

1
Содержание
ИПФ (Общие вопросы?) .............................................................................................................................................. 3
1.
Интегральное преобразование Фурье. Свойства ИПФ. ............................................................................... 4
2.
Эффект конечной длины выборки. Явление Гиббса.................................................................................... 7
3.
Взвешивание. Оконные функции. Основные параметры оконных функций. ........................................... 8
4.
Кепстральный анализ. Области применения кепстров мощности. .........................................................10
5.
Медианная фильтрация. Пример применения МФ...................................................................................11
6.
Оценка параметров сигналов. Основные характеристики оценок. .........................................................12
7.
Основные характеристики случайных дискретных сигналов. ..................................................................13
8. Связь между основными характеристиками случайных дискретных сигналов. Теорема ВинераХинчина..................................................................................................................................................................14
9.
Фильтрация дискретных случайных последовательностей. .....................................................................15
Современные методы спектрального анализа. .....................................................................................................17
10.
___О-Т-С-У-Т-С-Т-В-У-Е-Т___!!!__СДЕЛАТЬ__ ..........................................................................................17
11.
Прямые и косвенные методы получения спектральной плотности мощности (СПМ) .......................17
12.
Метод модифицированных периодограмм ...........................................................................................18
13.
Параметрические методы спектрального анализа ...............................................................................19
14.
АР-, СС- и АРСС-модели случайных процессов.......................................................................................20
15.
Соотношение АР-, СС- и АРСС-параметров с автокорреляционной последовательностью. .............20
Цифровые адаптивные фильтры. ............................................................................................................................23
16.
Введение в адаптивные фильтры. Примеры применения АФ. ............................................................24
17.
Методы оптимального оценивания. Оптимальное нерекурсивное винеровское оценивание........25
18.
Пример устройства, реализующего винеровскую оценку ....................................................................26
19.
Оптимальное рекурсивное калмановское оценивание. Скалярный фильтр Калмана ......................28
20.
Адаптивные алгоритмы для фильтров с конечной импульсной характеристикой. Рекурсивный
алгоритм наименьших квадратов. ......................................................................................................................29
21.
Адаптивная фильтрация помех__ПРОВЕРИТЬ__ ...................................................................................30
22.
Примеры устройств с АПП. .......................................................................................................................31
Основы вейвлет-преобразования. ..........................................................................................................................33
23.
Введение в вейвлет-преобразование (ВП). Общая характеристика ВП. Непрерывное ВП ................34
24.
Ограничение и недостатки преобразования Фурье. Оконное ПФ .......................................................35
25.
Представление функций при помощи вейвлетов. Обратное вейвлет-преобразование. ..................36
26.
Признаки вейвлетов. Свойства ВП ..........................................................................................................37
Элементная база систем реального времени. .......................................................................................................38
27.
Принципы построения цифро-аналоговых преобразователей (ЦАП). ................................................39
28.
Основные параметры ЦАП .......................................................................................................................41
2
29.
Устройства выборки и хранения (УВХ). Принципы построения, основные параметры, примеры
применения. ..........................................................................................................................................................42
30.
АЦП с двухтактным интегрированием. ...................................................................................................44
31.
АЦП последовательного приближения ..................................................................................................45
32.
Параллельные и многокаскадные АЦП. .................................................................................................46
33.
Основные характеристики АЦП. ..............................................................................................................47
34.
Принципы построения сигма-дельта АЦП ..............................................................................................48
35.
Фильтры на переключаемых конденсаторах. ........................................................................................50
36.
Особенности цифровых сигнальных процессоров (ЦСП). .....................................................................51
37.
Базовая архитектура ЦСП типа TMS320C6xxx. Основные технические характеристики. ...................52
38.
Особенности процессоров TMS320C64xx. ..............................................................................................53
Техника проектирования систем реального времени. .........................................................................................54
39.
Проблемы проектирования прецизионных аналого-цифровых систем (АЦС). Борьба с токами
утечки в изоляторах. Паразитные эффекты в резисторах. ................................................................................55
40.
Емкостной шум, экран Фарадея. Паразитные эффекты в конденсаторах. ..........................................57
41.
Принцип индуктивной связи. Взаимная индуктивность. ......................................................................59
42.
Заземление, земляные шумы и земляные петли. .................................................................................60
43.
Земляные полигоны. Заземление экранированных кабелей...............................................................61
44.
? Выбор наиболее рационального размещения основных узлов АЦС на печатной плате.
__ПРОВЕРИТЬ__ ....................................................................................................................................................62
3
ИПФ (Общие вопросы?)
4
1.
Интегральное преобразование Фурье. Свойства ИПФ.
(из «ИПФ(1-3)/(4-9).ДОК»)
Χ(𝑓) = ∫ 𝑥(𝑡)𝑒 −𝑗2𝜋𝑓𝑡 𝑑𝑡 - прямое преобразование Фурье (перевод в спектральную область)
𝑥(𝑡) = ∫ Χ(𝑓)𝑒 𝑗2𝜋𝑓𝑡 𝑑𝑓 – обратное преобразование Фурье (по спектру получаем
временное представление сигнала)
Дельта-функция:
δ(t) - единичная высота, нулевая ширина
, S=1
∫ 𝑥(𝑡)𝛿(𝑡 − 𝑡0 )𝑑𝑡 = 𝑥(𝑡0 ) - выделяющая функция
∫ 𝛿 (𝑓 − 𝑓0 )𝑒 𝑗2𝜋𝑓𝑡 𝑑𝑓 = 𝑒 𝑗2𝜋𝑓0 𝑡
{
∫ 𝛿(𝑓 + 𝑓0 )𝑒 𝑗2𝜋𝑓𝑡 𝑑𝑓 = 𝑒 −𝑗2𝜋𝑓0 𝑡
(1)
Формула Эйлера:
𝑒 𝑗𝛼 = cos 𝛼 + 𝑗 sin 𝛼
𝑒 −𝑗𝛼 = cos 𝛼 − 𝑗 sin 𝛼
𝑒 𝑗𝛼 + 𝑒 −𝑗𝛼
cos 𝛼 =
2
𝑒 𝑗𝛼 − 𝑒 −𝑗𝛼
sin 𝛼 =
2𝑗
Из (1) с учетом формулы Эйлера получаем:
1
cos 2𝜋 𝑓0 𝑡 = ∫[𝛿(𝑓 − 𝑓0 ) + 𝛿(𝑓 + 𝑓0 )]𝑒 𝑗2𝜋𝑓𝑡 𝑑𝑓
2
1
sin 2𝜋𝑓0 𝑡 = ∫[𝛿(𝑓 − 𝑓0 ) − 𝛿(𝑓 + 𝑓0 )]𝑒 𝑗2𝜋𝑓𝑡 𝑑𝑓
2𝑗
Cos представляется как δ-функция, смещенная на 𝑓0 и −𝑓0 .
Sin – это δ-функция, смещенная на 𝑓0 (в отрицательной области) и −𝑓0
Каждую функцию можно представить как сумму четной и нечетной составляющей:
𝑥(𝑡) = 𝑥ч (𝑡) + 𝑥н
𝑇
𝑇
Χ(𝑓) = ∫−𝑇[𝑥ч (𝑡) + 𝑥н (𝑡)][cos(2𝜋𝑓𝑡) − 𝑗 sin(2𝜋𝑓𝑡)]𝑑𝑡 == ∫−𝑇[𝑥ч (𝑡) cos(2𝜋𝑓𝑡) + 𝑥н (𝑡) cos(2𝜋𝑓𝑡) −
𝑗𝑥ч (𝑡) sin(2𝜋𝑓𝑡) − 𝑗𝑥н (𝑡) sin(2𝜋𝑓𝑡)]𝑑𝑡=
𝑇
(Интеграл от нечетной функции на симметричном интервале: ∫−𝑇 𝑥н (𝑡)𝑑𝑡 = 0)
∞
∞
= Χ(𝑓) = ∫ 𝑥ч (𝑡) cos(2𝜋𝑓𝑡)𝑑𝑡 − 𝑗 ∫ 𝑥н sin(2𝜋𝑓𝑡)𝑑𝑡
−∞
−∞
Вывод: в общем случае спектр –
комплексная величина, четная функция –
чисто действительный спектр, нечетная
функция – чисто мнимый спектр.
5
Свойства интегрального преобразования Фурье (ИПФ):
1. Линейность
𝑎1 𝑥(𝑡) + 𝑎2 𝑦(𝑡) ⟹ 𝑎1 Χ(𝑓) + 𝑎2 Υ(𝑓)
Χ, Υ – спектр (спектральный образ); ⟹ - перевод в спектральную область
𝟐. Сдвиг во временной области
𝐹{𝑥(𝑡)}=Χ(𝑓) подставляем в прямое преобразование Фурье
𝐹{𝑥(𝑡 − 𝑡1 )} = ∫ 𝑥(𝑡 − 𝑡1 )𝑒 −𝑗2𝜋𝑓𝑡 𝑑𝑡 = ∫ 𝑥(𝑡 − 𝑡1 ) 𝑒 −𝑗2𝜋𝑓(𝑡−𝑡1 ) 𝑒 −𝑗2𝜋𝑓𝑡1 𝑑𝑡 = Χ(𝑓)𝑒 𝑗2𝜋𝑓𝑡1 , т.е.,
появляется дополнительная осцилляция в спектре (осциллирующий сомножитель при X(f)).
𝟑. Сдвиг в спектральной области
X(f − f1 )
Используя обратное преобразование Фурье, подставляем 𝑓 − 𝑓1 вместо f:
𝑥(𝑡) = ∫ 𝑋(𝑓 − 𝑓1 )𝑒 𝑗2𝜋(𝑓−𝑓1) ∗ 𝑒 𝑗2𝜋𝑓1 𝑡 𝑑𝑡
𝑥 , (t)=x(t)𝑒 𝑗2𝜋𝑓1 𝑡 - появление модуляции в сигнале
4. Дуальность
𝐹{𝑋(𝑓)} = 𝑥(−𝑡)
Двойное вычисление спектра приводит к изменению знака независимой переменной (-t)
Состоит из двух операций:
1) 𝑋(𝑓) = 𝐹{𝑥(𝑡)}
2) ∫ 𝑋(𝑓)𝑒 −𝑗2𝜋𝑓𝑡 𝑑𝑓 = ∫ 𝑋(𝑓)𝑒 𝑗2𝜋𝑓(−𝑡) 𝑑𝑡 = 𝑥(−𝑡)
5. Масштабирование по оси времени t
┌Спектр прямоугольной функции:
подстановка − 𝑗2𝜋𝑓𝑡 = 𝑆
1 −𝑗2𝜋𝑓 𝑇⁄2
𝑈(𝑓) = ∫ 1 ∗ 𝑒
𝑑𝑡 =
|=−
𝑒
| −𝑇
𝑑𝑆 = −𝑗2𝜋𝑓𝑑𝑡
𝑗2𝜋𝑓
−𝑇⁄
⁄2
2
sin(𝜋𝑓𝑇)
=𝑇
= 𝑇 sinc(𝜋𝑓𝑇)
𝜋𝑓(𝑇)
𝑇⁄
2
−𝑗2𝜋𝑓𝑡
Используем формулу Эйлера после интегрирования;
sin x
x
=sinc
┐
6
𝐹{𝑥(𝑡)} = 𝑋(𝑓)
𝐹{𝑥(𝑘𝑡)} =
1
𝑓
𝑋( )
|𝑘| 𝑘
Т.е., 𝐾 ≠ 1 ⇒ 𝐾 = 0.5 ⇒ в 2 раза высота больше и площадь равна S=S
6. Масштабирование по спектру (по f)
𝐹{𝑥(𝑡)} = 𝑋(𝑓)
𝐹 −1 {𝑋(𝑘𝑓)} =
1
𝑡
∗𝑋( )
|𝑘|
𝑘
Используется в радиолокации: чем уже импульс, тем шире спектр.
7. Теорема Парсеваля
∫|𝑥(𝑡)|2 𝑑𝑡 = ∫|𝑋(𝑓)|2 𝑑𝑓
7
2.
Эффект конечной длины выборки. Явление Гиббса
(из «ИПФ(1-3)/(4-9).ДОК»)
Явление Гиббса
Для непрерывной:
cos 2𝜋𝑓𝑡 ⇒
1
[𝛿(𝑓 − 𝑓0 ) + 𝛿(𝑓 + 𝑓0 )] [−∞; ∞]
2
Ограничим синусоиду интервалом T\2
𝑥𝑇 (𝑡) – ограниченная x(t)
𝑥𝑇 (𝑡) = 𝑋(𝑡)𝑈(𝑡)
𝐹{𝑥𝑇 (𝑡)} = ∫ 𝑋(𝜂)𝑈(𝑓 − 𝜂)𝑑𝜂 – интегральная запись свертки
1
sin(𝜋𝑓𝑇 − 𝜂)
𝑇
𝐹{𝑥𝑇 (𝑡)} = ∫[𝛿(𝑓 − 𝑓0 ) + 𝛿(𝑓 + 𝑓0 )]
𝑑𝜂 = [𝑠𝑖𝑛𝑐(𝜋(𝑓 − 𝑓0 )𝑇) + 𝑠𝑖𝑛𝑐(𝜋(𝑓 + 𝑓0 )𝑇)]
2
𝜋𝑓
2
Интервал наблюдения желательно увеличивать.
Ограничение интервала наблюдения приводит к размыванию
спектральной составляющей.
8
3.
Взвешивание. Оконные функции. Основные параметры оконных функций.
(из «ИПФ(1-3)/(4-9).ДОК»)
Рассмотрим sinc:
Дискретное преобразование Фурье применимо только для периодических сигналов.
Тогда для (1) есть один выход: умножать не на U(t), а на V(n), тогда скачков не будет.
Выбор оконных функций V(n) для спектрального анализа:
Свойства оконных функций:
1. Уровень бокового лепестка (первого). Диапазон изменения уровня (-13;-90) дБ
2. Асимптотическая скорость спада боковых лепестков.
3. Эффективная шумовая полоса – это ширина прямоугольного окна, которая накапливает ту
же мощность шума.
9
4. Паразитная амплитудная модуляция (ПАМ)
Генератор→АЦП→ДПФ→Экр
5. Ширина главного лепестка на уровне – 6 дБ – определяется спектральным разрешением
Окна
Максимальный
уровень
боковых
лепестков [дБ]
Скорость
спада
боковых
лепестков,
дБ/октава
прямоугольное
-13
Хэннинга
ЭШП
ΔF на
уровне 6дБ,
[бин]
Паразитная
амплитудная
модуляция,
[дБ]
-6
1,0
1,21
3,9
-47
-6
0,5
3,1
0,8
Тьюки
-19
-18
0,8
1,8
1,7
БиэкманаХэрриса
-92
-6
0,36
2,7
0,8
10
4.
Кепстральный анализ. Области применения кепстров мощности.
(из «ИПФ(1-3)/(4-9).ДОК»)
Этот метод линейной обработки сигналов, который применяется во многих областях. Особенность: с
помощью кепстров можно разделять сигналы, образованные сверткой.
𝑦(𝑡) = 𝑥(𝑡) ∗ ℎ(𝑡), где 𝑥(𝑡) - знак свертки, ℎ(𝑡) - импульсная характеристика
𝑌(𝑓) = 𝑋(𝑓) ∗ 𝐻(𝑓)
log 𝑌(𝑓) = log 𝑋(𝑓) + log 𝐻(𝑓)
𝐹{log 𝑌(𝑓)} = 𝐹{log 𝑋(𝑓)} + 𝐹{log 𝐻(𝑓)}
𝐾𝑦 (𝜏) = 𝐹{log 𝑌(𝑓)} Кепстр определяется как спектр логарифма спектра.
𝐾𝑦 (𝜏) = 𝐹{log|𝐹{𝑦(𝑡)}|}
Пусть дана функция ℎ(𝑡), ей соответствует спектр 𝐻(𝑓)
𝐻(𝑓) = |𝐻(𝑓)|𝑒 𝑗𝜑(𝑡)
(1)
𝐼𝑚[𝐻(𝑓)]
𝑅𝑒[𝐻(𝑓)]
2
|𝐻(𝑓)| = √𝑅𝑒 [𝐻(𝑓)] + 𝐼𝑚2 [𝐻(𝑓)]
Логарифмируем 1 и получаем комплексный кепстр: ln{𝐻(𝑓)} = ln{|𝐻(𝑓)|} + 𝑗𝜑(𝑡)
𝐾𝑛𝑘 (𝜏) = 𝐹{ln{H(f)}}
h(t)
𝜑(𝑡) = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔
АЦП
ДПФ
ДПФ – дискретное преобразование Фурье
H(f)
Re(H(f))
Im(H(f))
БФФ – блок формирования фазы (обычно от – 𝜋 до 𝜋)
|H(f)|
? (f)
БФФ
F{…}
Kn
Применение:
1. Обработка речевых сигналов (выделение основного тона)
𝐼2
[𝑥(𝑡) ∗ ℎ(𝑡 − 𝜏)] + 𝑥(𝑡)
𝐼1
𝐼2
𝐼2
𝐹{𝑦(𝑡)} = [𝑋(𝑓) ∗ 𝐻(𝑓)𝑒 −𝑗2𝜋𝑓𝜏 ] + 𝑋(𝑓) = 𝑋(𝑓) [1 + ∗ 𝐻(𝑓)𝑒 −𝑗2𝜋𝑓𝜏 ]
𝐼1
𝐼1
𝐼2
log 𝐹{𝑦(𝑡)} = log 𝑋(𝑓) + log [1 + ∗ 𝐻(𝑓)𝑒 −𝑗2𝜋𝑓𝜏 ]
𝐼1
𝐼2
𝐾𝑦 (𝜏) = 𝐾𝑥 (𝜏) + 𝐹 {log [1 + ∗ 𝐻(𝑓)𝑒 −𝑗2𝜋𝑓𝜏 ]}
𝐼1
𝑦(𝑡) = отражение + осн. часть =
log(1 + 𝑥) = 𝑥 −
𝑥2
2
+
𝑥3
2
−
𝑥4
2
– разложение в ряд
2. Диагностика машинного оборудования
3. Радио и гидролокация
11
5.
Медианная фильтрация. Пример применения МФ.
(из «ИПФ(1-3)/(4-9).ДОК»)
Медиа́нный фи́льтр — один из видов цифровых фильтров, широко используемый в в цифровой
обработке сигналов и изображений для уменьшения уровня шума. Медианный фильтр является
нелинейным фильтром.
Реализуется с помощью окна, состоящего из определенного количества отсчётов. Значения отсчётов
внутри окна сортируются по порядку; и среднее значение, то есть значение находящееся в середине
упорядоченного списка, принимается выходным значением. На следующем шаге окно передвигается на
один отсчёт вперёд и вычисления повторяются. Крайние значения массива считаем продублированными
столько раз, чтобы можно было применить окно к первому и к последнему значению.
Медиана последовательности:
𝑆𝑛 + 𝑆𝑛−1
𝑀𝑒𝑑 {𝑆𝑘 }
, 𝑁 − четное
={
2
1≤𝑘≤𝑛
𝑆 , 𝑁 − нечетное
𝑛
Свойства медианных фильтров:
1. 𝑚𝑒𝑑{𝑎 ∗ 𝑆𝑘 } = 𝑎 ∗ 𝑚𝑒𝑑{𝑆𝑘 }
2. 𝑚𝑒𝑑{𝑆0 + 𝑆𝑘 } = 𝑆0 + 𝑚𝑒𝑑{𝑆𝑘 }
, где 𝑆0 и 𝑎 - постоянные величины
3. 𝑚𝑒𝑑{𝑆1 (𝑘) + 𝑆2 (𝑘)} ≠ 𝑚𝑒𝑑{𝑆1 (𝑘)} + 𝑚𝑒𝑑{𝑆2 (𝑘)}
, т.е. операция не линейная
Медианная фильтрация — обычная процедура обработки изображений. Она особенно часто
используется для уменьшения шума в изображении. Хорошо отфильтровывает импульсные хаотические
помехи.
Для обработки изображений применяются различные двумерные апертуры
Применение медианного фильтра с окном размеров в три отсчёта ко входному массиву x (искусственно
введённые продублированные значения показаны полужирно):
x = [2 80 6 3]
y[1] = медиана[2 2 80] = 2
y[2] = медиана[2 80 6] = медиана[2 6 80] = 6
y[3] = медиана[80 6 3] = медиана[3 6 80] = 6
y[4] = медиана[6 3 3] = медиана[3 3 6] = 3
и в итоге:
y = [2 6 6 3] — выход медианного фильтра
12
6.
Оценка параметров сигналов. Основные характеристики оценок.
(из «ИПФ(1-3)/(4-9).ДОК»)
𝑥(𝑡) = 𝑠(𝑡, 𝜃) + 𝑛(𝑡), где 𝜃 – параметр сигнала, 𝑛(𝑡) – шум
Априорная плотность вероятности параметра 𝜃: 𝑊𝑝𝑟 (𝜃)
Условная плотность вероятности: 𝑊𝑝𝑠 (𝜃) = 𝑊(𝑥(𝑡)|𝜃)
𝑊𝑝𝑟 (𝜃) ∗ 𝑊(𝜃|𝑥(𝑡)) = 𝑊(𝑥(𝑡)) ∗ 𝑊𝑝𝑠 (𝜃)
𝑊𝑝𝑠 (𝜃) =
𝑊𝑝𝑟 (𝜃) ∗ 𝑊(𝜃|𝑥(𝑡))
𝑊(𝑥(𝑡))
𝑊[𝑥(𝑡)] = ∫ 𝑊(𝑥(𝑡)|𝜃) 𝑊𝑝𝑟 (𝜃)𝑑𝜃
𝜃̂ – оценка параметра
𝑚𝜃̂ = 𝑀[𝜃̂]
2
𝛿𝜃̂2 = 𝑀 [(𝜃̂ − 𝑚𝑥 ) ]
Классификация оценок:
1. Информативные/неинформативные
2. Энергетические (А(амплитуда), 𝜏(длительность))/ неэнергетические(f (частота), 𝜑 (фаза))
3. Случайные/неслучайные
Оценка качества оценки:
1. Состоятельность
2. Несмещаемость
3. Эффективность
4. Достаточность
Оценка называется состоятельной, если она сходится по вероятности к оцениваемому параметру при
бесконечном увеличении объема выборки. lim 𝑃{(𝜃̂ − 𝜃) ≥ 𝜀}=0, 𝜀 ≥ 0
𝑛→∞
Оценка называется несмещеной, если ее мат. ожидание равно оцениваемому параметру
𝑀[𝜃̂] = 𝜃
̂𝑛.эфф
Оценка называется эффективной, если 𝑀 [(𝜃
2
2
− 𝜃) ] ≤ 𝑀 [(𝜃̂𝑛 − 𝜃) ] для ∀𝜃̂𝑛
Оценка называется достаточной, если никакой дополнительной обработкой нельзя получить лучшую
оценку
13
7.
Основные характеристики случайных дискретных сигналов.
(из «ИПФ(1-3)/(4-9).ДОК»)
1. Стационарный сигнал – характеристики сигналов не зависят от начального момента времени
2. Эргодичные – характеристики сигналов идентичны при усреднении по времени и по ансамблю
1. Математическое ожидание
𝑥(𝑛) – случайная последовательность
𝑥(𝑡) - случайный сигнал
𝑚𝑥 = 𝐸[𝑥(𝑡)] = ∫ 𝑥(𝑡)𝑓(𝑥)𝑑𝑡
𝑓(𝑥) – плотность распределения вероятностей случайного сигнала 𝑥(𝑡)
𝐸 - знак усреднения (либо по времени либо по ансамблю реализаций
1
, 𝑥 ≥ 𝑥 ≥ 𝑥1
= {𝑥2−𝑥1 2
0, в остальных
Для равномерного распределения 𝑓(𝑥)
Для гаусового распределения
𝑓(𝑥) =
1
√2𝜋𝜎
Среднее значение по времени 𝑥(𝑡): ̅̅̅̅̅̅
𝑋(𝑛)
̂
Оценочный момент ожидания (𝑋̂): 𝑋
=
exp (−
= lim
(𝑥−𝑚𝑥 )2
)
2𝜎 2
1
∑+𝑁 𝑥(𝑛)
2𝑁+1 𝑛=−𝑁
𝑁→∞
𝑁−1
∑
𝑋(𝑛)
𝑁 𝑛=0
1
2. Средняя мощность 𝑃𝑐𝑝
𝑃𝑐𝑝 = 𝐸[𝑋 2 (𝑡)] = ∫ 𝑥 2 𝑓(𝑥)𝑑𝑡
В дискретном виде 𝑃𝑐𝑝 𝑥
= 𝐸[𝑋 2 (𝑛)]= lim
1
𝑥 2 (𝑛)
𝑁→∞ 2𝑁+1
2]
2 (𝑛)]
𝛿 2 = 𝐸[(𝑥(𝑛) − 𝑥̂) = 𝐸[𝑥
1
∑𝑁−1
Оценка дисперсии: 𝛿̂ 2 =
𝑛=0 (𝑥(𝑛) − 𝑚𝑥 )
− 𝑚𝑥2 = 𝑃𝑐𝑝 𝑥 − 𝑚𝑥2
𝑁−1
3. Корреляционная функция (корреляционная последовательность для 𝑥(𝑛))
𝑅𝑥 (𝜏) = ∫ 𝑥(𝑡) 𝑥(𝑡 + 𝜏)𝑑𝑡
𝑅𝑥 (𝑚) = 𝐸[𝑥(𝑛)𝑥(𝑛 + 𝑚)]
+𝑁
1
𝑅𝑥 (𝑚) = lim
∑ 𝑥(𝑛)𝑥(𝑛 + 𝑚)
𝑁→∞ 2𝑁 + 1
𝑛=−𝑁
Оценка 𝑅𝑥 (𝑡)
𝑁−𝑚−1
1
𝑟̂𝑥 (𝑚) =
∑ 𝑥(𝑛)𝑥(𝑛 + 𝑚)
𝑁−𝑚
𝑛=0
Свойства:
А) 𝑅𝑥 (𝑚) - четная функция 𝑅𝑥 (𝑚) = 𝑅𝑥 (−𝑚)
Б) 𝑅𝑥 (0) = 𝐸[𝑥 2 (𝑛)] = 𝑃𝑐𝑝 𝑥 = 𝛿 2 + 𝑚𝑥2
В) 𝑅𝑥 (𝑚) ≤ 𝑅𝑥 (0) наибольшая степень взаимодействия с самим собой
Взаимная корреляционная последовательность 𝑥(𝑛) и 𝑦(𝑛):
𝑅𝑥𝑦 (𝑚) = 𝐸[𝑥(𝑛)𝑦(𝑛 + 𝑚)]
Свойство: 𝑅𝑥𝑦 (𝑚) = 𝑅𝑦𝑥 (−𝑚)
4. Спектральная плотность мощности
14
8.
Связь между основными характеристиками случайных дискретных сигналов. Теорема
Винера-Хинчина
(из «ИПФ(1-3)/(4-9).ДОК»)
Средняя мощность 𝑃𝑐𝑝 с математическим ожиданием 𝑚𝑥 связаны через дисперсию
𝛿 2 = 𝑃𝑐𝑝 𝑥 − 𝑚𝑥2
Из одного из свойств корреляционной функции получаем получаем ее связь со средней мощностью 𝑃𝑐𝑝
в частном случае: 𝑅𝑥 (0) = 𝑃𝑐𝑝 𝑥 = 𝛿 2 + 𝑚𝑥2
Теорема Винера-Хинчина определяет связь между спектральной плотностью мощности (СПМ) и
корреляционной функцией.
+∞
𝑆𝑥 (𝑤) = ∫
𝑅𝑥 (𝜏)𝑒 −𝑗𝑤𝜏 𝑑𝜏 − прямое преобразование Фурье
−∞
+∞
𝑅𝑥 (𝜏) = ∫ 𝑆𝑥 (𝑤)𝑒 −𝑗𝑤𝜏 𝑑𝑤 − обратое преобразование Фурье
{
−∞
Пример: дана функция
𝑆𝑥 (𝑓) = {
𝑁, |𝑓| ≤ 𝐹
0, в остальных случаях
Корреляционная функция тогда будет равна: (т.к. функция четная то sin нет)
𝐹
𝐹
1
2𝜋𝑓𝜏 = 𝑆
𝑅𝑥 (𝜏) = ∫ 𝑁𝑐𝑜𝑠(2𝜋𝑓𝜏)𝑑𝑓 = |
𝑐𝑜𝑠(𝑠)𝑑𝑆
| = 2𝑁 ∫
2𝜋𝑑𝑓 = 𝑑𝑆
2𝜋𝑓
= 2𝑁𝐹 ∗ 𝑠𝑖𝑛𝑐 (2𝜋𝐹𝜏)
Вывод: случайный процесс, разделенный интервалом, кратным
𝑚
2𝐹
, не кореллирован, т.е. 𝑅𝑥 (𝜏) = 0
15
9.
Фильтрация дискретных случайных последовательностей.
(из «ИПФ(1-3)/(4-9).ДОК»)
Постановка задачи: есть фильтр и есть передаточная функция H(z)
∞
𝑦(𝑛) = ∑ ℎ(𝑘)𝑥(𝑛 − 𝑘) = ℎ(𝑛) ∗ 𝑥(𝑛)
𝑘=0
Известны параметры этого фильтра, т.е. характеристики передаточной функции:
𝑃𝑐𝑝 𝑥 , 𝑅𝑥 (𝑚), 𝑆𝑥 (𝑤)
Необходимо найти: 𝑃𝑐𝑝 𝑦 = 𝑓(ℎ(𝑛), 𝑃𝑐𝑝 𝑥 ), 𝑅𝑦 (𝑚) = 𝑓(ℎ(𝑛), 𝑅𝑥 (𝑚)), 𝑆𝑦 (𝑤) = 𝑓(ℎ(𝑛), 𝑆𝑥 (𝑤))
1. Для нахождения 𝑃𝑐𝑝 𝑦
+𝑁
𝑃𝑐𝑝 𝑦
1
= 𝐸[𝑦 (𝑛)] = lim
∑ 𝑦 2 (𝑛)
𝑁→∞ 2𝑁 + 1
2
𝑛=−𝑁
𝑦(𝑛) = ∑ ℎ(𝑘) ∗ 𝑥(𝑛 − 𝑘)
𝑘
искусственно разбиваем
𝑦(𝑛) = ∑ ℎ(𝑙) ∗ 𝑥(𝑛 − 𝑙)
}
𝑙
+𝑁
𝑃𝑐𝑝 𝑦
1
= 𝐸[𝑦 2 (𝑛)] = lim
∑ [∑ ∑ ℎ(𝑘) ∗ ℎ(𝑙) ∗ 𝑥(𝑛 − 𝑘) ∗ 𝑥(𝑛 − 𝑙)]
𝑁→∞ 2𝑁 + 1
𝑛=−𝑁
𝑘
𝑙
+𝑁
1
= ∑ ∑(ℎ(𝑘) ∗ ℎ(𝑙)) ∗ [ lim
∑ 𝑥(𝑛 − 𝑘) ∗ 𝑥(𝑛 − 𝑙)]
𝑁→∞ 2𝑁 + 1
𝑘
𝑙
𝑛=−𝑁
Окончательная формула: 𝑃𝑐𝑝 𝑦 = 𝑃𝑐𝑝 𝑥 ∑𝑘 ℎ2 (𝑘)
2.
𝑅𝑦 (𝑚) = 𝐸[𝑦(𝑛)𝑦(𝑛 + 𝑚)] = lim
1
𝑁→∞ 2𝑁+1
∑+𝑁
𝑛=−𝑁 𝑦(𝑛)𝑦(𝑛 + 𝑚) =
𝑦(𝑛) = ∑ ℎ(𝑘) ∗ 𝑥(𝑛 − 𝑘)
𝑘
подставляем
𝑦(𝑛 + 𝑚) = ∑ ℎ(𝑙) ∗ 𝑥(𝑛 + 𝑚 − 𝑙)
}
𝑙
1
= lim
∑ [∑ ∑ ℎ(𝑘) ∗ ℎ(𝑙) ∗ 𝑥(𝑛 − 𝑘) ∗ 𝑥(𝑛 + 𝑚 − 𝑙)] =
𝑁→∞ 2𝑁 + 1
𝑛
𝑘
𝑙
𝑙 =𝑘+𝑝
1
= lim
=
𝑁→∞ 2𝑁 + 1
16
Обозначим корреляционную последовательность для импульсной характеристики ℎ(𝑛): 𝑔(𝑝) =
∑𝑘(ℎ(𝑘) ∗ ℎ(𝑘 + 𝑝))
1
∑ 𝑥(𝑛 − 𝑘) ∗ 𝑥(𝑛 + 𝑚 − 𝑘 − 𝑝)]
+1
= ∑ 𝑔(𝑝) [ lim
𝑁→∞ 2𝑁
𝑝
𝑛
𝑅𝑦 (𝑚) = ∑𝑝 𝑔(𝑝)𝑅𝑥 (𝑚 − 𝑝) = 𝑔(𝑚)𝑅𝑥 (𝑚) (1)
3.
z-преобразование формулы 1
𝑆𝑦 (𝑧) = 𝐺(𝑧) ∗ 𝑆𝑥 (𝑧), где
−𝑚
𝑆𝑦 (𝑧) = ∑∞
𝑚=−∞ 𝑅𝑦 (𝑚)𝑧
𝑧 = 𝑒 𝑗𝑤𝑡
∞
−𝑚
𝑆𝑥 (𝑧) = ∑𝑚=−∞ 𝑅𝑥 (𝑚)𝑧
𝐺(𝑧) = ∑ 𝑔(𝑝)𝑧 −𝑝 = ∑ [∑(ℎ(𝑘) ∗ ℎ(𝑘 + 𝑝))] 𝑧 −𝑝 = |
𝑝
𝑝
𝑘
𝑧 = 𝑒 𝑗𝑤𝑡
|=
𝑘+𝑝 =𝑛
= ∑ [∑ ℎ(𝑘)ℎ(𝑛)] 𝑧 −𝑛 𝑧 𝑘
𝑝
∑ ℎ(𝑛)𝑧
−𝑛
𝑘
= 𝐻(𝑧) − передаточная функция
𝑛
𝑘
∑ ℎ(𝑘)𝑧 = 𝐻(𝑧 −1 ) − пер. функция инверированной последовательности
𝑘
𝐺(𝑧) = 𝐻(𝑧)𝐻(𝑧 −1 )
𝑆𝑦 (𝑧) = 𝐻(𝑧)𝐻(𝑧 −1 ) ∗ 𝑆𝑥 (𝑧), т.к. 𝑧 = 𝑒 𝑗𝑤𝑡 , то
𝑆𝑦 (𝑒 𝑗𝑤𝑡 ) = 𝐻(𝑒 𝑗𝑤𝑡 )𝐻(𝑒 −𝑗𝑤𝑡 ) ∗ 𝑆𝑥 (𝑒 𝑗𝑤𝑡 )
2
2
𝑆𝑦 (𝑒 𝑗𝑤𝑡 ) = |𝐻(𝑒 𝑗𝑤𝑡 )| ∗ 𝑆𝑥 (𝑒 𝑗𝑤𝑡 ), где |𝐻(𝑒 𝑗𝑤𝑡 )| - квадрат АЧХ
17
Современные методы спектрального анализа.
10. ___О-Т-С-У-Т-С-Т-В-У-Е-Т___!!!__СДЕЛАТЬ__
11. Прямые и косвенные методы получения спектральной плотности мощности (СПМ)
(из «современные методы спектр анализа(11-15).doc»)
Прямой метод:
обычное преобразование Фурье
Для дискретной последовательности:
Косвенный метод:
Для дискретной последовательности:
18
12. Метод модифицированных периодограмм
(из «современные методы спектр анализа(11-15).doc»)
Задача состоит в том, чтобы вычислить спектр по мере поступления данных. Нашу диаграмму разбивают на
блоки; размер блока М (объем выборки в блоке), они перекрываются
Для уменьшения объема выборки представим выборку в виде комплексной величины
(модифицированный метод)
Спектр вычисляется по мере поступления данных.
19
13. Параметрические методы спектрального анализа
(из «современные методы спектр анализа(11-15).doc»)
Причина появления этих методов: прямые и косвенные методы основана на том, что мы рассматриваем
ограниченный интервал Т, у них недостатки:
- явление Гибса (размывание спектральных составляющих)
- эти методы обладают несостоятельностью и несмещенностью (иногда)
- разрешение по частоте ∆𝑓~1/𝑇 следовательно если есть ограниченный интервал выборки, то больше
разрешение чем 1/Т мы не получим
У параметрических методов можно сделать больше разрешение, чем 1/Т. Но эти методы менее эффективны
в вычислительном аспекте.
Здесь все построено на моделях – мы модулируем процесс с помощью линейной системы
20
14. АР-, СС- и АРСС-модели случайных процессов.
15. Соотношение АР-, СС- и АРСС-параметров с автокорреляционной
последовательностью.
(из «современные методы спектр анализа(11-15).doc»)
Авторегрессионная составляющая с параметром р
Скользящая составляющая с параметром q
Авторегрессия скользящего среднего
Получим авторегрессионную последовательность: y*(n-m), E [ ] – усреднение – это делаем с выражением
АКП – автокорреляционная последовательность
ВКП- взаимнокорреляционная последовательность
(2) – окончательное выражение для авторелляционного последовательности для линейной системы,
которую мы имеем.
Теперь по известным параметрам белого шума (𝛿 2 ) найти параметры линейной системы а(к), b(к). А зная
эти параметры потом найдем спектр:
21
Спектральная плотность мощности (СПМ):
Система линейных уравнений в матричном виде: р-линейных уравнений с р-неизвестными (неизвестное
а/к)
Система уравнений Юла-Уокера
Это тёплицева матрица (на диагоналях равные элементы). Решение такой
матрицы известно следовательно алгоритм ревинсона
В результате находим а(1), а(2)….Р0(р), следовательно находим Пу(m) и находим спектр:
Если рассмотреть другой случай – когда мы имеем чисто регрессионный процесс
Здесь принцип точно такой же.
Чисто скользящее среднее с параметром q: СС(q), p=0 из системы (2) получаем:
22
Рекуррентная формула вычисления АКП при m>p
При помощи (3) получаем точки за интервалы [-p; p] например (р+1), (р+2)…..
Т.о. делаем интерполяцию – удленяем вправо и влево, т.е. искусственно удлиняем АКП
+ : не надо накладывать окна!!!!!
Рекомендации:
23
Цифровые адаптивные фильтры.
24
16. Введение в адаптивные фильтры. Примеры применения АФ.
(из «адаптивная фильтрация(16-22).doc»)
Адаптивный фильтр позволяет подстраиваться под окружающую среду
Типы фильтров:
1. БИХ – с бесконечной импульсной характеристикой.
+: быстрая сходимость
-: возможна нелинейная ФЧХ, неустойчивость
2.
КИХ – с конеч. имп характеристикой.
+: лин. ФЧХ, устойчивость
-: для получения крутых срезов необходимо большое число отчетов
3. Фильтры, исп. ДПФ
Примеры использования:
-шумодавы
-подавление наводок от частоты питающей сети
-подавление помех речи в кабине самолета
-разговор по мобильному телефону
-радиолокация, гидрология, сейсмология
-ЭКГ
25
17. Методы оптимального оценивания. Оптимальное нерекурсивное винеровское
оценивание.
(из «адаптивная фильтрация(16-22).doc»)
1. Оценка выхода АФ
2. Оценка параметров АФ
y(n)=x(n)+ŋ(n) наблюдаемая последовательность
ŋ(n) - белый шум, дисперсия σŋ2 , нулевое среднее
xˆ (n) - оценка сигнала, методы оценивания направлены на то, чтобы найти оптим оценку
N 1
N 1
k 0
k 0
xˆ (n)   y (k )h(n  k )   h(k ) y (n  k )
Используем метод наименьших квадратов:
e(n)=|x(n)- xˆ (n) | - ошибка
E[e2(n)]=E{|x(n)- xˆ (n) |2} – вычисленная ошибка
(1)
Оптимальное нерекурсивное винеровское оценивание
Воспользуемся ошибкой и ее вычисленной оценкой (1)
E[e2(n)]=E{|x(n)- xˆ (n) |2} – нахождение среднеквадратичной оценки
(2)
N 1
xˆ (n)   h(k ) y (n  k )  H T (n)  Y (n)
(3)
k 0
h(0)
h(1)
H ( n) 
...
h( N  1)
y ( n)
y (n  1)
Y
...
y (n  N  1)
Подставим (3) в (2)
E[e2]=E{|x(n)- H T (n)  Y (n) |2}, дифференцируем усредненную ошибку E[e2] по НТ:
E[e2 ]
 2 E{[x(n)  H T (n)  Y (n)]Y T ( n)}
T
H
Чтобы найти минимум :
2E{[x(n)  H T (n)  Y (n)]Y T (n)} =0
2E{[x(n)  Y T (n)  H T (n)  Y (n)  Y T (n)]} =0
E{x(n)  Y T (n)}  E{H T (n)  Y (n)  Y T (n)} , H T (n)  Y (n) не коррелированны =>
E{x(n)  Y T (n)}  H ОПТ T E{Y (n)  Y T (n)} , E{Y (n)  Y T (n)} - матрица автокорреляции входной наблюдаемой
последователности
R= E{Y (n)  Y T (n)}
P= E{x(n)  Y (n)} - взаимная корреляция между входной наблюдаемой последовательностью и полезным вх
сигналом.
PT  H ОПТ T  R - уравнение Винера-Хопфа
Транспонируем:
( PT  R 1  H ОПТ T )T  H ОПТ  P  R 1
26
18. Пример устройства, реализующего винеровскую оценку
(из «адаптивная фильтрация(16-22).doc»)
x ( n)  sin
y (n)  sin
n
4
n
4
  ( n) - белый шум, дисперсия  2
y ( n)
y (n  1)
R  E{
 y (n), y (n  1), y (n  2), y (n  3) } 
y (n  2)
y (n  3)
y (n)(n  1)
y 2 (n  1)
y (n  2) y (n  1)
y (n  3) y (n  1)
y 2 ( n)
y (n  1) y (n)
 E{
y (n  2) y (n)
y (n  3) y (n)
y (n) y (n  2)
y (n  1) y (n  2)
y 2 (n  2)
y (n  3) y (n  2)
y (n) y (n  3)
y (n  1) y (n  3)
}
y (n  2) y (n  3)
y 2 (n  3)
Т.к. мы рассматриваем случайные стационарные посл-ти, то :
E[ y 2 (n)]  E[ y 2 (n  1)]  E[ y 2 (n  2)]  E[ y 2 (n  3)]
E[ y (n) y (n  1)]  E[ y (n  1) y(n  2)]  E[ y(n  2) y(n  3)]
E[ y (n) y (n  2)]  E[ y (n  1) y (n  3)]
Матрица примет следующий вид:
y 2 ( n)
y (n  1) y (n)
R  E{
y (n  2) y (n)
y (n) y (n  1)
y 2 (n  1)
y (n) y (n  1)
y (n) y (n  2)
y (n) y (n  1)
y 2 (n)
y (n) y (n  3)
y (n) y (n  2)
y (n) y (n  1)
y (n  3) y (n)
y (n) y (n  2)
y (n) y (n  1)
y 2 (n )
Заполним эту матрицу:
E[ y 2 (n)] 
1 3 2
1
1
1
1
y  n   [(0   2 )  (   2 )  (1   2 )  (   2 )]    2 - y(n) коррел. c y(n)  +  2

4 n 0
4
2
2
2
E[ y (n) y (n  1)] 
1 3
1
2
2
1
y (n) y (n  1)  [0  0 

]

4 n 0
4
2
2
2 2
E[ y (n) y (n  2)] 
1 3
1
1
1
y (n) y ( n  2)  [0   0  ]  0

4 n 0
4
2
2
E[ y (n) y(n  3)] 
1 3
1
2
2
1
y(n) y(n  3)  [0 

 0]  

4 n 0
4
2
2
2 2
27
R  E{
1
 2
2
1
2 2
1
2 2
1
 2
2
1
2 2
0

1
0
2 2
0

1
2 2
1
 2
2
1
2 2
1
2 2
0
}
1
2 2
1
 2
2
y ( n)
y (n  1)
P= E{x(n)  Y (n)} = E{x(n) 
}
y (n  2)
y (n  3)
E[ x(n) y (n)] 
1 3
1
1
1 1
x(n) y  n   [0   1  ] 

4 n 0
4
2
2 2
E[ x(n) y (n  1)] 
1 3
1
2
2
1
x(n) y(n  1)  [0  0 

]

4 n 0
4
2
2
2 2
E[ x(n) y (n  2)] 
1 3
1
1
1
x(n) y (n  2)  [0   0  ]  0

4 n 0
4
2
2
E[ x(n) y (n  3)] 
1 3
1
2
2
1
x(n) y (n  3)  [0 

 0]  

4 n 0
4
2
2
2 2
P= E{x(n)  Y (n)} = E{x ( n) 
y ( n)
y (n  1)
y (n  2)
y (n  3)
R-1 находим из матрицы R 
h1
H ОПТ  P  R 1 
h2
h3
h4
1
2
1
} 2 2
0
1

2 2
28
19. Оптимальное рекурсивное калмановское оценивание. Скалярный фильтр Калмана
(из «адаптивная фильтрация(16-22).doc»)
Калмановское оценивание основано на модели генерации сигнала:
x(n)  ax(n  1)  g (n) , g(n)-белый шум, дисперсия  g2
y (n)  cx(n)   (n) ,  (n) - белый шум, дисперсия 2
xˆ (n)  b(n) xˆ (n  1)  k (n) y (n) - оценка
b(n), k(n)- коэфф, зависящие от времени
y(n) – текущее значение на выходе измерительной системы
b  n   a[1  ck (n)]
xˆ (n)  a[1  ck (n)]xˆ (n  1)  k (n) y(n)  axˆ (n  1)  k (n) [ y(n)  acxˆ(n  1)]
прогнозируемая
оценка
k (n) 
c[a 2 p(n  1)   g2 ]
2  c 2 g2  c 2 a 2 p(n  1)
1
p (n)   2 k (n)
c
коэфф
калмана
ошибка
предсказания
29
20. Адаптивные алгоритмы для фильтров с конечной импульсной характеристикой.
Рекурсивный алгоритм наименьших квадратов.
(из «адаптивная фильтрация(16-22).doc»)
e(n)  y (n)  h1 y (n  1) 
h2 y (n  2)  ...  hN y (n  N )
(1)
 T (n)  [ y(n  1), y(n  2), y(n  N )]
h1
H
h2
H T  [h1 , h2 ,..., hN ]
...
hN
e(n)  y(n)   T (n) H
n
V (n)   e 2 ( S ) - функция стоимости
S 0
V (n)  eT (n)e(n) - в результате минимизации получим H – оптим значение коэффициентов
Применим формулу (1) в матричном виде:
e(0) y (0)
0
e(1)
y (1)
y (0)
e(2)  y (2)  y (1)
...
...
.....
e(n) y (n) y (n  1)
0
0
y (0)
.....
y (n  2)
0
0
0
.....
y (n  3)
h1
.....
0
h2
.....
0
 h3
.....
0
.....
.....
...
..... y( n  N ) hN
y (n)  0 при n  0
Yn
H (n  1)  [Y T (n)Y (n)]1Y T (n) y(n)
Рекурсивный РАНК
Hˆ (n  1)  Hˆ (n)  k (n  1)[ y (n  1)   T (n  1) Hˆ (n)]
 T (n  1)  [ y(n), y(n  1), y(n  2),..., y(n  N  1)]
k (n  1)  p(n  1) (n  1)
p(n  1)  [Y T (n)Y (n)   (n  1) T (n  1)]1
Недостатком является то, что предыдущие отчеты берутся с
тем же весом, а лучше брать устаревшие отчеты с меньшим
весом .Существуют алгоритмы с экспоненциальным
взвешиванием, где отчеты берутся с не одинаковым весом.
n
V (n)    n  S e 2 ( S ) , 0    1 - отчеты пойдут с меньшим весом
S 0
T
V (n)  e (n)e(n) ,   diag{ n  n1 n2 ...11}
H (n  1)  [Y T (n)Y (n)]1Y (n)y(n)
p(n)  [Y T (n)Y (n)]
Hˆ (n  1)  Hˆ (n)  k (n  1)e(n  1)
e(n  1)  y (n  1)   T (n  1) Hˆ (n)
k (n  1)  p(n  1) (n  1)  p(n) (n  1)  [   T (n  1) p( n) ( n  1)]1
30
21. Адаптивная фильтрация помех__ПРОВЕРИТЬ__
(из «адаптивная фильтрация(16-22).doc»)
(адаптивное ПОДАВЛЕНИЕ(?) помех?)
Помеха n1 коррелированна с помехой n0, не корр. с сигналом.
e(k)=S(k)+(n0-y)
e2(k)=S2(k)+2S(n0-y)+(n0-y)2
E[e2]=E[s2]+E[2S(n0-y)]+E[(n0-y)2]
E[e2]=E[s2]+E[(n0-y)2]
min E[e2]= E[s2]+min E[(n0-y)2]  n0=y
то есть задача фильтра – построить такой сигнал, чтобы y=n0, то есть получить чистый сигнал без
помех и отношение сигнал/шум на выходе фильтра – макс.
31
22. Примеры устройств с АПП.
(из «адаптивная фильтрация(16-22).doc»)
- шумодавы
Например, разговор по сотовому телефону
-подавление наводок от частоты питающей сети (например в ЭКГ) 50-60 Гц
-удаление артефактов из электроэнцефалограммы
Артефакт – ЭОГ(элетроокулография) – датчики ставятся вокруг глаз и с них отдельно снимается ЭОГ. На
голове датчики, чувствительность примерно 20 мкВ, заметно даже морагние – снимается ЭЭГ.
-речь в кабине самолета
-фильтрация гармонических сигналов на фоне широкополосной помехи
-выделение сердцебиения эмбриона
32
-радиолокация.
/// Адаптивные антенные решетки (управление антенным ключом) (в 2010 не требуется)
Радио-, гидро-, сейсмология.
В качестве опорного берется сигнал «чистая помеха»
33
Основы вейвлет-преобразования.
34
23. Введение в вейвлет-преобразование (ВП). Общая характеристика ВП. Непрерывное ВП
(из «вейвлет(23,24,26).doc»)
Вейвлет – преобразование сигналов является обобщением спектрального анализа, типичный
представитель которого – классическое преобразование Фурье. Термин "вейвлет" (wavelet) в переводе с
английского означает "маленькая (короткая) волна". Вейвлеты - это обобщенное название семейств
математических функций определенной формы, которые локальны во времени и по частоте, и в которых
все функции получаются из одной базовой (порождающей) посредством ее сдвигов и растяжений по оси
времени. Вейвлет-преобразования рассматривают анализируемые временные функции в терминах
колебаний, локализованных по времени и частоте. Как правило, вейвлет-преобразования подразделяют на
дискретное и непрерывное.
Дискретное используется для преобразований и кодирования сигналов, непрерывное - для анализа
сигналов.
Непрерывное вейвлет-преобразование определяется как:
W(a, b) = f(t), ab(t) = (1/
|а |)



f(t)((t-b)/a) dt, (a, b)R, a0
Таким образом, непрерывное вейвлет-преобразование представляет собой разложение сигнала по всем
возможным сдвигам и сжатиям/растяжениям некоторой локализованной финитной функции - вейвлета.
При этом переменная 'a' определяет масштаб вейвлета и эквивалентна частоте в преобразованиях Фурье, а
переменная 'b' – сдвиг вейвлета по сигналу от начальной точки в области его определения, шкала которого
полностью повторяет временную шкалу анализируемого сигнала. Отсюда следует, что вейвлетный анализ
является частотно-пространственным анализом сигналов.
35
24. Ограничение и недостатки преобразования Фурье. Оконное ПФ
(из «вейвлет(23,24,26).doc»)
// без принципа Гейзенберга, которого убрали в 2008
1. Применимо только к стационарным сигналам
Например : x1(t )  cos w1t  cos w2t  cos w3t
2. Если в сигнале появляется какая-то особенность, например всплеск, несущий информацию, то он
не распознается на Фурье, тк размажется по всей спектрально оси
Чтобы обойти это недостатки, вводится оконное ПФ: вводим квазистационар – окно, которое можно
смещать
X ( w , b0 )   x(t )W (t  b0 )e  jwt dt
частота момент
времени
36
25. Представление функций при помощи вейвлетов. Обратное вейвлет-преобразование.
(из «25_2.док»)
-пространство, ограниченное энергией сигнала
-образует двоично-ортогональный (двоично-ортонормальный) базис
Если это так, то любую функцию можно представить
-Cn -коэффициенты Фурье.
Базисные функции должны обладать условием ортонормальности (скалярное произведение
должно быть равно нулю).
Обратное вейвлет-преобразование
Функциональное пространство L2(R), R(-∞,∞). Вся ось перекрывается
масштабирования (a — коэффициент масштабирования, b — коэффициент сдвига).
с
помощью
-это определение вейвлета со сдвигом и масштабированием.
Таким образом, мы можем определить
набор базисных функций
-непрерывное вейвлет-преобразование
(прямое),
где
*
обозначение
комплексно-сопряжённого.
Получается двумерная свёртка по осям
b и a, т.е. сначала фиксируем a и
проходим по всем b.
Обратное преобразование возможно,
если базисные функции
ортонормированы
-обратное преобразование функции по известному вейвлет-преобразованию.
37
26. Признаки вейвлетов. Свойства ВП
(из «вейвлет(23,24,26).doc»)
Признаки вейвлетов:
1. Локализация по времени t и частоте f, то есть он существует не на (, ) , а ограничен
2. Нулевое среднее






(t) dt = 0 – момент 1го порядка, иногда требуется момент большего порядка:
tm(t) dt = 0
3. Ограниченность. Необходимое и достаточное условие:



|(t)|2 dt < 
4. Автомодальность базиса или самоподобие. Форма всех базисных вейвлетов ab(t) должна быть подобна
материнскому вейвлету (t), т.е. должна оставаться одной и той же при сдвигах и масштабировании
(растяжении/сжатии), иметь одно и то же число осцилляций
Свойства ВП
k11
k1 f1 (t )
1. Линейность
k2 f 2 (t )
...
...
W


k2  2
...
...
2. Инвариантность по отношению к сдвигу
[ f (t  b0 )]   f (a, b  b0 )
3. Инвариантность к сжатию, растяжении, масштабированию
 t 
a b
1
[ f  ]   f  , 
 a0  a0
 a0 b0 
4. Дифференцирование
 m f
 m
 t
 m   * (t ) 

m
dt
  (1)  f (t )
t m

Отсюда следует, что безразлично, дифференцировать ли функцию или анализирующий вейвлет.
5. Аналог теоремы Парсеваля
 | f (t ) f
1
*
2
2
(t ) | dt    f 1 (a, b) f 2* (a, b)
dadb
a2
38
Элементная база систем реального времени.
39
27. Принципы построения цифро-аналоговых преобразователей (ЦАП).
(из «элементная база срв(27-39).doc»)
 C матрицей двоично-взвешанных резисторов
 С матрицей R-2R
1:
На подходящих к резисторам линиях имеются элек-трические потенциалы, соответствующие
1
цифрам в разрядах кода, причем цифре 0 соответствует 0 В, а цифре 1 – потенциал U . Снизить
0
потенциал U логического 0 до нулевого значения можно, установив перед резисторами матрицы
0
диоды в про-пускном направлении с напряжением отпирания, большим U .
n-1
К резистору R подходит линия старшего разряда, а к резистору 2 R – линия младшего разряда.
При наличии 1 в старшем разряде кода ток через резистор R (точка a – “кажущаяся земля”, ее
1
потенциал весьма близок к нулю) равен U /R, при наличии 1 в следующем разряде ток через
1
n-1
резистор 2R равен U /(2R) и т.д., при наличии 1 в младшем разряде ток через резистор 2 R равен
1
n-1
U /(2 R).
Таким образом, напряжение на выходе ЦАП пропорционально весу действующего на входе кода.
Достоинством рассмотренного ЦАП является простая и недорогая структура, а недостатком –
необходимость тщательного отбора резисторов разных номиналов, с тем чтобы их сопротивления
находились в должном соответствии, а также невозможность практи-чески выдержать это
соответствие в диапазоне температур.
2:
40
Здесь входное сопротивление матрицы постоянно равно R, а 2R-резисторы подключаются в зависимости
от значения двоичного разряда либо к нулевой точке, либо к инвертирующему входу операционного
усилителя
На каждый ключ (Кл) действует разряд входного кода an-1, an-2,…, a0. Когда в разряде присутствует 0, ток
через ключ замыкается на “землю”. Если в разряде присутствует 1, то ток проходит к инвертирующему
входу операционного усилителя (ОУ). В силу этого правые по схеме выводы резисторов 2R имеют нулевой
потенциал: через ключи они подключены к “земле” или к инвертирующему входу ОУ, потенциал которого
близок к нулю (U0≈0).
Если в разрядах кода присутствуют 1, то ключи коммутируют токи соответствующих ветвей к
неинвертирующему входу ОУ, где они складываются, и на резисторе R 0 (на выходе ЦАП) создают
напряжение, эквивалентное весу действующего на входе кода. Заметим, что операционный
усилитель в данном случае осуществляет преобразование тока в напряжение.
Из схемы рис.10.4,а следует, что полное сопротивление между источником опорного напряжения
Uоп и инвертирующим входом ОУ (точкой, имеющей нулевой потенциал) равно R и не зависит от
числа единиц в разрядах кода. Отсюда следует, что ток на входе матрицы I0=Uоп/R, а коэффициент
усиления ОУ K=R0/R.
Так как в каждом узле ток делится пополам, то через ключ, на который воздействует младший
n
n
разряд кода, проходит ток I1= I0/2 = Uоп/(R2 ), где n – число разрядов преобразователя. Его вклад в
выходное напряжение ЦАП, т. е. напряжение от единицы в младшем разряде кода
n
n,
ΔU = (Uоп/R·2 )R0 = Uоп K / 2
а полное напряжение на выходе ЦАП
n-1
n-2
n
uвых=ΔU(an-1·2 +an-2·2 +…+a1·2+a0)=UопKN/2 ,
n-1
n-2
где an-1·2 + an-2·2 +…+a1·2+a0 = N – вес входного кода в десятичном счислении.
n
Если во всех разрядах кода единицы, то N = 2 –1. При этом выходное напряжение
n
n
-n
uвых max = Uоп K(2 -1) N/2 = Uоп K(1-2 ) ≈ Uоп K.
41
28. Основные параметры ЦАП
(из «элементная база срв(27-39).doc»)
Статические :
1. Характеристика преобразования
h – ступень преобразования
2
 I - нелинейность, измеряется в единицах младшего разряда (ЕМР)
h - разрешающая способность, номинальное значение h
D 
hh
(ЕМР) – дифференциальная нелинейность
h
3. Немонотоннсть
Динамические :
1. Выбросы (glitch)
Например, на входе преобразователя при изменении кода с 011 на 100
сначала переключаются последние два разряда, поэтому в какой то
момент получаем 000 и только чуть позже 1ый разряд меняется и
получаем 100 – отсюда всплеск
2. Время установления
N 1
y (t )   x(nT )h(t  nT )
n 0
42
29. Устройства выборки и хранения (УВХ). Принципы построения, основные параметры,
примеры применения.
(из «элементная база срв(27-39).doc»)
В — выборка
Хр — хранение
Следует использовать
фторопласта.
конденсаторы
из
Диэлектретная абсорбция (поляризация).
1- зарядка конденсатора
2- пустили конденсатор в свободное плавание и он постепенно заряжается - это и есть
диэлектрическая абсорбция. Такой конденсатор использовать нельзя
3- разрядка конденсатора
43
Характеристики
1) Апертурное время
ta — апертурное время (порядок 1 мс)
tу — время установления
2) Время восстановления (установления)
Область применения
Используется на входе АЦП.
1)
Системы сбора данных
2) Системы распределения данных
3)
Борьба с glitch'ем
Пиковый детектор
44
30. АЦП с двухтактным интегрированием.
(из «элементная база срв(27-39).doc»)
Сч — счётчик
Рг — регистр
УУ — устройство управления
К — компаратор
S=1, q1 = Uвх T / Rc; S=2, q2 = Uоп t / Rc
При q1 =q2 => tвх = UвхT / Uоп
n(Uвх1) = UвхNmax / Uоп
Достоинства:
1. сглаживание углов, помех
2. Т.к. Цепочка заряда и разряда одна и та же, то все статические параметры сглаживаются
Недостатки:
1.
Невысокое быстродействие (сотни кГц)
Коэффициент подавления помехи (КПП)
КПП ~ 70...80 дБ
У неё на схеме 2 положения: S=1 и S=2. Автокалибровка при S=3 (1, 2, 3 — положения ключа, 3 —
замыкание на землю)
45
31. АЦП последовательного приближения
(из «элементная база срв(27-39).doc»)
Здесь заложен принцип дихотомии (если преобразователь m-разрядный, то за m тактов выполняется
преобразование).
РгПП — регистр последовательного приближения
Недостатки:
1. Невысокое быстродействие
/// ??? что-то тут не так, по-моему
46
32. Параллельные и многокаскадные АЦП.
(из «элементная база срв(27-39).doc»)
Параллельные АЦП (на примере трёхразрядного АЦП)
Опорное напряжение делится. Все компараторы срабатывают быстро, на выходе шифратора — обычный
двоичный код.
Достоинства:
1. Высокая скорость и частота преобразования (единицы ГГц)
Недостатки:
1. Ограничение разрядов — 12 (но существуют 16-разрядные с частотой 110 МГц)
Многокаскадные АЦП
47
33. Основные характеристики АЦП.
(из «элементная база срв(27-39).doc»)
1. Шаг преобразования
2. Интегральная нелинейность
m — шаг преобразования (квант), цена деления младшего разряда (EMP,
q или LSB).
Динамические характеристики:
1.
Время преобразования — минимальное время, за которое на выходе получается устойчивый код. С
ним связана такая характеристика, как максимальная частота преобразования.
2.
Апертурное времяАпертурная неопределённость, апертурная дрожь, jitter:
Δta — джиттер
3.
Отношение сигнал-шум (SNR — signal to noise ratio):
SNR = 6,02n+1,77 [дБ], где n — количество разрядов
Т.е. при n=16 SNR=97 дБ
Эффективное число разрядов ENOB (effective number of bits):
nэф = (SNR-1,77)/6,02
4.
THD — суммарные гармонические искажения (total harmonic distortion)
5.
SFDR — свободный динамический
диапазон (Spurious-free dynamic range)
48
34. Принципы построения сигма-дельта АЦП
(из «элементная база срв(27-39).doc»)
1.
Разрядность до 24 (шумы дискретизации должны быть
минимальными)
2.
Частота преобразования до 100 кГц. Служат для
измерительных целей, легко технологически реализуемы.
Принципы:
1.
Передискрети
зация
2.
Формировани
е спектра шума (Noise shaping)
3.
Цифровая фильтрация
4.
Децимация
АЭФ — антиалиасинговый фильтр (antialiasing filter)
Σ-Δ мод — сигма-дельта модулятор
Сигма-дельта модулятор
49
Получаем на выходе последовательность 010101... Если на вход подадим ¾ Uоп , то уже на выходе будет
больше. Мы должны его усреднить на большом интервале, получим какой-то код, т.е. одно значение для
аналогового сигнала. Далее подаём следующее значение и т.д.
Далее делаем цифровую фильтрацию. В качестве фильтров используются классические фильтры. Можно
совместно производить децимацию и фильтрацию.
Недостатки:
1. Маленькая частота
Σ-Δ можно представить следующим образом:
Qмд — заряд модулятора
Сигма-дельта модулятор второго порядка
Чем выше порядок, тем меньше уровень шума в области рабочих частот.
Достоинства: Не требует УВХ.
50
35. Фильтры на переключаемых конденсаторах.
(из «элементная база срв(27-39).doc»)
- заряд
-ток
- эквивалентное, т.е. Rэ эквивалентную нашему переключателю.
Преимущество — конденсатор и пара транзисторов занимают
гараздо меньше места, чем резисторы.
Фильтр по данной схеме строится очень легко:
- не более 70-80 дБ из-за шумов дискретизации.
51
36. Особенности цифровых сигнальных процессоров (ЦСП).
(из «элементная база срв(27-39).doc»)
1. Гарвардская структура (раздельная память программ и память данных).
2. Конвейерная организация (для достижения максимальной производительности процессора). В данном
случае применяется параллельное выолнение:
3. Короткий командный цикл (tцикла ~ 1 нс).
4. Наличие специализированных команд (например MAC X=A*B+C).
52
37. Базовая архитектура ЦСП типа TMS320C6xxx. Основные технические характеристики.
(из «элементная база срв(27-39).doc»)
Делятся на:
- с фиксированной точкой (С6701);
- с плавающей точкой (С6200).
Особенности С6000:
- архитектура с очень длинным командным словом (VLIW, VelociTI):
8 команд х 32 разряда = 256 элементов (командное слово)
- CPU (центральное процессорное ядро) — содержт 2 умножителя и 6 АЛУ (т.е. За 1 такт можно выполнить
2 операции умножения и 6 операций на АЛУ).
Достигает 3 млн. операций в секунду на одном кристалле.
L – арифметико-логические операции (АЛУ).
53
S – операции сдвига, перехода (АЛУ).
M – умножение (32х32 если с фиксированной точкой).
D – адресный генератор, т.е. преобразование адреса (формирует адрес следующей команды).
Операнды, с которыми производятся эти операции, находятся в регистровых файлах (т.к. В регистрах
быстрее всего выполняются команды).
Здесь можно выполнять операции как параллельно, так и последовательно или параллельнопоследовательно.
Здесь видно распараллеливание на 6 операционных устройств и конвейеризация (начиная с выборки,
диспетчеризации и т.д.).
38. Особенности процессоров TMS320C64xx.
(из «элементная база срв(27-39).doc»)
- 3 ядра, 24000 HIPS (16 Hz);
- 64 канала DMA;
- Ethernet Controller (1000 Mbit/s);
- L2 – 24 Mbit;
- управляющий семафор;
- GPIO (16 р.);
- антенный интерфейсю
54
Техника проектирования систем реального времени.
55
39. Проблемы проектирования прецизионных аналого-цифровых систем (АЦС). Борьба с
токами утечки в изоляторах. Паразитные эффекты в резисторах.
(из «срв40-43.doc»)
АЦП — 16 разрядов.
FS = ± 5В — Uвх
LBS — цена разряда
Схема:
Первая проблема:
Размещаем ее на печатном проводнике (п/п). Схема проводника:
E = 10В/216 = 150мкВ
Rп/п ~ 0,09 Ом — удельное споротивление
0,09/5000 = 0,0018% - влияние неудачного АЦП (т.е. этот проводник может внести ошибку).
10В/150мкВ ~ 1/216 = 0,0015% - ошибка будет соразмерна с ценой младшего разряда (0,0018%).
Следовательно, необходима калибровка, иначе возможна потеря младшего разряда.
Вторая проблема:
Skin-эффект — в высокочастотной схеме.
Чем выше частота, тем ток будет перераспределяться ближе к повехности проводника (плотность
тока). Этот эффект сказывается на десятках мегагерц.
Борьба с токами утечки в изоляторах.
Утечка на печатном проводнике. Охранные кольца.
Матреиал для производства плат — стеклотекстолит.
Поверхностое сопротивление R1
56
Объемное сопротивление R2
R1 » R 2
10-15А, следовательно, дельта А.
Здесь это тоже может быть, следовательно, ставим охранное кольцо.
Паразитные эффекты на резисторах.
В обычных резисторах (МЛТ) может образовываться термо-ЭДС ~ 40 мкВ/оС. Изменение на 2
градуса по цельсию приводит к потере младшего разряда.
В прицезионных резисторах точность 0,09.
RC2-29 с точностью 0,01%, 5 мкВ/оСЮ следовательно, их нельзя располагать около источников
тепла.
Индуктивность может достигать 10-ов и сотен нано Генри.
57
40. Емкостной шум, экран Фарадея. Паразитные эффекты в конденсаторах.
(из «срв40-43.doc»)
Тепловой шум, он же шум Джонсона.
постоянная Больцмана К = 1,38*10-23 Дж/ оС.
В — полоса (Гц)
Т — собственная температура
R (Ом)
Это шум, который присутствует в каждом сопротивлении. Его можно уменьшить за счет полосы и
за счет температуры.
80 оК — надо охладить до такой температуры.
Паразитные эффекты в конденсаторах.
Толщина стандртной платы 1,5 мм, следовательно, 2,8 pF/см2 — паразитная емкость между
проводниками.
- разделен обкладкой конденсатора, следовательно, ток течет, как показано на нижнем рисунке;
- физически это делается с помощью многослойной печатной платы, где средний слой — земля.
58
С = 0,2 pF (пикофарад)
На аналоговый хвод наводится много мусора, следовательно, выход следующий —
промежуточный регистр:
Еще присутствует диэлектрическая абсорбция:
Некоторые конденсаторы обладают диэлектречиской абсорбцией.
- многослойные керамические кондесаторы, у которые меньшая индуктивность.
Токи утечки кондесаторов.
Максимальным током утечки обладают алюминиевые конденсаторы ~ 20 nA/мкВ
Танталовые конденсаторы — 1÷ 5 20 nA/мкВ.
59
41. Принцип индуктивной связи. Взаимная индуктивность.
(из «срв40-43.doc»)
Проводник:
Толщина тпроводника 0,038.
Данный проводник обладает индуктивностью 7,2 нГн.
F = 10 МГц
XL = 2πfL = 45*107*10-9 = 0,45 Ом (данное индуктивное сопротивление дает рассматриваемый
проводник при частоте F = 10 МГц).
Т.е. получаем, что 0,45 Ом дают ошибку 1% в 50-и омной системе.
Принцип индуктивной связи.
S – площадь.
2 контура на одной стороне печатной платы (ПП) или на двух.
М — взаимная индуктивность.
IN – поисковый ток.
В — плотность магнитного поля.
- наведенное напряжение. Вывод — надо ставить Пермаллюминиевый экран:
Он экранирует наводки. Или можно использовать μ-металл.
Пример плоского кабеля:
неверное решение
верное решение
Еще более верное решение:
60
42. Заземление, земляные шумы и земляные петли.
(из «срв40-43.doc»)
предполагаем, но в действительности идет напряжение, т.к. есть обратный ток.
Эквивалентная схема:
Точка а и точка b будут находиться под разным потенциалом.
Пример земляной петли:
- добавив это, получаем наводящееся напряжение и изменение тока. Вывод — таких земляных
петель быть не должно, их надо избегать.
61
43. Земляные полигоны. Заземление экранированных кабелей.
/// название вопросу подписал я, как понял. Соответственно, советую перепроверить
(из «44,45.doc»)
Земляные полигоны должны быть как аналоговые, так и цифровые.
Нельзя объединять аналоговую и цифровую земли.
Между полигонами – диоды Шотки.
Рекомендации разводки:
1) Раздельные источники питания – ИИП (импульсные источники питания)
2) Разделять аналоговые и цифровые земли
, делать для них отдельные
полигоны и объединять по схеме «звезда» общим источником питания.
3) Разделять аналоговые и цифровые ИП (лучше делать как можно больше ИП)
Дифференциальная передача сигналов
Мы экран заземлили у приемника, и это правильно. Если его просто не заземлять [X на рисунке],
то экран будет антенной, которая всё ловит.
Ещё один вариант – с 2-х сторон , то получаем контур и опять что-то наводится.
Большое Rвх от датчика, с которого снимаем показания, тогда делаем так: (ставим предусилитель)
62
44. ? Выбор наиболее рационального размещения основных узлов АЦС на печатной плате.
__ПРОВЕРИТЬ__
/// название вопросу подписал я, как понял. Соответственно, советую перепроверить
(из «44,45.doc»)
Маршрутизация сигнала
ГТИ – генератор тактовых импульсов
Это система входа и обработки аналогового сигнала (типичная схема)
Как будет на плате:
ГТИ – это не цифровая и не аналоговая часть.
Нельзя пересекать аналоговые и цифровые сигналы, т.к., с цифровой на аналоговый может быть
наведен какой-то сигнал, тогда ослабнет сигнал и увеличится шум.
ИП может быть много (1 – для АЭФ, 1 – для АЦП, 1 – для DSP и т.п.)
Рекомендации:
1) Не допускать пересечения между аналоговыми и цифровыми сигналами и аналоговыми
сигналами разного уровня (низкого и высокого)
2) Аналоговые и цифровые ИП и аналоговые и цифровые земли, обязательно надо как можно
больше.
3) Аккуратное обращение с сигналами
– samp CLK (min-ый jitter)
- на ОУ (операционном устройстве) с большим входным сопротивлением могут быть
паразитные сигналы, которые будет сложно отфильтровать
ГТИ: min-ый jitter
1
𝑆𝑁𝑅 = 20 log10
2𝜋𝑓𝑡𝑎
63
Чем выше частота, на которой мы работаем (если 50 МГц), тем ниже 𝑡𝑎 (то должна составлять
наносекунды).
Характеристики:
1. Дрейф
2. Шум переключения (для ИИП) (работают на частоте в сотни кГц =100÷ 500 кГц могут
пропадать и влиять на схему, т.е. ИП необходимо фильтровать )
3. Шум для ИП прямого преобразования (50-100Гц) – неотфильтрованные шумы
4. Шум взаимовлияния (мы предполагаем, что сопротивление ИП=0, но это не таки если от
одного ИП запитать 2схемы)
Если включить схему В, то уже на А (на напряжение на А
будет влиять схема В – из-за R≠ 0 на ИП)